Gegeben sei ein Kreiskegel mit Scheitelpunkt m. Studium der Theorie der Kegelschnitte

TEXTERKLÄRUNG DER LEKTION:

Wir studieren weiterhin den Abschnitt der Festkörpergeometrie "Körper der Revolution".

Zu den Rotationskörpern gehören: Zylinder, Kegel, Kugeln.

Erinnern wir uns an die Definitionen.

Die Höhe ist der Abstand von der Oberseite einer Figur oder eines Körpers zur Basis der Figur (Körper). Andernfalls ein Segment, das die Ober- und Unterseite der Figur verbindet und senkrecht dazu steht.

Denken Sie daran, um die Fläche eines Kreises zu finden, multiplizieren Sie Pi mit dem Quadrat des Radius.

Die Fläche des Kreises ist gleich.

Erinnern Sie sich, wie Sie die Fläche eines Kreises finden und den Durchmesser kennen? Als

setzen wir es in die Formel:

Ein Kegel ist auch ein Rotationskörper.

Ein Kegel (genauer gesagt ein Kreiskegel) ist ein Körper, der aus einem Kreis besteht – der Basis des Kegels, einem Punkt, der nicht in der Ebene dieses Kreises liegt – der Spitze des Kegels und allen Segmenten, die die Spitze verbinden der Kegel mit den Spitzen der Basis.

Machen wir uns mit der Formel zum Ermitteln des Volumens eines Kegels vertraut.

Satz. Das Volumen eines Kegels entspricht einem Drittel der Grundfläche multipliziert mit der Höhe.

Beweisen wir diesen Satz.

Gegeben: ein Kegel, S ist die Fläche seiner Basis,

h ist die Höhe des Kegels

Beweisen Sie: V=

Beweis: Betrachten Sie einen Kegel mit Volumen V, Basisradius R, Höhe h und Spitze im Punkt O.

Lassen Sie uns die Achse Ox durch OM, die Achse des Kegels, einführen. Ein beliebiger Schnitt eines Kegels durch eine Ebene senkrecht zur x-Achse ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Punkt

M1 - der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Ox. Lassen Sie uns den Radius dieses Kreises als R1 und die Querschnittsfläche als S(x) bezeichnen, wobei x die Abszisse des Punktes M1 ist.

Aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke OM1A1 und OMA (ے OM1A1 = ے OMA - gerade Linien, ےMOA-gemeinsam, was bedeutet, dass die Dreiecke in zwei Winkeln ähnlich sind) folgt das

Die Figur zeigt, dass OM1=x, OM=h

oder woraus wir durch die Eigenschaft der Proportionen R1 = finden.

Da der Abschnitt ein Kreis ist, dann S (x) \u003d πR12, ersetzen wir den vorherigen Ausdruck anstelle von R1, die Fläche des Abschnitts ist gleich dem Verhältnis des Produkts von Quadrat zu Quadrat x zum Quadrat der Höhe:

Wenden wir die Grundformel an

Berechnung der Körpervolumina mit a=0, b=h erhalten wir den Ausdruck (1)

Da die Basis des Kegels ein Kreis ist, ist die Fläche S der Basis des Kegels gleich dem Quadrat des Pfeilers

In der Formel zur Berechnung des Volumens eines Körpers ersetzen wir den Wert des Pfeilerquadrats durch die Fläche der Basis und erhalten, dass das Volumen des Kegels einem Drittel des Flächenprodukts entspricht der Basis und der Höhe

Der Satz ist bewiesen.

Korollar des Satzes (Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes)

Das Volumen V eines Kegelstumpfes, dessen Höhe h ist, und die Flächen der Basen S und S1, werden durch die Formel berechnet

Ve ist gleich einem Drittel der Asche multipliziert mit der Summe der Grundflächen und der Quadratwurzel des Produkts der Grundflächen.

Probleme lösen

Ein rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln von 3 cm und 4 cm dreht sich um die Hypotenuse. Bestimmen Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Wenn sich das Dreieck um die Hypotenuse dreht, erhalten wir einen Kegel. Bei der Lösung dieses Problems ist es wichtig zu verstehen, dass zwei Fälle möglich sind. In jedem von ihnen wenden wir die Formel zum Ermitteln des Volumens eines Kegels an: Das Volumen eines Kegels ist gleich einem Drittel des Produkts aus der Basis und der Höhe

Im ersten Fall sieht die Zeichnung so aus: Ein Kegel ist gegeben. Sei Radius r = 4, Höhe h = 3

Die Fläche der Basis ist gleich dem Produkt aus π mal dem Quadrat des Radius

Dann ist das Volumen des Kegels gleich einem Drittel des Produkts aus π mal dem Quadrat des Radius mal der Höhe.

Ersetzen Sie den Wert in der Formel, es stellt sich heraus, dass das Volumen des Kegels 16π beträgt.

Im zweiten Fall etwa so: einen Kegel gegeben. Sei Radius r = 3, Höhe h = 4

Das Volumen eines Kegels ist gleich einem Drittel der Grundfläche multipliziert mit der Höhe:

Die Fläche der Basis ist gleich dem Produkt aus π mal dem Quadrat des Radius:

Dann ist das Volumen des Kegels gleich einem Drittel des Produkts aus π mal dem Quadrat des Radius mal der Höhe:

Ersetzen Sie den Wert in der Formel, es stellt sich heraus, dass das Volumen des Kegels 12π beträgt.

Antwort: Das Volumen des Kegels V ist 16 π oder 12 π

Aufgabe 2. Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit einem Radius von 6 cm, Winkel BCO = 45 .

Finde das Volumen des Kegels.

Lösung: Für diese Aufgabe wird eine fertige Zeichnung mitgegeben.

Schreiben wir die Formel zum Ermitteln des Volumens eines Kegels:

Wir drücken es durch den Radius der Basis R aus:

Wir finden h \u003d BO konstruktionsbedingt, - rechteckig, weil Winkel BOC=90 (die Summe der Winkel eines Dreiecks), die Winkel an der Basis sind gleich, also ist das Dreieck ΔBOC gleichschenklig und BO=OC=6 cm.

V-Zylinder \u003d S Haupt. h

Beispiel 2 Bei einem gleichseitigen geraden Kreiskegel ABC ist BO = 10. Finde das Volumen des Kegels.

Entscheidung

Finden Sie den Radius der Basis des Kegels. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Lassen Sie OS = a, dann BC = 2 a. Nach dem Satz des Pythagoras:

Antworten: .

Beispiel 3. Berechnen Sie die Volumen der Figuren, die durch die Drehung der durch die angegebenen Linien begrenzten Bereiche gebildet werden.

y2=4x; y=0; x=4.

Integrationsgrenzen a = 0, b = 4.

