Versuchen wir herauszufinden, was für ein Konzept eine „Wurzel“ ist und „womit sie gegessen wird“. Betrachten Sie dazu Beispiele, die Ihnen bereits im Unterricht begegnet sind (naja, oder Sie müssen sich dem einfach stellen).

Wir haben zum Beispiel eine Gleichung. Was ist die Lösung dieser Gleichung? Welche Zahlen können quadriert und gleichzeitig erhalten werden? Wenn Sie sich an das Einmaleins erinnern, können Sie die Antwort leicht geben: und (denn wenn Sie zwei negative Zahlen multiplizieren, erhalten Sie eine positive Zahl)! Mathematiker haben zur Vereinfachung ein spezielles Konzept der Quadratwurzel eingeführt und ihr ein spezielles Symbol zugeordnet.

Lassen Sie uns die arithmetische Quadratwurzel definieren.

Warum muss die Zahl nicht negativ sein? Zum Beispiel was gleich ist. Okay, versuchen wir es herauszufinden. Vielleicht drei? Prüfen wir: und nicht. Vielleicht, ? Überprüfen Sie erneut: Nun, ist es nicht ausgewählt? Das ist zu erwarten – denn es gibt keine Zahlen, die quadriert eine negative Zahl ergeben!
Das muss man sich merken: die Zahl oder der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen muss nicht negativ sein!

Die Aufmerksamsten haben jedoch wahrscheinlich schon bemerkt, dass die Definition besagt, dass die Lösung der Quadratwurzel von „einer Zahl eine solche heißt nicht negativ Zahl, deren Quadrat ". Einige von Ihnen werden sagen, dass wir ganz am Anfang das Beispiel analysiert haben, ausgewählte Zahlen, die quadriert und gleichzeitig erhalten werden können, die Antwort war und, und hier ist die Rede von einer Art „nicht negativer Zahl“! Eine solche Bemerkung ist durchaus angebracht. Hier muss lediglich zwischen den Begriffen der quadratischen Gleichungen und der arithmetischen Quadratwurzel einer Zahl unterschieden werden. Beispielsweise ist es nicht gleichbedeutend mit einem Ausdruck.

Daraus folgt, dass, oder. (Lesen Sie das Thema "")

Und das folgt.

Das ist natürlich sehr verwirrend, aber es muss daran erinnert werden, dass die Vorzeichen das Ergebnis der Lösung der Gleichung sind, da wir beim Lösen der Gleichung alle x aufschreiben müssen, die, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, das Richtige ergeben Ergebnis. In unsere quadratische Gleichung passt sowohl als auch.

jedoch, wenn Ziehe einfach die Quadratwurzel von etwas, dann immer wir erhalten ein nicht negatives Ergebnis.

Versuchen Sie nun, diese Gleichung zu lösen. Alles ist nicht so einfach und glatt, oder? Versuchen Sie, die Zahlen zu sortieren, vielleicht brennt etwas durch? Fangen wir ganz von vorne an - von vorne: - passt nicht, weitermachen - weniger als drei, auch beiseite schieben, aber was wäre wenn. Mal prüfen: - Passt auch nicht, weil es sind mehr als drei. Bei negativen Zahlen wird sich die gleiche Geschichte herausstellen. Und was ist jetzt zu tun? Hat die Suche nichts ergeben? Überhaupt nicht, jetzt wissen wir sicher, dass die Antwort eine Zahl zwischen und sowie zwischen und sein wird. Außerdem ist es offensichtlich, dass die Lösungen keine ganzen Zahlen sein werden. Außerdem sind sie nicht rational. Und was dann? Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen und die Lösungen darauf markieren.

Versuchen wir, das System auszutricksen und mit einem Taschenrechner eine Antwort zu bekommen! Lassen Sie uns die Wurzel aus dem Geschäft holen! Oh-oh-oh, es stellt sich heraus. Diese Zahl endet nie. Wie kannst du dir das merken, weil es in der Prüfung keinen Taschenrechner geben wird!? Alles ist sehr einfach, Sie müssen sich nicht daran erinnern, Sie müssen sich einen ungefähren Wert merken (oder schnell schätzen können). und die Antworten selbst. Solche Zahlen nennt man irrational, und um die Notation solcher Zahlen zu vereinfachen, wurde das Konzept der Quadratwurzel eingeführt.

Sehen wir uns zur Verdeutlichung ein weiteres Beispiel an. Analysieren wir das folgende Problem: Sie müssen ein quadratisches Feld mit einer Seitenlänge von km diagonal überqueren, wie viele km müssen Sie zurücklegen?

Das Naheliegendste ist hier, das Dreieck separat zu betrachten und den Satz des Pythagoras zu verwenden:. Auf diese Weise, . Was ist hier also der erforderliche Abstand? Offensichtlich kann der Abstand nicht negativ sein, das verstehen wir. Die Wurzel aus zwei ist ungefähr gleich, aber, wie wir bereits bemerkt haben, ist sie bereits eine vollständige Antwort.

Damit das Lösen von Beispielen mit Wurzeln keine Probleme verursacht, müssen Sie sie sehen und erkennen. Dazu müssen Sie zumindest die Quadratzahlen von bis kennen und erkennen können. Zum Beispiel müssen Sie wissen, was quadriert ist, und umgekehrt auch, was quadriert ist.

Hast du herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist? Dann lösen Sie einige Beispiele.

Beispiele.

Nun, wie hat es funktioniert? Sehen wir uns nun diese Beispiele an:

Antworten:

Kubikwurzel

Nun, wir haben das Konzept einer Quadratwurzel irgendwie herausgefunden, jetzt werden wir versuchen herauszufinden, was eine Kubikwurzel ist und was ihr Unterschied ist.

Die Kubikwurzel einer Zahl ist die Zahl, deren Kubik gleich ist. Haben Sie bemerkt, wie viel einfacher es ist? Es gibt keine Einschränkungen hinsichtlich der möglichen Werte sowohl des Werts unter dem Kubikwurzelzeichen als auch der zu extrahierenden Zahl. Das heißt, die Kubikwurzel kann aus jeder Zahl gezogen werden:.

Gefangen, was eine Würfelwurzel ist und wie man sie extrahiert? Dann fahren Sie mit Beispielen fort.

Beispiele.

Antworten:

Root - oh Grad

Nun, wir haben die Konzepte von Quadrat- und Kubikwurzeln herausgefunden. Nun verallgemeinern wir das gewonnene Wissen durch den Begriff te Wurzel.

te Wurzel aus einer Zahl ist eine Zahl, deren Potenz gleich ist, d.h.

ist gleichbedeutend mit.

