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Arithmetische Progression. Ausführliche Theorie mit Beispielen (2019)

Numerische Folge

Setzen wir uns also hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten (in unserem Fall sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche von ihnen die erste, welche die zweite und so weiter bis zur letzten ist, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Numerische Folge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Folgenummer spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Folge. Die zweite Zahl (wie die -te Zahl) ist immer gleich.
Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Eine solche Zahlenfolge wird als arithmetische Folge bezeichnet.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne als endlose Zahlenfolge verstanden. Der Name "Arithmetik" wurde aus der Theorie der kontinuierlichen Proportionen übernommen, mit der sich die alten Griechen beschäftigten.

Dies ist eine numerische Folge, deren jedes Glied gleich der vorherigen ist, hinzugefügt mit der gleichen Nummer. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

a)
b)
c)
d)

Ich habs? Vergleichen Sie unsere Antworten:
Ist ein arithmetische Progression - b, c.
Ist nicht arithmetische Progression - a, d.

Kehren wir zu der gegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Mitglieds zu finden. Existieren zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können zum vorherigen Wert der Progressionsnummer addieren, bis wir das te Glied der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenzufassen haben – nur drei Werte:

Das -te Glied der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2. Methode

Was wäre, wenn wir den Wert des th-Terms der Progression finden müssten? Die Summierung hätte uns mehr als eine Stunde gekostet, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren der Zahlen keine Fehler gemacht hätten.
Natürlich haben sich Mathematiker einen Weg ausgedacht, bei dem man die Differenz einer arithmetischen Progression nicht zum vorherigen Wert addieren muss. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genau an ... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, was den Wert des -ten Elements dieser arithmetischen Folge ausmacht:


Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbstständig den Wert eines Gliedes dieser arithmetischen Folge zu finden.

Berechnet? Vergleichen Sie Ihre Eingaben mit der Antwort:

Beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl erhalten haben wie bei der vorherigen Methode, als wir die Glieder einer arithmetischen Folge sukzessive zum vorherigen Wert addiert haben.
Versuchen wir diese Formel zu „entpersonalisieren“ – wir bringen sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Arithmetische Progressionsgleichung.

Arithmetische Progressionen nehmen entweder zu oder ab.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen sowohl in zunehmenden als auch in abnehmenden Termen einer arithmetischen Progression verwendet.
Schauen wir es uns in der Praxis an.
Wir erhalten eine arithmetische Folge bestehend aus den folgenden Zahlen:

Seit damals:

Daher waren wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl bei abnehmender als auch bei zunehmender arithmetischer Progression funktioniert.
Versuchen Sie selbst, die -ten und -ten Glieder dieser arithmetischen Folge zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Lassen Sie uns die Aufgabe komplizieren – wir leiten die Eigenschaft einer arithmetischen Folge ab.
Angenommen, wir haben die folgende Bedingung:
- Arithmetische Progression, finden Sie den Wert.
Ganz einfach, sagst du und zählst nach der Formel, die du schon kennst:

Sei a, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und bekommen, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist es nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns Zahlen in der Bedingung gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, Fehler in den Berechnungen zu machen.
Überlegen Sie nun, ist es möglich, dieses Problem mit einer Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich, ja, und wir werden versuchen, es jetzt herauszubringen.

Bezeichnen wir den gesuchten Term der arithmetischen Folge so, dass wir die Formel kennen, um ihn zu finden - dies ist die gleiche Formel, die wir am Anfang hergeleitet haben:
, dann:

• Das vorherige Mitglied der Progression ist:
• Das nächste Glied der Progression ist:

Lassen Sie uns die vorherigen und nächsten Mitglieder der Progression zusammenfassen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder der Progression doppelt so groß ist wie der Wert des Mitglieds der Progression, das sich zwischen ihnen befindet. Mit anderen Worten, um den Wert eines Progressionsmitglieds mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu finden, ist es notwendig, sie zu addieren und durch zu dividieren.

Richtig, wir haben die gleiche Nummer. Lassen Sie uns das Material reparieren. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, denn es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut erledigt! Sie wissen fast alles über Progression! Es bleibt nur eine Formel herauszufinden, die der Legende nach einer der größten Mathematiker aller Zeiten, der "König der Mathematiker" - Karl Gauß, leicht für sich selbst herleiten konnte ...

Als Carl Gauß 9 Jahre alt war, stellte der Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeiten von Schülern anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von bis einschließlich (nach anderen Quellen bis einschließlich). " Was war die Überraschung des Lehrers, als einer seiner Schüler (es war Karl Gauß) nach einer Minute die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langem Rechnen das falsche Ergebnis erhielten ...

Der junge Carl Gauss bemerkte ein Muster, das Sie leicht erkennen können.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ti Mitgliedern besteht: Wir müssen die Summe der gegebenen Mitglieder der arithmetischen Folge finden. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn wir die Summe ihrer Terme in der Aufgabe finden müssen, wie Gauß gesucht hat?

Lassen Sie uns die uns gegebene Progression darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genau an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen mit ihnen durchzuführen.


Versucht? Was haben Sie bemerkt? Korrekt! Ihre Summen sind gleich

Nun antworte, wie viele solcher Paare wird es in der uns gegebenen Progression geben? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen, also.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Terme einer arithmetischen Folge gleich ist, und ähnliche gleiche Paare, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Progressionsunterschied. Versuchen Sie, in der Summenformel die Formel des th-Gliedes einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut erledigt! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauß gegeben wurde: Berechnen Sie selbst, was die Summe der Zahlen ist, die mit dem -ten beginnen, und die Summe der Zahlen, die mit dem -ten beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte sich heraus, dass die Summe der Terme gleich ist, und die Summe der Terme. Hast du dich so entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert vom antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen, und während dieser ganzen Zeit nutzten geistreiche Menschen die Eigenschaften einer arithmetischen Folge mit Macht und Kraft.
Stellen Sie sich zum Beispiel das alte Ägypten und das größte Gebäude dieser Zeit vor - den Bau einer Pyramide ... Die Abbildung zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagst du? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.


Warum nicht eine arithmetische Progression? Zählen Sie, wie viele Blöcke benötigt werden, um eine Mauer zu bauen, wenn Blocksteine ​​​​in die Basis gelegt werden. Ich hoffe, Sie werden nicht zählen, indem Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über arithmetische Progression gesagt haben?

In diesem Fall sieht der Verlauf so aus:
Arithmetische Progressionsdifferenz.
Die Anzahl der Mitglieder einer arithmetischen Folge.
Lassen Sie uns unsere Daten in die letzten Formeln einsetzen (wir zählen die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie auch am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Hat es zugestimmt? Gut gemacht, Sie haben die Summe der Terme einer arithmetischen Folge gemeistert.
Natürlich kann man aus den Blöcken an der Basis keine Pyramide bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandziegel benötigt werden, um eine Mauer mit dieser Bedingung zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Trainieren

Aufgaben:

1. Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag steigert sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Masha in Wochen Kniebeugen machen, wenn sie beim ersten Training Kniebeugen gemacht hat?
2. Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
3. Beim Lagern von Stämmen stapeln Holzfäller sie so, dass jede oberste Schicht einen Stamm weniger enthält als die vorherige. Wie viele Baumstämme befinden sich in einem Mauerwerk, wenn die Basis des Mauerwerks Baumstämme sind.

