Beim Beweis der Eigenschaften des Grenzwerts einer Funktion haben wir darauf geachtet, dass von den punktierten Umgebungen, in denen unsere Funktionen definiert wurden und die im Laufe der Beweise auftauchten, eigentlich nichts verlangt wurde, außer den Eigenschaften, die in der Einleitung des vorherigen Absatzes angegeben wurden 2. Dieser Umstand dient als Rechtfertigung für die Hervorhebung des folgenden mathematischen Objekts.

a. Base; Definition und Hauptbeispiele

Definition 11. Eine Menge B von Teilmengen einer Menge X heißt Basis in einer Menge X, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

Mit anderen Worten, die Elemente der Sammlung B sind nicht leere Mengen, und die Schnittmenge von zwei beliebigen von ihnen enthält ein Element aus derselben Sammlung.

Lassen Sie uns einige der am häufigsten verwendeten Basen in der Analyse angeben.

Wenn sie dann stattdessen schreiben und sagen, dass x von rechts oder von der Seite großer Werte (bzw. von links oder von der Seite kleinerer Werte) zu a tendiert. Wenn stattdessen ein kurzer Datensatz akzeptiert wird

Der Eintrag wird anstelle von verwendet. Dies bedeutet, dass a; strebt über der Menge E nach a und bleibt größer (kleiner) als a.

dann schreiben sie stattdessen und sagen, dass x gegen unendlich (bzw. gegen unendlich) tendiert.

Stattdessen wird die Notation verwendet

Wenn wir anstelle von wir (wenn dies nicht zu Missverständnissen führt) schreiben wir, wie es in der Theorie der Grenzwerte einer Folge üblich ist,

Beachten Sie, dass alle aufgeführten Basen das Merkmal haben, dass der Schnittpunkt von zwei beliebigen Elementen der Basis selbst ein Element dieser Basis ist und nicht nur irgendein Element der Basis enthält. Beim Studium von Funktionen, die auf der reellen Achse nicht gegeben sind, werden wir auf andere Grundlagen stoßen.

Wir weisen auch darauf hin, dass der hier verwendete Begriff „Basis“ eine Kurzbezeichnung für das ist, was in der Mathematik „Filterbasis“ genannt wird, und dass die unten eingeführte Basisgrenze der wesentlichste Teil für die Analyse des von den modernen Franzosen geschaffenen Konzepts der Filtergrenze ist Mathematiker A. Cartan

b. Grundfunktionsgrenze

Definition 12. Sei eine Funktion auf der Menge X; B ist eine Basis in X. Eine Zahl heißt Grenzwert einer Funktion bezüglich der Basis B, wenn es zu irgendeiner Umgebung des Punktes A ein Element der Basis gibt, dessen Bild in der Umgebung enthalten ist

Wenn A der Grenzwert der Funktion bezüglich der Basis B ist, dann schreiben wir

Wiederholen wir die Definition der Grenze durch die Basis in logischer Symbolik:

Da wir nun Funktionen mit numerischen Werten betrachten, ist es sinnvoll, sich folgende Form dieser Grunddefinition zu merken:

In dieser Formulierung nehmen wir statt einer beliebigen Nachbarschaft V(A) eine (bezüglich des Punktes A) symmetrische Nachbarschaft (e-Nachbarschaft). Die Äquivalenz dieser Definitionen für reellwertige Funktionen folgt aus der Tatsache, dass, wie bereits erwähnt, jede Umgebung eines Punktes eine symmetrische Umgebung desselben Punktes enthält (Beweis vollständig ausführen!).

Wir haben den Grenzwert einer Funktion bezüglich der Basis allgemein definiert. Oben wurden Beispiele für die häufigsten Basen in der Analyse betrachtet. Bei einem spezifischen Problem, bei dem die eine oder andere dieser Basen auftritt, ist es notwendig, die allgemeine Definition zu entziffern und für eine bestimmte Basis aufzuschreiben.

Anhand von Beispielen für Basen haben wir insbesondere das Konzept einer Nachbarschaft der Unendlichkeit eingeführt. Wenn wir dieses Konzept verwenden, dann ist es in Übereinstimmung mit der allgemeinen Definition der Grenze sinnvoll, die folgenden Konventionen zu übernehmen:

oder, was dasselbe ist,

Normalerweise durch einen kleinen Wert. In den obigen Definitionen ist dies natürlich nicht der Fall. Gemäß den anerkannten Konventionen können wir beispielsweise schreiben

Um im allgemeinen Fall eines Grenzwertes über einer beliebigen Basis als bewiesen zu gelten, müssen all jene Sätze über Grenzwerte, die wir in Abschnitt 2 für eine spezielle Basis bewiesen haben, entsprechend definiert werden: final konstant, final beschränkt und unendlich klein für eine gegebene Basis von Funktionen.

Definition 13. Eine Funktion heißt endkonstant zur Basis B, wenn es an irgendeiner Stelle eine Zahl und ein solches Element der Basis gibt

Der Hauptnutzen der gemachten Beobachtung und des in Verbindung damit eingeführten Basisbegriffs besteht im Moment darin, dass sie uns Prüfungen und formale Beweise von Grenzwertsätzen für jede spezifische Art des Grenzübergangs oder, in unserer heutigen Terminologie, ersparen. für jede spezifische Art Basen

Um uns endlich an den Begriff des Grenzwertes über einer beliebigen Basis zu gewöhnen, werden wir die weiteren Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion in allgemeiner Form beweisen.

konstante Zahl a namens Grenze Sequenzen(x n ) falls für eine beliebig kleine positive Zahlε > 0 Es gibt eine Zahl N, so dass alle Werte x n, für die n > N, die Ungleichung erfüllen

|x n - a|< ε. (6.1)

Schreiben Sie es wie folgt: oder x n → a.

Ungleichung (6.1) ist äquivalent zur doppelten Ungleichung

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

was bedeutet, dass die Punkte x n, ausgehend von einer Zahl n>N, innerhalb des Intervalls (a-ε, a + ε ), d.h. fallen in jedes kleineε -Nachbarschaft des Punktes a.

Eine Folge, die eine Grenze hat, wird aufgerufen konvergierend, sonst - abweichend.

Der Begriff des Grenzwerts einer Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Grenzwerts einer Folge, da der Grenzwert einer Folge als Grenzwert der Funktion x n = f(n) eines ganzzahligen Arguments betrachtet werden kann n.

