Einführung.

Die rasante Entwicklung der Flüssigkeitschromatographie in den letzten 10 Jahren ist vor allem auf die intensive Entwicklung theoretischer Grundlagen und den praktischen Einsatz ihrer hocheffizienten Version sowie die Schaffung und industrielle Produktion der erforderlichen Sorbentien und Geräte zurückzuführen.

Eine Besonderheit der Hochleistungsflüssigkeitschromatographie (HPLC) ist die Verwendung von Sorbentien mit einer Korngröße von 3-10 µm, die einen schnellen Stoffaustausch mit sehr hoher Trennleistung ermöglicht.

Gegenwärtig hat die HPLC den ersten Platz unter den instrumentellen Methoden hinsichtlich der Entwicklungsgeschwindigkeit eingenommen und sogar die Gaschromatographie überholt. Der wichtigste Vorteil der HPLC gegenüber der Gaschromatographie ist die Möglichkeit, nahezu jedes Objekt ohne Einschränkungen hinsichtlich seiner physikalisch-chemischen Eigenschaften, beispielsweise bezüglich Siedepunkt oder Molekulargewicht, untersuchen zu können.

Heute ist die HPLC eine wohlgeformte instrumentelle Methode, die in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie weit verbreitet ist. Seine Bedeutung ist besonders groß in so wichtigen Bereichen wie Biochemie, Molekularbiologie, Umweltschutz sowie in der chemischen, petrochemischen, Lebensmittel- und pharmazeutischen Industrie.

da aufgrund der folgenden Merkmale der Methodik eine Reihe sehr spezifischer Anforderungen berücksichtigt werden müssen.

a. Säulen für die HPLC sind mit einem Träger mit sehr kleinem Partikeldurchmesser gefüllt. Dadurch werden hohe Drücke auf der Säule bei den für eine schnelle Probentrennung erforderlichen Löerzeugt.

b. In der HPLC verwendete Detektoren reagieren empfindlich auf Schwankungen des Eluentenflusses und -drucks (Rauschen). Darüber hinaus ist bei der Verwendung von Konzentrationsdetektoren eine noch höhere Stabilität der Eluenten-Volumengeschwindigkeit erforderlich.

in. Der Prozess der chromatographischen Trennung wird von einer Reihe antagonistischer Effekte begleitet, beispielsweise führt die Dispersion der Probe in der mobilen Phase zu einer Vermischung der getrennten Komponenten und verringert die maximale Konzentration der Substanz im eluierenden Peak (im Detektor). Dispersion wird in allen Teilen des Systems vom Injektionspunkt der Probe bis zum Detektor beobachtet.

d. Lösungsmittel, die als mobile Phase fungieren, können Geräte oft angreifen. Dies gilt hauptsächlich für Lösungsmittel, die in der Umkehrphasenchromatographie verwendet werden, die in biochemischen HPLC-Anwendungen bevorzugt wird.

Die Besonderheiten der HPLC als instrumentelle Technik müssen bei der Entwicklung, Erstellung und dem Betrieb dieser Systeme berücksichtigt werden. Es dauerte mehr als zehn Jahre der Suche und Recherche, um kommerzielle Muster von chromatographischen Systemen und ihren Komponenten zu erstellen, die ausreichend zuverlässig, einfach und sicher zu bedienen sind und ein akzeptables Verhältnis zwischen Preis und technischen Eigenschaften aufweisen. Die jüngsten Trends zur Reduzierung von Kernen (sowohl Länge als auch Durchmesser) zwingen uns, neue Anforderungen an die Instrumente zu stellen.

1.1. EFFIZIENZUndSELEKTIVITÄT

Die Chromatographie ist eine Methode zur Trennung der Komponenten eines Gemischs auf der Grundlage des Unterschieds in ihrer Gleichgewichtsverteilung zwischen zwei „nicht mischbaren Phasen“, von denen eine stationär und die andere mobil ist. Probenkomponenten bewegen sich durch die Säule, wenn sie sich in der mobilen Phase befinden und bleiben an Ort und Stelle, je größer die Affinität der Komponente zur stationären Phase und je geringer zur mobilen Phase ist, desto langsamer bewegt sie sich durch die Säule und desto länger wird sie darin zurückgehalten. Aufgrund der unterschiedlichen Affinität der Komponenten des Gemisches für die stationäre und mobile Phase eine akzeptable Zeit lang das Gemisch in einzelne Banden (Peaks) der Komponenten zerlegt, während sie sich mit der mobilen Phase durch die Säule bewegen.

Aus diesen allgemeinen Ideen geht hervor, dass eine chromatographische Trennung nur möglich ist, wenn die während der Probeninjektion in die Säule eintretenden Probenbestandteile erstens in der mobilen Phase gelöst werden und zweitens mit der stationären Phase in Wechselwirkung treten (zurückbleiben). Wenn irgendwelche Komponenten nicht in Lösung sind, wenn die Probe injiziert wird, werden sie herausgefiltert und nehmen nicht am chromatographischen Prozess teil. In ähnlicher Weise passieren Komponenten, die nicht mit der stationären Phase wechselwirken, die Säule mit der mobilen Phase, ohne sich in Komponenten zu trennen.

Nehmen wir die Bedingung an, dass etwa zwei Komponenten in der mobilen Phase löslich sind und mit der stationären Phase wechselwirken, d.h. der chromatographische Prozess störungsfrei ablaufen kann. In diesem Fall kann man nach Passieren der Mischung durch die Säule Chromatogramme der Form erhalten ein, b oder in(Abb. 1.1). Diese Chromatogramme veranschaulichen chromatographische Trennungen, die sich in ihrer Effizienz unterscheiden (a und b) mit gleicher Selektivität und Selektivität (b und in) bei gleicher Effizienz.

Die Säuleneffizienz ist umso höher, je schmaler der Peak bei gleicher Retentionszeit erhalten wird. Die Säuleneffizienz wird durch die Anzahl der theoretischen Böden (NPP) gemessen N: je höher der ef-

Reis. 1.2. Parameter des chromatographischen Peaks und Berechnung der Anzahl der theoretischen Böden:

t R - Spitzenretentionszeit; h - Spitzenhöhe; Wj/j - Spitzenbreite auf halber Höhe

Reis. 1.1. Art des Chromatogramms in Abhängigkeit von der Effizienz und Selektivität der Säule:

a- herkömmliche Selektivität, reduzierte Effizienz (weniger theoretische Trennstufen); b - konventionelle Selektivität und Effizienz; in - herkömmlicher Wirkungsgrad, erhöhte Selektivität (größeres Verhältnis der Retentionszeiten der Komponenten)

Wirkungsgrad, je größer die FTT, desto kleiner die Peakaufweitung des anfänglich schmalen Bandes beim Durchgang durch die Säule, desto schmaler der Peak am Ausgang der Säule. NTT charakterisiert die Anzahl der Schritte zur Herstellung des Gleichgewichts zwischen mobiler und stationärer Phase.

Kenntnis der Anzahl der theoretischen Trennstufen pro Kolonne und der Länge der Kolonne L (µm) sowie der durchschnittliche Korndurchmesser des Sorptionsmittels Gleichstrom (µm) ist es einfach, die theoretische äquivalente Bodenhöhe (HETP) sowie die reduzierte theoretische äquivalente Bodenhöhe (PHETP) zu erhalten:

HET = L/ N

PVETT \u003d B3TT / d c .

Mit den NTT-, HETP- und PVETP-Werten kann man leicht die Effizienz von Säulen unterschiedlicher Art, unterschiedlicher Länge, gefüllt mit Sorbentien unterschiedlicher Art und Körnung vergleichen. Vergleichen Sie die NTT von zwei Säulen gleicher Länge und vergleichen Sie deren Effizienz. Beim HETP-Vergleich werden Säulen mit Sorbentien gleicher Korngröße und unterschiedlicher Länge verglichen. Schließlich ermöglicht der PVETT-Wert für zwei beliebige Säulen die Bewertung der Qualität des Sorbens, erstens und der Füllqualität der Säulen, und zweitens, unabhängig von der Länge der Säulen, der Körnung durch Sorbentien seiner Natur.

Die Säulenselektivität spielt eine große Rolle beim Erreichen einer chromatographischen Trennung.

Die Selektivität einer Säule hängt von sehr vielen Faktoren ab, und das Geschick des Experimentators wird zu einem großen Teil von der Fähigkeit bestimmt, die Selektivität der Trennung zu beeinflussen. Dazu hat der Chromatographer drei sehr wichtige Faktoren in der Hand: die Wahl der chemischen Natur des Sorbens, die Wahl der Zusammensetzung des Lösungsmittels und seiner Modifikatoren sowie die Berücksichtigung der chemischen Struktur und Eigenschaften der Komponenten dazu getrennt sein. Manchmal wird die Selektivität durch eine Temperaturänderung der Säule merklich beeinflusst, wodurch sich die Verteilungskoeffizienten von Substanzen zwischen mobiler und stationärer Phase ändern.

Bei der Betrachtung und Auswertung der Trennung zweier Komponenten in einem Chromatogramm ist die Auflösung ein wichtiger Parameter. Rs, die die Austrittszeiten und Peakbreiten der beiden getrennten Komponenten in Beziehung setzt

Die Auflösung als ein die Trennung von Peaks charakterisierender Parameter nimmt zu, wenn die Selektivität zunimmt, was sich in einer Zunahme des Zählers widerspiegelt, und die Effizienz, die sich in einer Abnahme des Nennerwerts aufgrund einer Abnahme der Breite der Peaks widerspiegelt, zunimmt. Daher führte der rasante Fortschritt der Flüssigkeitschromatographie zu einer Änderung des Begriffs „Hochdruck-Flüssigkeitschromatographie“ – er wurde durch „Hochleistungs-Flüssigkeitschromatographie“ ersetzt (wobei die abgekürzte Schreibweise des Begriffs im Englischen beibehalten wurde HPLC als die zutreffendste Charakterisierung der Entwicklungsrichtung der modernen Flüssigkeitschromatographie).

Daher wird das Auswaschen der Säule reduziert und die Effizienz erhöht, wenn feineres, gleichmäßigeres (enger Schnitt) Sorbens, dichter und gleichmäßiger in der Säule gepackt, dünnere gebundene Phasen, weniger viskose Lösungsmittel und optimale Flussraten verwendet werden.

Neben dem Verschmieren der chromatographischen Zonenbande während der Trennung in der Säule kann es jedoch auch in der Probeninjektionsvorrichtung, in den Verbindungskapillaren Injektor-Säule und Säule-Detektor, in der Detektorzelle und in einigen Hilfsgeräten verschmiert werden ( Mikrofilter zum Einfangen mechanischer Partikel aus Proben, die nach dem Injektor installiert sind, Vorsäulen, Reaktorspulen usw.) - Die Unschärfe ist umso größer, je größer das Extrasäulenvolumen im Vergleich zum zurückgehaltenen Volumen des Peaks ist. Es spielt auch eine Rolle, wo sich das Totvolumen befindet: Je schmaler der chromatographische Call, desto unschärfer wird das Totvolumen. Daher sollte dem Design des Teils des Chromatographen, wo die chromatographische Zone am engsten ist (der Injektor und die Geräte vom Injektor bis zur Säule), besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden – hier ist das Ausschmieren außerhalb der Säule am gefährlichsten und wirkt sich am stärksten aus am meisten. Obwohl man davon ausgeht, dass bei gut konstruierten Chromatographen Quellen für zusätzliches Verschmieren außerhalb der Säule minimiert werden sollten, muss dennoch jedes neue Gerät, jede Änderung des Chromatographen zwangsläufig mit dem Testen der Säule und dem Vergleich des erhaltenen Chromatogramms enden der Pass ein. Wenn eine Spitzenverzerrung, ein starker Abfall der Effizienz, beobachtet wird, sollten Kapillaren und andere neu in das System eingeführte Geräte sorgfältig inspiziert werden.

Out-of-Column Smearing und seine Fehleinschätzung können zu einem erheblichen (über 50 %) Effizienzverlust führen, insbesondere wenn versucht wird, relativ alte Chromatographen für Hochgeschwindigkeits-HPLC, Mikrosäulen-HPLC und andere moderne HPLC-Anwendungen zu verwenden, die Mikroinjektoren erfordern , Verbindungskapillaren mit Innendurchmesser von 0,05-0,15 mm von minimaler Länge, Säulen mit einer Kapazität von 10-1000 µl, Detektoren mit Mikroküvetten mit einer Kapazität von 0,03-1 µl und mit Hochgeschwindigkeits-, Hochgeschwindigkeits-Recordern und Integratoren.

1.2. LÖSUNGSMITTELHALT UND STÄRKE

Damit die Analyten auf der Säule getrennt werden können, ist, wie oben erwähnt, der Kapazitätsfaktor k" muss größer 0 sein, d.h. die Substanzen müssen von der stationären Phase, dem Sorbens, zurückgehalten werden. Der Kapazitätsfaktor sollte jedoch nicht zu groß sein, um eine akzeptable Elutionszeit zu erhalten. Wird für ein gegebenes Stoffgemisch eine stationäre Phase gewählt, die diese hält, dann besteht die weitere Arbeit an der Entwicklung eines Analyseverfahrens darin, ein Lösungsmittel zu wählen, das im Idealfall für alle Komponenten unterschiedlich, aber vertretbar wenig liefert groß k". Dies wird durch Veränderung der Elutionsstärke des Lösungsmittels erreicht.

Bei der Adsorptionschromatographie an Kieselgel oder Aluminiumoxid wird in der Regel die Stärke eines Zweikomponenten-Lösungsmittels (z. B. Hexan mit Zusatz von Isopropanol) erhöht, indem der Gehalt an der polaren Komponente (Isopropanol) darin erhöht wird , oder durch Verringerung des Gehalts an Isopropanol verringert werden. Wenn der Gehalt der polaren Komponente zu niedrig wird (weniger als 0,1 %), sollte sie durch eine schwächere Elutionsstärke ersetzt werden. Dasselbe wird gemacht, indem entweder die polare oder nicht-polare Komponente durch andere ersetzt wird, selbst wenn das gegebene System nicht die gewünschte Selektivität in Bezug auf die Komponenten der interessierenden Mischung bereitstellt. Bei der Auswahl von Lösungsmittelsystemen werden sowohl die Löslichkeiten der Mischungskomponenten als auch die von verschiedenen Autoren zusammengestellten eluotropen Reihen von Lösungsmitteln berücksichtigt.

In etwa gleicher Weise wird die Stärke des Lösungsmittels bei Verwendung gepfropfter polarer Phasen (Nitril, Amino, Diol, Nitro etc.) unter Berücksichtigung möglicher chemischer Reaktionen und Ausschluss von für die Phase gefährlichen Lösungsmitteln (z , Ketone für die Aminophase).

Bei der Umkehrphasenchromatographie wird die Stärke des Lösungsmittels durch Erhöhung des Anteils der organischen Komponente (Methanol, Acetonitril oder THF) im Elutionsmittel erhöht und durch Zugabe von mehr Wasser verringert. Kann die gewünschte Selektivität nicht erreicht werden, wird eine andere organische Komponente verwendet oder versucht, diese mit Hilfe verschiedener Zusätze (Säuren, Ionenpaarreagenzien etc.) zu verändern.

Bei Trennungen durch Ionenaustauschchromatographie wird die Stärke des Lösungsmittels durch Erhöhen oder Verringern der Konzentration der Pufferlösung oder durch Ändern des pH-Werts verändert, in einigen Fällen wird eine Modifizierung mit organischen Substanzen verwendet.

Allerdings ist es gerade bei komplexen natürlichen und biologischen Gemischen oft nicht möglich, die Stärke des Lösungsmittels so zu wählen, dass alle Bestandteile der Probe in akzeptabler Zeit eluiert werden. Dann muss auf eine Gradientenelution zurückgegriffen werden, d. h. ein Lösungsmittel verwendet werden, dessen Elutionsleistung sich während der Analyse ändert, so dass sie nach einem vorgegebenen Programm ständig zunimmt. Diese Technik ermöglicht die Elution aller Komponenten komplexer Gemische in relativ kurzer Zeit und deren Auftrennung in Komponenten in Form schmaler Peaks.

