Aktien einer Einheit und wird als dargestellt \frac(a)(b).

Bruchzähler (a)- die Zahl über der Bruchlinie, die die Anzahl der Anteile angibt, in die der Anteil aufgeteilt wurde.

Bruch Nenner (b)- die Zahl unter dem Anteilsstrich, die anzeigt, in wie viele Anteile der Anteil geteilt wurde.

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Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs

Wenn ad=bc , dann zwei Brüche \frac(a)(b) und \frac(c)(d) gelten als gleich. Zum Beispiel sind Brüche gleich \frac35 und \frac(9)(15), da 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) und \frac(24)(14), da 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Aus der Definition der Gleichheit von Brüchen folgt, dass die Brüche gleich sein werden \frac(a)(b) und \frac(am)(bm), da a(bm)=b(am) ein klares Beispiel für die Verwendung der assoziativen und kommutativen Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen in Aktion ist.

Meint \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- sieht aus wie das Grundeigenschaft eines Bruchs.

Mit anderen Worten, wir erhalten einen Bruch, der dem gegebenen entspricht, indem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multiplizieren oder dividieren.

Fraktionsreduktion ist der Vorgang des Ersetzens eines Bruchs, bei dem der neue Bruch gleich dem ursprünglichen ist, aber mit einem kleineren Zähler und Nenner.

Es ist üblich, Brüche basierend auf der Haupteigenschaft eines Bruchs zu kürzen.

Zum Beispiel, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(Zähler und Nenner sind durch die Zahl 3 teilbar); der resultierende Bruch kann wiederum durch Division durch 5 gekürzt werden, d.h. \frac(15)(20)=\frac 34.

irreduzibler Bruch ist ein Bruchteil der Form \frac 34, wobei Zähler und Nenner relative Primzahlen sind. Der Hauptzweck der Bruchreduktion besteht darin, den Bruch irreduzibel zu machen.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Nehmen wir als Beispiel zwei Brüche: \frac(2)(3) und \frac(5)(8) mit unterschiedlichen Nennern 3 und 8 . Um diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, multiplizieren Sie zunächst Zähler und Nenner des Bruchs \frac(2)(3) um 8. Wir erhalten folgendes Ergebnis: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Dann multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs \frac(5)(8) um 3 . Als Ergebnis erhalten wir: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Also werden die ursprünglichen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner 24 gebracht.

Arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen

Addition gewöhnlicher Brüche

a) Bei gleichen Nennern wird der Zähler des ersten Bruchs zum Zähler des zweiten Bruchs addiert, wobei der Nenner gleich bleibt. Wie im Beispiel zu sehen:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Bei unterschiedlichen Nennern werden die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Zähler nach Regel a) addiert:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Subtraktion gewöhnlicher Brüche

a) Subtrahieren Sie bei gleichen Nennern den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs, wobei der Nenner gleich bleibt:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Wenn die Nenner der Brüche unterschiedlich sind, dann werden zuerst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Schritte wie in Absatz a) wiederholt.

Multiplikation gewöhnlicher Brüche

Die Multiplikation von Brüchen folgt der folgenden Regel:

\frac(a)(b)\cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

das heißt, multiplizieren Sie die Zähler und Nenner separat.

Zum Beispiel:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Division gewöhnlicher Brüche

Brüche werden wie folgt geteilt:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

das ist ein Bruchteil \frac(a)(b) mit einem Bruch multipliziert \frac(d)(c).

Beispiel: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Reziproke Zahlen

Wenn ab=1 , dann ist die Zahl b umgekehrte Nummer für Nummer a.

Beispiel: Bei der Zahl 9 ist es umgekehrt \frac(1)(9), als 9 \cdot \frac(1)(9)=1, für die Zahl 5 - \frac(1)(5), als 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Dezimalstellen

Dezimal ist ein echter Bruch, dessen Nenner 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n ist.

Zum Beispiel: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

Genauso werden falsche Zahlen mit einem Nenner 10 ^ n oder gemischte Zahlen geschrieben.

Zum Beispiel: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

In Form eines Dezimalbruchs wird jeder gewöhnliche Bruch dargestellt, dessen Nenner ein Teiler einer bestimmten Potenz der Zahl 10 ist.

Beispiel: 5 ist ein Teiler von 100 also der Bruch \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0{,}2.

Arithmetische Operationen mit Dezimalbrüchen

Dezimalstellen hinzufügen

Um zwei Dezimalbrüche zu addieren, musst du sie so anordnen, dass dieselben Ziffern und ein Komma unter einem Komma untereinander erscheinen, und dann die Brüche als gewöhnliche Zahlen addieren.

Subtraktion von Dezimalzahlen

Es funktioniert genauso wie die Addition.

Dezimale Multiplikation

Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen reicht es aus, die angegebenen Zahlen zu multiplizieren, wobei die Kommas (als natürliche Zahlen) ignoriert werden, und in der erhaltenen Antwort trennt das Komma rechts so viele Ziffern, wie in beiden Faktoren insgesamt Nachkommastellen vorhanden sind .

Machen wir die Multiplikation von 2,7 mit 1,3. Wir haben 27 \cdot 13=351 . Wir trennen zwei Ziffern von rechts mit einem Komma (die erste und zweite Zahl haben eine Nachkommastelle; 1+1=2). Als Ergebnis erhalten wir 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Wenn das Ergebnis weniger Stellen hat, als durch ein Komma getrennt werden müssen, dann werden die fehlenden Nullen vorangestellt, zum Beispiel:

Um mit 10, 100, 1000 in einem Dezimalbruch zu multiplizieren, verschieben Sie das Komma 1, 2, 3 Stellen nach rechts (falls erforderlich, wird rechts eine bestimmte Anzahl von Nullen zugewiesen).

Zum Beispiel: 1,47 \cdot 10\,000 = 14.700 .

Dezimalteilung

Die Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl erfolgt genauso wie die Division einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl. Ein Komma im privaten wird gesetzt, nachdem die Division des ganzzahligen Teils abgeschlossen ist.

Wenn der ganzzahlige Teil des Dividenden kleiner als der Divisor ist, lautet die Antwort null ganze Zahlen, zum Beispiel:

Ziehen Sie in Betracht, eine Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl zu dividieren. Nehmen wir an, wir müssen 2,576 durch 1,12 teilen. Zunächst multiplizieren wir den Dividenden und den Divisor des Bruchs mit 100, d.h. wir verschieben das Komma im Dividenden und Divisor um so viele Stellen nach rechts, wie im Divisor nach dem Komma stehen (in diesem Beispiel , zwei). Dann müssen Sie den Bruch 257,6 durch die natürliche Zahl 112 dividieren, das heißt, das Problem wird auf den bereits betrachteten Fall reduziert:

Es kommt vor, dass beim Teilen einer Zahl durch eine andere nicht immer der endgültige Dezimalbruch erhalten wird. Das Ergebnis ist eine unendliche Dezimalzahl. Gehen Sie in solchen Fällen zu gewöhnlichen Brüchen.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Besitzen Grundeigenschaft eines Bruchs:

Bemerkung 1

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden, erhalten wir als Ergebnis einen Bruch, der dem ursprünglichen entspricht:

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

Beispiel 1

Gegeben sei ein Quadrat, das in $4$ gleiche Teile geteilt ist. Wenn $2$ von $4$ Teilen schattiert sind, erhalten wir die schattierten $\frac(2)(4)$ des gesamten Quadrats. Betrachtet man dieses Quadrat, so fällt auf, dass genau die Hälfte davon schattiert ist, d.h. $(1)(2)$. Somit erhalten wir $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$. Lassen Sie uns die Zahlen $2$ und $4$ faktorisieren:

Ersetzen Sie diese Erweiterungen in Gleichheit:

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.

Beispiel 2

Ist es möglich, einen gleichen Bruch zu erhalten, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner des gegebenen Bruchs mit 18 $ multipliziert und dann durch 3 $ dividiert werden?

Entscheidung.

Gegeben sei ein gewöhnlicher Bruch $\frac(a)(b)$. Bedingungsgemäß wurden Zähler und Nenner dieses Bruchs mit $18$ multipliziert, und wir erhielten:

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

Nach der Grundeigenschaft eines Bruchs:

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

Somit ist der resultierende Bruch gleich dem Original.

Antworten: Sie können einen Bruchteil erhalten, der dem Original entspricht.

Anwendung der Grundeigenschaft eines Bruchs

Die Haupteigenschaft eines Bruchs wird am häufigsten verwendet für:

• Brüche in einen neuen Nenner umwandeln:
• Abkürzungen für Brüche.

Einen Bruch auf einen neuen Nenner bringen- Ersetzen eines gegebenen Bruchs durch einen Bruch, der ihm gleich ist, aber einen größeren Zähler und einen größeren Nenner hat. Dazu werden Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert, wodurch gemäß der Haupteigenschaft des Bruchs ein Bruch erhalten wird, der dem ursprünglichen gleicht, jedoch größer ist Zähler und Nenner.

Fraktionsreduktion- Ersetzen eines gegebenen Bruchs durch einen Bruch, der ihm gleich ist, aber einen kleineren Zähler und einen kleineren Nenner hat. Dazu werden Zähler und Nenner des Bruchs durch einen von Null verschiedenen positiven gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner dividiert, wodurch entsprechend der Haupteigenschaft des Bruchs ein Bruch erhalten wird ist gleich dem ursprünglichen, aber mit kleinerem Zähler und Nenner.

Wenn wir Zähler und Nenner durch ihren ggT dividieren (kürzen), dann ist das Ergebnis irreduzible Form des ursprünglichen Bruchs.

