Reihe, in Mathematik

1. Definitionen. R. ist eine nach irgendeinem Gesetz zusammengesetzte Folge von Elementen. Wenn R. gegeben ist, bedeutet dies, dass ein Gesetz angegeben ist, mit dessen Hilfe es möglich ist, beliebig viele Elemente von R zusammenzusetzen. Je nach Eigenschaft von Elementen, R. von Zahlen, R. von Funktionen und R . von Aktionen werden unterschieden. Lassen Sie uns einige Beispiele geben.

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

es gibt R. natürliche Zahlen;

1, 4, 9, 16,..., P 2 ...

R. Quadrate;

ein 0 , ein 1 x, ein 2 ein 2 ,..., ein n x n ,...

R. Potenzfunktionen oder Macht R.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Um den numerischen Wert eines Ausdrucks zu berechnen, müssen R.-Aktionen ausgeführt werden. Z.B.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

Mit Hilfe von R.-Aktionen wird der größte Teiler zweier gegebener Zahlen gefunden.

R. u 0 , u 1 , u 2 ,... u n...

Name endlos, wenn nach irgendeinem Element u k gibt es ein Element u k+1 ; sonst R. Benennung. Finale. Z.B.

1. 2, 3,... 9, 10

ist ein abschließendes R., weil es nach Element 10 keine Elemente gibt.

2. Eine daneben definierte Zahl.

Von besonderer Bedeutung sind die unendlichen R. der Form

(1)... a 1 /10, a 2 /10 2 , ... ein/10n,...,

wo a 1 , a 2 , a 3 , ... ein,... positive ganze Zahlen, a 0 ist beliebig groß; jede der anderen Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , ... weniger als 10. Eine solche Reihe kann als Zahl bezeichnet werden, da es möglich ist, diese Reihe mit rationalen Zahlen zu vergleichen (siehe), können Sie die Konzepte von Gleichheit, Summe, Produkt, Differenz und Quotient solcher Reihen festlegen.

R. (1) wird der Kürze halber mit einem Buchstaben bezeichnet a.

Sie sagen, dass aber mehr Rationale Zahl p/q, wenn für eine ausreichend große n es gibt eine ungleichheit

a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + a n/10n> p/q

Wenn überhaupt n

a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + a n /10 n nicht > p/q

aber mit einem ausreichend großen n

a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + a n/10n> r/s

wo r/s eine beliebige Zahl kleiner als p/q, dann überlegen sie und gleich p/q.

Auf dieser Grundlage hat R.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

ist gleich eins. Diese Gleichheit wird wie folgt bezeichnet: 0, 999 ... = 1.

Wenn ein a ungleich 9, sondern alle nachfolgenden Zahlen

ein k +1 , ein k +2 , ein k+3 ,... sind gleich 9, dann die Zahl a, bestimmt durch R. (1), gleich ist

a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + (a k + 1)/10 k .

Wenn nicht alle Nummern a k+1 , a k+2 , a k+3 ... sind dann 9

a = a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + a k /10k

Es kann vorkommen, dass alle Elemente der Reihe (1), ausgehend von a k+1 , gleich Null sind. In diesem Fall gemäß der angegebenen Definition

a eine 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + (a k+1)/10 k

Diese Art von Nummer wird angerufen letzte Dezimalstelle.

Aus der Arithmetik ist bekannt, dass bei der Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in einen Dezimalbruch ein endlicher Bruch oder ein unendlicher periodischer Bruch erhalten wird. Jeder periodische Dezimalbruch kann in einen gewöhnlichen Bruch umgewandelt werden. Daraus folgt, dass ein unendlicher nicht periodischer Dezimalbruch nicht gleich einer rationalen Zahl sein kann und daher eine Zahl besonderer Art darstellt, die als bezeichnet wird irrational(cm.).

3. Konvergenz und Divergenz von Reihen. R. Zahlen

(2)... u 0 , u 1 , u 2 ,... u n,...

namens konvergierend, wenn es eine solche Nummer gibt a(rational oder irrational) das mit zunehmendem n Zahlenwert der Differenz

a - (u 0 + u 1 + u 2 +... u n- 1)

wird und bleibt beliebig klein. So eine Nummer a namens Summe R. In diesem Fall schreiben sie

(3)... a = u 0 + u 1 + u 2 +...

und diese Gleichheit heißt Zersetzung Zahlen a in unendlich R. Wenn eine solche Zahl a nicht existiert, dann wird R. (2) aufgerufen. abweichend.

Das wichtigste Beispiel für ein konvergentes R. ist eine geometrische Progression (siehe).

1, q, q 2 ,...,

dessen Nenner q zahlenmäßig kleiner als eins. In diesem Fall findet eine Zerlegung statt

1/(1 - q) = 1 + q + q 2 +...

Ein Beispiel für ein divergierendes R. ist

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

macht keinen Sinn.

Nimmt man aber die Terme des harmonischen R. abwechselnd mit den Vorzeichen + und -, so erhält man ein konvergentes R. Der Ausdruck

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

ist gleich dem Logarithmus von 2 zur Basis genommen e(cm.).

Da wir die Konvergenzkriterien nicht im Detail angeben können, notieren wir nur die folgenden Sätze.

Ein gegebenes R. ist konvergent, wenn das R. der Module (siehe) seiner Mitglieder konvergent ist.

R. v 0 , -v 1 , v 2 , -v 3 ...,

in denen die Zahlen v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ... positiv, konvergierend wenn steigend n

lim v n = 0.

R. mit positiven Mitgliedern

u 0 , u 1 , u 2 ,..., u n,...

konvergieren wenn

lim(u n + 1)/u n

lim(u n + 1)/u n > 1

Wenn für R. mit positiven Mitgliedern

sondern, und 0 , und 1 , u 2 , .., und n...

Attitüde

lim(u n + 1)/u n = 1 - r/n+θ (n) /nα ,

wo r nicht abhängen n, α > 1 und θ ( n) bleibt konstant kleiner als eine positive Zahl im Zahlenwert, dann konvergiert R. bei r> 1 und divergierend, wenn r kleiner oder = 1 ist (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d"une variable", S. 84).

4. Bedingte und absolute Konvergenz. Wenn R. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... v n,...

konvergent, aber das R. der Module seiner Mitglieder ist divergent, dann sagen wir, dass R. (4) bedingt konvergent. Z.B.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

R. naz. absolut konvergent, wenn die R.-Module ihrer Mitglieder konvergent sind.

Die Summe eines bedingt konvergenten R. ändert sich mit einer Änderung der Reihenfolge seiner Mitglieder. Z.B.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = log2,

aber 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + ...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + .... = 1/2 log 2.

Die Summe eines absolut konvergenten R. hängt nicht von der Reihenfolge seiner Mitglieder ab.

