Unterrichtsinhalt

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Der Schüler hat 200 Rubel für das Mittagessen in der Schule. Ein Kuchen kostet 25 Rubel und eine Tasse Kaffee 10 Rubel. Wie viele Kuchen und Tassen Kaffee kann man für 200 Rubel kaufen?

Bezeichnen Sie die Anzahl der Kuchen durch x, und die Anzahl der Tassen Kaffee durch j. Dann werden die Kosten für Kuchen mit dem Ausdruck 25 bezeichnet x, und die Kosten für Tassen Kaffee in 10 j .

25x- Preis x Kuchen
10y- Preis j Tassen Kaffee

Der Gesamtbetrag sollte 200 Rubel betragen. Dann erhalten wir eine Gleichung mit zwei Variablen x und j

25x+ 10j= 200

Wie viele Wurzeln hat diese Gleichung?

Es hängt alles vom Appetit des Schülers ab. Wenn er 6 Kuchen und 5 Tassen Kaffee kauft, dann sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen 6 und 5.

Das Wertepaar 6 und 5 soll die Wurzel von Gleichung 25 sein x+ 10j= 200 . Geschrieben als (6; 5) , wobei die erste Zahl der Wert der Variablen ist x, und die zweite - der Wert der Variablen j .

6 und 5 sind nicht die einzigen Nullstellen, die Gleichung 25 umkehren x+ 10j= 200 bis Identität. Auf Wunsch kann ein Student für die gleichen 200 Rubel 4 Kuchen und 10 Tassen Kaffee kaufen:

In diesem Fall sind die Wurzeln von Gleichung 25 x+ 10j= 200 ist das Wertepaar (4; 10) .

Außerdem kann ein Student überhaupt keinen Kaffee kaufen, sondern Kuchen für alle 200 Rubel kaufen. Dann die Wurzeln von Gleichung 25 x+ 10j= 200 sind die Werte 8 und 0

Oder umgekehrt, kaufen Sie keine Kuchen, sondern kaufen Sie Kaffee für alle 200 Rubel. Dann die Wurzeln von Gleichung 25 x+ 10j= 200 sind die Werte 0 und 20

Versuchen wir, alle möglichen Nullstellen von Gleichung 25 aufzulisten x+ 10j= 200 . Lassen Sie uns einigen, dass die Werte x und j gehören zur Menge der ganzen Zahlen. Und lassen Sie diese Werte größer oder gleich Null sein:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

So wird es für den Schüler selbst bequem sein. Kuchen sind bequemer im Ganzen zu kaufen als beispielsweise mehrere ganze Kuchen und ein halber Kuchen. Kaffee lässt sich auch bequemer in ganzen Tassen zu sich nehmen als beispielsweise mehrere ganze Tassen und eine halbe Tasse.

Beachten Sie das für ungerade x es ist unmöglich, Gleichheit unter irgendjemandem zu erreichen j. Dann die Werte x es werden die folgenden Nummern 0, 2, 4, 6, 8 sein. Und Wissen x leicht bestimmt werden können j

Somit haben wir die folgenden Wertepaare erhalten (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Diese Paare sind Lösungen oder Nullstellen von Gleichung 25 x+ 10j= 200. Sie verwandeln diese Gleichung in eine Identität.

Gleichung eingeben axt + by = c namens lineare Gleichung mit zwei Variablen. Eine Lösung oder Wurzel dieser Gleichung ist ein Wertepaar ( x; j), was daraus eine Identität macht.

Beachten Sie auch, dass wenn eine lineare Gleichung mit zwei Variablen geschrieben wird als ax + b y = c , dann sagen sie, dass es eingeschrieben ist kanonisch(normale) Form.

Einige lineare Gleichungen in zwei Variablen können auf die kanonische Form reduziert werden.

Zum Beispiel die Gleichung 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − j) kann in Erinnerung bleiben axt + by = c. Öffnen wir die Klammern in beiden Teilen dieser Gleichung, erhalten wir 32x + 6j − 8 = 24 + 16x − 2j . Die Terme, die Unbekannte enthalten, sind auf der linken Seite der Gleichung gruppiert, und die Terme ohne Unbekannte sind auf der rechten Seite gruppiert. Dann bekommen wir 32x - 16x+ 6j+ 2j = 24 + 8 . Bringen wir ähnliche Terme in beide Teile, erhalten wir Gleichung 16 x+ 8j= 32. Diese Gleichung wird auf die Form reduziert axt + by = c und ist kanonisch.