Wenn auch, dann:

• mit negativ, macht der Ausdruck keinen Sinn (die Wurzeln eines geradzahligen -ten Grades negativer Zahlen kann nicht extrahiert werden!);
• mit nichtnegativ() Ausdruck hat eine nicht negative Wurzel.

Wenn - ungerade ist, dann hat der Ausdruck eine einzelne Wurzel für beliebig.

Erschrecken Sie nicht, hier gelten die gleichen Prinzipien wie bei Quadrat- und Kubikwurzeln. Das heißt, die Prinzipien, die wir bei der Betrachtung von Quadratwurzeln angewendet haben, werden auf alle Wurzeln geraden -ten Grades ausgedehnt.

Und jene Eigenschaften, die für die Kubikwurzel verwendet wurden, gelten für die Wurzeln ungeraden Grades.

Nun, es wurde klarer? Lassen Sie uns anhand von Beispielen verstehen:

Hier ist alles mehr oder weniger klar: Zuerst schauen wir - ja, der Grad ist gerade, die Zahl unter der Wurzel ist positiv, also ist es unsere Aufgabe, eine Zahl zu finden, deren vierter Grad uns ergibt. Nun, irgendwelche Vermutungen? Vielleicht, ? Genau!

Der Grad ist also gleich - ungerade, unter der Wurzel ist die Zahl negativ. Unsere Aufgabe ist es, eine solche Zahl zu finden, die, wenn sie potenziert wird, herauskommt. Es ist ziemlich schwierig, die Wurzel sofort zu bemerken. Sie können Ihre Suche jedoch sofort eingrenzen, oder? Erstens ist die gesuchte Zahl definitiv negativ, und zweitens ist ersichtlich, dass sie ungerade ist, und daher ist die gesuchte Zahl ungerade. Versuchen Sie, die Wurzel aufzuheben. Natürlich, und Sie können getrost beiseite schieben. Vielleicht, ?

Ja, das haben wir gesucht! Beachten Sie, dass wir zur Vereinfachung der Berechnung die Eigenschaften von Graden verwendet haben: .

Grundlegende Eigenschaften von Wurzeln

Verständlicherweise? Wenn nicht, dann sollte nach Betrachtung der Beispiele alles passen.

Wurzelmultiplikation

Wie multipliziert man Wurzeln? Die einfachste und grundlegendste Eigenschaft hilft bei der Beantwortung dieser Frage:

Beginnen wir mit einem einfachen:

Die Wurzeln der resultierenden Zahlen werden nicht genau gezogen? Keine Sorge, hier sind einige Beispiele:

Was aber, wenn es nicht zwei Multiplikatoren gibt, sondern mehr? Das selbe! Die Wurzelmultiplikationsformel funktioniert mit einer beliebigen Anzahl von Faktoren:

Was können wir damit machen? Verstecken Sie das Tripel natürlich unter der Wurzel, und denken Sie daran, dass das Tripel die Quadratwurzel von ist!

Warum brauchen wir es? Ja, nur um unsere Fähigkeiten beim Lösen von Beispielen zu erweitern:

Wie gefällt Ihnen diese Eigenschaft von Wurzeln? Macht das Leben viel einfacher? Für mich ist das richtig! Das muss man sich nur merken wir können positive Zahlen nur unter dem Vorzeichen der Wurzel eines geraden Grades addieren.

Mal sehen, wo es sonst noch nützlich sein kann. In einer Aufgabe müssen Sie beispielsweise zwei Zahlen vergleichen:

Das mehr:

Sie werden nicht sofort sagen. Nun, lassen Sie uns die parsed-Eigenschaft verwenden, um eine Zahl unter dem Wurzelzeichen hinzuzufügen? Dann weiterleiten:

Nun, wissend, dass die Wurzel selbst umso größer ist, je größer die Zahl unter dem Zeichen der Wurzel ist! Jene. wenn bedeutet . Daraus schließen wir fest Und niemand wird uns vom Gegenteil überzeugen!

Zuvor haben wir einen Faktor unter dem Zeichen der Wurzel eingeführt, aber wie kann man ihn entfernen? Sie müssen es nur herausrechnen und extrahieren, was extrahiert wird!

Es war möglich, den anderen Weg zu gehen und in andere Faktoren zu zerlegen:

Nicht schlecht, oder? Jeder dieser Ansätze ist richtig, entscheiden Sie, wie Sie sich wohl fühlen.

Hier ist zum Beispiel ein Ausdruck:

In diesem Beispiel ist der Grad gerade, aber was ist, wenn er ungerade ist? Wenden Sie erneut die Leistungseigenschaften an und berücksichtigen Sie alles:

Damit scheint alles klar zu sein, aber wie zieht man aus einer Gradzahl eine Wurzel? Hier ist zum Beispiel das:

Ziemlich einfach, oder? Was ist, wenn der Abschluss größer als zwei ist? Wir folgen der gleichen Logik, indem wir die Eigenschaften von Graden verwenden:

Na, ist alles klar? Dann hier ein Beispiel:

Dies sind Fallstricke, über sie immer eine Erinnerung wert. Dies ist eigentlich eine Reflexion über die Eigenschaftsbeispiele:

für ungerade: für gerade und:

Verständlicherweise? Beheben Sie es mit Beispielen:

Ja, wir sehen die Wurzel zu einem geraden Grad, die negative Zahl unter der Wurzel ist auch zu einem geraden Grad. Nun, funktioniert es genauso? Und hier ist was:

Das ist alles! Hier nun einige Beispiele:

Ich habs? Dann fahren Sie mit Beispielen fort.

Beispiele.

Antworten.

Wenn Sie Antworten erhalten haben, können Sie beruhigt weitermachen. Wenn nicht, schauen wir uns diese Beispiele an:

Schauen wir uns zwei weitere Eigenschaften von Wurzeln an:

Diese Eigenschaften müssen in Beispielen analysiert werden. Nun, sollen wir das tun?

Ich habs? Lass es uns reparieren.

Beispiele.

Antworten.

WURZELN UND IHRE EIGENSCHAFTEN. MITTELSTUFE

Arithmetische Quadratwurzel

Die Gleichung hat zwei Lösungen: und. Das sind Zahlen, deren Quadrat gleich ist.