Gegeben sei eine Funktion f(x) und sei a - Grenzpunkt der Definitionsbereich dieser Funktion D(f), d.h. ein solcher Punkt, dessen Umgebung Punkte der Menge D(f) enthält, die sich von unterscheiden a. Punkt a kann zur Menge D(f) gehören oder nicht.

Bestimmung 1.Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) beim x→a if für eine beliebige Folge (x n ) von Argumentwerten tendenziell a, haben die entsprechenden Folgen (f(x n)) denselben Grenzwert A.

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine, oder " in der Sprache der Sequenzen”.

Bestimmung 2. Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) beim x→a wenn, gegeben eine beliebige beliebig kleine positive Zahl ε, kann man solche δ finden>0 (abhängig von ε), was für alle x liegt inε-Nachbarschaften einer Zahl a, d.h. zum x Befriedigung der Ungleichheit
0 < x-a< ε , die Werte der Funktion f(x) liegen inε-Nachbarschaft der Zahl A, d.h.|f(x)-A|< ε.

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Cauchy, oder „in der Sprache ε - δ “.

Die Definitionen 1 und 2 sind gleichwertig. Wenn die Funktion f(x) als x →ein hat Grenze gleich A, dies wird geschrieben als

. (6.3)

Für den Fall, dass die Folge (f(x n)) für jedes Näherungsverfahren unbegrenzt zunimmt (oder abnimmt). x an deine Grenze a, dann werden wir sagen, dass die Funktion f(x) hat unendliche Grenze, und schreibe es so:

Eine Variable (d. h. eine Folge oder Funktion), deren Grenzwert Null ist, wird aufgerufen unendlich klein.

Eine Variable, deren Grenzwert gleich unendlich ist, wird aufgerufen unendlich groß.

Um die Grenze in der Praxis zu finden, verwenden Sie die folgenden Sätze.

Satz 1 . Wenn jede Grenze existiert

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar. Ausdrücke wie 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sind ungewiss, zum Beispiel das Verhältnis zweier infinitesimaler oder unendlich großer Größen, und das Auffinden einer solchen Grenze wird als „Uncertainty Disclosure“ bezeichnet.

Satz 2. (6.7)

jene. es ist möglich, bei einem konstanten Exponenten zur Basis des Grads zu gehen, insbesondere ;

(6.8)

(6.9)

Satz 3.

(6.10)

(6.11)

wo e » 2,7 ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Die Formeln (6.10) und (6.11) heißen die ersten wunderbare Grenze und die zweite bemerkenswerte Grenze.

In der Praxis werden auch die Folgerungen aus Formel (6.11) verwendet:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

insbesondere die Grenze

Wenn x → a und gleichzeitig x > a, dann schreibe x→a + 0. Wenn insbesondere a = 0 ist, dann schreibt man statt des Symbols 0+0 +0. Ebenso, wenn x→a und gleichzeitig x a-0. Zahlen und werden entsprechend benannt. rechte Grenze und linke Grenze Funktionen f(x) am Punkt a. Damit der Grenzwert der Funktion f(x) als x→ existierta ist notwendig und ausreichend für . Die Funktion f(x) wird aufgerufen kontinuierlich am Punkt x 0 wenn Grenze

. (6.15)

Bedingung (6.15) kann umgeschrieben werden als:

,

Das heißt, der Übergang zum Grenzwert unter dem Vorzeichen einer Funktion ist möglich, wenn sie an einem bestimmten Punkt stetig ist.

Wenn Gleichheit (6.15) verletzt ist, dann sagen wir das beim x = xo Funktion f(x) Es hat Lücke. Betrachten Sie die Funktion y = 1/x. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge R, außer für x = 0. Der Punkt x = 0 ist ein Grenzpunkt der Menge D(f), da in jeder seiner Umgebungen, d. h. jedes offene Intervall, das den Punkt 0 enthält, enthält Punkte aus D(f), gehört aber selbst nicht zu dieser Menge. Der Wert f(x o)= f(0) ist nicht definiert, also hat die Funktion an der Stelle x o = 0 eine Unstetigkeit.

Die Funktion f(x) wird aufgerufen rechts an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

,

und links an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

.

Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt x o ist gleichbedeutend mit seiner Stetigkeit an dieser Stelle sowohl rechts als auch links.

Damit eine Funktion an einem Punkt stetig ist x o, zum Beispiel auf der rechten Seite, ist es erstens notwendig, dass es eine endliche Grenze gibt, und zweitens, dass diese Grenze gleich f(x 0 ) ist. Wenn also mindestens eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, weist die Funktion eine Lücke auf.

1. Wenn die Grenze existiert und nicht gleich f(x o) ist, dann sagen sie das Funktion f(x) am Punkt xo hat Bruch erster Art, oder springen.

2. Wenn die Grenze ist+∞ oder -∞ oder nicht existiert, dann sagen wir das in Punkt x o Die Funktion hat eine Pause zweite Art.

Zum Beispiel die Funktion y = ctg x bei x→ +0 hat eine Grenze gleich +∞, hat also an der Stelle x=0 eine Unstetigkeit zweiter Art. Funktion y = E(x) (ganzzahliger Teil von x) an Punkten mit ganzzahligen Abszissen Unstetigkeiten erster Art oder Sprünge aufweist.

Eine Funktion, die an jedem Punkt des Intervalls stetig ist, wird aufgerufen kontinuierlich in . Eine stetige Funktion wird durch eine durchgezogene Kurve dargestellt.

Viele Probleme, die mit dem kontinuierlichen Wachstum einer bestimmten Menge verbunden sind, führen zu der zweiten bemerkenswerten Grenze. Solche Aufgaben sind zum Beispiel: das Wachstum der Einlage nach dem Zinseszinsgesetz, das Wachstum der Landesbevölkerung, der Zerfall eines radioaktiven Stoffes, die Vermehrung von Bakterien usw.

