In Übereinstimmung mit der Definition der Division reeller Zahlen wird die folgende Definition aufgestellt.

Definition. Eine komplexe Zahl a + bi durch eine komplexe Zahl a "+ b" i zu dividieren bedeutet, eine solche Zahl x + yi zu finden, die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert wird, den Dividenden ergibt.

Eine spezielle Teilungsregel erhalten wir, indem wir den Quotienten als Bruch schreiben und Zähler und Nenner dieses Bruchs mit der zum Nenner konjugierten Zahl multiplizieren: (a + bi): (c + di)=

Beispiel 1. Ermitteln Sie den Quotienten (7 - 4i):(3 + 2i).

Nachdem wir den Bruch (7 - 4i)/(3 + 2i) geschrieben haben, erweitern wir ihn um die Zahl 3 - 2i konjugiert zu 3 + 2i. Wir bekommen:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

Beispiel 1 des vorherigen Absatzes gibt eine Prüfung.

Beispiel 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 - 0,92i.

Um zu beweisen, dass die rechte Seite tatsächlich ein Quotient ist, genügt es, sie mit a" + b" zu multiplizieren. Wir bekommen a + bi.

Gleichungen mit komplexen Variablen lösen

Additionsvariable für komplexe Zahlen

Betrachten Sie zunächst die einfachste quadratische Gleichung z2 = a, wobei a eine gegebene Zahl und z eine Unbekannte ist. Auf der Menge der reellen Zahlen lautet diese Gleichung:

• 1) hat eine Wurzel z = 0 wenn a = 0;
• 2) hat zwei reelle Nullstellen z1,2 = falls a>0;
• 3) hat keine wirklichen Wurzeln, wenn a

Auf der Menge der komplexen Zahlen hat diese Gleichung immer eine Wurzel.

Aufgabe 1. Finde die komplexen Nullstellen der Gleichung z2 = a wenn:

• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
• 1) z2 = -1. Da i2 = -1, kann diese Gleichung als z2 = i2 oder z2 - i2 = 0 geschrieben werden. Wenn wir also die linke Seite faktorisieren, erhalten wir (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = - ich antworte. z1,2 = ich.
• 2) z2 = -25. Da i2 = -1 ist, transformieren wir diese Gleichung:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, also z1 = 5i, z2 = -5i. Antwort:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

Antwort: z1,2 = i.

Allgemein ist die Gleichung z2 = a, wobei a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Unter Verwendung der Gleichheit i2 \u003d -1 ist es üblich, die Quadratwurzeln negativer Zahlen wie folgt zu schreiben: \u003d i, \u003d 2i, \u003d i.

Sie ist also für jede reelle Zahl a (positiv, negativ und null) definiert. Daher hat jede quadratische Gleichung az2 + bz + c = 0, wobei a, b, c reelle Zahlen sind und 0 Wurzeln hat. Diese Wurzeln findet man nach der bekannten Formel:

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung z2-4z+13=0. Nach der Formel finden wir: z1,2 = = = 2 3i.

Beachten Sie, dass die in dieser Aufgabe gefundenen Wurzeln konjugiert sind: z1=2+3i und z2=2-3i. Lassen Sie uns die Summe und das Produkt dieser Wurzeln finden: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Die Zahl 4 ist der 2. Koeffizient der Gleichung z2-4z+13=0, mit umgekehrtem Vorzeichen genommen, und die Zahl 13 ist ein freier Term, d. h. in diesem Fall gilt das Vieta-Theorem. Es gilt für jede quadratische Gleichung: wenn z1 und z2 die Wurzeln der Gleichung sind az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

Aufgabe 3. Stellen Sie eine reduzierte quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten mit einer Wurzel z1=-1-2i auf.

Die zweite Wurzel z2 der Gleichung ist die Konjugierte der gegebenen Wurzel z1, d. h. z2=-1+2i. Nach dem Satz von Vieta finden wir

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Die Antwort ist z2-2z+5=0.

Definition:

Komplexe Zahl = x – ja heißt die konjugierte Zahl bzgl w = x + ja.

Beispiele für konjugierte komplexe Zahlen:

–1 + 5ich und -1 - 5 ich, 2 – 3ich und 2 + 3 ich.

