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Prisma. Parallelepiped

Prisma wird ein Polyeder genannt, dessen zwei Flächen gleiche n-Ecke sind (Grund) , die in parallelen Ebenen liegen, und die verbleibenden n Flächen sind Parallelogramme (Seitenflächen) . Seitenrippe Prisma ist die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Basis gehört.

Ein Prisma, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basen stehen, wird als Prisma bezeichnet gerade Prisma (Abb. 1). Wenn die Seitenkanten nicht senkrecht zu den Ebenen der Basen sind, wird das Prisma genannt schräg . Richtig Ein Prisma ist ein gerades Prisma, dessen Grundflächen regelmäßige Polygone sind.

Höhe Prisma wird der Abstand zwischen den Ebenen der Basen genannt. Diagonale Ein Prisma ist ein Segment, das zwei Eckpunkte verbindet, die nicht zur selben Fläche gehören. Diagonalschnitt Ein Schnitt eines Prismas durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu derselben Fläche gehören, wird als bezeichnet. Senkrechter Schnitt bezeichnet den Schnitt des Prismas durch eine Ebene senkrecht zur seitlichen Kante des Prismas.

Seitenfläche Prisma ist die Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Vollflächig wird die Summe der Flächen aller Flächen des Prismas genannt (d. h. die Summe der Flächen der Seitenflächen und der Flächen der Basen).

Für ein beliebiges Prisma gelten die Formeln:

wo l ist die Länge der Seitenrippe;

H- Höhe;

P

Q

S-Seite

S voll

S Haupt ist die Fläche der Basen;

v ist das Volumen des Prismas.

Für ein gerades Prisma gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

l ist die Länge der Seitenrippe;

H- Höhe.

Parallelepiped Ein Prisma, dessen Basis ein Parallelogramm ist, heißt. Ein Quader, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Basen stehen, wird genannt Direkte (Abb. 2). Wenn die Seitenkanten nicht senkrecht zu den Basen stehen, wird das Parallelepiped genannt schräg . Man nennt ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist rechteckig. Ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle Kanten gleich sind, heißt Würfel.

Die Flächen eines Parallelepipeds, die keine gemeinsamen Ecken haben, werden aufgerufen Gegenteil . Die Längen der Kanten, die von einem Knoten ausgehen, werden genannt Messungen parallelepiped. Da der Quader ein Prisma ist, werden seine Hauptelemente auf die gleiche Weise definiert, wie sie für Prismen definiert sind.

Sätze.

1. Die Diagonalen des Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und halbieren ihn.

2. In einem rechteckigen Parallelepiped ist das Quadrat der Länge der Diagonale gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen:

3. Alle vier Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind einander gleich.

Für ein beliebiges Parallelepiped gelten die folgenden Formeln:

wo l ist die Länge der Seitenrippe;

H- Höhe;

P ist der Umfang des senkrechten Schnitts;

Q– Bereich des senkrechten Schnitts;

S-Seite ist die seitliche Oberfläche;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

S Haupt ist die Fläche der Basen;

v ist das Volumen des Prismas.

Für ein rechtwinkliges Parallelepiped gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

l ist die Länge der Seitenrippe;

H ist die Höhe des rechten Parallelepipeds.

Für ein rechteckiges Parallelepiped gelten die folgenden Formeln:

(3)

wo p- Umfang der Basis;

H- Höhe;

d- diagonal;

ABC– Messungen eines Parallelepipeds.

Die richtigen Formeln für einen Würfel sind:

wo a ist die Länge der Rippe;

d ist die Diagonale des Würfels.

Beispiel 1 Die Diagonale eines rechteckigen Quaders beträgt 33 dm, und seine Maße stehen im Verhältnis 2 : 6 : 9. Finde die Maße des Quaders.