Gleichung 25 wurde früher betrachtet x+ 10j= 200 ist auch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen in kanonischer Form. In dieser Gleichung sind die Parameter a , b und c sind gleich den Werten 25, 10 bzw. 200.

Eigentlich die Gleichung axt + by = c hat unendlich viele Lösungen. Lösen der Gleichung 25x+ 10j= 200, Wir haben nur auf der Menge der ganzen Zahlen nach seinen Wurzeln gesucht. Als Ergebnis erhielten wir mehrere Wertepaare, die diese Gleichung in eine Identität verwandelten. Aber auf der Menge der rationalen Zahlen ist Gleichung 25 x+ 10j= 200 hat unendlich viele Lösungen.

Um neue Wertepaare zu erhalten, müssen Sie einen beliebigen Wert für nehmen x, dann ausdrücken j. Nehmen wir zum Beispiel eine Variable x Wert 7. Dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 25×7 + 10j= 200 in dem man sich ausdrückt j

Lassen x= 15 . Dann die Gleichung 25x+ 10j= 200 wird 25 × 15 + 10j= 200. Ab hier finden wir das j = −17,5

Lassen x= −3 . Dann die Gleichung 25x+ 10j= 200 wird 25 × (−3) + 10j= 200. Ab hier finden wir das j = −27,5

System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Für die Gleichung axt + by = c Sie können beliebig oft beliebige Werte für nehmen x und finden Sie Werte für j. Einzeln genommen wird eine solche Gleichung eine unendliche Anzahl von Lösungen haben.

Es kommt aber auch vor, dass die Variablen x und j nicht durch eine, sondern durch zwei Gleichungen verbunden. In diesem Fall bilden sie die sog lineares gleichungssystem mit zwei veränderlichen. Ein solches Gleichungssystem kann ein Wertepaar (oder anders gesagt: „eine Lösung“) haben.

Es kann auch vorkommen, dass das System überhaupt keine Lösungen hat. Ein lineares Gleichungssystem kann in seltenen Ausnahmefällen unendlich viele Lösungen haben.

Zwei lineare Gleichungen bilden ein System, wenn die Werte x und j sind in jeder dieser Gleichungen enthalten.

Gehen wir zurück zur allerersten Gleichung 25 x+ 10j= 200 . Eines der Wertepaare für diese Gleichung war das Paar (6; 5) . Dies ist der Fall, wenn man für 200 Rubel 6 Kuchen und 5 Tassen Kaffee kaufen könnte.

Wir stellen das Problem so zusammen, dass das Paar (6; 5) die einzige Lösung für Gleichung 25 wird x+ 10j= 200 . Dazu stellen wir eine weitere Gleichung auf, die dasselbe verbinden würde x Kuchen u j Tassen Kaffee.

Lassen Sie uns den Text der Aufgabe wie folgt formulieren:

„Ein Schüler kaufte mehrere Kuchen und mehrere Tassen Kaffee für 200 Rubel. Ein Kuchen kostet 25 Rubel und eine Tasse Kaffee 10 Rubel. Wie viele Kuchen und Tassen Kaffee hat der Schüler gekauft, wenn bekannt ist, dass die Anzahl der Kuchen um eins größer ist als die Anzahl der Tassen Kaffee?

Wir haben bereits die erste Gleichung. Dies ist Gleichung 25 x+ 10j= 200 . Lassen Sie uns nun eine Gleichung für die Bedingung schreiben "Die Anzahl der Kuchen ist eine Einheit höher als die Anzahl der Tassen Kaffee" .

