Bei der Rechteckprojektion besteht das System der Projektionsebenen aus zwei senkrecht zueinander stehenden Projektionsebenen (Abb. 2.1). Einer stimmte zu, horizontal und der andere vertikal platziert zu werden.

Die horizontal angeordnete Projektionsebene wird genannt horizontale Projektionsebene und bezeichnen sch, und die Ebene senkrecht dazu frontale Projektionsebenel 2 . Das System der Projektionsebenen selbst ist bezeichnet p / p 2. Verwenden Sie normalerweise abgekürzte Ausdrücke: Ebene L[, Flugzeug n 2 . Schnittlinie von Ebenen sch und zu 2 genannt ProjektionsachseOH. Es teilt jede Projektionsebene in zwei Teile - Etagen. Die horizontale Projektionsebene hat ein vorderes und ein hinteres Stockwerk, während die Frontalebene ein oberes und ein unteres Stockwerk hat.

Flugzeuge sch und S. 2 Teilen Sie den Raum in vier Teile genannt Viertel und mit den römischen Ziffern I, II, III und IV bezeichnet (siehe Abb. 2.1). Das erste Viertel wird der Teil des Raums genannt, der durch die obere hohle Frontal- und die vordere hohle horizontale Projektionsebene begrenzt wird. Für die restlichen Viertel des Raums ähneln die Definitionen der vorherigen.

Alle Konstruktionszeichnungen sind Bilder, die auf derselben Ebene erstellt wurden. Auf Abb. 2.1 Das System der Projektionsebenen ist räumlich. Um zu Bildern auf derselben Ebene zu gelangen, einigten wir uns darauf, die Projektionsebenen zu kombinieren. Normalerweise Flugzeug S. 2 links regungslos, und das Flugzeug P in Pfeilrichtung (siehe Abb. 2.1) um die Achse drehen OH in einem Winkel von 90 °, bis es mit der Ebene ausgerichtet ist n 2 . Bei einer solchen Drehung sinkt der vordere Boden der horizontalen Ebene und der hintere steigt an. Nach dem Ausrichten haben die Ebenen die abgebildete Form

Weibchen in Abb. 2.2. Es wird angenommen, dass die Projektionsebenen undurchsichtig sind und sich der Betrachter immer im ersten Viertel befindet. Auf Abb. 2.2 wird die Bezeichnung von Ebenen, die nach dem Ausrichten unsichtbar sind, in Klammern gesetzt, wie es zum Hervorheben von unsichtbaren Figuren in den Zeichnungen üblich ist.

Der projizierte Punkt kann sich in einem beliebigen Viertel des Raums oder auf einer beliebigen Projektionsebene befinden. In allen Fällen werden zum Konstruieren von Projektionen Projektionslinien durchgezogen und ihre Treffpunkte mit den Ebenen 711 und 712 gefunden, die Projektionen sind.

Betrachten Sie die Projektion eines Punktes im ersten Viertel. Das System der Projektionsebenen 711/712 und der Punkt ABER(Abb. 2.3). Zwei gerade LINIEN werden durch sie gezogen, senkrecht zu den EBENEN 71) UND 71 2. Einer von ihnen wird die Ebene 711 an diesem Punkt schneiden ABER ", genannt horizontale Projektion von Punkt A, und der andere ist die Ebene 71 2 an dem Punkt ABER ", genannt Frontalprojektion von Punkt A.

Vorspringende Linien AA" und AA" Bestimmen Sie die Projektionsebene a. Es steht senkrecht zu den Ebenen Tipp 2, da es durch Senkrechte zu ihnen verläuft und die Projektionsebenen entlang gerader Linien schneidet Ein "Ah und A" Ein x. Projektionsachse OH senkrecht zur Ebene oc als Schnittlinie zweier Ebenen 71| und 71 2 senkrecht zur dritten Ebene (a) und damit zu jeder darin liegenden Linie. Insbesondere, 0X1A "Ein x und 0X1A "Ein x.

Beim Kombinieren von Flugzeugen wird das Segment Ein „Ach, eben zu 2, bleibt stationär, und das Segment Ein „Ax zusammen mit der Ebene 71) um die Achse gedreht OH bis sie mit der Ebene 71 2 ausgerichtet sind. Ansicht kombinierter Projektionsebenen zusammen mit Projektionen eines Punktes ABER in Abb. gezeigt. 2.4, a. Nach dem Ausrichten des Punktes A", A x und A" befindet sich auf einer geraden Linie senkrecht zur Achse OH. Dies impliziert, dass zwei Projektionen denselben Punkt haben

liegen auf einer gemeinsamen Senkrechten zur Projektionsachse. Diese senkrechte Verbindung zweier Projektionen desselben Punktes wird genannt Projektionslinie.

Die Zeichnung in Abb. 2.4, a stark vereinfacht werden kann. Die Bezeichnungen der kombinierten Projektionsebenen in den Zeichnungen sind nicht markiert und die die Projektionsebenen bedingt begrenzenden Rechtecke sind nicht dargestellt, da die Ebenen unbegrenzt sind. Vereinfachte Punktzeichnung ABER(Abb. 2.4, b) auch genannt Diagramm(Aus dem Französischen? pure - Zeichnung).

In Abb. gezeigt. 2.3 Viereck AE4 "AXA" ist ein Rechteck und seine gegenüberliegenden Seiten sind gleich und parallel. Daher die Entfernung vom Punkt ABER bis zum Flugzeug P, gemessen durch ein Segment AA", in der Zeichnung wird durch das Segment bestimmt Ein „Ah. Das Segment A "A x = AA" ermöglicht es Ihnen, die Entfernung von einem Punkt aus zu beurteilen ABER bis zum Flugzeug zu 2 . Somit ergibt das Zeichnen eines Punktes ein vollständiges Bild seiner Lage relativ zu den Projektionsebenen. Beispielsweise gemäß Zeichnung (siehe Abb. 2.4, b) es kann argumentiert werden, dass der Punkt ABER im ersten Quartal angesiedelt und aus dem Flugzeug entfernt S. 2 zu einem kürzeren Abstand als von der Ebene ts b da Ein „Ax Ein „Ah.

Fahren wir mit der Projektion eines Punktes in das zweite, dritte und vierte Viertel des Raums fort.

Beim Projizieren eines Punktes BEI, befindet sich im zweiten Viertel (Abb. 2.5), befinden sich nach der Kombination der Ebenen beide Projektionen über der Achse OH.

Die horizontale Projektion des Punktes C, angegeben im dritten Viertel (Abb. 2.6), befindet sich oberhalb der Achse OH, und die Front ist niedriger.

Punkt D in Abb. 1 dargestellt. 2,7 liegt im vierten Quartal. Nach dem Kombinieren der Projektionsebenen liegen beide Projektionen unterhalb der Achse OH.

Wenn Sie die Zeichnungen von Punkten vergleichen, die sich in verschiedenen Raumvierteln befinden (siehe Abb. 2.4-2.7), können Sie sehen, dass jeder durch seine eigene Projektionsposition relativ zur Projektionsachse gekennzeichnet ist OH.

