Gegeben sei eine Folge umnummerierter Zahlen x 1 , x 2 ,..., x n ,... , die wir kurz mit oder (x n ) bezeichnen. Diese Folge kann als Funktion der Zahl n geschrieben werden: x n =f(n) , oder x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..

Jede Sequenz wird angegeben, wenn die Regel für die Bildung ihrer Mitglieder angegeben ist. Die Reihenfolge wird normalerweise durch Formeln wie x n =f(n) oder x n =f(x n-1) , x n =f(x n-1 , x n-2) usw. angegeben, wobei .

Beispiel.Sequenz 2, 4, 8, 16, .. . gegeben durch die Formel x n = 2 n ; geometrische Folge a 1 , a 2 ,..., a n , .. . kann durch die Formel a n = a 1 q n-1 oder a n = a n-1 q definiert werden; Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . sind durch die Formeln x n = x n-1 + x n-2 , n = 3, 4, ..., x 1 = 1 , x 2 = 1 definiert.

Diagramm der Zahlenfolge(x n ) wird durch eine Menge von Punkten M n (n; f(n)) auf der nOx-Ebene gebildet, d. h. Nummernfolgediagramm besteht aus diskreten Punkten.

Die Folge (x n ) heißt steigend, wenn die Bedingung der Form erfüllt ist.

Die Folge (x n ) heißt fallend, wenn die Bedingung der Form erfüllt ist.

Die Folge (x n ) heißt nicht ansteigend, wenn die Bedingung der Form erfüllt ist.

Die Folge (x n ) heißt nicht-fallend, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: .

Solche Folgen nennt man monoton. Die restlichen Sequenzen sind nicht monoton.

Als nächstes wird aufgerufen endlose Folge alle Objekte der gleichen Art.

Beispiel.Zahlenreihe - Zahlenreihe. Einige der Funktionen - Funktionsumfang.

Die Reihenfolge der Elemente einer Reihe ist von Bedeutung. Durch Ändern der Reihenfolge erhalten wir eine weitere Reihe aus denselben Elementen.

Uns interessiert hier nur die Zahlenreihe und ihre Summe, die noch formal (nicht konstruktiv, nicht formalisiert) geschrieben ist, also die Summe aller Glieder irgendeiner unendlichen Zahlenfolge u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., oder u 1 + u 2 +...+u n +.. .. Diese Reihe kann kompakt geschrieben werden als

Vorzeichen - Vorzeichen "Sigma" oder das Vorzeichen der Summe, sequentielle Summierung aller Elemente u n von der unteren Grenze n=1 (unten angegeben, kann entweder endlich oder negativ unendlich sein) bis zur oberen Grenze (oben angegeben, kann eine beliebige Zahl sein, größer oder gleich der unteren Grenze, sowie positiv unendlich).

Die Zahlen u n (n=1, 2, .. .) heißen Glieder der Reihe, und u n ist das gemeinsame Glied der Reihe.

Beispiel.In einem Schulmathematikkurs ist eine geometrisch unendlich fallende Progression gegeben a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .

Beispiel. Harmonische Zahlenreihe- Reihe der Form: . Im Folgenden werden wir es genauer betrachten.

Die Zahlenreihe wird als gegeben betrachtet, das heißt, jedes ihrer Elemente wird eindeutig bestimmt, wenn die Regel zum Auffinden ihres gemeinsamen Glieds angegeben ist oder einige numerische Funktion natürliche Argumentation , oder u n =f(n) .

Beispiel.Wenn , dann ist die Reihe gegeben , oder in kompakter Notation:

Falls gegeben harmonische Zahlenreihe, dann kann sein gemeinsamer Begriff als geschrieben werden, und die Reihe selbst kann als geschrieben werden

Geben wir die Definition einer endlichen Summe einer Reihe und einer Folge solcher endlicher Summen an.

Die Endsumme der n ersten Terme der Reihe heißt ihre n-te Partialsumme und wird mit S n bezeichnet:

Diese Summe wird nach den üblichen Regeln zum Summieren von Zahlen gefunden. Es gibt unendlich viele solcher Summen, dh man kann sich zu jeder Reihe eine aus Teilsummen zusammengesetzte Reihe vorstellen: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . oder eine für diese Reihe gebildete Folge von Partialsummen: .