Antworten:

1. Lassen Sie uns die Parameter der arithmetischen Folge definieren. In diesem Fall
   (Wochen = Tage).

   Antworten: In zwei Wochen soll Mascha einmal täglich in die Hocke gehen.

2. Erste ungerade Zahl, letzte Zahl.
   Arithmetische Progressionsdifferenz.
   Die Anzahl der ungeraden Zahlen in - halbieren Sie diese Tatsache jedoch mit der Formel zum Auffinden des -ten Gliedes einer arithmetischen Folge:

   Die Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
   Wir setzen die verfügbaren Daten in die Formel ein:

   Antworten: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.

3. Erinnern Sie sich an das Problem mit den Pyramiden. Da in unserem Fall a jede obere Ebene um einen Balken reduziert wird, gibt es nur eine Reihe von Ebenen.
   Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

   Antworten: Es gibt Baumstämme im Mauerwerk.

Zusammenfassen

1. - eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es nimmt zu und ab.
2. Formel finden Glied einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge ist.
3. Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge- - wo - die Anzahl der Zahlen in der Progression.
4. Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:
   
   , wobei die Anzahl der Werte ist.

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. MITTELSTUFE

Numerische Folge

Setzen wir uns hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber Sie können immer sagen, welcher von ihnen der erste ist, welcher der zweite ist und so weiter, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Numerische Folge ist eine Reihe von Nummern, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugeordnet werden kann.

Mit anderen Worten, jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar nur einer. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuweisen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

Es ist sehr praktisch, wenn das -te Glied der Sequenz durch irgendeine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Sequenz:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (der erste Term ist hier gleich und die Differenz). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen rekurrent eine Formel, in der Sie, um den -ten Term herauszufinden, den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um beispielsweise den ten Term der Progression mit einer solchen Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lassen Sie zum Beispiel. Dann:

Nun, jetzt ist klar, was die Formel ist?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Für was? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Viel bequemer jetzt, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und finden Sie den hundertsten Term.

Entscheidung:

Der erste Term ist gleich. Und was ist der Unterschied? Und hier ist was:

(Schließlich wird sie Differenz genannt, weil sie gleich der Differenz aufeinanderfolgender Glieder der Progression ist).

Die Formel lautet also:

Dann ist der hundertste Term:

Was ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach berechnete der große Mathematiker Carl Gauß als 9-jähriger Junge diesen Betrag in wenigen Minuten. Er bemerkte, dass die Summe der ersten und der letzten Zahl gleich ist, die Summe der zweiten und der vorletzten Zahl gleich ist, die Summe der dritten und der 3. vom Ende gleich ist und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es? Richtig, genau die Hälfte aller Zahlen also. So,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finde die Summe aller zweistelligen Vielfachen.

Entscheidung:

Die erste solche Zahl ist diese. Jede nächste wird durch Hinzufügen einer Zahl zur vorherigen erhalten. Die uns interessierenden Zahlen bilden also mit dem ersten Glied und der Differenz eine arithmetische Folge.

Die Formel für das te Glied dieser Progression lautet:

Wie viele Begriffe sind in der Reihe, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Das letzte Glied der Progression ist gleich. Dann die Summe:

Antworten: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Jeden Tag läuft der Athlet 1m mehr als am Vortag. Wie viele Kilometer wird er in Wochen laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
2. Ein Radfahrer fährt jeden Tag mehr Kilometer als der vorherige. Am ersten Tag reiste er km. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer legt er am letzten Reisetag zurück?
3. Der Preis eines Kühlschranks im Geschäft wird jedes Jahr um denselben Betrag reduziert. Bestimmen Sie, um wie viel der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel zum Verkauf angeboten wurde.

Antworten:

1. Das Wichtigste dabei ist, die arithmetische Progression zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
   .
   Antworten:
2. Hier ist es gegeben:, man muss finden.
   Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie in der vorherigen Aufgabe verwenden:
   .
   Ersetzen Sie die Werte:

   Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also die Antwort.
   Berechnen wir die am letzten Tag zurückgelegte Strecke mit der Formel des -ten Elements:
   (km).
   Antworten:

3. Gegeben: . Finden: .
   Einfacher geht es nicht:
   (reiben).
   Antworten:

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Die arithmetische Progression nimmt zu () und ab ().

Zum Beispiel:

Die Formel zum Auffinden des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge

wird als Formel geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Progression ist.

Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge

Es macht es einfach, ein Mitglied der Progression zu finden, wenn seine benachbarten Mitglieder bekannt sind - wo ist die Anzahl der Zahlen in der Progression.

Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Summe zu finden:

Wo ist die Anzahl der Werte.

Wo ist die Anzahl der Werte.

Zum Beispiel die Sequenz \(2\); \(5\); \(acht\); \(elf\); \(14\)… ist eine arithmetische Folge, weil sich jedes nächste Element vom vorherigen um drei unterscheidet (kann vom vorherigen durch Hinzufügen von drei erhalten werden):

In dieser Progression ist die Differenz \(d\) positiv (gleich \(3\)), und daher ist jeder nächste Term größer als der vorherige. Solche Progressionen werden aufgerufen zunehmend.

\(d\) kann aber auch eine negative Zahl sein. zum Beispiel, in arithmetischer Folge \(16\); \(zehn\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… die Progressionsdifferenz \(d\) ist gleich minus sechs.

Und in diesem Fall ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Diese Progressionen werden aufgerufen abnehmend.

Arithmetische Progressionsnotation

Die Progression wird durch einen kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet.

Die Zahlen, die eine Progression bilden, werden sie genannt Mitglieder(oder Elemente).

Sie werden mit demselben Buchstaben wie die arithmetische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht die arithmetische Folge \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aus den Elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) und so weiter.

Mit anderen Worten, für die Progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Lösen von Problemen auf einer arithmetischen Folge

Im Prinzip reichen die obigen Informationen bereits aus, um fast alle Probleme auf einer arithmetischen Progression (einschließlich der an der OGE angebotenen) zu lösen.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen \(b_1=7; d=4\) gegeben. Finden Sie \(b_5\).
Entscheidung:

Antworten: \(b_5=23\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Glieder einer arithmetischen Folge sind gegeben: \(62; 49; 36…\) Finde den Wert des ersten negativen Glieds dieser Folge..
Entscheidung:

	Wir erhalten die ersten Elemente der Folge und wissen, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt. Das heißt, jedes Element unterscheidet sich vom benachbarten um die gleiche Zahl. Finden Sie heraus, welches, indem Sie das vorherige vom nächsten Element subtrahieren: \(d=49-62=-13\).
	Jetzt können wir unsere Progression zum gewünschten (ersten negativen) Element wiederherstellen.
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: \(-3\)

Beispiel (OGE). Mehrere aufeinanderfolgende Elemente einer arithmetischen Folge sind gegeben: \(...5; x; 10; 12.5...\) Finden Sie den Wert des Elements, das mit dem Buchstaben \(x\) bezeichnet wird.
Entscheidung:

	Um \(x\) zu finden, müssen wir wissen, wie stark sich das nächste Element vom vorherigen unterscheidet, mit anderen Worten, die Progressionsdifferenz. Finden wir es aus zwei bekannten benachbarten Elementen: \(d=12.5-10=2.5\).
	Und jetzt finden wir ohne Probleme, was wir suchen: \(x=5+2.5=7.5\).
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch folgende Bedingungen gegeben: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Progression.
Entscheidung:

Wir müssen die Summe der ersten sechs Terme der Progression finden. Aber wir kennen ihre Bedeutung nicht, wir bekommen nur das erste Element. Daher berechnen wir zunächst die Werte der Reihe nach anhand der uns gegebenen: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Und nachdem wir die sechs Elemente berechnet haben, die wir brauchen, finden wir ihre Summe.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Der angeforderte Betrag wurde gefunden.