In besonderen Fällen kann der projizierte Punkt auf der Projektionsebene liegen. Dann fällt eine seiner Projektionen mit dem Punkt selbst zusammen und die andere befindet sich auf der Projektionsachse. Zum Beispiel für einen Punkt E, im Flugzeug liegen sch(Abb. 2.8), die horizontale Projektion fällt mit dem Punkt selbst zusammen und die Frontalprojektion liegt auf der Achse OH. Am Punkt E, befindet sich im Flugzeug zu 2(Abb. 2.9), horizontale Projektion auf die Achse OH, und die Front fällt mit dem Punkt selbst zusammen.

PROJEKTION EINES PUNKTES AUF ZWEI EBENEN VON PROJEKTIONEN

Die Bildung eines geraden Liniensegments AA 1 kann als Ergebnis der Bewegung des Punktes A in einer beliebigen Ebene H (Abb. 84, a) dargestellt werden, und die Bildung einer Ebene kann als Verschiebung eines geraden Liniensegments AB ( Abb. 84, b).

Ein Punkt ist das wichtigste geometrische Element einer Linie und Fläche, daher beginnt die Untersuchung der rechteckigen Projektion eines Objekts mit der Konstruktion rechteckiger Projektionen eines Punktes.

Im Raum des Diederwinkels, der durch zwei senkrechte Ebenen gebildet wird - die vordere (vertikale) Projektionsebene V und die horizontale Projektionsebene H - platzieren wir den Punkt A (Abb. 85, a).

Die Schnittlinie der Projektionsebenen ist eine gerade Linie, die als Projektionsachse bezeichnet und mit dem Buchstaben x bezeichnet wird.

Die V-Ebene ist hier als Rechteck und die H-Ebene als Parallelogramm dargestellt. Die geneigte Seite dieses Parallelogramms wird normalerweise in einem Winkel von 45 ° zu seiner horizontalen Seite gezeichnet. Die Länge der geneigten Seite wird gleich 0,5 ihrer tatsächlichen Länge genommen.

Von Punkt A aus werden Senkrechte auf die Ebenen V und H abgesenkt. Die Punkte a" und a des Schnittpunkts der Senkrechten mit den Projektionsebenen V und H sind rechteckige Projektionen des Punktes A. Die Figur Aaa x a" im Raum ist ein Rechteck. Die Seitenachse dieses Rechtecks ​​im visuellen Bild wird um das Zweifache reduziert.

Lassen Sie uns die H-Ebene mit der V-Ebene ausrichten, indem wir V um die Schnittlinie der x-Ebenen drehen. Das Ergebnis ist eine komplexe Zeichnung von Punkt A (Abb. 85, b)

Um die komplexe Zeichnung zu vereinfachen, sind die Grenzen der Projektionsebenen V und H nicht angegeben (Abb. 85, c).

Senkrechte, die von Punkt A zu den Projektionsebenen gezogen werden, werden Projektionslinien genannt, und die Basen dieser Projektionslinien – die Punkte a und a „werden Projektionen von Punkt A genannt: a“ ist die Frontalprojektion von Punkt A, a ist die horizontale Projektion von Punkt A.

Die Linie a "a wird die vertikale Linie der Projektionsverbindung genannt.

Der Ort der Projektion eines Punktes auf einer komplexen Zeichnung hängt von der Position dieses Punktes im Raum ab.

Wenn Punkt A auf der horizontalen Projektionsebene H liegt (Abb. 86, a), fällt seine horizontale Projektion a mit dem angegebenen Punkt zusammen, und die Frontalprojektion a "befindet sich auf der Achse. Wenn sich Punkt B auf der Frontalprojektion befindet Ebene V, ihre Frontalprojektion fällt mit diesem Punkt zusammen, und die horizontale Projektion liegt auf der x-Achse.Die horizontale und frontale Projektion eines gegebenen Punktes C, der auf der x-Achse liegt, fallen mit diesem Punkt zusammen.Eine komplexe Zeichnung von Punkten A, B und C ist in Abb. 86, b.

PROJEKTION EINES PUNKTES AUF DREI EBENEN VON PROJEKTIONEN

In Fällen, in denen es unmöglich ist, sich die Form eines Objekts mit zwei Projektionen vorzustellen, wird es auf drei Projektionsebenen projiziert. In diesem Fall wird die Profilebene der Projektionen W eingeführt, die senkrecht zu den Ebenen V und H steht. Eine visuelle Darstellung des Systems von drei Projektionsebenen ist in Fig. 2 gegeben. 87 ein.

Die Kanten eines Dreikantwinkels (der Schnittpunkt von Projektionsebenen) werden als Projektionsachsen bezeichnet und mit x, y und z bezeichnet. Der Schnittpunkt der Projektionsachsen wird als Anfang der Projektionsachsen bezeichnet und mit dem Buchstaben O bezeichnet. Lassen Sie uns die Senkrechte von Punkt A auf die Projektionsebene W fallen lassen und die Basis der Senkrechten mit dem Buchstaben a markieren Erhalten Sie die Profilprojektion von Punkt A.

Um eine komplexe Zeichnung zu erhalten, werden die Punkte A der H- und W-Ebene mit der V-Ebene ausgerichtet und um die Ox- und Oz-Achse gedreht. Eine komplexe Zeichnung von Punkt A ist in Abb. 1 dargestellt. 87b und c.

Die Segmente der Projektionslinien vom Punkt A zu den Projektionsebenen heißen die Koordinaten des Punktes A und werden bezeichnet mit: x A, y A und z A.

Zum Beispiel ist die Koordinate z A von Punkt A, gleich dem Segment a "a x (Abb. 88, a und b), der Abstand von Punkt A zur horizontalen Projektionsebene H. Die Koordinate am Punkt A, gleich der Segment aa x, ist der Abstand von Punkt A zur Frontalebene der Projektionen V. Die Koordinate x A gleich dem Segment aa y ist der Abstand von Punkt A zur Profilebene der Projektionen W.

Somit bestimmt der Abstand zwischen der Projektion eines Punktes und der Projektionsachse die Koordinaten des Punktes und ist der Schlüssel zum Lesen seiner komplexen Zeichnung. Durch zwei Projektionen eines Punktes können alle drei Koordinaten eines Punktes bestimmt werden.

Wenn die Koordinaten von Punkt A angegeben sind (z. B. x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm und z A \u003d 25 mm), können drei Projektionen dieses Punktes erstellt werden.

Dazu wird vom Koordinatenursprung O in Richtung der Oz-Achse die Koordinate z A und die Koordinate y A angelegt. Segmente gleich der x-Koordinate A. Die resultierenden Punkte a" und a sind die frontale und horizontale Projektion des Punktes A.

Gemäß zwei Projektionen a " und einem Punkt A kann seine Profilprojektion auf drei Arten konstruiert werden:

1) Vom Ursprung O wird ein Hilfsbogen mit einem Radius Oa y gleich der Koordinate gezeichnet (Abb. 87, b und c), vom erhaltenen Punkt a y1 eine gerade Linie parallel zur Oz-Achse zeichnen und a legen Segment gleich z A;

2) vom Punkt a y wird eine Hilfsgerade in einem Winkel von 45 ° zur Achse Oy gezogen (Abb. 88, a), ein Punkt a y1 wird erhalten usw.;

3) Zeichnen Sie vom Ursprung O aus eine Hilfsgerade in einem Winkel von 45 ° zur Achse Oy (Abb. 88, b), erhalten Sie einen Punkt a y1 usw.