Die Folge ist nach oben beschränkt, wenn es für alle Folgenglieder eine solche gemeinsame Zahl M gibt, die von allen Folgengliedern nicht überschritten wird, also wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

Die Zahlenfolge ist nach unten beschränkt, wenn es für alle Glieder der Folge eine solche gemeinsame Zahl m gibt, die alle Glieder der Folge überschreitet, also wenn die Bedingung erfüllt ist:

Die Zahlenfolge ist begrenzt, wenn es Zahlen m und M gibt, die allen Gliedern der Folge gemeinsam sind und die Bedingung erfüllen:

Die Nummer a wird aufgerufen die Grenze der Zahlenfolge(x n ) , wenn es eine so kleine Zahl gibt, dass alle Glieder der Folge, bis auf eine endliche Anzahl von ersten Gliedern, in die - Umgebung der Zahl a fallen, sich also am Ende um den Punkt verdichten a . Somit müssen alle Punkte x i , i = N 0 , N 0 +1 , N 0 +2, ... in das Intervall fallen. Sequenzen. In diesem Fall hängt die Zahl N 0 von der gewählten Zahl ab, d. h. (Abb. 7.1) .

Reis. 7.1.

Mathematisch kann die Existenz einer Folgengrenze geschrieben werden als:

Diese Tatsache wird kurz als geschrieben oder , und sagen, dass es gegen die Zahl a konvergiert. Wenn die Folge keinen Grenzwert hat, heißt sie divergent.

Es folgt direkt aus der Definition des Grenzwerts: Wenn wir eine endliche Anzahl von Mitgliedern der Folge verwerfen, hinzufügen oder ändern, wird die Konvergenz nicht verletzt (d. h., wenn die ursprüngliche Folge konvergiert, dann konvergiert die modifizierte Folge) und die Grenzen der ursprünglichen und resultierenden Sequenzen sind gleich.

Beispiel.Annehmen, dass , wo , das ist , , . Diese Tatsache ist leicht zu beweisen, aber im Moment nehmen wir sie als bewiesene Tatsache an. Dann , : . Finde den Wert der Zahl (falls eine solche Nummer existiert). Prüfen . Es gilt folgende Beziehung:

Also, wenn wir eine Zahl nehmen , dann ist die Ungleichung erfüllt. Beispielsweise erhalten wir mit dem Wert die Zahl N 0 =99 , also |x n -1|<0,01 . Чем меньше значение - тем больше значение N 0 . Например, если , то N 0 =999 .

Wir geben nun zwei äquivalente Definitionen des Grenzwerts der Funktion: die Verwendung des Grenzwerts der Folge und die Verwendung der Korrespondenz kleiner Umgebungen des Arguments und des Werts der Funktion. Die Gültigkeit einer Definition impliziert die Gültigkeit einer anderen. Sei die Funktion y=f(x) definiert , außer vielleicht dem Punkt x=x 0 , der der Grenzpunkt von D(f) ist. An diesem Punkt kann die Funktion undefiniert (undefiniert) sein oder eine Unterbrechung haben.

Wenn die Folge gegen Null konvergiert:

dann spricht man von einer infinitesimalen Folge. Es wird auch gesagt, dass sein gemeinsamer Begriff eine infinitesimale Menge ist. Die Folgen (84.3) und (84.4) sind infinitesimal.

Wenden wir die Formulierung des Grenzwertbegriffs auf den Fall einer infinitesimalen Folge an, d. h. auf den Fall, dass der Grenzwert Null ist, dann gelangen wir zu folgender Definition einer infinitesimalen Folge (äquivalent zu der oben angegebenen): eine Folge heißt infinitesimal, wenn es für jede gegebene Zahl N eine solche Zahl gibt, dass für alle eine Ungleichheit besteht

Lassen Sie uns einige nützliche Sätze über Infinitesimalfolgen formulieren (und den ersten als Beispiel beweisen).

Satz 1. Die Summe von zwei oder mehr infinitesimalen Folgen ist eine infinitesimale Folge.