1.3. GRÖSSE, PERMEABILITÄT UND EFFIZIENZ DER SORBENT-PARTIKEL

In Bezug auf die Säulenauswaschung haben wir darauf hingewiesen, dass die Säuleneffizienz (HETP) von der Größe der Sorbenspartikel abhängt. Die rasante Entwicklung der HPLC in den letzten 10-12 Jahren war zu einem großen Teil auf die Entwicklung von Verfahren zur Gewinnung von Sorbentien mit Partikelgrößen von 3 bis 10 μm und mit einer engen Fraktionszusammensetzung zurückzuführen, die eine hohe Effizienz bieten mit gute Durchlässigkeit, zweitens die Entwicklung von Methoden zur Befüllung von Säulen mit diesen Sorbentien und drittens die Entwicklung und Serienfertigung von Flüssigkeitschromatographen mit für hohe Drücke ausgelegten Pumpen, Injektoren und Detektoren mit kleinvolumigen Küvetten, die kleine Volumenpeaks registrieren können.

Bei gut gepackten Slurry-Säulen kann die theoretische Bodenäquivalenthöhe (REHP) 2 betragen, unabhängig davon, ob Partikel mit 3, 5, 10 oder 20 µm zum Packen verwendet wurden. In diesem Fall erhalten wir Säulen (mit einer Standardlänge von 250 mm) mit einer Effizienz von 41670, 25000, 12500 und 6250 Tonnen. Es liegt auf der Hand, die effizienteste Säule zu wählen, die mit 3-µm-Partikeln gepackt ist. Diese Effizienz geht jedoch auf Kosten des Betriebs bei sehr hohen Drücken und einer relativ langsamen Trenngeschwindigkeit, da die verfügbare Pumpe wahrscheinlich in der Lage ist, das Lösungsmittel mit einer hohen Raumgeschwindigkeit durch eine solche Säule zu pumpen. Hier stellt sich die Frage nach dem Zusammenhang zwischen der Partikelgröße des Sorbens, der Effizienz und Permeabilität der Säulen.

Wenn wir von hier aus den Widerstandsfaktor der Säule ausdrücken - einen dimensionslosen Wert, erhalten wir die folgende Gleichung:

Der Widerstandsfaktor für Säulen, die nach der gleichen Methode mit Mikropartikeln des gleichen Typs gepackt werden, ändert sich unwesentlich und beträgt folgende Werte:

Partikelansicht"....Unregelmäßig kugelförmig

formular formular

Trockene Verpackung. . . . . 1000-2000 800-1200

Suspensionsverpackung. . . 700-1500 500-700

Der Säuleneinlassdruck ist proportional zur linearen Flussrate, zum Säulenwiderstandsfaktor, zur Lösungsmittelviskosität und zur Säulenlänge und umgekehrt proportional zum Quadrat des Partikeldurchmessers.

Wendet man diese Abhängigkeit für die obigen Säulen mit Partikeln mit einem Durchmesser von 3, 5, 10 und 20 μm an und nimmt man eine konstante lineare Strömungsgeschwindigkeit, einen konstanten Säulenwiderstandsfaktor und eine konstante Lösungsmittelviskosität an, erhält man ein Eingangsdruckverhältnis von 44:16:4:1 für Spalten gleicher Länge. Wird also für ein Reverse-Phase-Sorbens mit einer Partikelgröße von 10 µm bei Verwendung von Lösungsmittelsystemen Methanol - . Wasser (70:30) befindet sich normalerweise auf einer Standardsäule mit einer Lösungsmittelflussrate von 1 ml / min, der Druck am Einlass der Säule beträgt 5 MPa, dann für Partikel von 5 Mikron – 20 MPa und für 3 Mikron – 55 MPa. Bei Verwendung von Kieselgel und einem weniger viskosen Lösungsmittelsystem Hexan - Isopropanol (100:2) sind die Werte deutlich niedriger: 1, 4 bzw. 11 MPa. Wenn bei einem Reversed-Phase-Sorbens die Verwendung von Partikeln mit einer Größe von 3 µm sehr problematisch ist und 5 µm möglich sind, aber nicht bei allen Geräten, dann gibt es bei einem Normal-Phasen-Sorbens keine Druckprobleme. Es sollte beachtet werden, dass moderne Hochgeschwindigkeits-HPLC typischerweise eine höhere Lösungsmittelflussrate als im obigen Beispiel verwendet, sodass die Druckanforderungen noch weiter steigen.

In den Fällen jedoch, in denen die Trennung eine bestimmte Anzahl theoretischer Böden erfordert und eine Geschwindigkeitsanalyse durchgeführt werden soll, ändert sich das Bild etwas. Da die Länge der Säulen mit Sorbentien mit einer Korngröße von 3, 5, 10 Mikrometern bei gleicher Effizienz jeweils 7,5 beträgt; 12,5 und 25 cm, dann ändert sich das Druckverhältnis am Säuleneingang auf 3,3:2:1. Dementsprechend wird die Analysedauer auf solchen Säulen mit gleicher Effizienz mit 0,3:0,5:1 in Beziehung gesetzt, d. h. beim Übergang von 10 auf 5 und 3 μm wird die Analysedauer um das 2- und 3,3-fache verkürzt. Diese schnellere Analyse wird mit einem proportional höheren Säuleneinlassdruck erkauft.

Die angegebenen Daten gelten für die Fälle, in denen Sorbentien unterschiedlicher Körnung die gleichen Korngrößenverteilungskurven haben, die Säulen gleich gepackt sind und den gleichen Säulenwiderstandsfaktor haben. Es ist zu beachten, dass die Schwierigkeit, enge Fraktionen des Sorptionsmittels zu erhalten, mit abnehmender Partikelgröße zunimmt und dass. Fraktionen verschiedener Hersteller haben eine unterschiedliche Fraktionszusammensetzung. Daher variiert der Säulenwiderstandsfaktor je nach Korngröße, Sorbenstyp, Säulenpackungsmethode usw.

KLASSIFIZIERUNG VON HPLC-METHODEN NACH TRENNUNGSMECHANISMUS

Die meisten durch HPLC durchgeführten Trennungen basieren auf einem gemischten Mechanismus der Wechselwirkung von Substanzen mit einem Sorbens, der eine mehr oder weniger große Retention von Komponenten in der Säule gewährleistet. Trennmechanismen in mehr oder weniger reiner Form sind in der Praxis eher selten, beispielsweise adsorptiv, wenn absolut wasserfreies Kieselgel und wasserfreies Hexan zur Abtrennung aromatischer Kohlenwasserstoffe verwendet werden.

Mit einem gemischten Retentionsmechanismus für Substanzen mit unterschiedlichen Strukturen und Molekulargewichten ist es möglich, den Beitrag von Adsorption, Verteilung, Ausschluss und anderen Mechanismen zur Retention zu bewerten. Für ein besseres Verständnis und Verständnis von Trennungsmechanismen in der HPLC ist es jedoch ratsam, Trennungen mit einem Vorherrschen des einen oder anderen Mechanismus in Bezug auf eine bestimmte Art von Chromatographie zu betrachten, beispielsweise die Ionenaustauschchromatographie.

2.1.1 ADSORPTION CHROMATOGRAPHIE

Die Trennung durch Adsorptionschromatographie erfolgt durch die Wechselwirkung einer Substanz mit Adsorptionsmitteln wie Kieselgel oder Aluminiumoxid, die an der Oberfläche aktive Zentren aufweisen. Der Unterschied in der Fähigkeit, mit den Adsorptionszentren verschiedener Probenmoleküle zu interagieren, führt zu ihrer Aufteilung in Zonen, während sie sich mit der mobilen Phase durch die Säule bewegen. Die dabei erreichte Trennung der Komponentenzonen hängt von der Wechselwirkung sowohl mit dem Lösungsmittel als auch mit dem Adsorbens ab.

Die Sorption an der Oberfläche eines Adsorptionsmittels mit Hydroxylgruppen beruht auf einer spezifischen Wechselwirkung zwischen der polaren Oberfläche des Adsorptionsmittels und polaren (oder polarisierbaren) Gruppen oder Molekülbereichen. Solche Wechselwirkungen umfassen die Dipol-Dipol-Wechselwirkung zwischen permanenten oder induzierten Dipolen, die Bildung einer Wasserstoffbrücke bis hin zur Bildung von n-Komplexen oder Charge-Transfer-Komplexen. Möglich und in der praktischen Arbeit ziemlich häufig ist die Manifestation einer Chemisorption, die zu einer signifikanten Verlängerung der Retentionszeit, einer starken Abnahme der Effizienz, dem Auftreten von Zersetzungsprodukten oder einer irreversiblen Sorption der Substanz führen kann.

Adsorptionsisothermen von Stoffen haben eine lineare, konvexe oder konkave Form. Bei einer linearen Adsorptionsisotherme ist der Peak der Substanz symmetrisch und die Retentionszeit hängt nicht von der Probengröße ab. Meistens sind Adsorptionsisothermen von Substanzen nichtlinear und haben eine konvexe Form, was zu einer gewissen Asymmetrie des Peaks mit der Bildung eines Schwanzes führt.

Kieselgel-Adsorptionsmittel mit unterschiedlichen Porenvolumina, Oberflächen und Porendurchmessern finden die größte Anwendung in der HPLC. Aluminiumoxid wird viel seltener verwendet und äußerst selten andere Adsorptionsmittel, die in der klassischen Säulen- und Dünnschichtchromatographie weit verbreitet sind. Der Hauptgrund dafür ist die unzureichende mechanische Festigkeit der meisten anderen Adsorbentien, die es ihnen nicht erlaubt, verpackt und bei erhöhten Drücken verwendet zu werden, die für Hochdruckflüssigkeiten typisch sind.

Die für die Adsorption verantwortlichen polaren Gruppen, die sich auf der Oberfläche von Kieselgel und Aluminiumoxid befinden, haben ähnliche Eigenschaften. Daher sind bei Stoffgemischen meist die Reihenfolge der Elution und die eluotrope Reihe der Lösungsmittel gleich. Der Unterschied in der chemischen Struktur von Kieselgel und Aluminiumoxid führt jedoch manchmal zu Unterschieden in der Selektivität – dann wird dem einen oder anderen Adsorptionsmittel der Vorzug gegeben, das für diese spezielle Aufgabe besser geeignet ist. Beispielsweise liefert Aluminiumoxid eine größere Selektivität bei der Trennung bestimmter polycyclischer aromatischer Kohlenwasserstoffe.

Die üblicherweise gegebene Bevorzugung von Kieselgel gegenüber Aluminiumoxid liegt an der größeren Auswahl an Kieselgelen hinsichtlich Porosität, Oberfläche und Porendurchmesser sowie an der deutlich höheren katalytischen Aktivität von Aluminiumoxid, die häufig zu einer Verfälschung der Analyseergebnisse führt aufgrund der Zersetzung von Probenbestandteilen oder deren irreversibler Chemisorption.

2.1.2 Nachteile der Adsorptionschromatographie, die ihren Einsatz einschränken

Die Popularität der Adsorptionschromatographie hat mit der Entwicklung der HPLC-Methode allmählich abgenommen, sie wurde zunehmend ersetzt und wird weiterhin durch andere Optionen ersetzt, wie z. B. Umkehrphasen- und Normalphasen-HPLC an gebundenen Phasen-Sorbentien. Welche Nachteile der Adsorptionschromatographie führten dazu?

Dies sind vor allem die lange Dauer der Verfahren zur Bilanzierung von Adsorbentien mit Lösungsmitteln, die Wasser in Spurenmengen enthalten, die Schwierigkeit, solche Lösungsmittel mit einem bestimmten und reproduzierbaren Feuchtigkeitsgehalt herzustellen. Dies führt zu einer schlechten Reproduzierbarkeit der Retentions-, Auflösungs- und Selektivitätsparameter. Aus dem gleichen Grund ist eine Gradientenelution nicht möglich – die Rückkehr zum Ausgangszustand ist so lang, dass sie den Zeitgewinn durch die Verwendung eines Gradienten deutlich übersteigt.

Auch die erheblichen Nachteile von Adsorbentien, insbesondere von Aluminiumoxid, verbunden mit häufigen Umlagerungen katalyseempfindlicher Verbindungen, deren Zersetzung, irreversibler Sorption, sind hinlänglich bekannt und wurden in der Literatur wiederholt erwähnt. Irreversibel adsorbierende Substanzen, die sich im Anfangsabschnitt der Säule ansammeln, verändern die Beschaffenheit des Sorptionsmittels, können zu einer Erhöhung des Widerstands der Säule oder sogar zu ihrer vollständigen Verstopfung führen. Der letzte Nachteil kann durch die Verwendung einer Vorsäule beseitigt werden, die an- bei zunehmendem Widerstand und zunehmender Verstopfung wird es durch ein neues * ersetzt oder mit einem neuen Sorptionsmittel nachgefüllt. Die auch hier stattfindende irreversible Sorption führt jedoch zu einem Chromatogramm, in dem die für Sorption oder katalytische Zersetzung empfindlichen Probenbestandteile ganz oder teilweise fehlen.

2.2. VERTEILUNGSCHROMATOGRAPHIE

Die Verteilungschromatographie ist eine Variante der HPLC, bei der die Auftrennung eines Gemisches in Komponenten aufgrund des Unterschieds ihrer Verteilungskoeffizienten zwischen zwei nicht mischbaren Phasen erfolgt: einem Lösungsmittel (mobile Phase) und einer Phase auf einem Sorbens (stationäre Phase). Historisch gesehen waren die ersten Sorbentien dieser Art, die durch Aufbringen flüssiger Phasen (Oxydipropionitril, Paraffinöl usw.) auf poröse Träger erhalten wurden, ähnlich wie Sorbentien für die Gas-Flüssigkeits-Chromatographie (GLC) hergestellt wurden und hergestellt werden. Allerdings wurden Mängel solcher Sorptionsmittel sofort aufgedeckt, von denen der Hauptgrund das relativ schnelle Abwaschen der Phase vom Träger war. Dadurch nahm die Phasenmenge in der Säule allmählich ab, die Retentionszeiten nahmen ebenfalls ab und Adsorptionszentren, die nicht von der Phase bedeckt waren, traten im Anfangsabschnitt der Säule auf, was die Bildung von Peak-Tails verursachte. Dieser Nachteil wurde überwunden, indem das Lösungsmittel mit der geträgerten Phase gesättigt wurde, noch bevor es in die Säule eintrat. Die Verschleppung nahm auch ab, wenn viskosere und weniger lösliche Polymerphasen verwendet wurden, jedoch wurde in diesem Fall aufgrund der schwierigen Diffusion aus dicken Polymerfilmen die Effizienz der Säulen deutlich reduziert.

Es stellte sich als logisch heraus, die flüssige Phase durch chemische Bindungen so auf den Träger aufzupfropfen, dass ihre Mitnahme physikalisch unmöglich wird, also Träger und Phase zu einem Ganzen zu machen – zur sogenannten Grafted-Phase Sorptionsmittel.

In Zukunft richteten sich die Bemühungen der Forscher auf die Suche nach Reagenzien, deren Pfropfung recht schnell und vollständig ablaufen würde und die gebildeten Bindungen so stabil wie möglich wären. Bei diesen Reagenzien handelte es sich um Alkylchlorsilane und ihre Derivate, die es ermöglichten, Pfropfphasen-Sorbentien verschiedener Art und mit unterschiedlichen polaren und unpolaren Gruppen auf der Oberfläche unter Verwendung einer ähnlichen Technologie zu erhalten.

Die erfolgreiche Verwendung des letztgenannten Typs von Sorbentien für HPLC trug zum Wachstum ihrer Produktion durch verschiedene Hersteller bei. Jedes Unternehmen produzierte solche Sorptionsmittel in der Regel auf der Basis einer eigenen Kieselgelsorte und nach einer eigenen Technologie, die in der Regel das „Know-how“ der Produktion darstellt. Infolgedessen haben eine Vielzahl von Sorbentien, die chemisch genau gleich bezeichnet werden (z. B. Kieselgel mit gepfropftem Octadecylsilan), sehr unterschiedliche chromatographische Eigenschaften. Dies liegt an der Tatsache, dass Kieselgel breitere oder engere Poren, unterschiedliche Oberflächen, Porositäten, seine Oberfläche vor dem Pfropfen hydroxyliert sein kann oder nicht, Mono-, Di- oder Trichlorsilane gepfropft werden können, Pfropfbedingungen monomere, polymere oder ergeben können gemischtes Phasenbett, verschiedene Methoden zum Entfernen restlicher Reagenzien werden verwendet, zusätzliche Desaktivierung von Silanol und anderen aktiven Gruppen kann verwendet werden oder nicht.