Betrachten Sie die Gleichung. Lösen wir es grafisch. Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion und eine Linie auf der Ebene zeichnen. Die Schnittpunkte dieser Linien sind die Lösungen. Wir sehen, dass auch diese Gleichung zwei Lösungen hat – eine positiv, die andere negativ:

Aber in diesem Fall sind die Lösungen keine ganzen Zahlen. Außerdem sind sie nicht rational. Um diese irrationalen Entscheidungen aufzuschreiben, führen wir ein spezielles Quadratwurzelsymbol ein.

Arithmetische Quadratwurzel ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist. Wenn der Ausdruck nicht definiert ist, weil es gibt keine solche Zahl, deren Quadrat gleich einer negativen Zahl ist.

Quadratwurzel: .

Zum Beispiel, . Und daraus folgt bzw.

Nochmals, das ist sehr wichtig: Die Quadratwurzel ist immer eine nicht negative Zahl: !

Kubikwurzel out of number ist die Zahl, deren Kubikzahl gleich ist. Die Kubikwurzel ist für alle definiert. Es kann aus einer beliebigen Zahl extrahiert werden: . Wie Sie sehen können, kann es auch negative Werte annehmen.

Die Wurzel des ten Grades einer Zahl ist die Zahl, deren ter Grad gleich ist, d.h.

Wenn - gerade, dann:

• if, dann ist die te Wurzel von a nicht definiert.
• wenn, dann wird die nicht negative Wurzel der Gleichung als arithmetische Wurzel des ten Grades von bezeichnet und bezeichnet.

Wenn - ungerade ist, dann hat die Gleichung eine einzelne Wurzel für alle.

Haben Sie bemerkt, dass wir seinen Grad oben links vom Wurzelzeichen schreiben? Aber nicht für die Quadratwurzel! Wenn Sie eine Wurzel ohne Grad sehen, dann ist sie quadratisch (Grad).

Beispiele.

Grundlegende Eigenschaften von Wurzeln

WURZELN UND IHRE EIGENSCHAFTEN. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Quadratwurzel (arithmetische Quadratwurzel) aus einer nicht negativen Zahl heißt eine solche nicht negative Zahl, deren Quadrat ist

Wurzeleigenschaften:

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„Verstanden“ und „Ich weiß, wie ich es lösen kann“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

Probleme finden und lösen!

Unterrichtsziele:

lehrreich: Bedingungen für die Bildung einer ganzheitlichen Sichtweise der Wurzel des n-ten Grades schaffen, die Fähigkeit, die Eigenschaften der Wurzel bewusst und rational zu nutzen, um verschiedene Probleme zu lösen.

Lehrreich: Bedingungen für die Entwicklung von algorithmischem, kreativem Denken schaffen, Selbstkontrollfähigkeiten entwickeln.

Lehrreich: die Entwicklung des Interesses an dem Thema, der Tätigkeit fördern, die Genauigkeit der Arbeit kultivieren, die Fähigkeit, die eigene Meinung zu äußern, Empfehlungen zu geben.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Guten Tag! Gute Stunde!

Wie freue ich mich, dich zu sehen.

Die Glocke hat bereits geläutet

Der Unterricht beginnt.

Sie lächelten. Aufgelevelt.

sahen einander an

Und sie setzten sich ruhig hin.

2. Unterrichtsmotivation.

Der Wissenschaftler Blaise Pascal, ein herausragender französischer Philosoph, erklärte: „Die Größe des Menschen liegt in seiner Fähigkeit zu denken.“ Heute werden wir versuchen, uns wie große Menschen zu fühlen, indem wir Wissen für uns selbst entdecken. Das Motto für die heutige Stunde werden die Worte des antiken griechischen Mathematikers Thales sein:

Was ist das Meiste auf der Welt? - Platz.

Was ist am schnellsten? - Geist.

Was ist am klügsten? - Zeit.

Was macht am meisten Spaß? - Erreiche, was du willst.

Ich möchte, dass jeder von Ihnen in der heutigen Lektion das gewünschte Ergebnis erzielt.

3. Aktualisierung des Wissens.

1. Nennen Sie gegenseitig inverse algebraische Operationen auf Zahlen. (Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division)

2. Ist es immer möglich, eine solche algebraische Operation wie eine Division durchzuführen? (Nein, du kannst nicht durch Null teilen)

3. Welche anderen Operationen können Sie mit Zahlen durchführen? (Potenzierung)

4. Welche Operation wird ihre Umkehrung sein? (Wurzelextraktion)

5. Welche Gradwurzel können Sie extrahieren? (Zweite Wurzel)

6. Welche Eigenschaften der Quadratwurzel kennst du? (Quadratwurzelziehen aus einem Produkt, aus einem Quotienten, aus einer Wurzel, Potenzieren)

7. Finden Sie die Werte von Ausdrücken:

Aus der Geschichte. Schon vor 4000 Jahren erstellten babylonische Wissenschaftler neben Einmaleins und Reziproktafeln (mit deren Hilfe die Zahlenteilung auf Multiplikation reduziert wurde) Quadratzahlen und Quadratwurzeln von Zahlen. Gleichzeitig konnten sie den ungefähren Wert der Quadratwurzel einer beliebigen ganzen Zahl ermitteln.

4. Neues Material lernen.

Offensichtlich gibt es gemäß den grundlegenden Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten aus jeder positiven Zahl zwei entgegengesetzte Werte der Wurzel eines geraden Grades, zum Beispiel sind die Zahlen 4 und -4 Quadratwurzeln von 16, seit (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, und die Zahlen 3 und -3 sind die vierten Wurzeln von 81, seit (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81.

Außerdem gibt es keine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl, weil Eine gerade Potenz einer beliebigen reellen Zahl ist nicht negativ. Was die Wurzel ungeraden Grades betrifft, so gibt es für jede reelle Zahl nur eine Wurzel ungeraden Grades aus dieser Zahl. Zum Beispiel ist 3 die dritte Wurzel von 27, weil Z3 = 27, und -2 ist die fünfte Wurzel von -32, weil (-2)5 = 32.

Im Zusammenhang mit der Existenz von zwei Wurzeln geraden Grades aus einer positiven Zahl führen wir den Begriff der arithmetischen Wurzel ein, um diese Mehrdeutigkeit der Wurzel zu beseitigen.

Ein nicht negativer Wert der n-ten Wurzel einer nicht negativen Zahl wird als arithmetische Wurzel bezeichnet.

Bezeichnung: - die Wurzel des n-ten Grades.

Die Zahl n heißt Grad der arithmetischen Wurzel. Wenn n = 2, dann wird der Wurzelgrad nicht angegeben und geschrieben. Die Wurzel zweiten Grades heißt Quadratwurzel, die Wurzel dritten Grades Kubikwurzel.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bp = a, p - sogar a ≥ 0, b ≥ 0

p - ungerade a, b - beliebig

Eigenschaften

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b > 0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - natürliche Zahlen

5. Konsolidierung von neuem Material.

Mündliche Arbeit

a) Welche Ausdrücke sind sinnvoll?

b) Für welche Werte der Variablen a macht der Ausdruck Sinn?

Löse Nr. 3, 4, 7, 9, 11.

6. Sportunterricht.

In allen Belangen ist Mäßigung gefragt,

Lass es die Hauptregel sein.

Turnen Sie, wenn Sie lange dachten,

Gymnastik erschöpft den Körper nicht,

Aber es reinigt den ganzen Körper!

Schließe deine Augen, entspanne deinen Körper

Stellen Sie sich vor - Sie sind Vögel, Sie sind plötzlich geflogen!

Jetzt schwimmst du wie ein Delphin im Ozean,

Jetzt pflücken Sie im Garten reife Äpfel.

Links, rechts, sah sich um

Augen auf und zurück an die Arbeit!

7. Selbständiges Arbeiten.

Paarweise arbeiten mit 178 Nr. 1, Nr. 2.

8. D / z. Lerne Punkt 10 (S. 160-161), löse Nr. 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).

9. Die Ergebnisse des Unterrichts. Reflexion der Aktivität.

Hat der Unterricht seinen Zweck erfüllt?

Was hast du gelernt?

Videolektion 2: Wurzeleigenschaften vom Grad n > 1

Vorlesung: Wurzel vom Grad n > 1 und ihre Eigenschaften

Wurzel

Angenommen, Sie haben eine Gleichung wie:

Die Lösung dieser Gleichung ist x 1 \u003d 2 und x 2 \u003d (-2). Als Antwort eignen sich beide Lösungen, da Zahlen mit gleichem Modul, geradzahlig potenziert, das gleiche Ergebnis liefern.

Dies war ein einfaches Beispiel, aber was können wir tun, wenn z.

Versuchen wir, die Funktion grafisch darzustellen y=x 2 . Sein Graph ist eine Parabel:

In der Grafik müssen Sie Punkte finden, die dem Wert y \u003d 3 entsprechen. Diese Punkte sind:

Dies bedeutet, dass dieser Wert nicht als ganze Zahl bezeichnet werden kann, sondern als Quadratwurzel dargestellt werden kann.

Jede Wurzel ist irrationale Zahl. Irrationale Zahlen beinhalten Wurzeln, nichtperiodische unendliche Brüche.

Quadratwurzel ist eine nicht negative Zahl "a", deren Wurzelausdruck gleich der gegebenen Zahl "a" zum Quadrat ist.

Zum Beispiel,

Das heißt, als Ergebnis erhalten wir nur einen positiven Wert. Allerdings als Lösung für eine quadratische Gleichung der Form

Die Lösung ist x 1 = 4, x 2 = (-4).

Eigenschaften der Quadratwurzel

1. Welchen Wert auch immer x annimmt, dieser Ausdruck ist in jedem Fall wahr:

2. Vergleich von Zahlen, die eine Quadratwurzel enthalten. Um diese Nummern zu vergleichen, ist es notwendig, sowohl eine als auch die zweite Nummer unter dem Wurzelzeichen einzugeben. Die Zahl wird größer sein, deren radikaler Ausdruck größer ist.

Wir geben die Zahl 2 unter dem Zeichen der Wurzel ein

Lassen Sie uns nun die Zahl 4 unter das Wurzelzeichen setzen. Als Ergebnis erhalten wir

Und erst jetzt können die beiden resultierenden Ausdrücke verglichen werden:

3. Entfernen des Multiplikators unter der Wurzel.

Wenn der Wurzelausdruck in zwei Faktoren zerlegt werden kann, von denen einer aus dem Unterzeichen der Wurzel genommen werden kann, dann muss diese Regel verwendet werden.

4. Es gibt eine dazu umgekehrte Eigenschaft - die Einführung eines Multiplikators unter der Wurzel. Wir haben diese Eigenschaft offensichtlich in der zweiten Eigenschaft verwendet.

Wurzeln-ten Grades und seine Eigenschaften

Was ist eine wurzelnGrad? Wie extrahiert man die Wurzel?

In der achten Klasse hat man sich schon kennengelernt Quadratwurzel. Wir haben typische Beispiele mit Wurzeln gelöst, indem wir bestimmte Eigenschaften der Wurzeln genutzt haben. Auch entschieden quadratische Gleichungen, wo ohne das Ziehen der Quadratwurzel - auf keinen Fall. Aber die Quadratwurzel ist nur ein Sonderfall eines umfassenderen Konzepts - Wurzel n Grad . Neben dem Quadrat gibt es beispielsweise eine Kubikwurzel, eine Wurzel vierten, fünften und höheren Grades. Und für eine erfolgreiche Arbeit mit solchen Wurzeln wäre es immer noch schön, mit „du“ mit Quadratwurzeln zu beginnen.) Daher empfehle ich denjenigen, die damit Probleme haben, dringend, sie zu wiederholen.

Das Ziehen einer Wurzel ist eine der Umkehroperationen der Potenzierung.) Warum "eins von"? Weil wir beim Wurzelziehen suchen Base nach berühmt Grad und Indikator. Und es gibt noch eine andere umgekehrte Operation - das Finden Indikator nach berühmt Grad und Basis. Diese Operation wird als Finden bezeichnet Logarithmus. Es ist komplexer als das Extrahieren der Wurzel und wird in der High School studiert.)

Also lernen wir uns kennen!

Zunächst die Bezeichnung. Die Quadratwurzel wird, wie wir bereits wissen, folgendermaßen bezeichnet:. Diese Ikone heißt sehr schön und wissenschaftlich - Radikale. Und was sind die Wurzeln anderer Abschlüsse? Ganz einfach: Über den „Schwanz“ des Radikals schreiben sie zusätzlich einen Gradmesser, dessen Wurzel gesucht wird. Wenn du nach einer Kubikwurzel suchst, dann schreibe ein Tripel: . Wenn die Wurzel des vierten Grades, dann jeweils . Und so weiter.) Im Allgemeinen wird die Wurzel des n-ten Grades wie folgt bezeichnet:

Woher .