Prüfen Beispiel von Ya. I. Perelman, was die Interpretation der Zahl angibt e beim Zinseszinsproblem. Anzahl e es gibt eine Grenze . Bei Sparkassen werden dem gebundenen Kapital jährlich Zinsgelder zugeführt. Wird die Verbindung öfter hergestellt, wächst das Kapital schneller, da ein großer Betrag an der Zinsbildung beteiligt ist. Nehmen wir ein rein theoretisches, stark vereinfachtes Beispiel. Lassen Sie die Bank 100 den setzen. Einheiten zu 100 % pro Jahr. Wird dem Anlagekapital erst nach einem Jahr verzinsliches Geld zugeführt, so sind zu diesem Zeitpunkt 100 den. Einheiten wird in 200 den verwandeln. Mal sehen, was aus 100 den wird. Einheiten, wenn dem gebundenen Kapital alle sechs Monate Zinsgelder zugeführt werden. Nach einem halben Jahr 100 den. Einheiten auf 100 wachsen× 1,5 \u003d 150 und nach weiteren sechs Monaten - bei 150× 1,5 \u003d 225 (den. Einheiten). Wenn der Beitritt alle 1/3 des Jahres erfolgt, dann nach einem Jahr 100 den. Einheiten 100 werden× (1 +1/3) 3 » 237 (den. Einheiten). Wir werden den Zeitrahmen für das Hinzufügen von Zinsgeldern auf 0,1 Jahr, 0,01 Jahr, 0,001 Jahr usw. erhöhen. Dann aus 100 den. Einheiten ein Jahr später:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. Einheiten),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. Einheiten),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. Einheiten).

Bei einer unbegrenzten Reduzierung der Beitrittsbedingungen wächst das angesammelte Kapital nicht unbegrenzt, sondern nähert sich einer bestimmten Grenze von etwa 271. Das zu 100 % pro Jahr platzierte Kapital kann sich nicht mehr als um das 2,71-fache erhöhen, selbst wenn die aufgelaufenen Zinsen wären hinzugefügt, um die Hauptstadt jede Sekunde, weil die Grenze

Beispiel 3.1.Beweisen Sie anhand der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge, dass die Folge x n = (n-1)/n einen Grenzwert gleich 1 hat.

Entscheidung.Wir müssen das jedenfalls beweisenε > 0 nehmen wir, dafür gibt es eine natürliche Zahl N, so dass für alle n N die Ungleichung gilt|xn-1|< ε.

Nimm irgendein e > 0. Da ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, dann genügt es, die Ungleichung 1/n zu lösen, um N zu finden< e. Also n>1/ e und daher kann N als ganzzahliger Teil von 1 / genommen werden e , N = E(1/ e ). Damit haben wir bewiesen, dass die Grenze .

Beispiel 3.2 . Finden Sie den Grenzwert einer Folge, die durch einen gemeinsamen Term gegeben ist .

Entscheidung.Wenden Sie den Grenzwertsummensatz an und finden Sie den Grenzwert für jeden Term. Für n→ ∞ der Zähler und Nenner jedes Terms gegen unendlich streben, und wir können den Quotienten-Limitensatz nicht direkt anwenden. Deshalb transformieren wir zuerst x n, indem Zähler und Nenner des ersten Terms durch dividiert werden n 2, und der zweite n. Dann finden wir unter Anwendung des Quotienten-Grenzsatzes und des Summen-Grenzsatzes:

.

Beispiel 3.3. . Finden .

Entscheidung. .

Hier haben wir den Gradgrenzensatz verwendet: Der Grenzwert eines Grades ist gleich dem Grad des Grenzwertes der Basis.

Beispiel 3.4 . Finden ( ).

Entscheidung.Es ist unmöglich, den Differenzengrenzsatz anzuwenden, da wir eine Formunschärfe haben ∞-∞ . Lassen Sie uns die Formel des allgemeinen Begriffs umwandeln:

.

Beispiel 3.5 . Gegeben sei eine Funktion f(x)=2 1/x . Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Entscheidung.Wir verwenden die Definition 1 des Grenzwerts einer Funktion in Bezug auf eine Folge. Nehmen Sie eine Folge ( x n ), die gegen 0 konvergiert, d.h. Zeigen wir, dass sich der Wert f(x n)= für verschiedene Folgen unterschiedlich verhält. Sei x n = 1/n. Offensichtlich dann die Grenze Wählen wir jetzt als x n eine Folge mit einem gemeinsamen Term x n = -1/n, der ebenfalls gegen Null geht. Daher gibt es keine Begrenzung.

Beispiel 3.6 . Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Entscheidung.Seien x 1 , x 2 ,..., x n ,... eine Folge für die
. Wie verhält sich die Folge (f(x n)) = (sin x n ) für verschiedene x n → ∞

Wenn x n \u003d p n, dann Sünde x n \u003d Sünde p n = 0 für alle n und begrenzen Sie If
xn=2 p n+ p /2, dann sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 für alle n und damit die Grenze. Somit existiert nicht.

Widget zur Online-Berechnung von Limits

Geben Sie im oberen Feld anstelle von sin(x)/x die Funktion ein, deren Grenzwert Sie ermitteln möchten. Geben Sie im unteren Feld die Zahl ein, zu der x tendiert, und klicken Sie auf die Schaltfläche „Rechnen“, um das gewünschte Limit zu erhalten. Und wenn Sie im Ergebnisfenster oben rechts auf Schritte anzeigen klicken, erhalten Sie eine detaillierte Lösung.

Eingaberegeln für Funktionen: sqrt(x) - Quadratwurzel, cbrt(x) - Kubikwurzel, exp(x) - Exponent, ln(x) - natürlicher Logarithmus, sin(x) - Sinus, cos(x) - Cosinus, tan (x) - Tangens, cot(x) - Kotangens, arcsin(x) - Arkussinus, arccos(x) - Arkuskosinus, arctan(x) - Arkustangens. Vorzeichen: * Multiplikation, / Division, ^ Potenzierung, statt Unendlichkeit Unendlichkeit. Beispiel: Die Funktion wird als sqrt(tan(x/2)) eingegeben.

Die Funktion y=ƒ(x) sei in irgendeiner Umgebung des Punktes x o definiert, außer vielleicht für den Punkt x o selbst.

Lassen Sie uns zwei äquivalente Definitionen des Grenzwerts einer Funktion an einem Punkt formulieren.

Definition 1 (in der "Sprache der Folgen" oder nach Heine).

Die Zahl A wird als Grenze der Funktion y \u003d ƒ (x) im Ofen x 0 (oder bei x® x o) bezeichnet, wenn für eine beliebige Folge zulässiger Werte des Arguments x n, n є N (x n ¹ x 0) konvergiert zu x o Die Folge entsprechender Werte der Funktion ƒ(х n), n є N, konvergiert zur Zahl A

Schreiben Sie in diesem Fall
oder ƒ(x)->A bei x→x o. Die geometrische Bedeutung des Grenzwerts einer Funktion: bedeutet, dass für alle Punkte x, die hinreichend nahe am Punkt x o liegen, die entsprechenden Werte der Funktion beliebig wenig von der Zahl A abweichen.