Die Komplexität der Technologie zum Pfropfen von Reagenzien und zum Vorbereiten von Rohmaterialien und Materialien, ihre mehrstufige Natur führt dazu, dass sogar Chargen von Sorbentien, die unter Verwendung derselben Technologie von demselben Hersteller erhalten wurden, leicht unterschiedliche chromatographische Eigenschaften aufweisen können. Dies gilt insbesondere dann, wenn solche Sorbentien zur Analyse von Mehrkomponentengemischen verwendet werden, die Substanzen enthalten, die sich in Anzahl und Position funktioneller Gruppen sowie in der Art der Funktionalität deutlich unterscheiden.

Vor diesem Hintergrund sollte stets darauf geachtet werden, * dass bei Verwendung der in der Literatur beschriebenen Analysenmethode das gleiche Sorbens und die gleichen Betriebsbedingungen verwendet werden. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Werk nicht reproduziert werden kann, minimal. Ist dies nicht möglich und wird ein Sorbens eines anderen Herstellers mit ähnlicher gebundener Phase genommen, muss man sich darauf einstellen, dass eine langwierige Überarbeitung der Methodik erforderlich ist. Gleichzeitig besteht die Möglichkeit (und sollte berücksichtigt werden), dass die erforderliche Trennung auf diesem Sorbens auch nach langer Entwicklung nicht erreicht wird. Das Vorhandensein vieler beschriebener Trennverfahren an lang produzierten alten Sorbentien in der Literatur regt aus diesem Grund deren weitere Produktion und Verwendung an. In den Fällen, in denen es jedoch erforderlich ist, mit der Entwicklung von Originalmethoden fortzufahren, insbesondere in Bezug auf Substanzen, die zur Zersetzung, Chemisorption und Umlagerung neigen, ist es ratsam, mit der Arbeit an kürzlich entwickelten und neu hergestellten Sorbentien zu beginnen , verbesserte Versionen der Technologie. Die neuen Sorbentien haben eine gleichmäßigere Fraktionszusammensetzung, eine gleichmäßigere und vollständigere Bedeckung der Oberfläche durch die gebundene Phase und fortgeschrittenere Endstufen der Sorbensverarbeitung.

2.3. Ionenaustausch-Chromatographie

Bei der Ionenaustausch-Chromatographie wird die Trennung von Gemischbestandteilen durch die reversible Wechselwirkung ionisierbarer Substanzen mit den ionischen Gruppen des Sorptionsmittels erreicht. Die Wahrung der elektrischen Neutralität des Sorptionsmittels wird durch das Vorhandensein von zum Ionenaustausch befähigten Gegenionen in unmittelbarer Nähe zur Oberfläche gewährleistet. Das mit der festen Ladung des Sorbens wechselwirkende Ion der eingebrachten Probe wird gegen das Gegenion ausgetauscht. Substanzen mit unterschiedlicher Affinität zu festen Ladungen werden an Anionenaustauschern oder an Kationenaustauschern getrennt Anionenaustauscher haben positiv geladene Gruppen an der Oberfläche und sorbieren Anionen aus der mobilen Phase bzw. Kationenaustauscher enthalten Gruppen mit negativer Ladung, die mit Kationen wechselwirken .

Als mobile Phase werden wässrige Lösungen von Salzen von Säuren, Basen und Lösungsmitteln wie flüssigem Ammoniak verwendet, also Lösungsmittelsysteme mit einer hohen Dielektrizitätskonstante e und einer hohen Tendenz zur Ionisierung von Verbindungen.Meistens wird mit Pufferlösungen gearbeitet, die eine Einstellung der PH Wert.

Während der chromatographischen Trennung konkurrieren die Ionen des Analyten mit den im Eluenten enthaltenen Ionen, indem sie versuchen, mit entgegengesetzt geladenen Gruppen des Sorbens in Wechselwirkung zu treten. Daraus folgt, dass die Ionenaustauschchromatographie verwendet werden kann, um beliebige Verbindungen zu trennen, die auf irgendeine Weise ionisiert werden können. Auch neutrale Zuckermoleküle können in Form ihrer Komplexe mit dem Boration analysiert werden:

Zucker + IN 3 2 - \u003d Zucker - IN 3 2 -.

Die Ionenaustauschchromatographie ist unverzichtbar für die Trennung hochpolarer Substanzen, die ohne Umwandlung in Derivate nicht durch GLC analysiert werden können. Diese Verbindungen umfassen Aminosäuren, Peptide, Zucker.

Die Ionenaustauschchromatographie wird häufig in der Medizin, Biologie, Biochemie, zur Umweltkontrolle, bei der Analyse des Inhalts von Drogen und ihren Metaboliten in Blut und Urin, von Pestiziden in Lebensmittelrohstoffen sowie zur Trennung von anorganischen Verbindungen verwendet. einschließlich Radioisotope, Lanthanide, Aktinide usw. Die Analyse von Biopolymeren (Proteinen, Nukleinsäuren usw.), die normalerweise Stunden oder Tage dauerte, mit Ionenaustauschchromatographie wird in 20-40 Minuten mit besserer Trennung durchgeführt. Die Verwendung der Ionenaustauschchromatographie in der Biologie hat es ermöglicht, Proben direkt in biologischen Medien zu beobachten, wodurch die Möglichkeit einer Umlagerung oder Isomerisierung verringert wird, was zu einer Fehlinterpretation des Endergebnisses führen kann. Es ist interessant, diese Methode zu verwenden, um Veränderungen in biologischen Flüssigkeiten zu kontrollieren. Die Verwendung von schwachen Anionenaustauschern auf Basis von porösem Kieselgel ermöglichte die Trennung der Peptide. v

Der Ionenaustauschmechanismus kann durch die folgenden Gleichungen dargestellt werden:

zum Anionenaustausch

X-+R+Y- h ->■ Y-+R+X-.

für den Kationenaustausch |

X+ + R-Y+ h=* Y++R-X+.

Im ersten Fall konkurriert das Probenion X~ mit dem Laufmittelion Y~ um die Ionenzentren R+ des Ionenaustauschers und im zweiten Fall konkurrieren die Kationen der Probe X+ mit den Laufmittelionen Y+ um die Ionen Zentren R~.

Natürlich werden Probenionen, die schwach mit dem Ionenaustauscher wechselwirken, während dieser Konkurrenz schwach auf der Säule zurückgehalten und zuerst aus dieser ausgewaschen, und umgekehrt werden stärker zurückgehaltene Ionen als letzte von der Säule eluiert. Normalerweise treten BTqpH4Hbie-Wechselwirkungen nichtionischer Natur aufgrund von Adsorption oder Wasserstoffbindung der Probe mit dem nichtionischen Teil der Matrix oder aufgrund der begrenzten Löslichkeit der Probe in der mobilen Phase auf. Es ist schwierig, die "klassische" Ionenaustauschchromatographie in ihrer "reinen" Form zu unterscheiden, und daher gehen einige Chromatographen eher von empirischen als von theoretischen Mustern in der Ionenaustauschchromatographie aus.

Die Trennung bestimmter Substanzen hängt in erster Linie von der Wahl des am besten geeigneten Sorbens und der mobilen Phase ab. Als stationäre Phasen in der Ionenaustauschchromatographie werden Ionenaustauscherharze und Kieselgele mit gepfropften ionogenen Gruppen verwendet.

2.4. GRÖSSENCHROMATOGRAPHIE

Einschlusschromatographie ist eine Option! Flüssigkeitschromatographie, bei der die Trennung aufgrund der Verteilung von Molekülen zwischen dem Lösungsmittel in den Poren des Sorbens und dem fließenden Lösungsmittel erfolgt " zwischen seinen Partikeln.

Im Gegensatz zu anderen HPLC-Optionen, bei denen die Trennung geht Aufgrund der unterschiedlichen Wechselwirkung der Komponenten mit der Oberfläche des Sorbens besteht die Rolle des festen Füllstoffs in der Größenausschlusschromatographie nur in der Bildung von Poren einer bestimmten Größe, und die stationäre Phase ist das Lösungsmittel, das diese Poren füllt. Daher ist die Verwendung des Begriffs "Sorbens" für diese Füllstoffe etwas bedingt.

Das Hauptmerkmal der Methode ist die Möglichkeit, Moleküle nach ihrer Größe in Lösung im Bereich fast jedes Molekulargewichts zu trennen - von 10 2 bis 10 8 , was sie für die Untersuchung von synthetischen Polymeren und Biopolymeren unverzichtbar macht.

Traditionell wird der in organischen Lösungsmitteln durchgeführte Prozess noch oft als Gelpermeationschromatographie und in wässrigen Systemen als Gelfiltrationschromatographie bezeichnet. In diesem Buch wird für beide Optionen ein einziger Begriff verwendet, der aus dem englischen "Size Exclusion" stammt - eine Ausnahme nach Größe - und den Mechanismus des Prozesses am besten widerspiegelt.

In Monographien wird eine detaillierte Analyse bestehender Vorstellungen über eine sehr komplexe Theorie des Prozesses der Größenausschlusschromatographie durchgeführt.

Gesamtvolumen des Lösungsmittels in der Säule Vt (es wird oft als Gesamtvolumen der Säule bezeichnet, da Vd nimmt nicht am chromatographischen Prozess teil) ist die Summe der Volumina der mobilen und stationären Phase.

Die Retention von Molekülen in einer okklusiven Säule wird durch die Wahrscheinlichkeit ihrer Diffusion in Poren bestimmt und hängt vom Verhältnis der Größen von Molekülen und Poren ab, was schematisch in Abb. 2.15. Verteilungskoeffizient Ka, wie bei anderen Varianten der Chromatographie ist es das Verhältnis der Konzentrationen einer Substanz in stationärer und mobiler Phase.

Da also mobile und stationäre Phase die gleiche Zusammensetzung haben kd Substanz, der beide Phasen gleichermaßen zugänglich sind, ist gleich Einheit. Diese Situation ist für C-Moleküle kleinster Größe (einschließlich Lösungsmittelmoleküle) realisiert, die in alle Poren eindringen (siehe Abb. 2.15) und sich daher am langsamsten durch die Säule bewegen. Ihr zurückgehaltenes Volumen ist gleich dem Gesamtvolumen des Lösungsmittels Vt-

Reis. 2.15. Modell der Trennung von Molekülen nach Maß in der Größenausschlusschromatographie

Alle Moleküle, die größer als die Porengröße des Sorptionsmittels sind, können nicht in sie eindringen (vollständiger Ausschluss) und die Kanäle zwischen den Partikeln passieren. Sie eluieren von der Säule mit dem gleichen Retentionsvolumen wie das Volumen der mobilen Phase V 0 – Der Verteilungskoeffizient für diese Moleküle ist Null.

Moleküle mittlerer Größe, die nur einen Teil der Poren durchdringen können, werden entsprechend ihrer Größe in der Säule zurückgehalten. Der Verteilungskoeffizient dieser Moleküle variiert von null bis eins und stellt den für Moleküle einer gegebenen Größe verfügbaren Anteil des Porenvolumens dar. Ihr zurückgehaltenes Volumen wird durch die Summe aus Yo und dem zugänglichen Teil des Porenvolumens bestimmt.

QUALITATIVE ANALYSE

Ein Chromatographer, der auf dem Gebiet der Hochleistungsflüssigkeitschromatographie zu arbeiten beginnt, sollte mit den Grundlagen der qualitativen Analyse vertraut sein. Die qualitative Analyse wird verwendet, um ein bekanntes Produkt zu identifizieren, das auf neue Weise gewonnen oder mit anderen Produkten gemischt wurde Einige medizinische chemische Produkte und ihre Metaboliten in bioml.terials... "Vertrautheit mit den Grundlagen der qualitativen" Analyse hilft, häufige Fehler zu vermeiden, zum Beispiel / Verunreinigungen in einer Probe von Verunreinigungen in einem Lösungsmittel unterscheiden oder die Reinheit einer Substanz an mehr als einem Wellenlängen-Spektrophotometer überprüfen, aber an verschiedenen usw.

Bevor Sie mit der Analyse fortfahren, muss festgestellt werden, ob die gesamte Probe durch dieses Lösungsmittelsystem von der Säule eluiert wird oder nicht. Um eine vollständige Elution sicherzustellen, ist es notwendig, die gesamte aus der Säule fließende Flüssigkeit zu sammeln, das Lösungsmittel zu verdampfen, den Rückstand zu wiegen und die Probenrückgewinnung zu finden.

Die Identifizierung von Komponenten in der HPLC kann auf drei Arten erfolgen: 1) Verwendung von Retentionsinformationen; 2) Untersuchen der durch Trennung erhaltenen Zonen in einer Flüssigchromatographiesäule unter Verwendung von spektralen oder chemischen Analysemethoden; 3) Verbinden Sie den Spektrumanalysator direkt mit der Säule.

Das Retentionsvolumen wird verwendet, um Peaks in der Chromatographie zu registrieren VR oder Haltezeit t R. Beide Werte sind ein Merkmal einer Substanz in einem bestimmten chromatographischen System. Da sich die Verweilzeit des zu trennenden Stoffes aus der Wechselwirkungszeit in der Säule und der Durchgangszeit durch die Leerstellen des Röhrchens zusammensetzt, ist sie von Gerät zu Gerät unterschiedlich. Es ist zweckmäßig, eine Substanz, die von dieser Säule nicht zurückgehalten wird, als Standard zu nehmen, deren Retentionszeit und -volumen t 0 , V o. Die Chromatographie von Substanz und Standard muss unter gleichen Bedingungen (Druck und Durchfluss) durchgeführt werden. Bei der Identifizierung durch Retentionsdaten werden bekannte Einzelsubstanzen, die möglicherweise in den Proben vorhanden sind, im selben chromatographischen System getrennt und Werte für sie erhalten. t R. Vergleich dieser Werte t R mit der Retentionszeit eines unbekannten Peaks kann man feststellen, dass sie entweder zusammenfallen, wobei die Peaks in diesem Fall wahrscheinlich derselben Substanz entsprechen, oder t R bekannte Substanz stimmt nicht überein t R unbekannte Zone. Dann ist es noch möglich, die Werte abzuschätzen t R Substanzen, die für eine direkte Messung ihrer Retention nicht verfügbar sind. Betrachten wir beide Optionen.

Im ersten Fall ist natürlich eine Voruntersuchung der Probe notwendig, um das Vorhandensein bestimmter Substanzen darin zu postulieren. Beim Arbeiten mit einfachen Mischungen lässt sich leicht feststellen, ob der Retentionsgrad der Zonen der Probe und bekannter Substanzen übereinstimmt oder nicht, also die Werte tB gleich oder verschieden sind. Bei komplexen Gemischen können mehrere Substanzen mit ähnlichen Werten auf einmal eluiert werden. t R, und die tatsächlich durch chromatographische Trennung erhaltenen Zonen überlappen. Als Ergebnis erhalten Sie genaue Werte t R für verschiedene Zonen wird unmöglich. Die Zuverlässigkeit der Identifizierung steigt mit zunehmender Auflösung, sorgfältigerer Kontrolle der Trennbedingungen, wiederholter Messung von Werten t R und Mitteln der gefundenen Werte. Dabei sollte sich die chromatographische Trennung bekannter und unbekannter Substanzen abwechseln. Beim Trennen komplexer Gemische ist der Wert t R Substanzen können sich unter dem Einfluss der Matrix der Probe selbst verändern. Ein solcher Effekt ist zu Beginn des Chromatogramms und bei Überlappung von Peaks möglich; Auch eine Zonenstraffung ist, wie bereits erwähnt, möglich.

In solchen Fällen sollte der Standard im Verhältnis 1 : 1 zur Probe gegeben werden, bei identischen Substanzen der Wert t R das Ausgangsmaterial ändert sich nicht, und auf dem Chromatogramm wird nur ein Peak erhalten. Wenn es sich um ein Gerät mit zyklischem Chromatographiesystem handelt, ist es zur sicheren Identifizierung wünschenswert, das Gemisch mehrmals durch die Säule zu führen.

