7. Klasse

„Identitäten. Identitätstransformation von Ausdrücken“.

Abdulkerimova Khadizhat Makhmudovna,

Mathematiklehrer

Unterrichtsziele

die Begriffe "identisch gleiche Ausdrücke", "Identität", "identische Transformationen" kennen und zunächst festigen;

Wege zum Nachweis von Identitäten zu erwägen, zur Entwicklung von Fähigkeiten zum Nachweis von Identitäten beizutragen;

die Aufnahme des behandelten Materials durch die Studenten zu überprüfen, die Fähigkeit zu entwickeln, das Gelernte für die Wahrnehmung des Neuen anzuwenden.

Unterrichtstyp: neuen Stoff lernen

Ausrüstung : Tafel, Lehrbuch, Arbeitsbuch.

P lan Lektion

Zeit organisieren

Überprüfung der Hausaufgaben

Wissensaktualisierung

Das Studium neuen Materials (Einführung und primäre Vertiefung der Begriffe "Identität", "identische Transformationen").

Übungsaufgaben (Bildung der Begriffe "Identität", "identische Transformationen").

Reflexion des Unterrichts (Fassung der im Unterricht erhaltenen theoretischen Informationen).

Hausaufgabennachricht (Erklären Sie den Inhalt der Hausaufgaben)

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

II . Überprüfung der Hausaufgaben (Vorderseite)

III . Wissensaktualisierung.

Nennen Sie ein Beispiel für einen numerischen Ausdruck und einen Ausdruck mit Variablen

Vergleichen Sie die Werte der Ausdrücke x+3 und 3x bei x=-4; 1,5; 5

Durch welche Zahl kann man nicht teilen? (0)

Multiplikationsergebnis? (Arbeit)

Größte zweistellige Zahl? (99)

Was ist das Produkt von -200 bis 200? (0)

Das Ergebnis der Subtraktion. (Unterschied)

Wie viel Gramm in einem Kilogramm? (1000)

Kommutative Eigenschaft der Addition. (Die Summe ändert sich durch die Umordnung der Stellen der Terme nicht)

Kommutativgesetz der Multiplikation. (Das Produkt ändert sich nicht durch die Permutation der Stellen der Faktoren)

Assoziativgesetz der Addition. (Um eine Zahl zur Summe zweier Zahlen zu addieren, können Sie die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren.)

Assoziativgesetz der Multiplikation. (um das Produkt zweier Zahlen mit der dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren)

Verteilungseigenschaft. (Um eine Zahl mit der Summe zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit jedem Term multiplizieren und die Ergebnisse addieren.)

IV. Erklärung zum neuen Thema:

Finde den Wert der Ausdrücke bei x=5 und y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Wir haben das gleiche Ergebnis. Aus der Verteilungseigenschaft folgt, dass im Allgemeinen für alle Werte der Variablen die Werte der Ausdrücke 3(x + y) und 3x + 3y gleich sind.

Betrachten Sie nun die Ausdrücke 2x + y und 2xy. Für x=1 und y=2 nehmen sie gleiche Werte an:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Sie können jedoch x- und y-Werte so angeben, dass die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Zum Beispiel, wenn x=3, y=4, dann

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Definition: Zwei Ausdrücke, deren Werte für beliebige Werte der Variablen gleich sind, werden als identisch gleich bezeichnet.

Die Ausdrücke 3(x+y) und 3x+3y sind identisch gleich, aber die Ausdrücke 2x+y und 2xy sind nicht identisch gleich.

Die Gleichheit 3(x + y) und 3x + 3y gilt für beliebige Werte von x und y. Solche Gleichheiten werden Identitäten genannt.

Definition: Eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Variablen gilt, nennt man Identität.

Echte numerische Gleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet. Wir haben uns bereits mit Identitäten getroffen. Identitäten sind Gleichheiten, die die grundlegenden Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen ausdrücken (Schüler kommentieren jede Eigenschaft, indem sie sie aussprechen).

a + b = b + a ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Andere Beispiele für Identitäten können angegeben werden (Die Schüler kommentieren jede Eigenschaft und sprechen sie aus).

ein + 0 = ein

ein * 1 = ein

a + (-a) = 0

a * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Definition: Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen ihm identischen Ausdruck wird als identische Transformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet.