Anzahla , wie in Quadratwurzeln, heißt radikaler Ausdruck und hier ist die Nummern das ist neu für uns. Und angerufen Root-Indikator .

Wie kann man Wurzeln beliebigen Grades extrahieren? Genau wie Quadrate - finden Sie heraus, welche Zahl zur n-ten Potenz uns eine Zahl gibta .)

Wie zieht man zum Beispiel die Kubikwurzel aus 8? Also ? Und welche Nummer gewürfelt wird uns 8 geben? Deuce natürlich.) Also schreiben sie:

Oder . Was ist die Zahl hoch 81? Drei.) Also,

Was ist mit der zehnten Wurzel aus 1? Nun, es ist ein Kinderspiel, dass eine Einheit für jede Potenz (einschließlich der zehnten) gleich eins ist.) Das heißt:

Und überhaupt .

Mit Null die gleiche Geschichte: Null für jede natürliche Kraft ist gleich Null. Das ist, .

Wie Sie sehen können, ist es im Vergleich zu Quadratwurzeln bereits schwieriger herauszufinden, welche Zahl uns die Wurzelzahl bis zu einem gewissen Grad gibta . Schwieriger aufsammeln beantworten und durch Potenzieren auf Korrektheit prüfenn . Die Situation wird erheblich erleichtert, wenn Sie den Grad der Popularität von Zahlen persönlich kennen. Also trainieren wir jetzt. :) Wir erkennen die Abschlüsse an!)

Antworten (durcheinander):

Ja Ja! Es gibt mehr Antworten als Aufgaben.) Denn zum Beispiel sind 2 8 , 4 4 und 16 2 alle die gleiche Zahl 256.

Ausgebildet? Dann betrachten wir Beispiele:

Antworten (auch in Unordnung): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Passiert? Fabelhaft! Lass uns weitermachen.)

Root-Einschränkungen. arithmetische WurzelnGrad.

In den Wurzeln des n-ten Grades sowie im Quadrat gibt es auch Einschränkungen und deren Chips. Im Kern unterscheiden sie sich nicht von diesen Beschränkungen für Quadratwurzeln.

Wird nicht ausgewählt, oder? Was 3 ist, was -3 hoch vier ist, wird +81 sein. :) Und mit jeder Wurzel sogar Grad aus einer negativen Zahl wird das gleiche Lied sein. Und das bedeutet das Es ist unmöglich, gerade Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen . Dies ist eine verbotene Handlung in der Mathematik. So verboten wie das Teilen durch Null. Daher Ausdrücke wie , und dergleichen - keinen Sinn machen.

Aber die Wurzeln seltsam Grad negativer Zahlen - bitte!

Zum Beispiel, ; , usw.)

Und aus positiven Zahlen können Sie sicher alle Wurzeln ziehen, alle Grade:

Im Allgemeinen ist es verständlich, denke ich.) Und die Wurzel muss übrigens nicht genau extrahiert werden. Dies sind nur Beispiele, rein zum Verständnis.) Es kommt vor, dass beim Lösen (z. B. von Gleichungen) ziemlich schlechte Wurzeln auftauchen. Etwas wie . Aus der Acht wird die Kubikwurzel perfekt extrahiert, und hier ist die Sieben unter der Wurzel. Was zu tun ist? Nichts Schlimmes. Alles ist genau gleich.- das ist die Zahl, die uns, wenn wir sie in Würfel schneiden, 7 ergibt. Nur die Zahl ist sehr hässlich und struppig. Hier ist es:

Außerdem endet diese Zahl nie und hat keinen Punkt: Die Zahlen folgen völlig zufällig. Es ist irrational ... In solchen Fällen bleibt die Antwort in Form einer Wurzel.) Wenn die Wurzel jedoch rein gezogen wird (z. B.), muss die Wurzel natürlich berechnet und aufgeschrieben werden:

Wieder nehmen wir unsere Versuchsnummer 81 und ziehen daraus die vierte Wurzel:

Denn drei im vierten werden 81 sein. Na, gut! Aber auch minus drei der vierte wird auch 81!

Es gibt eine Unklarheit:

Und um es zu eliminieren, wurde, genau wie bei Quadratwurzeln, ein spezieller Begriff eingeführt: arithmetische WurzelnGrad darunter a - es ist wie es ist nicht negativ Anzahl,n-ten Grades gleich ist a .

Und die Antwort mit Plus oder Minus heißt anders - algebraische WurzelnGrad. Für jede gerade Potenz wird die algebraische Wurzel sein zwei entgegengesetzte Zahlen. In der Schule wird nur mit Wurzeln gearbeitet. Daher werden negative Zahlen in arithmetischen Wurzeln einfach verworfen. Sie schreiben zum Beispiel: Das Plus selbst wird natürlich nicht geschrieben: it implizieren.

Alles scheint einfach zu sein, aber ... Aber was ist mit den Wurzeln eines ungeraden Grades aus negativen Zahlen? Schließlich gibt es beim Extrahieren immer eine negative Zahl! Da jede negative Zahl in ungerade Grad gibt auch eine negative Zahl. Und die arithmetische Wurzel funktioniert nur mit nicht negativen Zahlen! Deshalb ist es Arithmetik.)

In solchen Wurzeln tun sie Folgendes: Sie nehmen ein Minus unter der Wurzel heraus und legen es vor die Wurzel. So:

In solchen Fällen heißt es ausgedrückt in Form einer arithmetischen (d. h. bereits nicht negativen) Wurzel .

Aber es gibt eine Sache, die verwirrend sein kann - das ist die Lösung einfacher Gleichungen mit Potenzen. Hier ist zum Beispiel eine Gleichung:

Wir schreiben die Antwort: Tatsächlich ist diese Antwort nur eine abgekürzte Notation zwei Antworten:

Das Missverständnis hier ist, dass ich schon etwas weiter oben geschrieben habe, dass in der Schule nur nicht-negative (also arithmetische) Wurzeln berücksichtigt werden. Und hier ist eine der Antworten mit einem Minus ... Wie soll ich sein? Auf keinen Fall! Die Zeichen hier sind das Ergebnis der Lösung der Gleichung. SONDERN die Wurzel selbst- der Wert ist immer noch nicht negativ! Überzeugen Sie sich selbst:

Na, ist es jetzt klarer? mit Klammern?)

