Das Vergnügen von x steven streng zu lesen. Stefan Strogatz

Mathematik ist die genaueste und universellste Wissenschaftssprache, aber ist es möglich, menschliche Gefühle mit Hilfe von Zahlen zu erklären? Love Formulas, Seeds of Chaos and Romantic Differential Equations – T&P veröffentlicht ein Kapitel aus dem Buch „The Pleasure of X“ von einem der besten Mathematiklehrer der Welt, Steven Strogatz, herausgegeben von Mann, Ivanov und Ferber.

Im Frühling, schrieb Tennyson, verwandelt sich die Fantasie des jungen Mannes leicht in Liebesgedanken. Leider kann ein potenzieller Partner eines jungen Mannes seine eigenen Vorstellungen von Liebe haben, und dann wird ihre Beziehung voller turbulenter Höhen und Tiefen sein, die die Liebe so aufregend und so schmerzhaft machen. Einige Betroffene der Unerwiderten suchen eine Erklärung für diese Liebesschwankungen im Wein, andere - in der Poesie. Und wir werden uns mit den Berechnungen beraten.

Die folgende Analyse wird spöttisch ironisch sein, aber sie berührt ernste Themen. Außerdem, wenn uns das Verständnis der Gesetze der Liebe entgehen kann, dann sind die Gesetze der unbelebten Welt jetzt gut studiert. Sie haben die Form von Differentialgleichungen, die beschreiben, wie sich zusammenhängende Variablen von Moment zu Moment in Abhängigkeit von ihren aktuellen Werten ändern. Solche Gleichungen haben vielleicht nicht viel mit Romantik zu tun, aber zumindest können sie Aufschluss darüber geben, warum, mit den Worten eines anderen Dichters, „der Weg der wahren Liebe nie glatt war“. Um die Methode der Differentialgleichungen zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass Romeo Julia liebt, aber in unserer Version der Geschichte ist Julia ein windiger Schatz. Je mehr Romeo sie liebt, desto mehr will sie sich vor ihm verstecken. Aber als Romeo ihr gegenüber abkühlt, beginnt er ihr ungewöhnlich attraktiv zu erscheinen. Der junge Liebhaber neigt jedoch dazu, ihre Gefühle zu reflektieren: Er strahlt, wenn sie ihn liebt, und kühlt ab, wenn sie ihn hasst.

Was passiert mit unseren unglücklichen Liebhabern? Wie nimmt die Liebe sie auf und verlässt sie im Laufe der Zeit? Hier hilft die Differentialrechnung. Indem wir Gleichungen aufstellen, die das Wachsen und Schwinden der Gefühle von Romeo und Julia zusammenfassen, und sie dann lösen, können wir den Verlauf der Beziehung des Paares vorhersagen. Die endgültige Prognose für sie wird ein tragisch endloser Kreislauf von Liebe und Hass sein. Mindestens ein Viertel dieser Zeit werden sie gegenseitige Liebe haben.

Um zu dieser Schlussfolgerung zu kommen, nahm ich an, dass Romeos Verhalten mit einer Differentialgleichung modelliert werden könnte,

der beschreibt, wie sich seine Liebe ® im nächsten Moment verändert (dt). Gemäß dieser Gleichung ist die Anzahl der Änderungen (dR) direkt proportional (mit einem Proportionalitätsfaktor a) zu Julias Liebe (J). Diese Beziehung spiegelt wider, was wir bereits wissen: Romeos Liebe nimmt zu, wenn Julia ihn liebt, aber es deutet auch darauf hin, dass Romeos Liebe direkt proportional dazu wächst, wie sehr Julia ihn liebt. Diese Annahme eines linearen Zusammenhangs ist emotional nicht plausibel, ermöglicht aber eine starke Vereinfachung der Lösung der Gleichung.

Im Gegensatz dazu kann Julias Verhalten mithilfe der Gleichung modelliert werden

Das Minuszeichen vor dem konstanten b spiegelt wider, dass ihre Liebe abkühlt, während Romeos Liebe intensiver wird.