Wenn Zahlen a und b in absolut konvergentes R zerlegen.

a = a 0 + a 1 + a 2 +.....,

b = b 0 + b 1 + b 2 +..... .,

a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0 ,...

absolut konvergent und außerdem

a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) + (a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0) +... = ab.

5. Gleichmäßige Konvergenz. Angenommen, gegeben R.

(5)... f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x), ..., f n(x), ...

deren Mitglieder Funktionen einer Variablen sind x, die sowohl reale als auch imaginäre (siehe) Werte annehmen kann. Wertesatz X, unter denen dieser R. konvergiert, bildet die sog Bereich der Konvergenz.

R. 1, X, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

konvergent nur für x = 0.

R. 1, X, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

abweichend für jeden X.

R. 1, X/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

sammeln. für jede Bedeutung X. Wenn Potenz R. α 0 , α 1 x,α2 x 2 ,...

sammeln. zu einem gewissen Wert X, ungleich Null, dann diese R.-Ansammlung. und bei jedem x, dessen Modul kleiner als eine Zahl ist R. Wenn wir die geometrische Darstellung imaginärer Größen verwenden (siehe), können wir sagen, dass der Konvergenzbereich dieses R. ein Radiuskreis ist R.

Ein Beispiel ist eine geometrische Progression

1, x, x 2 , x 3 ,...., dessen Radius Kreis der Konvergenz ist gleich eins.

Wenn ein X gehört zum Sammelgebiet. R. (5), dann für alle n, größer als eine Zahl t

Mod[ f n(x) + fn+ 1 (x) + fn+ 2 (x) +...]

Allgemein t hängt von der X und von ε, aber es ist in besonderen Fällen möglich, dass t hängt nur von ε ab, wenn die Werte X gehören zu einem Bereich (S). In diesem Fall wird R. (5) aufgerufen. gleichmäßig in der Region zusammenlaufen (S).

Denken Sie zum Beispiel an R.

(6)... (1 - X), X (1 - X), X 2 (1 - X)....

auf reelle und positive Werte beschränkt X.

Damit es eine Ungleichheit gibt

(7)... x n(1 -x) + xn+ 1 (1 -x) +...xn

muss nehmen n> Protokoll ε /Protokoll x

Als nächstes im vorliegenden Fall

t= Protokoll ε /Protokoll x.

Wie wir sehen, t hängt von der X. Egal wie groß m, gibt es solche Werte X im Intervall (0, 1) wird diese Ungleichung (7) für keinen erfüllt n, mehr t. Wenn ein X= 1, dann ist Ungleichung (7) erfüllt, wenn n größer oder = 1 ist

Stellen wir uns das vor

t= Log ε /Log (1 - α) und n ist größer oder = m

Schiene. R. (6) gleichmäßig abfallend. im Intervall (0, 1 - α).

Wenn im Bereich gleichmäßiger Konvergenz die Terme der Reihe liegen

f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x)...

sind stetige Funktionen von x, dann ist auch die Summe dieses R. eine stetige Funktion (siehe Diskontinuität).

Konvergieren Sie gleichmäßig. R. kann termweise integriert oder differenziert werden.

Leistung R.

a 0 , a 1 x, ein 2 X 2 ...

gleichmäßige Konvergenz innerhalb des Konvergenzkreises haben.

6. Zerlegung von Funktionen in Reihen. Im Folgenden nehmen wir an, dass die unabhängige Variable reell ist. Unter Verwendung der Maclaurin-Formel (siehe) werden die folgenden Erweiterungen erhalten:

(Diese Formeln gelten für alle x).

Um beispielsweise cos 2° mit Formel (9) zu berechnen, statt x Ersetzen Sie das Verhältnis zum Radius der Länge eines Bogens mit 2 Grad.

In Formularen. (11) Der Logarithmus wird zur Basis genommen e. Diese Form. ist für die Berechnung von Logarithmen unpraktisch, da viele Terme des R. genommen werden müssen, um auch nur eine unbedeutende Genauigkeit zu erhalten. Bequemer zur Berechnung ist Formel 13, die sich unter der Annahme von Formel (11) ableitet

(1 + X)/(1 - X) = (a + z)/z

in der Erweiterung der Funktion log(1 + x) - log(l - x).

Vorausgesetzt a = 1, z= 1, finde log2;

" a = 1, z= 1, "log5;

a+z = 3 4 , a= 80, "log3;

a + z = 7 4 , a= 2400, "log7;

Multiplikation der gefundenen natürlichen Logarithmen dieser Zahlen mit

M \u003d 1 / log10 \u003d 0,43429 44819 03251 82765 ...,

Wir erhalten gewöhnliche Logarithmen (basierend auf 10) derselben Zahlen (siehe).

Form. (12) gilt für X= 1 wenn m> -1 und bei x= -1 wenn m> 0 (Abel, „Oeuvres complètes“, 1881, S. 245).

Mittels direkter Division werden rationale Funktionen zu Potenzfunktionen erweitert. Dazu können Sie auch die Methode der unbestimmten Koeffizienten verwenden. Angenommen zum Beispiel

1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = j 0 + j 1 t + j 2 t 2 + j 3 t 3 +...,

j 0 = 1, j 1 + 2j 0 = 0, j 2 + 2j 1 + 5j 0 = 0,

j 3 + 2j 2 + 5 beim 1 + 3 beim 0 = 0,

j 4 + 2j 3 + 5 beim 2 + 3 beim 1 = 0 usw.

R. Koeffizienten y 0 , beim 1 , y 2 ... hat die Eigenschaft, dass vier aufeinanderfolgende Koeffizienten vorliegen. durch das Verhältnis verbunden ja n +3 + 2ja n +2 + 5 bei n +1 + 3 bei n = 0.

Diese Art von R. genannt. rückgabefähig. Aus den geschriebenen Gleichungen wird sukzessive y 0 bestimmt, beim 1 , y 2 ...

Die Entwicklung einer gegebenen Funktion in R. kann mit Hilfe der Integralrechnung ermittelt werden, wenn die Entwicklung in R. der Ableitung bekannt ist. Auf diese Weise wird eine Zerlegung erhalten

(14)... Bogen tg x = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... Bogen Sünde X = x/1 + 1/2(x 3/3) + (1.2/2.4)(x5/5) +...

gültig für Werte X, die Bedingungen erfüllen

R. (14) nach der Formel von Machen (Machin)

π /4 = 4 Bogen tg(1/5) - Bogen tg(1/239)

ermöglicht eine sehr schnelle Berechnung von π mit vielen Nachkommastellen. So berechnete Shanks π mit 707 Dezimalstellen. Die Erweiterung von Funktionen zu trigonometrischen Funktionen und die Erweiterung von elliptischen Funktionen werden später vorgestellt.

Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Efron. - St. Petersburg: Brockhaus-Efron. 1890-1907 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was "Series, in Mathematics" ist:

SERIE, eine unendliche Reihe, deren Glieder a1, a2,..., an,... Zahlen (Zahlenreihen) oder Funktionen (Funktionsreihen) sind. Wenn die Summe der ersten n Terme der Reihe (Teilsumme): Sn= a1+ a2+ ... + an mit unbegrenzter Zunahme von n tendiert zu ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Inhalt. 1) Definition. 2) Die als nächstes ermittelte Zahl. 3) Konvergenz und Divergenz von Reihen. 4) Bedingte und absolute Konvergenz. 5) Einheitliche Konvergenz. 6) Funktionserweiterung in Reihe. 1. Definitionen. R. ist eine Folge von Elementen, ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Efron

Es hat mehrere Bedeutungen: Eine Serie ist eine Sammlung von homogenen, ähnlichen Objekten, die sich in einer Zeile befinden. Eine Reihe ist eine Sammlung beliebiger Phänomene, die in einer bestimmten Reihenfolge aufeinander folgen. Eine Reihe von einigen, eine beträchtliche Anzahl, zum Beispiel "eine Reihe von Ländern" ... Wikipedia

Eine Reihe, eine unendliche Summe, zum Beispiel von der Form u1 + u2 + u3 +... + un +... oder kurz . (1) Eines der einfachsten Beispiele für R., das bereits in der Elementarmathematik vorkommt, ist die Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge 1 + q + q 2 +... + q… … Große sowjetische Enzyklopädie

Taylor-Reihenzerlegung einer Funktion in eine unendliche Summe von Potenzfunktionen. Die Reihe ist nach der englischen Mathematikerin Brooke Taylor benannt, obwohl die Taylor-Reihe lange vor Taylors Veröffentlichungen bekannt war, wurde sie bereits im 17. Jahrhundert von Gregory und ... ... Wikipedia verwendet

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Die Möbius-Reihe ist eine Funktionsreihe der Form Diese Reihe wurde von Möbius untersucht, der eine Inversionsformel für diese Reihe fand: wo ist die Möbius-Funktion ... Wikipedia

I m. 1. Eine Reihe homogener Objekte, die sich in einer Linie befinden. ott. In einer Zeile bauen; Linie. 2. Lineare Sitzreihenfolge in Theater, Kino etc. ott. Personen, die solche Positionen bekleiden. 3. Stände in einer Linie ... Modernes erklärendes Wörterbuch der russischen Sprache Efremova

Bücher

• Die Mathematik der Beobachter und ihre Anwendungen auf Quantenmechanik, Relativitätstheorie und klassische Mathematik, B. S. Hots, D. B. Hots. Dieses Buch präsentiert die Ergebnisse der Autoren zur Mathematik der Beobachter (Autorentitel Observer s Mathematics). Diese Mathematik wurde zuerst von den Autoren eingeführt, sie wurde untersucht ...

Reihen für Teekannen. Lösungsbeispiele

Alle Überlebenden willkommen im zweiten Jahr! In dieser Lektion, oder besser gesagt in einer Reihe von Lektionen, werden wir lernen, wie man Zeilen verwaltet. Das Thema ist nicht sehr schwierig, aber um es zu meistern, benötigen Sie Kenntnisse aus dem ersten Kurs, insbesondere müssen Sie verstehen was ist die grenze, und in der Lage sein, die einfachsten Grenzen zu finden. Aber es ist okay, im Laufe der Erklärungen werde ich die entsprechenden Links zu den notwendigen Lektionen geben. Für einige Leser mag das Thema mathematische Reihen, Lösungsmethoden, Zeichen und Theoreme eigenartig und sogar anmaßend und absurd erscheinen. In diesem Fall müssen Sie nicht viel „laden“, wir nehmen die Fakten, wie sie sind, und lernen einfach, typische, alltägliche Aufgaben zu lösen.

1) Reihen für Teekannen, und für Samoware sofort zufrieden :)

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Das Konzept einer Zahlenreihe

Im Allgemeinen Zahlenreihe kann so geschrieben werden:
Hier:
- mathematisches Symbol der Summe;
– gemeinsamer Begriff der Reihe(Erinnern Sie sich an diesen einfachen Begriff);
- Variable - "Zähler". Der Rekord bedeutet, dass die Summierung von 1 bis „plus unendlich“ durchgeführt wird, dh zuerst haben wir , dann , dann , und so weiter - bis unendlich. Eine Variable oder wird manchmal anstelle einer Variablen verwendet. Die Summierung beginnt nicht unbedingt bei eins, in einigen Fällen kann sie bei null, bei zwei oder bei irgendetwas beginnen natürliche Zahl.

Entsprechend der Variable „Zähler“ können beliebige Serien detailliert ausgemalt werden:
– und so weiter bis ins Unendliche.

Bedingungen - Das ZAHLEN, die genannt werden Mitglieder Reihe. Wenn sie alle nicht negativ sind (größer oder gleich Null), dann heißt eine solche Reihe positiver Zahlenstrahl.

Beispiel 1

Übrigens ist dies bereits eine „Kampfaufgabe“ - in der Praxis müssen häufig mehrere Mitglieder der Serie aufgenommen werden.

Zuerst, dann:
Dann dann:
Dann dann:

Der Prozess kann unbegrenzt fortgesetzt werden, aber gemäß der Bedingung war es erforderlich, die ersten drei Begriffe der Reihe zu schreiben, also schreiben wir die Antwort auf:

Beachten Sie den grundlegenden Unterschied zu Zahlenfolge,
in denen die Terme nicht summiert, sondern als solche behandelt werden.

Beispiel 2

Schreiben Sie die ersten drei Glieder der Reihe auf

Dies ist ein Beispiel zum Selbstlösen, die Lösung steht am Ende der Lektion.

Selbst für eine scheinbar komplexe Serie ist es nicht schwierig, sie in erweiterter Form zu beschreiben:

Beispiel 3

Schreiben Sie die ersten drei Glieder der Reihe auf

Tatsächlich wird die Aufgabe mündlich ausgeführt: den gemeinsamen Begriff der Reihe gedanklich ersetzen zuerst , dann und . Zusammenfassend:

Lassen Sie die Antwort so Es ist besser, die erhaltenen Terme der Reihe nicht zu vereinfachen, also nicht einhalten Aktionen: , , . Wieso den? Antworten Sie im Formular viel einfacher und bequemer für den Lehrer zu überprüfen.

Manchmal gibt es eine Umkehrung

Beispiel 4

Hier gibt es keinen eindeutigen Lösungsalgorithmus. Sie müssen nur das Muster sehen.
In diesem Fall:

Zur Überprüfung kann die resultierende Serie in erweiterter Form „zurückgemalt“ werden.