Mit einem ungeraden Abschluss ist alles viel einfacher - es stellt sich immer heraus ein Wurzel. Plus oder minus. Zum Beispiel:

Also wenn wir einfach Wir ziehen die Wurzel (von geradem Grad) aus der Zahl, dann erhalten wir immer ein nicht negatives Ergebnis. Weil es eine arithmetische Wurzel ist. Nun, wenn wir uns entscheiden Die gleichung mit einem geraden Abschluss erhalten wir zwei entgegengesetzte Wurzeln, da dies ist Lösung der Gleichung.

Bei Wurzeln mit ungeradem Grad (Kubik, fünfter Grad usw.) gibt es keine Probleme. Wir extrahieren uns und baden nicht mit Zeichen. Plus unter der Wurzel bedeutet das Ergebnis der Extraktion mit einem Plus. Minus bedeutet Minus.

Und jetzt ist es Zeit, sich zu treffen Root-Eigenschaften. Einige werden uns bereits von Quadratwurzeln bekannt sein, aber einige neue werden hinzukommen. Gehen!

Root-Eigenschaften. Die Wurzel der Arbeit.

Diese Eigenschaft ist uns bereits von Quadratwurzeln bekannt. Für Wurzeln anderer Grade ist alles ähnlich:

Also, die Wurzel des Produkts ist gleich dem Produkt der Wurzeln jedes Faktors separat.

Wenn der Indikatorn gerade, dann beide Radikalzahlena undb muss natürlich nichtnegativ sein, sonst hat die Formel keine Bedeutung. Bei einem ungeraden Indikator gibt es keine Einschränkungen: Wir ziehen die Minuszeichen von unten nach vorne und arbeiten dann mit arithmetischen Wurzeln.)

Wie bei Quadratwurzeln ist diese Formel hier sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gleichermaßen nützlich. Wenn Sie die Formel von links nach rechts anwenden, können Sie die Wurzeln extrahieren von der Arbeit. Zum Beispiel:

Diese Formel gilt übrigens nicht nur für zwei, sondern für beliebig viele Faktoren. Zum Beispiel:

Mit dieser Formel können Sie auch Wurzeln aus großen Zahlen ziehen: Dazu wird die Zahl unter der Wurzel in kleinere Faktoren zerlegt und dann die Wurzeln von jedem Faktor getrennt gezogen.

Zum Beispiel eine solche Aufgabe:

Die Zahl ist groß genug. Hat es Wurzeln geschlagen? glatt- auch ohne Taschenrechner ist es nicht klar. Es wäre schön, es auszuklammern. Durch was genau ist die Zahl 3375 teilbar? Bei 5 scheint es: Die letzte Ziffer ist fünf.) Dividieren:

Oh, wieder durch 5 teilbar! 675:5 = 135. Und 135 wird wieder durch fünf geteilt. Ja, wann wird es enden?

135:5 = 27. Bei der Zahl 27 ist schon alles klar – das ist eine Drei in einem Würfel. Meint,

Dann:

Sie haben Stück für Stück die Wurzel genommen, na gut.)

Oder dieses Beispiel:

Wir faktorisieren wieder nach den Zeichen der Teilbarkeit. Was? Am 4, weil das letzte Zahlenpaar 40 ist durch 4 teilbar. Und durch 10, weil die letzte Ziffer ist Null. Sie können also auf einen Schlag durch 40 auf einmal teilen:

Über die Zahl 216 wissen wir bereits, dass dies eine Sechserwürfel ist. Das ist,

Und 40 wiederum kann zerlegt werden als . Dann

Und schließlich erhalten wir:

Es hat nicht sauber geklappt, die Wurzel zu extrahieren, naja, das ist okay. Wie auch immer, wir haben den Ausdruck vereinfacht: Wir wissen, dass es üblich ist, die kleinstmögliche Zahl unter der Wurzel zu lassen (auch wenn quadratisch, auch wenn kubisch - irgendeine.) In diesem Beispiel haben wir eine sehr nützliche Operation durchgeführt, die auch bereits bekannt ist uns aus Quadratwurzeln. Erkennst du wieder? Ja! Wir ausgehalten Faktoren unter der Wurzel. In diesem Beispiel haben wir eine Zwei und eine Sechs herausgenommen, d.h. Nummer 12.

Wie kann man den Faktor aus dem Zeichen der Wurzel entfernen?

Es ist sehr einfach, den Faktor (oder die Faktoren) jenseits des Wurzelzeichens herauszunehmen. Wir zerlegen den Wurzelausdruck in Faktoren und extrahieren, was extrahiert wird.) Und was nicht extrahiert wird, belassen wir bei der Wurzel. Sehen:

Wir zerlegen die Zahl 9072 in Faktoren. Da wir eine Wurzel vierten Grades haben, versuchen wir zunächst, in Faktoren zu zerlegen, die die vierten Potenzen natürlicher Zahlen sind - 16, 81 usw.

Versuchen wir, 9072 durch 16 zu teilen:

Geteilt!

Aber 567 scheint durch 81 teilbar zu sein:

Meint, .

Dann

Root-Eigenschaften. Wurzelmultiplikation.

Betrachten Sie nun die umgekehrte Anwendung der Formel – von rechts nach links:

Auf den ersten Blick nichts Neues, aber der Schein trügt.) Die umgekehrte Anwendung der Formel erweitert unsere Möglichkeiten erheblich. Zum Beispiel:

Hm, also was ist daran falsch? Sie multiplizierten alles. Hier gibt es wirklich nichts Besonderes. Die übliche Multiplikation von Wurzeln. Und hier ist ein Beispiel!

Separat werden die Wurzeln nicht rein aus den Faktoren extrahiert. Aber das Ergebnis ist hervorragend.)

Auch hier gilt die Formel für eine beliebige Anzahl von Faktoren. Sie müssen beispielsweise den folgenden Ausdruck berechnen:

Hier geht es vor allem um Aufmerksamkeit. Das Beispiel enthält verschieden Wurzeln sind kubisch und vierten Grades. Und keiner von ihnen wird definitiv extrahiert ...

Und die Formel für das Produkt aus Wurzeln gilt nur für Wurzeln mit das gleiche Indikatoren. Daher gruppieren wir die Würfelwurzeln in einem separaten Stapel und in einem separaten Stapel - dem vierten Grad. Und dort wird alles zusammenwachsen.))

Und ich brauchte keinen Taschenrechner.

Wie füge ich einen Multiplikator unter dem Wurzelzeichen hinzu?