Lehrer:

Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Operationen auf Zahlen durchgeführt.

Identitätstransformationen von Ausdrücken werden häufig verwendet, um die Werte von Ausdrücken zu berechnen und andere Probleme zu lösen. Sie mussten bereits einige identische Transformationen durchführen, z. B. Reduzierung ähnlicher Begriffe, Erweiterung von Klammern. Erinnern Sie sich an die Regeln für diese Transformationen:

Studenten:

Um ähnliche Terme zu erhalten, müssen ihre Koeffizienten addiert und das Ergebnis mit dem gemeinsamen Buchstabenteil multipliziert werden.

Wenn vor den Klammern ein Pluszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, wobei das Vorzeichen jedes in Klammern eingeschlossenen Begriffs beibehalten wird;

Wenn vor den Klammern ein Minuszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, indem das Vorzeichen jedes in Klammern eingeschlossenen Begriffs geändert wird.

Lehrer:

Beispiel 1. Wir präsentieren ähnliche Begriffe

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Welche Regel haben wir verwendet?

Student:

Wir haben die Regel der Reduktion gleicher Terme verwendet. Diese Transformation basiert auf dem Verteilungsgesetz der Multiplikation.

Lehrer:

Beispiel 2. Erweitern Sie die Klammern im Ausdruck 2a + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Wir haben die Regel der öffnenden Klammern mit vorangestelltem Pluszeichen angewendet.

Student:

Die durchgeführte Transformation basiert auf der assoziativen Eigenschaft der Addition.

Lehrer:

Beispiel 3. Öffnen wir die Klammern im Ausdruck a - (4b- c) =a – 4 b + c

Wir haben die Regel der öffnenden Klammern verwendet, denen ein Minuszeichen vorangestellt ist.

Auf welcher Eigenschaft basiert diese Transformation?

Student:

Die durchgeführte Transformation basiert auf dem Distributivgesetz der Multiplikation und dem Assoziativgesetz der Addition.

v . Übungen machen.

№85 Mündlich

№86 Mündlich

№88 Mündlich

№93

№94

№90av

№96

№97

VI . Unterrichtsreflexion .

Der Lehrer stellt Fragen und die Schüler beantworten sie nach Belieben.

Welche zwei Ausdrücke heißen identisch gleich? Nenne Beispiele.

Welche Gleichheit heißt Identität? Gib ein Beispiel.

Welche identischen Transformationen kennen Sie?

VII . Hausaufgaben . S.5, Nr. 95, 98.100 (a, c)

Unterrichtsinhalt

Potenzieren eines Binoms

Ein Binom ist ein Polynom, das zwei Terme hat. In den vorherigen Lektionen haben wir das Binom in die zweite und dritte Potenz erhoben und dadurch die abgekürzten Multiplikationsformeln erhalten:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Aber das Binomial kann nicht nur in die zweite und dritte Potenz, sondern auch in die vierte, fünfte oder höhere Potenz erhoben werden.

Lassen Sie uns zum Beispiel ein Binomial erstellen a+b bis zum vierten Grad:

(a+b) 4

Wir stellen diesen Ausdruck als Produkt eines Binoms dar a+b und der Würfel desselben Binoms

(a+b)(a+b) 3

Faktor ( a+b) 3 kann durch die rechte Seite der Kubikformel der Summe zweier Ausdrücke ersetzt werden. Dann bekommen wir:

(a+b)(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3)

Und das ist die übliche Multiplikation von Polynomen. Führen wir es aus:

Das heißt, bei der Konstruktion eines Binoms a+b Polynom zur vierten Potenz a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

Konstruktion eines Binoms a+b zur vierten Potenz können Sie auch dies tun: den Ausdruck darstellen ( a+b) 4 als Potenzprodukt (a+b) 2 (a+b) 2

(a+b) 2 (a+b) 2

Aber der Ausdruck ( a+b) 2 ist gleich a 2 + 2ab + b 2 . Lassen Sie uns im Ausdruck ersetzen (a+b) 2 (a+b) 2 Polynomsummenquadrate a 2 + 2ab + b 2

(a 2 + 2ab + b 2)(a 2 + 2ab + b 2)

Und das ist wieder die übliche Multiplikation von Polynomen. Führen wir es aus. Wir erhalten dasselbe Ergebnis wie zuvor:

Ein Trinom potenzieren

Ein Trinom ist ein Polynom, das drei Terme hat. Zum Beispiel der Ausdruck a+b+c ist ein Trinom.