Wir führen den Beweis für den Fall der Summation zweier Folgen. Die Folgen seien infinitesimal. Wenn die Folge durch ihre Addition erhalten wird, dann wird sie auch infinitesimal sein. Gegeben sei nämlich eine beliebige positive Zahl e. Aufgrund der Tatsache, dass sie unendlich klein ist, gibt es eine Zahl N, so dass sie kleiner als die Zahl bei ist. In ähnlicher Weise kann man für die zweite Folge eine (allgemein gesagt andere) Zahl angeben, so dass wir für jetzt haben, wenn größer als die größte der Zahlen , dann gleichzeitig

Aber dann, durch die Eigenschaft "der Modul der Summe überschreitet nicht die Summe der Module" (Punkt 74, Eigenschaft 13), finden wir

was die geforderte Behauptung beweist: Die Infinitesimalfolge wird gelesen als „die größere der beiden Zahlen N und .

Satz 2. Das Produkt einer beschränkten Folge und einer gegen Null konvergierenden Folge ist eine gegen Null konvergierende Folge.

Aus diesem Satz folgt insbesondere, dass das Produkt eines konstanten Werts mit einem Infinitesimal ebenso wie das Produkt mehrerer Infinitesimalwerte untereinander eine Infinitesimalgröße ist. Tatsächlich ist ein konstanter Wert immer ein begrenzter Wert. Dasselbe gilt für das Infinitesimale. Daher kann beispielsweise das Produkt zweier Infinitesimaler als Produkt eines Infinitesimalen durch ein Beschränktes interpretiert werden.

Satz 3. Der Quotient aus der Division einer Folge, die gegen Null konvergiert, durch eine Folge, die einen von Null verschiedenen Grenzwert hat, ist eine Folge, die gegen Null konvergiert.

Der folgende Satz erlaubt die Verwendung von Infinitesimalzahlen in den Beweisen von Grenzwertsätzen (Sätze 6-8).

Satz 4. Der gemeinsame Term einer Folge, die eine Grenze hat, kann als Summe dieser Grenze und einer infinitesimalen Größe dargestellt werden.

Nachweisen. Es gebe eine solche Folge

Aus der Definition der Grenze folgt:

für alle Befriedigung der Ungleichung Bezeichnen und dann bekommen wir das für die angegebenen Werte

d.h. dass es eine infinitesimale Menge gibt. Aber

und dies beweist unseren Satz.

Verna und umgekehrt

Satz 5. Wenn sich ein gemeinsamer Term einer Folge von einem konstanten Wert um einen infinitesimalen Wert unterscheidet, dann ist diese Konstante der Grenzwert dieser Folge.

Wir betrachten nun die in den folgenden drei Sätzen formulierten Regeln für den Grenzübergang.

Satz 6. Der Grenzwert der Summe von zwei oder mehr Folgen, die einen Grenzwert haben, ist gleich der Summe dieser Grenzwerte:

Nachweisen. Es gebe solche Folgen

Dann können wir basierend auf Satz 4 schreiben:

wo sind einige infinitesimale Folgen. Fügen wir die letzten beiden Gleichheiten hinzu:

Der Wert als Summe zweier Konstanten a und b ist konstant, und als Summe zweier infinitesimaler Folgen gibt es nach Theorem 1 eine infinitesimale Folge. Daraus und Satz 5 schließen wir darauf

und dies war zu beweisen.

Der nun geführte Beweis lässt sich leicht auf den Fall einer algebraischen Summe beliebig vieler gegebener Folgen verallgemeinern.

