Einführung

Als wir anfingen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema "Pyramide". Uns gefiel dieses Thema, weil die Pyramide sehr oft in der Architektur verwendet wird. Und da unser zukünftiger Beruf als Architektin von dieser Figur inspiriert ist, glauben wir, dass sie uns zu großartigen Projekten anspornen kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen, ihre wichtigste Qualität. Assoziiert man Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt werden, und zweitens mit den Merkmalen von Designlösungen, stellt sich heraus, dass die Stärke einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der geometrischen Form steht, die ihr zugrunde liegt.

Mit anderen Worten, wir sprechen von der geometrischen Figur, die als Modell der entsprechenden architektonischen Form betrachtet werden kann. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Form auch die Stärke der architektonischen Struktur bestimmt.

Die ägyptischen Pyramiden gelten seit langem als das langlebigste architektonische Bauwerk. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Gerade diese geometrische Form bietet durch die große Grundfläche die größte Stabilität. Andererseits sorgt die Form der Pyramide dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und daher stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Neues über die Pyramiden erfahren, Wissen vertiefen und praktische Anwendungen finden.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

Betrachten Sie die Pyramide als eine geometrische Figur

Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

Finden Sie Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen Pyramiden, die sich in verschiedenen Teilen der Welt befinden

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde im alten Ägypten und in Babylon gelegt, aber im alten Griechenland aktiv entwickelt. Der erste, der feststellte, wie groß das Volumen der Pyramide ist, war Demokrit, und Eudoxus von Knidus bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner "Anfänge" und brachte auch die erste Definition der Pyramide heraus: eine Körperfigur, die von Ebenen begrenzt wird, die an einem Punkt von einer Ebene zusammenlaufen.

Die Gräber der ägyptischen Pharaonen. Die größten von ihnen - die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Die Errichtung der Pyramide, in der bereits Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Königsstolz und die Grausamkeit sahen, die das gesamte Volk Ägyptens zu sinnlosem Bauen verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar Ausdruck die mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete in der von landwirtschaftlicher Arbeit freien Zeit des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Bekannt ist auch die besondere Kult-Ehrung, die sich als Pyramide selbst herausstellte.

Grundlegendes Konzept

Pyramide Es wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind.

Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gezeichnet von ihrer Spitze;

Seitenflächen- oben zusammenlaufende Dreiecke;

Seitenrippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- ein Punkt, der die Seitenkanten verbindet und nicht in der Ebene der Basis liegt;

Höhe- ein Segment einer Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zur Spitze der Pyramide gehört.

Die Haupteigenschaften der richtigen Pyramide

Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Der Bereich der seitlichen und vollen Oberfläche der Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide (voll und abgeschnitten) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem der Pyramide.

p- Umfang der Basis;

h- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

p1, p 2 - Basisperimeter;

h- Apothem.

R- Gesamtfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Bereich der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S1 + S2- Grundfläche

Pyramidenvolumen

Bilden Die Volumenskala wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H ist die Höhe der Pyramide.

Winkel der Pyramide

Die Winkel, die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildet werden, heißen Diederwinkel an der Basis der Pyramide.

Ein Diederwinkel wird durch zwei Senkrechte gebildet.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei Senkrechten verwenden.

Die Winkel, die durch eine Seitenkante und ihre Projektion auf die Ebene der Basis gebildet werden, werden als bezeichnet Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der Winkel, der von zwei Seitenflächen gebildet wird, wird genannt Diederwinkel am seitlichen Rand der Pyramide.

Der Winkel, der durch zwei Seitenkanten einer Fläche der Pyramide gebildet wird, wird genannt Ecke an der Spitze der Pyramide.

Abschnitte der Pyramide

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch die Sekantenebene gegebene Abschnitt der Pyramide eine unterbrochene Linie, die aus separaten geraden Linien besteht.

Diagonalschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Fläche liegen, wird als Pyramide bezeichnet Diagonalschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wenn die Pyramide von einer Ebene parallel zur Basis gekreuzt wird, werden die Seitenkanten und Höhen der Pyramide durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein Polygon ähnlich der Basis;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze.

Arten von Pyramiden

Korrekte Pyramide- eine Pyramide, deren Basis ein regelmäßiges Polygon ist und deren Spitze in die Mitte der Basis projiziert wird.

An der richtigen Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Diederwinkel an der Basis sind gleich

5. Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt

7. jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- der Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen gezogen wird, heißt die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O die Mitte der Basis, SO = 8 cm, BD = 30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten wir OSB: OSB-rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramide in der Architektur

Pyramide - eine monumentale Struktur in Form einer gewöhnlichen regelmäßigen geometrischen Pyramide, bei der die Seiten an einem Punkt zusammenlaufen. Je nach funktionalem Zweck waren die Pyramiden in der Antike ein Ort der Bestattung oder Anbetung. Die Basis einer Pyramide kann dreieckig, viereckig oder polygonal mit einer beliebigen Anzahl von Ecken sein, aber die häufigste Version ist die viereckige Basis.

Es ist eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden bekannt, die von verschiedenen Kulturen der Antike gebaut wurden, hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Die größten Pyramiden sind die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde sieht man architektonische Strukturen in Form von Pyramiden. Pyramidenbauten erinnern an die Antike und sehen sehr schön aus.

Die ägyptischen Pyramiden sind die größten Baudenkmäler des alten Ägypten, unter denen eines der „Sieben Weltwunder“ die Cheops-Pyramide ist. Vom Fuß bis zur Spitze erreicht er 137,3 m, und bevor er die Spitze verlor, betrug seine Höhe 146,7 m.

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Volumens ein ziemlich geräumiger Konzertsaal, der eine der größten Orgeln in der Slowakei hat .

Der Louvre, der „so still und majestätisch wie eine Pyramide ist“, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen erfahren, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es wurde als Festung geboren, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und sich bald in eine königliche Residenz verwandelte. 1793 wurde der Palast ein Museum. Sammlungen werden durch Nachlässe oder Ankäufe bereichert.

Wir berücksichtigen weiterhin die Aufgaben, die in der Prüfung in Mathematik enthalten sind. Wir haben bereits Probleme untersucht, bei denen die Bedingung gegeben ist und es erforderlich ist, den Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten oder den Winkel zu finden.

Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Polygon ist, die anderen Flächen Dreiecke sind und einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Eine regelmäßige Pyramide ist eine Pyramide, an deren Basis ein regelmäßiges Polygon liegt und deren Spitze in die Mitte der Basis projiziert wird.

Eine regelmäßige viereckige Pyramide - die Basis ist ein Quadrat.Die Spitze der Pyramide wird auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (Quadrat) projiziert.

ML - Apothem
∠MLO - Diederwinkel an der Basis der Pyramide
∠MCO - der Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis der Pyramide

In diesem Artikel werden wir Aufgaben zum Lösen der richtigen Pyramide betrachten. Es ist erforderlich, jedes Element, Seitenfläche, Volumen, Höhe zu finden. Natürlich müssen Sie den Satz des Pythagoras kennen, die Formel für die Fläche der Seitenfläche der Pyramide, die Formel zum Ermitteln des Volumens der Pyramide.

Im Artikel « » Formeln werden vorgestellt, die zur Lösung von Problemen in der Stereometrie notwendig sind. Die Aufgaben sind also:

SABCD Punkt Ö- BasiszentrumS Scheitel, ALSO = 51, AC= 136. Finden Sie die SeitenkanteSC.

In diesem Fall ist die Basis ein Quadrat. Das bedeutet, dass die Diagonalen AC und BD gleich sind, sie schneiden und halbieren sich im Schnittpunkt. Beachten Sie, dass in einer regulären Pyramide die Höhe, die von ihrer Spitze abgesenkt wird, durch die Mitte der Basis der Pyramide geht. Also ist SO die Höhe und das DreieckSOCrechteckig. Dann nach dem Satz des Pythagoras:

Wie man aus einer großen Zahl die Wurzel zieht.