In diesem Artikel finden wir Antworten auf Fragen, wie man eine Projektion eines Punktes auf eine Ebene erstellt und wie man die Koordinaten dieser Projektion bestimmt. Im theoretischen Teil werden wir uns auf das Konzept der Projektion stützen. Wir geben Begriffsdefinitionen und begleiten die Informationen mit Illustrationen. Festigen wir das erworbene Wissen durch das Lösen von Beispielen.

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Projektion, Projektionsarten

Zur bequemeren Betrachtung räumlicher Figuren werden Zeichnungen verwendet, die diese Figuren darstellen.

Bestimmung 1

Projektion einer Figur auf eine Ebene- eine Zeichnung einer räumlichen Figur.

Offensichtlich gibt es eine Reihe von Regeln, die verwendet werden, um eine Projektion zu konstruieren.

Bestimmung 2

Projektion- der Prozess der Konstruktion einer Zeichnung einer räumlichen Figur in einer Ebene unter Verwendung von Konstruktionsregeln.

Projektionsebene ist die Ebene, in der das Bild aufgebaut ist.

Die Anwendung bestimmter Regeln bestimmt die Art der Projektion: zentral oder parallel.

Ein Spezialfall der Parallelprojektion ist die Lotprojektion oder Orthogonalprojektion: In der Geometrie wird sie hauptsächlich verwendet. Aus diesem Grund wird das Adjektiv „senkrecht“ selbst in der Rede oft weggelassen: In der Geometrie sagt man einfach „Projektion einer Figur“ und meint damit die Konstruktion einer Projektion durch die Methode der senkrechten Projektion. In besonderen Fällen kann natürlich auch etwas anderes vereinbart werden.

Wir bemerken die Tatsache, dass die Projektion einer Figur auf eine Ebene tatsächlich die Projektion aller Punkte dieser Figur ist. Um eine räumliche Figur in einer Zeichnung studieren zu können, ist es daher notwendig, die Grundfertigkeit zu erwerben, einen Punkt auf eine Ebene zu projizieren. Worüber wir weiter unten sprechen werden.

Denken Sie daran, dass sie in der Geometrie meistens die Verwendung einer senkrechten Projektion bedeuten, wenn sie von Projektion auf eine Ebene sprechen.

Wir werden Konstruktionen erstellen, die es uns ermöglichen, die Definition der Projektion eines Punktes auf eine Ebene zu erhalten.

Angenommen, ein dreidimensionaler Raum ist gegeben und darin - eine Ebene α und ein Punkt M 1, der nicht zur Ebene α gehört. Zeichnen Sie eine gerade Linie durch einen gegebenen Punkt M 1 a senkrecht zur gegebenen Ebene α. Der Schnittpunkt der Linie a und der Ebene α wird als H 1 bezeichnet, konstruktionsbedingt dient er als Basis der Senkrechten, die vom Punkt M 1 auf die Ebene α fällt.

Wenn ein Punkt M 2 gegeben ist, der zu einer gegebenen Ebene α gehört, dann dient M 2 als Projektion seiner selbst auf die Ebene α.

Bestimmung 3

ist entweder der Punkt selbst (wenn er zu einer gegebenen Ebene gehört) oder die Basis der Senkrechten, die von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Ebene fällt.

Finden der Koordinaten der Projektion eines Punktes auf einer Ebene, Beispiele

Gegeben sei im dreidimensionalen Raum: rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z, Ebene α, Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) . Es ist notwendig, die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 auf eine gegebene Ebene zu finden.

Die Lösung folgt offensichtlich aus der obigen Definition der Projektion eines Punktes auf eine Ebene.

Wir bezeichnen die Projektion des Punktes M 1 auf die Ebene α als H 1 . Laut Definition ist H 1 der Schnittpunkt der gegebenen Ebene α und der Geraden a durch den Punkt M 1 (senkrecht zur Ebene). Diese. die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1, die wir brauchen, sind die Koordinaten des Schnittpunktes der Linie a und der Ebene α.

Um also die Koordinaten der Projektion eines Punktes auf eine Ebene zu finden, ist es notwendig:

Holen Sie sich die Gleichung der Ebene α (falls sie nicht gesetzt ist). Ein Artikel über die Arten von Ebenengleichungen hilft Ihnen dabei;

Bestimmen Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt M 1 verläuft und senkrecht zur Ebene α verläuft (studieren Sie das Thema der Gleichung einer geraden Linie, die durch einen bestimmten Punkt verläuft, der senkrecht zu einer bestimmten Ebene verläuft);

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Linie a und der Ebene α (Artikel - Finden der Koordinaten des Schnittpunkts der Ebene und der Linie). Die erhaltenen Daten sind die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 auf die Ebene α, die wir benötigen.

Betrachten wir die Theorie an praktischen Beispielen.

Beispiel 1

Bestimmen Sie die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (- 2, 4, 4) auf die Ebene 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Lösung

Wie wir sehen können, ist uns die Gleichung der Ebene gegeben, d.h. es besteht keine Notwendigkeit, es zu komponieren.

Schreiben wir die kanonischen Gleichungen der geraden Linie a, die durch den Punkt M 1 verläuft und senkrecht zur gegebenen Ebene steht. Dazu bestimmen wir die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden a. Da die Linie a senkrecht zur gegebenen Ebene steht, ist der Richtungsvektor der Linie a der Normalenvektor der Ebene 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Auf diese Weise, a → = (2 , - 3 , 1) – Richtungsvektor der Linie a .

Jetzt stellen wir die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie im Raum zusammen, die durch den Punkt M 1 (- 2, 4, 4) verläuft und einen Richtungsvektor hat a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Um die gewünschten Koordinaten zu finden, ist der nächste Schritt, die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 und der Ebene zu bestimmen 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Dazu gehen wir von den kanonischen Gleichungen zu den Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen über:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Lassen Sie uns ein Gleichungssystem erstellen:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Und lösen Sie es mit Cramers Methode:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Somit werden die gewünschten Koordinaten eines gegebenen Punktes M 1 auf einer gegebenen Ebene &agr; sein: (0, 1, 5) .

Antworten: (0 , 1 , 5) .

Beispiel 2

Punkte À (0 , 0 , 2) sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem O x y z des dreidimensionalen Raums gegeben; In (2, - 1, 0) ; C (4, 1, 1) und M 1 (–1, –2, 5). Es ist notwendig, die Koordinaten der Projektion M 1 auf die Ebene A B C zu finden

Lösung

Zuerst schreiben wir die Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte geht:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Schreiben wir die parametrischen Gleichungen der geraden Linie a, die durch den Punkt M 1 senkrecht zur Ebene A B C verläuft. Die Ebene x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 hat einen Normalenvektor mit den Koordinaten (1, - 2, 2), d.h. Vektor a → = (1 , - 2 , 2) – Richtungsvektor der Linie a .