Aber das Beispiel ist etwas schwieriger für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 5

Schreiben Sie die Summe in reduzierter Form mit einem gemeinsamen Begriff der Reihe

Überprüfe es noch einmal, indem du die Reihe in erweiterter Form schreibst

Konvergenz von Zahlenreihen

Eines der wichtigsten Ziele des Themas ist Untersuchung einer Reihe auf Konvergenz. In diesem Fall sind zwei Fälle möglich:

1) Reiheweicht ab. Das bedeutet, dass eine unendliche Summe gleich unendlich ist: beide Summen im Allgemeinen existiert nicht, wie zum Beispiel in der Serie
(hier ist übrigens ein Beispiel für eine Reihe mit negativen Begriffen). Ein gutes Beispiel für eine divergierende Zahlenreihe ist uns am Anfang der Stunde begegnet: . Hier ist es ganz offensichtlich, dass jeder nächste Term der Reihe also größer ist als der vorherige und damit divergiert die Reihe. Ein noch trivialeres Beispiel: .

2) Reihekonvergiert. Dies bedeutet, dass eine unendliche Summe gleich einigem ist letzte Zahl: . Gern geschehen: Diese Reihe konvergiert und ihre Summe ist Null. Ein aussagekräftigeres Beispiel ist unendlich abnehmend geometrische Progression, uns seit der Schule bekannt: . Die Summe der Mitglieder einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge wird durch die Formel berechnet: , wobei das erste Mitglied der Folge und ihre Basis ist, die in der Regel als geschrieben wird Korrekt Brüche. In diesem Fall: , . Auf diese Weise: Man erhält eine endliche Zahl, was bedeutet, dass die Reihe konvergiert, was bewiesen werden musste.

Allerdings in den allermeisten Fällen Finden Sie die Summe der Reihe ist nicht so einfach, und daher werden in der Praxis zur Untersuchung der Konvergenz der Reihe Sonderzeichen verwendet, die theoretisch bewiesen wurden.

Es gibt mehrere Anzeichen für die Konvergenz einer Reihe: notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe, Vergleichskriterien, d'Alembert-Kriterium, Cauchy-Kriterium, Zeichen von Leibniz und einige andere Zeichen. Wann ist welches Zeichen anzuwenden? Es kommt auf den gemeinsamen Begriff der Serie an, bildlich gesprochen - auf die "Füllung" der Serie. Und sehr bald werden wir alles in die Regale stellen.

! Zum weiteren Lernen benötigen Sie gut verstehen, wo ist die Grenze und es ist gut, die Unsicherheit der Form offenlegen zu können. Informationen zur Wiederholung oder zum Studium des Materials finden Sie im Artikel Grenzen. Lösungsbeispiele.

Ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe

Wenn die Reihe konvergiert, dann tendiert ihr gemeinsamer Term gegen Null: .

Die Umkehrung gilt im allgemeinen Fall nicht, d.h. wenn , dann kann die Reihe sowohl konvergieren als auch divergieren. Und so wird dieses Zeichen zur Rechtfertigung verwendet Abweichungen Reihe:

Ist der gemeinsame Begriff der Reihe geht nicht auf null, dann divergiert die Reihe

Oder kurz: wenn , dann divergiert die Reihe. Insbesondere ist eine Situation möglich, in der die Grenze gar nicht existiert, wie z. Grenze. Hier haben sie sofort die Abweichung einer Serie begründet :)

Aber viel häufiger ist der Grenzwert der divergenten Reihe gleich unendlich, während er anstelle von "x" als "dynamische" Variable fungiert. Frischen wir unser Wissen auf: Grenzen mit „x“ heißen Grenzen von Funktionen und Grenzen mit einer Variablen „en“ – Grenzen von Zahlenfolgen. Der offensichtliche Unterschied besteht darin, dass die Variable "en" diskrete (diskontinuierliche) natürliche Werte annimmt: 1, 2, 3 usw. Diese Tatsache hat jedoch wenig Einfluss auf die Methoden zur Lösung der Grenzen und Methoden zur Offenlegung von Unsicherheiten.

Beweisen wir, dass die Reihe aus dem ersten Beispiel divergiert.
Gemeinsames Mitglied der Serie:

Fazit: Reihe weicht ab

Das notwendige Feature kommt oft in der realen Praxis zum Einsatz:

Beispiel 6

Wir haben Polynome im Zähler und Nenner. Derjenige, der die Methode zur Offenlegung von Unsicherheiten im Artikel sorgfältig gelesen und verstanden hat Grenzen. Lösungsbeispiele, das hat sie sicher mitbekommen wenn die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner gleich, dann ist die Grenze letzte Zahl .

Teile Zähler und Nenner durch

Studienreihe weicht ab, da das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe nicht erfüllt ist.

Beispiel 7

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion

Wenn uns also JEDE Zahlenreihe gegeben wird, in erster Linie wir prüfen (gedanklich oder anhand eines Entwurfs): tendiert sein gemeinsamer Begriff gegen Null? Gelingt es nicht, erarbeiten wir eine Lösung nach dem Beispiel der Beispiele Nr. 6, 7 und geben die Antwort, dass die Reihe divergiert.

Welche Arten scheinbar divergierender Reihen haben wir betrachtet? Es ist sofort klar, dass Zeilen wie oder divergieren. Auch die Reihen aus den Beispielen Nr. 6, 7 weichen ab: wenn Zähler und Nenner Polynome enthalten und der höchste Grad des Zählers größer oder gleich dem höchsten Grad des Nenners ist. In all diesen Fällen verwenden wir beim Lösen und Entwerfen von Beispielen das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe.

Warum heißt das Zeichen notwendig? Auf natürlichste Weise verstehen: Damit die Reihe konvergiert, notwendig so dass ihr gemeinsamer Term gegen Null geht. Und alles wäre gut, aber das hier nicht genug. Mit anderen Worten, wenn der gemeinsame Term der Reihe gegen Null geht, BEDEUTET DAS NICHT, dass die Reihe konvergiert- es kann sowohl konvergieren als auch divergieren!

Sich treffen:

Diese Reihe heißt harmonische Reihe. Bitte denke daran! Unter den Zahlenreihen ist er eine Primaballerina. Genauer gesagt eine Ballerina =)

Das ist leicht zu sehen , SONDERN. In der Theorie der mathematischen Analyse wird das bewiesen die harmonische Reihe divergiert.

Sie sollten sich auch an das Konzept einer verallgemeinerten harmonischen Reihe erinnern:

1) Diese Reihe weicht ab beim . Zum Beispiel divergieren die Reihen, , .
2) Diese Reihe konvergiert beim . Zum Beispiel die Serie , , . Ich betone noch einmal, dass es uns bei fast allen praktischen Aufgaben völlig egal ist, was die Summe aus z. B. der Reihe ist, allein die Tatsache ihrer Konvergenz ist wichtig.

Das sind elementare Tatsachen aus der Reihentheorie, die bereits bewiesen sind, und bei der Lösung einiger praktischer Beispiele kann man getrost z. B. auf die Divergenz der Reihe oder die Konvergenz der Reihe verweisen.