V= | =32π

Aufgaben

Variante 1

1. Der Axialschnitt des Zylinders ist ein Quadrat, dessen Diagonale 4 dm beträgt. Berechne das Volumen des Zylinders.

2. Der Außendurchmesser der Hohlkugel beträgt 18 cm, die Wandstärke 3 cm, ermittle das Volumen der Kugelwände.

X Figur begrenzt durch Linien y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

Option 2

1. Die Radien von drei Kugeln sind 6 cm, 8 cm, 10 cm Bestimmen Sie den Radius der Kugel, deren Volumen gleich der Summe der Volumina dieser Kugeln ist.

2. Die Grundfläche des Kegels beträgt 9 cm 2, seine Gesamtfläche 24 cm 2. Finde das Volumen des Kegels.

3. Berechnen Sie das Volumen des durch Rotation um die O-Achse gebildeten Körpers X Figur begrenzt durch Linien y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Testfragen:

1. Schreiben Sie die Eigenschaften von Volumen von Körpern.

2. Schreiben Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers um die Oy-Achse.

Die diagnostische Arbeit besteht aus zwei Teilen, darunter 19 Aufgaben. Teil 1 enthält 8 Aufgaben einer einfachen Schwierigkeitsstufe mit einer kurzen Antwort. Teil 2 enthält 4 Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad mit kurzer Antwort und 7 Aufgaben mit erhöhtem und hohem Schwierigkeitsgrad mit ausführlicher Antwort.
3 Stunden 55 Minuten (235 Minuten) stehen für diagnostische Arbeiten in Mathematik zur Verfügung.
Die Antworten auf die Aufgaben 1-12 werden als ganze Zahl oder als letzter Dezimalbruch geschrieben. Schreiben Sie die Zahlen in die Antwortfelder im Text der Arbeit und übertragen Sie sie dann auf den Antwortbogen Nr. 1. Wenn Sie die Aufgaben 13-19 erledigen, müssen Sie die vollständige Lösung und die Antwort auf den Antwortbogen Nr. 2.
Alle Formulare sind mit hellschwarzer Tinte ausgefüllt. Die Verwendung von Gel-, Kapillar- oder Füllfederhaltern ist erlaubt.
Beim Abschließen von Aufgaben können Sie einen Entwurf verwenden. Entwürfe zählen nicht zur Bewertung der Arbeit.
Die Punkte, die Sie für abgeschlossene Aufgaben erhalten, werden summiert.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

Aufgabenbedingungen

Finde wenn
Um im Labor ein vergrößertes Bild einer Glühbirne auf dem Bildschirm zu erhalten, wird eine Sammellinse mit einer Hauptbrennweite = 30 cm verwendet, wobei der Abstand von der Linse zur Glühbirne von 40 bis 65 cm und der Abstand variieren kann vom Objektiv zum Bildschirm - im Bereich von 75 bis 100 cm Das Bild auf dem Bildschirm ist klar, wenn das Verhältnis eingehalten wird. Geben Sie den größten Abstand zum Objektiv an, in dem die Glühbirne platziert werden kann, damit ihr Bild auf dem Bildschirm klar ist. Geben Sie Ihre Antwort in Zentimetern an.
Das Schiff fährt 300 km entlang des Flusses zum Ziel und kehrt nach dem Parken zum Abfahrtsort zurück. Finden Sie die Strömungsgeschwindigkeit, wenn die Geschwindigkeit des Schiffes in stillem Wasser 15 km / h beträgt, das Parken 5 Stunden dauert und das Schiff 50 Stunden nach dem Verlassen zum Abfahrtsort zurückkehrt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
Finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment
a) Lösen Sie die Gleichung b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zu dem Segment gehören
Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit einer Spitze M. Axialschnitt des Kegels - ein Dreieck mit einem Winkel von 120 ° an der Spitze M. Der Kegelgenerator ist . Durch den Punkt M Ein Abschnitt des Kegels wird senkrecht zu einem der Generatoren gezeichnet.
a) Beweisen Sie, dass das resultierende Dreieck ein stumpfes Dreieck ist.
b) Finden Sie den Abstand vom Mittelpunkt Ö der Basis des Kegels zur Ebene des Schnitts.
Löse die Gleichung
Kreis mit Mittelpunkt Ö berührt die Seite AB gleichschenkligen Dreiecks ABC, seitliche Erweiterungen AC und Fortführung der Stiftung Sonne am Punkt N. Punkt M- Mitte der Basis Sonne.
a) Beweisen Sie das MN=AC.
b) Finden Betriebssystem, wenn die Seiten des Dreiecks ABC sind 5, 5 und 8.
Das Geschäftsvorhaben „A“ geht von einer Steigerung der darin investierten Beträge um jährlich 34,56 % in den ersten zwei Jahren und um jährlich 44 % in den nächsten zwei Jahren aus. Projekt "B" geht von einem Wachstum um eine konstante ganze Zahl aus n Prozent jährlich. Finden Sie den kleinsten Wert n, wonach das Projekt "B" in den ersten vier Jahren rentabler sein wird als das Projekt "A".
Finden Sie alle Werte der Parameter , , für die jeweils das Gleichungssystem hat die einzige Lösung
Anya spielt ein Spiel: Auf dem Brett sind zwei verschiedene natürliche Zahlen geschrieben und , beide sind kleiner als 1000. Wenn beide natürliche Zahlen sind, macht Anya einen Zug - sie ersetzt die vorherigen durch diese beiden Zahlen. Wenn mindestens eine dieser Zahlen keine natürliche Zahl ist, endet das Spiel.
a) Kann das Spiel genau drei Züge lang gehen?
b) Gibt es zwei Anfangszahlen, sodass das Spiel mindestens 9 Züge dauert?
c) Anya hat den ersten Zug im Spiel gemacht. Finden Sie das größtmögliche Verhältnis des Produkts der erhaltenen zwei Zahlen zum Produkt

Einführung

Relevanz des Forschungsthemas. Kegelschnitte waren bereits den Mathematikern des antiken Griechenlands bekannt (z. B. Menechmus, 4. Jahrhundert v. Chr.); Mit Hilfe dieser Kurven wurden einige Konstruktionsprobleme gelöst (Verdoppelung des Würfels usw.), die sich bei Verwendung der einfachsten Zeichenwerkzeuge - Zirkel und Lineal - als unzugänglich herausstellten. In den ersten uns überlieferten Studien erhielten griechische Geometer Kegelschnitte, indem sie eine Schnittebene senkrecht zu einem der Generatoren zeichneten, während sie je nach Öffnungswinkel an der Spitze des Kegels (d.h. dem größten Winkel zwischen den Generatoren eines Hohlraums), stellte sich die Schnittlinie als Ellipse heraus, wenn dieser Winkel spitz ist, ist es eine Parabel, wenn er ein rechter Winkel ist, und eine Hyperbel, wenn er stumpf ist. Das vollständigste Werk, das diesen Kurven gewidmet war, waren die "Kegelschnitte" von Apollonius von Perga (um 200 v. Chr.). Weitere Fortschritte in der Theorie der Kegelschnitte sind mit der Entstehung im 17. Jahrhundert verbunden. neue geometrische Methoden: projektive (französische Mathematiker J. Desargues, B. Pascal) und insbesondere koordinative (französische Mathematiker R. Descartes, P. Fermat).