Um zwei komplexe Zahlen in algebraischer Form zu dividieren, ist es in der Regel bequem, Zähler und Nenner eines Bruchs mit dem Konjugierten des Nenners zu multiplizieren.

Beispiel 4 Division durchführen: = [multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Konjugierten des Nenners] =

beachte das
ist ein Ausdruck, keine Zahl und kann daher nicht als Antwort betrachtet werden.

Beispiel 5 Aktionen ausführen:
=

=


=
.

Beispiel 6 Aktionen ausführen:
= [multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs mit den zu beiden Zahlen des Nenners konjugierten Zahlen] =

1. Ziehen der Quadratwurzel einer komplexen Zahl in algebraischer Form

Definition. Komplexe Zahl
heißt Quadratwurzel einer komplexen Zahl z, Wenn
.

Beispiel 7 Berechnung
.

Entscheidung. Lassen
= x + ja, dann

Wir lösen separat die biquadratische Gleichung:

Antwort: (-3 + 4 ich; 3 ‑ 4ich}.

Eine andere Lösung ist nach Einführung der trigonometrischen Form der komplexen Zahl möglich (s. S. 14).

1. Lösen linearer und quadratischer Gleichungen für komplexe Zahlen

Im Bereich der komplexen Zahlen gelten die gleichen Formeln zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen wie im Bereich der reellen Zahlen.

Beispiel 8 Lösen Sie die Gleichung: (-2 - ich)z = 3 +ich.

Beispiel 9 Löse die Gleichung:
.

Entscheidung. Lassen Sie uns die Formel verwenden, um die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu finden:

Antwort: (-2 + ich; ‑2 –ich} .

Beispiel 10 Löse die Gleichung:
.

Entscheidung:

Antwort: (1 - 2 ich; 1 –ich} .

Beispiel 11 Löse die Gleichung:
.

Entscheidung:

Berechnen
:

Wir setzen das System zusammen, indem wir die Real- und Imaginärteile des linken und rechten Teils der Gleichheit gleichsetzen:

Antwort:(2; ich} .

Beispiel 12 Lösen Sie das Gleichungssystem:

Entscheidung. Wir drücken die Variable aus der ersten Gleichung des Systems aus x durch eine Variable j:

Wir multiplizieren Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Konjugierten des Nenners:

Öffnen Sie im Zähler des Bruchs die Klammern und geben Sie ähnliche Terme ein:

Wir ersetzen den erhaltenen Wert der Variablen x in die zweite Gleichung des Systems:

;

Antwort: (1 + ich; ich}.

1. Trigonometrische Notation komplexer Zahlen

   1. Geometrische Darstellung komplexer Zahlen

Beim Studium der Eigenschaften komplexer Zahlen ist ihre geometrische Interpretation sehr praktisch. Da eine komplexe Zahl als Paar reeller Zahlen definiert ist, dann jede komplexe Zahl z = a + Bi dargestellt durch einen Punkt auf der Ebene ( x, j) mit Koordinaten x = a und j = b. Ein solches Flugzeug heißt komplexe Ebene, die Abszissenachse ist reell (Re z), und die Ordinatenachse ist die imaginäre Achse (Im z).

Beispiel 13 Zeichnen Sie auf der Ebene die Punkte, die den Zahlen entsprechen:

R Lösung. Anzahl z 1, der Realteil ist -2 und der Imaginärteil ist 0. Daher das Bild der Zahl z 1 ist der Punkt (-2, 0) (Abb. 1.1).

Anzahl z 2, der Realteil ist 0 und der Imaginärteil ist 3. Daher das Bild der Zahl z 2 ist der Punkt (0, 3). Anzahl z 3 Der Realteil ist 1 und der Imaginärteil ist -4. Daher das Bild der Zahl z 3 ist der Punkt (1, -4).

Anzahl z 4 ist der Realteil 1 und der Imaginärteil 1. Daher das Bild der Zahl z 4 ist der Punkt (1, 1).

Anzahl z 5 Der Realteil ist -3 und der Imaginärteil ist -2. Daher das Bild der Zahl z 5 ist ein Punkt (-3, -2).

Konjugierte Zahlen werden durch Punkte auf der komplexen Ebene dargestellt, die symmetrisch zur reellen Achse Re sind z.