Der Preis eines Vermögenswertes zum aktuellen Zeitpunkt r sei gleich S(T) . Der Ausübungspreis einer Kaufoption auf diesen Vermögenswert mit Ablaufzeit T ist gleich K. Berechnen wir den Preis dieser Option zum Zeitpunkt t. Teilen Sie das Zeitintervall [r, T] in n Perioden gleicher Länge (T - t)/n. Die Berechnung des Call-Optionspreises erfolgt im Rahmen des n-Perioden-Binomial-Optionspreismodells, dessen Limit dann bei n -> oo gefunden wird.
Der Optionspreis im n-Perioden-Binomialmodell wird also durch Formel (3.12) bestimmt. Gemäß der Definition tendiert jo zu In [K/(S(t)dn))/ ln(m/d) als m i —» oo. Nach der Moivre-Laplace-Integralformel
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ l/np"q
wobei Ф(х) = ^ dt - Normalverteilungsfunktion.
Mit der Definition (3.16) der Zahlen und ad erhalten wir das als η -> oo
c \u003d S (r) Ф (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
wo
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
d\
al/T - t
al/T - t
Die gefundene Formel (3.17) für den Call-Optionspreis heißt Black-Scholes-Formel.
Der Beweis von Formel (3.17) verwendet die Entwicklung des Exponenten in der Reihe
ex = 1 + x+^+.... (3.18)
Setzen wir and und d aus Formel (3.17) in die Gleichheit (3.8) ein, die die Zahlen ð id bestimmt, erhalten wir:
erAt - aß/Sch-
R
Entfaltet man die Exponentiale zu einer Reihe nach Formel (3.18) und vernachlässigt man die Terme, die klein gegenüber At sind, erhält man
al / At + (g - a212) At al / At - (g - a212) At
P ~ t = 1 Ich ~ t =
2al/M 2al/M
Wenn es keine Marktpreisunsicherheit gibt, erfüllt der Vermögenspreis S die Gleichung
AS = fiSAt, (2.1)
wobei At klein genug ist. Da At -> 0 wird Gleichung (2.1) differentiell
S" = /J.S.
Seine Lösung S(T) = S(0)emT bestimmt den Preis S(T) des Vermögenswerts zum Zeitpunkt T.
In der Praxis besteht jedoch immer Unsicherheit über den Preis eines Vermögenswerts. Zur Beschreibung der Unsicherheit werden Zeitfunktionen betrachtet, die Zufallsvariablen für jeden Wert des Arguments sind. Diese Eigenschaft definiert einen zufälligen Prozess.
Ein Zufallsprozess w(t) heißt Wiener, wenn r(0) = 0 und die Zufallsvariablen w(t\ + s) - w(t\) und w(t2 + s) - w(t2) normalverteilt sind mit null Erwartung und mit Varianz gleich s und unabhängig für alle t\, t2, s, die nicht überlappende Intervalle (ti,ti + s) und (t2,t2 + s) bilden.
Der Graph des Wiener-Prozesses kann beispielsweise wie folgt erhalten werden. Wir legen eine Zahl h > 0 fest und definieren eine Familie von Zufallsvariablen Wh(t) zu Zeiten t = 0, h, 2h, .... Setze Wh(0) = 0. Differenz AWh = Wh((k+l) h) - Wh(kh) ist eine Zufallsvariable und ergibt sich aus der Tabelle: AWh -6 6 P 1/2 1/2 Münzen. Dann ist der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen AWh M(AI//1) = 0 und die Varianz D(AWh) = S2. Die Zahl d wird gleich Vh gesetzt, so dass die Varianz ~D(AWh) gleich h ist.
Es stellt sich heraus, dass der Wiener-Prozess w(t) aus der Familie der Zufallsvariablen Wh(t) als h -> 0 erhalten wird. Der Übergang zum Grenzwert selbst ist ziemlich schwierig und wird hier nicht betrachtet. Daher ist der Graph der Familie Wh (t) für kleine h eine gute Annäherung an den Wiener-Prozess. Beispielsweise reicht es für eine visuelle Darstellung des Wiener-Prozesses auf einem Segment, h = 0,01 zu nehmen.
Im einfachsten Fall, wenn /x = 0, also der Aktienmarkt im Durchschnitt nicht wächst und nicht fällt, wird davon ausgegangen
AS = aS Aw,
wobei w(t) ein Wiener-Prozess und a > 0 eine positive Zahl ist. Die Tatsache, dass Vermögenspreissteigerungen proportional zum Preis sind, drückt die natürliche Annahme aus, dass die Unsicherheit des Ausdrucks (S(t + At) - S(t))/S(t) nicht von S abhängt. Das bedeutet, dass der Investor es ist ebenso unsicher, ob Sie bei einem Vermögenspreis von 20 $ und bei einem Vermögenspreis von 100 $ einen Gewinnanteil erhalten.
Das Vermögenspreisverhaltensmodell wird im Allgemeinen durch die Gleichung bestimmt
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
Der Koeffizient a, der eine Einheit der Unsicherheit ist, wird als Volatilität bezeichnet.
2.2.