Das Interesse an Kegelschnitten wurde schon immer durch die Tatsache gestützt, dass diese Kurven häufig in verschiedenen Naturphänomenen und bei menschlichen Aktivitäten zu finden sind. In der Wissenschaft erlangten Kegelschnitte besondere Bedeutung, nachdem der deutsche Astronom I. Kepler aus Beobachtungen entdeckte und der englische Wissenschaftler I. Newton die Gesetze der Planetenbewegung theoretisch begründete, von denen eines besagt, dass sich die Planeten und Kometen des Sonnensystems entlang eines Kegels bewegen Abschnitte, in einem von denen Brennpunkte die Sonne ist. Die folgenden Beispiele beziehen sich auf bestimmte Arten von Kegelschnitten: Ein Projektil oder ein schräg zum Horizont geworfener Stein beschreibt eine Parabel (die korrekte Form der Kurve wird durch den Luftwiderstand etwas verzerrt); in einigen Mechanismen werden elliptische Zahnräder verwendet („elliptisches Getriebe“); Die Hyperbel dient als Graph der umgekehrten Proportionalität, der häufig in der Natur beobachtet wird (z. B. das Boyle-Mariotte-Gesetz).

Zielsetzung:

Das Studium der Theorie der Kegelschnitte.

Forschungsthema:

Kegelschnitte.

Zweck der Studie:

Untersuchen Sie theoretisch die Merkmale von Kegelschnitten.

Studienobjekt:

Kegelschnitte.

Gegenstand der Studie:

Historische Entwicklung der Kegelschnitte.

1. Bildung von Kegelschnitten und deren Typen

Kegelschnitte sind Linien, die sich im Schnitt eines geraden Kreiskegels mit unterschiedlichen Ebenen bilden.

Beachten Sie, dass eine Kegelfläche eine Fläche ist, die durch die Bewegung einer geraden Linie gebildet wird, die die ganze Zeit durch einen festen Punkt (die Spitze des Kegels) verläuft und die ganze Zeit eine feste Kurve schneidet - eine Führung (in unserem Fall ein Kreis ).

Klassifiziert man diese Linien nach der Art der Lage der Sekantenebenen relativ zu den Erzeugern des Kegels, erhält man drei Arten von Kurven:

I. Kurven, die durch einen Abschnitt eines Kegels durch Ebenen gebildet werden, die zu keinem der Generatoren parallel sind. Solche Kurven sind verschiedene Kreise und Ellipsen. Diese Kurven werden elliptische Kurven genannt.

II. Kurven, die durch einen Abschnitt eines Kegels durch Ebenen gebildet werden, von denen jede parallel zu einer der Mantellinien des Kegels ist (Abb. 1b). Nur Parabeln werden solche Kurven sein.

III. Kurven, die durch einen Abschnitt eines Kegels durch Ebenen gebildet werden, von denen jede parallel zu etwa zwei Generatoren verläuft (Abb. 1c). solche Kurven sind Hyperbeln.

Es kann keine Typ-IV-Kurven mehr geben, da es keine Ebene parallel zu drei Kegelerzeugern gleichzeitig geben kann, da keine drei Kegelerzeuger selbst in derselben Ebene liegen.

Beachten Sie, dass der Kegel von Ebenen geschnitten werden kann und so im Schnitt zwei Geraden entstehen. Dazu müssen die Sekantenebenen durch die Kegelspitze gezogen werden.

2. Ellipse

Zwei Sätze sind für das Studium der Eigenschaften von Kegelschnitten wichtig:

Satz 1. Gegeben sei ein gerader Kreiskegel, der durch Ebenen b 1, b 2, b 3 senkrecht zu seiner Achse zerlegt wird. Dann sind alle Segmente der Kegelgeneratoren zwischen jedem Paar von Kreisen (erhalten im Schnitt mit den gegebenen Ebenen) einander gleich, d.h. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d usw. und B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d usw. Satz 2. Wenn eine Kugeloberfläche gegeben ist und ein Punkt S außerhalb davon liegt, dann sind die Tangentensegmente, die vom Punkt S an die Kugeloberfläche gezogen werden, einander gleich, d.h. SA 1 = SA 2 = SA 3 usw.

2.1 Grundeigenschaft einer Ellipse

Wir schneiden einen geraden Kreiskegel mit einer Ebene, die alle seine Generatoren schneidet.Im Schnitt erhalten wir eine Ellipse. Zeichnen wir eine Ebene senkrecht zur Ebene durch die Kegelachse.

Lassen Sie uns zwei Kugeln so in den Kegel einschreiben, dass jede von ihnen, da sie sich auf gegenüberliegenden Seiten der Ebene befinden und die Kegelfläche berühren, irgendwann die Ebene berührt.

Lassen Sie eine Kugel die Ebene am Punkt F 1 berühren und den Kegel entlang des Kreises C 1 berühren, und die andere am Punkt F 2 und den Kegel entlang des Kreises C 2 berühren.

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt P auf der Ellipse.

Das bedeutet, dass alle daraus gezogenen Schlussfolgerungen für jeden Punkt der Ellipse gültig sind. Lassen Sie uns die Erzeugende des OR des Kegels zeichnen und die Punkte R 1 und R 2 markieren, an denen er die konstruierten Kugeln berührt.

Verbinde Punkt P mit den Punkten F 1 und F 2 . Dann ist PF 1 = PR 1 und PF 2 = PR 2, da PF 1, PR 1 Tangenten sind, die vom Punkt P zu einer Kugel gezogen werden, und PF 2, PR 2 Tangenten sind, die vom Punkt P zu einer anderen Kugel gezogen werden (Theorem 2 ) . Addieren wir beide Gleichheiten Term für Term, finden wir

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Diese Beziehung zeigt, dass die Summe der Abstände (РF 1 und РF 2) eines beliebigen Punktes P der Ellipse zu zwei Punkten F 1 und F 2 ein konstanter Wert für diese Ellipse ist (d.h. nicht von der Position abhängt). der Punkt P auf der Ellipse).