Entscheidung. Um die Abmessungen des Parallelepipeds zu finden, verwenden wir Formel (3), d.h. die Tatsache, dass das Quadrat der Hypotenuse eines Quaders gleich der Summe der Quadrate seiner Abmessungen ist. Bezeichne mit k Koeffizient der Proportionalität. Dann sind die Abmessungen des Parallelepipeds gleich 2 k, 6k und 9 k. Wir schreiben Formel (3) für die Problemdaten:

Lösen Sie diese Gleichung für k, wir bekommen:

Daher sind die Abmessungen des Parallelepipeds 6 dm, 18 dm und 27 dm.

Antworten: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Beispiel 2 Ermitteln Sie das Volumen eines geneigten dreieckigen Prismas, dessen Basis ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 cm ist, wenn die Seitenkante gleich der Seite der Basis ist und in einem Winkel von 60º zur Basis geneigt ist.

Entscheidung . Machen wir eine Zeichnung (Abb. 3).

Um das Volumen eines geneigten Prismas zu ermitteln, müssen Sie die Fläche seiner Basis und Höhe kennen. Die Grundfläche dieses Prismas ist die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Seitenlänge von 8 cm. Berechnen wir es:

Die Höhe eines Prismas ist der Abstand zwischen seinen Grundflächen. Von oben SONDERN 1 der oberen Basis senken wir die Senkrechte auf die Ebene der unteren Basis SONDERN 1 D. Seine Länge entspricht der Höhe des Prismas. Betrachten Sie D SONDERN 1 ANZEIGE: da dies der Neigungswinkel der Seitenrippe ist SONDERN 1 SONDERN zur Basisebene SONDERN 1 SONDERN= 8 cm Aus diesem Dreieck finden wir SONDERN 1 D:

Nun berechnen wir das Volumen mit Formel (1):

Antworten: 192 cm3.

Beispiel 3 Die Seitenkante eines regelmäßigen sechseckigen Prismas beträgt 14 cm, die Fläche des größten diagonalen Abschnitts 168 cm 2. Finden Sie die Gesamtfläche des Prismas.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 4)

Der größte Diagonalabschnitt ist ein Rechteck AA 1 DD 1 , da die Diagonale ANZEIGE regelmäßiges Sechseck ABCDEF ist der grösste. Um die seitliche Oberfläche eines Prismas zu berechnen, ist es notwendig, die Seite der Basis und die Länge der seitlichen Rippe zu kennen.

Wenn wir die Fläche des diagonalen Abschnitts (Rechteck) kennen, finden wir die Diagonale der Basis.

Weil dann

Seit damals AB= 6cm.

Dann ist der Umfang der Basis:

Finden Sie die Fläche der Seitenfläche des Prismas:

Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 6 cm beträgt:

Finden Sie die Gesamtfläche des Prismas:

Antworten:

Beispiel 4 Die Basis eines rechten Parallelepipeds ist eine Raute. Die Flächen der Diagonalschnitte betragen 300 cm 2 und 875 cm 2. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche des Parallelepipeds.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 5).

Bezeichne die Seite der Raute mit a, die Diagonalen der Raute d 1 und d 2 , die Höhe der Box h. Um die Seitenfläche eines geraden Parallelepipeds zu finden, muss der Umfang der Basis mit der Höhe multipliziert werden: (Formel (2)). Basisumfang p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, als A B C D- Raute. H = AA 1 = h. Dass. Ich muss finden a und h.

Betrachten Sie diagonale Abschnitte. AA 1 SS 1 - ein Rechteck, dessen eine Seite die Diagonale einer Raute ist AC = d 1, zweite - Seitenkante AA 1 = h, dann

Ebenso für die Sektion BB 1 DD 1 erhalten wir:

Unter Verwendung der Eigenschaft eines Parallelogramms, dass die Summe der Quadrate der Diagonalen gleich der Summe der Quadrate aller seiner Seiten ist, erhalten wir die Gleichheit. Wir erhalten Folgendes.