Im Allgemeinen ist das betrachtete Material sehr ähnlich Untersuchung uneigentlicher Integrale, und diejenigen, die sich mit diesem Thema befasst haben, werden es einfacher finden. Nun, für diejenigen, die nicht studiert haben, ist es doppelt einfacher :)

Was also tun, wenn der gemeinsame Term der Reihe auf Null geht? In solchen Fällen müssen Sie zum Lösen von Beispielen andere verwenden, reicht aus Anzeichen für Konvergenz / Divergenz:

Vergleichskriterien für positive Zahlenreihen

Ich lenke Ihre Aufmerksamkeit dass wir hier nur von positiven Zahlenreihen sprechen (mit nicht-negativen Mitgliedern).

Es gibt zwei Vergleichszeichen, eines davon nenne ich einfach Zeichen des Vergleichs, Ein weiterer - einschränkendes Vergleichszeichen.

Erst überlegen Vergleichszeichen, oder besser gesagt, der erste Teil davon:

Betrachten Sie zwei positive Zahlenreihen und . Wenn bekannt, dass die Reihe ist konvergiert, und ab einer Zahl gilt die Ungleichung, dann die Reihe konvergiert auch.

Mit anderen Worten: Die Konvergenz einer Reihe mit größeren Termen impliziert die Konvergenz einer Reihe mit kleineren Termen. In der Praxis ist die Ungleichung oft allgemein für alle Werte von erfüllt:

Beispiel 8

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Zuerst prüfen wir(im Geiste oder auf einem Entwurf) Ausführung:
, was bedeutet, dass es nicht möglich war, "mit wenig Blut davonzukommen".

Wir schauen in das "Paket" der verallgemeinerten harmonischen Reihe und finden, wenn wir uns auf den höchsten Grad konzentrieren, eine ähnliche Reihe: Es ist aus der Theorie bekannt, dass sie konvergiert.

Für alle natürlichen Zahlen gilt die offensichtliche Ungleichung:

und größere Nenner entsprechen kleineren Brüchen:
, was bedeutet, dass nach dem Vergleichskriterium die untersuchte Serie konvergiert zusammen mit neben .

Wenn Sie irgendwelche Zweifel haben, dann kann die Ungleichheit immer im Detail gemalt werden! Schreiben wir die konstruierte Ungleichung für mehrere Zahlen "en" auf:
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
….
und jetzt ist es ganz klar, dass die Ungleichheit gilt für alle natürlichen Zahlen "en".

Analysieren wir das Vergleichskriterium und das gelöste Beispiel aus informeller Sicht. Warum konvergiert die Reihe dennoch? Hier ist der Grund. Wenn die Reihe konvergiert, dann hat sie welche Finale Menge : . Und da alle Mitglieder der Serie kleiner entsprechende Mitglieder der Reihe, dann ist der Stumpf klar, dass die Summe der Reihe nicht größer sein kann als die Zahl , und erst recht nicht gleich unendlich!

Ebenso können wir die Konvergenz "ähnlicher" Reihen beweisen: , , usw.

! beachten Sie dass wir in allen Fällen „Pluspunkte“ in den Nennern haben. Das Vorhandensein von mindestens einem Minus kann die Verwendung des Überlegten ernsthaft erschweren Vergleichsfunktion. Vergleicht man die Reihe beispielsweise auf die gleiche Weise mit einer konvergenten Reihe (schreibe mehrere Ungleichungen für die ersten Terme auf), dann wird die Bedingung überhaupt nicht erfüllt! Hier können Sie ausweichen und zum Vergleich eine andere konvergente Reihe wählen, z. B. , aber dies bringt unnötige Vorbehalte und andere unnötige Schwierigkeiten mit sich. Um die Konvergenz einer Reihe zu beweisen, ist es daher viel einfacher zu verwenden marginales Vergleichskriterium(siehe nächster Absatz).

Beispiel 9

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Und in diesem Beispiel schlage ich vor, dass Sie selbst darüber nachdenken der zweite Teil der Vergleichsfunktion:

Wenn bekannt, dass die Reihe ist weicht ab, und ab einer Zahl (oft von Anfang an) Ungleichung gilt, dann die Reihe weicht auch ab.

Mit anderen Worten: Die Divergenz der Reihen mit kleineren Termen impliziert die Divergenz der Reihen mit größeren Termen.

Was soll getan werden?
Es ist notwendig, die untersuchte Reihe mit einer divergenten harmonischen Reihe zu vergleichen. Konstruieren Sie zum besseren Verständnis einige spezifische Ungleichungen und vergewissern Sie sich, dass die Ungleichung wahr ist.

Lösungs- und Musterentwurf am Ende der Lektion.

Wie bereits angemerkt, wird das eben betrachtete Vergleichsmerkmal in der Praxis kaum genutzt. Das eigentliche „Arbeitspferd“ der Zahlenreihe ist marginales Vergleichskriterium, und nur in Bezug auf die Nutzungshäufigkeit Zeichen von d'Alembert.

Grenzzeichen des Vergleichs numerischer positiver Reihen

Betrachten Sie zwei positive Zahlenreihen und . Wenn die Grenze des Verhältnisses der gemeinsamen Mitglieder dieser Reihen gleich ist endliche Zahl ungleich Null: , dann konvergieren oder divergieren beide Reihen gleichzeitig.

Wann wird das Grenzvergleichskriterium verwendet? Das Grenzzeichen des Vergleichs wird verwendet, wenn die „Füllung“ der Reihe aus Polynomen besteht. Entweder ein Polynom im Nenner oder Polynome sowohl im Zähler als auch im Nenner. Optional können Polynome unter Wurzeln stehen.

Befassen wir uns mit der Serie, für die das vorherige Zeichen des Vergleichs ins Stocken geraten ist.

Beispiel 10

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Vergleichen Sie diese Reihe mit der konvergenten Reihe. Wir verwenden den Grenztest des Vergleichs. Es ist bekannt, dass die Reihe konvergiert. Wenn wir zeigen können, dass es so ist final ungleich null Zahl, so wird bewiesen, dass die Reihe auch konvergiert.

Es wird eine endliche Zahl ungleich Null erhalten, was bedeutet, dass die untersuchte Reihe konvergiert zusammen mit neben .

Warum wurde die Serie zum Vergleich ausgewählt? Hätten wir irgendeine andere Reihe aus dem „Clip“ der verallgemeinerten harmonischen Reihe gewählt, dann wäre uns die Grenze nicht gelungen final ungleich null Zahlen (Sie können experimentieren).

Notiz: Wenn wir die marginale Vergleichsfunktion verwenden, spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge sich das Verhältnis der gemeinsamen Mitglieder zusammensetzen könnte, im betrachteten Beispiel könnte das Verhältnis umgekehrt gezogen werden: - das würde am Wesen der Sache nichts ändern.

Zahlenreihen. Konvergenz und Divergenz von Zahlenreihen. d'Alembert-Konvergenztest. Variable Zeilen. Absolute und bedingte Konvergenz von Reihen. funktionale Reihen. Power-Reihe. Erweiterung elementarer Funktionen in der Maclaurin-Reihe.