Mit den Koordinaten des Punktes der Linie M 1 und den Koordinaten des Richtungsvektors dieser Linie schreiben wir nun die parametrischen Gleichungen der Linie im Raum:

Dann bestimmen wir die Koordinaten des Schnittpunkts der Ebene x - 2 y + 2 z - 4 = 0 und der Linie

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Dazu setzen wir in die Gleichung der Ebene ein:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Unter Verwendung der parametrischen Gleichungen x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ finden wir die Werte der Variablen x, y und z bei λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Somit hat die Projektion des Punktes M 1 auf die Ebene A B C die Koordinaten (– 2, 0, 3).

Antworten: (- 2 , 0 , 3) .

Lassen Sie uns getrennt auf die Frage eingehen, die Koordinaten der Projektion eines Punktes auf den Koordinatenebenen und Ebenen, die parallel zu den Koordinatenebenen sind, zu finden.

Gegeben seien Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und Koordinatenebenen O x y , O x z und O y z. Die Projektionskoordinaten dieses Punktes auf diesen Ebenen sind jeweils: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) und (0 , y 1 , z 1) . Betrachten Sie auch die Ebenen parallel zu den gegebenen Koordinatenebenen:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Und die Projektionen des gegebenen Punktes M 1 auf diese Ebenen sind Punkte mit den Koordinaten x 1 , y 1 , -D C , x 1 , -D B , z 1 und -D A , y 1 , z 1 .

Lassen Sie uns zeigen, wie dieses Ergebnis erhalten wurde.

Als Beispiel definieren wir die Projektion des Punktes M 1 (x 1, y 1, z 1) auf die Ebene A x + D = 0. Die restlichen Fälle sind ähnlich.

Die gegebene Ebene ist parallel zur Koordinatenebene O y z und i → = (1 , 0 , 0) ist ihr Normalenvektor. Der gleiche Vektor dient als Richtungsvektor der Geraden senkrecht zur Ebene O y z . Dann sehen die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie, die durch den Punkt M 1 und senkrecht zu einer gegebenen Ebene gezogen wird, folgendermaßen aus:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts dieser Linie und der gegebenen Ebene. Wir setzen zuerst in die Gleichung A x + D = 0 Gleichungen ein: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 und erhalten: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x eins

Dann berechnen wir die gewünschten Koordinaten mit Hilfe der Parametergleichungen der Geraden für λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D EIN - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D EIN y = y 1 z = z 1

Das heißt, die Projektion des Punktes M 1 (x 1, y 1, z 1) auf die Ebene ist ein Punkt mit den Koordinaten –D A , y 1 , z 1 .

Beispiel 2

Es ist notwendig, die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (– 6 , 0 , 1 2 ) auf die Koordinatenebene O x y und auf die Ebene 2 y – 3 = 0 zu bestimmen.

Lösung

Die Koordinatenebene O x y wird der unvollständigen allgemeinen Gleichung der Ebene z = 0 entsprechen. Die Projektion des Punktes M 1 auf die Ebene z \u003d 0 hat Koordinaten (- 6, 0, 0) .

Die Ebenengleichung 2 y - 3 = 0 kann geschrieben werden als y = 3 2 2 . Schreiben Sie nun einfach die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (- 6 , 0 , 1 2) auf die Ebene y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Antworten:(- 6 , 0 , 0) und - 6 , 3 2 2 , 1 2

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Die Projektion eines Punktes auf drei Projektionsebenen des Koordinatenwinkels beginnt mit dem Erhalt seines Bildes auf der Ebene H - der horizontalen Projektionsebene. Dazu wird durch Punkt A (Abb. 4.12, a) ein Projektionsstrahl senkrecht zur Ebene H gezogen.

In der Figur ist die Senkrechte zur H-Ebene parallel zur Oz-Achse. Der Schnittpunkt des Strahls mit der Ebene H (Punkt a) ist willkürlich gewählt. Das Segment Aa bestimmt, wie weit Punkt A von der Ebene H entfernt ist, und zeigt somit eindeutig die Position von Punkt A in der Figur in Bezug auf die Projektionsebenen an. Punkt a ist eine rechteckige Projektion von Punkt A auf die Ebene H und wird als horizontale Projektion von Punkt A bezeichnet (Abb. 4.12, a).

Um ein Bild von Punkt A auf der Ebene V (Abb. 4.12, b) zu erhalten, wird ein Projektionsstrahl durch Punkt A senkrecht zur frontalen Projektionsebene V gezogen. In der Abbildung ist die Senkrechte zur Ebene V parallel zu Oy Achse. Auf der H-Ebene wird der Abstand von Punkt A zu Ebene V durch ein Segment aa x dargestellt, das parallel zur Oy-Achse und senkrecht zur Ox-Achse verläuft. Wenn wir uns vorstellen, dass der projizierende Strahl und sein Bild gleichzeitig in Richtung der Ebene V ausgeführt werden, dann schneidet der Strahl, wenn das Bild des Strahls die Achse Ox am Punkt a x schneidet, der Strahl die Ebene V am Punkt a. Zeichnung aus dem Punkt a x in der V-Ebene senkrecht zur Ox-Achse, die das Bild des projizierenden Strahls Aa auf der Ebene V ist, wird der Punkt a am Schnittpunkt mit dem projizierten Strahl erhalten. Punkt a" ist die Frontalprojektion von Punkt A, d. h. sein Bild auf der Ebene V.

Das Bild von Punkt A auf der Profilebene der Projektionen (Abb. 4.12, c) wird mit einem Projektionsstrahl senkrecht zur W-Ebene erstellt.In der Abbildung ist die Senkrechte zur W-Ebene parallel zur Ox-Achse. Der projizierte Strahl vom Punkt A zur Ebene W auf der Ebene H wird durch ein Segment aay dargestellt, das parallel zur Ox-Achse und senkrecht zur Oy-Achse verläuft. Vom Punkt Oy parallel zur Oz-Achse und senkrecht zur Oy-Achse wird ein Bild des Projektionsstrahls aA aufgebaut und am Schnittpunkt mit dem Projektionsstrahl der Punkt a erhalten Punkt a ist die Profilprojektion des Punktes A, also das Bild des Punktes A auf der Ebene W.

Der Punkt a "kann konstruiert werden, indem vom Punkt a" das Segment a "a z (das Bild des projizierten Strahls Aa" auf der Ebene V) parallel zur Ox-Achse und vom Punkt a z das Segment a "a z gezeichnet wird parallel zur Oy-Achse, bis sie den Projektionsstrahl schneidet.

Nachdem der Punkt A drei Projektionen auf die Projektionsebenen erhalten hat, wird der Koordinatenwinkel in einer Ebene eingesetzt, wie in Abb. 4.11, b, zusammen mit den Projektionen des Punktes A und der Projektionsstrahlen, und des Punktes A und der Projektionsstrahlen Aa, Aa "und Aa" werden entfernt. Die Kanten der kombinierten Projektionsebenen werden nicht ausgeführt, sondern nur die Projektionsachsen Oz, Oy und Ox, Oy 1 (Abb. 4.13).