Angaben zum Retentionsgrad finden sich auch in der Literatur, allerdings ist der Aussagewert dieser Angaben begrenzt. Da Säulen auch nur einer Charge eine schlechte Reproduzierbarkeit ergeben, entsprechen literarische Werte nicht immer dem wahren Wert. t R auf dieser Spalte. Für die Adsorptionschromatographie ist jedoch eine Vorhersage möglich t R basierend auf Literaturangaben. Eine weitere Schwierigkeit, die mit der Verwendung literarischer Bedeutungen verbunden ist t R, - die Schwierigkeit, sie in der Fachliteratur zu finden, obwohl die im Journal of Chromatography veröffentlichten bibliographischen Übersichten ein aktualisiertes Verzeichnis der Substanztypen enthalten.

Im zweiten Fall, wenn die Retentionszeiten bekannter Verbindungen und Probenzonen nicht übereinstimmen, ist es möglich, die Retentionszeit einer unbekannten Komponente vorherzusagen. Relative Retentionsvorhersagen basierend auf Strukturdaten in der 3D-Chromatographie sind ziemlich zuverlässig. Sie sind weniger genau bei Adsorption, Verteilungschromatographie und insbesondere beim Arbeiten an einer chemisch gebundenen Phase. Für die Ionen- und Ionenpaar-Chromatographie von Substanzen mit bekanntem p Ka es sind nur ungefähre Werte möglich tR. Es ist immer einfacher, die relative Retention oder den *x-Wert vorherzusagen als absolute Werte. k". Relative Werte t R einfacher für verwandte Verbindungen oder Derivate, wie substituierte Alkylcarbonsäuren oder Benzolderivate, zu bewerten.

Bei der isokratischen Trennung von Homologen oder Oligomeren wird manchmal folgendes Muster beobachtet:

\ gk" = EIN + Mrd,

wo ABER und BEI- Konstanten für eine Reihe ausgewählter Proben und für ein gegebenes chromatographisches System (auf derselben Säule, mit denselben mobilen und stationären Phasen); P ist die Anzahl identischer Struktureinheiten im Probenmolekül.

Die Einführung der funktionellen Gruppe / in das Probenmolekül führt zu einer Änderung k" in der ersten Gleichung durch einen konstanten Koeffizienten a/ in einem gegebenen chromatographischen System. Es ist möglich, Gruppenkonstanten a/ für verschiedene Substituentengruppen / zu erhalten, deren Werte mit zunehmender Polarität der funktionellen Gruppen in allen Arten der Chromatographie zunehmen, außer Umkehrphasen, wo die Werte der Konstanten abnehmen mit zunehmender Polarität.

Einige Gruppenkonstanten a/ für verschiedene Substituentengruppen / sind in der Tabelle angegeben. 9.1.

In der Adsorptionschromatographie ist die erste Gleichung nicht immer anwendbar, da sie gültig ist, solange alle Isomere den gleichen Wert haben k", was nicht immer eingehalten wird. Es ist jedoch möglich, lgfe" der gleichen Verbindungen auf einer Säule gegen lgfe" der gleichen Verbindungen auf einer anderen Säule oder gegen entsprechende Charakteristika in der Dünnschichtchromatographie, z. B. lg[(l- Rf) IRf].

Beim Vergleich von Retentionsdaten können Sie die Werte des Kapazitätsfaktors verwenden k", da drauf, anders t R beeinflussen nicht die Geschwindigkeit der mobilen Phase und die geometrischen Eigenschaften der Säule.

Die Trennung an einer chemisch gebundenen Phase ähnelt der Trennung durch Verteilungschromatographie mit ähnlichen Phasen, und daher können Extraktionsdaten im Gleichgewicht verwendet werden, um die Retentionszeit vorherzusagen.

In der Ionenaustauschchromatographie wird die Retention von drei Faktoren beeinflusst: dem Ionisierungsgrad von Säuren und Basen, der Ladung des ionisierten Moleküls und der Fähigkeit einer Substanz aus der wässrigen mobilen Phase, die in der Ionenaustauschchromatographie verwendet wird, in die organische Phase zu migrieren . Letzteres hängt vom Molekulargewicht der Verbindung und ihrer Hydrophobie ab. Daher werden stärkere Säuren oder Basen bei einer Anionenaustausch- oder Kationenaustauschtrennung stärker zurückgehalten. Mit Abnahme RK ein einer einzelnen Säure, die in der Probe enthalten ist, steigt die Retention während der Trennung einer Reihe von Säuren aufgrund von Anionenaustausch, und mit einem Anstieg von p / C o steigt die Retention von Basen während ihrer Trennung aufgrund von Kationenaustausch.

Somit ermöglicht die Übereinstimmung der Werte der Retentionszeit einer bekannten Substanz mit der beobachteten, ihre Identität anzunehmen. Die Zuverlässigkeit der Identifizierung steigt, wenn die Chromatogramme einer bekannten Substanz und einer unbekannten Komponente unter unterschiedlichen Bedingungen verglichen werden. Verhalten sich die Substanzen bei der Adsorptions- und Umkehrphasen- bzw. Ionenaustausch- und Größenausschlusschromatographie gleich, erhöht sich die Zuverlässigkeit der Identifizierung. Beträgt die Erkennungssicherheit bei gleicher relativer Retention 90 %, dann beträgt die Erkennungssicherheit bei der Untersuchung des Verhaltens gleicher Substanzen unter stark unterschiedlichen Bedingungen bereits 99 %.

Ein wertvolles Merkmal einer zur Identifizierung verwendeten Substanz ist das Verhältnis von Signalen, die für eine gegebene Substanz auf zwei verschiedenen Detektoren erhalten werden. Nach dem Verlassen der Säule passiert der Analyt zuerst den ersten Detektor, dann den zweiten und die von den Detektoren kommenden Signale werden gleichzeitig mit einem Multi-Pen-Recorder oder auf zwei Recordern aufgezeichnet. Üblicherweise wird eine serielle Verbindung eines Ultraviolettdetektors (empfindlicher, aber selektiver) mit einem Refraktometer oder eines Ultraviolettdetektors mit einem Fluoreszenzdetektor oder zwei Ultraviolettdetektoren, die bei unterschiedlichen Wellenlängen arbeiten, verwendet. Die relative Empfindlichkeit, d. h. das Verhältnis des Refraktometersignals zum Photometersignal, ist eine Eigenschaft der Substanz, vorausgesetzt, dass beide Detektoren in ihrem linearen Bereich arbeiten; dies wird verifiziert, indem unterschiedliche Mengen desselben Stoffes eingeführt werden. Qualitative Informationen können erhalten werden, indem man an photometrischen Detektoren arbeitet, die mit einem Stop-Flow-Gerät ausgestattet sind und es Ihnen ermöglichen, das Spektrum des Peaks aufzuzeichnen, der die Säule verlässt, während er sich in der Durchflusszelle befindet, und es mit dem Spektrum einer bekannten Verbindung vergleicht.

Von erheblichem Interesse für die Identifizierung sind moderne, aber teure Spektrophotometer mit einem Diodenarray.

Eine völlig unbekannte Substanz kann nicht allein durch Hochleistungs-Flüssigkeitschromatographie identifiziert werden, es sind andere Methoden erforderlich.

QUANTITATIVE ANALYSE

Die quantitative Flüssigkeitschromatographie ist ein gut entwickeltes analytisches Verfahren, das in seiner Genauigkeit der quantitativen Gaschromatographie in nichts nachsteht und die Genauigkeit von TLC oder Elektrophorese deutlich übertrifft Leider gibt es in der HPLC keinen Detektor, der eine ähnliche Empfindlichkeit für Verbindungen verschiedener chemischer Strukturen hätte ( wie ein Katharometer in Daher ist eine Kalibrierung des Instruments erforderlich, um quantitative Ergebnisse zu erhalten.

Die quantitative Analyse besteht aus den folgenden Schritten: 1) chromatographische Trennung; 2) Messung von Spitzenflächen oder -höhen; 3) Berechnung der quantitativen Zusammensetzung der Mischung auf der Grundlage chromatographischer Daten; 4) Interpretation der erhaltenen Ergebnisse, d. h. statistische Verarbeitung. Betrachten wir all diese Phasen.

4.1. CHROMATOGRAPHISCHE TRENNUNG

Bei der Probenahme können Fehler gemacht werden. Insbesondere bei heterogenen Feststoffproben, leicht flüchtigen oder instabilen Stoffen sowie landwirtschaftlichen Produkten und Biomaterialien ist es wichtig, Fehler zu vermeiden und eine ausreichend repräsentative Stichprobe zu entnehmen. Inhomogene Proben, wie z. B. Lebensmittel, werden gründlich gemischt und geviertelt. Durch wiederholtes Ausführen dieses Vorgangs wird die Homogenität der Probe erreicht.

Fehler und Verluste von Substanzen können in der Phase der Extraktion, Isolierung, Reinigung usw. zugelassen werden.

Die Proben müssen vollständig gelöst und ihre Lösungen mit einer Genauigkeit von ±0,1 % hergestellt werden. Es ist wünschenswert, die Probe in der mobilen Phase aufzulösen, was die Möglichkeit ihrer Ausfällung nach Einführung in den Chromatographen ausschließt. Wenn eine Auflösung in der mobilen Phase nicht möglich ist, sollte ein damit mischbares Lösungsmittel verwendet und Probenvolumina (weniger als 25 µl) in den Chromatographen injiziert werden.

Während der Probeninjektion können aufgrund von Fraktionierung, Leckage und Spitzenverschmierung erhebliche Fehler auftreten. Peak-Smearing verursacht die Bildung von Tails, was zu einer teilweisen Überlappung der Peaks und damit zu Fehlern bei der Detektion führt. Schleifenventilvorrichtungen werden gegenüber Spritzen für die Probeninjektion bei der Quantifizierung aufgrund der höheren Genauigkeit und geringeren Abhängigkeit vom Bediener bevorzugt.

Auch bei der chromatographischen Stofftrennung können Komplikationen auftreten, die zu Datenverfälschungen führen: quantitative Analyse. Mögliche Zersetzung oder Umwandlung der Probe während des chromatographischen Prozesses oder irreversible Adsorption der Substanz an dieser Säule. Es ist wichtig sicherzustellen, dass diese unerwünschten Phänomene nicht vorhanden sind, und die Säule gegebenenfalls zu regenerieren oder auszutauschen. Peaküberlappung und Tailing können auch durch Änderung der Chromatographiebedingungen reduziert werden.

Peaks mit falscher oder undeutlicher Form oder Peaks, deren Release-Zeit nahe bei liegt zu, weil es vielleicht nicht genug Trennung gibt. Typischerweise werden Peaks mit einem Wert von d" > 0,5 verwendet. Die höchste Säuleneffizienz wird bei der Zugabe von 10~5 -10~6 g gelöstem Stoff pro 1 g Sorbens erreicht. Bei der Zugabe großer Probenmengen ist die Abhängigkeit von die Peakhöhe unter Belastung kann sich als nichtlinear herausstellen und eine quantitative Bewertung nach Peakfläche ist erforderlich.

Nachweis- oder Amplifikationsfehler führen zu einer erheblichen Verfälschung der Ergebnisse der chromatographischen Trennung. Jeder Detektor zeichnet sich durch Spezifität, Linearität und Empfindlichkeit aus. Besonders wichtig ist die Überprüfung der Selektivität bei der Analyse von Mikroverunreinigungen. Die Reaktion von UV-Detektoren kann sich zu Substanzen mit ähnlichen funktionellen Gruppen um den Faktor 104 ändern. Die Detektorantwort muss für jeden Analyten kalibriert werden. Substanzen, die nicht im UV-Bereich absorbieren, geben natürlich kein Signal an den Rekorder, wenn er als Photometer-Detektor verwendet wird. Bei Verwendung eines Refraktometers können negative Spitzen auftreten. Außerdem muss dieser Detektor temperiert werden, was bei einem UV-Detektor nicht erforderlich ist.

Die Linearität des Detektors bestimmt die Größe der injizierten Probe. Es muss daran erinnert werden, dass die Flussrate durch die Säule, die Temperatur der Säule und des Detektors und ihr Design die Genauigkeit des Assays beeinflussen. Fehler bei der Übertragung eines elektrischen Signals zum Ausgabegerät (Recorder), Integrator oder Computer können durch Rauschaufnahme, fehlende Erdung, Spannungsschwankungen im Netz usw. auftreten.

4.2. MESSUNG VON FLÄCHEN- ODER SPITZENHÖHEN

Spitzenhöhe h (Abb. 10.1) wird der Abstand von der Spitze des Peaks zur Basislinie genannt, er wird linear gemessen oder die Anzahl der Teilungen auf dem Schreiber wird gezählt. Einige elektronische Integratoren und Computer liefern Informationen zur Spitzenhöhe. Die Position der Grundlinie der verschobenen Peaks wird durch Interpolation der Ordinatenwerte ermittelt, die dem Beginn und Ende des Peaks entsprechen (Peak 1 und 3 siehe Abb. 10.1). Um die Genauigkeit zu verbessern, ist eine flache, stabile Basislinie erforderlich. Bei nicht getrennten Peaks wird die Basislinie zwischen Beginn und Ende des Peaks gezogen und nicht durch eine Nulllinie ersetzt. Da die Peakhöhen weniger vom Einfluss benachbarter überlappender Peaks abhängig sind, ist die Peakhöhenschätzung genauer und wird fast immer in der Spurenanalyse verwendet.

Die Peakfläche kann auf verschiedene Weise bestimmt werden. Betrachten wir einige von ihnen.

1. Die planimetrische Methode besteht darin, dass der Gipfel mit einem manuellen Planimeter verfolgt wird, einem Gerät, das die Fläche des Gipfels mechanisch bestimmt. Das Verfahren ist genau, aber arbeitsintensiv und schlecht reproduzierbar. Diese Methode wird nicht empfohlen.

2. Methode der Papiersilhouette - die Spitze wird ausgeschnitten und gewogen. Die Methode ist gut reproduzierbar, aber umständlich und das Chromatogramm wird zerstört. Seine Anwendbarkeit hängt von der Homogenität des Registrierstreifens ab. Die Methode kann auch nicht allgemein empfohlen werden.

4. Die Triangulationsmethode besteht darin, ein Dreieck zu konstruieren, indem man Tangenten an die Seiten der Spitze zieht. Die Spitze des Dreiecks ist höher als die Spitze der Spitze. Eine Vergrößerung der durch diesen erweiterten Peak gebildeten Fläche wird im gesamten Chromatogramm konsistent sein und die Genauigkeit nicht zu sehr beeinträchtigen. Außerdem wird ein Teil des verlorenen Bereichs beim Zeichnen von Tangenten kompensiert. Die Basis eines Dreiecks wird durch den Schnittpunkt der Tangenten mit der Grundlinie bestimmt, und die Fläche wird durch das Produkt von 7 g der Basis mit der Höhe bestimmt. Zur Bestimmung der Flächen asymmetrischer Peaks ist diese Methode am besten geeignet. Die Reproduzierbarkeit bei der Konstruktion von Tangenten durch verschiedene Operatoren ist jedoch unterschiedlich und daher; niedrig.

5. Das Disk-Integrator-Verfahren basiert auf einer elektromechanischen Halterung, die am Rekorder angebracht ist. Ein am Integrator befestigter Stift bewegt sich entlang des Streifens am unteren Rand des Bandes mit einer Geschwindigkeit, die proportional zur Bewegung des Aufzeichnungsstifts ist.

Wie bei manuellen Messungen sollte der Peak auf der Aufzeichnungsskala bleiben, jedoch verringern Anpassungen zur Kompensation von Basislinienverschiebungen und unvollständiger Trennung benachbarter Peaks die Zuverlässigkeit und verlängern die Analysezeit.

Das Verfahren ist insbesondere bei asymmetrischen Peaks genauer als manuelle Messverfahren und bietet einen Geschwindigkeitsvorteil. Darüber hinaus bietet es eine dauerhafte quantitative Aufzeichnung der Analyse.