Manchmal kann das Problem auftreten, ein Trinom zu potenzieren. Lassen Sie uns zum Beispiel das Trinom quadrieren a+b+c

(a+b+c) 2

Die beiden Begriffe in Klammern können in Klammern gesetzt werden. Zum Beispiel schließen wir die Summe a+ b in Klammern:

((a+b) + c) 2

In diesem Fall der Betrag a+b werden als ein Mitglied behandelt. Dann stellt sich heraus, dass wir kein Trinom, sondern ein Binom quadrieren. Summe a+b wird das erste Mitglied und das Mitglied sein c- das zweite Mitglied. Und wir wissen bereits, wie man ein Binom quadriert. Dazu können Sie die Formel für das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke verwenden:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Wenden wir diese Formel auf unser Beispiel an:

Auf die gleiche Weise kannst du ein Polynom quadrieren, das aus vier oder mehr Termen besteht. Lassen Sie uns zum Beispiel das Polynom quadrieren a+b+c+d

(a+b+c+d) 2

Wir stellen das Polynom als Summe zweier Ausdrücke dar: a+b und c + d. Schließen Sie sie dazu in Klammern ein:

((a+b) + (c + d)) 2

Nun verwenden wir die Formel für das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke:

Auswahl eines vollen Quadrats aus einem quadratischen Trinom

Eine andere identische Transformation, die beim Lösen von Problemen nützlich sein kann, ist die Auswahl eines vollen Quadrats aus einem quadratischen Trinom.

Ein Quadrattrinom ist ein Trinom zweiten Grades. Beispielsweise sind die folgenden Trinome quadratisch:

Die Idee, aus solchen Trinomen ein volles Quadrat zu extrahieren, besteht darin, das ursprüngliche quadratische Trinom als Ausdruck darzustellen ( a+b) 2 + c, wo ( a+b) 2 volles Quadrat, und c- ein numerischer oder wörtlicher Ausdruck.

Zum Beispiel wählen wir das volle Quadrat aus dem Trinom aus 4x 2 + 16x+ 19 .

Zuerst müssen Sie einen Ausdruck des Formulars erstellen a 2 + 2ab+ b 2 . Wir bauen es aus einem Trinom auf 4x 2 + 16x+ 19 . Lassen Sie uns zunächst entscheiden, welche Mitglieder die Rolle von Variablen spielen sollen a und b

Die Rolle der Variablen a Schwanz spielt 2 x, seit dem ersten Term des Trinoms 4x 2 + 16x+ 19 , nämlich 4 x 2 erhält man, wenn 2 x Quadrat:

(2x) 2 = 4x 2

Also die Variable a gleich 2 x

a = 2x

Jetzt kehren wir zum ursprünglichen Trinom zurück und achten sofort auf den Ausdruck 16 x. Dieser Ausdruck ist das Doppelte des Produkts des ersten Ausdrucks a(in unserem Fall ist es 2 x) und der zweite noch unbekannte Ausdruck b. Setzen Sie vorübergehend ein Fragezeichen an seine Stelle:

2×2 x × ? = 16x

Betrachten Sie den 2 × 2-Ausdruck genau x × ? = 16x , wird intuitiv klar, dass das Mitglied b in dieser Situation ist die Zahl 4, da der Ausdruck 2 × 2 x gleich 4 x, und 16 zu bekommen x muss 4 multiplizieren x um 4.

2×2 x × 4 = 16x

Daraus schließen wir, dass die Variable b gleich 4

b = 4

Unser vollständiges Quadrat wird also der Ausdruck sein (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

Jetzt sind wir bereit, das vollständige Quadrat aus dem Trinom zu extrahieren 4x 2 + 16x+ 19 .