Eine Analyse der orthogonalen Zeichnung eines Punktes zeigt, dass drei Entfernungen - Aa", Aa und Aa" (Abb. 4.12, c), die die Position von Punkt A im Raum charakterisieren, bestimmt werden können, indem das Projektionsobjekt selbst - Punkt A - verworfen wird , auf einem in einer Ebene aufgestellten Koordinatenwinkel (Abb. 4.13). Die Segmente a „a z, aa y und Oa x sind gleich Aa“ als gegenüberliegende Seiten der entsprechenden Rechtecke (Abb. 4.12, c und 4.13). Sie bestimmen den Abstand, in dem sich Punkt A von der Profilprojektionsebene befindet. Segmente a "a x, a" a y1 und Oa y sind gleich Segment Aa, bestimmen den Abstand von Punkt A zur horizontalen Projektionsebene, Segmente aa x, a "a z und Oa y 1 sind gleich Segment Aa", was bestimmt der Abstand von Punkt A zur Frontalprojektionsebene.

Die auf den Projektionsachsen befindlichen Segmente Oa x, Oa y und Oa z sind ein grafischer Ausdruck der Größen der X-, Y- und Z-Koordinaten des Punktes A. Die Punktkoordinaten sind mit dem Index des entsprechenden Buchstabens bezeichnet. Indem Sie die Größe dieser Segmente messen, können Sie die Position des Punktes im Raum bestimmen, d. h. die Koordinaten des Punktes festlegen.

Auf dem Diagramm sind die Segmente a "a x und aa x als eine Linie senkrecht zur Ox-Achse angeordnet, und die Segmente a" a z und a "a z - zur Oz-Achse. Diese Linien werden Projektionsverbindungslinien genannt. Sie schneiden die Projektionsachsen an den Punkten a x bzw. z.

Zwei Projektionen desselben Punktes liegen immer auf derselben Projektionsverbindungslinie senkrecht zur Projektionsachse.

Um die Position eines Punktes im Raum darzustellen, genügen zwei seiner Projektionen und ein gegebener Ursprung (Punkt O). 4.14, b, zwei Projektionen eines Punktes bestimmen vollständig seine Position im Raum.Mit diesen beiden Projektionen können Sie eine Profilprojektion von Punkt A erstellen. Wenn also in Zukunft keine Profilprojektion mehr erforderlich ist, werden Diagramme verwendet auf zwei Projektionsebenen aufgebaut: V und H.

Reis. 4.14. Reis. 4.15.

Betrachten wir einige Beispiele für das Erstellen und Lesen einer Punktzeichnung.

Beispiel 1 Bestimmung der Koordinaten des im Diagramm gegebenen Punktes J durch zwei Projektionen (Abb. 4.14). Es werden drei Segmente gemessen: Segment Ov X (X-Koordinate), Segment b X b (Y-Koordinate) und Segment b X b "(Z-Koordinate). Die Koordinaten werden in der folgenden Reihenfolge geschrieben: X, Y und Z nach der Buchstabenbezeichnung des Punktes, zum Beispiel B20; 30; 15.

Beispiel 2. Konstruktion eines Punktes nach den gegebenen Koordinaten. Punkt C ist durch die Koordinaten C30 gegeben; zehn; 40. Suchen Sie auf der Ox-Achse (Abb. 4.15) einen Punkt mit x, an dem die Linie der Projektionsverbindung die Projektionsachse schneidet. Dazu wird die X-Koordinate (Größe 30) entlang der Ox-Achse vom Ursprung (Punkt O) aufgetragen und ein Punkt mit x erhalten. Durch diesen Punkt, senkrecht zur Ox-Achse, wird eine Projektionsverbindungslinie gezogen und die Y-Koordinate wird vom Punkt (Größe 10) festgelegt, der Punkt c wird erhalten - die horizontale Projektion des Punktes C. Die Koordinate Z (Größe 40) vom Punkt c x nach oben entlang der Projektionsverbindungslinie (Größe 40) aufgetragen, erhält man den Punkt c" - Frontalprojektion des Punktes C.

Beispiel 3. Konstruktion einer Profilprojektion eines Punktes nach den gegebenen Projektionen. Die Projektionen des Punktes D - d und d werden gesetzt, durch den Punkt O werden die Projektionsachsen Oz, Oy und Oy 1 gezogen (Abb. 4.16, a) rechts hinter der Oz-Achse. Auf dieser Linie befindet sich die Profilprojektion des Punktes D. Sie befindet sich in einem solchen Abstand von der Oz-Achse, in dem sich die horizontale Projektion des Punktes d befindet: von der Ox-Achse, d.h. in einem Abstand dd x . Die Segmente d z d " und dd x sind gleich, da sie den gleichen Abstand bestimmen - den Abstand vom Punkt D zur Frontalprojektionsebene. Dieser Abstand ist die Y-Koordinate des Punktes D.

Grafisch wird das Segment d z d "gebaut, indem das Segment dd x von der horizontalen Projektionsebene auf die Profilebene übertragen wird. Zeichnen Sie dazu eine Projektionsverbindungslinie parallel zur Ox-Achse, erhalten Sie einen Punkt d y auf der Oy-Achse ( Abb. 4.16, b) Übertragen Sie dann die Größe des Segments Od y auf die Achse Oy 1 , indem Sie vom Punkt O aus einen Bogen mit einem Radius gleich dem Segment Od y ziehen, bis er die Achse Oy 1 schneidet (Abb. 4.16 , b), erhalten Sie den Punkt dy 1. Dieser Punkt kann konstruiert werden und, wie in Abb. 4.16, c, Zeichnen einer geraden Linie in einem Winkel von 45 ° zur Oy-Achse vom Punkt d y. Vom Punkt d y1 Zeichnen Sie eine Projektionsverbindungslinie parallel zur Oz-Achse und legen Sie ein Segment darauf, das dem Segment d "d x entspricht, erhalten Sie den Punkt d".

Die Übertragung des Wertes des Segments d x d auf die Profilebene der Projektionen kann mit einer konstanten Geradenzeichnung erfolgen (Abb. 4.16, d). In diesem Fall wird die Projektionsverbindungslinie dd y durch die horizontale Projektion des Punktes parallel zur Achse Oy 1 gezogen, bis sie sich mit einer konstanten Geraden schneidet, und dann parallel zur Achse Oy, bis sie sich mit der Fortsetzung der Projektion schneidet Verbindungsleitung d "d z.

Sonderfälle der Lage von Punkten relativ zu Projektionsebenen

Die Position eines Punktes relativ zur Projektionsebene wird durch die entsprechende Koordinate bestimmt, d. h. den Wert des Segments der Projektionsverbindungslinie von der Ox-Achse zur entsprechenden Projektion. Auf Abb. 4.17 Die Y-Koordinate von Punkt A wird durch das Segment aa x bestimmt - der Abstand von Punkt A zur Ebene V. Die Z-Koordinate von Punkt A wird durch das Segment a "a x - der Abstand von Punkt A zu Ebene H bestimmt. Wenn eins der Koordinaten Null ist, dann liegt der Punkt auf der Projektionsebene Abb. 4.17 zeigt Beispiele für verschiedene Lagen von Punkten relativ zu den Projektionsebenen. Die Z-Koordinate von Punkt B ist Null, der Punkt liegt in Ebene H. Seine Frontalprojektion liegt auf der Ox-Achse und fällt mit dem Punkt b x zusammen, die Y-Koordinate des Punktes C ist Null, der Punkt liegt auf der Ebene V, seine horizontale Projektion c liegt auf der x-Achse und fällt mit dem Punkt c x zusammen.