Antworten: \(S_6=9\).

Beispiel (OGE). In arithmetischer Folge \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finde den Unterschied dieser Progression.
Entscheidung:

Antworten: \(d=7\).

Wichtige arithmetische Progressionsformeln

Wie Sie sehen, können viele arithmetische Progressionsprobleme gelöst werden, indem Sie einfach die Hauptsache verstehen - dass eine arithmetische Progression eine Kette von Zahlen ist und jedes nächste Element in dieser Kette durch Addieren derselben Zahl zur vorherigen erhalten wird (die Differenz des Verlaufs).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen es sehr unpraktisch ist, "auf der Stirn" zu lösen. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir im allerersten Beispiel nicht das fünfte Element \(b_5\), sondern das dreihundertsechsundachtzigste \(b_(386)\) finden müssen. Was ist es, wir \ (385 \) mal vier zu addieren? Oder stellen Sie sich vor, dass Sie im vorletzten Beispiel die Summe der ersten 73 Elemente finden müssen. Zählen ist verwirrend...

Daher lösen sie in solchen Fällen nicht „auf der Stirn“, sondern verwenden spezielle Formeln, die für die arithmetische Progression abgeleitet wurden. Und die wichtigsten sind die Formel für den n-ten Term der Progression und die Formel für die Summe \(n\) der ersten Terme.

Formel für das \(n\)-te Mitglied: \(a_n=a_1+(n-1)d\), wobei \(a_1\) das erste Mitglied der Progression ist;
\(n\) – Nummer des gewünschten Elements;
\(a_n\) ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer \(n\).

Diese Formel ermöglicht es uns, schnell mindestens das dreihundertste, sogar das millionste Element zu finden, wenn wir nur den ersten und den Fortschrittsunterschied kennen.

Beispiel. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen gegeben: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finden Sie \(b_(246)\).
Entscheidung:

Antworten: \(b_(246)=1850\).

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), wobei

\(a_n\) ist der letzte summierte Term;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen \(a_n=3.4n-0.6\) gegeben. Finde die Summe der ersten \(25\) Terme dieser Progression.
Entscheidung:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Um die Summe der ersten fünfundzwanzig Elemente zu berechnen, müssen wir den Wert des ersten und des fünfundzwanzigsten Terms kennen. Unsere Progression ergibt sich aus der Formel des n-ten Terms in Abhängigkeit von seiner Nummer (siehe Details). Lassen Sie uns das erste Element berechnen, indem wir \(n\) durch eins ersetzen.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Lassen Sie uns nun den fünfundzwanzigsten Term finden, indem wir anstelle von \(n\) fünfundzwanzig einsetzen.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nun, jetzt berechnen wir problemlos die erforderliche Menge.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \(S_(25)=1090\).

Für die Summe \(n\) der ersten Terme können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ersetzen Sie statt \(a_n\) die Formel dafür \(a_n=a_1+(n-1)d\). Wir bekommen:

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), wobei

\(S_n\) – die erforderliche Summe \(n\) der ersten Elemente;
\(a_1\) ist der erste zu summierende Term;
\(d\) – Progressionsdifferenz;
\(n\) - die Anzahl der Elemente in der Summe.

Beispiel. Finden Sie die Summe der ersten \(33\)-ex-Terme der arithmetischen Folge: \(17\); \(15,5\); \(vierzehn\)…
Entscheidung:

Antworten: \(S_(33)=-231\).

Komplexere arithmetische Progressionsprobleme

Jetzt haben Sie alle Informationen, die Sie benötigen, um fast alle arithmetischen Progressionsaufgaben zu lösen. Lassen Sie uns das Thema beenden, indem wir Probleme betrachten, bei denen Sie nicht nur Formeln anwenden, sondern auch ein wenig nachdenken müssen (in Mathematik kann dies nützlich sein ☺)

Beispiel (OGE). Finde die Summe aller negativen Terme der Progression: \(-19.3\); \(-neunzehn\); \(-18.7\)…
Entscheidung:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Die Aufgabe ist der vorherigen sehr ähnlich. Wir beginnen auf die gleiche Weise zu lösen: Zuerst finden wir \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Jetzt würden wir \(d\) in die Formel für die Summe einsetzen ... und hier taucht eine kleine Nuance auf - wir kennen \(n\) nicht. Mit anderen Worten, wir wissen nicht, wie viele Begriffe hinzugefügt werden müssen. Wie findet man es heraus? Denken wir nach. Wir hören auf, Elemente hinzuzufügen, wenn wir zum ersten positiven Element kommen. Das heißt, Sie müssen die Nummer dieses Elements herausfinden. Wie? Schreiben wir die Formel zur Berechnung eines beliebigen Elements einer arithmetischen Folge auf: \(a_n=a_1+(n-1)d\) für unseren Fall.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Wir müssen \(a_n\) größer als Null sein. Lassen Sie uns herausfinden, für was \(n\) dies passieren wird.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Wir übertragen minus eins und vergessen nicht, die Vorzeichen zu ändern
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Rechnen...
\(n>65.333…\)		…und es stellt sich heraus, dass das erste positive Element die Nummer \(66\) haben wird. Dementsprechend hat das letzte Negativ \(n=65\). Lassen Sie es uns für alle Fälle überprüfen.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Daher müssen wir die ersten \(65\) Elemente hinzufügen.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \(S_(65)=-630,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen gegeben: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finden Sie die Summe vom \(26\)-ten bis einschließlich \(42\)-Element.
Entscheidung:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bei dieser Aufgabe müssen Sie auch die Summe der Elemente finden, aber nicht mit dem ersten, sondern mit dem \(26\)-ten. Dafür haben wir keine Formel. Wie entscheiden? Einfach - um die Summe von \(26\)th bis \(42\)th zu erhalten, müssen Sie zuerst die Summe von \(1\)th bis \(42\)th finden und dann die Summe von davon subtrahieren die erste bis \ (25 \) th (siehe Bild).
	Für unsere Progression \(a_1=-33\) und die Differenz \(d=4\) (schließlich addieren wir vier zum vorherigen Element, um das nächste zu finden). Mit diesem Wissen finden wir die Summe der ersten \(42\)-uh Elemente.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nun die Summe der ersten \(25\)-ten Elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Und schließlich berechnen wir die Antwort.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Antworten: \(S=1683\).

Für eine arithmetische Progression gibt es noch einige weitere Formeln, die wir in diesem Artikel aufgrund ihres geringen praktischen Nutzens nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.