Also zurück zum ursprünglichen Trinom 4x 2 + 16x+ 19 und versuchen Sie, das vollständige Quadrat, das wir erhalten haben, sorgfältig darin einzubetten (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

4x 2 + 16x+ 19 =

Statt 4 x 2 aufschreiben (2 x) 2

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x×4

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

Und jetzt schreiben wir Mitglied 19 so um, wie es ist:

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19

Lassen Sie uns nun darauf achten, dass das Polynom, das wir erhalten haben (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 nicht identisch mit dem ursprünglichen Trinom 4x 2 + 16x+ 19 . Sie können dies überprüfen, indem Sie das Polynom verwenden (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 zur Standardansicht:

(2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 = 4 x 2 + 16x + 4 2 + 19

Wir sehen, dass wir ein Polynom erhalten 4x 2 + 16x+ 4 2 + 19 , aber es hätte sich herausstellen müssen 4x 2 + 16x+ 19 . Dies liegt daran, dass der Term 4 2 künstlich in das ursprüngliche Trinom eingeführt wurde, um aus dem Trinom ein vollständiges Quadrat zu organisieren 4x 2 + 16x+ 19 .

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19

Jetzt der Ausdruck (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 kann reduziert werden, d. h. in der Form geschrieben werden ( a+b) 2 . In unserem Fall erhalten wir den Ausdruck (2 x+ 4) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19

Die restlichen Terme −4 2 und 19 können hinzugefügt werden. −4 2 ist −16 , also −16 + 19 = 3

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x+ 4) 2 + 3

Meint, 4x 2 + 16x+ 19 = (2x + 4) 2 + 3

Beispiel 2. Wählen Sie aus einem quadratischen Trinom ein volles Quadrat aus x 2 + 2x+ 2

Zuerst konstruieren wir einen Ausdruck des Formulars a 2 + 2 ab+b 2. Die Rolle der Variablen a in diesem Fall spielt x weil x 2 = x 2 .

Der nächste Term des ursprünglichen Trinoms 2 x umschreiben in Form eines doppelten Produkts des ersten Ausdrucks (das ist unsere x) und der zweite Ausdruck b(es wird 1 sein).

2× x× 1 = 2 x

Wenn ein b= 1 , dann ist der Ausdruck ein perfektes Quadrat x 2 + 2x+ 1 2 .

Gehen wir nun zurück zum ursprünglichen quadratischen Trinom und betten ein volles Quadrat darin ein x 2 + 2x+ 1 2

x 2 + 2x+ 2 = x 2 + 2x+ 1 2 − 1 2 + 2 = (x+ 1) 2 + 1

Wie im vorherigen Beispiel ist das Mitglied b(in diesem Beispiel ist es 1) wurde sofort nach der Addition subtrahiert, um den Wert des ursprünglichen Trinoms zu erhalten.

Betrachten Sie den folgenden numerischen Ausdruck:

9 + 6 + 2

Der Wert dieses Ausdrucks ist 17

9 + 6 + 2 = 17

Versuchen wir, in diesem numerischen Ausdruck ein ganzes Quadrat auszuwählen. Dazu konstruieren wir zunächst einen Ausdruck der Form a 2 + 2ab+ b 2 . Die Rolle der Variablen a in diesem Fall spielt die Zahl 3, da das erste Glied des Ausdrucks 9 + 6 + 2, nämlich 9, als 3 2 dargestellt werden kann.

Wir stellen den zweiten Term 6 als Doppelprodukt des ersten Terms 3 und des zweiten Terms 1 dar

2 x 3 x 1 = 6

Das ist eine Variable b wird gleich eins sein. Dann ist der Ausdruck 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 ein perfektes Quadrat. Implementieren wir es im ursprünglichen Ausdruck:

− 1 2 + 2

Wir reduzieren das vollständige Quadrat und fügen die Terme −1 2 und 2 hinzu:

3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Das Ergebnis ist (3 + 1) 2 + 2 , was immer noch 17 ist

(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17

Nehmen wir an, wir haben ein Quadrat und zwei Rechtecke. Ein Quadrat mit 3 cm Seitenlänge, ein Rechteck mit 2 cm und 3 cm Seitenlänge und ein Rechteck mit 1 cm und 2 cm Seitenlänge

Berechnen Sie die Fläche jeder Figur. Die Fläche des Quadrats beträgt 3 2 = 9 cm 2, die Fläche des rosa Rechtecks ​​2 × 3 = 6 cm 2, die Fläche des lila Rechtecks ​​1 × 2 = 2 cm 2

Schreiben Sie die Summe der Flächen dieser Rechtecke:

9 + 6 + 2

Dieser Ausdruck kann als Vereinigung eines Quadrats und zweier Rechtecke zu einer einzigen Figur verstanden werden:

Dann wird eine Figur erhalten, deren Fläche 17 cm 2 beträgt. Tatsächlich enthält die dargestellte Figur 17 Quadrate mit einer Seite von 1 cm.