Liegt also ein Punkt auf der Projektionsebene, so liegt eine der Projektionen dieses Punktes auf der Projektionsachse.

Auf Abb. 4.17 sind die Z- und Y-Koordinaten des Punktes D gleich Null, daher liegt der Punkt D auf der Projektionsachse Ox und seine beiden Projektionen fallen zusammen.

Projektion(lat. Projicio - ich werfe nach vorne) - der Prozess, ein Bild eines Objekts (räumlichen Objekts) auf einer beliebigen Oberfläche mit Licht oder visuellen Strahlen (Strahlen, die das Auge des Betrachters bedingt mit einem beliebigen Punkt eines räumlichen Objekts verbinden) zu erhalten Projektion genannt.

Es gibt zwei Projektionsmethoden: zentral und parallel .

ZentralProjektion soll jeden Punkt durchlaufen ( A, B, C,…) des abgebildeten Objekts und gewissermaßen selektiert Projektionszentrum (S) gerade Linie ( SA, SB, >… — projizierender Strahl).

Abbildung 1.1 - Zentralprojektion

Führen wir die folgende Notation ein (Abbildung 1.1):

S– Projektionszentrum (Auge des Betrachters);

π 1 - Projektionsebene;

A, B, C

SA, SB- Projektion gerader Linien (Projektion von Strahlen).

Notiz: Die linke Maustaste kann den Punkt in der horizontalen Ebene verschieben, wenn Sie mit der linken Maustaste auf den Punkt klicken, ändert sich die Bewegungsrichtung und Sie können ihn vertikal verschieben.

Zentraler Projektionspunkt wird der Schnittpunkt der durch das Projektionszentrum und das Projektionsobjekt (Punkt) verlaufenden Projektionslinie mit der Projektionsebene bezeichnet.

Eigenschaft 1. Jeder Punkt im Raum entspricht einer einzelnen Projektion, aber jeder Punkt der Projektionsebene entspricht einer Menge von Punkten im Raum, die auf der Projektionslinie liegen.

Beweisen wir diese Aussage.

Abbildung 1.1: Punkt ABER 1 ist die zentrale Projektion des Punktes A auf die Projektionsebene π 1 . Aber alle Punkte, die auf der Projektionslinie liegen, können dieselbe Projektion haben. Nehmen Sie die vorstehende Linie an SA Punkt AUS. Zentraler Projektionspunkt AUS(AUS 1) auf der Projektionsebene π 1 fällt mit der Projektion des Punktes zusammen ABER(ABER 1):

1. AUS∈ SA;
2. SC∩π1 = C 1 →C 1 ≡ EIN 1 .

Daraus folgt, dass es unmöglich ist, durch die Projektion eines Punktes eindeutig über seine Lage im Raum zu urteilen.

Um diese Unsicherheit zu beseitigen, d.h. fertige eine Zeichnung an reversibel, führen wir eine weitere Projektionsebene (π 2) und ein weiteres Projektionszentrum ( S 2) (Abbildung 1.2).

Abbildung 1.2 - Darstellung der 1. und 2. Eigenschaft

Konstruieren wir Projektionen eines Punktes ABER auf der Projektionsebene π 2 . Von allen Punkten im Raum nur ein Punkt ABER hat seine Projektionen ABER 1 zur Ebene π 1 und ABER 2 bis π 2 gleichzeitig. Alle anderen Punkte, die auf den Projektionsstrahlen liegen, haben mindestens eine andere Projektion als die Projektionen des Punktes ABER(zB Punkt BEI).

Eigenschaft 2 . Die Projektion einer Geraden ist eine Gerade.

Beweisen wir diese Eigenschaft.

Verbinde die Punkte ABER und BEI untereinander (Abbildung 1.2). Wir bekommen ein Segment AB eine gerade Linie definieren. Dreieck SAB definiert eine Ebene, bezeichnet mit σ. Es ist bekannt, dass sich zwei Ebenen in einer Geraden schneiden: σ∩π 1 = ABER 1 BEI 1, wo ABER 1 BEI 1 - zentrale Projektion einer durch ein Segment gegebenen geraden Linie AB.

Das Zentralprojektionsverfahren ist ein Modell der Bildwahrnehmung durch das Auge, es wird hauptsächlich bei der perspektivischen Abbildung von Objekten, Innenräumen sowie in der Filmtechnik und Optik eingesetzt. Die Methode der Zentralprojektion löst nicht die Hauptaufgabe des Ingenieurs - die Form, die Abmessungen des Objekts und das Größenverhältnis verschiedener Elemente genau wiederzugeben.

1.2. Parallelprojektion

Betrachten Sie die Methode der Parallelprojektion. Wir werden drei Einschränkungen auferlegen, die es uns ermöglichen, eine Zeichnung zu erhalten, die für die praktische Verwendung bequemer ist, wenn auch auf Kosten der Sichtbarkeit des Bildes:

1. Lassen Sie uns beide Projektionszentren auf unendlich löschen. So stellen wir sicher, dass die projizierten Strahlen von jedem Zentrum parallel werden, und daher hängt das Verhältnis der wahren Länge eines Liniensegments und der Länge seiner Projektion nur vom Neigungswinkel dieses Segments zu den Projektionsebenen ab und hängen nicht von der Position des Projektionszentrums ab;
2. Lassen Sie uns die Projektionsrichtung relativ zu den Projektionsebenen festlegen;
3. Lassen Sie uns die Projektionsebenen senkrecht zueinander anordnen, was es einfach macht, sich vom Bild auf den Projektionsebenen zum realen Objekt im Raum zu bewegen.

Nachdem wir also diese Beschränkungen der Zentralprojektionsmethode auferlegt haben, sind wir zu ihrem Spezialfall gekommen - Parallelprojektionsmethode(Abbildung 1.3) Projektion, bei der die projizierten Strahlen, die durch jeden Punkt des Objekts gehen, parallel zur gewählten Projektionsrichtung verlaufen P, wird genannt parallel .

Abbildung 1.3 - Parallelprojektionsmethode

Führen wir die Notation ein:

R– Projektionsrichtung;

π 1 - horizontale Projektionsebene;

EIN,B– Projektionsobjekte – Punkte;

ABER 1 und BEI 1 - Projektionen von Punkten ABER und BEI auf die Projektionsebene π 1 .

Parallele Punktprojektion ist der Schnittpunkt der Projektionslinie parallel zur gegebenen Projektionsrichtung R, mit der Projektionsebene π 1 .

Gehen Sie durch die Punkte ABER und BEI Projizieren von Strahlen parallel zu einer gegebenen Projektionsrichtung R. Projizierender Strahl, der durch einen Punkt geht ABER schneidet die Projektionsebene π 1 im Punkt ABER eines . Ebenso ein projizierender Strahl durch einen Punkt BEI schneidet die Projektionsebene in einem Punkt BEI eines . Indem man die Punkte verbindet ABER 1 und BEI 1 , Wir bekommen ein Segment ABER 1 BEI 1 ist die Projektion des Segments AB auf die Ebene π 1 .