Antwort: 85

Entscheide dich selbst:

In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Punkt Ö- Basiszentrum S Scheitel, ALSO = 4, AC= 6. Finden Sie eine Seitenkante SC.

In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Punkt Ö- Basiszentrum S Scheitel, SC = 5, AC= 6. Finden Sie die Länge des Segments ALSO.

In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Punkt Ö- Basiszentrum S Scheitel, ALSO = 4, SC= 5. Finden Sie die Länge des Segments AC.

SABC R- Mitte der Rippe BC, S- oben. Es ist bekannt, dass AB= 7 und SR= 16. Finden Sie die Seitenfläche.

Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem (das Apothem ist die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrer Spitze gezogen wird):

Oder man kann sagen: Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide ist gleich der Summe der Flächen der drei Seitenflächen. Die Seitenflächen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide sind Dreiecke gleicher Fläche. In diesem Fall:

Antwort: 168

Entscheide dich selbst:

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC R- Mitte der Rippe BC, S- oben. Es ist bekannt, dass AB= 1 und SR= 2. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC R- Mitte der Rippe BC, S- oben. Es ist bekannt, dass AB= 1, und die seitliche Oberfläche ist 3. Finden Sie die Länge des Segments SR.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC L- Mitte der Rippe BC, S- oben. Es ist bekannt, dass SL= 2, und die seitliche Oberfläche ist 3. Finden Sie die Länge des Segments AB.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC M. Fläche eines Dreiecks ABC ist 25, das Volumen der Pyramide ist 100. Finden Sie die Länge des Segments FRAU.

Die Basis der Pyramide ist ein gleichseitiges Dreieck. Deshalb Mist das Zentrum der Basis, undFRAU- die Höhe einer regelmäßigen PyramideSABC. Pyramidenvolumen SABC gleich: Lösung prüfen

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC Basismediane schneiden sich in einem Punkt M. Fläche eines Dreiecks ABC ist 3, FRAU= 1. Finden Sie das Volumen der Pyramide.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC Basismediane schneiden sich in einem Punkt M. Das Volumen der Pyramide ist 1, FRAU= 1. Finden Sie die Fläche des Dreiecks ABC.

Lassen Sie uns damit abschließen. Wie Sie sehen können, werden Aufgaben in einem oder zwei Schritten gelöst. In Zukunft werden wir mit Ihnen andere Probleme aus diesem Teil betrachten, wo Rotationskörper gegeben sind, verpassen Sie es nicht!

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Studenten begegnen dem Konzept einer Pyramide lange vor dem Studium der Geometrie. Geben Sie den berühmten großen ägyptischen Weltwundern die Schuld. Daher stellen sich die meisten Studenten, wenn sie mit dem Studium dieses wunderbaren Polyeders beginnen, es bereits klar vor. Alle oben genannten Sehenswürdigkeiten sind in der richtigen Form. Was rechte Pyramide, und welche Eigenschaften es hat und wird weiter diskutiert.

In Kontakt mit

Definition

Es gibt viele Definitionen einer Pyramide. Seit der Antike erfreut es sich großer Beliebtheit.

Zum Beispiel definierte Euklid es als eine feste Figur, bestehend aus Ebenen, die von einer Ebene ausgehend an einem bestimmten Punkt zusammenlaufen.

Heron lieferte eine genauere Formulierung. Er bestand darauf, dass es sich um eine Figur handelte hat eine Grundfläche und Ebenen in Form von Dreiecken, an einem Punkt zusammenlaufen.

Basierend auf der modernen Interpretation wird die Pyramide als räumliches Polyeder dargestellt, das aus einem bestimmten k-Eck und k-flachen Dreiecksfiguren besteht, die einen gemeinsamen Punkt haben.

Lass uns genauer hinschauen, Aus welchen Elementen besteht es?