Hinweise zu Thema 1.4:

Zahlenreihen:

Eine Zahlenreihe ist eine Summe der Form

wo sind die Zahlen u 1 , u 2 , u 3 , n n , Mitglieder der Reihe genannt, bilden eine unendliche Folge; der Term un heißt der gemeinsame Term der Reihe.

. . . . . . . . .

aus den ersten Gliedern der Reihe (27.1) zusammensetzen, heißen Partialsummen dieser Reihe.

Jeder Zeile kann eine Folge von Partialsummen zugeordnet werden S1, S2, S3. Wenn, da die Zahl n unendlich zunimmt, die Teilsumme der Reihe entsteht Sn geht ans Limit S, dann heißt die Reihe konvergent und die Zahl S- die Summe einer konvergenten Reihe, d.h.

Dieser Eintrag entspricht dem Eintrag

Wenn ein Teilbetrag Sn Reihe (27.1) mit unbegrenzter Steigerung n keine endliche Grenze hat (insbesondere gegen + ¥ oder - ¥ tendiert), dann heißt eine solche Reihe divergent

Wenn die Reihe konvergiert, dann der Wert Sn für genügend großes n ist ein Näherungsausdruck für die Summe der Reihen S.

Unterschied r n = S - S n heißt der Rest der Reihe. Wenn die Reihe konvergiert, dann geht ihr Rest gegen Null, d.h. r n = 0 und umgekehrt, wenn der Rest gegen Null geht, dann konvergiert die Reihe.

Die Reihe einer Art heißt geometrische Linie.

namens harmonisch.

Wenn N®¥, dann Sn®¥, d.h. die harmonische Reihe divergiert.

Beispiel 1. Schreiben Sie eine Reihe nach ihrem gegebenen gemeinsamen Begriff:

1) Unter der Annahme n = 1, n = 2, n = 3 haben wir eine unendliche Folge von Zahlen: , , , Durch Hinzufügen ihrer Terme erhalten wir die Reihe

2) Wenn wir dasselbe tun, erhalten wir die Reihe

3) Geben Sie n die Werte 1, 2, 3 und berücksichtigen Sie, dass 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3 erhalten wir die Reihe

Beispiel 2. Finden n-ten Glied der Reihe durch seine gegebenen ersten Zahlen:

1) ; 2) ; 3) .

Beispiel 3. Finden Sie die Summe der Terme der Reihe:

2) .

1) Finden Sie die Partialsummen der Terme der Reihe:

; ;

… .

Schreiben wir die Folge der Partialsummen auf: …, , … .

Der gemeinsame Begriff dieser Sequenz ist . Somit,

.

Die Folge von Partialsummen hat eine Grenze gleich . Also konvergiert die Reihe und ihre Summe ist .

2) Dies ist eine unendlich fallende geometrische Folge, in der a 1 = , q= . Mit der Formel erhalten wir Also, die Reihe konvergiert und ihre Summe ist gleich 1.

Konvergenz und Divergenz von Zahlenreihen. Konvergenzzeichen d’Alembert :

Ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe. Eine Reihe kann nur konvergieren, wenn ihr gemeinsamer Term ist u n mit unbegrenzter Anzahl erhöhen n geht auf null:

Wenn , dann divergiert die Reihe – das ist ein hinreichendes Zeichen für die Löslichkeit der Reihe.

Hinreichende Bedingungen für die Konvergenz einer Reihe mit positiven Gliedern.

Zeichen des Vergleichs von Reihen mit positiven Termen. Die untersuchte Reihe konvergiert, wenn ihre Mitglieder die entsprechenden Mitglieder einer anderen, offensichtlich konvergenten Reihe nicht überschreiten; die untersuchte Reihe divergiert, wenn ihre Glieder die entsprechenden Glieder einer anderen offensichtlich divergierenden Reihe überschreiten.

Bei der Untersuchung von Reihen für Konvergenz und Löslichkeit auf dieser Grundlage wird häufig die geometrische Reihe verwendet

die für |q| konvergiert

,

abweichend sein.

Bei der Untersuchung von Reihen wird auch die verallgemeinerte harmonische Reihe verwendet

.

Wenn ein p= 1, dann wird diese Reihe zu einer harmonischen Reihe, die divergiert.

Wenn ein p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 haben wir eine geometrische Reihe, in der | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 und divergiert bei p£1.

Zeichen von d'Alembert. Wenn für eine Reihe mit positiven Begriffen

(u n>0)

Bedingung erfüllt ist, dann konvergiert die Reihe bei l l > 1.

Das Zeichen von d'Alembert gibt keine Antwort, wenn l= 1. In diesem Fall werden andere Methoden verwendet, um die Reihe zu untersuchen.

Variable Zeilen.

Absolute und bedingte Konvergenz von Reihen:

Zahlenreihe

u 1 + u 2 + u 3 + u n

heißt alternierend, wenn es unter seinen Mitgliedern sowohl positive als auch negative Zahlen gibt.

Eine Zahlenreihe heißt vorzeichenwechselnd, wenn zwei benachbarte Glieder entgegengesetzte Vorzeichen haben. Diese Reihe ist ein Sonderfall einer alternierenden Reihe.

Konvergenzkriterium für alternierende Reihen. Wenn die Terme der alternierenden Reihe monoton im Betrag und im gemeinsamen Term abnehmen u n tendiert gegen Null als n® , dann konvergiert die Reihe.

Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe auch konvergiert. Wenn eine Reihe absolut konvergiert, dann ist sie konvergent (im üblichen Sinne). Die Umkehrung ist nicht wahr. Eine Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie selbst konvergiert und die aus den Moduln ihrer Glieder zusammengesetzte Reihe divergiert. Beispiel 4. Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz .

Wenden wir den Leibniz-Suffizienztest für alternierende Reihen an. Wir bekommen soweit . Daher konvergiert diese Reihe. Beispiel 5. Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz .

Versuchen wir, das Leibniz-Zeichen anzuwenden: Es ist ersichtlich, dass der Modul des allgemeinen Terms nicht gegen Null tendiert, wenn n→∞. Daher divergiert diese Reihe. Beispiel 6. Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist.

Wenden wir das d'Alembert-Kriterium auf eine Reihe an, die sich aus den Modulen der entsprechenden Terme zusammensetzt, finden wir Daher konvergiert diese Reihe absolut.

Beispiel 7. Untersuchen Sie eine alternierende Reihe auf Konvergenz (absolut oder bedingt):

1) Die Terme dieser Reihe nehmen im absoluten Wert monoton ab und . Daher konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Test. Finden wir heraus, ob diese Reihe absolut oder bedingt konvergiert.

2) Die Terme dieser Reihe nehmen im Betrag monoton ab: , sondern

.