Definition 2 (in der "Sprache von ε" oder nach Cauchy).

Die Zahl A heißt Grenzwert der Funktion am Punkt x o (oder bei x→x o), wenn es für jedes positive ε eine positive Zahl δ gibt, so dass für alle x¹ x o die Ungleichung |x-x o | erfüllt ist<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Die geometrische Bedeutung des Funktionslimits:

wenn es zu irgendeiner ε-Umgebung des Punktes A eine solche δ-Umgebung des Punktes x o gibt, so dass für alle x¹ ho aus dieser δ-Umgebung die entsprechenden Werte der Funktion ƒ(x) in der ε-Umgebung liegen des Punktes A. Mit anderen Worten, die Punkte des Graphen der Funktion y = ƒ(x) liegen innerhalb eines Streifens der Breite 2ε, der durch gerade Linien y=A+ ε , y=A-ε begrenzt wird (siehe Abb. 110) . Offensichtlich hängt der Wert von δ von der Wahl von ε ab, also schreiben wir δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Beweise das

Lösung: Nimm ein beliebiges ε>0, finde δ=δ(ε)>0 so dass für alle x die Ungleichung |х-3| erfüllt< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Wenn wir δ=ε/2 nehmen, sehen wir, dass für alle x die Ungleichung |x-3| erfüllt ist< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Einseitige Grenzen

Bei der Definition der Grenze der Funktion wird berücksichtigt, dass x in irgendeiner Weise zu x 0 tendiert: kleiner als x 0 bleibend (links von x 0), größer als x o (rechts von x o) oder schwankend um den Punkt x 0 .

Es gibt Fälle, in denen die Methode zur Annäherung des Arguments x an xo den Wert der Grenze der Funktion erheblich beeinflusst. Daher wird das Konzept der einseitigen Begrenzung eingeführt.

Die Zahl A 1 wird als Grenze der Funktion y \u003d ƒ (x) links am Punkt x o bezeichnet, wenn es für eine beliebige Zahl ε> 0 eine Zahl δ \u003d δ (ε)> 0 gibt, so dass für x є (x 0 -δ; x o), die Ungleichung |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 oder kurz: ƒ (x o- 0) \u003d A 1 (Dirichlet-Notation) (siehe Abb. 111).

Der Grenzwert der Funktion rechts ist ähnlich definiert, wir schreiben ihn mit Symbolen:

Kurz gesagt wird die rechte Grenze mit ƒ(x 0 +0)=A bezeichnet.

Die Grenzen einer Funktion nach links und rechts werden als einseitige Grenzen bezeichnet. Wenn existiert, dann existieren offensichtlich beide einseitigen Grenzen, und A = A 1 = A 2 .

Die umgekehrte Aussage gilt auch: Wenn beide Grenzen ƒ(x 0 -0) und ƒ(x 0 +0) existieren und gleich sind, dann gibt es eine Grenze und A \u003d ƒ(x 0 -0).

Wenn A 1 ¹ A 2, dann existiert dieser Gang nicht.

16.3. Grenzwert der Funktion bei x ® ∞

Die Funktion y=ƒ(x) sei im Intervall (-∞;∞) definiert. Die Nummer A wird gerufen Funktionsgrenzeƒ(x) beim x→ ∞ , wenn es für irgendeine positive Zahl ε eine solche Zahl М=М()>0 gibt, dass für alle х, die die Ungleichung |х|>М erfüllen, die Ungleichung |ƒ(х)-А| gilt<ε. Коротко это определение можно записать так:

Die geometrische Bedeutung dieser Definition ist wie folgt: für "ε>0 $ M>0, dass für x є(-∞; -M) oder x є(M; +∞) die entsprechenden Werte der Funktion ƒ( x) fallen in die ε-Nachbarschaft des Punktes A , d.h. die Punkte des Graphen liegen in einem Streifen der Breite 2ε, begrenzt durch gerade Linien y \u003d A + ε und y \u003d A-ε (siehe Abb. 112 ).

16.4. Unendlich große Funktion (b.b.f.)

Die Funktion y=ƒ(x) heißt unendlich groß für x→x 0, wenn es für jede Zahl M>0 eine Zahl δ=δ(M)>0 gibt, die für alle x die Ungleichung 0 erfüllt<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Beispielsweise ist die Funktion y=1/(x-2) ein b.b.f. bei x->2.

Wenn ƒ(x) als x→x o gegen unendlich geht und nur positive Werte annimmt, dann schreiben wir

wenn nur negative Werte, dann

Die Funktion y \u003d ƒ (x), die auf der gesamten Zahlenlinie angegeben ist, unendlich genannt für x→∞, wenn es für jede Zahl M>0 eine Zahl N=N(M)>0 gibt, so dass für alle x, die die Ungleichung |x|>N erfüllen, die Ungleichung |ƒ(x)|>M erfüllt ist . Kurz:

Zum Beispiel hat y=2x ein b.b.f. bei x→∞.

Beachten Sie, dass, wenn das Argument х, das gegen unendlich geht, nur natürliche Werte annimmt, d. h. хєN, dann das entsprechende b.b.f. wird zu einer unendlich großen Folge. Beispielsweise ist die Folge v n =n 2 +1, n є N, eine unendlich große Folge. Offensichtlich ist jeder b.b.f. in einer Umgebung des Punktes x o ist in dieser Umgebung unbeschränkt. Die Umkehrung gilt nicht: Eine unbeschränkte Funktion ist möglicherweise kein b.b.f. (Beispiel: y=xsinx.)

Wenn jedoch limƒ(x)=A für x→x 0 , wobei A eine endliche Zahl ist, dann ist die Funktion ƒ(x) in der Nähe des Punktes x o beschränkt.

Aus der Definition des Grenzwertes der Funktion folgt nämlich für x → x 0 die Bedingung |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Heute in der Lektion werden wir analysieren strenge Reihenfolge und strenge Definition des Grenzwertes einer Funktion, sowie lernen, die entsprechenden Probleme theoretischer Natur zu lösen. Der Artikel richtet sich in erster Linie an Studienanfänger natur- und ingenieurwissenschaftlicher Fachrichtungen, die begonnen haben, sich mit der Theorie der mathematischen Analysis zu beschäftigen, und auf Schwierigkeiten gestoßen sind, diesen Teil der höheren Mathematik zu verstehen. Darüber hinaus ist das Material für Gymnasiasten gut zugänglich.