Das einzige, was noch zu bestimmen ist, sind ihre anfänglichen Gefühle (dh die Werte von R und J zum Zeitpunkt t = 0). Danach werden alle notwendigen Parameter eingestellt. Wir können einen Computer verwenden, um uns langsam Schritt für Schritt vorwärts zu bewegen und die Werte von R und J gemäß den oben beschriebenen Differentialgleichungen zu ändern. Tatsächlich können wir mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Integralrechnung die Lösung analytisch finden. Da das Modell einfach ist, produziert die Integralrechnung ein paar erschöpfende Formeln, die uns sagen, wie sehr Romeo und Julia sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft lieben (oder hassen) werden.

Physikstudenten dürften die oben vorgestellten Differentialgleichungen bekannt sein: Romeo und Julia verhalten sich wie einfache harmonische Oszillatoren. Daher sagt das Modell voraus, dass die Funktionen R (t) und J (t), die die Änderung ihrer Beziehung im Laufe der Zeit beschreiben, Sinuskurven sein werden, von denen jede zunimmt und abnimmt, aber ihre Maximalwerte stimmen nicht überein.

„Die dumme Idee, eine Liebesbeziehung mit Differentialgleichungen zu beschreiben, kam mir, als ich zum ersten Mal verliebt war und versuchte, das unverständliche Verhalten meiner Freundin zu verstehen.“

Das Modell kann in vielerlei Hinsicht realistischer gemacht werden. Beispielsweise reagiert Romeo möglicherweise nicht nur auf Julias Gefühle, sondern auch auf seine eigenen. Was ist, wenn er einer dieser Typen ist, die so viel Angst davor haben, verlassen zu werden, dass er seine Gefühle abkühlen wird? Oder bezieht sich auf eine andere Art von Typen, die es lieben zu leiden – deshalb liebt er sie.

Fügen Sie diesen Szenarien zwei weitere Verhaltensweisen von Romeo hinzu – er reagiert auf Julias Zuneigung, indem er entweder seine eigene Zuneigung verstärkt oder schwächt – und Sie werden sehen, dass es in Liebesbeziehungen vier verschiedene Verhaltensweisen gibt. Meine Schüler und die Schüler von Peter Christophers Gruppe am Worcester Polytechnic Institute schlugen vor, diese Typen wie folgt zu benennen: Der Einsiedler oder bösartige Menschenfeind für den Romeo, der seine Gefühle kühlt und sich von Julia zurückzieht, und der narzisstische Idiot und kokette Fink für denjenigen, der sich aufwärmt seine Begeisterung, aber von Julia abgelehnt. (Sie können sich für alle diese Typen eigene Namen einfallen lassen.)

Obwohl die angegebenen Beispiele fantastisch sind, sind die Arten von Gleichungen, die sie beschreiben, sehr informativ. Sie sind die mächtigsten Werkzeuge, die jemals von der Menschheit geschaffen wurden, um die materielle Welt zu verstehen. Sir Isaac Newton verwendete Differentialgleichungen, um die Geheimnisse der Planetenbewegung zu entdecken. Mit Hilfe dieser Gleichungen kombinierte er die terrestrische und die himmlische Sphäre und zeigte, dass für beide die gleichen Bewegungsgesetze gelten.

Fast 350 Jahre nach Newton verstand die Menschheit, dass die Gesetze der Physik immer in der Sprache der Differentialgleichungen ausgedrückt werden. Das gilt für die Gleichungen, die die Strömungen von Wärme, Luft und Wasser beschreiben, für die Gesetze der Elektrizität und des Magnetismus, sogar für das Atom, wo die Quantenmechanik regiert.

In allen Fällen muss die theoretische Physik die richtigen Differentialgleichungen finden und lösen. Als Newton diesen Schlüssel zu den Geheimnissen des Universums entdeckte und seine große Bedeutung erkannte, veröffentlichte er ihn als lateinisches Anagramm. In freier Übersetzung klingt es so: "Es ist nützlich, Differentialgleichungen zu lösen."

Die dumme Idee, Liebesbeziehungen mit Differentialgleichungen zu beschreiben, kam mir, als ich zum ersten Mal verliebt war und versuchte, das unverständliche Verhalten meiner Freundin zu verstehen. Es war eine Sommerromanze am Ende meines zweiten Jahres am College. Ich erinnerte mich damals sehr an den ersten Romeo, und sie war die erste Julia. Die zyklische Natur unserer Beziehung machte mich wahnsinnig, bis mir klar wurde, dass wir beide aus Trägheit handelten, in Übereinstimmung mit der einfachen Regel des „Push-Pull“. Aber am Ende des Sommers begann meine Gleichung auseinanderzufallen, und ich war noch verwirrter. Es stellte sich heraus, dass es ein wichtiges Ereignis gab, das ich nicht berücksichtigt hatte: Ihr ehemaliger Liebhaber wollte sie zurück.

