Die am häufigsten gestellten Fragen
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Alexej:
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Die Verhältnisse zwischen den wichtigsten trigonometrischen Funktionen - Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens - sind angegeben trigonometrische Formeln. Und da es zwischen trigonometrischen Funktionen recht viele Zusammenhänge gibt, erklärt dies auch die Fülle an trigonometrischen Formeln. Einige Formeln verbinden die trigonometrischen Funktionen desselben Winkels, andere - die Funktionen eines Mehrfachwinkels, andere - ermöglichen es Ihnen, den Grad zu verringern, die vierte - um alle Funktionen durch die Tangente eines halben Winkels auszudrücken usw.
In diesem Artikel listen wir der Reihe nach alle grundlegenden trigonometrischen Formeln auf, die ausreichen, um die überwiegende Mehrheit der trigonometrischen Probleme zu lösen. Zur leichteren Einprägung und Verwendung gruppieren wir sie nach ihrem Zweck und tragen sie in Tabellen ein.
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Grundlegende trigonometrische Identitäten
Grundlegende trigonometrische Identitäten Stellen Sie die Beziehung zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels ein. Sie ergeben sich aus der Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sowie dem Begriff des Einheitskreises. Sie ermöglichen es Ihnen, eine trigonometrische Funktion durch eine andere auszudrücken.
Eine ausführliche Beschreibung dieser Trigonometrieformeln, ihre Herleitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.
Gießen Sie Formeln
Gießen Sie Formeln folgen aus den Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, dh sie spiegeln die Eigenschaft der Periodizität trigonometrischer Funktionen, die Eigenschaft der Symmetrie und auch die Eigenschaft der Verschiebung um einen bestimmten Winkel wider. Mit diesen trigonometrischen Formeln können Sie von der Arbeit mit beliebigen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln zwischen null und 90 Grad wechseln.
Die Gründe für diese Formeln, eine Merkregel zum Auswendiglernen und Beispiele für ihre Anwendung können im Artikel studiert werden.
Additionsformeln
Trigonometrische Additionsformeln Zeigen Sie, wie die trigonometrischen Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel durch die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ausgedrückt werden. Diese Formeln dienen als Grundlage für die Ableitung der folgenden trigonometrischen Formeln.
Formeln für doppelt, dreifach usw. Winkel
Formeln für doppelt, dreifach usw. Winkel (sie werden auch Mehrfachwinkelformeln genannt) zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen von doppelt, dreifach usw. Winkel () werden als trigonometrische Funktionen eines einzelnen Winkels ausgedrückt. Ihre Herleitung basiert auf Additionsformeln.
Genauere Informationen sind in den Artikelformeln für doppelt, dreifach usw. gesammelt. Winkel .
Halbwinkelformeln
Halbwinkelformeln zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen eines halben Winkels durch den Kosinus eines ganzzahligen Winkels ausgedrückt werden. Diese trigonometrischen Formeln folgen aus den Doppelwinkelformeln.
Ihr Fazit und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.
Reduktionsformeln
Trigonometrische Formeln für abnehmende Grade sollen den Übergang von natürlichen Potenzen trigonometrischer Funktionen zu Sinus und Cosinus im ersten Grad, aber mehreren Winkeln erleichtern. Mit anderen Worten, sie erlauben es, die Potenzen trigonometrischer Funktionen auf die erste zu reduzieren.
Formeln für die Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen
Hauptziel Summen- und Differenzenformeln für trigonometrische Funktionen besteht im Übergang zum Produkt von Funktionen, was bei der Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke sehr nützlich ist. Diese Formeln werden auch häufig zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet, da sie die Faktorisierung der Summe und Differenz von Sinus und Cosinus ermöglichen.
Formeln für das Produkt von Sinus, Kosinus und Sinus mal Kosinus
Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zur Summe oder Differenz erfolgt über die Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.
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Ich werde Sie nicht davon überzeugen, keine Spickzettel zu schreiben. Schreiben! Einschließlich Spickzettel zur Trigonometrie. Später werde ich erklären, warum Spickzettel benötigt werden und wie Spickzettel nützlich sind. Und hier - Informationen darüber, wie man nicht lernt, sondern sich an einige trigonometrische Formeln erinnert. Also - Trigonometrie ohne Spickzettel!Wir verwenden Assoziationen zum Auswendiglernen.
1. Additionsformeln:
Cosinus "geht immer paarweise": Cosinus-Cosinus, Sinus-Sinus.
Und noch etwas: Kosinusse sind „unzureichend“. Sie „alles ist falsch“, also ändern sie die Vorzeichen: „-“ zu „+“ und umgekehrt.