Versuchen wir, aus der vorhandenen Figur ein Quadrat zu bilden. Und das größtmögliche Quadrat. Dazu verwenden wir Teile aus dem rosa und lila Rechteck.

Um das größtmögliche Quadrat aus der bestehenden Form zu bilden, können Sie das gelbe Quadrat unverändert lassen und die Hälfte des rosa Rechtecks ​​an der Unterseite des gelben Quadrats anbringen:

Wir sehen, dass noch ein Quadratzentimeter fehlt, bevor ein vollständiges Quadrat entsteht. Wir können es aus dem lila Rechteck entnehmen. Nehmen wir also ein Quadrat aus dem lila Rechteck und befestigen es an dem gebildeten großen Quadrat:

Schauen wir uns nun genauer an, was wir erreicht haben. Nämlich auf dem gelben Teil der Figur und dem rosa Teil, der das vorherige gelbe Quadrat wesentlich vergrößerte. Bedeutet dies nicht, dass es eine Seite des Quadrats von 3 cm gab und diese Seite um 1 cm vergrößert wurde, was letztendlich zu einer Vergrößerung der Fläche führte?

(3 + 1) 2

Der Ausdruck (3 + 1) 2 ist 16, weil 3 + 1 = 4 und 4 2 = 16 . Dasselbe Ergebnis erhält man mit der Formel für das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke:

(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

Tatsächlich enthält das resultierende Quadrat 16 Quadrate.

Das verbleibende eine Quadrat aus dem lila Rechteck kann an das resultierende große Quadrat angehängt werden. Schließlich ging es ursprünglich um eine einzelne Figur:

(3 + 1) 2 + 1

Das Anhängen eines kleinen Quadrats an ein vorhandenes großes Quadrat wird durch den Ausdruck (3 + 1) 2 + 1 beschrieben. Und das ist die Auswahl des vollen Quadrats aus dem Ausdruck 9 + 6 + 2

9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Der Ausdruck (3 + 1) 2 + 1 ist wie der Ausdruck 9 + 6 + 2 gleich 17 . Tatsächlich beträgt die Fläche der resultierenden Figur 17 cm 2.

Beispiel 4. Lassen Sie uns die Auswahl des vollen Quadrats aus dem quadratischen Trinom durchführen x 2 + 6x + 8

x 2 + 6x + 8 = x 2+2× x× 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = ( x + 3) 2 − 1

In einigen Beispielen beim Erstellen eines Ausdrucks a 2 + 2ab+ b 2 Es ist nicht möglich, die Werte von Variablen sofort zu bestimmen a und b .

Lassen Sie uns zum Beispiel die Extraktion eines vollen Quadrats aus einem quadratischen Trinom durchführen x 2 + 3x+ 2

Variable a entspricht x. Zweites Mitglied 3 x kann nicht als Doppelprodukt des ersten Ausdrucks und des zweiten dargestellt werden. In diesem Fall sollte der zweite Term mit 2 multipliziert werden, und damit sich der Wert des ursprünglichen Polynoms nicht ändert, sofort durch 2 teilen. Es wird so aussehen.

Gegeben seien zwei algebraische Ausdrücke:

Lassen Sie uns eine Tabelle mit den Werten jedes dieser Ausdrücke für verschiedene numerische Werte des Buchstabens x erstellen.

Wir sehen, dass sich für alle Werte, die dem Buchstaben x gegeben wurden, die Werte beider Ausdrücke als gleich herausstellten. Dasselbe gilt für jeden anderen Wert von x.