Bevor wir uns entscheiden Arithmetische Progressionsprobleme, überlegen Sie, was eine Zahlenfolge ist, da eine arithmetische Folge ein Sonderfall einer Zahlenfolge ist.

Eine Zahlenfolge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Element eine eigene fortlaufende Nummer hat. Die Elemente dieser Menge heißen Folgenglieder. Die Ordnungszahl eines Sequenzelements wird durch einen Index angegeben:

Das erste Element der Sequenz;

Das fünfte Element der Sequenz;

- "ntes" Element der Sequenz, d.h. das Element "in der Warteschlange stehen" bei Nummer n.

Es besteht eine Abhängigkeit zwischen dem Wert eines Sequenzelements und seiner Ordnungszahl. Daher können wir eine Folge als eine Funktion betrachten, deren Argument die Ordnungszahl eines Elements der Folge ist. Mit anderen Worten, das kann man sagen die Folge ist eine Funktion des natürlichen Arguments:

Die Reihenfolge kann auf drei Arten angegeben werden:

1 . Die Reihenfolge kann über eine Tabelle vorgegeben werden. In diesem Fall setzen wir einfach den Wert jedes Mitglieds der Sequenz.

Zum Beispiel entschied sich jemand für ein persönliches Zeitmanagement und berechnete zunächst, wie viel Zeit er während der Woche mit VKontakte verbringt. Indem er die Zeit in eine Tabelle schreibt, erhält er eine Sequenz, die aus sieben Elementen besteht:

Die erste Zeile der Tabelle enthält die Nummer des Wochentags, die zweite - die Zeit in Minuten. Wir sehen das, das heißt, am Montag hat jemand 125 Minuten auf VKontakte verbracht, das heißt am Donnerstag - 248 Minuten, und das heißt, am Freitag nur 15.

2 . Die Reihenfolge kann mit der n-ten Elementformel angegeben werden.

Dabei wird die Abhängigkeit des Werts eines Folgenelements von seiner Nummer direkt als Formel ausgedrückt.

Zum Beispiel wenn, dann

Um den Wert eines Sequenzelements mit einer bestimmten Nummer zu finden, setzen wir die Elementnummer in die Formel für das n-te Element ein.

Dasselbe tun wir, wenn wir den Wert einer Funktion finden müssen, wenn der Wert des Arguments bekannt ist. Wir ersetzen stattdessen den Wert des Arguments in der Funktionsgleichung:

Wenn zum Beispiel , dann

Ich bemerke noch einmal, dass in einer Folge im Gegensatz zu einer beliebigen numerischen Funktion nur eine natürliche Zahl ein Argument sein kann.

3 . Die Folge kann mit einer Formel angegeben werden, die die Abhängigkeit des Werts des Folgeglieds mit der Nummer n vom Wert der vorherigen Glieder ausdrückt. In diesem Fall reicht es nicht aus, nur die Nummer eines Folgenglieds zu kennen, um seinen Wert zu finden. Wir müssen das erste Mitglied oder die ersten paar Mitglieder der Sequenz angeben.

Betrachten Sie beispielsweise die Reihenfolge ,

Wir können die Werte der Mitglieder einer Sequenz finden der Reihe nach, ab dem dritten:

Das heißt, jedes Mal, um den Wert des n-ten Glieds der Folge zu finden, kehren wir zu den beiden vorherigen zurück. Diese Art der Sequenzierung wird aufgerufen wiederkehrend, vom lateinischen Wort wiederkehrend- Komm zurück.

Jetzt können wir eine arithmetische Folge definieren. Eine arithmetische Folge ist ein einfacher Sonderfall einer Zahlenfolge.

Arithmetische Progression wird eine Zahlenfolge genannt, bei der jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, ergänzt um dieselbe Nummer.

Die Nummer wird angerufen die Differenz einer arithmetischen Progression. Die Differenz einer arithmetischen Progression kann positiv, negativ oder null sein.

Wenn title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zunehmend.

Zum Beispiel 2; 5; acht; elf;...

Wenn , dann ist jeder Term der arithmetischen Progression kleiner als der vorherige, und die Progression ist abnehmend.

Zum Beispiel 2; -eines; -4; -7;...

Wenn , dann haben alle Mitglieder der Progression die gleiche Zahl, und die Progression ist stationär.

Zum Beispiel 2;2;2;2;...

Die Haupteigenschaft einer arithmetischen Folge:

Schauen wir uns das Bild an.

Wir sehen das

, und gleichzeitig

Addiert man diese beiden Gleichheiten, erhält man:

.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 2:

Jedes Mitglied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist also gleich dem arithmetischen Mittel zweier benachbarter:

Außerdem, weil

, und gleichzeitig

, dann

, und daher

Jedes Mitglied der arithmetischen Folge beginnend mit title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

te Mitgliedsformel.

Wir sehen, dass für die Glieder der arithmetischen Folge folgende Beziehungen gelten:

und endlich,

Wir haben bekommen Formel des n-ten Terms.

WICHTIG! Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge kann durch und ausgedrückt werden. Wenn Sie den ersten Term und den Unterschied einer arithmetischen Folge kennen, können Sie jedes seiner Mitglieder finden.

Die Summe von n Mitgliedern einer arithmetischen Folge.

In einer willkürlichen arithmetischen Folge sind die Summen der Terme mit gleichem Abstand von den Extremen einander gleich:

Betrachten Sie eine arithmetische Folge mit n Mitgliedern. Die Summe der n Mitglieder dieser Folge sei gleich .

Ordnen Sie die Terme der Progression zuerst in aufsteigender Reihenfolge der Zahlen und dann in absteigender Reihenfolge:

Paaren wir es:

Die Summe in jeder Klammer ist , die Anzahl der Paare ist n.

Wir bekommen:

So, Die Summe von n Mitgliedern einer arithmetischen Folge kann mit den Formeln gefunden werden:

Prüfen arithmetische Progressionsaufgaben lösen.

1 . Die Reihenfolge ergibt sich aus der Formel des n-ten Terms: . Beweisen Sie, dass diese Folge eine arithmetische Folge ist.

Lassen Sie uns beweisen, dass die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern der Folge gleich der gleichen Zahl ist.

Wir haben festgestellt, dass die Differenz zweier benachbarter Glieder der Folge nicht von ihrer Anzahl abhängt und eine Konstante ist. Daher ist diese Folge per Definition eine arithmetische Folge.

2 . Bei einer arithmetischen Progression -31; -27;...

a) Finden Sie die 31 Terme der Progression.

b) Bestimmen Sie, ob die Zahl 41 in dieser Progression enthalten ist.

a) Wir sehen das ;

Schreiben wir die Formel für den n-ten Term für unsere Progression auf.

Im Allgemeinen

In unserem Fall , Deshalb

Wir bekommen:

b) Angenommen, die Zahl 41 ist ein Mitglied der Folge. Finden wir seine Nummer. Dazu lösen wir die Gleichung:

Wir haben einen natürlichen Wert von n, also ja, die Zahl 41 ist ein Mitglied der Progression. Wenn der gefundene Wert von n keine natürliche Zahl wäre, würden wir antworten, dass die Zahl 41 KEIN Mitglied der Progression ist.