Fraktionsreduktion

Gewöhnliche Brüche sind bekanntlich durch teilbar zusammenziehbar und irreduzibel.

Um einen Bruch zu kürzen, müssen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren positiven gemeinsamen Teiler dividieren, der nicht gleich Null ist. Beim Kürzen von Brüchen erhält man einen neuen Bruch mit kleinerem Zähler und Nenner, der nach der Haupteigenschaft des Bruchs gleich dem ursprünglichen ist.

Beispiel 3

Kürze den Bruch $\frac(15)(25)$.

Entscheidung.

Reduziere den Bruch um $5$ (dividiere seinen Zähler und Nenner durch $5$):

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

Antworten: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.

Erhalten eines irreduziblen Bruchs

Meistens wird ein Bruch reduziert, um einen irreduziblen Bruch zu erhalten, der gleich dem ursprünglichen reduzierbaren Bruch ist. Dieses Ergebnis kann erzielt werden, indem sowohl der Zähler als auch der Nenner des ursprünglichen Bruchs durch ihren ggT dividiert werden.

$\frac(a\div ggT (a,b))(b\div ggT (a,b))$ ist ein irreduzibler Bruch, weil Gemäß den Eigenschaften von GCD sind Zähler und Nenner eines gegebenen Bruchs teilerfremde Zahlen.

ggT(a,b) ist die größte Zahl, durch die sowohl Zähler als auch Nenner des Bruchs $\frac(a)(b)$ geteilt werden können. Um also einen Bruch auf eine irreduzible Form zu reduzieren, ist es notwendig, seinen Zähler und Nenner durch ihren ggT zu dividieren.

Bemerkung 2

Fraktionsreduktionsregel: 1. Finde den ggT zweier Zahlen, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen. 2. Führen Sie die Division des Zählers und Nenners des Bruchs durch die gefundene ggT durch.

Beispiel 4

Reduziere den Bruch $6/36$ auf eine irreduzible Form.

Entscheidung.

Lassen Sie uns diesen Bruch um GCD$(6,36)=6$ reduzieren, denn $36\div 6=6$. Wir bekommen:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

Antworten: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.

In der Praxis bedeutet der Ausdruck "Bruch kürzen", dass Sie den Bruch auf eine irreduzible Form kürzen müssen.

Beim Studium gewöhnlicher Brüche begegnen wir den Konzepten der Haupteigenschaft eines Bruchs. Zum Lösen von Beispielen mit gewöhnlichen Brüchen ist eine vereinfachte Form erforderlich. Dieser Artikel beinhaltet die Betrachtung algebraischer Brüche und die Anwendung der Haupteigenschaft auf sie, die mit Beispielen für ihre Anwendung formuliert wird.

Formulierung und Begründung

Die Haupteigenschaft eines Bruchs hat eine Formulierung der Form:

Bestimmung 1

Bei gleichzeitiger Multiplikation oder Division von Zähler und Nenner mit derselben Zahl bleibt der Wert des Bruchs unverändert.

Das heißt, wir erhalten, dass a · m · b · m = a · b und a: m · b: m = a · b äquivalent sind, wobei a · b = a · m · b · m und a · b = a: m · b: m als gültig angesehen werden. Die Werte a, b, m sind einige natürliche Zahlen.

Das Teilen des Zählers und Nenners durch eine Zahl kann als a · m · b · m = a · b dargestellt werden. Dies ähnelt dem Lösen von Beispiel 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 . Beim Teilen wird eine Gleichheit der Form a verwendet: m b: m \u003d a b, dann 8 12 \u003d 2 4 2 4 \u003d 2 3. Es kann auch als m b m \u003d a b dargestellt werden, dh 8 12 \u003d 2 4 3 4 \u003d 2 3.

Das heißt, die Haupteigenschaft des Bruchs a · m · b · m = a · b und a · b = a · m · b · m wird im Detail betrachtet im Gegensatz zu a: m · b: m = a · b und a · b = a: m · b: m .

Wenn Zähler und Nenner reelle Zahlen enthalten, gilt die Eigenschaft. Wir müssen zunächst die Gültigkeit der geschriebenen Ungleichung für alle Zahlen beweisen. Das heißt, beweisen Sie die Existenz von a · m · b · m = a · b für alle reellen a , b , m , wobei b und m Werte ungleich Null sind, um eine Division durch Null zu vermeiden.

Beweis 1

Wenn ein Bruchteil der Form a b als Teil des Datensatzes z betrachtet wird, mit anderen Worten, a b = z, dann muss man beweisen, dass a · m · b · m z entspricht, d. h. a · m · b · m = beweisen z. Dann erlaubt uns dies, die Existenz der Gleichheit a · m · b · m = a · b zu beweisen.