Um dies zu überprüfen, transformieren wir den ersten Ausdruck. Basierend auf dem Vertriebsgesetz schreiben wir:

Nachdem wir die angegebenen Operationen an den Zahlen durchgeführt haben, erhalten wir:

So stellte sich heraus, dass der erste Ausdruck nach seiner Vereinfachung genau derselbe war wie der zweite Ausdruck.

Nun ist klar, dass für jeden Wert von x die Werte beider Ausdrücke gleich sind.

Ausdrücke, deren Werte für alle Werte der darin enthaltenen Buchstaben gleich sind, werden als identisch gleich oder identisch bezeichnet.

Daher sind sie identische Ausdrücke.

Lassen Sie uns eine wichtige Bemerkung machen. Nehmen wir Ausdrücke:

Nachdem wir eine ähnliche Tabelle wie die vorherige zusammengestellt haben, stellen wir sicher, dass beide Ausdrücke für jeden Wert von x, außer für, gleiche numerische Werte haben. Erst wenn der zweite Ausdruck gleich 6 ist, verliert der erste seine Bedeutung, da der Nenner Null ist. (Denken Sie daran, dass Sie nicht durch Null dividieren können.) Können wir sagen, dass diese Ausdrücke identisch sind?

Wir haben zuvor vereinbart, dass jeder Ausdruck nur für zulässige Buchstabenwerte berücksichtigt wird, dh für diejenigen Werte, für die der Ausdruck seine Bedeutung nicht verliert. Das bedeutet, dass wir hier beim Vergleich zweier Ausdrücke nur diejenigen Buchstabenwerte berücksichtigen, die für beide Ausdrücke gültig sind. Daher müssen wir den Wert ausschließen. Und da für alle anderen Werte von x beide Ausdrücke denselben Zahlenwert haben, haben wir das Recht, sie als identisch zu betrachten.

Basierend auf dem Gesagten geben wir die folgende Definition identischer Ausdrücke:

1. Ausdrücke werden als identisch bezeichnet, wenn sie für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Buchstaben dieselben Zahlenwerte haben.

Wenn wir zwei identische Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen verbinden, dann erhalten wir eine Identität. Meint:

2. Eine Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Buchstaben gilt.

Identitäten sind uns schon früher begegnet. So sind zum Beispiel alle Gleichheiten Identitäten, mit denen wir die Grundgesetze der Addition und Multiplikation ausgedrückt haben.

Zum Beispiel Gleichheiten, die das Kommutativgesetz der Addition ausdrücken

und das Assoziativgesetz der Multiplikation

gelten für beliebige Buchstabenwerte. Daher sind diese Gleichheiten Identitäten.

Alle wahren arithmetischen Gleichheiten gelten auch als Identitäten, zum Beispiel:

In der Algebra muss man oft einen Ausdruck durch einen anderen ersetzen, der mit ihm identisch ist. Nehmen wir zum Beispiel an, es ist erforderlich, den Wert des Ausdrucks zu finden

Wir werden die Berechnungen erheblich erleichtern, wenn wir den gegebenen Ausdruck durch einen identischen Ausdruck ersetzen. Auf der Grundlage des Vertriebsgesetzes können wir schreiben:

Aber die Zahlen in Klammern ergeben zusammen 100. Wir haben also eine Identität:

Wenn wir 6,53 anstelle von a auf der rechten Seite davon einsetzen, finden wir sofort (in Gedanken) den numerischen Wert (653) dieses Ausdrucks.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen identischen Ausdruck wird als identische Transformation dieses Ausdrucks bezeichnet.

Denken Sie daran, dass jeder algebraische Ausdruck für alle zulässigen Werte von Buchstaben einige ist

Nummer. Daraus folgt, dass alle Gesetze und Eigenschaften arithmetischer Operationen, die im vorigen Kapitel angegeben wurden, auf algebraische Ausdrücke anwendbar sind. Die Anwendung der Gesetze und Eigenschaften arithmetischer Operationen wandelt also einen gegebenen algebraischen Ausdruck in einen Ausdruck um, der mit ihm identisch ist.

Im Laufe des Studiums der Algebra sind wir auf die Begriffe Polynom (zum Beispiel ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ usw.) und algebraischer Bruch (zum Beispiel $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ etc.) Die Ähnlichkeit dieser Konzepte besteht darin, dass es sie sowohl in Polynomen als auch in algebraischen Brüchen gibt Variablen und Zahlenwerte, Rechenoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung Der Unterschied zwischen diesen Konzepten besteht darin, dass die Division durch eine Variable nicht in Polynomen durchgeführt wird und die Division durch eine Variable in algebraischen Brüchen durchgeführt werden kann.