3 . a) Fügen Sie zwischen den Zahlen 2 und 8 4 Zahlen ein, sodass sie zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden.

b) Finden Sie die Summe der Terme der resultierenden Progression.

a) Lassen Sie uns vier Zahlen zwischen den Zahlen 2 und 8 einfügen:

Wir haben eine arithmetische Progression, in der es 6 Terme gibt.

Lassen Sie uns den Unterschied dieser Progression finden. Dazu verwenden wir die Formel für den n-ten Term:

Jetzt ist es einfach, die Werte der Zahlen zu finden:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Antwort: a) ja; b) 30

4. Der LKW transportiert eine Charge Schotter mit einem Gewicht von 240 Tonnen und erhöht die Transportgeschwindigkeit täglich um die gleiche Anzahl von Tonnen. Es ist bekannt, dass am ersten Tag 2 Tonnen Schutt transportiert wurden. Bestimmen Sie, wie viele Tonnen Schotter am zwölften Tag transportiert wurden, wenn alle Arbeiten in 15 Tagen abgeschlossen wurden.

Je nach Zustand des Problems steigt die Schottermenge, die der LKW transportiert, jeden Tag um die gleiche Anzahl. Wir haben es also mit einer arithmetischen Progression zu tun.

Wir formulieren dieses Problem in Form einer arithmetischen Progression.

Am ersten Tag wurden 2 Tonnen Schotter transportiert: a_1=2.

Alle Arbeiten wurden in 15 Tagen abgeschlossen: .

Der LKW transportiert eine Ladung Schotter mit einem Gewicht von 240 Tonnen:

Wir müssen finden .

Lassen Sie uns zuerst den Fortschrittsunterschied finden. Verwenden wir die Formel für die Summe von n Mitgliedern der Progression.

In unserem Fall:

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Arithmetische Progression

Eine arithmetische Folge ist eine besondere Art von Folge. Daher müssen wir, bevor wir eine arithmetische (und dann geometrische) Progression definieren, kurz das wichtige Konzept einer Zahlenfolge diskutieren.

Folge

Stellen Sie sich ein Gerät vor, auf dessen Bildschirm nacheinander einige Zahlen angezeigt werden. Sagen wir 2; 7; dreizehn; eines; 6; 0; 3; : : : Eine solche Zahlenfolge ist nur ein Beispiel für eine Folge.

Definition. Eine Zahlenfolge ist eine Reihe von Zahlen, in denen jeder Zahl eine eindeutige Zahl zugeordnet werden kann (d. h. einer einzelnen natürlichen Zahl zugeordnet werden kann)1. Die Zahl mit der Nummer n heißt das n-te Glied der Folge.

Im obigen Beispiel hat die erste Zahl also die Zahl 2, die das erste Glied der Folge ist, die mit a1 bezeichnet werden kann; die Nummer fünf hat die Nummer 6, die das fünfte Glied der Sequenz ist, die als a5 bezeichnet werden kann. Im Allgemeinen wird das n-te Glied einer Sequenz mit an (oder bn , cn usw.) bezeichnet.

Eine sehr bequeme Situation ist, wenn das n-te Glied der Folge durch eine Formel angegeben werden kann. Beispielsweise gibt die Formel an = 2n 3 die Folge an: 1; ein; 3; 5; 7; : : : Die Formel an = (1)n definiert die Folge: 1; eines; eines; eines; : : :

Nicht jede Zahlenreihe ist eine Folge. Ein Segment ist also keine Sequenz; es enthält ¾zu viele¿ Nummern, um neu nummeriert zu werden. Auch die Menge R aller reellen Zahlen ist keine Folge. Diese Tatsachen werden im Laufe der mathematischen Analyse bewiesen.

Arithmetische Progression: grundlegende Definitionen

Jetzt können wir eine arithmetische Folge definieren.

Definition. Eine arithmetische Folge ist eine Sequenz, in der jeder Term (beginnend mit dem zweiten) gleich der Summe des vorherigen Terms und einer festen Zahl ist (die als Differenz der arithmetischen Folge bezeichnet wird).

Zum Beispiel Sequenz 2; 5; acht; elf; : : : ist eine arithmetische Folge mit erstem Glied 2 und Differenz 3. Folge 7; 2; 3; acht; : : : ist eine arithmetische Folge mit erstem Glied 7 und Differenz 5. Folge 3; 3; 3; : : : ist eine arithmetische Folge ohne Differenz.

Äquivalente Definition: Eine Folge an heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz an+1 an eine Konstante (unabhängig von n) ist.

Eine arithmetische Progression heißt steigend, wenn ihre Differenz positiv ist, und fallend, wenn ihre Differenz negativ ist.

1 Und hier ist eine prägnantere Definition: Eine Folge ist eine Funktion, die auf der Menge natürlicher Zahlen definiert ist. Die Folge reeller Zahlen ist beispielsweise die Funktion f: N! R.

Standardmäßig werden Sequenzen als unendlich betrachtet, d. h. sie enthalten eine unendliche Anzahl von Zahlen. Aber niemand macht sich die Mühe, auch endliche Folgen zu berücksichtigen; Tatsächlich kann jede endliche Menge von Zahlen eine endliche Folge genannt werden. Zum Beispiel die letzte Sequenz 1; 2; 3; 4; 5 besteht aus fünf Zahlen.

Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge

Es ist leicht zu verstehen, dass eine arithmetische Progression vollständig durch zwei Zahlen bestimmt wird: den ersten Term und die Differenz. Daher stellt sich die Frage: Wie findet man, wenn man den ersten Term und die Differenz kennt, einen beliebigen Term einer arithmetischen Folge?

Es ist nicht schwierig, die gewünschte Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge zu erhalten. Lassen Sie ein

arithmetische Progression mit Differenz d. Wir haben:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Insbesondere schreiben wir:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
und jetzt wird klar, dass die Formel für an lautet:
an = a1 + (n 1)d:

Aufgabe 1. In arithmetischer Progression 2; 5; acht; elf; : : : Finden Sie die Formel des n-ten Terms und berechnen Sie den hundertsten Term.

Entscheidung. Nach Formel (1) gilt:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Eigenschaft und Zeichen der arithmetischen Progression

Eigenschaft einer arithmetischen Folge. In der arithmetischen Folge ein für alle

Mit anderen Worten, jedes Glied der arithmetischen Folge (beginnend mit dem zweiten) ist das arithmetische Mittel der benachbarten Glieder.

	Nachweisen. Wir haben:
	ein n 1+ ein n+1		(ein d) + (ein + d)

was erforderlich war.

Allgemeiner erfüllt die arithmetische Progression die Gleichheit

ein n = ein n k+ ein n+k

für jedes n > 2 und jedes natürliche k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Es stellt sich heraus, dass Formel (2) nicht nur eine notwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass eine Folge eine arithmetische Folge ist.

Zeichen einer arithmetischen Progression. Wenn Gleichheit (2) für alle n > 2 gilt, dann ist die Folge an eine arithmetische Folge.

Nachweisen. Schreiben wir die Formel (2) wie folgt um:

ein na n 1= ein n+1a n:

Dies zeigt, dass die Differenz an+1 an nicht von n abhängt, was lediglich bedeutet, dass die Folge an eine arithmetische Folge ist.