6. Verfahren, die elektronische Integratoren verwenden, die die Fläche der Peaks bestimmen und Informationen über diese Fläche und Retentionszeiten drucken, können eine Korrektur für den Basislinienversatz beinhalten und die Fläche von nur teilweise getrennten Peaks bestimmen. Die Hauptvorteile sind Genauigkeit, Geschwindigkeit und Unabhängigkeit der Aktion vom Betrieb des Recorders. Die Integratoren haben einen Speicher und können mit einem vorinstallierten Programm für eine bestimmte Analyse programmiert werden. Zu den Vorteilen des Integrators gehört seine Fähigkeit, Korrekturfaktoren für die Detektorantwort zu verwenden, wenn die anfänglichen Daten zu Peakflächen neu berechnet werden, wodurch die unterschiedliche Empfindlichkeit des Detektors gegenüber verschiedenen Substanzen kompensiert wird. Solche Systeme sparen Zeit, verbessern die analytische Genauigkeit und sind nützlich für analytische Routineanalysen.

7. Computer, die Peakflächen messen, werden in großem Umfang in der Flüssigkeitschromatographie verwendet. Sie drucken die vollständige Nachricht aus, einschließlich der Namen der Substanzen, Peakflächen, Retentionszeiten, Korrekturfaktoren für die Detektorreaktion und des Gehalts (in Gew.-%) für die verschiedenen Komponenten der Probe.

Für eine Funktion von zwei Variablen, definiert als z = f(x, j) .

Das Doppelintegral schreibt man wie folgt:

Hier D- eine durch Linien begrenzte flache Figur, deren Ausdrücke (Gleichungen) bei der Berechnung des Doppelintegrals angegeben werden. Links und rechts - Gleichheiten, bei denen die Variable links ist x, und oben und unten - durch Gleichheiten, in denen die Variable auf der linken Seite j. Dieser Ort und weitere sind einer der wichtigsten für das Verständnis der Technik zur Berechnung des Doppelintegrals.

Doppelintegral berechnen - bedeutet, eine Zahl zu finden, die der Fläche der genannten Figur entspricht D .

Bis wir uns berühren Definitionen des Doppelintegrals , und wir werden lernen, es zu berechnen. Es ist einfacher zu verstehen, was ein Doppelintegral ist, wenn mehrere Probleme gelöst wurden, um es zu berechnen, daher finden Sie die Definition eines Doppelintegrals am Ende dieser Lektion. Etwas vorausschauend können wir nur feststellen, dass mit der genannten Figur auch die Definition des Doppelintegrals verbunden ist D .

Wenn die Figur D ein Rechteck ist, sind alle Linien, die es begrenzen, gerade Linien. Wenn die Figur D- krummlinig, dann wird es links und rechts durch gerade Linien und von oben und unten durch gekrümmte Linien begrenzt, die durch die in der Aufgabe angegebenen Gleichheiten gegeben sind. Es gibt auch Fälle, in denen eine Figur D- ein Dreieck, aber über solche Fälle etwas weiter.

Zur Berechnung des Doppelintegrals ist es also notwendig, die Randlinien der Abbildung zu sortieren D, die einen strengen Namen hat - die Region der Integration. Sortieren Sie nach links und rechts und oben und unten. Dies wird benötigt, wenn Reduktion des Doppelintegrals auf das iterierte Integral – die Methode zur Berechnung des Doppelintegrals.

Fall mit rechteckiger Fläche:

Fall der gekrümmten Region:

Und das ist bereits eine Lösung der uns bekannten bestimmten Integrale, in denen die obere und untere Integrationsgrenze gesetzt sind. Ausdrücke, die Linien definieren, die eine Form begrenzen D, werden die Integrationsgrenzen für die üblichen bestimmten Integrale sein, denen wir uns bereits nähern.

Reduktion des Doppelintegrals auf iteriert

Gehäuse mit rechteckiger Fläche

Eine solche Funktion habe ein doppeltes Integral

Zu Berechnen Sie dieses Doppelintegral , müssen Sie es auf das iterierte Integral reduzieren, das die Form hat

.

Zuerst müssen Sie das innere (rechte) bestimmte Integral berechnen, dann das äußere (linke) bestimmte Integral.

Sie können die Rollen wechseln x und j

.

Beispiel 1 Doppelintegral berechnen

Wir berechnen das innere (rechte) Integral, indem wir y als Konstante betrachten. Wir erhalten.

.

Beispiel 2 Doppelintegral berechnen

,

Lösung. Wir reduzieren dieses Doppelintegral auf das iterierte Integral

Auf der Zeichnung bauen wir den Integrationsbereich auf:

Nun berechnen wir das äußere (linke) Integral aus dem gerade berechneten inneren (rechten) Integral:

Das Ergebnis ist die Lösung dieses Doppelintegrals.

Berechnen Sie das Doppelintegral selbst und sehen Sie sich dann die Lösung an

Fall mit krummliniger oder dreieckiger Region

Gegeben sei wieder eine Funktion zweier Variablen f(x, j) , und die Einschränkungen für D: sieht etwas anders aus:

Dieser Eintrag bedeutet, dass die Zahl D links und rechts begrenzen, wie im Fall eines geradlinigen Bereichs - gerade Linien x = a und x = b, aber unten und oben sind die Kurven, die durch die Gleichungen und gegeben sind. Mit anderen Worten, und sind Funktionen.

Eine solche Funktion habe auch ein Doppelintegral

Um dieses Doppelintegral zu berechnen, müssen wir es auf das iterierte Integral zurückführen, das die Form hat

.

Hier die Grenzen der Integration a und b sind Zahlen und und sind Funktionen. Bei einem Dreiecksbereich ist eine der Funktionen oder die Geradengleichung. Dieser Fall wird in Beispiel 3 diskutiert.

Wie im Fall eines geradlinigen Bereichs müssen Sie zuerst das rechte bestimmte Integral berechnen, dann das linke bestimmte Integral.

Auf die gleiche Weise können Sie auch die Rollen wechseln. x und j. Dann hat das iterierte Integral die Form

.

Ein solches iteriertes Integral muss genauso gelöst werden: zuerst das innere (rechte) Integral, dann das äußere (links).

Beispiel 5 Doppelintegral berechnen

,

Lösung. Wir reduzieren dieses Doppelintegral auf das iterierte Integral

.

Auf der Zeichnung bauen wir den Integrationsbereich und sehen, dass er dreieckig ist:

Wir berechnen das innere (rechte) Integral, indem wir x als Konstante betrachten. Wir erhalten.

Nun berechnen wir das äußere (linke) Integral des gerade berechneten inneren (rechten) Integrals. Zunächst stellen wir dieses Integral als Summe von Integralen dar:

.

Wir berechnen den ersten Term:

Wir berechnen den zweiten Term:

Wir berechnen den dritten Term:

Wir erhalten die Summe, die die Lösung dieses Doppelintegrals sein wird:

.

Beispiel 6 Doppelintegral berechnen

Lösung. Wir reduzieren dieses Doppelintegral auf das iterierte Integral

Auf der Zeichnung bauen wir den Integrationsbereich auf:

Wir berechnen das innere (rechte) Integral, indem wir x als Konstante betrachten. Wir erhalten.

.

Nun berechnen wir das äußere (linke) Integral aus dem gerade berechneten inneren (rechten) Integral:

Das Ergebnis ist die Lösung dieses Doppelintegrals.

x- richtig und falsch j-korrekte und falsche Bereiche der Integration

Es kommt vor, dass der Integrationsbereich eines Doppelintegrals durch solche Linien begrenzt ist, dass es notwendig wird, den Integrationsbereich in Teile aufzuteilen und jedes entsprechende iterierte Integral separat zu lösen. Dies sind die Fälle, in denen:

1) der Integrationsbereich ist eine Figur, die zwei oder mehr gerade oder gekrümmte Linien in Form einer unteren oder oberen (linken oder rechten) Grenze aufweist;

2) Der Integrationsbereich ist eine Figur, deren Grenze die Linien an mehr als zwei Punkten schneiden.

Wenn das Obige auf die linke oder rechte Grenze des Integrationsbereichs zutrifft, werden die durch die Linien gegebenen Beschränkungen durch ausgedrückt x, dann wird das Integrationsgebiet aufgerufen x- falsch. Wenn eine gerade Linie j = j0 schneidet die entsprechende Grenze nur in einem Punkt, und wenn nur eine Gerade oder Kurve als Grenze dient, so wird der Integrationsbereich genannt x-Korrekt

Ebenso, wenn die durch Linien definierte Grenze in Bezug auf ausgedrückt wird j, gerade x = x0 an mehr als einem Punkt schneidet, oder wenn mehr als eine Linie oder Kurve als Grenze dient, dann wird der Integrationsbereich genannt j- falsch. Holen Sie jetzt die Zeichen heraus j-der richtige Bereich, vermutlich, ganz einfach.

Bisher haben wir Beispiele betrachtet x- falsch u j-regelmäßige Bereiche der Integration. Betrachten Sie nun die Fälle, in denen die Korrektheitsbedingung verletzt wird.

Beispiel 7 Berechnen Sie ein Doppelintegral, dessen Integrationsbereich durch Linien begrenzt ist j = x , xy = 1 , j = 2 .

Lösung. Der Integrationsbereich ist j-falsch, da seine untere Grenze nicht mit einer einzigen Linie gesetzt werden kann j = j(x) . Wie Sie in der obigen Abbildung sehen können, besteht die untere Grenze aus j = x(dunkles Kastanienbraun) und xy= 1 (grün). Daher direkt x= 1 (schwarz) können wir den Integrationsbereich in zwei Teile teilen - und .

Dieses Doppelintegral wird wie folgt berechnet:

Ändern der Reihenfolge der Integration

Wie oben erwähnt, kann man nach dem Reduzieren des Doppelintegrals auf das iterierte Integral die Variablen ändern x und j Rollen, oder mit anderen Worten, die Reihenfolge der Integration ändern.

Die Änderung der Integrationsreihenfolge kann bildlich durch die folgenden Worte von O "Henry" beschrieben werden: So verhält sich der Bewohner des Dschungels - das Tier, das in den Käfig gelangt ist, und so verhält sich der Bewohner des Käfigs – ein Mann, verloren im Dschungel der Zweifel.“ Das Ergebnis, auch laut O“ Henry, ist ein und dasselbe: „Chalmers zerriss den Brief in tausend kleine Stücke und fing an, seinen teuren Teppich zu quälen, ihn auf und ab zu gehen her." ( O.Henry. Scheherazade vom Madison Square.)

Dann, wenn wir das linke Integral über die Variable haben x, und das Richtige j, dann ist nach Änderung der Integrationsreihenfolge alles umgekehrt. Dann müssen die Integrationsgrenzen für das „neue“ y vom „alten“ x „ausgeborgt“ und die Integrationsgrenzen für das „neue“ x in der Form erhalten werden Umkehrfunktion, wobei die Gleichung in Bezug auf x aufgelöst wird, die die Grenze für y festlegt.

Beispiel 8

.

Lösung. Nach dem Ändern der Integrationsreihenfolge wird das Integral über y links und das Integral über x rechts. Wir werden die Integrationsgrenzen für den „neuen“ Spieler vom „alten“ X entlehnen, das heißt, die untere Grenze ist gleich null und die obere Grenze gleich eins. Die Integrationsgrenzen für den „alten“ Spieler sind durch die Gleichungen und gegeben. Nachdem wir diese Gleichungen nach x gelöst haben, erhalten wir neue Integrationsgrenzen für x:

(unten) und (oben).

Somit wird nach Änderung der Integrationsreihenfolge das iterierte Integral wie folgt geschrieben:

.

Nach dem Ändern der Integrationsreihenfolge im Doppelintegral wird der Integrationsbereich häufig zu j- falsch bzw x- falsch (siehe vorherigen Absatz). Dann ist es erforderlich, den Integrationsbereich in Teile aufzuteilen und jedes entsprechende iterierte Integral separat zu lösen.

Da die Teilung des Integrationsbereichs in Teilbereiche für viele Schüler gewisse Schwierigkeiten bereitet, beschränken wir uns nicht auf das Beispiel im vorigen Absatz, sondern analysieren ein paar weitere Beispiele.

Beispiel 9Ändern Sie die Integrationsreihenfolge für das iterierte Integral

.

Lösung. Der Integrationsbereich dieses iterierten Integrals ist also durch die geraden Linien begrenzt j = 1 , j = 3 , x = 0 , x = 2j .

Bei Integration in anderer Reihenfolge besteht die untere Grenze des Bereichs aus zwei Geraden: AB und BC, die durch die Gleichungen gegeben sind j= 1 und j = x/2 , was in der folgenden Abbildung zu sehen ist.

Der Ausweg aus dieser Ungewissheit besteht darin, den Integrationsbereich in zwei Teile zu teilen. Der Integrationsbereich wird durch eine gerade Linie geteilt BM. Neue Integrationsgrenzen werden durch Auffinden der Umkehrfunktion berechnet. Gemäß dieser Lösung ist das iterierte Integral nach Änderung der Integrationsreihenfolge gleich der Summe zweier Integrale:

Natürlich ist die Lösung des Doppelintegrals dieselbe, was sich auf das iterierte Integral reduziert, das in der Bedingung dieses Beispiels gegeben ist.

Beispiel 10Ändern Sie die Integrationsreihenfolge für das iterierte Integral

.

Lösung. Der Integrationsbereich des iterierten Integrals wird also durch die Geraden begrenzt x = 0 , x= 2 und Kurven und .

Wie in der Abbildung unten zu sehen ist, eine gerade Linie parallel zur Achse 0x, wird die untere Grenze des Integrationsbereichs an mehr als zwei Punkten schneiden.

Daher teilen wir den Integrationsbereich durch gerade Linien, die in der Abbildung schwarz gezeichnet sind, in drei Teile. Neue Integrationsgrenzen werden durch Auffinden der Umkehrfunktion berechnet. Die Grenzen für die drei neuen Integrationsbereiche werden wie folgt sein.

Gemäß dieser Lösung ist das wiederholte Integral nach Änderung der Integrationsreihenfolge gleich der Summe von drei Integralen:

Die gleiche Summe von drei Integralen ist gleich dem Doppelintegral, das sich auf das iterierte Integral reduziert, das in der Bedingung dieses Beispiels gegeben ist.

Und doch stören Umstände höherer Gewalt die Schüler oft schon beim vorherigen Schritt – dem Setzen der Grenzen der Integration. Angst und Verwirrung sind nicht ohne Grund: Wenn es normalerweise ausreicht, die Zeichnung anzusehen, um das Integrationsgebiet in Teile zu unterteilen und das iterierte Integral - die Tabelle der Integrale - zu lösen, dann ist etwas Übungserfahrung erforderlich, um die Grenzen von zu setzen Integration. Gehen wir ein Beispiel durch, bei dem wir nur bei der Anordnung der Integrationsgrenzen und - fast automatisch - bei der Teilung des Gebiets stehen bleiben und die Lösung selbst weglassen.

Beispiel 11. Finden Sie die Integrationsgrenzen eines Doppelintegrals im Bereich der Integration D wie folgt einstellen:

j - 2x ≤ 0;
2 Jahre - x ≥ 0;
xy ≤ 2.

Lösung. explizit (über x und j"ohne Verunreinigungen") sind die den Integrationsbereich begrenzenden Linien nicht angegeben. Da sie sich für x meistens als gerade Linien herausstellen, die in einem Punkt die durch y ausgedrückte obere und untere Grenze berühren, werden wir genau diesen Weg gehen. Darüber hinaus erhalten wir beim Ändern der Integrationsreihenfolge einen Integrationsbereich mit demselben Bereich. Lösen wir die Ungleichungen für den Spieler und erhalten:

j ≤ 2x;
j ≥ x/2;
j ≤ 2/x.

Wir bauen die resultierenden Linien auf der Zeichnung auf. Die Integrationsgrenzen bezüglich x sind tatsächlich die Geraden x= 0 und x= 2 . Aber die Region der Integration stellte sich heraus j-falsch, da seine Obergrenze nicht einzeilig gesetzt werden kann j = j(x) .