Nebenhöhlen - "mischen": Sinus-Kosinus, Kosinus-Sinus.
2. Summen- und Differenzformeln:
Kosinusse "gehen immer paarweise". Nachdem wir zwei Kosinusse hinzugefügt haben - "Brötchen", erhalten wir ein Paar Kosinusse - "Koloboks". Und wenn wir davon abziehen, werden wir definitiv keine Koloboks bekommen. Wir bekommen ein paar Sinus. Immer noch mit einem Minus voraus.
Nebenhöhlen - "mischen" :
3. Formeln zur Umrechnung eines Produkts in eine Summe und eine Differenz.
Wann bekommen wir ein Kosinuspaar? Beim Addieren der Kosinus. Deshalb
Wann bekommen wir ein Paar Sinus? Beim Subtrahieren von Kosinus. Von hier:
"Mischen" wird sowohl durch Addieren als auch Subtrahieren von Sinus erhalten. Was macht mehr Spaß: Addieren oder Subtrahieren? Richtig, folden. Und für die Formel nimm zusätzlich:
In der ersten und dritten Formel in Klammern - der Betrag. Durch die Umordnung der Stellen der Terme ändert sich die Summe nicht. Die Reihenfolge ist nur für die zweite Formel wichtig. Aber um nicht verwirrt zu werden, nehmen wir zur besseren Erinnerung in allen drei Formeln in den ersten Klammern die Differenz
und zweitens die Summe
Krippenblätter in der Tasche geben Sicherheit: Wenn Sie die Formel vergessen, können Sie sie abschreiben. Und sie geben Vertrauen: Wenn Sie den Spickzettel nicht verwenden, können Sie sich die Formeln leicht merken.
Die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus für zwei Winkel α und β ermöglichen es Ihnen, von der Summe der angegebenen Winkel zum Produkt der Winkel α + β 2 und α - β 2 zu gelangen. Wir weisen gleich darauf hin, dass Sie die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus nicht mit den Formeln für Sinus und Cosinus von Summe und Differenz verwechseln sollten. Nachfolgend listen wir diese Formeln auf, geben ihre Herleitung an und zeigen Anwendungsbeispiele für konkrete Problemstellungen.
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Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus
Schreiben wir auf, wie die Summen- und Differenzenformeln für Sinus und Cosinus aussehen
Summen- und Differenzenformeln für Sinus
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Summen- und Differenzenformeln für Kosinus
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α2
Diese Formeln gelten für beliebige Winkel α und β. Die Winkel α + β 2 und α - β 2 werden als Halbsumme bzw. Halbdifferenz der Winkel Alpha und Beta bezeichnet. Wir geben für jede Formel eine Formulierung an.
Definitionen von Summen- und Differenzformeln für Sinus und Cosinus
Die Summe der Sinus zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbsumme dieser Winkel und dem Kosinus der Halbdifferenz.
Differenz der Sinus zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbdifferenz dieser Winkel und dem Kosinus der Halbsumme.
Die Summe der Kosinuswerte zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Kosinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel.
Kosinusdifferenz zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel, genommen mit negativem Vorzeichen.
Herleitung von Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus
Um Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus zweier Winkel herzuleiten, werden Additionsformeln verwendet. Nachfolgend stellen wir sie vor
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Wir stellen auch die Winkel selbst als Summe von Halbsummen und Halbdifferenzen dar.
α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Wir gehen direkt zur Herleitung der Summen- und Differenzenformeln für sin und cos über.
Herleitung der Formel für die Summe der Sinus
In der Summe sin α + sin β ersetzen wir α und β durch die oben angegebenen Ausdrücke für diese Winkel. Erhalten
Sünde α + Sünde β = Sünde α + β 2 + α - β 2 + Sünde α + β 2 - α - β 2
Jetzt wenden wir die Additionsformel auf den ersten Ausdruck an und die Sinusformel der Winkeldifferenzen auf den zweiten (siehe Formeln oben)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Die Schritte zum Ableiten der restlichen Formeln sind ähnlich.
Herleitung der Formel für die Sinusdifferenz
Sünde α - Sünde β = Sünde α + β 2 + α - β 2 - Sünde α + β 2 - α - β 2 Sünde α + β 2 + α - β 2 - Sünde α + β 2 - α - β 2 = Sünde α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Herleitung der Formel für die Kosinussumme
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Herleitung der Cosinus-Differenzformel
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Beispiele zur Lösung praktischer Probleme
Zunächst überprüfen wir eine der Formeln, indem wir bestimmte Winkelwerte einsetzen. Sei α = π 2 , β = π 6 . Lassen Sie uns den Wert der Summe der Sinus dieser Winkel berechnen. Zuerst verwenden wir die Tabelle der Grundwerte der trigonometrischen Funktionen, und dann wenden wir die Formel für die Summe der Sinus an.
Beispiel 1. Überprüfung der Formel für die Summe der Sinus zweier Winkel
α \u003d π 2, β \u003d π 6 Sünde π 2 + Sünde π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 Sünde π 2 + Sünde π 6 \u003d 2 Sünde π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 Sünde π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
Betrachten wir nun den Fall, wenn die Werte der Winkel von den in der Tabelle angegebenen Grundwerten abweichen. Sei α = 165°, β = 75°. Lassen Sie uns den Wert der Differenz zwischen den Sinus dieser Winkel berechnen.
Beispiel 2. Anwendung der Sinusdifferenzformel
α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Mit den Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus kannst du von der Summe oder Differenz zum Produkt trigonometrischer Funktionen gehen. Oft werden diese Formeln als Formeln für den Übergang von Summe zu Produkt bezeichnet. Die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus werden häufig beim Lösen trigonometrischer Gleichungen und beim Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke verwendet.
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Die Trigonometrie als Wissenschaft hat ihren Ursprung im Alten Osten. Die ersten trigonometrischen Verhältnisse wurden von Astronomen entwickelt, um einen genauen Kalender und eine Orientierung an den Sternen zu erstellen. Diese Berechnungen beziehen sich auf die sphärische Trigonometrie, während sie im Schulkurs das Seiten- und Winkelverhältnis eines flachen Dreiecks untersuchen.
Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und der Beziehung zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken befasst.
Während der Blütezeit von Kultur und Wissenschaft im 1. Jahrtausend n. Chr. verbreitete sich das Wissen vom Alten Orient bis nach Griechenland. Aber die wichtigsten Entdeckungen der Trigonometrie sind das Verdienst der Männer des arabischen Kalifats. Insbesondere der turkmenische Wissenschaftler al-Marazvi führte Funktionen wie Tangens und Kotangens ein und erstellte die ersten Wertetabellen für Sinus, Tangens und Kotangens. Das Konzept von Sinus und Cosinus wurde von indischen Wissenschaftlern eingeführt. In den Werken so großer Persönlichkeiten der Antike wie Euklid, Archimedes und Eratosthenes wird der Trigonometrie viel Aufmerksamkeit geschenkt.
Grundgrößen der Trigonometrie
Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen eines numerischen Arguments sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Graphen: Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.
Die Formeln zur Berechnung der Werte dieser Größen basieren auf dem Satz des Pythagoras. Schulkindern ist sie besser bekannt in der Formulierung: „Pythagoreische Hose, in allen Richtungen gleich“, da der Beweis am Beispiel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks geführt wird.
Sinus, Cosinus und andere Abhängigkeiten stellen eine Beziehung zwischen spitzen Winkeln und Seiten eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks her. Wir geben Formeln zur Berechnung dieser Größen für den Winkel A an und verfolgen die Beziehung trigonometrischer Funktionen:
Wie Sie sehen können, sind tg und ctg Umkehrfunktionen. Wenn wir das Bein a als Produkt aus sin A und der Hypotenuse c und das Bein b als cos A * c darstellen, dann erhalten wir die folgenden Formeln für Tangens und Kotangens:
trigonometrischer Kreis
Grafisch lässt sich das Verhältnis der genannten Größen wie folgt darstellen:
Der Kreis repräsentiert in diesem Fall alle möglichen Werte des Winkels α - von 0° bis 360°. Wie aus der Abbildung ersichtlich, nimmt jede Funktion je nach Winkel einen negativen oder positiven Wert an. Zum Beispiel wird sin α mit einem „+“-Zeichen versehen, wenn α zu den Vierteln I und II des Kreises gehört, dh im Bereich von 0 ° bis 180 ° liegt. Bei α von 180° bis 360° (III. und IV. Viertel) kann sin α nur ein negativer Wert sein.
Versuchen wir, trigonometrische Tabellen für bestimmte Winkel zu erstellen und die Bedeutung der Größen herauszufinden.
Die Werte von α gleich 30°, 45°, 60°, 90°, 180° usw. werden als Sonderfälle bezeichnet. Die Werte der trigonometrischen Funktionen für sie werden berechnet und in Form von speziellen Tabellen dargestellt.