Eigenschaft und Vorzeichen einer arithmetischen Folge lassen sich als eine Aussage formulieren; Der Einfachheit halber werden wir dies für drei Zahlen tun (dies ist die Situation, die häufig bei Problemen auftritt).

Charakterisierung einer arithmetischen Progression. Drei Zahlen a, b, c bilden genau dann eine arithmetische Folge, wenn 2b = a + c.

Aufgabe 2. (Staatliche Universität Moskau, Fakultät für Wirtschaftswissenschaften, 2007) Drei Zahlen 8x, 3 x2 und 4 in der angegebenen Reihenfolge bilden eine fallende arithmetische Folge. Finde x und schreibe die Differenz dieser Progression auf.

Entscheidung. Nach der Eigenschaft einer arithmetischen Progression gilt:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Bei x = 1 ergibt sich eine abnehmende Progression von 8, 2, 4 bei einer Differenz von 6. Bei x = 5 ergibt sich eine steigende Progression von 40, 22, 4; Dieser Fall funktioniert nicht.

Antwort: x = 1, die Differenz ist 6.

Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

Die Legende besagt, dass der Lehrer den Kindern einmal sagte, sie sollten die Summe der Zahlen von 1 bis 100 finden, und sich hinsetzte, um leise die Zeitung zu lesen. Doch innerhalb weniger Minuten sagte ein Junge, dass er das Problem gelöst habe. Es war der 9-jährige Carl Friedrich Gauß, später einer der größten Mathematiker der Geschichte.

Die Idee des kleinen Gauss war folgende. Lassen

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Schreiben wir diese Summe in umgekehrter Reihenfolge:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

und füge diese beiden Formeln hinzu:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Jeder Term in Klammern entspricht 101, und es gibt insgesamt 100 solcher Terme

2S = 101 100 = 10100;

Wir verwenden diese Idee, um die Summenformel herzuleiten

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Eine nützliche Modifikation der Formel (3) erhält man durch Einsetzen der Formel des n-ten Terms an = a1 + (n 1)d in diese:

		2a1 + (n 1)d

Aufgabe 3. Finden Sie die Summe aller positiven dreistelligen Zahlen, die durch 13 teilbar sind.

Entscheidung. Dreistellige Vielfache von 13 bilden mit dem ersten Glied 104 und der Differenz 13 eine arithmetische Folge; Der n-te Term dieser Progression ist:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Mitglieder unsere Progression enthält. Dazu lösen wir die Ungleichung:

ein 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; Nr. 6 69:

Es gibt also 69 Mitglieder in unserer Progression. Nach der Formel (4) finden wir die erforderliche Menge:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674 : 2

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Eine arithmetische Folge ist eine Reihe von Zahlen, bei denen jede Zahl um denselben Betrag größer (oder kleiner) als die vorherige ist.

Dieses Thema ist oft schwierig und unverständlich. Buchstabenindizes, das n-te Glied der Progression, der Unterschied der Progression - das alles ist irgendwie verwirrend, ja ... Lassen Sie uns die Bedeutung der arithmetischen Progression herausfinden und alles wird sofort klappen.)

Das Konzept der arithmetischen Progression.

Arithmetische Progression ist ein sehr einfaches und klares Konzept. Zweifel? Vergebens.) Überzeugen Sie sich selbst.

Ich schreibe eine unvollendete Zahlenreihe:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kannst du diese Zeile verlängern? Welche Zahlen kommen als nächstes nach der Fünf? Jeder ... äh ..., kurz gesagt, jeder wird herausfinden, dass die Zahlen 6, 7, 8, 9 usw. weiter gehen werden.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren. Ich gebe eine unvollendete Zahlenreihe:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Sie können das Muster erfassen, die Reihe erweitern und benennen siebte Zeilennummer?

Wenn Sie herausgefunden haben, dass diese Zahl 20 ist, gratuliere ich Ihnen! Du hast nicht nur gespürt Eckpunkte einer arithmetischen Folge, sondern auch erfolgreich im Business eingesetzt! Wenn Sie es nicht verstehen, lesen Sie weiter.

Lassen Sie uns nun die wichtigsten Punkte von Empfindungen in Mathematik übersetzen.)

Erster wichtiger Punkt.

Arithmetische Progression befasst sich mit Zahlenreihen. Das ist zunächst verwirrend. Wir sind es gewohnt, Gleichungen zu lösen, Graphen zu erstellen und all das ... Und dann die Reihe zu erweitern, die Nummer der Reihe zu finden ...

Nichts Schlimmes. Es ist nur so, dass Progressionen die erste Bekanntschaft mit einem neuen Zweig der Mathematik sind. Die Sektion heißt "Reihen" und arbeitet mit Reihen von Zahlen und Ausdrücken. An etwas gewöhnen.)

Zweiter wichtiger Punkt.

In einer arithmetischen Folge unterscheidet sich jede Zahl von der vorherigen um den gleichen Betrag.

Im ersten Beispiel ist dieser Unterschied eins. Welche Zahl Sie auch nehmen, es ist eine mehr als die vorherige. Im zweiten - drei. Jede Zahl ist dreimal größer als die vorherige. Tatsächlich ist es dieser Moment, der uns die Gelegenheit gibt, das Muster zu erfassen und die nachfolgenden Zahlen zu berechnen.

Dritter wichtiger Punkt.

Dieser Moment ist nicht auffällig, ja ... Aber sehr, sehr wichtig. Da ist er: Jede Fortschrittsnummer befindet sich an ihrer Stelle. Es gibt die erste Zahl, es gibt die siebte, es gibt die fünfundvierzigste und so weiter. Wenn Sie sie willkürlich verwechseln, verschwindet das Muster. Auch die arithmetische Progression verschwindet. Es ist nur eine Reihe von Zahlen.

Das ist der springende Punkt.

Natürlich erscheinen im neuen Thema neue Begriffe und Notationen. Sie müssen es wissen. Sonst verstehst du die Aufgabe nicht. Zum Beispiel müssen Sie etwas entscheiden wie:

Schreiben Sie die ersten sechs Terme der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiriert es?) Briefe, einige Indexe ... Und die Aufgabe könnte übrigens nicht einfacher sein. Sie müssen nur die Bedeutung der Begriffe und der Notation verstehen. Jetzt werden wir diese Angelegenheit meistern und zur Aufgabe zurückkehren.

Begriffe und Bezeichnungen.

Arithmetische Progression ist eine Reihe von Zahlen, bei denen sich jede Zahl von der vorherigen unterscheidet um den gleichen Betrag.

Dieser Wert wird aufgerufen . Gehen wir näher auf dieses Konzept ein.

Arithmetische Progressionsdifferenz.

Arithmetische Progressionsdifferenz ist der Betrag, um den jede Progressionsnummer mehr Der vorherige.

Ein wichtiger Punkt. Bitte achten Sie auf das Wort "mehr". Mathematisch bedeutet dies, dass jede Progressionsnummer erhalten wird hinzufügen die Differenz einer arithmetischen Progression zur vorherigen Zahl.

Um zu rechnen, sagen wir zweite Zahlen der Zeile, ist es notwendig Erste Anzahl hinzufügen eben dieser Unterschied einer arithmetischen Progression. Zur Berechnung fünfte- Der Unterschied ist notwendig hinzufügen zu vierte naja usw.