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1. Der Übergang zur Marktwirtschaft ist mit dem Übergang zu einem System des modernen Managements verbunden, dessen Hauptgegenstand die Organisation (Unternehmen) und darin der Arbeitnehmer, der Arbeitnehmer ist.
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Die Quantenmechanik enthält die klassische als Grenzfall. Es stellt sich die Frage, wie dieser Grenzübergang vollzogen wird.

In der Quantenmechanik wird ein Elektron durch eine Wellenfunktion beschrieben, die verschiedene Werte seiner Koordinate bestimmt; Das einzige, was wir bisher über diese Funktion wissen, ist, dass es sich um eine Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung handelt. In der klassischen Mechanik hingegen wird ein Elektron als materielles Teilchen betrachtet, das sich entlang einer Bahn bewegt, die vollständig durch die Bewegungsgleichungen bestimmt ist. Eine Beziehung, die in gewissem Sinne analog der Beziehung zwischen Quanten- und klassischer Mechanik ist, findet in der Elektrodynamik zwischen Wellen- und geometrischer Optik statt. In der Wellenoptik werden elektromagnetische Wellen durch Vektoren elektrischer und magnetischer Felder beschrieben, die ein bestimmtes System linearer Differentialgleichungen (Maxwell-Gleichungen) erfüllen. In der geometrischen Optik wird die Ausbreitung von Licht entlang bestimmter Bahnen - Strahlen betrachtet.

Eine solche Analogie lässt den Schluss zu, dass der Grenzübergang von der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik ähnlich erfolgt wie der Übergang von der Wellen- zur geometrischen Optik.

Erinnern wir uns, wie dieser letzte Übergang mathematisch durchgeführt wird (siehe II, § 53). Sei und eine der Feldkomponenten in einer elektromagnetischen Welle. Es kann als und dargestellt werden - mit reeller Amplitude a und Phase (letztere wird in der geometrischen Optik eikonal genannt). Der Grenzfall der geometrischen Optik entspricht kleinen Wellenlängen, was sich mathematisch in einer großen Änderung bei kleinen Abständen ausdrückt; dies bedeutet insbesondere, dass die Phase betragsmäßig als groß anzusehen ist.

Dementsprechend gehen wir davon aus, dass der Grenzfall der klassischen Mechanik in der Quantenmechanik Wellenfunktionen der Form entspricht, wobei a eine sich langsam ändernde Funktion ist und große Werte annimmt. Bekanntlich kann in der Mechanik die Flugbahn von Teilchen nach dem Variationsprinzip bestimmt werden, wonach die sogenannte Wirkung 5 eines mechanischen Systems minimal sein muss (Prinzip der kleinsten Wirkung). In der geometrischen Optik wird der Strahlengang durch das sogenannte Fermat-Prinzip bestimmt, wonach die „optische Weglänge“ des Strahls, also die Differenz seiner Phasen am Ende und am Anfang des Weges, sollte minimal sein.

Aufgrund dieser Analogie können wir behaupten, dass die Phase der Wellenfunktion im klassischen Grenzfall proportional zur mechanischen Wirkung S des betrachteten physikalischen Systems sein sollte, also . Der Proportionalitätskoeffizient wird als Werkskonstante bezeichnet und mit dem Buchstaben bezeichnet. Es hat die Dimension der Aktion (weil es dimensionslos ist) und ist gleich

Somit hat die Wellenfunktion eines "fast klassischen" (oder, wie sie sagen, halbklassischen) physikalischen Systems die Form

Die Plancksche Konstante spielt eine grundlegende Rolle bei allen Quantenphänomenen. Ihr relativer Wert (im Vergleich zu anderen Größen derselben Dimension) bestimmt den „Grad der Quantenhaftigkeit“ dieses oder jenes physikalischen Systems. Der Übergang von der Quanten- zur klassischen Mechanik entspricht einer großen Phase und kann formal als Übergang zu einer Grenze beschrieben werden (so wie der Übergang von der Wellen- zur geometrischen Optik einem Übergang zur Grenze von Nullwellenlänge entspricht,

Wir haben die Grenzform der Wellenfunktion geklärt, aber es bleibt die Frage, wie sie mit der klassischen Bewegung entlang einer Trajektorie zusammenhängt. Im allgemeinen Fall geht die durch die Wellenfunktion beschriebene Bewegung entlang einer bestimmten Trajektorie gar nicht in Bewegung über. Ihr Zusammenhang mit der klassischen Bewegung besteht darin, dass, wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt die Wellenfunktion und damit die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Koordinaten gegeben ist, sich diese Verteilung in Zukunft so „bewegen“ wird, wie sie nach den Gesetzen von sein sollte klassische Mechanik (Näheres siehe Ende § 17).