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1 BUNDESAGENTUR FÜR BILDUNG STAATLICHE BILDUNGSEINRICHTUNG FÜR HÖHERE PROFESSIONELLE AUSBILDUNG „SAMARA STATE AEROSPACE UNIVERSITY benannt nach Akademiemitglied SP QUEEN“ MEHRERE INTEGRALE Aufgaben und Übungen Vom Redaktions- und Verlagsrat der Universität als Richtlinie genehmigt

2 UDC 7 7 Zusammengestellt von OM Karpilova Rezensent Kandidat für technische Wissenschaften Außerordentlicher Professor GNG Utman Mehrere Integrale von Problemen und Übungen: Methode der Angabe / Zusammensetzung OM Karpilova Samara: Der Verlag Samar State Aerospace University Collection enthält Beispiele für die Lösung typischer Probleme nach Themen: doppelt Integrale Tripelintegrale Anwendungen multipler Integrale Zu jedem Thema werden typische Problemstellungen behandelt, Methoden zu deren Lösung ausführlich analysiert und Aufgabenstellungen zum selbstständigen Arbeiten vorgeschlagen Im Anhang finden sich Möglichkeiten für individuelle Hausaufgaben Alle Aufgabenstellungen sind gemäß dem Programm für den Studiengang Mathematik zusammengestellt für Studenten technischer Universitäten Methodische Anweisungen, die am Department of General Engineering Training erstellt wurden und für Studenten des Instituts für Energie und Verkehr der Samara State Aerospace University bestimmt sind UDC 7 7 Samara State Aerospace University

3 BERECHNUNG VON DOPPELINTEGRALEN IN KARTESISCHEN KOORDINATEN Um ein Doppelintegral zu berechnen, wird es als iteriertes Doppelintegral f f dargestellt Lösungsbeispiele Beispiel Gehe von b a f zum iterierten Integral und setze die Integrationsgrenzen, wenn die Fläche durch Linien begrenzt ist: a 6; b; in; d Konturdreieck ABC wobei A; B;6C;;; e Lösung: a Konstruieren wir die Fläche: eine Gerade parallel zur O-Achse; Gerade parallel zur O-Achse; 6 Gerade durch die Punkte 6 und 6; Die Fläche ist ein Dreieck ABC Abb. Um die Koordinaten von Punkt C zu finden, müssen Sie das Gleichungssystem lösen. Um herauszufinden, wie es sich ändert, zeichnen wir daher innerhalb der Region eine gerade Linie, die parallel zur O-Achse verläuft und die Region schneidet. Diese Linie tritt entlang der Linie a in die Region ein und verlässt sie entlang der Linie 6 oder 6. Daher 6 kann die Region durch ein Ungleichungssystem angegeben werden: 6 Nun ist es einfach, die Grenzen im Doppelintegral zu setzen: f 6 f

4 b Konstruiere: eine Parabelgerade parallel zur O-Achse Abb. Ermittle die Koordinaten der Punkte A und B Dazu löse das System – Ziehe eine Linie parallel zur O-Achse und schneide die Fläche Diese Linie tritt entlang der Fläche in die Fläche ein Parabel und Ausgänge entlang der Geraden Abb. Die Fläche ist also gegeben durch die Ungleichungen f f: Konstruieren wir also in Let's the area fig: eine um die O-Achse symmetrische Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung; der positive Zweig der Parabel y ist symmetrisch um die O-Achse mit einem Scheitelpunkt am Koordinatenursprung. und ein; Wenn wir eine gerade Linie parallel zu O ziehen und den Bereich kreuzen, sehen wir, dass die Eingangslinie und die Ausgangslinie

5 Also: also f f g Konstruiere ein Dreieck fig Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass innerhalb der Fläche die direkte Parallele O und die Schnittfläche entlang der Seite AC in das Dreieck eintritt und entlang der Seite AB austritt Die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte M und M verläuft hat die Form Mit dieser Formel schreiben wir die Gleichungen der Seiten AB und AC: AB: woher diese; 6 АС: woher diese Also: Also f f d Lassen Sie uns die Fläche bilden Dazu formen wir die Randgleichung um: Wählen wir ein volles Quadrat in Bezug auf die Variable: Die resultierende Gleichung definiert einen Kreis mit einem Radius, der an einem Punkt zentriert ist ; Abb Abb Abb Um die Integrationsgrenzen festzulegen, ist es notwendig, die Gleichungen der oberen und unteren Hälfte des Kreises der Eintrittslinie in die Region und der Austrittslinie aus der Region aufzuschreiben. Lösen wir die ursprüngliche Gleichung in Bezug auf: ±

6 Offensichtlich entspricht die obere Hälfte des Kreises der Gleichung der unteren Also: also f f Beispiel Ändern Sie die Integrationsreihenfolge: b 6 ; f f ; und in f f Lösung: a Der Integrationsbereich ist durch ein Ungleichungssystem gegeben: Konstruieren Sie den Bereich von Fig6: die obere Hälfte der Parabel die untere Hälfte der Parabel Wenn die Integrationsreihenfolge geändert wird, das Integral hat die Form c f Abb. 6 Finden Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel und der Geraden: ± Also A; BEI; Zeichnen wir eine Gerade parallel zur O-Achse, die die Fläche schneidet. Die Eintrittsgerade dieser Fläche ist eine Parabel, die Austrittsgerade eine Gerade. Somit kann die Fläche auch durch ein Ungleichungssystem angegeben werden: Dann ist f f 6

7 b In diesem Fall ist die Integrationsfläche durch ein Ungleichungssystem gegeben: 6 Konstruieren Sie diese Fläche Abb. 7: 6 Hyperbellinie Finden Sie die Koordinaten der Punkte A und B am Punkt A, also am Punkt B, also A ; BEI; Wenn die Integrationsreihenfolge geändert wird, nimmt das Integral die Form f an. Abb. 7 c Seitdem c ; Zeichnen Sie eine Linie parallel zur O-Achse und schneiden Sie die Fläche Linie 6 der Eingangshyperbel von wo Ausgangslinie ist gerade von wo 6 Die Fläche ergibt sich aus den Ungleichungen: 6 Schließlich erhalten wir 6 6 f f in Konstruieren Sie die Fläche: und: Die Grenze des Gebiets wird bestimmt durch die Gleichung ± Wenn wir beide Teile der Gleichung quadrieren, erhalten wir die Gleichung der Parabel - der Schwarm befindet sich an einem Punkt; und die Symmetrieachse ist die Achse O

8 Um die Integrationsgrenzen festzulegen, finden wir die Koordinaten der Schnittpunkte der Grenzlinien und lösen dazu das Gleichungssystem; Also Also A; BEI; Wenn wir die Integrationsreihenfolge ändern, nehmen wir das äußere Integral über die innere Variable und zeichnen daher eine gerade Linie, die den Bereich schneidet und parallel zur Ox-Achse verläuft und entlang der Linie in den Bereich eintritt und entlang der Linie austritt. Wenn wir also die Integrationsreihenfolge ändern, erhalten wir f f f compute nur ein Beispiel Compute; ; wobei die Fläche durch Linien begrenzt wird Lösung Konstruieren wir die Fläche in Abb. 9: eine Gerade parallel zur O-Achse und Geraden, die durch den Ursprung gehen Um das Integral zu berechnen, gehen wir von einem Doppelintegral zu einem Wiederholungsintegral über Fläche kann durch ein Ungleichungssystem angegeben werden: wird über die Variable geführt: Nun bleibt das resultierende äußere Integral zu berechnen:

9 So Beispiel Berechnung Lösung Konstruieren wir die Fläche: Achse O Gerade parallel zur Achse O Gerade durch den Koordinatenursprung fig Gerade und schneiden sich im Punkt A ; Wenn wir zum Doppelintegral übergehen und es berechnen, erhalten wir, wenn es durch Linien gemäß den Reduktionsformeln in Abb. 9 begrenzt ist

10 Aufgaben zur unabhängigen Lösung Stellen Sie die Integrationsgrenzen in iterierten Integralen ein, auf die f reduziert wird, wenn die Fläche durch Linien begrenzt wird: a; b; in; G; d Dreieck ABC wobei A; BEI; AUS; Integrationsreihenfolge ändern: a f ; b f ; in f; g f Berechnen Sie Doppelintegrale unter der Annahme, dass die Fläche durch die angegebenen Linien begrenzt ist: a; 7; b; ; in; ; g e; 6 Antworten a f ; b f ; in g f ; d ein f ; b f f ; in f; g f ein; 7b; in; f 6 r e e f ;

11 DOPPELINTEGRAL IN POLARKOORDINATEN Wenn sowohl kartesisches als auch polares Koordinatensystem auf der Ebene gegeben sind und der Pol mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt und die Polarachse mit der Ox-Achse ausgerichtet ist, dann wird mit Formeln zu Polarkoordinaten f übergegangen β α f Lösungsbeispiele Beispiel Berechnen > Lösung Konstruiere die Fläche fig: Kreis mit Radiusgeraden, die durch den Ursprung gehen Da die Fläche Teil eines Kreises ist, ist es zweckmäßig, zu Polarkoordinaten zu gehen. In diesem Fall ist der Pol mit dem Punkt kompatibel Ö; und lasse die Polarachse entlang der O-Achse liegen Dann wo die Fläche durch die Linien begrenzt wird Abb. Jetzt müssen wir die Fläche im Polarkoordinatensystem beschreiben Der Winkel innerhalb der Fläche variiert von zu siehe Abb. Die Gerade k ist zur O-Achse geneigt

12 in einem Winkel, dessen Tangens gleich k ist Daher tg ; tg Von hier; Innerhalb der Region verlässt also der Strahl, der vom Pol O ausgeht und ihn kreuzt, die Region entlang eines Kreises, dessen Gleichung in Polarkoordinaten die Form hat. Somit wird die Region durch ein System von Ungleichungen beschrieben: Nun ist es einfach zu setze Grenzen im iterierten Integral und berechne es 9 und 9, es ist zweckmäßig, auf Polarkoordinaten umzuschalten: Dann nehmen die Randgleichungen die Form an; Abb. 9 Um die Integrationsgrenzen im iterierten Integral festzulegen, stellen wir fest, dass der Winkel innerhalb der Region alle Werte von bis annimmt. Zeichnen wir einen Strahl vom Koordinatenursprung, der die Region schneidet. Er tritt entlang der Region in die Region ein Linie und Ausfahrten entlang der Linie Also: Dann

13 9 9 9 eeeeeeeeeee Beispiel Berechnen, falls durch Ungleichungen bestimmt: Lösung Konstruieren Sie die Fläche Um dies zu tun, wandeln Sie die Randgleichung um: Die Grenze ist also ein Kreis mit einem Radius, der an einem Punkt zentriert ist; Da dann die obere Hälfte des Kreises Abb. Kommen wir zu Polarkoordinaten: Abb. Die Gleichung der Grenze in Polarkoordinaten wird die Form annehmen Angenommen, wir erhalten Die Fläche befindet sich vollständig im ersten Viertel, also also in Polarkoordinaten , die Fläche ist durch Ungleichungen gegeben Jetzt können wir das Doppelintegral berechnen

14 Aufgaben zur Selbstlösung Rechne mit Polarkoordinaten: wo die obere Hälfte des Kreises 6 wo die Fläche die Ungleichungen erfüllt wo die Fläche durch Geraden begrenzt ist 9 6 wo die Fläche durch Geraden begrenzt ist 6 wo die Fläche durch Kurven begrenzt ist Lösungen ; ; ; ; ANWENDUNGEN VON DOPPELTEN INTEGRALEN Das doppelte Integral wird bei der Berechnung verwendet: eine Fläche einer flachen Figur durch eine begrenzte Fläche: S ; b Volumen eines zylindrischen Körpers, der von oben durch eine durchgehende Fläche f begrenzt wird, von unten durch eine Ebene und von der Seite durch eine gerade zylindrische Fläche, die einen Bereich in der Ebene O ausschneidet:

15f; in der durch die Gleichung f gegebenen Oberfläche, deren Projektion auf die Ebene O die Fläche ist: σ Darüber hinaus werden in der Mechanik Doppelintegrale zur Berechnung verwendet: und die Massen einer flachen Platte, die die Fläche der Ebene einnehmen O und mit variabler Oberflächendichte γ γ : M γ ; b statistische Momente der Platte um die Achsen O und O: ; Mγ; M γ in den Koordinaten des Schwerpunkts der Platte: γ M c; M γ Lösung von Beispielen c M M γ γ 6 Beispiel Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Region Lösung Konstruieren Sie eine Fläche Die Gleichung definiert eine Parabelgleichung einer Geraden, die durch den Koordinatenursprung geht Abb. Um die Punkte zu finden des Schnittpunkts dieser Geraden lösen wir das Gleichungssystem: Also Dann Also schneidet die Gerade die Parabel an Punkten; und ein; Verwenden der Formel S Fig Beispiel Finden Sie die Fläche einer Figur, die durch Linien außerhalb des ersten Kreises begrenzt ist;

16 Lösung Die Gleichung definiert einen Kreis mit Radius, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist. Die Gleichung definiert einen Kreis mit Radius, dessen Mittelpunkt ein Punkt ist. Lösen wir gemeinsam das Gleichungssystem ± So; ABER; Im Bereich AmBn kann durch Ungleichungen nach Formel 6 eingestellt werden

17 Gemäß der Formel Abb. 7 Abb. In dem Beispiel ist die Fläche ein Dreieck OAB gezeigt in Abb. und die Oberfläche wird durch die Gleichung der Ebene bestimmt, von wo So Beispiel Finden Sie das Volumen des Körpers, der durch die Koordinatenebenen begrenzt wird Ebene und die Fläche Lösung Der Körper ist in Abb. 9 dargestellt Die Ebene verläuft parallel zur O-Achse; Paraboloid, dessen Scheitelpunkt am Punkt ;; Die Projektion des Körpers auf die Ebene O ist das Dreieck ABO Figur AB die Schnittgerade der Ebene mit der Ebene, also die Gleichung der Geraden AB: woher

18 Nach der Formel Abb. 9 Abb. Zylinder 6 Beispiel Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch ein Paraboloid und Ebenen begrenzt ist und Lösung Der Körper ist in Abb

19 7 6 Beispiel 6 Bestimme das Volumen eines durch Flächen begrenzten Körpers 7 Lösung Dieser Körper ist durch zwei Paraboloide begrenzt Abb. Die Schnittgerade der Paraboloide wird durch das Gleichungssystem bestimmt Aus der ersten Gleichung ist die Schnittgerade also a in der Ebene liegender Radiuskreis: Abb. Das Volumen eines Körpers kann als Differenz der Volumina zweier zylindrischer Körper berechnet werden: Beispiel 7 Finden Sie die Oberfläche einer Kugel im Inneren des Zylinders 9 Lösung Der Zylinder schneidet zwei aus Teile auf der Oberfläche der Kugel, die in Bezug auf die Ebene O symmetrisch sind Abb. Aufgrund der Symmetrie reicht es aus, nur die Oberfläche der oberen „Kappe“ zu berechnen und das Ergebnis zu verdoppeln 9

20 Um zu berechnen, verwenden wir die Formel Da sie partielle Ableitungen enthält, berechnen wir und Wir daher aus der Gleichung der Kugel Dann Fig. Also nach der Formel σ Die Projektion der Oberfläche auf die Ebene O des Kreises ist bequem zu polar überzugehen Koordinaten 9 also 9 nehmen Da wir die Fläche von nur der oberen „Kappe“ betrachtet haben, dann ist die gesamte Fläche gleich σ σ n Beispiel Finden Sie den Schwerpunkt einer homogenen Platte ABC wenn A;-B ; C; ;- Lösung Um die Koordinaten des Schwerpunkts zu berechnen, verwenden wir die Formeln 6 Da die Platte homogen ist, ist die Oberflächendichte γ konstant, also nehmen die Formeln die Form q an; c

21 Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Platte die Form eines Trapezes hat und in Bezug auf die O-Achse symmetrisch ist, also lassen Sie uns die Gleichungen der Linien BC und A aufschreiben, indem wir die Formel verwenden, die die Gleichung der Geraden definiert Gerade durch zwei vorgegebene Punkte: ö BC: ; A: Reis Lassen Sie uns nun den Zähler und Nenner des Bruchs, der die Koordinate bestimmt, separat berechnen: c 9 Der Nenner enthält ein Integral, das der Fläche der Fläche entspricht diese Flächen des Trapezes ABC Daher h ; man kann dieses ab c Integral berechnen und damit direkt q; u Beispiel 9 Finden Sie die Masse der oberen Hälfte der Ellipse, wenn die Dichte an jedem Punkt gleich der Ordinate des Punktes b ist a Lösung Die Dichte an jedem Punkt ist gleich der Ordinate γ Durch die Formel M γ Für die obere Hälfte von die Ellipse Abb. 6 b also a Abb. 6