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Im Schullehrplan für den Studiengang Festkörpergeometrie beginnt das Studium dreidimensionaler Figuren meist mit einem einfachen geometrischen Körper - einem Prismenpolyeder. Die Rolle seiner Basen übernehmen 2 gleiche Polygone, die in parallelen Ebenen liegen. Ein Sonderfall ist ein regelmäßiges viereckiges Prisma. Seine Grundflächen sind 2 identische regelmäßige Vierecke, zu denen die Seiten senkrecht stehen und die Form von Parallelogrammen (oder Rechtecken, wenn das Prisma nicht geneigt ist) haben.

Wie sieht ein prisma aus

Ein regelmäßiges viereckiges Prisma ist ein Sechseck, an dessen Basis sich 2 Quadrate befinden und dessen Seitenflächen durch Rechtecke dargestellt werden. Ein anderer Name für diese geometrische Figur ist ein gerades Parallelepiped.

Die Abbildung, die ein viereckiges Prisma darstellt, ist unten gezeigt.

Kann man auch auf dem Bild sehen die wichtigsten Elemente, aus denen ein geometrischer Körper besteht. Sie werden allgemein bezeichnet als:

Manchmal findet man in Geometrieaufgaben das Konzept eines Abschnitts. Die Definition wird so lauten: Ein Schnitt sind alle Punkte eines volumetrischen Körpers, die zur Schnittebene gehören. Der Schnitt ist senkrecht (schneidet die Kanten der Figur in einem Winkel von 90 Grad). Bei einem rechteckigen Prisma wird auch ein Diagonalschnitt berücksichtigt (es können maximal 2 Schnitte gebaut werden), der durch 2 Kanten und die Diagonalen der Basis verläuft.

Wird der Schnitt so gezeichnet, dass die Schnittebene weder zu den Grund- noch zu den Seitenflächen parallel ist, entsteht ein Prismenstumpf.

Verschiedene Verhältnisse und Formeln werden verwendet, um die reduzierten prismatischen Elemente zu finden. Einige von ihnen sind aus dem Verlauf der Planimetrie bekannt (um beispielsweise die Fläche der Basis eines Prismas zu ermitteln, reicht es aus, sich an die Formel für die Fläche eines Quadrats zu erinnern).

Oberfläche und Volumen

Um das Volumen eines Prismas mithilfe der Formel zu bestimmen, müssen Sie die Fläche seiner Basis und Höhe kennen:

V = Sprim h

Da die Basis eines regulären tetraedrischen Prismas ein Quadrat mit einer Seite ist a, Sie können die Formel in einer detaillierteren Form schreiben:

V = a² h

Wenn wir über einen Würfel sprechen - ein regelmäßiges Prisma mit gleicher Länge, Breite und Höhe, wird das Volumen wie folgt berechnet:

Um zu verstehen, wie man die seitliche Oberfläche eines Prismas findet, muss man sich seinen Schwung vorstellen.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die Seitenfläche aus 4 gleichen Rechtecken besteht. Seine Fläche errechnet sich aus dem Produkt des Umfangs der Basis und der Höhe der Figur:

Seite = Pos h

Da der Umfang ein Quadrat ist P = 4a, die Formel hat die Form:

Seite = 4a h

Für Würfel:

Seite = 4a²

Um die Gesamtfläche eines Prismas zu berechnen, fügen Sie der Seitenfläche 2 Grundflächen hinzu:

Svoll = SSeite + 2SBasis

Angewendet auf ein viereckiges regelmäßiges Prisma hat die Formel die Form:

Svoll = 4a h + 2a²

Für die Oberfläche eines Würfels:

Svoll = 6a²

Mit Kenntnis des Volumens oder der Oberfläche können Sie die einzelnen Elemente eines geometrischen Körpers berechnen.

Prismenelemente finden

Oft gibt es Probleme, bei denen das Volumen angegeben ist oder der Wert der Seitenfläche bekannt ist, wo es notwendig ist, die Länge der Seite der Basis oder die Höhe zu bestimmen. In solchen Fällen können Formeln abgeleitet werden:

• Grundseitenlänge: a = Seite / 4h = √(V / h);
• Höhe bzw. Seitenrippenlänge: h = Seite / 4a = V / a²;
• Grundfläche: Sprim = V/h;
• Seitenfläche: Seite gr = Seite / 4.