Der Bruchstrich bedeutet das Divisionszeichen. Wenden wir die Beziehung mit Multiplikation und Division an, erhalten wir aus a b = z nach der Transformation a = b · z . Gemäß den Eigenschaften numerischer Ungleichungen sollten beide Teile der Ungleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden. Dann multiplizieren wir mit der Zahl m, wir erhalten, dass a · m = (b · z) · m . Aufgrund der Eigenschaft haben wir das Recht, den Ausdruck in der Form a · m = (b · m) · z zu schreiben. Daher folgt aus der Definition, dass a b = z . Das ist der ganze Beweis des Ausdrucks a · m · b · m = a · b .

Gleichheiten der Form a · m · b · m = a · b und a · b = a · m · b · m sind dann sinnvoll, wenn statt a , b , m Polynome stehen und diese statt b und m nicht Null sind.

Die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs: Wenn wir Zähler und Nenner gleichzeitig mit derselben Zahl multiplizieren, erhalten wir ein identisches Gleiches wie der ursprüngliche Ausdruck.

Die Eigenschaft gilt als fair, da Operationen mit Polynomen Operationen mit Zahlen entsprechen.

Beispiel 1

Betrachten Sie das Beispiel des Bruchs 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 . Eine Umwandlung in die Form 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y) ist möglich.

Es wurde eine Multiplikation mit dem Polynom x 2 + 2 · x · y durchgeführt. Auf die gleiche Weise hilft die Haupteigenschaft, x 2, das in dem durch die Bedingung gegebenen Bruch der Form 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) vorhanden ist, auf die Form 5 loszuwerden x + 5 x 3 + 3. Das nennt man Vereinfachung.

Die Haupteigenschaft kann als Ausdrücke geschrieben werden a · m · b · m = a · b und a · b = a · m · b · m , wenn a , b , m Polynome oder gewöhnliche Variablen sind und b und m nicht Null sein müssen.

Anwendungsbereich der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs

Die Verwendung der Haupteigenschaft ist beim Kürzen auf einen neuen Nenner oder beim Kürzen eines Bruchs relevant.

Bestimmung 2

Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner ist die Multiplikation von Zähler und Nenner mit einem ähnlichen Polynom, um ein neues zu erhalten. Der resultierende Bruch ist gleich dem Original.

Das heißt, ein Bruch der Form x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1, wenn er mit x 2 + 1 multipliziert und auf einen gemeinsamen Nenner (x + 1) reduziert wird, wird (x 2 + 1) erhalten bilden x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Nachdem wir Operationen mit Polynomen durchgeführt haben, erhalten wir, dass der algebraische Bruch in x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1 umgewandelt wird.

Auch beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen wird auf einen gemeinsamen Nenner gekürzt. Wenn gebrochene Koeffizienten angegeben sind, muss zunächst eine Vereinfachung vorgenommen werden, die die Form und das Auffinden des gemeinsamen Nenners vereinfacht. Beispiel: 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Die Anwendung der Eigenschaft beim Kürzen von Brüchen erfolgt in 2 Schritten: Zerlegen des Zählers und Nenners in Faktoren, um das gemeinsame m zu finden, dann Übergang zur Form des Bruchs a b , basierend auf der Gleichheit der Form a · m · b · m = ein b .

Wenn ein Bruch der Form 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 nach der Zerlegung in x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y umgewandelt wird, ist es offensichtlich, dass der General der Multiplikator ist das Polynom 4 · x 2 − y . Dann ist es möglich, den Bruch nach seiner Haupteigenschaft zu kürzen. Das verstehen wir

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Der Bruch wird vereinfacht, dann müssen beim Ersetzen der Werte viel weniger Aktionen ausgeführt werden als beim Ersetzen in den ursprünglichen.

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Aus dem Algebra-Kurs des Schullehrplans wenden wir uns den Besonderheiten zu. In diesem Artikel werden wir eine spezielle Art von rationalen Ausdrücken im Detail untersuchen − rationale Brüche, und analysieren Sie auch, welche Merkmale identisch sind Transformationen rationaler Brüche stattfinden.

Wir bemerken gleich, dass rationale Brüche in dem Sinne, in dem wir sie unten definieren, in einigen Lehrbüchern der Algebra als algebraische Brüche bezeichnet werden. Das heißt, in diesem Artikel werden wir dasselbe unter rationalen und algebraischen Brüchen verstehen.

Wie üblich beginnen wir mit einer Definition und Beispielen. Lassen Sie uns als Nächstes darüber sprechen, einen rationalen Bruch auf einen neuen Nenner zu bringen und die Vorzeichen der Mitglieder des Bruchs zu ändern. Danach werden wir analysieren, wie die Reduktion von Brüchen durchgeführt wird. Lassen Sie uns abschließend auf die Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe mehrerer Brüche eingehen. Alle Informationen werden mit Beispielen mit ausführlichen Lösungsbeschreibungen versehen.