Die Punkte F 1 und F 2 werden Brennpunkte der Ellipse genannt. Die Punkte, an denen die Linie F 1 F 2 die Ellipse schneidet, werden die Scheitelpunkte der Ellipse genannt. Das Segment zwischen den Scheitelpunkten wird als Hauptachse der Ellipse bezeichnet.

Das Segment der Erzeugenden R 1 R 2 ist gleich lang wie die Hauptachse der Ellipse. Dann wird die Haupteigenschaft der Ellipse wie folgt formuliert: Die Summe der Abstände eines beliebigen Punktes P der Ellipse zu ihren Brennpunkten F 1 und F 2 ist für diese Ellipse ein konstanter Wert, gleich der Länge ihrer Hauptachse.

Beachten Sie, dass, wenn die Brennpunkte der Ellipse zusammenfallen, die Ellipse ein Kreis ist, d.h. Ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse.

2.2 Ellipsengleichung

Um eine Gleichung für eine Ellipse zu formulieren, müssen wir die Ellipse als den Ort von Punkten betrachten, die eine Eigenschaft haben, die diesen Ort charakterisiert. Nehmen wir die Haupteigenschaft der Ellipse als ihre Definition: Ellipse ist die Ortskurve von Punkten in einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 dieser Ebene, genannt Brennpunkte, ein konstanter Wert gleich ist die Länge seiner Hauptachse.

Lassen Sie die Länge des Segments F 1 F 2 \u003d 2c und die Länge der Hauptachse 2a betragen. Um die kanonische Gleichung der Ellipse herzuleiten, wählen wir den Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems in der Mitte der Strecke F 1 F 2 und richten die Achsen Ox und Oy wie in Abbildung 5 gezeigt. (Wenn die Brennpunkte zusammenfallen, dann O fällt mit F 1 und F 2 zusammen, und jenseits der Achse Ox kann jede Achse genommen werden, die durch O verläuft). Dann im gewählten Koordinatensystem die Punkte F 1 (c, 0) und F 2 (-c, 0). Offensichtlich ist 2a > 2c, d.h. a>c. Sei M(x, y) ein Punkt der zur Ellipse gehörenden Ebene. Sei ÌF 1 =r 1 , ÌF 2 =r 2 . Nach der Definition einer Ellipse ist die Gleichheit

r 1 + r 2 = 2a (2) ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage des Punktes M (x, y) auf einer gegebenen Ellipse. Unter Verwendung der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir

r 1 =, r 2 =. Kommen wir zurück zur Gleichheit (2):

Lassen Sie uns eine Wurzel auf die rechte Seite der Gleichheit verschieben und quadrieren:

Durch Reduktion erhalten wir:

Wir geben ähnliche an, reduzieren um 4 und isolieren das Radikal:

Wir quadrieren

Öffnen Sie die Klammern und kürzen Sie zu:

woher wir bekommen:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Beachten Sie, dass a 2 -c 2 >0. Tatsächlich ist r 1 + r 2 die Summe von zwei Seiten des Dreiecks F 1 MF 2 , und F 1 F 2 ist seine dritte Seite. Daher ist r 1 + r 2 > F 1 F 2 oder 2a > 2с, d.h. a>c. Bezeichnen Sie a 2 -c 2 \u003d b 2. Gleichung (3) sieht so aus: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Wir führen eine Transformation durch, die die Ellipsengleichung auf die kanonische (wörtlich: als Stichprobe genommene) Form bringt, nämlich wir dividieren beide Teile der Gleichung durch a 2 b 2:

(4) - Kanonische Gleichung einer Ellipse.

Da Gleichung (4) eine algebraische Konsequenz von Gleichung (2*) ist, werden die x- und y-Koordinaten jedes Punktes M der Ellipse auch Gleichung (4) erfüllen. Da bei algebraischen Transformationen im Zusammenhang mit der Beseitigung von Radikalen „zusätzliche Wurzeln“ auftreten können, muss sichergestellt werden, dass jeder Punkt M, dessen Koordinaten Gleichung (4) erfüllen, auf dieser Ellipse liegt. Dazu genügt es zu beweisen, dass die Größen r 1 und r 2 für jeden Punkt die Beziehung (2) erfüllen. Lassen Sie also die x- und y-Koordinaten des Punktes M die Gleichung (4) erfüllen. Wenn wir den Wert von y 2 aus (4) in den Ausdruck r 1 einsetzen, finden wir nach einfachen Transformationen, dass r 1 =. Da, dann r 1 =. Ganz ähnlich finden wir, dass r 2 =. Somit gilt für den betrachteten Punkt M r 1 =, r 2 =, d.h. r 1 + r 2 \u003d 2a, daher befindet sich der Punkt M auf einer Ellipse. Die Größen a und b heißen die große bzw. kleine Halbachse der Ellipse.

2.3 Studium der Form einer Ellipse nach ihrer Gleichung

Lassen Sie uns die Form der Ellipse anhand ihrer kanonischen Gleichung ermitteln.

1. Gleichung (4) enthält x und y nur in geraden Potenzen, wenn also der Punkt (x, y) zur Ellipse gehört, dann werden die Punkte (x, - y), (-x, y), (-x, - ja). Daraus folgt, dass die Ellipse symmetrisch um die Achsen Ox und Oy ist, und auch um den Punkt O (0,0), der als Mittelpunkt der Ellipse bezeichnet wird.

2. Finde die Schnittpunkte der Ellipse mit den Koordinatenachsen. Wenn wir y \u003d 0 setzen, finden wir zwei Punkte A 1 (a, 0) und A 2 (-a, 0), in denen die Ox-Achse die Ellipse schneidet. Wenn wir x=0 in Gleichung (4) setzen, finden wir die Schnittpunkte der Ellipse mit der Oy-Achse: B 1 (0, b) und. B 2 (0, - b) Die Punkte A 1 , A 2 , B 1 , B 2 werden Ellipsenecken genannt.

3. Aus Gleichung (4) folgt, dass jeder Term auf der linken Seite Eins nicht überschreitet, d.h. es gibt Ungleichheiten und oder und. Daher liegen alle Punkte der Ellipse innerhalb des durch die Geraden gebildeten Rechtecks, .

4. In Gleichung (4) ist die Summe der nicht negativen Terme und gleich eins. Wenn also ein Term zunimmt, wird der andere abnehmen, d.h. Wenn x zunimmt, dann nimmt y ab und umgekehrt.

Aus dem Gesagten folgt, dass die Ellipse die in Abb. 6 (ovale geschlossene Kurve).

Beachten Sie, dass wenn a = b, Gleichung (4) die Form x 2 + y 2 = a 2 annehmen wird. Das ist die Kreisgleichung. Aus einem Kreis mit Radius a erhält man eine Ellipse, wenn man ihn entlang der Oy-Achse einmal zusammendrückt. Bei einer solchen Kontraktion geht der Punkt (x; y) zum Punkt (x; y 1), wo. Setzen wir den Kreis in die Gleichung ein, erhalten wir die Ellipsengleichung: .