In der Mathematik nennen wir ein solches Problem das Dreikörperproblem. Es ist offensichtlich unlösbar, besonders im Zusammenhang mit der Astronomie, wo es zuerst auftauchte. Nachdem Newton die Differentialgleichungen für das Zwei-Körper-Problem gelöst hatte (was erklärt, warum sich die Planeten auf elliptischen Bahnen um die Sonne bewegen), wandte er sich dem Drei-Körper-Problem für Sonne, Erde und Mond zu. Weder er noch andere Wissenschaftler konnten es lösen. Später stellte sich heraus, dass das Problem der drei Körper die Keime des Chaos enthält, das heißt, ihr Verhalten ist auf lange Sicht unvorhersehbar.

Newton wusste nichts über die Dynamik des Chaos, aber laut seinem Freund Edmund Halley beklagte er sich darüber, dass ihm das Drei-Körper-Problem Kopfschmerzen bereitete und ihn so oft wach hielt, dass er nie wieder daran denken würde.

Hier bin ich bei Ihnen, Sir Isaac.

Dieses Buch wird gut ergänzt durch:

Quanten

Scott Patterson

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Flexibler Verstand

Carol Dweck

Die Physik der Börse

James Weatherall

Die Freude an X

Eine geführte Tour durch Mathematik, von Eins bis Unendlich

Stefan Strogatz

Freude aus X

Eine spannende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt

Angaben des Herausgebers

Erstmals in russischer Sprache erschienen

Veröffentlicht mit freundlicher Genehmigung von Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

Freude aus X. Eine spannende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt / Stephen Strogatz; pro. aus dem Englischen. - M.: Mann, Ivanov und Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Dieses Buch kann Ihre Einstellung zur Mathematik radikal verändern. Es besteht aus kurzen Kapiteln, in denen Sie jeweils etwas Neues entdecken werden. Sie werden lernen, wie nützlich Zahlen sind, um die Welt um Sie herum zu studieren, die Schönheit der Geometrie verstehen, sich mit der Eleganz der Integralrechnung vertraut machen, die Bedeutung der Statistik erkennen und mit der Unendlichkeit in Berührung kommen. Der Autor erklärt grundlegende mathematische Ideen einfach und elegant und gibt brillante Beispiele, die jeder verstehen kann.

Kein Teil dieses Buches darf ohne die schriftliche Genehmigung der Urheberrechtsinhaber in irgendeiner Form reproduziert werden.

Rechtliche Betreuung des Verlages durch die Anwaltskanzlei „Vegas-Lex“

Vorwort

Ich habe einen Freund, der trotz seines Berufes (er ist Künstler) eine Leidenschaft für Wissenschaft hat. Wann immer wir uns treffen, spricht er begeistert über die neuesten Entwicklungen in der Psychologie oder der Quantenmechanik. Aber sobald wir über Mathematik sprechen, spürt er ein Zittern in seinen Knien, was ihn sehr aufregt. Er beklagt sich darüber, dass ihm diese seltsamen mathematischen Symbole nicht nur trotzen, sondern dass er manchmal nicht einmal weiß, wie man sie ausspricht.

Tatsächlich liegt der Grund für seine Abneigung gegen Mathematik viel tiefer. Er wird nie verstehen, was Mathematiker im Allgemeinen tun und was sie meinen, wenn sie sagen, dass dieser Beweis elegant ist. Manchmal scherzen wir, dass ich mich einfach hinsetzen und anfangen sollte, ihn von den Grundlagen an zu unterrichten, buchstäblich von 1 + 1 = 2, und mich so viel wie möglich mit Mathematik befassen.