22 M a a a a b a b a a a b a a a b a a a a b Probleme zur unabhängigen Lösung a ab Finden Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur: a; b; in einem ; g ein ein ; e Finden Sie das Volumen des Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist: a; b; in einem ; r Finden Sie den Bereich der angegebenen Oberfläche: ein Teil der Ebene 6, die im ersten Oktanten eingeschlossen ist; b Teil der Ebene a, die durch den Zylinder a ausgeschnitten wird; in ein Paraboloid in einem Zylinder; r Paraboloid, das von einem parabolischen Zylinder und einer Ebene abgeschnitten wird. Finden Sie den Schwerpunkt des Trapezes ABC, wobei A; B; C; ; wenn die Dichte an jedem Punkt gleich der Abszisse dieses Punktes ist Finden Sie den Schwerpunkt einer homogenen Figur, die durch eine Parabel und eine gerade Linie begrenzt ist. 6 Finden Sie die Masse einer runden Platte mit Radius, wenn die Oberflächendichte an jedem Punkt proportional ist zum Abstand vom Mittelpunkt des Kreises Antworten a; b; in; g ein ein ; d 6 ein 6; b; in einem ; g ein ein

23a; b ein ; in; g z z z z 6 6 k BERECHNUNG VON DREIFACHINTEGRALEN IN KARTESISCHEN KOORDINATEN Um das Dreifachintegral zu berechnen, wird es als Dreifachintegral dargestellt: Lösung von Beispielen Beispiel Gehe von f b a f f zu dreifach und setze die Integrationsgrenzen, wenn die Fläche begrenzt ist durch: eine Ebene und Koordinatenebenen; b Kegel und Ebene h; in der Kugel Lösung a Konstruieren wir die Fläche und die Projektion dieser Fläche auf die Ebene O Abb. 7 Die Gerade AB ist die Schnittlinie der Ebene mit der Ebene, daher ihre Gleichung. So ist sie BAB. Abb. 7 Abb. Aus Abb. ist es Das ist leicht zu erkennen, wenn wir eine gerade Linie zeichnen, die parallel zur Achse O verläuft und das Dreieck OAB Fig schneidet, bemerken wir, dass sie entlang der Linie eintritt und entlang der Linie austritt

24 Um die Grenzen der Veränderung herauszufinden, zeichnen wir eine gerade Linie parallel zur Achse O und schneiden die Region Abb. 7 Sie tritt in die Region entlang der Oberfläche ein und verlässt sie entlang der Oberfläche i. Somit kann die Region durch ein System von beschrieben werden Ungleichungen 6 also f f 6 b Um die Grenzen im Dreifachintegral festzulegen, konstruieren wir die Region und ihre Projektion auf die Ebene O region Abb. 9 Die Gleichung der die Region begrenzenden Geraden erhält man durch Lösen des Gleichungssystems h h Abb. 9 ein Kreis mit Radius h zentriert am Ursprung Zeichnen paralleler Linien O und O schneiden sich und wir erhalten, was durch das System der Ungleichungen beschrieben wird h h h h h Daher h h h h h f f

25 Man kann beim Tripelintegral auch eine andere Integrationsreihenfolge wählen, dann ändern sich natürlich die Integrationsgrenzen, zum Beispiel stellen wir das ursprüngliche Integral in der Form c f dar. Um die Integrationsgrenzen festzulegen, projizieren wir auf die Ebene O und zeichnen gerade Linien, die parallel zu O und O verlaufen und sich schneiden, und Abb. In diesem Fall ist sie gegeben durch die Ungleichungen: h also h f f Abb c Konstruieren wir die Fläche und ihre Projektion auf die Ebene O Abb Abb Die Zeichnung zeigt das

26 f f f f Beispiel Berechnen Sie, ob der Körper durch die Koordinatenebenen der Ebene und des Kegels begrenzt ist Lösung Wir bauen den Körper und seine Projektion auf die Ebene O Abb Die Zeichnung zeigt, was durch die Ungleichungen beschrieben wird: Abb Also 6 6

27 Aufgaben zur unabhängigen Lösung Gehen Sie von f auf ein Dreifachintegral und legen Sie die Integrationsgrenzen fest, wenn der Körper begrenzt ist: a durch ein Ellipsoid; 9 b Paraboloid und Ebene; in Koordinatenebenen und einer Ebene 6 Berechnen, ob der Körper durch Ebenen und eine Kugel begrenzt ist Berechnen, ob der Körper durch Ebenen begrenzt ist Berechnen durch einen Kegel Antworten 9, ob der Körper durch Ebenen begrenzt ist a f ; b f ; in f 6 ÄNDERUNG VON VARIABLEN IM DREIFACHEN INTEGRALEN ZYLINDRISCHEN UND SPHÄRISCHEN KOORDINATEN Formeln für den Übergang zu Zylinderkoordinaten Abb: ; ; ; Formeln für den Übergang zu Kugelkoordinaten θ r Abb: r θ ; rθ; rθ; r θrθ hier; θ; r7

28 Lösungsbeispiele Beispiel Berechne Abb Abb wenn beschränkt auf einen Kegel und eine Ebene Lösung Der Körper ist in Abb dargestellt Fig Fig 6 Kommen wir zu Zylinderkoordinaten: ; ; ; In diesen Koordinaten ist die in Fig. 6 gezeigte Kreisgleichung die Kegelgleichung und der Körper ist durch die Ungleichungen gegeben; ; So

29 v Beispiel Berechne, ob ein Körper von Flächen begrenzt wird Lösung Konstruiere eine Region; Ebene Um eine Fläche zu bauen, wandeln wir die Gleichung um: Diese Gleichung definiert einen kreisförmigen Zylinder, an dessen Basis ein Kreis mit einem Radius liegt, dessen Mittelpunkt ein Punkt ;; Somit ist der Integrationsbereich ein Zylinder. ; Bild 7 9

30 Also Beispiel Berechne wo der Körper die obere Hälfte der Kugel ist Lösung Da hier der Integrationsbereich Teil der Kugel ist, ist es bequem auf sphärische Koordinaten überzugehen: Flächen Berechne wo begrenzt durch Flächen

31 Berechnen Berechnen wenn durch Flächen begrenzt wenn Kugel Lösungen ANWENDUNGEN VON DREIFACHINTEGRALEN Mit dem Dreifachintegral berechnet man: und das Volumen eines Körpers Ω: ; 7 Ω b Massen des den Bereich Ω besetzenden Körpers mit veränderlicher Rohdichte γ: M γ ; Ω in den Koordinaten des Schwerpunkts des Körpers Ω: c γ M Ω c γ 9 M Ω c γ M Ω wobei M die Masse des Körpers ist Wenn der Körper homogen ist, können wir in Formel 9 γ einsetzen; M Lösungsbeispiele Beispiel Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch einen Zylinder und Ebenen begrenzt ist. Lösung Der Körper und seine Projektion auf die Ebene O sind in Abb. Abb. dargestellt. Um die Koordinaten der Punkte A und B zu finden, lösen wir das Gleichungssystem:

32±A; B; Somit wird der Bereich Ω durch ein System von Ungleichungen beschrieben; ; Nach der Formel 7 Ω Beispiel Finden Sie die Masse eines von Ebenen begrenzten Körpers, wenn die Dichte an jedem Punkt γ ist Lösung Wir konstruieren den Körper Ω und seine Projektion auf die Ebene O Abb. 9 Abb. 9 Die Ebene schneidet die Ebene in einer geraden Linie Wenn wir das System lösen, erhalten wir die Koordinaten von Punkt A; Der Körper Ω wird also durch ein System von Ungleichungen beschrieben; ; Nach der Formel Körpermasse M Ω Beispiel Berechnen Sie die Masse eines Körpers, der von Ebenen 9 und einem parabolischen Zylinder begrenzt wird, wenn die Dichte an jedem Punkt proportional zur Abszisse ist und sich in einer Abstandseinheit von der Ebene O befindet

33 Lösungsdichte ist proportional zur Abszisse; daher k γ Bei Einheitsabstand von der Ebene O ist die Dichte; also für γ Dann k k Also γ Konstruiere den Körper Ω und seine Projektion auf die Ebene O Fig Fig Um die Koordinaten des Punktes A zu finden, lösen wir das Gleichungssystem; 9 A Damit kann die Fläche durch das Ungleichungssystem Ω Ω 9 angegeben werden: Die Masse des Körpers ist laut Formel Ω M

34 Lösung Lassen Sie uns den Körper Scheitelpunkt des Paraboloidpunktes bauen; ; Die Gleichung kann in die Form umgewandelt werden, dass sie eine Kugel mit einem Radius definiert, der an einem Punkt zentriert ist; ; Der Körper hat also die in Abb. dargestellte Form die Projektion des Körpers Ω auf die Ebene hat dieselbe Form Ω. ; In diesen Koordinaten hat die Randgleichung Ω die Form; und der Winkel erfüllt die Bedingung Gleichung eines Paraboloids in Zylinderkoordinaten, woher Gleichung einer Kugel: ± Für die untere Hälfte Variable Dichte gemäß der Bedingung des Problems ist proportional zum Quadrat des Abstands von der Achse O jene γ k In zylindrisch Koordinaten γ k Da der Körper symmetrisch um die Achse O ist, ist es offensichtlich, dass der Schwerpunkt auf dieser Achse liegt jene c; q Um q zu berechnen, verwenden wir Formel 9: q γ M Ω Berechnen wir zuerst die Masse des Körpers M [Formel]:

35 6 k k k k k k k k M γ Ω Ω Ω Jetzt berechnen wir Ω Ω Ω γ k k k k k k k k k k Nach der Formel k k c Der Schwerpunkt des betrachteten Körpers hat also Koordinaten; ; 7

36 Aufgaben zur selbstständigen Lösung 6 Finden Sie das Volumen eines Körpers, der begrenzt ist durch: a Ebenen; b Paraboloid und Ebene; in Flächen und 6 Finden Sie die Masse eines Körpers begrenzt: und durch Kugeln, wenn die Dichte γ k ist; b Flächen wenn Dichte γ k ; in einem Kegel und einer Ebene b, wenn die Dichte proportional zur Ordinate des Punktes ist und in einer Abstandseinheit von der Ebene O gleich γ ​​6 ist. Finden Sie die Koordinaten des Schwerpunkts eines homogenen Körpers, der durch Ebenen a begrenzt ist Antworten 6 a; b; in 6 9 k γb 6 a k ; b; bei 6 6 C ;; 6

37 Option ANHANG MÖGLICHKEITEN FÜR INDIVIDUELLE HAUSAUFGABEN Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist Finden Sie die Oberfläche eines Zylinders, der innerhalb des Zylinders eingeschlossen ist Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt wird Finden Sie die Masse eines Körpers, der durch a begrenzt ist Kugel und ein Paraboloid, wenn die Dichte an jedem Punkt gleich der Anwendung dieses Punktes ist. Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch eine Linie und eine Halbwelle einer Sinuskurve begrenzt ist. Finden Sie die Oberfläche eines Kegelschnitts off by planes Bestimmen Sie das Volumen eines von Oberflächen begrenzten Körpers. Bestimmen Sie die Masse eines Körpers, der von einem Teil einer Kugel mit Radius im ersten Oktanten begrenzt ist, wenn die Dichte an jedem Punkt gleich dem Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene O ist Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist Finden Sie die Oberfläche des Kegels innerhalb des Zylinders 9 Finden Sie das Volumen des Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist 9 9 Finden Sie die Masse des Körpers, der durch eine sphärische Schicht zwischen Oberflächen begrenzt wird 9 und 6, wenn die Dichte an jedem Punkt umgekehrt proportional zum Abstand vom Punkt zum Ursprung ist la Koordinaten Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist 6 > Finden Sie die Oberfläche innerhalb des Zylinders 6 Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist 7

38 Finden Sie die Masse eines Körpers, der von einem geraden Kreiszylinder mit Radiushöhe begrenzt wird, wenn die Dichte an jedem Punkt gleich dem Quadrat des Abstands vom Punkt zur Symmetrieachse des Zylinderwinkels ist. Finden Sie die Oberfläche von a Kegel innerhalb des Zylinders Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist Finden Sie die Masse eines Körpers, der durch Koordinatenebenen und Ebene 6 begrenzt ist, wenn die Dichte an jedem Punkt gleich der Abszisse dieses Punktes ist Option 6 Finden Sie den Schwerpunkt von a flache Figur, begrenzt durch die Achse O und den oberen Teil der Ellipse b a Finden Sie die Oberfläche des Zylinders, der durch Ebenen abgeschnitten ist Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen 6 begrenzt ist Finden Sie die Masse eines Körpers, der durch Oberflächen 6 begrenzt ist, wenn die Die Dichte an jedem Punkt ist gleich der Anwendung dieses Punktes. Option 7 Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die von einer Niere begrenzt wird. 7 Finden Sie die Oberfläche und einem von einem Zylinder geschnittenen Kegel Anzeige Gehe zu Polarkoordinaten Finde das Volumen eines von Flächen begrenzten Körpers Finde die Masse eines von Flächen begrenzten Körpers > wenn die Dichte gleich der Ordinate des Punktes ist Option Finde den Schwerpunkt von a flache Figur, begrenzt durch Linien p

39 Finden Sie die Oberfläche eines Paraboloids in einem Zylinder Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist 6 Finden Sie die Masse eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist, wenn die Dichte an jedem Punkt ist Option 9 Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur begrenzt durch Linien 9 9 > Finden Sie die Oberfläche eines Körpers, der durch eine Kugel und ein Paraboloid begrenzt ist. Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen 6 9 außerhalb des Zylinders begrenzt ist. Finden Sie die Masse eines Körpers, der durch eine sphärische Schicht zwischen den Oberflächen 6 begrenzt ist wenn die Dichte umgekehrt proportional zum Abstand eines Punktes vom Ursprung ist Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur durch eine begrenzte Linie und eine gerade Linie OA, die durch den Ursprung und den Punkt A verläuft; Ermitteln Sie die Oberfläche einer von einem Zylinder ausgeschnittenen Kugel. Ermitteln Sie das Volumen eines durch Flächen begrenzten Körpers. innerhalb der Zylinder Finden Sie die Masse eines Körpers, der von einer Kugel mit einem Radius begrenzt wird, wenn die Dichte proportional zur dritten Potenz des Abstands vom Mittelpunkt der Kugel ist und gleich γ pro Entfernungseinheit ist; Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist 6 Finden Sie die Oberfläche eines Zylinders zwischen Ebenen Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist Finden Sie die Masse eines Körpers, der durch eine zylindrische Oberfläche und Ebenen begrenzt ist, wenn die Dichte gleich der Ordinate des Punktes 9 ist

40 Option Finden Sie den Schwerpunkt einer ebenen Figur, die von einer Niere begrenzt wird. Finden Sie die Oberfläche einer Kugel, die in einem Zylinder eingeschlossen ist. Finden Sie das Volumen eines Körpers, der von Oberflächen begrenzt wird. Finden Sie die Masse eines Körpers einer Kugel, die von einem Oktanten begrenzt wird durch Koordinatenebenen und eine Ebene, wenn die Dichte an jedem Punkt gleich der Anwendung dieses Punktes ist Option Finden Sie den Schwerpunkt einer ebenen Figur, die durch Linien begrenzt ist Finden Sie die Fläche der Oberfläche eines Paraboloids, die zwischen dem Zylinder und der Ebene eingeschlossen ist c a b Finden Sie die Masse des Körpers, der durch das Paraboloid und die Ebene begrenzt ist, wenn die Dichte gleich der Summe der Quadrate der Koordinaten des Punktes ist. Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist. Finden Sie die Oberfläche von ​​der zwischen der Ebene O und der Oberfläche eingeschlossene Zylinder Bestimmen Sie das Volumen des von Oberflächen begrenzten Körpers. Bestimmen Sie die Masse des von dem Zylinder begrenzten Körpers 6, wenn die Dichte proportional zum Quadrat des Abstands zwischen dem Punkt und der Achse des Zylinders ist Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch die Linien α α tg tg begrenzt ist im Zylinder Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Flächen begrenzt ist