Die Anzahl der Kuchen ist x, und die Anzahl der Tassen Kaffee ist j. Sie können diesen Satz mit der Gleichung schreiben x − y= 1. Diese Gleichung würde bedeuten, dass die Differenz zwischen Kuchen und Kaffee 1 ist.

x=y+ 1 . Diese Gleichung bedeutet, dass die Anzahl der Kuchen um eins größer ist als die Anzahl der Tassen Kaffee. Um Gleichheit zu erreichen, wird daher eins zur Anzahl der Tassen Kaffee hinzugefügt. Dies lässt sich leicht verstehen, wenn wir das Gewichtsmodell verwenden, das wir beim Studium der einfachsten Probleme berücksichtigt haben:

Habe zwei Gleichungen: 25 x+ 10j= 200 und x=y+ 1. Da die Werte x und j, nämlich 6 und 5 sind in jeder dieser Gleichungen enthalten, dann bilden sie zusammen ein System. Lassen Sie uns dieses System aufschreiben. Bilden die Gleichungen ein System, so werden sie vom Vorzeichen des Systems eingerahmt. Das Systemzeichen ist eine geschweifte Klammer:

Lassen Sie uns dieses System lösen. Dadurch können wir sehen, wie wir zu den Werten 6 und 5 kommen. Es gibt viele Methoden, um solche Systeme zu lösen. Betrachten Sie die beliebtesten von ihnen.

Substitutionsmethode

Der Name dieser Methode spricht für sich. Sein Wesen besteht darin, eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen, nachdem zuvor eine der Variablen ausgedrückt wurde.

In unserem System muss nichts ausgedrückt werden. In der zweiten Gleichung x = j+ 1 Variable x bereits geäußert. Diese Variable ist gleich dem Ausdruck j+ 1 . Dann können Sie diesen Ausdruck in der ersten Gleichung anstelle der Variablen einsetzen x

Nach dem Ersetzen des Ausdrucks j+ 1 stattdessen in die erste Gleichung x, erhalten wir die Gleichung 25(j+ 1) + 10j= 200 . Dies ist eine lineare Gleichung mit einer Variablen. Diese Gleichung ist ganz einfach zu lösen:

Wir haben den Wert der Variablen gefunden j. Jetzt setzen wir diesen Wert in eine der Gleichungen ein und finden den Wert x. Dazu ist es zweckmäßig, die zweite Gleichung zu verwenden x = j+ 1 . Setzen wir den Wert hinein j

Das Paar (6; 5) ist also eine Lösung des Gleichungssystems, wie wir es beabsichtigt haben. Wir prüfen und stellen sicher, dass das Paar (6; 5) das System erfüllt:

Beispiel 2

Ersetzen Sie die erste Gleichung x= 2 + j in die zweite Gleichung 3 x - 2j= 9 . In der ersten Gleichung die Variable x ist gleich dem Ausdruck 2 + j. Wir setzen diesen Ausdruck statt in die zweite Gleichung ein x

Lassen Sie uns nun den Wert finden x. Ersetzen Sie dazu den Wert j in die erste Gleichung x= 2 + j

Die Lösung des Systems ist also der Paarwert (5; 3)

Beispiel 3. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:

Anders als in den vorherigen Beispielen wird hier eine der Variablen nicht explizit ausgedrückt.

Um eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen, benötigen Sie zunächst .

Es ist wünschenswert, die Variable auszudrücken, die einen Koeffizienten von eins hat. Die Koeffizienteneinheit hat eine Variable x, die in der ersten Gleichung enthalten ist x+ 2j= 11 . Lassen Sie uns diese Variable ausdrücken.

Nach einem variablen Ausdruck x, sieht unser System so aus:

Jetzt setzen wir die erste Gleichung in die zweite ein und finden den Wert j

Ersatz j x

Die Lösung des Systems ist also ein Wertepaar (3; 4)

Natürlich können Sie auch eine Variable ausdrücken j. Die Wurzeln werden sich nicht ändern. Aber wenn Sie ausdrücken y, Das Ergebnis ist keine sehr einfache Gleichung, deren Lösung mehr Zeit in Anspruch nehmen wird. Es wird so aussehen:

Wir sehen das in diesem Beispiel zum Ausdruck x viel bequemer als auszudrücken j .

Beispiel 4. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:

Drücken Sie in der ersten Gleichung aus x. Dann nimmt das System die Form an:

j

Ersatz j in die erste Gleichung und finde x. Sie können die ursprüngliche Gleichung 7 verwenden x+ 9j= 8 , oder verwenden Sie die Gleichung, in der die Variable ausgedrückt wird x. Wir werden diese Gleichung verwenden, da sie praktisch ist:

Die Lösung des Systems ist also das Wertepaar (5; −3)

Additionsmethode

Die Additionsmethode besteht darin, die im System enthaltenen Gleichungen Term für Term zu addieren. Diese Addition führt zu einer neuen Gleichung mit einer Variablen. Und es ist ziemlich einfach, diese Gleichung zu lösen.