1.3. Orthographische Projektion. Monge-Methode

Wenn die Projektionsrichtung R senkrecht zur Projektionsebene p 1 , dann heißt die Projektion rechteckig (Abbildung 1.4), oder senkrecht (GR. Orthesen- gerade, gonie- Winkel) wenn R nicht senkrecht zu π 1, dann heißt die Projektion schräg .

Viereck AA 1 BEI 1 BEI definiert die Ebene γ, die Projektionsebene genannt wird, da sie senkrecht zur Ebene π 1 steht (γ⊥π 1). Im Folgenden verwenden wir nur die rechteckige Projektion.

Abbildung 1.4 – Orthografische Projektion Abbildung 1.5 – Monge, Gaspard (1746-1818)

Der französische Wissenschaftler Gaspard Monge gilt als Begründer der orthogonalen Projektion (Abbildung 1.5).

Vor Monge verfügten Bauherren, Künstler und Wissenschaftler über recht bedeutende Informationen über Projektionsmethoden, und doch ist nur Gaspard Monge der Schöpfer der beschreibenden Geometrie als Wissenschaft.

Gaspard Monge wurde am 9. Mai 1746 in der kleinen Stadt Beaune (Burgund) in Ostfrankreich in der Familie eines örtlichen Kaufmanns geboren. Er war das älteste von fünf Kindern, denen sein Vater trotz der geringen Herkunft und relativen Armut der Familie versuchte, Menschen aus einfachen Schichten die damals beste Bildung zu ermöglichen. Sein zweiter Sohn Louis wurde Professor für Mathematik und Astronomie, der jüngste Jean ebenfalls Professor für Mathematik, Hydrographie und Navigation. Gaspard Monge erhielt seine erste Ausbildung an der Stadtschule des Oratoriumsordens. Nachdem er 1762 als bester Schüler seinen Abschluss gemacht hatte, trat er in das College von Lyon ein, das ebenfalls den Oratorianern gehörte. Bald wurde Gaspard dort mit dem Physikunterricht betraut. Im Sommer 1764 erstellte Monge einen bemerkenswert genauen Plan seiner Geburtsstadt Beaune. Die notwendigen Methoden und Instrumente zum Messen von Winkeln und zum Zeichnen von Linien wurden vom Ersteller selbst erfunden.

Während seines Studiums in Lyon erhielt er ein Angebot, dem Orden beizutreten und Hochschullehrer zu bleiben, aber stattdessen gelang es ihm, nachdem er große Fähigkeiten in Mathematik, Zeichnen und Zeichnen gezeigt hatte, in die Mézieres School of Military Engineers einzutreten, aber (aufgrund seiner Herkunft ) nur als Hilfsunteroffizier Offiziersabteilung und ohne Gehaltsabrechnung. Dennoch ermöglichten ihm der Erfolg in den exakten Wissenschaften und eine originelle Lösung eines der wichtigsten Probleme der Befestigung (die Platzierung von Befestigungen in Abhängigkeit von der Position der feindlichen Artillerie) im Jahr 1769, Assistent (Lehrassistent) in Mathematik zu werden und dann in Physik, und das schon mit einem ordentlichen Gehalt von 1800 Livres im Jahr.

Im Jahr 1770, im Alter von 24 Jahren, bekleidete Monge gleichzeitig die Position eines Professors in zwei Abteilungen - Mathematik und Physik - und leitet außerdem Kurse zum Schneiden von Steinen. Ausgehend von der Aufgabe, Steine ​​nach vorgegebenen Skizzen in Bezug auf Architektur und Befestigung genau zu schneiden, entwickelte Monge Methoden, die er später in einer neuen Wissenschaft verallgemeinerte - der beschreibenden Geometrie, als deren Schöpfer er zu Recht gilt. Angesichts der Möglichkeit, die Methoden der darstellenden Geometrie für militärische Zwecke beim Bau von Befestigungsanlagen einzusetzen, erlaubte die Leitung der Mézières-Schule erst 1799 eine offene Veröffentlichung, das Buch wurde unter dem Titel veröffentlicht beschreibende Geometrie (Geometrie beschreibend) (eine wörtliche Aufzeichnung dieser Vorlesungen wurde 1795 angefertigt). Der Ansatz, über diese Wissenschaft zu referieren und die darin skizzierten Übungen zu machen, hat sich bis heute erhalten. Ein weiteres bedeutendes Werk von Monge - Anwendung der Analysis auf die Geometrie (Die Anwendung der Analyse à la Geometrie, 1795) - ist ein Lehrbuch der analytischen Geometrie, in dem besonderer Wert auf differentielle Beziehungen gelegt wird.

1780 wurde er zum Mitglied der Pariser Akademie der Wissenschaften gewählt, 1794 wurde er Direktor der Polytechnischen Schule. Acht Monate lang diente er als Seeminister in der Regierung Napoleons, leitete die Schießpulver- und Kanonenfabriken der Republik und begleitete Napoleon auf seiner Expedition nach Ägypten (1798–1801). Napoleon verlieh ihm den Grafentitel, ehrte ihn mit vielen weiteren Auszeichnungen.

Die Methode zur Darstellung von Objekten nach Monge besteht aus zwei Hauptpunkten:

1. Die Position eines geometrischen Objekts im Raum, in diesem Beispiel ein Punkt ABER, wird relativ zu zwei zueinander senkrechten Ebenen π 1 und π 2 betrachtet(Abbildung 1.6).

Sie teilen den Raum bedingt in vier Quadranten. Punkt ABER befindet sich im ersten Quadranten. Als Grundlage für die Monge-Projektionen diente das kartesische Koordinatensystem. Monge ersetzte das Konzept der Projektionsachsen durch die Schnittlinie der Projektionsebenen (Koordinatenachsen) und schlug vor, die Koordinatenebenen zu einer zu kombinieren, indem sie um die Koordinatenachsen gedreht wurden.

Abbildung 1.6 - Modell zur Konstruktion von Punktprojektionen

π 1 - horizontale (erste) Projektionsebene

π 2 - frontale (zweite) Projektionsebene

π 1 ∩ π 2 ist die Projektionsachse (wir bezeichnen π 2 / π 1)

Betrachten Sie ein Beispiel für die Projektion eines Punktes ABER auf zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen π 1 und π 2 .