Die nächste nützliche Sache ist Eingabe einer Zahl unter der Wurzel. Zum Beispiel:

Ist es möglich, das Tripel in der Wurzel zu entfernen? Elementar! Wenn das Triple in verwandelt wird Wurzel, dann funktioniert die Formel für das Produkt der Wurzeln. Also verwandeln wir die drei in eine Wurzel. Da wir eine Wurzel vierten Grades haben, werden wir sie auch in eine Wurzel vierten Grades umwandeln.) So:

Dann

Die Wurzel kann übrigens aus jeder nicht negativen Zahl gebildet werden. Darüber hinaus in dem Maße, wie wir möchten (alles hängt von einem bestimmten Beispiel ab). Dies wird die Wurzel der n-ten Potenz dieser genauen Zahl sein:

Und jetzt - Beachtung! Quelle sehr grober Fehler! Ich habe hier nichts umsonst gesagt nicht negativ Zahlen. Die arithmetische Wurzel funktioniert nur mit solchen. Wenn wir irgendwo in der Aufgabe eine negative Zahl haben, dann lassen wir entweder das Minus vor der Wurzel (wenn es draußen ist) oder entfernen das Minus unter der Wurzel, wenn es drinnen ist. Ich erinnere Sie daran, wenn unter der Wurzel sogar Grad stellt sich dann als negative Zahl heraus der Ausdruck ergibt keinen Sinn.

Zum Beispiel eine solche Aufgabe. Geben Sie unter dem Wurzelzeichen einen Multiplikator ein:

Wenn wir jetzt rooten Minus- zwei, dann werden wir uns grausam irren:

Was ist hier falsch? Und die Tatsache, dass der vierte Grad aufgrund seiner Parität dieses Minus sicher „aß“, wodurch eine absichtlich negative Zahl in eine positive umgewandelt wurde. Die richtige Lösung sieht so aus:

In den Wurzeln ungerader Grade ist das Minus, obwohl es nicht „gegessen“ wird, auch besser draußen zu lassen:

Hier ist die Wurzel eines ungeraden Grads kubisch, und wir haben jedes Recht, das Minus auch unter die Wurzel zu treiben. Aber es ist in solchen Beispielen vorzuziehen, auch das Minus außen zu lassen und die Antwort ausgedrückt durch die arithmetische (nicht negative) Wurzel zu schreiben, da die Wurzel zwar das Recht auf Leben hat, aber ist nicht arithmetisch.

Also, mit der Einführung einer Zahl unter der Wurzel ist auch alles klar, hoffe ich.) Kommen wir zur nächsten Eigenschaft.

Root-Eigenschaften. Die Wurzel des Bruchs. Teilung der Wurzeln.

Diese Eigenschaft wiederholt auch vollständig die für Quadratwurzeln. Erst jetzt erweitern wir es auf Wurzeln beliebigen Grades:

Die Wurzel eines Bruchs ist die Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners.

Wenn n gerade ist, dann die Zahla muss nicht negativ sein, und die Zahlb - streng positiv (Sie können nicht durch Null teilen). Im Fall eines ungeraden Exponenten ist die einzige Einschränkung .

Mit dieser Eigenschaft können Sie einfach und schnell Wurzeln aus Fraktionen extrahieren:

Die Idee ist klar, denke ich. Anstatt mit dem Bruch als Ganzem zu arbeiten, gehen wir dazu über, getrennt mit dem Zähler und getrennt mit dem Nenner zu arbeiten.) Wenn der Bruch eine Dezimalzahl oder, zum Schrecken, eine gemischte Zahl ist, dann gehen wir zuerst zu gewöhnlichen Brüchen über:

Sehen wir uns nun an, wie diese Formel von rechts nach links funktioniert. Auch hier zeigen sich sehr nützliche Möglichkeiten. Zum Beispiel dieses Beispiel:

Die Wurzeln werden nicht exakt aus Zähler und Nenner gezogen, aber aus dem ganzen Bruch ist es in Ordnung.) Sie können dieses Beispiel auch anders lösen - nehmen Sie den Faktor im Zähler unter der Wurzel heraus, gefolgt von einer Kürzung:

Wie du möchtest. Die Antwort ist immer dieselbe - die richtige. Wenn Sie dabei keine Fehler machen.)

Also haben wir die Multiplikation / Division der Wurzeln herausgefunden. Wir steigen zum nächsten Schritt auf und betrachten die dritte Eigenschaft - Wurzel zu Grad und Wurzel des Grades .

Wurzel zu Grad. Wurzel des Grades.

Wie erhebt man eine Wurzel zur Macht? Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben eine Zahl . Lässt sich diese Zahl potenzieren? In einem Würfel zum Beispiel? Sicherlich! Multiplizieren Sie die Wurzel dreimal mit sich selbst, und - nach der Formel für das Produkt der Wurzeln:

Hier ist die Wurzel und der Grad als ob gegenseitig aufheben oder kompensieren. In der Tat, wenn wir eine Zahl erhöhen, die uns gewürfelt ein Tripel ergibt, wir erhöhen sie auf genau diesen Würfel, was bekommen wir dann? Drei und natürlich! Und so wird es für jede nicht negative Zahl sein. Im Allgemeinen:

Wenn die Exponenten und die Wurzel unterschiedlich sind, dann gibt es auch kein Problem. Wenn Sie die Eigenschaften von Graden kennen.)

Ist der Exponent kleiner als der Exponent der Wurzel, dann treiben wir den Exponenten einfach unter die Wurzel:

Im Allgemeinen wird es sein:

Die Idee ist klar: Wir potenzieren den Wurzelausdruck und vereinfachen ihn dann, indem wir, wenn möglich, Faktoren unter der Wurzel entfernen. Wenn einn dann geradea muss nicht negativ sein. Warum ist verständlich, denke ich.) Und wennn ungerade, dann keine Beschränkungen aufa schon weg:

Beschäftigen wir uns jetzt Wurzel des Grades . Das heißt, nicht die Wurzel selbst wird potenziert, sondern radikaler Ausdruck. Auch hier ist nichts kompliziert, aber viel mehr Spielraum für Fehler. Wieso den? Denn es kommen negative Zahlen ins Spiel, die die Vorzeichen verwirren können. Beginnen wir zunächst mit den Wurzeln der ungeraden Kräfte – sie sind viel einfacher.

Nehmen wir an, wir haben die Zahl 2. Können wir sie in Würfel schneiden? Sicherlich!