Im Laufe der Jahre des Bestehens der Website erhielt ich ein unfreundliches Dutzend Briefe mit ungefähr folgendem Inhalt: „Ich verstehe die mathematische Analyse nicht gut, was soll ich tun?“, „Ich verstehe Matan überhaupt nicht, ich Ich denke darüber nach, mein Studium abzubrechen“, usw. Tatsächlich ist es der Matan, der die Schülergruppe oft nach der allerersten Sitzung ausdünnt. Warum sind die Dinge so? Weil das Thema unvorstellbar komplex ist? Gar nicht! Die Theorie der mathematischen Analyse ist nicht so schwierig, wie sie eigenartig ist. Und du musst sie so akzeptieren und lieben, wie sie ist =)

Beginnen wir mit dem schwierigsten Fall. In erster Linie nicht die Schule abbrechen. Richtig verstehen, aufhören, Zeit wird es immer haben ;-) Natürlich, wenn es einem in ein oder zwei Jahren von der gewählten Fachrichtung übel wird, dann ja - man sollte darüber nachdenken (und nicht das Fieber schlagen!)über wechselnde Tätigkeiten. Aber jetzt lohnt es sich, weiterzumachen. Und vergessen Sie bitte den Satz "Ich verstehe nichts" - es kommt nicht vor, dass Sie überhaupt nichts verstehen.

Was tun, wenn die Theorie schlecht ist? Das gilt übrigens nicht nur für die mathematische Analyse. Wenn die Theorie schlecht ist, dann müssen Sie zuerst ERNSTHAFT die Praxis anwenden. Gleichzeitig werden gleich zwei strategische Aufgaben gelöst:

– Erstens ist ein erheblicher Teil des theoretischen Wissens durch die Praxis entstanden. Und so viele Menschen verstehen Theorie durch ... - das stimmt! Nein, nein, daran hast du nicht gedacht.

- Und zweitens werden dich praktische Fähigkeiten sehr wahrscheinlich in der Prüfung „überfordern“, auch wenn …, aber lass uns nicht so einstimmen! Alles ist real und alles wird in relativ kurzer Zeit wirklich „geliftet“. Die mathematische Analyse ist mein Lieblingsbereich der höheren Mathematik, und deshalb konnte ich einfach nicht anders, als Ihnen zu helfen:

Zu Beginn des 1. Semesters vergehen in der Regel Ablauf- und Funktionsgrenzen. Sie verstehen nicht, was es ist und wissen nicht, wie Sie es lösen sollen? Beginnen Sie mit einem Artikel Funktionsgrenzen, in dem das Konzept selbst „an den Fingern“ betrachtet und die einfachsten Beispiele analysiert werden. Arbeiten Sie dann andere Lektionen zum Thema durch, einschließlich einer Lektion über innerhalb von Sequenzen, zu dem ich eigentlich schon eine strenge Definition formuliert habe.

Welche Symbole außer Ungleichheitszeichen und Modul kennst du?

- ein langer senkrechter Stab sieht so aus: „so dass“, „so dass“, „so dass“ oder „so dass“, in unserem Fall sprechen wir offensichtlich von einer Zahl - also „so dass“;

- für alle "en" größer als ;

– Modulzeichen bedeutet Abstand, d.h. Dieser Eintrag sagt uns, dass der Abstand zwischen den Werten kleiner als Epsilon ist.

Nun, ist es tödlich schwierig? =)

Nachdem ich die Praxis gemeistert habe, warte ich im folgenden Absatz auf Sie:

Denken wir in der Tat ein wenig nach - wie formuliert man eine strenge Definition einer Sequenz? ... Das Erste, was mir bei dem Licht in den Sinn kommt praktische Sitzung: "Die Grenze einer Folge ist die Zahl, der sich die Glieder der Folge unendlich nahe nähern."

Gut, schreiben wir Folge :

Das ist leicht zu begreifen Folge nähern sich unendlich nahe an -1 und geradzahlige Terme - zu "Einheit".

Vielleicht zwei Grenzen? Aber warum kann dann eine Sequenz nicht zehn oder zwanzig davon haben? Damit kommst du weit. Insofern ist es logisch, davon auszugehen Wenn die Sequenz eine Grenze hat, dann ist sie eindeutig.

Notiz : Die Folge hat keinen Grenzwert, aber zwei Teilfolgen können davon unterschieden werden (siehe oben), von denen jede ihren eigenen Grenzwert hat.

Damit erweist sich obige Definition als unhaltbar. Ja, es funktioniert für Fälle wie (was ich bei vereinfachten Erklärungen von Praxisbeispielen nicht ganz richtig verwendet habe), aber jetzt müssen wir eine strenge Definition finden.

Versuch zwei: „Die Grenze einer Folge ist die Zahl, der sich ALLE Mitglieder der Folge nähern, mit Ausnahme vielleicht ihres Finale Mengen." Das ist näher an der Wahrheit, aber immer noch nicht ganz richtig. Also zum Beispiel die Reihenfolge die Hälfte der Terme geht überhaupt nicht gegen Null - sie sind einfach gleich =) Übrigens nimmt das "Blinklicht" in der Regel zwei feste Werte an.

Die Formulierung ist nicht schwer zu klären, aber dann stellt sich eine andere Frage: Wie schreibt man die Definition in mathematischen Begriffen? Die wissenschaftliche Welt kämpfte lange mit diesem Problem, bis die Situation gelöst war. berühmter Meister, die im Wesentlichen die klassische mathematische Analyse in ihrer ganzen Strenge formalisierte. Cauchy bot an, zu operieren Umfeld was die Theorie stark vorangebracht hat.

Betrachten Sie einen Punkt und seine willkürlich-Nachbarschaft:

Der Wert von "epsilon" ist immer positiv, und außerdem wir haben das Recht, es selbst zu wählen. Nehmen Sie an, dass die gegebene Nachbarschaft eine Reihe von Begriffen enthält (nicht unbedingt alle) irgendeine Folge. Wie kann man die Tatsache aufschreiben, dass zum Beispiel der zehnte Begriff in die Nachbarschaft fiel? Lassen Sie es auf der rechten Seite davon sein. Dann sollte der Abstand zwischen den Punkten und kleiner als „epsilon“ sein: . Befindet sich das "x Zehntel" jedoch links vom Punkt "a", ist die Differenz negativ, und daher muss das Vorzeichen hinzugefügt werden Modul: .