Arithmetische Progressionsdifferenz kann sein positiv dann wird sich jede Zahl der Reihe als echt herausstellen mehr als die vorherige. Diese Progression wird aufgerufen zunehmend. Zum Beispiel:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Hier ist jede Zahl hinzufügen positive Zahl, +5 zur vorherigen.

Der Unterschied kann sein Negativ dann wird jede Zahl in der Reihe sein weniger als die vorherige. Dieser Fortschritt heißt (Sie werden es nicht glauben!) abnehmend.

Zum Beispiel:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Auch hier wird jede Zahl ermittelt hinzufügen zur vorherigen, aber bereits negativen Zahl, -5.

Übrigens ist es bei der Arbeit mit einer Progression sehr nützlich, sofort ihre Art zu bestimmen - ob sie zunimmt oder abnimmt. Es hilft sehr, sich in der Entscheidung zurechtzufinden, seine Fehler zu erkennen und zu korrigieren, bevor es zu spät ist.

Arithmetische Progressionsdifferenz normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet d.

Wie findet man d? Sehr einfach. Es ist notwendig, von einer beliebigen Zahl der Reihe zu subtrahieren Bisherige Anzahl. Subtrahieren. Das Ergebnis der Subtraktion heißt übrigens "Differenz".)

Definieren wir zum Beispiel d für eine steigende arithmetische Progression:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Wir nehmen eine beliebige Zahl der gewünschten Zeile, zum Beispiel 11. Subtrahieren Sie davon die vorherige Nummer jene. acht:

Dies ist die richtige Antwort. Für diese arithmetische Progression beträgt die Differenz drei.

Du kannst einfach nehmen beliebig viele Progressionen, da für einen bestimmten Verlauf d-immer gleich. Zumindest irgendwo am Anfang der Reihe, zumindest in der Mitte, zumindest irgendwo. Sie können nicht nur die allererste Nummer nehmen. Nur weil die allererste Nummer Keine vorherige.)

Übrigens, das zu wissen d=3, ist es sehr einfach, die siebte Zahl dieser Progression zu finden. Wir addieren 3 zur fünften Zahl - wir erhalten die sechste, es wird 17. Wir addieren drei zur sechsten Zahl, wir erhalten die siebte Zahl - zwanzig.

Lassen Sie uns definieren d für fallende arithmetische Progression:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ich erinnere Sie daran, dass Sie unabhängig von den Anzeichen feststellen müssen d von einer beliebigen Nummer benötigt den vorherigen wegnehmen. Wir wählen eine beliebige Anzahl von Progressionen, zum Beispiel -7. Seine vorherige Nummer ist -2. Dann:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Die Differenz einer arithmetischen Folge kann eine beliebige Zahl sein: ganzzahlig, gebrochen, irrational, beliebig.

Andere Begriffe und Bezeichnungen.

Jede Nummer in der Reihe wird aufgerufen Mitglied einer arithmetischen Folge.

Jedes Mitglied der Progression hat seine Nummer. Die Zahlen sind streng in Ordnung, ohne irgendwelche Tricks. Erster, zweiter, dritter, vierter usw. Zum Beispiel in der Progression 2, 5, 8, 11, 14, ... zwei ist das erste Mitglied, fünf ist das zweite, elf ist das vierte, nun, Sie verstehen ...) Bitte verstehen Sie klar - die Zahlen selbst kann absolut alles sein, ganz, gebrochen, negativ, was auch immer, aber Nummerierung- streng in ordnung!

Wie schreibe ich eine Progression in allgemeiner Form? Kein Problem! Jede Zahl in der Reihe wird als Buchstabe geschrieben. Zur Bezeichnung einer arithmetischen Folge wird in der Regel der Buchstabe verwendet a. Die Mitgliedsnummer wird durch den Index unten rechts angezeigt. Elemente werden wie folgt durch Kommas (oder Semikolons) getrennt geschrieben:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

eine 1 ist die erste Zahl eine 3- Dritte usw. Nichts kniffliges. Sie können diese Serie kurz so schreiben: (ein).

Es gibt Progressionen endlich und unendlich.

ultimative Die Progression hat eine begrenzte Anzahl von Mitgliedern. Fünf, achtunddreißig, was auch immer. Aber es ist eine endliche Zahl.

Endlos Progression - hat eine unendliche Anzahl von Mitgliedern, wie Sie sich vorstellen können.)

Sie können eine letzte Progression durch eine Reihe wie diese schreiben, alle Mitglieder und einen Punkt am Ende:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Oder so, wenn es viele Mitglieder gibt:

eine 1 , eine 2 , ... eine 14 , eine 15 .

Bei einem Kurzeintrag müssen Sie zusätzlich die Anzahl der Mitglieder angeben. Zum Beispiel (für zwanzig Mitglieder) so:

(ein n), n = 20

Eine unendliche Progression ist an den Auslassungspunkten am Ende der Zeile zu erkennen, wie in den Beispielen dieser Lektion.

Jetzt können Sie bereits Aufgaben lösen. Die Aufgaben sind einfach, nur um die Bedeutung der arithmetischen Folge zu verstehen.

Beispiele für Aufgaben zur arithmetischen Progression.

Schauen wir uns die obige Aufgabe genauer an:

1. Schreiben Sie die ersten sechs Glieder der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.

Wir übersetzen die Aufgabenstellung in verständliche Sprache. Gegeben sei eine unendliche arithmetische Progression. Die zweite Zahl dieser Progression ist bekannt: a 2 = 5. Bekannter Progressionsunterschied: d = -2,5. Wir müssen das erste, dritte, vierte, fünfte und sechste Mitglied dieser Progression finden.

Zur Verdeutlichung werde ich je nach Zustand des Problems eine Reihe aufschreiben. Die ersten sechs Mitglieder, wobei das zweite Mitglied fünf ist:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....

eine 3 = eine 2 + d

Wir ersetzen im Ausdruck a 2 = 5 und d=-2,5. Minus nicht vergessen!

eine 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Der dritte Term ist kleiner als der zweite. Alles ist logisch. Wenn die Zahl größer als die vorherige ist Negativ Wert, so dass die Zahl selbst kleiner als die vorherige sein wird. Die Progression nimmt ab. Okay, nehmen wir es in Betracht.) Wir betrachten das vierte Mitglied unserer Reihe:

eine 4 = eine 3 + d

eine 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

eine 5 = eine 4 + d

eine 5=0+(-2,5)= - 2,5

eine 6 = eine 5 + d

eine 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Also wurden die Terme vom dritten bis zum sechsten berechnet. Daraus ist eine Reihe entstanden:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Es bleibt der erste Term zu finden eine 1 nach der bekannten Sekunde. Dies ist ein Schritt in die andere Richtung, nach links.) Daher der Unterschied in der arithmetischen Progression d sollte nicht hinzugefügt werden eine 2, a wegbringen:

eine 1 = eine 2 - d

eine 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Das ist alles dazu. Aufgabenantwort:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Nebenbei stelle ich fest, dass wir diese Aufgabe gelöst haben wiederkehrend Weg. Dieses schreckliche Wort bedeutet nur die Suche nach einem Mitglied der Progression durch die vorherige (benachbarte) Zahl. Andere Möglichkeiten, mit der Progression zu arbeiten, werden später besprochen.