Lassen Sie uns eine weitere Größe einführen, die die Form der Ellipse charakterisiert.

Die Exzentrizität einer Ellipse ist das Verhältnis der Brennweite 2c zur Länge 2a ihrer Hauptachse.

Exzentrizität wird üblicherweise mit e bezeichnet: e = Da c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Aus der letzten Gleichheit lässt sich leicht eine geometrische Interpretation der Exzentrizität der Ellipse gewinnen. Bei sehr kleinen Zahlen sind a und b fast gleich, das heißt, die Ellipse kommt einem Kreis nahe. Wenn es nahe bei Eins liegt, ist die Zahl b sehr klein im Vergleich zu der Zahl a, und die Ellipse ist entlang der Hauptachse stark verlängert. Somit charakterisiert die Exzentrizität der Ellipse das Maß für die Dehnung der Ellipse.

3. Übertreibung

3.1 Die Haupteigenschaft der Hyperbel

Wenn wir die Hyperbel mit Hilfe von Konstruktionen untersuchen, die den Konstruktionen ähneln, die für das Studium der Ellipse durchgeführt wurden, finden wir, dass die Hyperbel ähnliche Eigenschaften wie die Ellipse hat.

Schneiden wir einen geraden Kreiskegel durch eine Ebene b, die seine beiden Ebenen schneidet, d.h. parallel zu zwei seiner Generatoren. Der Querschnitt ist eine Hyperbel. Zeichnen wir durch die Achse ST des Kegels die Ebene ASB senkrecht zur Ebene b.

Wir schreiben zwei Kugeln in den Kegel - eine in eine seiner Vertiefungen, die andere in eine andere, so dass jede von ihnen die konische Oberfläche und die Schnittebene berührt. Lassen Sie die erste Kugel die Ebene b im Punkt F 1 berühren und berühren Sie die Kegelfläche entlang des Kreises U´V´. Lassen Sie die zweite Kugel die Ebene b im Punkt F 2 berühren und berühren Sie die Kegelfläche entlang des Kreises UV.

Wir wählen einen beliebigen Punkt M auf der Hyperbel, ziehen durch ihn die Mantellinie des Kegels MS und markieren die Punkte d und D, an denen er die erste und zweite Kugel berührt. Wir verbinden den Punkt M mit den Punkten F 1 , F 2 , die wir die Brennpunkte der Hyperbel nennen werden. Dann ist MF 1 = Md, da beide Segmente die erste Kugel tangieren, die vom Punkt M aus gezeichnet wird. Ähnlich ist MF 2 = MD. Subtrahieren wir Term für Term von der ersten Gleichheit die zweite, finden wir

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

wobei dD ein konstanter Wert ist (als Erzeugende eines Kegels mit den Basen U´V´ und UV), unabhängig von der Wahl des Punktes M auf der Hyperbel. Bezeichnen Sie mit P und Q die Punkte, an denen die Linie F 1 F 2 die Hyperbel schneidet. Diese Punkte P und Q heißen die Scheitelpunkte der Hyperbel. Die Strecke PQ heißt reelle Achse der Hyperbel. Im Laufe der elementaren Geometrie wird bewiesen, dass dD=PQ. Daher ist MF 1 – MF 2 = PQ.

Wenn der Punkt M auf dem Ast der Hyperbel liegt, in dessen Nähe sich der Brennpunkt F 1 befindet, dann ist MF 2 – MF 1 = PQ. Dann erhalten wir schließlich МF 1 -MF 2 =PQ.

Der Modul der Differenz zwischen den Abständen eines beliebigen Punktes M einer Hyperbel von ihren Brennpunkten F 1 und F 2 ist ein konstanter Wert, der gleich der Länge der reellen Achse der Hyperbel ist.

3.2 Gleichung einer Hyperbel

Nehmen wir die Haupteigenschaft einer Hyperbel als ihre Definition: Eine Hyperbel ist eine Ortskurve von Punkten in einer Ebene, für die der Modul der Abstandsdifferenz zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 dieser Ebene, Brennpunkte genannt, eine Konstante ist Wert gleich der Länge seiner reellen Achse.

Die Länge des Segments sei F 1 F 2 \u003d 2c, und die Länge der reellen Achse sei 2a. Um die kanonische Gleichung der Hyperbel abzuleiten, wählen wir den Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems in der Mitte des Segments F 1 F 2 und richten die Achsen Ox und Oy wie in Abbildung 5 gezeigt. Dann im gewählten Koordinatensystem die Punkte F 1 (c, 0) und F 2 (-s, 0). Offensichtlich 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Position des Punktes M (x, y) auf dieser Hyperbel. Unter Verwendung der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir

r 1 =, r 2 =. Kehren wir zur Gleichheit zurück (5):

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Durch Reduktion erhalten wir:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Beachten Sie, dass c 2 – a 2 > 0 ist. Bezeichne c 2 – a 2 = b 2 . Gleichung (6) sieht so aus: b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 . Wir führen eine Transformation durch, die die Hyperbelgleichung auf die kanonische Form bringt, nämlich wir dividieren beide Teile der Gleichung durch a 2 b 2: (7) - In der kanonischen Gleichung der Hyperbel sind die Größen a und b die reellen und imaginären Halbachsen der Hyperbel.

Wir müssen sicherstellen, dass Gleichung (7), erhalten durch algebraische Transformationen von Gleichung (5*), keine neuen Wurzeln erhalten hat. Dazu genügt es zu beweisen, dass für jeden Punkt M, dessen Koordinaten x und y die Gleichung (7) erfüllen, die Werte r 1 und r 2 die Beziehung (5) erfüllen. Wenn wir ähnliche Argumente wie bei der Ableitung der Ellipsenformel führen, finden wir die folgenden Ausdrücke für r 1 und r 2:

Für den betrachteten Punkt M gilt also r 1 – r 2 = 2a, er liegt also auf der Hyperbel.

3.3 Untersuchung der Hyperbelgleichung

Versuchen wir nun, uns anhand der Betrachtung von Gleichung (7) eine Vorstellung von der Lage der Hyperbel zu machen.
1. Zunächst zeigt Gleichung (7), dass die Hyperbel um beide Achsen symmetrisch ist. Dies erklärt sich dadurch, dass nur gerade Koordinatengrade in die Gleichung der Kurve eingehen. 2. Wir markieren nun den Bereich der Ebene, in dem die Kurve liegen wird. Die nach y aufgelöste Gleichung einer Hyperbel hat die Form:

Es zeigt, dass y immer existiert, wenn x 2? eine 2 . Dies bedeutet, dass für x? a und für x? - und die y-Ordinate wird reell sein, und für - a

Außerdem wächst mit zunehmendem x (und größerem a) auch die y-Ordinate immer weiter (insbesondere ist daraus ersichtlich, dass die Kurve nicht wellig sein kann, d. h. so, dass mit dem Wachstum der Abszisse von x, die y-Ordinate nimmt entweder zu oder ab).