Vom Punkt fallen lassen ABER Senkrechte (Projektionsstrahlen) auf den Ebenen π 1 und π 2 und markieren ihre Basen, dh die Schnittpunkte dieser Senkrechten (Projektionsstrahlen) mit den Projektionsebenen. ABER 1 - horizontale (erste) Projektion des Punktes ABER;ABER 2 - frontale (zweite) Projektion des Punktes ABER;AA 1 und AA 2 - vorstehende Linien. Pfeile zeigen die Projektionsrichtung auf die Projektionsebene π 1 und π 2 . Mit einem solchen System können Sie die Position eines Punktes relativ zu den Projektionsebenen π 1 und π 2 eindeutig bestimmen:

AA 1 ⊥π 1

ABER 2 ABER 0 ⊥π 2 /π 1 AA 1 = ABER 2 ABER 0 - Abstand von Punkt A zur Ebene π 1

AA 2 ⊥π 2

ABER 1 ABER 0 ⊥π 2 /π 1 AA 2 \u003d A 1 A 0 - der Abstand von Punkt A zur Ebene π 2

2. Fassen wir die Rotation um die Projektionsachse π 2 / π 1 der Projektionsebene zu einer Ebene zusammen(π 1 mit π 2), aber damit sich die Bilder nicht überlappen (in α-Richtung, Abbildung 1.6), erhalten wir ein Bild, das als rechteckige Zeichnung bezeichnet wird (Abbildung 1.7):

Abbildung 1.7 - Orthogonale Zeichnung

Rechteckig oder orthogonal genannt wird Monge-Diagramm .

Gerade ABER 2 ABER 1 angerufen Projektionslink , die gegenüberliegende Projektionen des Punktes verbindet ( ABER 2 - frontal und ABER 1 - horizontal) steht immer senkrecht zur Projektionsachse (Koordinatenachse) ABER 2 ABER 1 ⊥π 2 /π 1 . Im Diagramm sind die durch geschweifte Klammern gekennzeichneten Segmente:

• ABER 0 ABER 1 - Entfernung vom Punkt ABER zur Ebene π 2 entsprechend der Koordinate y A;
• ABER 0 ABER 2 - Entfernung vom Punkt ABER zur Ebene π 1 entsprechend der Koordinate z A.

1.4. Rechteckige Punktprojektionen. Orthografische Zeichnungseigenschaften

1. Zwei rechteckige Projektionen eines Punktes liegen auf derselben Projektionsverbindungslinie senkrecht zur Projektionsachse.

2. Zwei rechteckige Projektionen eines Punktes bestimmen eindeutig seine Lage im Raum relativ zu den Projektionsebenen.

Lassen Sie uns die Gültigkeit der letzten Aussage überprüfen, für die wir die Ebene π 1 in ihre ursprüngliche Position drehen (wenn π 1 ⊥ π 2). Um einen Punkt zu bauen ABER von Punkten benötigt ABER 1 und ABER 2 , um die projizierenden Strahlen wiederherzustellen, und zwar die Senkrechten zu den Ebenen π 1 bzw. π 2 . Der Schnittpunkt dieser Senkrechten legt den gewünschten Raumpunkt fest ABER. Betrachten Sie eine orthogonale Zeichnung eines Punktes ABER(Abbildung 1.8).

Abbildung 1.8 - Zeichnen eines Punktes

Führen wir die dritte (Profil-)Projektionsebene π 3 senkrecht zu π 1 und π 2 (gegeben durch die Projektionsachse π 2 /π 3) ein.

Abstand von der Profilprojektion eines Punktes zur vertikalen Achse der Projektionen ABER‘ 0 EIN 3 können Sie die Entfernung vom Punkt bestimmen ABER zur Frontalprojektionsebene π 2 . Es ist bekannt, dass die Position eines Punktes im Raum relativ zum kartesischen Koordinatensystem durch drei Zahlen (Koordinaten) festgelegt werden kann. EIN(X EIN ; Y EIN ; Z A) oder relativ zu den Projektionsebenen mit seinen beiden orthogonalen Projektionen ( EIN 1 =(X EIN ; Y EIN); EIN 2 =(X EIN ; Z EIN)). In einer orthogonalen Zeichnung können Sie mit zwei Projektionen eines Punktes seine drei Koordinaten bestimmen und umgekehrt mit drei Koordinaten eines Punktes seine Projektionen erstellen (Abbildung 1.9, a und b).

Abbildung 1.9 - Zeichnen eines Punktes gemäß seinen Koordinaten

Anhand der Lage eines Punktes im Projektionsdiagramm kann man seine Lage im Raum beurteilen:

• ABER — ABER 1 liegt unter der Koordinatenachse X, und vorne ABER 2 - über der Achse X, dann können wir sagen, dass der Punkt ABER gehört zum 1. Quadranten;
• wenn auf dem Diagramm die horizontale Projektion des Punktes ABER — ABER 1 liegt über der Koordinatenachse X, und vorne ABER 2 - unter der Achse X, dann der Punkt ABER gehört zum 3. Quadranten;
• ABER — ABER 1 und ABER 2 liegen oberhalb der Achse X, dann der Punkt ABER gehört zum 2. Quadranten;
• wenn auf dem Diagramm horizontale und frontale Projektionen des Punktes vorhanden sind ABER — ABER 1 und ABER 2 liegen unter der Achse X, dann der Punkt ABER gehört zum 4. Quadranten;
• Wenn auf dem Diagramm die Projektion eines Punktes mit dem Punkt selbst zusammenfällt, bedeutet dies, dass der Punkt zur Projektionsebene gehört;
• ein Punkt, der zur Projektionsebene oder Projektionsachse (Koordinatenachsen) gehört, wird genannt privater Punkt.

Um zu bestimmen, in welchem ​​Raumquadranten sich ein Punkt befindet, reicht es aus, das Vorzeichen der Koordinaten des Punktes zu bestimmen.

Abhängigkeiten des Quadranten von der Position des Punktes und den Vorzeichen der Koordinaten

	X	Y	Z
ich	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
IV	+	+	—

Eine Übung

Konstruieren Sie orthogonale Projektionen eines Punktes mit Koordinaten ABER(60, 20, 40) und bestimmen, in welchem ​​Quadranten sich der Punkt befindet.

Problemlösung: entlang der Achse OCHSE Legen Sie den Wert der Koordinate beiseite XA=60, dann durch diesen Punkt auf der Achse OCHSE Wiederherstellung der Linie der Projektionsverbindung, senkrecht zu OCHSE, entlang derer der Wert der Koordinate beiseite gelegt wird ZA=40, und nach unten - der Wert der Koordinate JA=20(Abbildung 1.10). Alle Koordinaten sind positiv, was bedeutet, dass der Punkt im I-Quadranten liegt.

Abbildung 1.10 - Lösung des Problems

1.5. Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1. Bestimmen Sie anhand des Diagramms die Position des Punktes relativ zu den Projektionsebenen (Abbildung 1.11).

Abbildung 1.11

2. Vervollständigen Sie die fehlenden orthogonalen Projektionen von Punkten ABER, BEI, AUS auf der Projektionsebene π 1 , π 2 , π 3 (Abbildung 1.12).

Abbildung 1.12

3. Erstellen Sie Punktprojektionen:

• E, symmetrischer Punkt ABER relativ zur Projektionsebene π 1 ;
• F, symmetrischer Punkt BEI bezogen auf die Projektionsebene π 2 ;
• G, symmetrischer Punkt AUS bezogen auf die Projektionsachse π 2 /π 1 ;
• H, symmetrischer Punkt D relativ zur Winkelhalbierenden des zweiten und vierten Quadranten.

4. Konstruieren Sie orthogonale Projektionen des Punktes Zu, befindet sich im zweiten Quadranten und ist von den Projektionsebenen π 1 um 40 mm entfernt, von π 2 - um 15 mm.