Lösen wir das folgende Gleichungssystem:

Addiere die linke Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten Gleichung. Und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten Gleichung. Wir erhalten folgende Gleichheit:

Hier sind ähnliche Begriffe:

Als Ergebnis haben wir die einfachste Gleichung 3 erhalten x= 27, dessen Wurzel 9 ist. Den Wert kennen x Sie können den Wert finden j. Ersetzen Sie den Wert x in die zweite Gleichung x − y= 3 . Wir erhalten 9 − j= 3 . Von hier j= 6 .

Die Lösung des Systems ist also ein Wertepaar (9; 6)

Beispiel 2

Addiere die linke Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten Gleichung. Und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten Gleichung. In der resultierenden Gleichheit präsentieren wir ähnliche Terme:

Als Ergebnis erhalten wir die einfachste Gleichung 5 x= 20, dessen Wurzel 4 ist. Den Wert kennen x Sie können den Wert finden j. Ersetzen Sie den Wert x in die erste Gleichung 2 x+y= 11 . Lassen Sie uns 8 + bekommen j= 11 . Von hier j= 3 .

Die Lösung des Systems ist also das Wertepaar (4;3)

Das Zugabeverfahren wird nicht im Detail beschrieben. Es muss im Kopf geschehen. Beim Addieren müssen beide Gleichungen auf die kanonische Form gebracht werden. Das heißt, zum Verstand ac+by=c .

Aus den betrachteten Beispielen ist ersichtlich, dass das Hauptziel des Hinzufügens von Gleichungen darin besteht, eine der Variablen loszuwerden. Aber es ist nicht immer möglich, das Gleichungssystem sofort durch die Additionsmethode zu lösen. Meistens wird das System vorläufig in eine Form gebracht, in der es möglich ist, die in diesem System enthaltenen Gleichungen hinzuzufügen.

Zum Beispiel das System kann direkt mit der Additionsmethode gelöst werden. Beim Addieren beider Gleichungen werden die Terme j und −y verschwinden, weil ihre Summe Null ist. Als Ergebnis wird die einfachste Gleichung 11 gebildet x= 22 , dessen Wurzel 2 ist. Dann wird es möglich sein, zu bestimmen j gleich 5.

Und das Gleichungssystem Die Additionsmethode kann nicht sofort gelöst werden, da dies nicht zum Verschwinden einer der Variablen führt. Die Addition führt zu Gleichung 8 x+ j= 28 , die unendlich viele Lösungen hat.

Multipliziert oder dividiert man beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null, so erhält man eine Gleichung, die der gegebenen äquivalent ist. Diese Regel gilt auch für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Eine der Gleichungen (oder beide Gleichungen) kann mit einer Zahl multipliziert werden. Das Ergebnis ist ein äquivalentes System, dessen Wurzeln mit dem vorherigen übereinstimmen.

Kehren wir zum allerersten System zurück, das beschrieb, wie viele Kuchen und Tassen Kaffee der Student gekauft hat. Die Lösung dieses Systems war ein Wertepaar (6; 5).

Wir multiplizieren beide in diesem System enthaltenen Gleichungen mit einigen Zahlen. Nehmen wir an, wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3

Das Ergebnis ist ein System
Die Lösung dieses Systems ist immer noch das Wertepaar (6; 5)

Das bedeutet, dass die im System enthaltenen Gleichungen auf eine für die Anwendung des Additionsverfahrens geeignete Form gebracht werden können.

Zurück zum System , die wir mit der Additionsmethode nicht lösen konnten.

Multipliziere die erste Gleichung mit 6 und die zweite mit −2

Dann erhalten wir folgendes System:

Wir addieren die in diesem System enthaltenen Gleichungen. Komponentenzugabe 12 x und -12 x ergibt 0, Addition 18 j und 4 j gibt 22 j, und das Addieren von 108 und −20 ergibt 88. Dann erhalten Sie die Gleichung 22 j= 88 , also j = 4 .