Diese Winkel wurden nicht zufällig gewählt. Die Bezeichnung π in den Tabellen steht für Radiant. Rad ist der Winkel, bei dem die Länge eines Kreisbogens seinem Radius entspricht. Dieser Wert wurde eingeführt, um einen allgemeingültigen Zusammenhang herzustellen, bei der Berechnung im Bogenmaß spielt die tatsächliche Länge des Radius in cm keine Rolle.
Die Winkel in den Tabellen für trigonometrische Funktionen entsprechen Radiantwerten:
Es ist also nicht schwer zu erraten, dass 2π ein Vollkreis oder 360° ist.
Eigenschaften trigonometrischer Funktionen: Sinus und Cosinus
Um die grundlegenden Eigenschaften von Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens zu betrachten und zu vergleichen, ist es notwendig, ihre Funktionen zu zeichnen. Dies kann in Form einer in einem zweidimensionalen Koordinatensystem liegenden Kurve erfolgen.
Betrachten Sie eine Vergleichstabelle mit Eigenschaften für eine Sinuswelle und eine Kosinuswelle:
| sinusförmig | Kosinuswelle |
|---|---|
| y = Sünde x | y = cos x |
| ODZ [-1; eines] | ODZ [-1; eines] |
| sin x = 0, für x = πk, wobei k ϵ Z | cos x = 0, für x = π/2 + πk, wobei k ϵ Z |
| sin x = 1, für x = π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z | cos x = 1, für x = 2πk, wobei k ϵ Z |
| sin x = - 1, bei x = 3π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z | cos x = - 1, für x = π + 2πk, wobei k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, also ungerade Funktion | cos (-x) = cos x, d.h. die Funktion ist gerade |
| die Funktion ist periodisch, die kleinste Periode ist 2π | |
| sin x › 0, wobei x zu den Vierteln I und II oder von 0° bis 180° gehört (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, wobei x zu den Vierteln I und IV oder von 270° bis 90° gehört (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, wobei x zu den Vierteln III und IV oder von 180° bis 360° gehört (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, wobei x zu den Vierteln II und III oder von 90° bis 270° gehört (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| steigt auf dem Intervall [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | nimmt auf dem Intervall [-π + 2πk, 2πk] zu |
| nimmt auf den Intervallen [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] ab | nimmt in Intervallen ab |
| Ableitung (sin x)' = cos x | Ableitung (cos x)’ = - sin x |
Zu bestimmen, ob eine Funktion gerade ist oder nicht, ist sehr einfach. Es reicht aus, sich einen trigonometrischen Kreis mit Vorzeichen trigonometrischer Größen vorzustellen und den Graphen mental relativ zur OX-Achse zu „falten“. Bei gleichen Vorzeichen ist die Funktion gerade, sonst ungerade.
Die Einführung des Bogenmaßes und die Aufzählung der Haupteigenschaften der Sinus- und Cosinuswelle ermöglichen uns, die folgende Regelmäßigkeit zu erreichen:
Es ist sehr einfach, die Richtigkeit der Formel zu überprüfen. Beispielsweise ist für x = π/2 der Sinus gleich 1, ebenso wie der Kosinus von x = 0. Die Überprüfung kann durch Betrachten von Tabellen oder durch Verfolgen von Funktionskurven für gegebene Werte erfolgen.
Eigenschaften von Tangenten und Kotangenten
Die Graphen der Tangens- und Kotangensfunktionen unterscheiden sich erheblich von der Sinus- und Kosinuswelle. Die Werte tg und ctg sind zueinander invers.
- Y = tx.
- Die Tangente strebt bei x = π/2 + πk den Werten von y zu, erreicht sie aber nie.
- Die kleinste positive Periode der Tangente ist π.
- Tg (- x) \u003d - tg x, d. H. Die Funktion ist ungerade.
- Tg x = 0, für x = πk.
- Die Funktion nimmt zu.
- Tg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, für x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Ableitung (tg x)' = 1/cos 2 x .
Betrachten Sie die grafische Darstellung des Kotangens unten im Text.
Die Haupteigenschaften des Kotangens:
- Y = ctgx.
- Im Gegensatz zu den Sinus- und Kosinusfunktionen kann Y in der Tangente die Werte der Menge aller reellen Zahlen annehmen.
- Der Kotangens strebt bei x = πk den Werten von y zu, erreicht sie aber nie.
- Die kleinste positive Periode des Kotangens ist π.
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, d. H. Die Funktion ist ungerade.
- Ctg x = 0, für x = π/2 + πk.
- Die Funktion nimmt ab.
- Ctg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, für x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Ableitung (ctg x)' = - 1/sin 2 x Fix