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Definition und Beispiele für rationale Brüche

Rationale Brüche werden im Algebraunterricht der 8. Klasse behandelt. Wir werden die Definition eines rationalen Bruchs verwenden, die im Algebra-Lehrbuch für die 8. Klasse von Yu. N. Makarychev und anderen angegeben ist.

Diese Definition legt nicht fest, ob die Polynome im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome der Standardform sein müssen oder nicht. Daher nehmen wir an, dass rationale Brüche sowohl Standard- als auch Nicht-Standard-Polynome enthalten können.

Hier sind ein paar Beispiele für rationale Brüche. Also , x/8 und - rationale Brüche. Und Brüche und passen nicht zur fundierten Definition eines rationalen Bruchs, da im ersten der Zähler kein Polynom ist und im zweiten sowohl der Zähler als auch der Nenner Ausdrücke enthalten, die keine Polynome sind.

Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs umrechnen

Zähler und Nenner eines beliebigen Bruchs sind eigenständige mathematische Ausdrücke, bei rationalen Brüchen Polynome, im Einzelfall Monome und Zahlen. Daher können mit Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs, wie mit jedem Ausdruck, identische Transformationen durchgeführt werden. Mit anderen Worten, der Ausdruck im Zähler eines rationalen Bruchs kann durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt werden, genau wie der Nenner.

Im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs können identische Transformationen durchgeführt werden. Im Zähler können Sie beispielsweise ähnliche Terme gruppieren und kürzen und im Nenner das Produkt mehrerer Zahlen durch seinen Wert ersetzen. Und da Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome sind, lassen sich mit ihnen für Polynome charakteristische Transformationen durchführen, beispielsweise Reduktion auf eine Standardform oder Darstellung als Produkt.

Betrachten Sie zur Verdeutlichung die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Konvertieren Sie den rationalen Bruch so dass der Zähler ein Polynom der Standardform ist und der Nenner das Produkt von Polynomen ist.

Entscheidung.

Das Kürzen rationaler Brüche auf einen neuen Nenner wird hauptsächlich beim Addieren und Subtrahieren rationaler Brüche verwendet.

Vorzeichenwechsel vor einem Bruch sowie in dessen Zähler und Nenner

Die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs kann verwendet werden, um die Vorzeichen der Terme des Bruchs zu ändern. Die Multiplikation von Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs mit -1 ist nämlich gleichbedeutend mit einer Änderung ihrer Vorzeichen, und das Ergebnis ist ein Bruch, der identisch gleich dem gegebenen ist. Bei der Arbeit mit rationalen Brüchen muss eine solche Transformation häufig verwendet werden.

Wenn Sie also gleichzeitig die Vorzeichen des Zählers und des Nenners eines Bruchs ändern, erhalten Sie einen Bruch, der dem ursprünglichen entspricht. Diese Aussage entspricht der Gleichheit.

Nehmen wir ein Beispiel. Ein rationaler Bruch kann durch einen identisch gleichen Bruch mit vertauschten Vorzeichen von Zähler und Nenner der Form ersetzt werden.

Bei Brüchen kann noch eine identische Transformation durchgeführt werden, bei der das Vorzeichen entweder im Zähler oder im Nenner geändert wird. Lassen Sie uns die entsprechende Regel durchgehen. Wenn Sie das Vorzeichen eines Bruchs zusammen mit dem Vorzeichen des Zählers oder Nenners ersetzen, erhalten Sie einen Bruch, der identisch gleich dem Original ist. Die schriftliche Aussage entspricht den Gleichheiten und .

Es ist nicht schwierig, diese Gleichheiten zu beweisen. Der Beweis basiert auf den Eigenschaften der Multiplikation von Zahlen. Lassen Sie uns den ersten von ihnen beweisen: . Mit Hilfe ähnlicher Umformungen wird auch die Gleichheit bewiesen.

Beispielsweise kann ein Bruch durch einen Ausdruck oder ersetzt werden.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts präsentieren wir zwei weitere nützliche Gleichungen und . Das heißt, wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert der Bruch sein Vorzeichen. Zum Beispiel, und .

Die betrachteten Transformationen, die es ermöglichen, das Vorzeichen der Terme eines Bruchs zu ändern, werden häufig bei der Transformation von gebrochen rationalen Ausdrücken verwendet.

Reduktion rationaler Brüche

Die folgende Transformation rationaler Brüche, genannt Reduktion rationaler Brüche, basiert auf der gleichen Grundeigenschaft eines Bruchs. Diese Transformation entspricht der Gleichheit , wobei a , b und c einige Polynome sind und b und c nicht Null sind.

Aus der obigen Gleichheit wird deutlich, dass die Kürzung eines rationalen Bruchs impliziert, dass der gemeinsame Teiler in seinem Zähler und Nenner beseitigt wird.

Beispiel.

Reduziere den rationalen Bruch.

Entscheidung.