3. Der Mittelpunkt einer Hyperbel ist ein Punkt, in Bezug auf den jeder Punkt der Hyperbel einen zu sich selbst symmetrischen Punkt hat. Der Punkt O(0,0), der Ursprung, wie bei der Ellipse, ist der Mittelpunkt der durch die kanonische Gleichung gegebenen Hyperbel. Das bedeutet, dass jeder Punkt der Hyperbel einen symmetrischen Punkt auf der Hyperbel in Bezug auf den Punkt O hat. Dies folgt aus der Symmetrie der Hyperbel in Bezug auf die Achsen Ox und Oy. Jede Sehne einer Hyperbel, die durch ihren Mittelpunkt verläuft, wird als Durchmesser der Hyperbel bezeichnet.

4. Die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Linie, auf der ihre Brennpunkte liegen, heißen die Scheitelpunkte der Hyperbel, und die Strecke zwischen ihnen heißt die reelle Achse der Hyperbel. In diesem Fall ist die reelle Achse die x-Achse. Beachten Sie, dass die reelle Achse der Hyperbel oft sowohl das Segment 2a als auch die gerade Linie selbst (die Ox-Achse) genannt wird, auf der sie liegt.

Finden Sie die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Oy-Achse. Die y-Achsen-Gleichung ist x=0. Setzen wir x = 0 in Gleichung (7) ein, erhalten wir, dass die Hyperbel keine Schnittpunkte mit der Oy-Achse hat. Dies ist verständlich, da es in einem Streifen der Breite 2a, der die Oy-Achse überdeckt, keine Hyperbelpunkte gibt.

Die Linie, die senkrecht zur reellen Achse der Hyperbel steht und durch ihren Mittelpunkt verläuft, wird als imaginäre Achse der Hyperbel bezeichnet. In diesem Fall fällt sie mit der y-Achse zusammen. Die Nenner der Terme mit x 2 und y 2 in der Hyperbelgleichung (7) sind also die Quadrate der reellen und imaginären Halbachsen der Hyperbel.

5. Die Hyperbel schneidet die Gerade y = kx für k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Nachweisen

Um die Koordinaten der Schnittpunkte der Hyperbel und der Geraden y = kx zu bestimmen, ist es notwendig, das Gleichungssystem zu lösen

Wenn wir y eliminieren, erhalten wir

oder Für b 2 -k 2 a 2 0, also für k, hat die resultierende Gleichung und damit das Lösungssystem nicht.

Die Geraden mit den Gleichungen y= und y= - heißen Asymptoten der Hyperbel.

Für b 2 –k 2 a 2 > 0, das heißt für k< система имеет два решения:

Daher hat jede Gerade, die durch den Ursprung geht, eine Steigung k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Optische Eigenschaft der Hyperbel: Optische Strahlen, die von einem Brennpunkt der Hyperbel ausgehen und von ihm reflektiert werden, scheinen vom zweiten Brennpunkt auszugehen.

Die Exzentrizität der Hyperbel ist das Verhältnis der Brennweite 2c zur Länge 2a ihrer reellen Achse?
jene. von der Seite seiner Konkavität.

3.4 Konjugierte Hyperbel

Zusammen mit der Hyperbel (7) wird die sogenannte konjugierte Hyperbel dazu betrachtet. Die konjugierte Hyperbel wird durch die kanonische Gleichung definiert.

Auf Abb. 10 zeigt die Hyperbel (7) und ihre konjugierte Hyperbel. Die konjugierte Hyperbel hat die gleichen Asymptoten wie die gegebene, aber F 1 (0, c),

4. Parabel

4.1 Grundeigenschaft einer Parabel

Lassen Sie uns die grundlegenden Eigenschaften einer Parabel feststellen. Schneiden wir einen geraden Kreiskegel mit der Spitze S durch eine Ebene parallel zu einem seiner Erzeuger. Im Schnitt erhalten wir eine Parabel. Zeichnen wir durch die Achse ST des Kegels die Ebene ASB senkrecht zur Ebene (Abb. 11). Die darin liegende Erzeugende SA ist parallel zur Ebene. Lassen Sie uns in den Kegel eine sphärische Oberfläche einschreiben, die den Kegel entlang des Kreises UV und die Ebene im Punkt F tangiert. Zeichnen Sie eine Linie durch den Punkt F parallel zum Generator SA. Seinen Schnittpunkt mit der Erzeugenden SB bezeichnen wir mit P. Der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel, der Punkt P ist ihr Scheitelpunkt, und die Gerade PF, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt (und parallel zur Erzeugenden) verläuft SA) wird die Achse der Parabel genannt. Die Parabel hat keinen zweiten Scheitelpunkt - den Schnittpunkt der PF-Achse mit der Erzeugenden SA: Dieser Punkt "geht ins Unendliche". Nennen wir die Leitlinie (übersetzt bedeutet "Führung") die Linie q 1 q 2 des Schnittpunkts der Ebene mit der Ebene, in der der Kreis UV liegt. Man nehme einen beliebigen Punkt M auf der Parabel und verbinde ihn mit der Spitze des Kegels S. Die Gerade MS berührt die Kugel im auf dem Kreis UV liegenden Punkt D. Wir verbinden den Punkt M mit dem Brennpunkt F und lassen das Lot MK vom Punkt M auf die Leitlinie fallen. Dann stellt sich heraus, dass die Abstände eines beliebigen Punktes M der Parabel zum Brennpunkt (MF) und zur Leitlinie (MK) gleich sind (Haupteigenschaft der Parabel), d.h. MF=MK.

Beweis: МF=MD (als Tangenten an eine Kugel von einem Punkt aus). Lassen Sie uns den Winkel zwischen einer der Mantellinien des Kegels und der ST-Achse mit q bezeichnen. Projizieren wir die Segmente MD und MK auf die ST-Achse. Das Segment MD bildet eine Projektion auf die ST-Achse, gleich MDcosc, da MD auf der Mantellinie des Kegels liegt; das Segment MK bildet eine Projektion auf die ST-Achse, gleich MKsoc, da das Segment MK parallel zur Erzeugenden SA ist. (Tatsächlich steht die Leitlinie q 1 q 1 senkrecht auf der Ebene ASB. Daher schneidet die Gerade PF die Leitlinie im Punkt L unter einem rechten Winkel. Aber die Geraden MK und PF liegen in derselben Ebene, und auch MK ist senkrecht an die Direktion). Die Projektionen beider Segmente MK und MD auf die ST-Achse sind einander gleich, da eines ihrer Enden - der Punkt M - gemeinsam ist und die anderen beiden D und K in einer Ebene senkrecht zur ST-Achse liegen (Abb. ). Dann ist МDcosц= MKsоsц oder МD= MK. Daher ist MF=MK.