Funktionsserie:

Die übliche Zahlenreihe besteht aus Zahlen:

Alle Mitglieder der Reihe - Das Zahlen.

Die Funktionslinie besteht aus Merkmale:

Im allgemeinen Begriff der Reihe werden neben Polynomen, Fakultäten usw. sicherlich enthält den Buchstaben „x“. Das sieht zum Beispiel so aus: Wie eine Zahlenreihe kann jede Funktionsreihe in erweiterter Form geschrieben werden:

Wie Sie sehen können, sind alle Mitglieder der Funktionsreihe Funktionen.

Die beliebteste Art von Funktionsreihen ist Power-Reihe.

Potenzreihe:

Macht als nächstes heißt Serie

,

wo sind die Zahlen eine 0, eine 1, eine 2, eine n heißen die Koeffizienten der Reihe und der Term ein n x n ist ein gemeinsames Mitglied der Serie.

Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe ist die Menge aller Werte x für die die Reihe konvergiert.

Anzahl R heißt Konvergenzradius der Reihe, wenn für | x| die Reihe konvergiert.

Beispiel 8. Gegeben eine Reihe

Untersuchen Sie seine Konvergenz an Punkten x= 1 und X= 3, x= -2.

Wenn x = 1, wird diese Reihe zu einer Zahlenreihe

.

Untersuchen wir die Konvergenz dieser Reihe durch den d'Alembert-Test. Wir haben

jene. die Reihe konvergiert.

Für x = 3 erhalten wir die Reihe

Die divergiert, da das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe nicht erfüllt ist

Für x = -2 erhalten wir

Dies ist eine alternierende Reihe, die nach dem Leibniz-Test konvergiert.

Also an den Punkten x= 1 und X= -2. die Reihe konvergiert, und an dem Punkt x= 3 divergiert.

Erweiterung elementarer Funktionen in der Maclaurin-Reihe:

In der Nähe von Taylor für Funktion f(x) heißt Potenzreihe der Form

Grundlegende Definitionen

Definition. Die Summe der Glieder einer unendlichen Zahlenfolge heißt Zahlenreihe.

In diesem Fall werden die Nummern Mitglieder der Reihe genannt und un - das gemeinsame Mitglied der Reihe.

Definition. Summen, n = 1, 2, ... heißen Teilsummen (Teilsummen) der Reihe.

Damit ist es möglich, Folgen von Partialsummen der Reihen S1, S2, …, Sn, … zu betrachten.

Definition. Eine Reihe heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert. Die Summe einer konvergenten Reihe ist der Grenzwert der Folge ihrer Partialsummen.

Definition. Wenn die Folge der Partialsummen der Reihe divergiert, d.h. keinen Grenzwert hat oder einen unendlichen Grenzwert hat, dann heißt die Reihe divergent und es wird ihr keine Summe zugeordnet.

Zeileneigenschaften

1) Die Konvergenz oder Divergenz der Reihe wird nicht verletzt, wenn Sie eine endliche Anzahl von Termen in der Reihe ändern, verwerfen oder hinzufügen.

2) Betrachten Sie zwei Reihen und, wobei C eine konstante Zahl ist.

Satz. Wenn eine Reihe konvergiert und ihre Summe gleich S ist, dann konvergiert auch die Reihe und ihre Summe ist gleich CS. (C0)

3) Betrachten Sie zwei Reihen und. Die Summe oder Differenz dieser Reihen wird als Reihe bezeichnet, bei der die Elemente als Ergebnis der Addition (Subtraktion) der ursprünglichen Elemente mit denselben Zahlen erhalten werden.

Satz. Wenn die Reihen und konvergieren und ihre Summen gleich S bzw. sind, dann konvergiert auch die Reihe und ihre Summe ist gleich S + .

Die Differenz zweier konvergenter Reihen ist auch eine konvergente Reihe.

Die Summe einer konvergenten und einer divergenten Reihe ist eine divergente Reihe.

Es ist unmöglich, eine allgemeine Aussage über die Summe zweier divergierender Reihen zu machen.

Beim Studium von Reihen werden hauptsächlich zwei Probleme gelöst: das Studium der Konvergenz und das Finden der Summe der Reihen.

Cauchy-Kriterium.

(notwendige und hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der Reihe)

Damit die Folge konvergent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass es für jedes eine Zahl N gibt, sodass für n > N und jedes p > 0, wobei p eine ganze Zahl ist, die folgende Ungleichung gelten würde:

Nachweisen. (brauchen)

Lassen Sie, dann gibt es für jede Zahl eine Zahl N, so dass die Ungleichung

wird für n > N durchgeführt. Für n > N und jede ganze Zahl p > 0 gilt die Ungleichung ebenfalls. Unter Berücksichtigung beider Ungleichungen erhalten wir:

Der Bedarf ist nachgewiesen. Der Nachweis der Hinlänglichkeit wird von uns nicht berücksichtigt.

Formulieren wir das Cauchy-Kriterium für die Reihe.

Damit eine Reihe konvergent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass es für jede eine Zahl N gibt, so dass für n > N und jede p > 0 die Ungleichung gilt

In der Praxis ist es jedoch nicht sehr bequem, das Cauchy-Kriterium direkt zu verwenden. Daher werden in der Regel einfachere Konvergenzkriterien verwendet:

1) Wenn die Reihe konvergiert, dann ist es notwendig, dass der gemeinsame Term un gegen Null geht. Diese Bedingung ist jedoch nicht ausreichend. Wir können nur sagen, dass die Reihe genau divergiert, wenn der gemeinsame Term nicht gegen Null geht. Beispielsweise ist die sogenannte harmonische Reihe divergent, obwohl ihr gemeinsamer Term gegen Null geht.

Antworten: Die Reihe divergiert.

Beispiel #3

Finde die Summe der Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Da die untere Summengrenze 1 ist, wird der gemeinsame Term der Reihe unter das Summenzeichen geschrieben: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Bilde die n-te Teilsumme der Reihe, d.h. summiere die ersten $n$ Mitglieder der gegebenen Zahlenreihe:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Warum ich genau $\frac(2)(3\cdot 5)$ schreibe und nicht $\frac(2)(15)$, wird aus der weiteren Erzählung klar. Die Aufnahme einer Teilsumme brachte uns dem Ziel jedoch kein Jota näher. Schließlich müssen wir $\lim_(n\to\infty)S_n$ finden, aber wenn wir einfach schreiben:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

dann wird uns diese formell völlig korrekte Aufzeichnung im Wesentlichen nichts geben. Um den Grenzwert zu finden, muss der Partialsummenausdruck zunächst vereinfacht werden.