• k-gon gilt als Grundlage der Figur;
• 3-eckige Figuren ragen als Seiten des Seitenteils hervor;
• der obere Teil, aus dem die Seitenelemente stammen, wird als Top bezeichnet;
• alle Segmente, die den Scheitelpunkt verbinden, heißen Kanten;
• Wenn eine gerade Linie in einem Winkel von 90 Grad von oben auf die Ebene der Figur abgesenkt wird, entspricht ihr vom Innenraum eingeschlossener Teil der Höhe der Pyramide.
• In jedem Seitenelement neben unserem Polyeder können Sie eine Senkrechte zeichnen, die als Apotheme bezeichnet wird.

Die Anzahl der Kanten wird mit der Formel 2*k berechnet, wobei k die Anzahl der Seiten des k-Ecks ist. Wie viele Flächen ein Polyeder wie eine Pyramide hat, lässt sich durch den Ausdruck k + 1 bestimmen.

Wichtig! Eine regelmäßig geformte Pyramide ist eine stereometrische Figur, deren Grundebene ein k-Eck mit gleichen Seiten ist.

Grundeigenschaften

Korrekte Pyramide hat viele Eigenschaften die für sie einzigartig sind. Lassen Sie uns sie auflisten:

1. Die Basis ist eine Figur der richtigen Form.
2. Die Kanten der Pyramide, die die Seitenelemente begrenzen, haben gleiche Zahlenwerte.
3. Die Seitenelemente sind gleichschenklige Dreiecke.
4. Die Basis der Höhe der Figur fällt in die Mitte des Polygons, während sie gleichzeitig der Mittelpunkt des Eingeschriebenen und Beschriebenen ist.
5. Alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Basisebene geneigt.
6. Alle Seitenflächen haben gegenüber der Basis den gleichen Neigungswinkel.

Dank aller aufgeführten Eigenschaften wird die Durchführung von Elementberechnungen stark vereinfacht. Anhand der oben genannten Eigenschaften achten wir darauf zwei Zeichen:

1. Wenn das Polygon in einen Kreis passt, haben die Seitenflächen gleiche Winkel mit der Basis.
2. Bei der Beschreibung eines Kreises um ein Polygon haben alle vom Scheitelpunkt ausgehenden Kanten der Pyramide die gleiche Länge und gleiche Winkel zur Basis.

Das Quadrat basiert

Regelmäßige viereckige Pyramide - ein Polyeder basierend auf einem Quadrat.

Es hat vier Seitenflächen, die gleichschenklig aussehen.

Auf einer Ebene wird ein Quadrat abgebildet, aber sie basieren auf allen Eigenschaften eines regelmäßigen Vierecks.

Wenn es beispielsweise erforderlich ist, die Seite eines Quadrats mit seiner Diagonalen zu verbinden, wird die folgende Formel verwendet: Die Diagonale ist gleich dem Produkt aus der Seite des Quadrats und der Quadratwurzel aus zwei.

Basierend auf einem regelmäßigen Dreieck

Eine regelmäßige Dreieckspyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein regelmäßiges 3-Eck ist.

Wenn die Basis ein regelmäßiges Dreieck ist und die Seitenkanten gleich den Kanten der Basis sind, dann eine solche Figur Tetraeder genannt.

Alle Flächen eines Tetraeders sind gleichseitige 3-Ecke. In diesem Fall müssen Sie einige Punkte kennen und beim Berechnen keine Zeit damit verschwenden:

• der Neigungswinkel der Rippen zu jeder Basis beträgt 60 Grad;
• der Wert aller Innenflächen beträgt ebenfalls 60 Grad;
• jedes Gesicht kann als Basis dienen;
• innerhalb der Figur gezeichnet sind gleiche Elemente.

Abschnitte eines Polyeders

In jedem Polyeder gibt es mehrere Arten von Abschnitten Flugzeug. In einem Schulgeometriekurs arbeiten sie oft mit zwei:

• axial;
• parallele Basis.