Und obwohl diese Idee verrückt erscheint, werde ich versuchen, sie in diesem Buch umzusetzen. Ich werde Sie durch alle großen Wissenschaftszweige führen, von der Arithmetik bis zur fortgeschrittenen Mathematik, damit diejenigen, die eine zweite Chance wollten, sie endlich nutzen können. Und dieses Mal müssen Sie sich nicht an Ihren Schreibtisch setzen. Dieses Buch macht Sie nicht zu einem Experten in Mathematik. Aber es wird helfen zu verstehen, was diese Disziplin untersucht und warum sie für diejenigen, die sie verstehen, so aufregend ist.

Wir werden lernen, wie Michael Jordans Slam Dunks helfen können, die Grundlagen der Analysis zu erklären. Ich zeige Ihnen einen einfachen und erstaunlichen Weg, um den fundamentalen Satz der euklidischen Geometrie zu verstehen - den Satz des Pythagoras. Wir werden versuchen, einigen großen und kleinen Geheimnissen des Lebens auf den Grund zu gehen: Hat Jay Simpson seine Frau getötet? wie man die Matratze verlagert, damit sie so lange wie möglich hält; wie viele Partner gewechselt werden müssen, bevor eine Hochzeit gespielt wird - und wir werden sehen, warum einige Unendlichkeiten größer sind als andere.

Mathematik ist überall, man muss nur lernen, sie zu erkennen. Sie können die Sinuskurve auf dem Rücken eines Zebras sehen, Sie können Echos von Euklids Theoremen in der Unabhängigkeitserklärung hören; Was soll ich sagen, selbst in den trockenen Berichten, die dem Ersten Weltkrieg vorausgingen, gibt es negative Zahlen. Sie können auch sehen, wie neue Bereiche der Mathematik unser Leben heute beeinflussen, wenn wir zum Beispiel Restaurants per Computer suchen oder versuchen, die erschreckenden Schwankungen an den Aktienmärkten zumindest zu verstehen oder besser noch zu überleben.

Ende Januar 2010 ist eine Serie von 15 Artikeln unter dem allgemeinen Titel "Grundlagen der Mathematik" online erschienen. Als Reaktion auf ihre Veröffentlichung gingen Briefe und Kommentare von Lesern aller Altersgruppen ein, darunter viele Schüler und Lehrer. Es gab auch einfach neugierige Menschen, die sich aus dem einen oder anderen Grund im Verständnis der mathematischen Wissenschaft „verirrt“ haben; Jetzt haben sie das Gefühl, etwas verpasst zu haben. Über und würde es gerne nochmal versuchen. Besonders gefreut hat mich die Dankbarkeit meiner Eltern dafür, dass sie mit meiner Hilfe ihren Kindern die Mathematik erklären konnten und sie selbst anfingen, Mathematik besser zu verstehen. Es schien, dass sogar meine Kollegen und Kameraden, glühende Bewunderer dieser Wissenschaft, es genossen, die Artikel zu lesen, außer in den Momenten, in denen sie miteinander wetteiferten, um alle möglichen Empfehlungen zur Verbesserung meiner Nachkommen zu geben.

Entgegen der landläufigen Meinung besteht in der Gesellschaft ein klares Interesse an Mathematik, obwohl diesem Phänomen wenig Aufmerksamkeit geschenkt wird. Wir hören nur von der Angst vor der Mathematik, und doch würden viele gerne versuchen, sie besser zu verstehen. Und sobald dies passiert, wird es schwierig sein, sie abzureißen.

Dieses Buch führt Sie in die komplexesten und fortschrittlichsten Ideen aus der Welt der Mathematik ein. Die Kapitel sind kurz, leicht zu lesen und hängen nicht wirklich voneinander ab. Unter ihnen sind diejenigen, die in dieser ersten Artikelserie in der New York Times enthalten sind. Sobald Sie also einen leichten mathematischen Hunger verspüren, zögern Sie nicht, das nächste Kapitel in Angriff zu nehmen. Wenn Sie das Thema, das Sie interessiert, genauer verstehen möchten, finden Sie am Ende des Buches Hinweise mit zusätzlichen Informationen und Empfehlungen, was Sie sonst noch darüber lesen können.

Zur Erleichterung für Leser, die eine schrittweise Herangehensweise bevorzugen, habe ich das Material gemäß der traditionellen Themenreihenfolge in sechs Teile unterteilt.

Teil I „Zahlen“ beginnt unsere Reise mit dem Rechnen in Kindergarten und Grundschule. Es zeigt, wie nützlich Zahlen sein können und wie magisch sie die Welt um uns herum beschreiben.