Wenn es anfangs schwierig ist, Gleichungen in Gedanken hinzuzufügen, dann kannst du aufschreiben, wie die linke Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten Gleichung und die rechte Seite der ersten Gleichung zur rechten Seite addiert wird die zweite gleichung:

Zu wissen, dass der Wert der Variablen j 4 ist, können Sie den Wert finden x. Ersatz j in eine der Gleichungen, zum Beispiel in die erste Gleichung 2 x+ 3j= 18 . Dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 2 x+ 12 = 18 . Wir übertragen 12 auf die rechte Seite und ändern das Vorzeichen, wir erhalten 2 x= 6 , also x = 3 .

Beispiel 4. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Multipliziere die zweite Gleichung mit −1. Dann nimmt das System folgende Form an:

Addieren wir beide Gleichungen. Hinzufügen von Komponenten x und −x ergibt 0, Addition 5 j und 3 j wird 8 geben j, und die Addition von 7 und 1 ergibt 8. Das Ergebnis ist Gleichung 8 j= 8 , dessen Wurzel 1 ist. Zu wissen, dass der Wert j 1 ist, können Sie den Wert finden x .

Ersatz j in die erste Gleichung bekommen wir x+ 5 = 7 , also x= 2

Beispiel 5. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Es ist wünschenswert, dass die Terme, die die gleichen Variablen enthalten, untereinander angeordnet sind. Daher sind in der zweiten Gleichung die Terme 5 j und –2 x Plätze tauschen. Als Ergebnis nimmt das System die Form an:

Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 3. Dann nimmt das System die Form an:

Jetzt addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition erhalten wir Gleichung 8 j= 16 , dessen Wurzel 2 ist.

Ersatz j in die erste Gleichung bekommen wir 6 x− 14 = 40 . Wir übertragen den Term −14 auf die rechte Seite, ändern das Vorzeichen, wir erhalten 6 x= 54 . Von hier x= 9.

Beispiel 6. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Lassen Sie uns Brüche loswerden. Multipliziere die erste Gleichung mit 36 ​​und die zweite mit 12

Im resultierenden System die erste Gleichung kann mit −5 und die zweite mit 8 multipliziert werden

Fügen wir die Gleichungen im resultierenden System hinzu. Dann erhalten wir die einfachste Gleichung −13 j= −156 . Von hier j= 12 . Ersatz j in die erste Gleichung und finde x

Beispiel 7. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Wir bringen beide Gleichungen in Normalform. Hier ist es zweckmäßig, die Proportionsregel in beiden Gleichungen anzuwenden. Wenn in der ersten Gleichung die rechte Seite als dargestellt wird und die rechte Seite der zweiten Gleichung als , dann nimmt das System die Form an:

Wir haben einen Anteil. Wir multiplizieren seine extremen und mittleren Terme. Dann nimmt das System die Form an:

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit −3 und öffnen die Klammern in der zweiten:

Jetzt addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition dieser Gleichungen erhalten wir eine Gleichheit, in der beide Teile Null sind:

Es stellt sich heraus, dass das System unendlich viele Lösungen hat.

Aber wir können nicht einfach beliebige Werte vom Himmel nehmen x und j. Wir können einen der Werte angeben, und der andere wird in Abhängigkeit von dem von uns angegebenen Wert bestimmt. Lassen Sie zum Beispiel x= 2 . Setzen Sie diesen Wert in das System ein:

Als Ergebnis der Lösung einer der Gleichungen wird der Wert für j, was beide Gleichungen erfüllt:

Das resultierende Wertepaar (2; −2) wird das System erfüllen:

Lassen Sie uns ein anderes Wertepaar finden. Lassen x= 4. Setzen Sie diesen Wert in das System ein:

Das kann man mit dem Auge feststellen j gleich Null ist. Dann erhalten wir ein Wertepaar (4; 0), das unserem System genügt:

Beispiel 8. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Multipliziere die erste Gleichung mit 6 und die zweite mit 12

Schreiben wir um, was übrig bleibt:

Multipliziere die erste Gleichung mit −1. Dann nimmt das System die Form an:

Jetzt addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition wird Gleichung 6 gebildet b= 48 , dessen Wurzel 8 ist. Ersatz b in die erste Gleichung und finde a

Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen

Eine lineare Gleichung mit drei Variablen enthält drei Variablen mit Koeffizienten sowie einen Achsenabschnitt. In kanonischer Form kann es wie folgt geschrieben werden:

axt + by + cz = d

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Indem zwei Variablen unterschiedliche Werte zugewiesen werden, kann ein dritter Wert gefunden werden. Die Lösung ist in diesem Fall das Wertetripel ( x; ja; z), was die Gleichung in eine Identität verwandelt.