Um zu bestimmen, wie viel Fläche eine Diagonale hat, müssen Sie die Länge der Diagonale und die Höhe der Figur kennen. Für ein Quadrat d = a√2. Deshalb:

Sdiag = ah√2

Um die Diagonale des Prismas zu berechnen, wird die Formel verwendet:

dPreis = √(2a² + h²)

Um zu verstehen, wie die obigen Verhältnisse anzuwenden sind, können Sie einige einfache Aufgaben üben und lösen.

Beispiele für Probleme mit Lösungen

Hier sind einige der Aufgaben, die in den staatlichen Abschlussprüfungen in Mathematik vorkommen.

Übung 1.

Sand wird in eine Kiste gegossen, die wie ein regelmäßiges viereckiges Prisma geformt ist. Die Höhe des Sandes beträgt 10 cm. Wie hoch ist der Sandstand, wenn Sie ihn in einen Behälter mit der gleichen Form, aber mit einer doppelt so langen Basislänge bringen?

Es soll wie folgt argumentiert werden. Die Sandmenge im ersten und zweiten Behälter änderte sich nicht, d. h. sein Volumen darin ist gleich. Sie können die Länge der Basis definieren als a. In diesem Fall beträgt das Volumen des Stoffes für das erste Kästchen:

V₁ = ha² = 10a²

Für die zweite Box ist die Länge der Basis 2a, aber die Höhe des Sandspiegels ist unbekannt:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Soweit V₁ = V₂, können die Ausdrücke gleichgesetzt werden:

10a² = 4ha²

Nachdem wir beide Seiten der Gleichung um a² reduziert haben, erhalten wir:

Als Ergebnis wird die neue Sandebene sein h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Aufgabe 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ist ein regelmäßiges Prisma. Es ist bekannt, dass BD = AB₁ = 6√2. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Körpers.

Um besser verständlich zu machen, welche Elemente bekannt sind, können Sie eine Figur zeichnen.

Da es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt, können wir daraus schließen, dass die Grundfläche ein Quadrat mit einer Diagonalen von 6√2 ist. Die Diagonale der Seitenfläche hat den gleichen Wert, daher hat die Seitenfläche auch die Form eines Quadrats gleich der Grundfläche. Es stellt sich heraus, dass alle drei Dimensionen – Länge, Breite und Höhe – gleich sind. Wir können daraus schließen, dass ABCDA₁B₁C₁D₁ ein Würfel ist.

Die Länge einer beliebigen Kante wird durch die bekannte Diagonale bestimmt:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Die Gesamtoberfläche ergibt sich aus der Würfelformel:

Svoll = 6a² = 6 6² = 216

Aufgabe 3.

Das Zimmer wird renoviert. Es ist bekannt, dass sein Boden die Form eines Quadrats mit einer Fläche von 9 m² hat. Die Raumhöhe beträgt 2,5 m. Was kostet das Tapezieren eines Raumes am wenigsten, wenn 1 m² 50 Rubel kostet?

Da der Boden und die Decke Quadrate sind, dh regelmäßige Vierecke, und seine Wände senkrecht zu horizontalen Flächen stehen, können wir daraus schließen, dass es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt. Es ist notwendig, die Fläche seiner Seitenfläche zu bestimmen.

Die Raumlänge beträgt a = √9 = 3 m.

Der Platz wird tapeziert Seite = 4 3 2,5 = 30 m².

Die niedrigsten Tapetenkosten für diesen Raum betragen 50 30 = 1500 Rubel.

Um Probleme für ein rechteckiges Prisma zu lösen, reicht es also aus, die Fläche und den Umfang eines Quadrats und eines Rechtecks ​​berechnen zu können, sowie die Formeln zur Bestimmung des Volumens und der Oberfläche zu kennen.