Sowohl Polynome als auch algebraische Brüche werden in der Mathematik als rationale algebraische Ausdrücke bezeichnet. Aber Polynome sind ganzzahlige rationale Ausdrücke, und algebraische Bruchausdrücke sind gebrochen rationale Ausdrücke.

Es ist möglich, einen ganzen algebraischen Ausdruck aus einem gebrochen rationalen Ausdruck zu erhalten, indem die identische Transformation verwendet wird, die in diesem Fall die Haupteigenschaft eines Bruchs ist - Reduktion von Brüchen. Schauen wir es uns in der Praxis an:

Beispiel 1

Transformieren:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Lösung: Diese gebrochen-rationale Gleichung kann transformiert werden, indem die Grundeigenschaft der Bruchlöschung verwendet wird, d.h. Dividieren von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl oder denselben Ausdruck außer $0$.

Dieser Bruch kann nicht sofort gekürzt werden, es muss der Zähler umgerechnet werden.

Wir wandeln den Ausdruck in den Zähler des Bruchs um, dazu verwenden wir die Formel für das Quadrat der Differenz: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Der Bruch hat die Form

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Jetzt sehen wir, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben - das ist der Ausdruck $x-2$, auf dem wir den Bruch kürzen werden

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Nach der Reduktion haben wir erhalten, dass aus dem ursprünglichen gebrochen-rationalen Ausdruck $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ein Polynom $x-2$ geworden ist, d.h. ganz vernünftig.

Achten wir nun darauf, dass die Ausdrücke $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ und $x-2\ $ nicht für alle Werte der Variablen als identisch angesehen werden können, denn damit ein gebrochen-rationaler Ausdruck existiert und eine Reduktion um das Polynom $x-2$ möglich ist, sollte der Nenner des Bruchs nicht gleich $0$ sein (ebenso wie der Faktor, um den wir reduzieren. In diesem Beispiel Nenner und Faktor sind gleich, aber das ist nicht immer der Fall).

Variablenwerte, für die der algebraische Bruch existieren wird, werden als gültige Variablenwerte bezeichnet.

Wir setzen eine Bedingung auf den Nenner des Bruchs: $x-2≠0$, dann $x≠2$.

Die Ausdrücke $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ und $x-2$ sind also für alle Werte der Variablen außer $2$ identisch.

Bestimmung 1

identisch gleich Ausdrücke sind solche, die für alle möglichen Werte der Variablen gleich sind.

Eine identische Transformation ist jeder Ersatz des ursprünglichen Ausdrucks durch einen identisch gleichen. Solche Transformationen umfassen das Ausführen von Aktionen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Entfernen eines gemeinsamen Faktors aus der Klammer, Bringen von algebraischen Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner, Kürzen von algebraischen Brüchen, Bringen wie Begriffe usw. Es muss berücksichtigt werden, dass eine Reihe von Transformationen, wie z. B. Reduktion, Reduktion ähnlicher Terme, die zulässigen Werte der Variablen ändern können.

Techniken zum Nachweis von Identitäten

Konvertieren Sie die linke Seite der Identität mithilfe von Identitätstransformationen auf die rechte Seite oder umgekehrt

Reduzieren Sie beide Teile unter Verwendung identischer Transformationen auf denselben Ausdruck

Übertragen Sie die Ausdrücke in einem Teil des Ausdrucks auf einen anderen und beweisen Sie, dass die resultierende Differenz gleich $0$ ist

Welche der oben genannten Methoden zum Nachweis einer bestimmten Identität zu verwenden ist, hängt von der ursprünglichen Identität ab.

Beispiel 2

Beweisen Sie die Identität $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Lösung: Um diese Identität zu beweisen, verwenden wir die erste der oben genannten Methoden, nämlich, wir transformieren die linke Seite der Identität, bis sie gleich der rechten Seite ist.