41 Finden Sie die Masse eines durch Flächen begrenzten Körpers > wenn die Dichte gleich der Ordinate eines Punktes ist Option 6 Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist 6 Finden Sie die Oberfläche einer Kugel 6 innerhalb der Zylinder Finden Sie das Volumen eines von Flächen begrenzten Körpers b a a b Finden Sie die Masse eines von Flächen begrenzten Körpers, wenn die Dichte gleich der Anwendung eines Punktes ist Option 7 Finden Sie den Schwerpunkt eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit einem Bein, wenn die Dichte an jedem ist Punkt ist proportional zum Quadrat des Abstands vom Scheitelpunkt des rechten Winkels Finden Sie die Fläche der Oberfläche des vom Zylinder geschnittenen Kegels Anzeige Gehen Sie zu Polarkoordinaten Finden Sie das Volumen des Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist 9 Finden Sie die Masse von eine Kugel mit Radius, wenn die Dichte proportional zum Kubus des Abstands vom Mittelpunkt der Kugel und pro Entfernungseinheit gleich γ ist Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist Finden Sie die Oberfläche von das im ersten Oktanten enthaltene Paraboloid Paraboloid wird durch eine Ebene begrenzt 6 Bestimmen Sie das Volumen eines durch Flächen begrenzten Körpers 6 Bestimmen Sie die Masse von h einer Kugel mit Radius im ersten Oktanten, wenn die Dichte an jedem Punkt gleich dem Abstand von der Ebene O ist. Option 9 Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist. Finden Sie die Oberfläche eines Körpers, der durch begrenzt ist eine Kugel und ein Paraboloid

42 Ermitteln Sie das Volumen eines von Flächen begrenzten Körpers. Ermitteln Sie die Masse eines Körpers, der von einem geraden Kreiszylinder mit Radiushöhe begrenzt ist, wenn die Dichte gleich dem Quadrat des Abstands eines Punktes vom Mittelpunkt der Basis des Zylinders ist. Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist > Finden Sie die Oberfläche einer Kugel 9, die von einem Zylinder geschnitten wird. Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist. Finden Sie die Masse einer Kugel mit Radius, wenn die Dichte proportional ist zu der Würfel des Abstands vom Zentrum und ist gleich γ pro Entfernungseinheit Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist ± tg 6 Finden Sie die Oberfläche des Zylinders innerhalb des Zylinders Finden Sie das Volumen von der durch Flächen begrenzte Körper innerhalb des Zylinders Finden Sie die Masse des Körpers, der durch den gemeinsamen Teil zweier Kugeln begrenzt ist, wenn die Dichte proportional zum Abstand der Punkte zur Ebene ist O Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch eine Kardioide begrenzt ist Finden Sie die Oberfläche eines von Ebenen abgeschnittenen Kegels. Finden Sie das Volumen eines Körpers, der von Oberflächen außerhalb des Zylinders begrenzt wird. 6. Finden Sie die Masse eines Teils einer Kugel mit Radius nax im ersten Oktanten, wenn die Dichte an jedem Punkt gleich dem Abstand zur Ebene O ist

43 Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist. Finden Sie die Oberfläche eines Paraboloids 6, das zwischen einem Zylinder und einer Ebene eingeschlossen ist. Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist. Finden Sie die Masse eines Körpers, der durch eine Kugel begrenzt ist Schicht zwischen Flächen 6 wenn die Dichte umgekehrt proportional zum Abstand vom Ursprung ist Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist 9 Finden Sie die Oberfläche innerhalb des Zylinders Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist Finden Sie die Masse eines Körpers, der durch ein Paraboloid und eine Ebene begrenzt ist, wenn die Dichte gleich der Summe der Quadrate der Koordinaten des Punkts ist Option Finden Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist Finden Sie die Oberfläche eines Kegels im Inneren der Zylinder Bestimmen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Oberflächen begrenzt ist. Bestimmen Sie die Masse eines Körpers, der durch einen gemeinsamen Teil zweier Kugeln begrenzt ist, wenn die Dichte proportional zum Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene O ist

44 Inhalt Die Berechnung von Doppelintegralen in den Dekartementkoordinaten des Doppelintegrals in den Polarkoordinaten des Doppelintegrals Anwendungen Berechnung der Dreifachintegrale in den anständigen Koordinaten Ersetzen von Variablen im Dreifachintegral Zylinder- und Kugelkoordinaten 7 6 Anwendungen des Dreifachs Hausaufgaben 7 Bildung Publikation Trendy integriert Anleitung Zusammengestellt von Karpilova Olga Mikhailovna Herausgeberin YUN Litvinov a Abschlussarbeit von YUN Litvinov Drucksigniert Format 6x/6 Offsetpapier Offsetdruck Konv. 9/ Samara State Aerospace University 6 Samara Moskovskoe Highway Verlag der Samara State Aerospace University 6 Samara Moskau

Cos, sin, J dd dd d d 5 Berechnen Sie zdd zddz ddz, wobei die Außenseite der Oberfläche z ist, die von der z-Ebene abgeschnitten wird. LÖSUNG Die Oberfläche ist ein Paraboloid, das explizit durch die Gleichung z gegeben ist. Daher

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Doppelintegrale Beispiele zur Problemlösung 1. Reduzieren Sie das Doppelintegral f(x, y) dx dy auf zwei Arten auf das wiederholte (durch Formel (1) und durch Formel (2)), wenn G ein durch Kurven x begrenzter Bereich ist = 1, y = x 2 , y =

Ausdruck der Körpermasse durch ein Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten Definitionen und Formeln zur Problemlösung Definition

Bildungsministerium der Republik Belarus BELARUSIAN NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY Institut für Ingenieurmathematik N.А. Kondratjewa O.G. Wischnewskaja N.K. Prikhach MATHEMATIK Methodischer Leitfaden

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PROBLEMBANK ZUM THEMA "INTEGRALRECHNUNG" * Ändern Sie die Integrationsreihenfolge + d d * Finden Sie die Fläche der flachen Fläche, die durch die Linien =, =, = begrenzt ist * Berechnen Sie (D) + acctg d, wo) +, + 9, = (D-Bereich,

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Teil. Ungefähre Prüfungsaufgaben in Mathematik A. Die einfachsten Aufgaben für drei Punkte Berechnen Sie die Integrale von arcsin i) 6 n j) 5 6 5 g) 6 d) cos h) z arcsin z. Ableitung berechnen

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3 Bereich (D) In ​​unserem Fall ist n der Normalenvektor zur XOY-Ebene, n k ( ) = ϕ, ϕ, Then = =, und n ( ) cos γ =, + + (ϕ) (ϕ) ( ϕ) (ϕ) dq = + + dd Hinweis Wenn die Fläche (Q) in Richtung regelmäßig ist

PROBLEM IN MATHEMATIK (Fakultäten, Semester) 7 Integrale Finde Integrale d d sin + d + + d + d + d 7 (+) d + + 8 d 9 cos d cos + d cos d + 8 d 9 d d + d 9 + d + 7 tan d 8 cosd cos sin 9 d

VORLESUNG N 45 Mehrfachintegrale in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten Anwendungen Mehrfachintegrale Doppelintegrale in Polarkoordinaten Dreifachintegrale in Zylinder- und Kugelkoordinaten

Kapitel. Mehrere Integrale. () Erster Fall. Der Integrationsbereich ist links begrenzt

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VORTRAG Hyperbeln zweiter Ordnung Als Beispiel finden wir Gleichungen, die einen Kreis, eine Parabel, eine Ellipse und einen Kreis definieren. Ein Kreis ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, die von einer gegebenen Stelle gleich weit entfernt sind

Dreifaches Integral Volchenko Yu.M. Der Inhalt der Vorlesung Der Begriff des Tripelintegrals. Bedingungen für seine Existenz. Der Mittelwertsatz. Berechnung des Tripelintegrals in kartesischen und krummlinigen Koordinaten. Verdreifachen

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Einführungsleitfaden enthält 26 Möglichkeiten für individuelle Hausaufgaben zu den Themen „Linie in der Ebene und im Raum“, „Ebene“, „Kurven und Flächen zweiter Ordnung“. Unter angepasst

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Lektionen 1-2. Das bestimmte Integral und seine Anwendungen I. Berechnen Sie mit der Newton-Leibniz-Formel das bestimmte Integral: 1. (2 + 2) 2. / 3. (4.) 5. 6. 7. 8. Efimov-Pospelov 7.324-7.352 , 7.380- 7.385,

Vorlesung 7 Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale sind bestimmte Integrale, bei denen mindestens eine der Bedingungen für die Existenz eines bestimmten (echten) Integrals nicht erfüllt ist :) oder

14. Lektion. Dreifache Integrale Mat.-Nr. Analyse, app. Mathematik, 3. Semester Wiederholung A1 Wechseln Sie beim nächsten Integral zu Polarkoordinaten und ordnen Sie die Integrationsgrenzen in beliebiger Reihenfolge an:

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Inhalt Mehrfachintegrale Das Konzept eines Mehrfachintegrals Doppelintegrale. Flächen in einer Ebene .................. Iteriertes Integral .................. 3.3 Berechnung des Doppelintegrals in kartesischer Sprache Koordinaten ..... .................

Übung 14 Thema: Parabel Gliederung 1. Definition und kanonische Gleichung einer Parabel Geometrische Eigenschaften einer Parabel. Die relative Position einer Parabel und einer geraden Linie, die durch ihren Mittelpunkt verläuft. Hauptsächlich

1 Die einfachsten Probleme der analytischen Geometrie in einer Ebene 11 Abstand zwischen zwei Punkten Betrachten Sie ein rechtwinkliges Koordinatensystem (kartesisch, Abb. 1) Jeder Punkt M entspricht den Koordinaten OA x

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Kapitel 5. Dreifaches Integral. 5.1. Definition des Tripelintegrals. Nach der Einführung des Begriffs Doppelintegral im vorigen Kapitel wäre es naheliegend, dessen weitere Verallgemeinerung auf den dreidimensionalen Raum vorzunehmen

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Aufgabe 1 Finden Sie die Koordinaten des Schwerpunkts des Halbkreises y = r 2 x 2. Aufgabe 5 Bereich des Teils der Oberfläche z = 1 4 xy innerhalb der Oberfläche x 2 + y 2 = 16. Aufgabe 2 Ändern Sie die Reihenfolge der Integration

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Praktische Lektion 1 Thema: Hyperbel Plan 1 Definition und kanonische Gleichung einer Hyperbel Geometrische Eigenschaften einer Hyperbel Gegenseitige Position einer Hyperbel und einer Linie, die durch ihren Mittelpunkt geht Asymptoten

Zuvor haben wir die Eigenschaften eines bestimmten Integrals bewiesen, indem wir seine Definition als Grenzwert von Summen verwendet haben. Die grundlegenden Eigenschaften multipler Integrale können auf genau die gleiche Weise bewiesen werden. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass alle Funktionen stetig sind, sodass deren Integrale durchaus Sinn machen.

I. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen herausgenommen werden, und das Integral der endlichen Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der Terme:

II. Zerlegt man die Fläche in endlich viele Teile [zum Beispiel in zwei Teile, dann ist das Integral über die gesamte Fläche gleich der Summe der Integrale über alle Teile:

III. Wenn in der Gegend, dann

Insbesondere :

IV. Ist es im Bereich (a) vorzeichenerhaltend, so gilt der Mittelwertsatz, der durch die Formel ausgedrückt wird

wo ist ein Punkt, der innerhalb der Region (a) liegt.

Insbesondere, wenn wir bekommen

wo ist die fläche der region.

Ähnliche Eigenschaften gelten für das Dreifachintegral. Beachten Sie, dass bei der Definition des Doppel- und Dreifachintegrals als Grenzwert der Summe immer davon ausgegangen wird, dass der Integrationsbereich endlich und der Integrand in jedem Fall beschränkt ist, d.h. es gibt eine so positive Zahl A, dass an allen Punkten N der Integrationsregion. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, kann das Integral genauso wie das einfache bestimmte Integral als uneigentliches Integral existieren. Mit uneigentlichen multiplen Integralen werden wir uns in § 8 befassen.

Vielfaches Integral

Integral einer Funktion, die in einem bestimmten Bereich auf einer Ebene, in drei Dimensionen oder gegeben ist n-dimensionaler Raum. Unter K. und. unterscheiden zwischen Doppelintegralen, Dreifachintegralen usw. n-fache Integrale.

Lassen Sie die Funktion f(x, y) ist in einigen Bereichen gegeben D Flugzeug ho. Lassen Sie uns den Bereich aufteilen D auf der n Teilbereiche d ich, deren Flächen gleich sind bin ich, in jedem Bereich auswählen d ich Punkt ( ξi, ich) (cm. Reis. ) und bilden die Integralsumme

Wenn mit einer unbegrenzten Verringerung des maximalen Durchmessers von Teilbereichen d ich Beträge S unabhängig von der Auswahl der Punkte ein Limit haben ( ξi, ich), dann heißt dieser Grenzwert Doppelintegral der Funktion f(x, y) nach Gebiet D und bezeichnen

Das Dreifachintegral wird ähnlich und allgemein definiert n-faches Integral.

Für die Existenz eines Doppelintegrals genügt es beispielsweise, dass der Bereich D war eine geschlossene Quadrierdomäne (siehe Quadrierdomäne) und die Funktion f(x, y) war kontinuierlich in D. K. ich. haben eine Reihe von Eigenschaften, die denen einfacher Integrale ähneln . Für die Berechnung nach. und. führen normalerweise zum iterierten Integral (siehe Iteriertes Integral). In besonderen Fällen für Informationen zu. und. Für Integrale niedrigerer Dimension können Greensche Formeln und Ostrogradskysche Formeln dienen. K. ich. haben umfangreiche Anwendungen: Sie werden verwendet, um die Volumina von Körpern, ihre Massen, statische Momente, Trägheitsmomente usw. auszudrücken.

Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

Sehen Sie, was "Mehrfaches Integral" in anderen Wörterbüchern ist:

Integral einer Funktion mehrerer Variablen. Er wird über Integralsummen bestimmt, ähnlich dem bestimmten Integral einer Funktion einer Variablen (siehe Integralrechnung). Je nach Anzahl der Variablen gibt es Double, Triple, n ... ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Bestimmtes Integral einer Funktion mehrerer Variablen. Es gibt verschiedene Konzepte zu. und. (Riemann-Integral, Lebesgue-Integral, Lebesgue-Stieltjes-Integral usw.). Das multiple Riemann-Integral wird ausgehend vom Jordan-Maß eingeführt: Sei E jordan messbar ... ... Mathematische Enzyklopädie

In der mathematischen Analyse ist ein Mehrfach- oder Mehrfachintegral eine Menge von Integralen, die aus Variablen entnommen werden. Zum Beispiel: Hinweis: Ein mehrfaches Integral ist ein bestimmtes Integral, und wenn es berechnet wird, erhält man immer eine Zahl. Inhalt 1 ... ... Wikipedia

Integral einer Funktion mehrerer Variablen. Er wird über Integralsummen bestimmt, ähnlich dem bestimmten Integral einer Funktion einer Variablen (siehe Integralrechnung). Je nach Anzahl der Variablen gibt es Double, Triple, n ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Integral einer Funktion mehrerer Variablen. Sie wird unter Verwendung von ganzzahligen Summen bestimmt, die ähnlich definiert sind. Integral einer Funktion einer Variablen (siehe Integralrechnung). Je nach Anzahl der Variablen gibt es Double, Triple, I ... ... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

Hinweis: Überall in diesem Artikel, wo das Vorzeichen verwendet wird, ist das (multiple) Riemann-Integral gemeint, sofern nicht anders angegeben; Überall in diesem Artikel, wo es um die Messbarkeit einer Menge geht, ist jordanische Messbarkeit gemeint, wenn nicht ... ... Wikipedia

Ein Vielfachintegral der Form wobei der Mittelwert der Potenz 2k des Moduls der trigonometrischen Summe ist. Der Satz von Vinogradov über den Wert dieses Integrals, der Mittelwertsatz, liegt Schätzungen von Weyl-Summen zugrunde. Literatur Vinogradov inter ... Wikipedia

Bestimmtes Integral als Fläche einer Figur Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Integral (Begriffsklärung). Funktionsintegral ... Wikipedia

Ein Integral, bei dem nacheinander über verschiedene Variablen integriert wird, d.h. ein Integral der Form (1) misst mx und my,… … Mathematische Enzyklopädie

Ein Integral entlang einer Kurve in einer Ebene oder im Raum. K. und unterscheiden. 1. und 2. Typ. K. ich. Der erste Typ tritt beispielsweise auf, wenn das Problem der Berechnung der Masse einer Kurve mit variabler Dichte betrachtet wird; es ist beschriftet... Große sowjetische Enzyklopädie