Teil II „Verhältnisse“ verlagert die Aufmerksamkeit von den Zahlen selbst auf die Beziehungen zwischen ihnen. Diese Ideen stehen im Mittelpunkt der Algebra und sind die ersten Werkzeuge, um zu beschreiben, wie sich das eine auf das andere auswirkt, indem sie die kausale Beziehung einer Vielzahl von Dingen zeigen: Angebot und Nachfrage, Reiz und Reaktion – kurz gesagt, alle Arten von Beziehungen, die die Welt ausmachen so vielfältig und reich. .

In Teil III „Figuren“ geht es nicht um Zahlen und Symbole, sondern um Figuren und Raum – die Domäne der Geometrie und Trigonometrie. Diese Themen, zusammen mit der Beschreibung aller beobachtbaren Objekte durch Formen, mit Hilfe von logischem Denken und Beweisen, heben die Mathematik auf eine neue Ebene der Präzision.

In Teil IV „Zeit des Wandels“ werden wir uns mit der Infinitesimalrechnung befassen – dem beeindruckendsten und facettenreichsten Bereich der Mathematik. Calculus ermöglicht es, die Flugbahn der Planeten und die Gezeitenzyklen vorherzusagen und alle sich periodisch ändernden Prozesse und Phänomene im Universum und in uns zu verstehen und zu beschreiben. Ein wichtiger Platz in diesem Teil ist dem Studium der Unendlichkeit gewidmet, deren Befriedung ein Durchbruch war, der das Funktionieren von Berechnungen ermöglichte. Computer halfen, viele Probleme zu lösen, die in der Antike auftraten, und dies führte letztendlich zu einer Revolution in der Wissenschaft und der modernen Welt.

Teil V „Viele Gesichter von Daten“ beschäftigt sich mit Wahrscheinlichkeit, Statistik, Netzwerken und Datenverarbeitung – das sind noch relativ junge Felder, generiert durch die nicht immer geordneten Aspekte unseres Lebens, wie Chance und Glück, Ungewissheit, Risiko, Volatilität, Zufälligkeit , Interdependenz. Mit den richtigen mathematischen Werkzeugen und den richtigen Datentypen lernen wir, Muster in einem Strom von Zufälligkeiten zu erkennen.

Am Ende unserer Reise nähern wir uns in Teil VI „Die Grenzen des Möglichen“ den Grenzen des mathematischen Wissens, dem Grenzbereich zwischen dem bereits Bekannten und dem noch Flüchtigen und Unbekannten. Wir werden die Themen noch einmal in der uns bekannten Reihenfolge durchgehen: Zahlen, Verhältnisse, Formen, Veränderungen und Unendlichkeit - aber gleichzeitig werden wir jedes von ihnen in seiner modernen Inkarnation eingehender betrachten.

Die Freude an X

Eine geführte Tour durch Mathematik, von Eins bis Unendlich

Veröffentlicht mit freundlicher Genehmigung von Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil der elektronischen Version dieses Buches darf ohne die schriftliche Genehmigung des Urheberrechtsinhabers in irgendeiner Form oder mit irgendwelchen Mitteln, einschließlich der Veröffentlichung im Internet und in Unternehmensnetzwerken, für den privaten oder öffentlichen Gebrauch reproduziert werden.

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Scott Patterson

Brainiac

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Carol Dweck

Die Physik der Börse

James Weatherall

Vorwort

Um zu verdeutlichen, was ich mit dem Leben der Zahlen und ihrem Verhalten meine, das wir nicht kontrollieren können, gehen wir zurück zum Furry Paws Hotel. Angenommen, Humphrey wollte gerade die Bestellung ausliefern, aber dann riefen ihn unerwartet die Pinguine aus einem anderen Raum und baten um die gleiche Menge Fisch. Wie oft muss Humphrey das Wort „Fisch“ rufen, nachdem er zwei Befehle erhalten hat? Wenn er nichts von Zahlen wüsste, müsste er so oft schreien, wie es in beiden Räumen totale Pinguine gibt. Oder er könnte dem Koch anhand von Zahlen erklären, dass er für eine Zahl sechs Fische brauchte und für eine andere sechs. Aber was er wirklich braucht, ist ein neues Konzept: Addition. Wenn er es gemeistert hat, wird er stolz sagen, dass er sechs plus sechs (oder, wenn er ein Angeber ist, zwölf) Fische braucht.