Ein Axialschnitt wird erhalten, indem ein Polyeder mit einer Ebene geschnitten wird, die durch den Scheitel, die Seitenkanten und die Achse verläuft. In diesem Fall ist die Achse die Höhe, die vom Scheitelpunkt aus gezogen wird. Die Schnittebene wird durch die Schnittlinien mit allen Flächen begrenzt, was ein Dreieck ergibt.

Aufmerksamkeit! Bei einer regelmäßigen Pyramide ist der Achsenschnitt ein gleichschenkliges Dreieck.

Wenn die Schnittebene parallel zur Basis verläuft, dann ist das Ergebnis die zweite Option. In diesem Fall haben wir im Kontext eine Figur ähnlich der Basis.

Wenn beispielsweise die Grundfläche ein Quadrat ist, dann ist auch der Abschnitt parallel zur Grundfläche ein Quadrat, nur von geringerer Größe.

Bei der Lösung von Problemen unter dieser Bedingung werden Zeichen und Eigenschaften der Ähnlichkeit von Figuren verwendet, basierend auf dem Satz von Thales. Zunächst ist es notwendig, den Ähnlichkeitskoeffizienten zu bestimmen.

Wenn die Ebene parallel zur Basis gezeichnet wird und den oberen Teil des Polyeders abschneidet, erhält man im unteren Teil einen regelmäßigen Pyramidenstumpf. Dann werden die Basen des abgeschnittenen Polyeders als ähnliche Polygone bezeichnet. In diesem Fall sind die Seitenflächen gleichschenklige Trapeze. Der Axialschnitt ist ebenfalls gleichschenklig.

Um die Höhe eines Polyederstumpfes zu bestimmen, ist es notwendig, die Höhe in einem Axialschnitt, also in einem Trapez, zu zeichnen.

Oberflächenbereiche

Die wichtigsten geometrischen Probleme, die im Schulgeometriekurs gelöst werden müssen, sind Finden der Oberfläche und des Volumens einer Pyramide.

Es gibt zwei Arten von Oberflächen:

• Bereich der Seitenelemente;
• die gesamte Fläche.

Schon der Titel macht deutlich, worum es geht. Die Seitenfläche umfasst nur die Seitenelemente. Daraus folgt, dass Sie, um es zu finden, einfach die Flächen der Seitenebenen, dh die Flächen gleichschenkliger 3-Ecke, addieren müssen. Versuchen wir die Formel für die Fläche der Seitenelemente herzuleiten:

1. Die Fläche eines gleichschenkligen 3-Ecks ist Str=1/2(aL), wobei a die Seite der Basis ist, L das Apothem.
2. Die Anzahl der Seitenebenen hängt von der Art des K-Ecks an der Basis ab. Beispielsweise hat eine regelmäßige viereckige Pyramide vier seitliche Ebenen. Daher ist es notwendig, die Flächen von vier Figuren Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L zu addieren . Der Ausdruck wird auf diese Weise vereinfacht, da der Wert 4a=POS ist, wobei POS der Umfang der Basis ist. Und der Ausdruck 1/2 * Rosn ist sein Halbumfang.
3. Wir schließen also, dass die Fläche der Seitenelemente einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus dem Halbumfang der Basis und dem Apothem ist: Sside \u003d Rosn * L.

Die Fläche der gesamten Oberfläche der Pyramide besteht aus der Summe der Flächen der seitlichen Ebenen und der Basis: Sp.p. = Sside + Sbase.

Für die Fläche der Basis wird hier die Formel entsprechend dem Polygontyp verwendet.

Volumen einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem Produkt aus der Grundflächenfläche und der Höhe dividiert durch drei: V=1/3*SBasis*H, wobei H die Höhe des Polyeders ist.

Was ist eine regelmäßige Pyramide in der Geometrie?

Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Pyramide. Pyramidenstumpf

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Eckpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt Korrekt , wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind, heißt Tetraeder .