Dafür gibt es eine Standardtransformation, die darin besteht, den Bruch $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, der den gemeinsamen Term der Reihe darstellt, in elementare Brüche zu zerlegen. Der Frage der Zerlegung rationaler Brüche in elementare Brüche ist ein eigenes Thema gewidmet (siehe zB Beispiel Nr. 3 auf dieser Seite). Wenn wir den Bruch $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ in elementare Brüche erweitern, erhalten wir:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Wir setzen die Zähler der Brüche auf der linken und rechten Seite der resultierenden Gleichheit gleich:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Werte von $A$ und $B$ zu finden. Sie können die Klammern öffnen und die Begriffe neu anordnen, oder Sie ersetzen einfach einige geeignete Werte anstelle von $n$. Zur Abwechslung gehen wir in diesem Beispiel den ersten Weg und den nächsten - wir ersetzen die privaten Werte von $n$. Wenn wir die Klammern erweitern und die Begriffe neu anordnen, erhalten wir:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Auf der linken Seite der Gleichung wird $n$ eine Null vorangestellt. Wenn Sie möchten, kann die linke Seite der Gleichheit der Übersichtlichkeit halber als $0\cdot n+ 2$ dargestellt werden. Da auf der linken Seite der Gleichheit $n$ eine Null vorangestellt ist und auf der rechten Seite der Gleichheit $2A+2B$ $n$ vorangestellt ist, haben wir die erste Gleichung: $2A+2B=0$. Wir dividieren sofort beide Teile dieser Gleichung durch 2, danach erhalten wir $A+B=0$.

Da der freie Term auf der linken Seite der Gleichheit gleich 2 ist und der freie Term auf der rechten Seite der Gleichheit gleich $3A+B$ ist, dann ist $3A+B=2$. Wir haben also ein System:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Der Beweis wird nach der Methode der mathematischen Induktion geführt. Im ersten Schritt müssen wir prüfen, ob die geforderte Gleichheit $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ für $n=1$ gilt. Wir wissen, dass $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, aber wird der Ausdruck $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ den Wert $\frac( 2 )(15)$ wenn $n=1$ darin eingesetzt wird? Lass uns das Prüfen:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Für $n=1$ ist also die Gleichheit $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ erfüllt. Damit ist der erste Schritt der Methode der mathematischen Induktion abgeschlossen.

Angenommen, für $n=k$ gilt die Gleichheit, d.h. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Lassen Sie uns beweisen, dass die gleiche Gleichheit für $n=k+1$ gilt. Betrachten Sie dazu $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Da $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, dann ist $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Nach obiger Annahme $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, also gilt die Formel $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ die Form:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Fazit: Die Formel $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ gilt für $n=k+1$. Daher gilt nach der Methode der mathematischen Induktion die Formel $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ für jedes $n\in N$. Gleichberechtigung ist nachgewiesen.

In einem Standardkurs der Höheren Mathematik begnügt man sich meist damit, die aufhebenden Begriffe zu „löschen“, ohne dass es eines Beweises bedarf. Damit erhalten wir den Ausdruck für die n-te Teilsumme: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Finden Sie den Wert von $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Fazit: Die gegebene Reihe konvergiert und ihre Summe ist $S=\frac(1)(3)$.

Die zweite Möglichkeit besteht darin, die Formel für die Teilsumme zu vereinfachen.

Ehrlich gesagt bevorzuge ich diese Methode selbst :) Schreiben wir die Teilsumme in abgekürzter Form auf:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Wir haben vorhin $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ bekommen, also:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

Die Summe $S_n$ enthält eine endliche Anzahl von Termen, sodass wir sie nach Belieben neu anordnen können. Ich möchte zuerst alle Terme der Form $\frac(1)(2k+1)$ hinzufügen und erst dann zu den Termen der Form $\frac(1)(2k+3)$ gehen. Das bedeutet, dass wir die Teilsumme in dieser Form darstellen:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Natürlich ist die erweiterte Notation äußerst umständlich, sodass die obige Gleichheit kompakter geschrieben werden kann:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Nun transformieren wir die Ausdrücke $\frac(1)(2k+1)$ und $\frac(1)(2k+3)$ in dieselbe Form. Ich denke, es ist praktisch, es wie einen größeren Bruch aussehen zu lassen (obwohl Sie einen kleineren verwenden können, ist dies Geschmackssache). Da $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch), kürzen wir den Bruch $\frac(1)(2k+ 3) $ in der Form $\frac(1)(2k+1)$.

Ich werde den Ausdruck im Nenner des Bruchs $\frac(1)(2k+3)$ wie folgt darstellen:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Und die Summe $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ kann man nun so schreiben:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1 )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Wenn die Gleichheit $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ wirft keine Fragen auf, dann gehen wir weiter. Bei Fragen ergänzen Sie bitte den Hinweis.

Wie haben wir den umgerechneten Betrag erhalten? Anzeigen Ausblenden

Wir hatten die Reihe $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Lassen Sie uns anstelle von $k+1$ eine neue Variable einführen - zum Beispiel $t$. Also $t=k+1$.

Wie hat sich die alte Variable $k$ geändert? Und es änderte sich von 1 zu $n$. Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die neue Variable $t$ ändern wird. Wenn $k=1$, dann $t=1+1=2$. Wenn $k=n$, dann $t=n+1$. Der Ausdruck $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ lautet also jetzt: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Wir haben die Summe $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Frage: Spielt es eine Rolle, welcher Buchstabe in dieser Summe verwendet wird? :) Wenn wir den Buchstaben $k$ anstelle von $t$ banal schreiben, erhalten wir Folgendes:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

So ergibt sich die Gleichheit $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) erhält man \frac(1)(2k+1)$.

Somit kann die Teilsumme in folgender Form dargestellt werden:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Beachten Sie, dass die Summen $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ und $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ unterscheiden sich nur in den Summationsgrenzen. Lassen Sie uns diese Grenzen gleich machen. Wenn wir das erste Element aus der Summe $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ "nehmen", erhalten wir:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

Wenn wir das letzte Element aus der Summe $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ "nehmen", erhalten wir:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Dann nimmt der Ausdruck für die Teilsumme die Form an:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Wenn Sie alle Erläuterungen überspringen, dann sieht die Suche nach einer verkürzten Formel für die n-te Teilsumme wie folgt aus:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir den Bruch $\frac(1)(2k+3)$ auf die Form $\frac(1)(2k+1)$ reduziert haben. Natürlich können Sie auch das Gegenteil tun, d.h. den Bruch $\frac(1)(2k+1)$ als $\frac(1)(2k+3)$ darstellen. Der endgültige Ausdruck für die Teilsumme ändert sich nicht. In diesem Fall verstecke ich den Prozess zum Finden einer Teilsumme unter einer Notiz.

Wie findet man $S_n$, wenn man einen anderen Bruch in Form bringt? Anzeigen Ausblenden

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3). ). $$

Also $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Finden Sie die Grenze $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Die gegebene Reihe konvergiert und ihre Summe ist $S=\frac(1)(3)$.

Antworten: $S=\frac(1)(3)$.

Die Fortsetzung des Themas der Reihensummenbildung wird im zweiten und dritten Teil betrachtet.