Das ist derselbe kreative Prozess wie damals, als wir uns gerade Zahlen ausgedacht haben. So wie Zahlen das Zählen einfacher machen, als sie einzeln aufzulisten, erleichtert die Addition die Berechnung beliebiger Beträge. Gleichzeitig entwickelt sich der Rechnende zum Mathematiker. Wissenschaftlich lässt sich dieser Gedanke wie folgt formulieren: Die Verwendung der richtigen Abstraktionen führt zu tieferer Einsicht in die Essenz der Frage und zu größerer Lösungskraft.

Bald wird vielleicht sogar Humphrey erkennen, dass er jetzt immer zählen kann.

Doch trotz einer solch endlosen Perspektive hat unsere Kreativität immer einige Grenzen. Wir können entscheiden, was wir mit 6 und + meinen, aber sobald wir das tun, sind die Ergebnisse von Ausdrücken wie 6 + 6 außerhalb unserer Kontrolle. Die Logik lässt uns hier keine Wahl. Mathematik beinhaltet in diesem Sinne immer sowohl Erfindung, so und Entdeckung: wir erfinden Konzepte, aber offen ihre Folgen. Wie in den folgenden Kapiteln deutlich werden wird, liegt unsere Freiheit in der Mathematik in der Fähigkeit, Fragen zu stellen und darauf beharrlich Antworten zu suchen, ohne sie jedoch selbst zu erfinden.

2. Steinrechnung

Wie jedes Phänomen im Leben hat das Rechnen zwei Seiten: formal und unterhaltsam (oder spielerisch).

Den formalen Teil haben wir in der Schule gelernt. Dort erklärten sie uns, wie man mit Zahlenkolonnen arbeitet, sie addiert und subtrahiert, wie man sie beim Rechnen in Tabellenkalkulationen beim Ausfüllen von Steuererklärungen und Erstellen von Jahresabschlüssen schaufelt. Diese Seite des Rechnens erscheint vielen praktisch wichtig, aber völlig düster.

Die unterhaltsame Seite der Arithmetik lernt man erst im Studium der höheren Mathematik kennen. {3}. Sie ist jedoch so natürlich wie die Neugier eines Kindes. {4}.

In dem Aufsatz "The Mathematician's Lament" schlägt Paul Lockhart vor, Zahlen mit spezifischeren Beispielen als üblich zu studieren: Er bittet uns, sie in Form einer Reihe von Steinen darzustellen. Zum Beispiel entspricht die Zahl 6 dem folgenden Satz von Kieselsteinen:

Sie werden hier kaum etwas Ungewöhnliches sehen. Wie es ist. Bis wir anfangen, Zahlen zu manipulieren, sehen sie ziemlich gleich aus. Das Spiel beginnt, wenn wir eine Aufgabe erhalten.

Schauen wir uns zum Beispiel Sets mit 1 bis 10 Steinen an und versuchen, Quadrate daraus zu machen. Dies kann nur mit zwei Sätzen von 4 und 9 Steinen erfolgen, da 4 = 2 × 2 und 9 = 3 × 3. Wir erhalten diese Zahlen, indem wir eine andere Zahl quadrieren (d. h. die Steine quadrieren).

Hier ist ein Problem, das eine größere Anzahl von Lösungen hat: Sie müssen herausfinden, welche Sets ein Rechteck ergeben, wenn Sie die Steine in zwei Reihen mit gleicher Anzahl von Elementen anordnen. Hier eignen sich Sets mit 2, 4, 6, 8 oder 10 Steinen; die Zahl muss gerade sein. Wenn wir versuchen, die restlichen Sets mit einer ungeraden Anzahl von Steinen in zwei Reihen anzuordnen, dann haben wir immer einen zusätzlichen Stein.

Aber für diese unbequemen Zahlen ist noch nicht alles verloren! Wenn wir zwei solche Mengen nehmen, dann finden die zusätzlichen Elemente ein Paar für sich selbst, und die Summe ist gerade: eine ungerade Zahl + eine ungerade Zahl = eine gerade Zahl.