Seitenrippe Pyramide heißt die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Basis gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich, alle Seitenflächen sind gleiche gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitelpunkt gezogenen regelmäßigen Pyramide wird als bezeichnet Apothema . Diagonalschnitt Ein Abschnitt einer Pyramide wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur selben Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide heißt die Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Vollflächig ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Basis.

Sätze

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

2. Wenn in der Pyramide alle Seitenkanten gleich lang sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

3. Wenn in der Pyramide alle Flächen gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel richtig:

wo v- Lautstärke;

S Haupt- Grundfläche;

H ist die Höhe der Pyramide.

Für eine reguläre Pyramide gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

ha- Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S Haupt- Grundfläche;

v ist das Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf wird der Teil der Pyramide genannt, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Richtiger Pyramidenstumpf wird der Teil einer regelmäßigen Pyramide genannt, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Stiftungen Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen - Trapez. Höhe Pyramidenstumpf nennt man den Abstand zwischen seinen Basen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Scheitel verbindet, die nicht auf derselben Fläche liegen. Diagonalschnitt Ein Abschnitt eines Pyramidenstumpfes wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu derselben Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten die Formeln:

(4)

wo S 1 , S 2 - Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

S-Seite ist die seitliche Oberfläche;

H- Höhe;

v ist das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf gilt die folgende Formel:

wo p 1 , p 2 - Basisumfänge;

ha- das Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1 In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60º. Finden Sie die Tangente des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist regelmäßig, was bedeutet, dass die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und alle Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke sind. Der Flächenwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel a zwischen zwei Loten: d.h. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des umschriebenen Kreises und des einbeschriebenen Kreises im Dreieck). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenrippe (z SB) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Grundebene. Für Rippe SB dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Schenkel kennen ALSO und OB. Lassen Sie die Länge des Segments BD ist 3 a. Punkt Ö Liniensegment BD ist in Teile geteilt: und Von finden wir ALSO: Von finden wir:

Antworten:

Beispiel 2 Berechne das Volumen eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes, wenn die Diagonalen seiner Grundflächen cm und cm und die Höhe 4 cm beträgt.

Lösung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu finden, verwenden wir Formel (4). Um die Flächen der Basen zu finden, müssen Sie die Seiten der Basisquadrate finden und ihre Diagonalen kennen. Die Seiten der Basen sind 2 cm bzw. 8 cm, das heißt die Flächen der Basen und Wenn wir alle Daten in die Formel einsetzen, berechnen wir das Volumen des Pyramidenstumpfes:

Antworten: 112 cm3.

Beispiel 3 Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Basisseiten 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Basen und die Höhe kennen. Die Basen sind per Zustand gegeben, nur die Höhe bleibt unbekannt. Finden Sie es von wo ABER 1 E senkrecht von einem Punkt ABER 1 auf der Ebene der unteren Basis, EIN 1 D- senkrecht von ABER 1 an AC. ABER 1 E\u003d 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Zur Findung DE Wir werden eine zusätzliche Zeichnung erstellen, in der wir eine Draufsicht darstellen (Abb. 20). Punkt Ö- Projektion der Zentren der oberen und unteren Basen. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK ist der Radius des Inkreises und Om ist der Radius des Inkreises:

MK=DE.

Nach dem Satz des Pythagoras aus

Seitenfläche:

Antworten:

Beispiel 4 An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Basen a und b (a> b). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel gleich der Ebene der Basis der Pyramide j. Finden Sie die Gesamtfläche der Pyramide.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtfläche der Pyramide SABCD ist gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes A B C D.