Aus dieser einfachen Aufgabe kann eine wichtige Schlussfolgerung gezogen werden.

Erinnern:

Wenn wir mindestens ein Glied und die Differenz einer arithmetischen Folge kennen, können wir jedes Glied dieser Folge finden.

Erinnern? Diese einfache Schlussfolgerung ermöglicht es uns, die meisten Probleme des Schulkurses zu diesem Thema zu lösen. Alle Aufgaben drehen sich um drei Hauptparameter: Glied einer arithmetischen Folge, Differenz einer Folge, Anzahl eines Gliedes einer Folge. Alles.

Natürlich wird nicht die gesamte vorherige Algebra gestrichen.) Ungleichungen, Gleichungen und andere Dinge werden an die Progression angehängt. Aber nach Verlauf- alles dreht sich um drei Parameter.

Betrachten Sie beispielsweise einige beliebte Aufgaben zu diesem Thema.

2. Schreiben Sie die endgültige arithmetische Folge als Reihe, wenn n = 5, d = 0,4 und a 1 = 3,6.

Hier ist alles einfach. Alles ist bereits gegeben. Sie müssen sich daran erinnern, wie die Mitglieder einer arithmetischen Folge berechnet, gezählt und aufgeschrieben werden. Es ist ratsam, die Wörter in der Aufgabenbedingung nicht zu überspringen: "final" und " n=5". Um nicht zu zählen, bis Sie ganz blau im Gesicht sind.) Es gibt nur 5 (fünf) Mitglieder in dieser Progression:

ein 2 \u003d ein 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

ein 3 \u003d ein 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

eine 4 = eine 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

eine 5 = eine 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Es bleibt, die Antwort aufzuschreiben:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Eine weitere Aufgabe:

3. Bestimmen Sie, ob die Zahl 7 ein Mitglied einer arithmetischen Folge sein wird (a n) if ein 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hm... Wer weiß? Wie definiert man etwas?

How-how ... Ja, schreiben Sie den Verlauf in Form einer Reihe auf und sehen Sie, ob es eine Sieben gibt oder nicht! Wir glauben:

ein 2 \u003d ein 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

ein 3 \u003d ein 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

eine 4 = eine 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Jetzt sieht man deutlich, dass wir nur sieben sind durchgerutscht zwischen 6,5 und 7,7! Die Sieben ist nicht in unsere Zahlenreihe gekommen, und deshalb wird die Sieben kein Mitglied der gegebenen Progression sein.

Antwort: nein.

Und hier ist eine Aufgabe, die auf einer echten Version des GIA basiert:

4. Mehrere aufeinanderfolgende Glieder der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:

...; fünfzehn; X; neun; 6; ...

Hier ist eine Serie ohne Ende und Anfang. Keine Mitgliedsnummern, kein Unterschied d. Nichts Schlimmes. Um das Problem zu lösen, reicht es aus, die Bedeutung einer arithmetischen Progression zu verstehen. Mal sehen und sehen, was wir können entdecken aus dieser Zeile? Was sind die Parameter der drei wichtigsten?

Mitgliedsnummern? Hier gibt es keine einzige Zahl.

Aber da sind drei Nummern und - Achtung! - Wort "aufeinanderfolgenden" im Zustand. Das bedeutet, dass die Nummern streng geordnet sind, ohne Lücken. Gibt es zwei in dieser Reihe? benachbart bekannte Nummern? Ja, gibt es! Das sind 9 und 6. Wir können also die Differenz einer arithmetischen Folge berechnen! Wir subtrahieren von der Sechs Bisherige Nummer, d.h. neun:

Es bleiben Leerstellen. Welche Zahl wird die vorherige für x sein? Fünfzehn. x kann also leicht durch einfache Addition gefunden werden. Zu 15 füge die Differenz einer arithmetischen Folge hinzu:

Das ist alles. Antworten: x=12

Folgende Probleme lösen wir selbst. Hinweis: Diese Rätsel sind nicht für Formeln. Rein zum Verständnis der Bedeutung einer arithmetischen Folge.) Wir schreiben einfach eine Reihe von Zahlen-Buchstaben auf, schauen und denken.

5. Finden Sie den ersten positiven Term der arithmetischen Folge, wenn a 5 = -3; d = 1,1.

6. Es ist bekannt, dass die Zahl 5,5 ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n) ist, wobei a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestimmen Sie die Anzahl n dieses Gliedes.

7. Es ist bekannt, dass in einer arithmetischen Folge a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Finde eine 3.

8. Mehrere aufeinanderfolgende Glieder der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:

...; 15,6; X; 3.4; ...

Finden Sie den Term der Progression, gekennzeichnet durch den Buchstaben x.

9. Der Zug setzte sich vom Bahnhof in Bewegung und erhöhte seine Geschwindigkeit allmählich um 30 Meter pro Minute. Wie schnell wird der Zug in fünf Minuten sein? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

10. Es ist bekannt, dass in einer arithmetischen Folge a 2 = 5; eine 6 = -5. Finde eine 1.

Antworten (in Unordnung): 7,7; 7,5; 9,5; neun; 0,3; 4.

Es hat alles geklappt? Tolle! In den folgenden Lektionen können Sie die arithmetische Progression auf einem höheren Niveau lernen.

Hat nicht alles geklappt? Kein Problem. Im Sonderteil 555 werden all diese Probleme in Einzelteile zerlegt.) Und natürlich wird eine einfache praktische Technik beschrieben, die die Lösung solcher Aufgaben sofort klar, deutlich, wie in der Handfläche hervorhebt!

Übrigens gibt es im Rätsel um den Zug zwei Probleme, über die die Leute oft stolpern. Eine - rein durch Progression und die zweite - gemeinsam mit allen Aufgaben in Mathematik und auch in Physik. Dies ist eine Übersetzung von Dimensionen von einer zur anderen. Es zeigt, wie diese Probleme gelöst werden sollten.

In dieser Lektion haben wir die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge und ihre Hauptparameter untersucht. Dies reicht aus, um fast alle Probleme zu diesem Thema zu lösen. Hinzufügen d zu den Zahlen, schreib eine Serie, alles wird sich entscheiden.

Die Fingerlösung funktioniert gut für sehr kurze Stücke der Serie, wie in den Beispielen in dieser Lektion. Wenn die Reihe länger ist, werden die Berechnungen komplizierter. Zum Beispiel, wenn in Problem 9 in der Frage, ersetzen "fünf Minuten" auf der „fünfunddreißig Minuten“ das Problem wird viel schlimmer.)

Und es gibt auch Aufgaben, die im Grunde einfach, aber rechnerisch völlig absurd sind, zum Beispiel:

Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n). Finden Sie a 121, wenn a 1 = 3 und d = 1/6.

Und was, wir werden viele, viele Male 1/6 hinzufügen?! Kann man sich umbringen!?

Sie können.) Wenn Sie keine einfache Formel kennen, mit der Sie solche Aufgaben in einer Minute lösen können. Diese Formel finden Sie in der nächsten Lektion. Und dieses Problem ist dort gelöst. In einer Minute.)

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.