So finden Sie die Fläche eines Würfels

Definition. Prisma- Dies ist ein Polyeder, dessen Ecken sich alle in zwei parallelen Ebenen befinden, und in denselben zwei Ebenen befinden sich zwei Flächen des Prismas, die gleiche Polygone mit jeweils parallelen Seiten sind, und alle Kanten, die nicht in diesen liegen Ebenen sind parallel.

Zwei gleiche Gesichter werden aufgerufen Prismenbasen(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alle anderen Flächen des Prismas werden aufgerufen Seitenflächen(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Alle Seitenflächen bilden sich Seitenfläche des Prismas .

Alle Seitenflächen eines Prismas sind Parallelogramme .

Kanten, die nicht an den Basen liegen, heißen Seitenkanten des Prismas ( A.A. 1, B. B. 1, KK 1, DD 1, E 1).

Prisma Diagonale wird ein Segment genannt, dessen Enden zwei Eckpunkte des Prismas sind, die nicht auf einer seiner Flächen liegen (AD 1).

Die Länge des Segments, das die Basen des Prismas verbindet und gleichzeitig senkrecht zu beiden Basen ist, wird genannt Prismenhöhe .

Bezeichnung:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Zunächst werden in der Reihenfolge der Umgehung die Eckpunkte einer Basis angegeben, und dann in der gleichen Reihenfolge die Eckpunkte der anderen; die Enden jeder Seitenkante werden mit denselben Buchstaben bezeichnet, nur die Eckpunkte, die darin liegen eine Basis wird durch Buchstaben ohne Index und in der anderen mit Index gekennzeichnet)

Der Name des Prismas ist mit der Anzahl der Winkel in der Figur verbunden, die an seiner Basis liegen. In Abbildung 1 ist die Basis beispielsweise ein Fünfeck, daher wird das Prisma genannt fünfeckiges Prisma. Aber seit so ein prisma hat 7 flächen, dann ist es Heptaheder(2 Flächen sind die Basen des Prismas, 5 Flächen sind Parallelogramme, sind seine Seitenflächen)

Unter den geraden Prismen sticht ein besonderer Typ hervor: regelmäßige Prismen.

Ein gerades Prisma wird genannt Korrekt, wenn seine Basen regelmäßige Polygone sind.

Bei einem regelmäßigen Prisma sind alle Seitenflächen gleiche Rechtecke. Ein Spezialfall eines Prismas ist ein Parallelepiped.

Parallelepiped

Parallelepiped- Dies ist ein viereckiges Prisma, an dessen Basis ein Parallelogramm (schräges Parallelepiped) liegt. Rechter Parallelepiped- ein Parallelepiped, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basis sind.

Quader- ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist.

Eigenschaften und Theoreme:

Einige Eigenschaften eines Parallelepipeds ähneln den bekannten Eigenschaften eines Parallelogramms.Ein rechteckiges Parallelepiped mit gleichen Abmessungen heißt Würfel .Ein Würfel hat alle Seiten gleich große Quadrate Das Quadrat einer Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen

,

wobei d die Diagonale des Quadrats ist;
a - Seite des Quadrats.

Die Idee eines Prismas ist gegeben durch:

• verschiedene architektonische Strukturen;
• Kinderspielzeug;
• Verpackungskartons;
• Designerstücke usw.

Gesamt- und Seitenfläche des Prismas

Gesamtfläche des Prismas ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen Seitenfläche heißt die Summe der Flächeninhalte ihrer Seitenflächen. die Basen des Prismas gleiche Polygone sind, dann sind ihre Flächen gleich. So

S voll \u003d S Seite + 2S Haupt,

wo S voll- Gesamtfläche, S-Seite- Seitenfläche, S Haupt- Grundfläche

Die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.

S-Seite\u003d P Haupt * h,

wo S-Seite ist die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas,

P main - der Umfang der Basis eines geraden Prismas,

h ist die Höhe des geraden Prismas, gleich der Seitenkante.

Prisma-Volumen

Das Volumen eines Prismas ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.