Der gemeinsame Faktor 2 ist sofort sichtbar, reduzieren wir ihn (beim Schreiben ist es zweckmäßig, die gemeinsamen Faktoren zu streichen, um die die Reduzierung erfolgt). Wir haben . Da x 2 \u003d x x und y 7 \u003d y 3 y 4 (siehe ggf.), ist klar, dass x ein gemeinsamer Faktor des Zählers und Nenners des resultierenden Bruchs ist, wie y 3 . Lassen Sie uns um diese Faktoren reduzieren: . Damit ist die Reduktion abgeschlossen.

Oben haben wir die Reduktion eines rationalen Bruchs sequentiell durchgeführt. Und es war möglich, die Reduktion in einem Schritt durchzuführen, wobei der Bruch sofort um 2·x·y 3 reduziert wurde. In diesem Fall sähe die Lösung so aus: .

Antworten:

.

Beim Kürzen rationaler Brüche besteht das Hauptproblem darin, dass der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht immer sichtbar ist. Außerdem ist es nicht immer vorhanden. Um einen gemeinsamen Teiler zu finden oder sicherzustellen, dass er nicht existiert, musst du Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs faktorisieren. Wenn es keinen gemeinsamen Faktor gibt, muss der ursprüngliche rationale Bruch nicht gekürzt werden, ansonsten wird die Kürzung durchgeführt.

Bei der Reduzierung rationaler Brüche können verschiedene Nuancen auftreten. Die wichtigsten Feinheiten mit Beispielen und Details werden im Artikel Reduktion algebraischer Brüche besprochen.

Zum Abschluss des Gesprächs über die Reduktion rationaler Brüche stellen wir fest, dass diese Transformation identisch ist und die Hauptschwierigkeit bei ihrer Implementierung in der Faktorisierung von Polynomen im Zähler und Nenner liegt.

Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe von Brüchen

Ganz spezifisch, aber in einigen Fällen sehr nützlich, ist die Transformation eines rationalen Bruchs, die in seiner Darstellung als Summe mehrerer Brüche oder als Summe eines ganzzahligen Ausdrucks und eines Bruchs besteht.

Ein rationaler Bruch, in dessen Zähler ein Polynom steht, das die Summe mehrerer Monome ist, kann immer als Summe von Brüchen mit gleichem Nenner geschrieben werden, in deren Zählern die entsprechenden Monome stehen. Zum Beispiel, . Diese Darstellung erklärt sich aus der Additions- und Subtraktionsregel algebraischer Brüche mit gleichem Nenner.

Im Allgemeinen kann jeder rationale Bruch auf viele verschiedene Arten als Summe von Brüchen dargestellt werden. Beispielsweise kann der Bruch a/b als Summe zweier Brüche dargestellt werden – ein willkürlicher Bruch c/d und ein Bruch gleich der Differenz zwischen den Brüchen a/b und c/d. Diese Aussage ist wahr, da die Gleichheit . Beispielsweise kann ein rationaler Bruch auf verschiedene Weise als Summe von Brüchen dargestellt werden: Wir stellen den ursprünglichen Bruch als Summe eines ganzzahligen Ausdrucks und eines Bruchs dar. Nachdem wir den Zähler durch den Nenner durch eine Spalte dividiert haben, erhalten wir die Gleichheit . Der Wert des Ausdrucks n 3 +4 für jede ganze Zahl n ist eine ganze Zahl. Und der Wert eines Bruchs ist genau dann eine ganze Zahl, wenn sein Nenner 1, −1, 3 oder −3 ist. Diese Werte entsprechen jeweils den Werten n=3, n=1, n=5 und n=−1.

Antworten:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 7. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 13. Aufl., Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Apropos Mathematik, man kommt nicht umhin, sich Brüche zu merken. Ihrem Studium wird viel Aufmerksamkeit und Zeit geschenkt. Erinnere dich daran, wie viele Beispiele du lösen musstest, um bestimmte Regeln für die Arbeit mit Brüchen zu lernen, wie du dir die Haupteigenschaft eines Bruchs eingeprägt und angewendet hast. Wie viele Nerven wurden aufgewendet, um einen gemeinsamen Nenner zu finden, besonders wenn es mehr als zwei Begriffe in den Beispielen gab!

Erinnern wir uns daran, was es ist, und frischen wir unser Gedächtnis ein wenig über die grundlegenden Informationen und Regeln für die Arbeit mit Brüchen auf.

Definition von Brüchen

Beginnen wir mit dem Wichtigsten – Definitionen. Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einem oder mehreren Einheitsteilen besteht. Eine Bruchzahl wird als zwei Zahlen geschrieben, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind. In diesem Fall wird der obere (oder erste) als Zähler und der untere (zweite) als Nenner bezeichnet.

Es ist erwähnenswert, dass der Nenner angibt, in wie viele Teile die Einheit aufgeteilt ist, und der Zähler die Anzahl der entnommenen Anteile oder Teile angibt. Oft sind Brüche, wenn sie richtig sind, kleiner als eins.