Um eine Bewegung entlang einer bestimmten Bahn zu erhalten, ist es notwendig, von einer Wellenfunktion einer speziellen Form auszugehen, die nur in einem sehr kleinen Raumabschnitt (dem sogenannten Wellenpaket), den Abmessungen dieses Abschnitts, merklich von Null verschieden ist zusammen mit d gegen Null tendieren kann. Dann kann argumentiert werden, dass sich das Wellenpaket im semiklassischen Fall entlang der klassischen Flugbahn des Teilchens im Raum bewegt.

Schließlich müssen quantenmechanische Operatoren im Grenzwert einfach auf die Multiplikation mit der entsprechenden physikalischen Größe reduziert werden.

Einige Funktionen f tendieren zur Zahl A, wenn x zum Punkt x0 tendiert, wenn die Differenz f(x) - A willkürlich klein ist. Mit anderen Worten, der Ausdruck |f(x) –A| kleiner als eine beliebige vorbelegte feste Zahl h > 0 wird, wenn der Betrag des Argumentinkrements |∆x|

Übergang begrenzen

Das Finden dieser Zahl A aus der Funktion f wird aufgerufen Durchgang bis ans Limit. Im Schulunterricht kommt es in zwei Hauptfällen zum Grenzübergang.

1. Grenzübergang bzgl. ∆f/∆x bei der Ermittlung der Ableitung.

2. Bei der Bestimmung der Stetigkeit einer Funktion.

Funktionskontinuität

Eine Funktion heißt bei x0 stetig, wenn f(x) gegen f(x0) strebt, wenn x gegen x0 strebt. In diesem Fall: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f.
Das bedeutet, dass |∆f| wird für kleine |∆x| klein sein. Mit anderen Worten, kleine Änderungen im Argument entsprechen kleinen Änderungen im Wert der Funktion.

Funktionen, die in einem Schulmathematikkurs vorkommen, z. B. eine lineare Funktion, eine quadratische Funktion, eine Potenzfunktion und andere, sind an jedem Punkt des Bereichs, auf dem sie definiert sind, stetig. Für diese Funktionen werden die Graphen als durchgehend gekrümmte Linien dargestellt.

Diese Tatsache ist die Grundlage der Methode, einen Graphen einer Funktion "durch Punkte" zu konstruieren, die wir normalerweise verwenden. Aber bevor man sie verwendet, muss man herausfinden, ob die betrachtete Funktion wirklich stetig ist. Für einfache Fälle kann dies auf der Grundlage der oben gegebenen Definition von Stetigkeit erfolgen.

Zum Beispiel: Wir werden beweisen, dass eine lineare Funktion an jedem Punkt der reellen Geraden stetig ist y = k*x + b.

Per Definition müssen wir zeigen, dass |∆f| kleiner als jede vorgegebene Zahl h>0 wird, für kleine |∆x|

|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.

Nehmen wir |∆x| >h/|k| für k ungleich Null, dann |∆f| kleiner als jedes h>0 sein, was zu beweisen war.

Begrenzende Regeln

Bei der Verwendung der Grenzübergangsoperation sollten die folgenden Regeln befolgt werden.

1. Wenn die Funktion f am Punkt x0 stetig ist, dann geht ∆f gegen Null, wenn ∆x gegen Null geht.

2. Wenn die Funktion f am Punkt x0 eine Ableitung hat, dann strebt ∆f/∆x gegen f’(x0), während ∆x gegen Null geht.

3. Lassen Sie f(x) zu A tendieren, g(x) zu B tendieren, während x zu x0 tendiert. Dann:

f(x) + g(x) tendiert zu A + B;