Die Ihnen bis zu einem gewissen Grad vertraut waren. Dort wurde auch darauf hingewiesen, dass der Bestand an Funktionsimmobilien sukzessive wieder aufgefüllt wird. In diesem Abschnitt werden zwei neue Eigenschaften besprochen.

Bestimmung 1.

Die Funktion y \u003d f (x), x є X, wird aufgerufen, auch wenn für einen beliebigen Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) \u003d f (x) gilt.

Bestimmung 2.

Die Funktion y \u003d f (x), x є X, heißt ungerade, wenn für jeden Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) \u003d -f (x) wahr ist.

Beweisen Sie, dass y = x 4 eine gerade Funktion ist.

Entscheidung. Wir haben: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Aber (-x) 4 = x 4 . Daher gilt für jedes x die Gleichheit f (-x) = f (x), d.h. die Funktion ist gerade.

Ebenso kann bewiesen werden, dass die Funktionen y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 gerade sind.

Beweisen Sie, dass y = x 3 eine ungerade Funktion ist.

Entscheidung. Wir haben: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Aber (-x) 3 = -x 3 . Daher ist für jedes x die Gleichheit f (-x) \u003d -f (x), d.h. Die Funktion ist ungerade.

Ebenso kann bewiesen werden, dass die Funktionen y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ungerade sind.

Sie und ich haben uns immer wieder davon überzeugt, dass neue Begriffe in der Mathematik meist einen „irdischen“ Ursprung haben, d.h. sie lassen sich irgendwie erklären. Dies gilt sowohl für gerade als auch für ungerade Funktionen. Siehe: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sind ungerade Funktionen, während y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 gerade Funktionen sind. Und im Allgemeinen können wir für jede Funktion der Form y \u003d x "(unten werden wir diese Funktionen speziell untersuchen), bei der n eine natürliche Zahl ist, schließen: Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann die Funktion y \u003d x " ist ungerade; wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist die Funktion y = xn gerade.

Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Dies ist zum Beispiel die Funktion y \u003d 2x + 3. In der Tat f (1) \u003d 5 und f (-1) \u003d 1. Wie Sie sehen können, hier also weder die Identität f (-x ) \u003d f ( x), noch die Identität f(-x) = -f(x).

Eine Funktion kann also gerade, ungerade oder keines von beiden sein.

Die Untersuchung der Frage, ob eine gegebene Funktion gerade oder ungerade ist, wird üblicherweise als Untersuchung der Funktion für die Parität bezeichnet.

Die Definitionen 1 und 2 befassen sich mit den Werten der Funktion an den Punkten x und -x. Dies setzt voraus, dass die Funktion sowohl am Punkt x als auch am Punkt -x definiert ist. Das bedeutet, dass der Punkt -x gleichzeitig mit dem Punkt x zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Enthält eine Zahlenmenge X zusammen mit jedem ihrer Elemente x das entgegengesetzte Element -x, so heißt X eine symmetrische Menge. Sagen wir (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sind symmetrische Mengen, während : let x 1a;b, a x 2a;b .

Die Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, bei der jeder Wert von x einem einzelnen Wert von y entspricht, wird als Funktion bezeichnet. Die Notation ist y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften wie Monotonie, Parität, Periodizität und andere.

Betrachten Sie die Paritätseigenschaft genauer.

Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Geltungsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d f (-x) wahr sein.

Graph einer geraden Funktion

Wenn Sie einen Graphen einer geraden Funktion erstellen, ist er symmetrisch zur y-Achse.

Beispielsweise ist die Funktion y=x^2 gerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Daher gilt f(x) = f(-x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion gerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^2.

Die Abbildung zeigt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Graph einer ungeraden Funktion

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

1. Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion muss in Bezug auf den Punkt O symmetrisch sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, dann muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich der gegebenen Funktion gehören.

2. Für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d -f (x) erfüllt sein.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch um den Punkt O - den Ursprung. Beispielsweise ist die Funktion y=x^3 ungerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Also f(x) = -f(x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^3.

Die Abbildung zeigt deutlich, dass die ungerade Funktion y=x^3 bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist.