Algebra und Beginn der mathematischen Analysis

Differenzierung der Exponential- und Logarithmusfunktion

Zusammengestellt von:

Mathematiklehrer MOU Sekundarschule №203 CHETs

Stadt Nowosibirsk

Vidutowa T.V.

Anzahl e. Funktion y=e x, seine Eigenschaften, Graph, Differenzierung

1. Lassen Sie uns Graphen für verschiedene Basen erstellen a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (Option 2) (Option 1) "width="640"

Betrachten Sie die Exponentialfunktion y = a x, wo eine 1.

Lassen Sie uns für verschiedene Basen bauen a Diagramme:

1. y=2 x

3. y=10 x

2. y=3 x

(Option 2)

(1 Möglichkeit)

1) Alle Graphen gehen durch den Punkt (0; 1);

2) Alle Graphen haben eine horizontale Asymptote y = 0

beim X  ∞;

3) Alle sind mit einer Wölbung nach unten gedreht;

4) Sie haben alle Tangenten an allen ihren Punkten.

Zeichne eine Tangente an den Graphen der Funktion y=2 x am Punkt X= 0 und messen Sie den Winkel, den die Tangente an die Achse bildet X

Mit Hilfe von exakten Konstruktionen von Tangenten an Graphen kann man sehen, dass wenn die Basis a Exponentialfunktion y = a x die Basis nimmt allmählich von 2 auf 10 zu, dann der Winkel zwischen der Tangente an den Graphen der Funktion an dem Punkt X= 0 und die x-Achse steigt allmählich von 35' auf 66,5' an.

Daher gibt es eine Grundlage a, für die der entsprechende Winkel 45' beträgt. Und diese Bedeutung a geschlossen zwischen 2 und 3, weil beim a= 2 beträgt der Winkel 35’, mit a= 3 ist es gleich 48'.

Im Laufe der mathematischen Analyse wird bewiesen, dass diese Basis existiert, sie wird normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet e.

Habe das festgestellt e - eine irrationale Zahl, d.h. es ist ein unendlicher nicht periodischer Dezimalbruch:

e = 2,7182818284590… ;

In der Praxis wird davon meist ausgegangen e ≈ 2,7.

Graph- und Funktionseigenschaften y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) erhöht sich;

4) nicht von oben begrenzt, von unten begrenzt

5) hat weder das Größte noch das Kleinste

Werte;

6) kontinuierlich;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) konvex nach unten;

9) ist differenzierbar.

Funktion y = e x namens Aussteller .

Im Laufe der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass die Funktion y = e x hat an jedem Punkt eine Ableitung X :

(z x ) = z x

(z 5x )" = 5e 5x

(z x-3 )" = z x-3

(z -4x+1 )" = -4e -4x-1

Beispiel 1 . Zeichnen Sie eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = Bsp

Antworten:

Beispiel 2 .

x = 3.

Beispiel 3 .

Untersuchen Sie eine Funktion für ein Extremum

x=0 und x=-2

X= -2 - maximaler Punkt

X= 0 – Mindestpunkt

Wenn die Basis des Logarithmus die Zahl ist e, dann sagen sie das gegeben natürlicher Logarithmus . Für natürliche Logarithmen wurde eine spezielle Notation eingeführt ln (l - Logarithmus, n - natürlich).

Graph und Eigenschaften der Funktion y = ln x

Funktionseigenschaften y = Inx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) ist weder gerade noch ungerade;

3) erhöht sich um (0; + ∞);

4) nicht beschränkt;

5) hat weder den größten noch den kleinsten Wert;

6) kontinuierlich;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) konvexe Oberseite;

9) ist differenzierbar.

0 gilt die Ableitungsformel "width="640".

Im Laufe der mathematischen Analyse wurde dies für jeden Wert bewiesen x0 die Ableitungsformel gilt

Beispiel 4:

Berechnen Sie den Wert der Ableitung einer Funktion an einem Punkt x = -1.

Zum Beispiel:

Internetquellen:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Unterrichtsthema: „Differenzierung von Exponential- und Logarithmusfunktionen. Die Stammfunktion der Exponentialfunktion "in den Aufgaben der UNT

Ziel : die Fähigkeiten der Studierenden zur Anwendung theoretischen Wissens zum Thema „Differenzierung von Exponential- und Logarithmusfunktionen“ zu entwickeln. Eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion“ zur Lösung von UNT-Problemen.

Aufgaben

Lehrreich: das theoretische Wissen der Studenten zu systematisieren, die Fähigkeiten zur Lösung von Problemen zu diesem Thema zu festigen.

Entwicklung: Entwicklung von Gedächtnis, Beobachtung, logischem Denken, mathematischer Sprache der Schüler, Aufmerksamkeit, Selbstwertgefühl und Selbstbeherrschungsfähigkeiten.

Lehrreich: fördern:

die Bildung einer verantwortungsbewussten Einstellung der Schüler zum Lernen;

Entwicklung eines nachhaltigen Interesses an Mathematik;

Schaffung einer positiven intrinsischen Motivation zum Mathematikstudium.

Lehrmethoden: verbal, visuell, praktisch.

Arbeitsformen: einzeln, frontal, paarweise.

Während des Unterrichts

Epigraph: "Geist besteht nicht nur aus Wissen, sondern auch aus der Fähigkeit, Wissen in der Praxis anzuwenden" Aristoteles (Folie 2)

I. Organisatorischer Moment.

II. Lösen des Kreuzworträtsels. (Folie 3-21)

Der französische Mathematiker Pierre Fermat aus dem 17. Jahrhundert definierte diese Linie als "die gerade Linie, die der Kurve in einer kleinen Nachbarschaft eines Punktes am nächsten liegt".

Tangente

Die Funktion, die durch die Formel y = log gegeben ist a x.

logarithmisch

Die Funktion, die durch die Formel y = gegeben ist a X.

Demonstration

In der Mathematik wird dieses Konzept verwendet, um die Bewegungsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes und die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu ermitteln.

Derivat

Wie heißt die Funktion F (x) für die Funktion f (x), wenn die Bedingung F "(x) \u003d f (x) für jeden Punkt aus dem Intervall I erfüllt ist.

Stammfunktion

Wie heißt die Beziehung zwischen X und Y, bei der jedes Element von X einem einzelnen Element von Y zugeordnet ist?

Ableitung der Verschiebung

Geschwindigkeit

Eine Funktion, die durch die Formel y \u003d e x gegeben ist.

Aussteller

Wenn die Funktion f(x) dargestellt werden kann als f(x)=g(t(x)), dann heißt diese Funktion…

III. Mathematisches Diktat (Folie 22)

1. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion auf. ( a x)" = a x In a

2. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung des Exponenten auf. (e x)" = e x

3. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus auf. (lnx)"=

4. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung der logarithmischen Funktion auf. (Protokoll a x)"=

5. Geben Sie die allgemeine Form der Stammfunktionen für die Funktion f(x) = an a X. F(x)=

6. Geben Sie die allgemeine Form der Stammfunktionen für die Funktion f(x) =, x≠0 an. F(x)=ln|x|+C

Überprüfen Sie die Arbeit (Antworten auf Folie 23).

IV. Problemlösung UNT (Simulator)

A) Nr. 1,2,3,6,10,36 an der Tafel und im Heft (Folie 24)

B) Paararbeit Nr. 19.28 (Simulator) (Folie 25-26)

V. 1. Fehler finden: (Folie 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1),f "(x)=

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

VI. Studentische Präsentation.

Motto: „Wissen ist so kostbar, dass es keine Schande ist, es aus irgendeiner Quelle zu beziehen“ Thomas von Aquin (Folie 28)

VII. Hausaufgaben Nr. 19,20 S.116

VIII. Test (Reserveaufgabe) (Folie 29-32)

IX. Zusammenfassung der Lektion.

„Wenn Sie am großen Leben teilhaben wollen, füllen Sie Ihren Kopf mit Mathematik, solange Sie können. Sie wird Ihnen dann Ihr ganzes Leben lang eine große Hilfe sein.“ M. Kalinin (Folie 33)

Lassen
(1)
eine differenzierbare Funktion von x ist. Zuerst betrachten wir die Menge der x-Werte, für die y positive Werte annimmt: . Im Folgenden zeigen wir, dass alle erhaltenen Ergebnisse auch für negative Werte von gelten.

Um die Ableitung der Funktion (1) zu finden, ist es in manchen Fällen zweckmäßig, zunächst den Logarithmus zu nehmen
,
und dann die Ableitung berechnen. Dann gilt nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion
.
Von hier
(2) .

Die Ableitung des Logarithmus einer Funktion heißt logarithmische Ableitung:
.

Die logarithmische Ableitung der Funktion y = f(x) ist die Ableitung des natürlichen Logarithmus dieser Funktion: (log f(x))′.

Der Fall negativer y-Werte

Betrachten Sie nun den Fall, dass die Variable sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann. Nehmen Sie in diesem Fall den Logarithmus des Moduls und finden Sie seine Ableitung:
.
Von hier
(3) .
Das heißt, im allgemeinen Fall müssen Sie die Ableitung des Logarithmus des Moduls der Funktion finden.

Wenn wir (2) und (3) vergleichen, haben wir:
.
Das heißt, das formale Ergebnis der Berechnung der logarithmischen Ableitung hängt nicht davon ab, ob wir Modulo genommen haben oder nicht. Daher müssen wir uns bei der Berechnung der logarithmischen Ableitung keine Gedanken darüber machen, welches Vorzeichen die Funktion hat.

Dieser Sachverhalt kann mit Hilfe komplexer Zahlen verdeutlicht werden. Lassen Sie für einige Werte von x negativ sein: . Betrachten wir nur reelle Zahlen, so ist die Funktion nicht definiert. Wenn wir jedoch komplexe Zahlen in Betracht ziehen, erhalten wir Folgendes:
.
Das heißt, die Funktionen und unterscheiden sich durch eine komplexe Konstante:
.
Da die Ableitung einer Konstanten also Null ist
.

Eigenschaft der logarithmischen Ableitung

Aus einer solchen Überlegung folgt das die logarithmische Ableitung ändert sich nicht, wenn die Funktion mit einer beliebigen Konstante multipliziert wird :
.
Richtig bewerben logarithmische Eigenschaften, Formeln Ableitungssumme und Ableitung einer Konstante, wir haben:

.

Anwendung der logarithmischen Ableitung

Es ist praktisch, die logarithmische Ableitung in Fällen zu verwenden, in denen die ursprüngliche Funktion aus einem Produkt von Potenzen oder Exponentialfunktionen besteht. In diesem Fall wandelt die Logarithmusoperation das Produkt von Funktionen in ihre Summe um. Dies vereinfacht die Berechnung der Ableitung.

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion:
.

Entscheidung

Wir logarithmieren die ursprüngliche Funktion:
.

Differenziere nach x .
In der Tabelle der Derivate finden wir:
.
Wir wenden die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an.
;
;
;
;
(P1.1) .
Lassen Sie uns multiplizieren mit:

.

Also haben wir die logarithmische Ableitung gefunden:
.
Von hier finden wir die Ableitung der ursprünglichen Funktion:
.

Notiz

Wenn wir nur reelle Zahlen verwenden wollen, dann sollten wir den Logarithmus des Moduls der ursprünglichen Funktion nehmen:
.
Dann
;
.
Und wir haben die Formel (A1.1). Daher hat sich das Ergebnis nicht geändert.

Antworten

Beispiel 2

Bestimmen Sie mit Hilfe der logarithmischen Ableitung die Ableitung einer Funktion
.

Entscheidung

Logarithmus:
(P2.1) .
Differenziere nach x :
;
;

;
;
;
.

Lassen Sie uns multiplizieren mit:
.
Daraus erhalten wir die logarithmische Ableitung:
.

Ableitung der ursprünglichen Funktion:
.

Notiz

Hier ist die ursprüngliche Funktion nichtnegativ: . Es ist bei definiert. Wenn wir nicht davon ausgehen, dass der Logarithmus für negative Werte des Arguments bestimmt werden kann, sollte Formel (A2.1) wie folgt geschrieben werden:
.
Soweit

und
,
es hat keinen Einfluss auf das Endergebnis.

Antworten

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung
.

Entscheidung

Die Differenzierung erfolgt mit der logarithmischen Ableitung. Logarithmus, vorausgesetzt dass:
(P3.1) .

Durch Differenzieren erhalten wir die logarithmische Ableitung.
;
;
;
(P3.2) .

Weil dann

.

Notiz

Führen wir die Berechnungen durch, ohne anzunehmen, dass der Logarithmus für negative Werte des Arguments definiert werden kann. Logarithmieren Sie dazu den Modul der ursprünglichen Funktion:
.
Dann gilt anstelle von (A3.1):
;

.
Im Vergleich mit (A3.2) sehen wir, dass sich das Ergebnis nicht geändert hat.

Wenn Sie eine Exponentialfunktion oder umständliche Bruchausdrücke differenzieren, ist es praktisch, die logarithmische Ableitung zu verwenden. In diesem Artikel werden wir Anwendungsbeispiele mit detaillierten Lösungen betrachten.

Die weitere Präsentation impliziert die Fähigkeit, die Ableitungstabelle, die Ableitungsregeln und die Kenntnis der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion zu verwenden.

Herleitung der Formel für die logarithmische Ableitung.

Zuerst logarithmieren wir zur Basis e, vereinfachen die Form der Funktion mit den Eigenschaften des Logarithmus und finden dann die Ableitung der implizit gegebenen Funktion:

Lassen Sie uns zum Beispiel die Ableitung der Exponentialfunktion x zur Potenz von x ermitteln.

Logarithmus ergibt . Nach den Eigenschaften des Logarithmus. Die Differenzierung beider Teile der Gleichheit führt zu dem Ergebnis:

Antworten: .

Dasselbe Beispiel kann ohne Verwendung der logarithmischen Ableitung gelöst werden. Sie können einige Transformationen vornehmen und von der Differenzierung einer Exponentialfunktion zur Bestimmung der Ableitung einer komplexen Funktion übergehen:

Beispiel.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion .

Entscheidung.

In diesem Beispiel die Funktion ein Bruch ist und seine Ableitung mit Hilfe der Ableitungsregeln gefunden werden kann. Aufgrund des umständlichen Ausdrucks erfordert dies jedoch viele Transformationen. In solchen Fällen ist es sinnvoller, die Formel für die logarithmische Ableitung zu verwenden . Wieso den? Du wirst es jetzt verstehen.

Lass es uns zuerst finden. Bei den Transformationen verwenden wir die Eigenschaften des Logarithmus (der Logarithmus eines Bruchs ist gleich der Differenz der Logarithmen, und der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen und der Grad des Ausdrucks unter dem Vorzeichen des Logarithmus kann auch als Koeffizient vor dem Logarithmus herausgenommen werden):

Diese Transformationen haben uns zu einem ziemlich einfachen Ausdruck geführt, dessen Ableitung leicht zu finden ist:

Wir setzen das erhaltene Ergebnis in die Formel für die logarithmische Ableitung ein und erhalten die Antwort:

Um das Material zu festigen, geben wir ein paar weitere Beispiele ohne detaillierte Erklärungen.

Beispiel.

Finden Sie die Ableitung einer Exponentialfunktion