Lassen Sie uns die Aussage verwenden, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, die Spitze in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt Ö- Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Basisebene. Nach dem Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion einer flachen Figur erhalten wir:

Ähnlich heißt es Somit wurde das Problem darauf reduziert, die Fläche des Trapezes zu finden A B C D. Zeichne ein Trapez A B C D getrennt (Abb. 22). Punkt Ö ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da einem Trapez ein Kreis einbeschrieben werden kann, gilt dann oder Nach dem Satz des Pythagoras haben wir

Videolektion 2: Pyramiden-Herausforderung. Pyramidenvolumen

Videolektion 3: Pyramiden-Herausforderung. Korrekte Pyramide

Vorlesung: Pyramide, ihre Basis, Seitenkanten, Höhe, Seitenfläche; Dreieckige Pyramide; rechte Pyramide

Pyramide, ihre Eigenschaften

Pyramide- Dies ist ein dreidimensionaler Körper, der an der Basis ein Polygon hat und alle seine Flächen aus Dreiecken bestehen.

Ein Sonderfall einer Pyramide ist ein Kegel, an dessen Fuß ein Kreis liegt.

Betrachten Sie die Hauptelemente der Pyramide:

Apothema ist ein Segment, das die Spitze der Pyramide mit der Mitte der Unterkante der Seitenfläche verbindet. Mit anderen Worten, dies ist die Höhe der Pyramidenfläche.

In der Abbildung sehen Sie die Dreiecke ADS, ABS, BCS, CDS. Wenn Sie sich die Namen genau ansehen, können Sie sehen, dass jedes Dreieck einen gemeinsamen Buchstaben in seinem Namen hat - S. Das heißt, dass alle Seitenflächen (Dreiecke) an einem Punkt zusammenlaufen, der als Spitze der Pyramide bezeichnet wird.

Das Segment OS, das den Scheitelpunkt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (bei Dreiecken mit dem Schnittpunkt der Höhen) verbindet, wird aufgerufen Pyramidenhöhe.

Ein Diagonalschnitt ist eine Ebene, die durch die Spitze der Pyramide verläuft, sowie eine der Diagonalen der Basis.

Da die Seitenfläche der Pyramide aus Dreiecken besteht, ist es notwendig, die Flächen jeder Fläche zu finden und zu addieren, um die Gesamtfläche der Seitenfläche zu ermitteln. Die Anzahl und Form der Flächen hängt von der Form und Größe der Seiten des Polygons ab, das an der Basis liegt.

Die einzige Ebene in einer Pyramide, die keine Spitze hat, wird genannt Basis Pyramiden.

In der Abbildung sehen wir, dass die Basis ein Parallelogramm ist, es kann jedoch ein beliebiges Polygon geben.

Eigenschaften:

Betrachten Sie den ersten Fall einer Pyramide, in der sie Kanten gleicher Länge hat:

• Um die Basis einer solchen Pyramide kann ein Kreis beschrieben werden. Wenn Sie die Spitze einer solchen Pyramide projizieren, befindet sich ihre Projektion in der Mitte des Kreises.
• Die Winkel an der Basis der Pyramide sind für jede Fläche gleich.
• Gleichzeitig können als hinreichende Bedingung dafür, dass um die Basis der Pyramide ein Kreis beschrieben werden kann und auch alle Kanten unterschiedlich lang sind, gleiche Winkel zwischen der Basis und jeder Kante der Flächen angesehen werden .

Wenn Sie auf eine Pyramide stoßen, bei der die Winkel zwischen den Seitenflächen und der Basis gleich sind, dann gelten die folgenden Eigenschaften:

• Sie werden in der Lage sein, einen Kreis um die Basis der Pyramide zu beschreiben, deren Spitze genau auf die Mitte projiziert wird.
• Zieht man bei jeder Seitenfläche die Höhe bis zur Basis, dann werden sie gleich lang.
• Um die Seitenfläche einer solchen Pyramide zu finden, reicht es aus, den Umfang der Basis zu finden und ihn mit der halben Länge der Höhe zu multiplizieren.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Arten von Pyramiden.
• Je nachdem, welches Polygon an der Basis der Pyramide liegt, können sie dreieckig, viereckig usw. sein. Wenn an der Basis der Pyramide ein regelmäßiges Polygon (mit gleichen Seiten) liegt, wird eine solche Pyramide regelmäßig genannt.

Regelmäßige dreieckige Pyramide