Betrachten Sie die linke Seite der Identität: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- es ist die Differenz zweier Polynome. In diesem Fall stellt das erste Polynom das Quadrat der Summe dreier Terme dar. Um die Summe mehrerer Terme zu quadrieren, verwenden wir die Formel:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Dazu müssen wir eine Zahl mit einem Polynom multiplizieren. Erinnern Sie sich daran, dass wir dazu den gemeinsamen Faktor außerhalb der Klammern mit jedem Term des Polynoms in Klammern multiplizieren müssen. Dann erhalten wir:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Nun zurück zum ursprünglichen Polynom, es wird die Form annehmen:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Beachten Sie, dass vor der Klammer ein „-“-Zeichen steht, was bedeutet, dass beim Öffnen der Klammern alle Zeichen in den Klammern umgekehrt werden.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Bringen wir ähnliche Terme, dann heben sich die Monome $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ und $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ gegenseitig auf, d.h. Ihre Summe ist gleich $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Durch identische Transformationen haben wir also den identischen Ausdruck auf der linken Seite der ursprünglichen Identität erhalten

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Beachten Sie, dass der resultierende Ausdruck zeigt, dass die ursprüngliche Identität wahr ist.

Beachten Sie, dass in der ursprünglichen Identität alle Werte der Variablen erlaubt sind, was bedeutet, dass wir die Identität mit identischen Transformationen bewiesen haben, und es gilt für alle erlaubten Werte der Variablen.

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Beschriftungen der Folien:

Identitäten. Identitätstransformationen von Ausdrücken. 7. Klasse.

Finden Sie den Wert der Ausdrücke bei x=5 und y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 Finden Sie den Wert von die Ausdrücke bei x=6 und y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

FAZIT: Wir haben das gleiche Ergebnis. Aus der Verteilungseigenschaft folgt, dass im Allgemeinen für alle Werte der Variablen die Werte der Ausdrücke 3(x + y) und 3x + 3y gleich sind. 3(x+y) = 3x+3y

Betrachten Sie nun die Ausdrücke 2x + y und 2xy. für x=1 und y=2 nehmen sie gleiche Werte an: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 für x=3, y=4 Ausdruckswerte sind unterschiedlich 2x+y =2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24

SCHLUSSFOLGERUNG: Die Ausdrücke 3(x+y) und 3x+3y sind identisch gleich, aber die Ausdrücke 2x+y und 2xy sind nicht identisch gleich. Definition: Zwei Ausdrücke, deren Werte für beliebige Werte der Variablen gleich sind, werden als identisch gleich bezeichnet.

IDENTITÄT Die Gleichheit 3(x+y) und 3x+3y gilt für beliebige Werte von x und y. Solche Gleichheiten werden Identitäten genannt. Definition: Eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Variablen gilt, nennt man Identität. Echte numerische Gleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet. Wir haben uns bereits mit Identitäten getroffen.

Identitäten sind Gleichheiten, die die grundlegenden Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen ausdrücken. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Andere Beispiele für Identitäten können gegeben werden: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, ihm identischen Ausdruck wird Identitätstransformation oder einfach Ausdruckstransformation genannt.

Um ähnliche Terme zu erhalten, müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und das Ergebnis mit dem gemeinsamen Buchstabenteil multiplizieren. Beispiel 1. Wir geben ähnliche Terme 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

Wenn vor den Klammern ein Pluszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, wobei das Vorzeichen jedes in Klammern eingeschlossenen Begriffs erhalten bleibt. Beispiel 2. Erweitern Sie die Klammern im Ausdruck 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c

Wenn vor den Klammern ein Minuszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, indem das Vorzeichen jedes in Klammern eingeschlossenen Begriffs geändert wird. Beispiel 3. Öffnen wir die Klammern im Ausdruck a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c

Hausaufgabe: S. 5, Nr. 91, 97, 99 Danke für die Lektion!

Zum Thema: Methodische Entwicklungen, Präsentationen und Notizen

Methoden zur Vorbereitung auf die Prüfung im Abschnitt "Ausdrücke und Umwandlung von Ausdrücken"

Dieses Projekt wurde mit dem Ziel entwickelt, Schülerinnen und Schüler auf das Staatsexamen in der 9. Klasse und später auf ein einheitliches Staatsexamen in der 11. Klasse vorzubereiten....