Eigentum 1.(Fokuseigenschaft einer Parabel).

Der Abstand von jedem Punkt der Parabel zur Mitte des Hauptakkords ist gleich seinem Abstand zur Leitlinie.

Nachweisen.

Punkt F - der Schnittpunkt der Linie QR und der Hauptsehne. Dieser Punkt liegt auf der Symmetrieachse Oy. Tatsächlich sind die Dreiecke RNQ und ROF kongruent, genau wie rechtwinklige Dreiecke

Dreiecke mit frühen Schenkeln (NQ=OF, OR=RN). Unabhängig davon, welchen Punkt N wir nehmen, schneidet die entlang ihm konstruierte Linie QR den Hauptakkord in seinem mittleren F. Nun ist klar, dass das Dreieck FMQ gleichschenklig ist. Tatsächlich ist das Segment MR sowohl der Median als auch die Höhe dieses Dreiecks. Dies impliziert, dass MF=MQ.

Eigenschaft 2.(Optische Eigenschaft einer Parabel).

Jede Tangente an die Parabel bildet gleiche Winkel mit dem zum Tangentenpunkt gezogenen Brennradius und dem Strahl, der vom Tangentenpunkt kommt und gemeinsam mit der Achse gerichtet ist (oder Strahlen, die aus einem einzelnen Fokus kommen und von der Parabel reflektiert werden). parallel zur Achse).

Nachweisen. Für einen auf der Parabel selbst liegenden Punkt N gilt |FN| = |NH| und für einen im inneren Bereich der Parabel liegenden Punkt N" gilt |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, dh der Punkt M" liegt im äußeren Bereich der Parabel. Also liegt die gesamte Gerade l, bis auf den Punkt M, im äußeren Bereich, d.h. der innere Bereich der Parabel liegt auf einer Seite von l, was bedeutet, dass l die Parabel tangiert. Damit ist die optische Eigenschaft der Parabel bewiesen: Winkel 1 ist gleich Winkel 2, da l die Winkelhalbierende des Winkels FMK ist.

4.2 Gleichung einer Parabel

Basierend auf der Haupteigenschaft einer Parabel formulieren wir ihre Definition: Eine Parabel ist eine Menge aller Punkte in einer Ebene, von denen jeder gleich weit von einem bestimmten Punkt, genannt Brennpunkt, und einer bestimmten geraden Linie, genannt Leitlinie, entfernt ist . Der Abstand vom Brennpunkt F zur Leitlinie wird Parameter der Parabel genannt und mit p bezeichnet (p > 0).

Zur Herleitung der Parabelgleichung wählen wir das Oxy-Koordinatensystem so, dass die Ox-Achse in Richtung von der Leitlinie zu F senkrecht zur Leitlinie durch den Brennpunkt F verläuft und der Ursprung O in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitlinie liegt (Abb. 12). In dem ausgewählten System ist der Fokus F(, 0), und die Leitliniengleichung hat die Form x = -, oder x + = 0. Sei m (x, y) ein beliebiger Punkt der Parabel. Verbinden Sie den Punkt M mit F. Zeichnen Sie die Strecke MH senkrecht zur Leitlinie. Nach der Definition einer Parabel ist MF = MH. Unter Verwendung der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten finden wir:

Wenn wir also beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir

jene. (8) Gleichung (8) wird die kanonische Gleichung einer Parabel genannt.

4.3 Studium der Formen einer Parabel nach ihrer Gleichung

1. In Gleichung (8) ist die Variable y in einem geraden Grad enthalten, was bedeutet, dass die Parabel symmetrisch um die Ox-Achse ist; die x-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel.

2. Da c > 0 ist, folgt aus (8) x>0. Daher befindet sich die Parabel rechts von der y-Achse.

3. Sei x \u003d 0, dann y \u003d 0. Daher verläuft die Parabel durch den Ursprung.

4. Bei unbegrenzter Vergrößerung von x wächst auch der Modul y unbegrenzt. Die Parabel y 2 \u003d 2 px hat die in Abbildung 13 gezeigte Form (Form). Der Punkt O (0; 0) wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet, das Segment FM \u003d r wird als Brennradius des Punktes M bezeichnet Die Gleichungen y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) definieren auch Parabeln.

1.5. Verzeichniseigenschaft von Kegelschnitten .

Hier beweisen wir, dass jeder nicht kreisförmige (nicht entartete) Kegelschnitt als eine Menge von Punkten M definiert werden kann, deren Verhältnis der Abstand MF von einem festen Punkt F zu dem Abstand MP von einer nicht durchgehenden festen Linie d ist der Punkt F ist gleich einem konstanten Wert e: wobei F - der Fokus des Kegelschnitts, die gerade Linie d die Leitlinie und das Verhältnis e die Exzentrizität ist. (Falls der Punkt F zur Geraden d gehört, dann bestimmt die Bedingung die Punktmenge, die ein Geradenpaar ist, also ein entarteter Kegelschnitt; für e = 1 geht dieses Geradenpaar in eine Gerade über. Beweis Betrachten Sie dazu den Kegel, der durch die Drehung der Linie l um den Schnittpunkt der Geraden p im Punkt O gebildet wird und mit l den Winkel b bildet< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Schreiben wir eine Kugel K in den Kegel ein, die die Ebene p im Punkt F berührt und den Kegel längs des Kreises S berührt. Die Schnittgerade der Ebene p mit der Ebene y des Kreises S bezeichnen wir mit d.

Verbinden wir nun einen beliebigen Punkt M, der auf der Schnittlinie A der Ebene p mit dem Kegel liegt, mit der Spitze O des Kegels und mit dem Punkt F und lassen die Senkrechte MP von M auf die Linie d fallen; bezeichne mit E auch den Schnittpunkt des Generators MO des Kegels mit dem Kreis S.

Außerdem ist MF = ME, als Segmente von zwei Tangenten der Kugel K, gezeichnet von einem Punkt M.

Ferner bildet das Segment ME mit der Achse p des Kegels einen konstanten (d. h. unabhängig von der Wahl des Punktes M) Winkel 6, und das Segment MP bildet einen konstanten Winkel β; daher sind die Projektionen dieser beiden Segmente auf die p-Achse jeweils gleich ME cos b und MP cos c.