Definition: Eine Zahl heißt Grenzwert einer Folge, wenn für alle seine Umgebung (vorausgewählt) es gibt eine natürliche Zahl - SOLCHE ALLES Mitglieder der Sequenz mit höheren Nummern befinden sich in der Nachbarschaft:

Oder kürzer: wenn

Mit anderen Worten, egal wie klein wir den Wert von „Epsilon“ nehmen, früher oder später wird der „unendliche Schwanz“ der Sequenz VOLLSTÄNDIG in dieser Nachbarschaft sein.

Also zum Beispiel der "unendliche Schwanz" der Sequenz VOLLSTÄNDIG geht in jede beliebig kleine -Nachbarschaft des Punktes. Somit ist dieser Wert per Definition die Grenze der Folge. Ich erinnere Sie daran, dass eine Folge aufgerufen wird, deren Grenzwert Null ist unendlich klein.

Es ist zu beachten, dass es für die Sequenz nicht mehr möglich ist, "unendlicher Schwanz" zu sagen wird kommen“- Mitglieder mit ungeraden Zahlen sind tatsächlich gleich Null und „gehen nirgendwohin“ =) Deshalb wird das Verb „wird enden“ in der Definition verwendet. Und natürlich gehen die Mitglieder einer solchen Sequenz auch "nirgendwo hin". Überprüfen Sie übrigens, ob die Anzahl ihre Grenze sein wird.

Zeigen wir nun, dass die Folge keinen Grenzwert hat. Betrachten Sie zum Beispiel eine Umgebung des Punktes . Es ist ziemlich klar, dass es keine solche Zahl gibt, danach werden ALLE Mitglieder in dieser Nachbarschaft sein – ungerade Mitglieder werden immer auf „minus eins“ „springen“. Aus einem ähnlichen Grund gibt es am Punkt keine Begrenzung.

Fixieren Sie das Material mit Übung:

Beispiel 1

Beweisen Sie, dass der Grenzwert der Folge Null ist. Geben Sie die Zahl an, nach der alle Mitglieder der Folge garantiert innerhalb einer beliebig kleinen -Nachbarschaft des Punktes liegen.

Notiz : Bei vielen Folgen hängt die gewünschte natürliche Zahl vom Wert ab - daher die Schreibweise .

Entscheidung: in Betracht ziehen willkürlich wird es geben Nummer - so dass sich ALLE Mitglieder mit höheren Nummern in dieser Nachbarschaft befinden:

Um die Existenz der erforderlichen Zahl zu zeigen, drücken wir in Form von aus.

Da für jeden Wert "en" das Modulzeichen entfernt werden kann:

Wir verwenden "Schul"-Aktionen mit Ungleichungen, die ich im Unterricht wiederholt habe Lineare Ungleichungen und Funktionsumfang. In diesem Fall ist ein wichtiger Umstand, dass "epsilon" und "en" positiv sind:

Da es sich links um natürliche Zahlen handelt und die rechte Seite im Allgemeinen gebrochen ist, muss gerundet werden:

Notiz : Manchmal wird rechts eine Einheit für die Rückversicherung hinzugefügt, aber das ist tatsächlich ein Overkill. Wenn wir das Ergebnis relativ gesehen auch durch Abrunden abschwächen, wird die nächste passende Zahl („drei“) immer noch die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

Und jetzt schauen wir uns die Ungleichheit an und erinnern uns daran, dass wir anfangs darüber nachgedacht haben willkürlich-Nachbarschaft, d.h. "epsilon" kann gleich sein jeder positive Zahl.

Fazit: für jede beliebig kleine -Nachbarschaft des Punktes der Wert . Eine Zahl ist also per Definition der Grenzwert einer Folge. Q.E.D.

Übrigens aus dem Ergebnis ein natürliches Muster ist deutlich erkennbar: Je kleiner die -Nachbarschaft, desto größer die Zahl, nach der ALLE Mitglieder der Sequenz in dieser Nachbarschaft sind. Aber egal wie klein das "Epsilon" ist, es wird immer einen "unendlichen Schwanz" innen und außen geben - auch wenn es groß ist Finale Anzahl der Mitglieder.

Wie sind die Eindrücke? =) Ich stimme zu, dass es seltsam ist. Aber streng! Bitte noch einmal lesen und nachdenken.

Betrachten Sie ein ähnliches Beispiel und machen Sie sich mit anderen Techniken vertraut:

Beispiel 2

Entscheidung: Durch die Definition einer Folge muss das bewiesen werden (Sprich laut!!!).

Prüfen willkürlich-Nachbarschaft des Punktes und Kontrolle, existiert es natürliche Zahl - so dass für alle größeren Zahlen folgende Ungleichung gilt:

Um die Existenz eines solchen zu zeigen, müssen Sie "en" durch "epsilon" ausdrücken. Wir vereinfachen den Ausdruck unter dem Modulzeichen:

Das Modul zerstört das Minuszeichen:

Der Nenner ist für jedes "en" positiv, daher können die Stäbchen entfernt werden:

Mischen:

Jetzt sollten wir die Quadratwurzel ziehen, aber der Haken ist, dass für einige „Epsilons“ die rechte Seite negativ sein wird. Um diesen Ärger zu vermeiden stärken wir uns Ungleichheitsmodul:

Warum ist das möglich? Wenn sich relativ gesehen herausstellt, dass , dann ist die Bedingung umso mehr erfüllt. Das Modul kann einfach erhöhen gesuchte Nummer , und die passt auch zu uns! Grob gesagt, wenn das Hundertstel passt, dann reicht das Zweihundertstel! Laut Definition müssen Sie zeigen die bloße Existenz der Zahl(zumindest einige), danach befinden sich alle Mitglieder der Sequenz in -Nachbarschaft. Deshalb scheuen wir uns übrigens auch nicht vor der abschließenden Rundung der rechten Seite nach oben.

Wurzel ziehen:

Und das Ergebnis runden:

Fazit: da der Wert von "Epsilon" wurde willkürlich gewählt, dann für jede willkürlich kleine -Nachbarschaft des Punktes der Wert , so dass die Ungleichung . Auf diese Weise, a-priorat. Q.E.D.

ich rate besonders die Verstärkung und Abschwächung von Ungleichheiten verstehen - das sind typische und sehr verbreitete Methoden der mathematischen Analyse. Das einzige, was Sie brauchen, um die Richtigkeit dieser oder jener Aktion zu überwachen. Also zum Beispiel die Ungleichheit auf keinen Fall lösen, subtrahieren, sagen wir, eins:

Nochmal Bedingung: Passt die Zahl genau, dann passt die vorherige vielleicht nicht mehr.