Und jetzt - zurück die Kubikwurzel aus der Acht extrahieren:

Sie begannen mit einer Zwei und kehrten zu einer Zwei zurück.) Kein Wunder: Das Erhöhen auf einen Würfel wurde durch die umgekehrte Operation kompensiert - das Ziehen der Kubikwurzel.

Ein anderes Beispiel:

Auch hier ist alles auf Kurs. Der Grad und die Wurzel kompensieren sich gegenseitig. Im Allgemeinen können wir für die Wurzeln ungerader Grade die folgende Formel schreiben:

Diese Formel gilt für jede reelle Zahla . Ob positiv oder negativ.

Das heißt, ein ungerader Grad und eine Wurzel desselben Grades kompensieren sich immer gegenseitig und man erhält einen radikalen Ausdruck. :)

Aber mit sogar Grad darf dieser Fokus nicht mehr bestehen. Überzeugen Sie sich selbst:

Hier ist noch nichts Besonderes. Der vierte Grad und die Wurzel des vierten Grades balancierten sich auch aus und es wurde nur eine Zwei, d.h. verwurzelter Ausdruck. Und für jeden nicht negativ Zahlen werden die gleichen sein. Und jetzt ersetzen wir einfach zwei in dieser Wurzel durch minus zwei. Lassen Sie uns also wie folgt eine Wurzel ziehen:

Das Minus der Zwei ist aufgrund des vierten Grades sicher „ausgebrannt“. Und als Ergebnis des Wurzelziehens (Arithmetik!) Haben wir bekommen positiv Anzahl. Es war minus zwei, es wurde plus zwei.) Aber wenn wir nur gedankenlos den Grad und die Wurzel (dasselbe!) „reduzieren“ würden, würden wir bekommen

Was der größte Fehler ist, ja.

Daher z sogar Die Formel für die Wurzel des Exponenten sieht so aus:

Hier wurde das von vielen ungeliebte Modulzeichen hinzugefügt, aber es ist nichts Schlimmes daran: Dank ihm funktioniert die Formel auch für jede reelle Zahla. Und das Modul schneidet einfach die Nachteile ab:

Nur in den Wurzeln des n-ten Grades tauchte eine zusätzliche Unterscheidung zwischen geraden und ungeraden Graden auf. Sogar Grade sind, wie wir sehen, launenhafter, ja.)

Betrachten Sie nun eine neue nützliche und sehr interessante Eigenschaft, die bereits für die Wurzeln des n-ten Grades charakteristisch ist: Wenn der Wurzelexponent und der Exponent des Wurzelausdrucks mit derselben natürlichen Zahl multipliziert (dividiert) werden, wird der Wert der Wurzel nicht ändern.

Etwas, das an die Grundeigenschaft eines Bruchs erinnert, nicht wahr? Bei Brüchen können wir Zähler und Nenner auch mit derselben Zahl (außer Null) multiplizieren (dividieren). Tatsächlich ist diese Eigenschaft der Wurzeln auch eine Folge der Grundeigenschaft des Bruchs. Wenn wir uns kennenlernen Grad mit einem rationalen Exponenten dann wird alles klar. Was, wie und wo.)

Die direkte Anwendung dieser Formel ermöglicht es uns, absolut beliebige Wurzeln aus beliebigen Graden zu vereinfachen. Einschließlich, wenn die Exponenten des Wurzelausdrucks und die Wurzel selbst verschieden. Vereinfachen wir zum Beispiel den folgenden Ausdruck:

Wir handeln einfach. Für den Anfang heben wir den vierten Grad vom zehnten unter der Wurzel heraus und - machen Sie weiter! Wie? Durch die Eigenschaften von Graden natürlich! Wir ziehen den Faktor unter der Wurzel heraus oder arbeiten nach der Formel der Wurzel aus dem Grad.

Aber lassen Sie uns vereinfachen und nur diese Eigenschaft verwenden. Dazu stellen wir die vier unter der Wurzel dar als:

Und jetzt - das Interessanteste - wir reduzieren mental der Indikator unter der Wurzel (zwei) mit dem Wurzelindikator (vier)! Und wir bekommen:

• Die arithmetische Wurzel eines natürlichen Grades n>=2 aus einer nicht-negativen Zahl a ist eine nicht-negative Zahl, potenziert mit n ergibt sich die Zahl a.

Es kann bewiesen werden, dass für jedes nicht-negative a und jedes natürliche n die Gleichung x^n=a eine einzige nicht-negative Wurzel hat. Diese Wurzel wird als arithmetische Wurzel n-ten Grades aus der Zahl a bezeichnet.

Die arithmetische Wurzel n-ten Grades aus der Zahl a wird wie folgt n√a bezeichnet. Die Zahl a wird in diesem Fall Wurzelausdruck genannt.

Die arithmetische Wurzel zweiten Grades heißt Quadratwurzel, und die arithmetische Wurzel dritten Grades heißt Kubikwurzel.

Grundlegende Eigenschaften der Rechenwurzel n-ten Grades

• 1. (n√a)^n = a.

Zum Beispiel (5√2)^5 = 2.

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition der arithmetischen Wurzel n-ten Grades.

Wenn a größer oder gleich Null ist, b größer als Null ist und n, m natürliche Zahlen sind, so dass n größer oder gleich 2 und m größer oder gleich 2 ist, dann sind die folgenden Eigenschaften wahr :

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

Beispiel: 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

Beispiel: 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

Beispiel: 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

Beispiel: 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

Beachten Sie, dass in Eigenschaft 2 die Zahl b gleich Null sein kann und in Eigenschaft 4 die Zahl m eine beliebige ganze Zahl sein kann, vorausgesetzt, dass a > 0 ist.

Beweis der zweiten Eigenschaft

Alle letzten vier Eigenschaften werden auf ähnliche Weise bewiesen, also beschränken wir uns darauf, nur die zweite zu beweisen: n√(a*b)= n√a*n√b.

Mit der Definition einer arithmetischen Wurzel beweisen wir, dass n√(a*b)= n√a*n√b.

Dazu beweisen wir zwei Tatsachen, dass n√a*n√b. Größer oder gleich Null, und dass (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. n√a*n√b ist größer oder gleich Null, da sowohl a als auch b größer oder gleich Null sind.
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b, da (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b.

Q.E.D. Die Eigenschaft ist also wahr. Diese Eigenschaften werden sehr oft beim Vereinfachen von Ausdrücken verwendet werden müssen, die arithmetische Wurzeln enthalten.