Wenn wir diese Regeln auf Zahlen nach 10 erweitern und bedenken, dass die Anzahl der Zeilen in einem Rechteck mehr als zwei sein kann, dann erlauben einige ungerade Zahlen das Hinzufügen solcher Rechtecke. Zum Beispiel würde die Zahl 15 ein 3×5-Rechteck ergeben.

Obwohl 15 zweifellos eine ungerade Zahl ist, ist sie daher eine zusammengesetzte Zahl und kann als drei Reihen mit jeweils fünf Steinen dargestellt werden. Ebenso erzeugt jeder Eintrag in der Einmaleins-Tabelle seine eigene rechteckige Gruppe von Kieselsteinen.

Aber einige Zahlen, wie 2, 3, 5 und 7, sind völlig hoffnungslos. Nichts kann aus ihnen ausgelegt werden, außer sie in Form einer einfachen Linie (einer Reihe) anzuordnen. Diese seltsamen Sturköpfe sind berühmte Primzahlen.

Wir sehen also, dass Zahlen bizarre Strukturen haben können, die ihnen einen bestimmten Charakter verleihen. Aber um sich die ganze Bandbreite ihres Verhaltens vorzustellen, muss man von einzelnen Zahlen zurücktreten und beobachten, was während ihrer Interaktion passiert.

Anstatt beispielsweise nur zwei ungerade Zahlen zu addieren, fügen wir alle möglichen Folgen von ungeraden Zahlen hinzu, beginnend bei 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Überraschenderweise stellen sich diese Summen immer als perfekte Quadrate heraus. (Wir haben bereits darüber gesprochen, wie 4 und 9 als Quadrate dargestellt werden können, und das gilt auch für 16 = 4 × 4 und 25 = 5 × 5.) Eine schnelle Rechnung zeigt, dass diese Regel auch für größere ungerade Zahlen gilt und scheinbar tendiert zur Unendlichkeit. Aber was ist der Zusammenhang zwischen ungeraden Zahlen mit ihren "zusätzlichen" Steinen und klassisch symmetrischen Zahlen, die Quadrate bilden? Indem wir die Steine richtig platzieren, können wir es deutlich machen, was das Markenzeichen eines eleganten Beweises ist. {5}

Der Schlüssel dazu wird die Beobachtung sein, dass ungerade Zahlen als gleichseitige Ecken dargestellt werden können, deren sukzessives Aufeinanderlegen ein Quadrat ergibt!

Eine ähnliche Argumentationsweise wird in einem anderen kürzlich veröffentlichten Buch vorgestellt. Yoko Ogawas bezaubernder Roman „Die Haushälterin und der Professor“ handelt von einer schlauen, aber ungebildeten jungen Frau und ihrem zehnjährigen Sohn. Eine Frau wurde eingestellt, um einen älteren Mathematiker zu pflegen, der aufgrund einer Kopfverletzung nur noch Informationen über die letzten 80 Minuten seines Lebens in seinem Kurzzeitgedächtnis behält. Verloren in der Gegenwart, allein in seinem heruntergekommenen Häuschen mit nichts als Zahlen, versucht der Professor, mit der Haushälterin auf die einzige Art und Weise zu kommunizieren, die er kennt: Er fragt nach ihrer Schuhgröße oder ihrem Geburtsdatum und unterhält sich mit ihr über ihre Ausgaben . Der Professor hat auch eine besondere Vorliebe für den Sohn der Haushälterin, den er Ruth (Wurzel - Wurzel) nennt, weil der Junge oben einen flachen Kopf hat, was ihn an die Schreibweise der Quadratwurzel √ in der Mathematik erinnert.

Eines Tages gibt der Professor dem Jungen eine einfache Aufgabe – die Summe aller Zahlen von 1 bis 10 zu finden. Nachdem Ruth alle Zahlen sorgfältig addiert hat und mit der Antwort (55) zurückkommt, bittet der Professor ihn, nach einem zu suchen einfacher Weg. Kann er die Antwort finden ohne einfache Addition von Zahlen? Ruth tritt gegen einen Stuhl und schreit: "Das ist nicht fair!"