Das folgende Beispiel ist für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 3

Beweisen Sie das anhand der Definition einer Folge

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wenn die Reihenfolge unendlich groß, dann wird die Definition des Grenzwerts ähnlich formuliert: Ein Punkt heißt Grenzwert einer Folge, wenn für alle, beliebig groß es gibt eine solche Zahl, dass für alle größeren Zahlen die Ungleichung erfüllt ist. Die Nummer wird angerufen die Nachbarschaft des Punktes "plus unendlich":

Mit anderen Worten, egal wie groß der Wert ist, den wir nehmen, der „unendliche Schwanz“ der Folge geht zwangsläufig in die -Nachbarschaft des Punktes über, sodass nur eine endliche Anzahl von Termen auf der linken Seite übrig bleibt.

Arbeitsbeispiel:

Und eine abgekürzte Schreibweise: if

Schreiben Sie für den Fall die Definition selbst. Die richtige Version steht am Ende der Lektion.

Nachdem Sie Ihre Hand mit praktischen Beispielen "gefüllt" und die Definition des Grenzwerts einer Folge herausgefunden haben, können Sie sich der Literatur zur mathematischen Analyse und / oder Ihrem Notizbuch mit Vorlesungen zuwenden. Ich empfehle, den ersten Band von Bohan herunterzuladen (einfacher - für Teilzeitstudierende) und Fichtengoltz (detaillierter und gründlicher). Von den anderen Autoren empfehle ich Piskunov, dessen Kurs auf technische Universitäten ausgerichtet ist.

Versuchen Sie, die Sätze, die die Grenze der Folge, ihre Beweise und Konsequenzen betreffen, gewissenhaft zu studieren. Die Theorie mag zunächst „trübe“ erscheinen, aber das ist normal – es ist nur etwas gewöhnungsbedürftig. Und viele kommen sogar auf den Geschmack!

Strenge Definition des Grenzwerts einer Funktion

Beginnen wir mit der gleichen Sache – wie formuliert man dieses Konzept? Die verbale Definition des Grenzwertes einer Funktion ist viel einfacher formuliert: „Eine Zahl ist der Grenzwert einer Funktion, wenn mit „x“ dazu tendiert (sowohl links als auch rechts), die entsprechenden Werte der Funktion tendieren zu » (Zeichnung sehen). Alles scheint normal zu sein, aber Worte sind Worte, Bedeutung ist Bedeutung, ein Symbol ist ein Symbol, und eine strenge mathematische Notation reicht nicht aus. Und im zweiten Absatz werden wir zwei Ansätze zur Lösung dieses Problems kennenlernen.

Lassen Sie die Funktion in einem Intervall definiert sein, außer möglicherweise für den Punkt . In der pädagogischen Literatur wird allgemein akzeptiert, dass die Funktion dort nicht definiert:

Diese Auswahl hebt hervor das Wesen der Funktionsgrenze: "x" unendlich nah Ansätze , und die entsprechenden Werte der Funktion sind unendlich nah zu . Mit anderen Worten, der Begriff einer Grenze impliziert nämlich keine „exakte Annäherung“ an Punkte unendlich enge Annäherung, spielt es keine Rolle, ob die Funktion an der Stelle definiert ist oder nicht.

Die erste Definition des Grenzwerts einer Funktion wird wenig überraschend mit zwei Sequenzen formuliert. Erstens sind die Konzepte verwandt, und zweitens werden die Grenzen von Funktionen normalerweise nach den Grenzen von Folgen untersucht.

Betrachten Sie die Reihenfolge Punkte (nicht auf der Zeichnung) Zugehörigkeit zum Intervall und außer, welche konvergiert zu . Dann bilden die entsprechenden Werte der Funktion ebenfalls eine Zahlenfolge, deren Glieder auf der y-Achse liegen.

Grenze der Heine-Funktion für alle Punktfolgen (zugehörig und verschieden von), die gegen den Punkt konvergiert, konvergiert die entsprechende Folge von Funktionswerten gegen .

Eduard Heine ist ein deutscher Mathematiker. ... Und so etwas braucht man nicht zu denken, es gibt nur einen Schwulen in Europa - das ist Gay-Lussac =)

Die zweite Definition der Grenze wurde gebaut ... ja, ja, Sie haben Recht. Aber schauen wir uns zuerst das Design an. Betrachten Sie eine beliebige -Nachbarschaft des Punktes ("schwarze" Nachbarschaft). Basierend auf dem vorherigen Absatz bedeutet die Notation das irgendein Wert Funktion befindet sich innerhalb der "epsilon"-Umgebung.

Lassen Sie uns nun eine -Nachbarschaft finden, die der gegebenen -Nachbarschaft entspricht (zeichnen Sie im Geiste schwarze gepunktete Linien von links nach rechts und dann von oben nach unten). Beachten Sie, dass der Wert ausgewählt ist entlang der Länge des kleineren Segments, in diesem Fall entlang der Länge des kürzeren linken Segments. Darüber hinaus kann die "karmesinrote" Umgebung eines Punktes sogar reduziert werden, da in der folgenden Definition die bloße Tatsache der Existenz ist wichtig diese Nachbarschaft. Und in ähnlicher Weise bedeutet der Eintrag, dass sich ein Wert innerhalb der „Delta“-Nachbarschaft befindet.

Cauchy-Limit einer Funktion: Die Zahl heißt Grenzwert der Funktion am Punkt if für alle vorausgewählt Nachbarschaft (willkürlich klein), existieren-Nachbarschaft des Punktes , SOLCH das: ALS NUR Werte (im Besitz) in diesem Bereich enthalten: (rote Pfeile)- SO SOFORT kommen garantiert die entsprechenden Werte der Funktion in die -Nachbarschaft: (blaue Pfeile).