Diese Projektionen fallen aber zusammen, da die Segmente ME und MP einen gemeinsamen Ursprung M haben und ihre Enden in der y-Ebene senkrecht zur p-Achse liegen.

Also ME cos b = MP cos c, oder, da ME = MF, MF cos b = MP cos c, woraus folgt

Es ist auch leicht zu zeigen, dass, wenn der Punkt M der Ebene p nicht zum Kegel gehört, dann. Somit kann jeder Abschnitt eines geraden Kreiskegels als eine Menge von Punkten in der Ebene beschrieben werden, für die. Andererseits können wir durch Ändern der Werte der Winkel b und c der Exzentrizität einen beliebigen Wert e > 0 geben; Außerdem ist es aus Ähnlichkeitsüberlegungen nicht schwer zu verstehen, dass der Abstand FQ vom Brennpunkt zur Leitlinie direkt proportional zum Radius r der Kugel K (oder zum Abstand d der Ebene p vom Scheitelpunkt O von der Kegel). Man kann zeigen, dass wir also durch geeignete Wahl des Abstands d dem Abstand FQ einen beliebigen Wert geben können. Daher kann jede Menge von Punkten M, für die das Verhältnis der Abstände von M zu einem Fixpunkt F und zu einer Fixlinie d einen konstanten Wert hat, als eine Kurve beschrieben werden, die im Schnitt eines geraden Kreiskegels durch a erhalten wird Flugzeug. Dies beweist, dass auch (nicht entartete) Kegelschnitte durch die in diesem Unterabschnitt diskutierte Eigenschaft definiert werden können.

Diese Eigenschaft von Kegelschnitten nennt man sie Verzeichniseigenschaft. Es ist klar, dass wenn c > b, dann e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Andererseits sieht man leicht, dass für s > 6 die Ebene p den Kegel entlang einer geschlossenen Begrenzungslinie schneidet; wenn c = b, dann schneidet die Ebene p den Kegel entlang einer unbegrenzten Linie; wenn drin< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Der Kegelschnitt, für den z< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 heißt Übertreibung. Ellipsen enthalten auch einen Kreis, der nicht durch eine Verzeichniseigenschaft angegeben werden kann; Da sich das Verhältnis für einen Kreis auf 0 ändert (weil in diesem Fall β \u003d 90º), wird bedingt davon ausgegangen, dass der Kreis ein Kegelschnitt mit einer Exzentrizität von 0 ist.

6. Ellipse, Hyperbel und Parabel als Kegelschnitte

Kegelschnitt Ellipse Hyperbel

Der antike griechische Mathematiker Menechmus, der die Ellipse, Hyperbel und Parabel entdeckte, definierte sie als Abschnitte eines Kreiskegels durch eine Ebene senkrecht zu einem der Generatoren. Die dabei entstehenden Kurvenabschnitte nannte er spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Kegel, je nach Achswinkel der Kegel. Die erste ist, wie wir weiter unten sehen werden, eine Ellipse, die zweite eine Parabel, die dritte ein Zweig einer Hyperbel. Die Namen "Ellipse", "Hyperbel" und "Parabel" wurden von Apollonius eingeführt. Fast vollständig (7 von 8 Büchern) ist uns das Werk des Apollonius „Über Kegelschnitte“ überliefert. In dieser Arbeit betrachtet Apollonius beide Böden des Kegels und schneidet den Kegel mit Ebenen, die nicht unbedingt senkrecht zu einem der Generatoren stehen.

Satz. Der Schnitt eines beliebigen geraden Kreiskegels durch eine Ebene (die nicht durch seine Spitze geht) definiert eine Kurve, die nur eine Hyperbel (Abb. 4), eine Parabel (Abb. 5) oder eine Ellipse (Abb. 6) sein kann. Wenn die Ebene außerdem nur eine Ebene des Kegels und entlang einer geschlossenen Kurve schneidet, dann ist diese Kurve eine Ellipse; wenn eine Ebene entlang einer offenen Kurve nur eine Ebene schneidet, dann ist diese Kurve eine Parabel; Wenn die Schnittebene beide Ebenen des Kegels schneidet, wird im Schnitt eine Hyperbel gebildet.

Ein eleganter Beweis dieses Satzes wurde 1822 von Dandelin unter Verwendung von Kugeln vorgeschlagen, die heute Dandelin-Kugeln genannt werden. Schauen wir uns diesen Beweis an.

Schreiben wir in einen Kegel zwei Kugeln ein, die die Schnittebene П von verschiedenen Seiten berühren. Bezeichne mit F1 und F2 die Berührungspunkte zwischen dieser Ebene und den Kugeln. Nehmen wir einen beliebigen Punkt M auf der Schnittlinie des Kegels durch die Ebene P. Auf der durch M gehenden Mantellinie des Kegels markieren wir die auf den Kreisen k1 und k2 liegenden Punkte P1 und P2, entlang denen sich die Kugeln berühren Kegel.

Es ist klar, dass MF1 = MP1 als Segmente zweier Tangenten an die erste Sphäre, die von M ausgehen; ähnlich MF2 = MP2. Daher ist MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = P1P2. Die Länge der Strecke P1P2 ist für alle Punkte M unseres Schnitts gleich: Sie ist die Erzeugende eines Kegelstumpfes, der von den parallelen Ebenen 1 und 11 begrenzt wird, in denen die Kreise k1 und k2 liegen. Daher ist die Schnittlinie des Kegels durch die Ebene P eine Ellipse mit Brennpunkten F1 und F2. Die Gültigkeit dieses Theorems kann auch auf der Grundlage der allgemeinen Position festgestellt werden, dass der Schnittpunkt einer Fläche zweiter Ordnung mit einer Ebene eine Gerade zweiter Ordnung ist.

Literatur

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometrie. In 2 Stunden Teil 1. Lehrbuch für Studierende der Physik und Mathematik. päd. in-comrade-M.: Enlightenment, 1986.

2. Bazylew V.T. usw. Geometrie. Proz. Zuschuss für Studierende des 1. Physikjahres. - Matte. Fakten ped. in. - Genosse-M.: Bildung, 1974.

3. Pogorelow A. V. Geometrie. Proz. für 7-11 Zellen. durchschn. Schule - 4. Aufl.-M.: Enlightenment, 1993.

4. Geschichte der Mathematik von der Antike bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts. Juschkewitsch A.P. -M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Optische Eigenschaften der Ellipse, Hyperbel und Parabel. // Quantum. - 1975. - Nr. 12. - mit. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Ein kurzer Kurs in analytischer Geometrie. - M: Nauka, 6. Auflage, 1967. - 267 S.

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Gegeben sei ein Kreiskegel mit Scheitelpunkt m. Studium der Theorie der Kegelschnitte

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