Nach und nach wird auch die Haushälterin in die Welt der Zahlen hineingezogen und versucht heimlich, dieses Problem selbst zu lösen. „Ich verstehe nicht, warum ich mich so von einem Kinderpuzzle mitreißen ließ, das keinen praktischen Nutzen hat“, sagt sie. „Zuerst wollte ich dem Professor gefallen, aber allmählich entwickelte sich diese Aktivität zu einem Kampf zwischen mir und Zahlen. Als ich morgens aufwachte, wartete schon die Gleichung auf mich:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

25. Juli 2017

Das Vergnügen von X. Eine spannende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt Stefan Strogatz

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Titel: The Pleasure of X. Eine faszinierende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt

Über The Pleasure of X. Eine aufregende mathematische Reise von einem der weltbesten Lehrer von Stephen Strogatz

Erstmals in russischer Sprache erschienen.

Auf unserer Seite über Bücher lifeinbooks.net können Sie das Buch „Das Vergnügen von X. Eine faszinierende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt“ von Stephen Strogatz kostenlos ohne Registrierung herunterladen oder online lesen. fb2-, txt-, rtf- und pdf-Formate für iPad, iPhone, Android und Kindle. Das Buch wird Ihnen viele angenehme Momente und ein wahres Lesevergnügen bereiten. Die Vollversion können Sie bei unserem Partner kaufen. Außerdem finden Sie hier die neuesten Nachrichten aus der Literaturwelt und erfahren die Biographie Ihrer Lieblingsautoren. Für Anfänger gibt es einen separaten Abschnitt mit nützlichen Tipps und Tricks sowie interessanten Artikeln, mit denen Sie sich im Schreiben versuchen können.

Dieses Buch wird gut ergänzt durch:

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Die Physik der Börse

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Die Freude an X

Eine geführte Tour durch Mathematik, von Eins bis Unendlich

Stefan Strogatz

Eine spannende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt

Angaben des Herausgebers

Erstmals in russischer Sprache erschienen

Veröffentlicht mit freundlicher Genehmigung von Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

The Pleasure of X. Eine spannende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt / Steven Strogatz; pro. aus dem Englischen. - M.: Mann, Ivanov und Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Kein Teil dieses Buches darf ohne die schriftliche Genehmigung der Urheberrechtsinhaber in irgendeiner Form reproduziert werden.

Rechtliche Betreuung des Verlages durch die Anwaltskanzlei „Vegas-Lex“

Vorwort

Ende Januar 2010 ist eine Serie von 15 Artikeln unter dem allgemeinen Titel "Grundlagen der Mathematik" online erschienen. Als Reaktion auf ihre Veröffentlichung gingen Briefe und Kommentare von Lesern aller Altersgruppen ein, darunter viele Schüler und Lehrer. Es gab auch einfach neugierige Menschen, die sich aus dem einen oder anderen Grund im Verständnis der mathematischen Wissenschaft „verirrt“ haben; Jetzt haben sie das Gefühl, etwas verpasst zu haben und würden es gerne noch einmal versuchen. Besonders gefreut hat mich die Dankbarkeit meiner Eltern dafür, dass sie mit meiner Hilfe ihren Kindern die Mathematik erklären konnten und sie selbst anfingen, Mathematik besser zu verstehen. Es schien, dass sogar meine Kollegen und Kameraden, glühende Bewunderer dieser Wissenschaft, es genossen, die Artikel zu lesen, außer in den Momenten, in denen sie miteinander wetteiferten, um alle möglichen Empfehlungen zur Verbesserung meiner Nachkommen zu geben.

Zur Erleichterung für Leser, die eine schrittweise Herangehensweise bevorzugen, habe ich das Material gemäß der traditionellen Themenreihenfolge in sechs Teile unterteilt.

Teil I „Zahlen“ beginnt unsere Reise mit dem Rechnen in Kindergarten und Grundschule. Es zeigt, wie nützlich Zahlen sein können und wie magisch sie die Welt um uns herum beschreiben.

Ich hoffe, Sie finden alle Ideen in diesem Buch spannend und werden Sie dazu bringen, mehr als einmal „Gut, gut!“ zu sagen. Aber irgendwo muss man immer anfangen, also fangen wir mit einer einfachen, aber faszinierenden Aktion wie dem Zählen an.

1. Zahlengrundlagen: Fisch hinzufügen

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Vorwort

2. Steinrechnung

Über The Pleasure of X. Eine aufregende mathematische Reise von einem der weltbesten Lehrer von Stephen Strogatz

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