Ich muss Sie warnen, dass ich, um verständlicher zu sein, ein wenig improvisiert habe, also missbrauchen Sie es nicht =)

Kurzform: wenn

Was ist die Essenz der Definition? Bildlich gesprochen "begleiten" wir durch die unendliche Verkleinerung der -Nachbarschaft die Werte der Funktion bis an ihre Grenze und lassen ihnen keine Alternative, sich woanders anzunähern. Ziemlich ungewöhnlich, aber wieder streng! Um die Idee richtig zu machen, lesen Sie den Wortlaut noch einmal.

! Beachtung: wenn Sie nur formulieren müssen Definition nach Heine oder nur Cauchy-Definition bitte nicht vergessen von Bedeutung Vorbemerkung: "Betrachten Sie eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall definiert ist, außer vielleicht einem Punkt". Ich habe das einmal ganz am Anfang gesagt und es nicht jedes Mal wiederholt.

Nach dem entsprechenden Theorem der mathematischen Analyse sind die Definitionen von Heine und Cauchy äquivalent, aber die zweite Variante ist die bekannteste (würde es immer noch!), die auch als „Grenze auf der Zunge“ bezeichnet wird:

Beispiel 4

Beweisen Sie dies anhand der Definition einer Grenze

Entscheidung: Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl außer dem Punkt definiert. Unter Verwendung der Definition von beweisen wir die Existenz einer Grenze an einem gegebenen Punkt.

Notiz : Die Größe der "Delta"-Nachbarschaft hängt vom "Epsilon" ab, daher die Bezeichnung

Prüfen willkürlich-Nachbarschaft. Die Aufgabe besteht darin, anhand dieses Werts zu prüfen, ob existiert es- Nachbarschaft, SOLCH, die aus der Ungleichung folgt der Ungleichheit .

Unter der Annahme, dass , transformieren wir die letzte Ungleichung:
(Zerlege das quadratische Trinom)

Stellen Sie sich eine Funktion %%f(x)%% vor, die zumindest in einer punktierten Nachbarschaft %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% des Punktes %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% erweiterter Zahlenstrahl.

Der Grenzwertbegriff nach Cauchy

Die Zahl %%A \in \mathbb(R)%% wird aufgerufen Funktionsgrenze%%f(x)%% bei %%a \in \mathbb(R)%% (oder da %%x%% tendenziell zu %%a \in \mathbb(R)%%) wenn, was auch immer das Positive ist Zahl %%\varepsilon%% ist, gibt es eine positive Zahl %%\delta%% derart, dass für alle Punkte der punktierten %%\delta%% Umgebung des Punktes %%a%% die Werte der Funktion gehören zu %%\varepsilon %%-Nachbarschaft des Punktes %%A%%, oder

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Diese Definition wird als Definition in der Sprache %%\varepsilon%% und %%\delta%% bezeichnet, die vom französischen Mathematiker Augustin Cauchy vorgeschlagen wurde und seit Anfang des 19. Jahrhunderts bis heute verwendet wird, weil sie das Notwendige hat mathematische Strenge und Genauigkeit.

Kombinieren verschiedener Nachbarschaften des Punktes %%a%% wie %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( a) %% mit Nachbarschaften %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text( U) _\varepsilon (-\infty)%% erhalten wir 24 Definitionen der Cauchy-Grenze.

geometrischen Sinn

Die geometrische Bedeutung des Grenzwerts einer Funktion

Lassen Sie uns herausfinden, was die geometrische Bedeutung des Grenzwerts einer Funktion an einem Punkt ist. Lassen Sie uns die Funktion %%y = f(x)%% plotten und darauf die Punkte %%x = a%% und %%y = A%% markieren.

Der Grenzwert der Funktion %%y = f(x)%% am Punkt %%x \to a%% existiert und ist gleich A, falls für jede %%\varepsilon%%-Nachbarschaft des Punktes %%A% % kann man eine solche %%\ delta%%-Nachbarschaft des Punktes %%a%% angeben, so dass für beliebige %%x%% dieser %%\delta%%-Nachbarschaft der Wert %%f(x )%% befindet sich in den %%\varepsilon%%-Nachbarschaftspunkten %%A%%.

Beachten Sie, dass es gemäß der Cauchy-Definition des Grenzwerts einer Funktion für die Existenz eines Grenzwerts bei %%x \to a%% egal ist, welchen Wert die Funktion an genau dem Punkt %%a%% annimmt. Sie können Beispiele geben, wo die Funktion nicht definiert ist, wenn %%x = a%% ist oder einen anderen Wert als %%A%% annimmt. Das Limit kann jedoch %%A%% betragen.

Definition der Heine-Grenze

Das Element %%A \in \overline(\mathbb(R))%% heißt Grenzwert der Funktion %%f(x)%% bei %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , wenn für eine beliebige Folge %%\(x_n\) \to a%% aus der Domäne die Folge der entsprechenden Werte %%\big\(f(x_n)\big\)%% tendiert zu einer%%.

Die Definition des Grenzwerts nach Heine ist praktisch, wenn Zweifel an der Existenz des Grenzwerts einer Funktion an einem bestimmten Punkt bestehen. Wenn es möglich ist, mindestens eine Folge %%\(x_n\)%% mit einer Grenze an der Stelle %%a%% so zu konstruieren, dass die Folge %%\big\(f(x_n)\big\)%% keine Begrenzung hat, können wir schließen, dass die Funktion %%f(x)%% an dieser Stelle keine Begrenzung hat. Wenn für zwei verschieden Sequenzen %%\(x"_n\)%% und %%\(x""_n\)%% haben gleich limit %%a%%, Sequenzen %%\big\(f(x"_n)\big\)%% und %%\big\(f(x""_n)\big\)%% haben verschieden Grenzen, dann existiert in diesem Fall auch die Grenze der Funktion %%f(x)%% nicht.

Beispiel

Sei %%f(x) = \sin(1/x)%%. Prüfen wir, ob der Grenzwert dieser Funktion am Punkt %%a = 0%% existiert.

Wir wählen zunächst eine Folge $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\), die zu diesem Punkt konvergiert. $$

Es ist klar, dass %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% und %%\lim (x_n) = 0%%. Dann ist %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% und %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Dann nehmen Sie die Folge $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

wofür %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% und %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. Ähnlich für die Folge $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1 ) \pi) \right\), $$

ebenfalls konvergierend zum Punkt %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Alle drei Sequenzen lieferten unterschiedliche Ergebnisse, was der Bedingung der Heine-Definition widerspricht, d.h. Diese Funktion hat am Punkt %%x = 0%% keine Begrenzung.

Satz

Die Definition der Grenze nach Cauchy und nach Heine sind äquivalent.