Schauen wir uns nun die Eigenschaften dieser Zahlen und die Grundregeln an, die bei der Arbeit mit ihnen verwendet werden. Aber bevor wir ein solches Konzept als "die Haupteigenschaft eines rationalen Bruchs" analysieren, wollen wir über die Arten von Brüchen und ihre Merkmale sprechen.

Was sind Brüche

Es gibt mehrere Arten solcher Nummern. Zuallererst sind diese gewöhnlich und dezimal. Die ersten sind die von uns bereits mit einem Querstrich oder Schrägstrich gekennzeichneten Datensatztypen. Die zweite Art von Brüchen wird mit der sogenannten Positionsnotation angegeben, wenn zuerst der ganzzahlige Teil der Zahl und dann nach dem Dezimalkomma der Bruchteil angegeben wird.

Es ist erwähnenswert, dass in der Mathematik sowohl Dezimalbrüche als auch gewöhnliche Brüche gleichermaßen verwendet werden. Die Haupteigenschaft des Bruchs gilt nur für die zweite Option. Außerdem werden in gewöhnlichen Brüchen richtige und falsche Zahlen unterschieden. Bei ersterem ist der Zähler immer kleiner als der Nenner. Beachten Sie auch, dass ein solcher Bruch kleiner als eins ist. Bei einem unechten Bruch hingegen ist der Zähler größer als der Nenner und er selbst größer als eins. In diesem Fall kann daraus eine ganze Zahl extrahiert werden. In diesem Artikel betrachten wir nur gewöhnliche Brüche.

Brucheigenschaften

Jedes Phänomen, ob chemisch, physikalisch oder mathematisch, hat seine eigenen Merkmale und Eigenschaften. Bruchzahlen sind keine Ausnahme. Sie haben eine wichtige Funktion, mit deren Hilfe bestimmte Operationen an ihnen ausgeführt werden können. Was ist die Haupteigenschaft eines Bruchs? Die Regel besagt, dass wir, wenn Zähler und Nenner mit derselben rationalen Zahl multipliziert oder dividiert werden, einen neuen Bruch erhalten, dessen Wert gleich dem ursprünglichen Wert ist. Das heißt, wenn wir die beiden Teile der Bruchzahl 3/6 mit 2 multiplizieren, erhalten wir einen neuen Bruch 6/12, während sie gleich sind.

Basierend auf dieser Eigenschaft können Sie Brüche kürzen sowie gemeinsame Nenner für ein bestimmtes Zahlenpaar auswählen.

Operationen

Obwohl Brüche für uns komplexer erscheinen, können sie auch grundlegende mathematische Operationen wie Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division ausführen. Darüber hinaus gibt es eine so spezifische Aktion wie die Reduzierung von Fraktionen. Natürlich wird jede dieser Aktionen nach bestimmten Regeln ausgeführt. Die Kenntnis dieser Gesetze macht es einfacher, mit Brüchen zu arbeiten, was es einfacher und interessanter macht. Deshalb werden wir bei der Arbeit mit solchen Zahlen die Grundregeln und den Aktionsalgorithmus weiter betrachten.

Aber bevor wir über solche mathematischen Operationen wie Addition und Subtraktion sprechen, werden wir eine solche Operation als Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner analysieren. Hier wird das Wissen darüber, welche grundlegende Eigenschaft eines Bruchs existiert, von Nutzen sein.

Gemeinsamer Nenner

Um eine Zahl auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, musst du zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner finden. Das heißt, die kleinste Zahl, die gleichzeitig ohne Rest durch beide Nenner teilbar ist. Der einfachste Weg, das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) zu finden, besteht darin, für einen Nenner in eine Zeile zu schreiben, dann für den zweiten und unter ihnen eine passende Zahl zu finden. Für den Fall, dass das LCM nicht gefunden wird, das heißt, diese Zahlen kein gemeinsames Vielfaches haben, sollten sie multipliziert werden, und der resultierende Wert sollte als LCM betrachtet werden.

Wir haben also das LCM gefunden, jetzt müssen wir einen zusätzlichen Multiplikator finden. Dazu müssen Sie das LCM abwechselnd in Nenner von Brüchen teilen und die resultierende Zahl über jedem von ihnen aufschreiben. Als nächstes multiplizierst du Zähler und Nenner mit dem resultierenden zusätzlichen Faktor und schreibst das Ergebnis als neuen Bruch. Wenn Sie bezweifeln, dass die Zahl, die Sie erhalten haben, der vorherigen entspricht, denken Sie an die Haupteigenschaft des Bruchs.

Zusatz

Kommen wir nun direkt zu mathematischen Operationen mit Bruchzahlen. Beginnen wir mit dem Einfachsten. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Brüche zu addieren. Im ersten Fall haben beide Zahlen denselben Nenner. In diesem Fall müssen nur noch die Zähler addiert werden. Aber der Nenner ändert sich nicht. Zum Beispiel 1/5 + 3/5 = 4/5.

Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden und erst dann sollte die Addition durchgeführt werden. Wie das geht, haben wir mit Ihnen etwas weiter oben besprochen. In dieser Situation wird sich die Haupteigenschaft des Bruchs als nützlich erweisen. Die Regel ermöglicht es Ihnen, die Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Der Wert ändert sich in keiner Weise.

Alternativ kann es vorkommen, dass die Fraktion gemischt wird. Dann sollten Sie zuerst die ganzen Teile zusammenzählen und dann die Bruchteile.

Multiplikation

Es erfordert keine Tricks, und um diese Aktion auszuführen, ist es nicht erforderlich, die grundlegende Eigenschaft des Bruchs zu kennen. Es reicht aus, zuerst Zähler und Nenner miteinander zu multiplizieren. In diesem Fall wird das Produkt der Zähler zum neuen Zähler und das Produkt der Nenner zum neuen Nenner. Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes.

Das Einzige, was von Ihnen verlangt wird, ist die Kenntnis des Einmaleins sowie Aufmerksamkeit. Außerdem sollten Sie nach Erhalt des Ergebnisses unbedingt prüfen, ob diese Zahl reduziert werden kann oder nicht. Wir werden etwas später darüber sprechen, wie man Brüche kürzt.

Subtraktion

Das Vorführen sollte sich an den gleichen Regeln orientieren wie beim Hinzufügen. Bei Zahlen mit gleichem Nenner reicht es also, den Zähler des Subtrahenten vom Zähler des Minuends zu subtrahieren. Für den Fall, dass die Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen und dann diese Operation durchführen. Wie bei der analogen Addition müssen Sie die grundlegende Eigenschaft eines algebraischen Bruchs sowie Fähigkeiten zum Ermitteln des LCM und gemeinsamer Faktoren für Brüche verwenden.

Aufteilung

Und die letzte, interessanteste Operation bei der Arbeit mit solchen Zahlen ist die Division. Es ist ziemlich einfach und verursacht keine besonderen Schwierigkeiten, selbst für diejenigen, die nicht verstehen, wie man mit Brüchen arbeitet, insbesondere um Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen. Beim Teilen gilt eine solche Regel als Multiplikation mit einem Kehrwertbruch. Die Haupteigenschaft eines Bruchs, wie im Fall der Multiplikation, wird für diese Operation nicht verwendet. Lasst uns genauer hinschauen.

Bei der Division von Zahlen bleibt der Dividende unverändert. Der Divisor ist umgekehrt, d. h. Zähler und Nenner sind vertauscht. Danach werden die Zahlen miteinander multipliziert.

Die Ermäßigung

Wir haben also bereits die Definition und Struktur von Brüchen, ihre Typen, die Regeln der Operationen mit gegebenen Zahlen untersucht und die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs herausgefunden. Lassen Sie uns nun über eine solche Operation wie Reduktion sprechen. Einen Bruch zu kürzen ist der Vorgang, ihn umzuwandeln – Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu dividieren. Somit wird die Fraktion reduziert, ohne ihre Eigenschaften zu verändern.

Normalerweise sollten Sie bei der Durchführung einer mathematischen Operation das am Ende erhaltene Ergebnis sorgfältig prüfen und herausfinden, ob es möglich ist, den resultierenden Bruch zu reduzieren oder nicht. Denken Sie daran, dass das Endergebnis immer als Bruchzahl geschrieben wird, die keiner Kürzung bedarf.

Andere Operationen

Abschließend stellen wir fest, dass wir bei weitem nicht alle Operationen mit Bruchzahlen aufgelistet haben und nur die berühmtesten und notwendigsten erwähnen. Brüche können auch verglichen, in Dezimalzahlen umgewandelt und umgekehrt werden. Aber in diesem Artikel haben wir diese Operationen nicht berücksichtigt, da sie in der Mathematik viel seltener ausgeführt werden als die oben angegebenen.

Ergebnisse

Wir haben mit ihnen über Bruchzahlen und Operationen gesprochen. Wir haben auch die Hauptimmobilie analysiert, stellen aber fest, dass all diese Punkte von uns nebenbei betrachtet wurden. Wir haben nur die bekanntesten und gebräuchlichsten Regeln gegeben, wir haben die unserer Meinung nach wichtigsten Ratschläge gegeben.

Dieser Artikel soll die Informationen auffrischen, die Sie über Brüche vergessen haben, anstatt neue Informationen zu geben und Ihren Kopf mit endlosen Regeln und Formeln zu "füllen", die für Sie höchstwahrscheinlich nicht nützlich sein werden.

Wir hoffen, dass das im Artikel einfach und prägnant dargestellte Material für Sie nützlich geworden ist.