Wenn Variablen x, y, z durch drei Gleichungen miteinander verbunden sind, dann wird ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Variablen gebildet. Um ein solches System zu lösen, können Sie die gleichen Methoden anwenden, die für lineare Gleichungen mit zwei Variablen gelten: die Substitutionsmethode und die Additionsmethode.

Beispiel 1. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:

Wir drücken in der dritten Gleichung aus x. Dann nimmt das System die Form an:

Jetzt machen wir die Substitution. Variable x ist gleich dem Ausdruck 3 − 2j − 2z . Setzen Sie diesen Ausdruck in die erste und zweite Gleichung ein:

Lassen Sie uns die Klammern in beiden Gleichungen öffnen und ähnliche Terme angeben:

Wir sind bei einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen angelangt. In diesem Fall ist es zweckmäßig, das Additionsverfahren anzuwenden. Als Ergebnis wird die Variable j verschwindet und wir können den Wert der Variablen finden z

Lassen Sie uns nun den Wert finden j. Dazu ist es bequem, die Gleichung − zu verwenden j+ z= 4. Ersetzen Sie den Wert z

Lassen Sie uns nun den Wert finden x. Dazu ist es bequem, die Gleichung zu verwenden x= 3 − 2j − 2z . Ersetzen Sie die Werte darin j und z

Somit ist das Wertetripel (3; −2; 2) die Lösung unseres Systems. Durch die Überprüfung stellen wir sicher, dass diese Werte dem System genügen:

Beispiel 2. Lösen Sie das System durch Additionsverfahren

Lassen Sie uns die erste Gleichung addieren, wobei die zweite mit −2 multipliziert wird.

Wenn die zweite Gleichung mit −2 multipliziert wird, nimmt sie die Form an −6x+ 6y- 4z = −4 . Fügen Sie es nun zur ersten Gleichung hinzu:

Wir sehen, dass durch elementare Transformationen der Wert der Variablen bestimmt wurde x. Es ist gleich eins.

Gehen wir zurück zum Hauptsystem. Lassen Sie uns die zweite Gleichung addieren, wobei die dritte mit −1 multipliziert wird. Wenn die dritte Gleichung mit −1 multipliziert wird, nimmt sie die Form an −4x + 5j − 2z = −1 . Fügen Sie es nun zur zweiten Gleichung hinzu:

Habe die Gleichung x - 2j= −1 . Ersetzen Sie den Wert darin x die wir vorhin gefunden haben. Dann können wir den Wert ermitteln j

Wir kennen jetzt die Werte x und j. Damit können Sie den Wert bestimmen z. Wir verwenden eine der im System enthaltenen Gleichungen:

Somit ist das Wertetripel (1; 1; 1) die Lösung unseres Systems. Durch die Überprüfung stellen wir sicher, dass diese Werte dem System genügen:

Aufgaben zur Erstellung linearer Gleichungssysteme

Die Aufgabe, Gleichungssysteme zu erstellen, wird durch die Einführung mehrerer Variablen gelöst. Als nächstes werden Gleichungen basierend auf den Bedingungen des Problems kompiliert. Aus den aufgestellten Gleichungen bilden sie ein System und lösen es. Nachdem das System gelöst wurde, muss überprüft werden, ob seine Lösung die Bedingungen des Problems erfüllt.

Aufgabe 1. Ein Wolga-Wagen verließ die Stadt zur Kolchose. Sie kehrte auf einer anderen Straße zurück, die 5 km kürzer war als die erste. Insgesamt fuhr das Auto 35 km in beide Richtungen. Wie viele Kilometer ist jede Straße lang?

Entscheidung

Lassen x- Länge der ersten Straße, j- die Länge der Sekunde. Wenn das Auto 35 km in beide Richtungen gefahren ist, kann die erste Gleichung geschrieben werden als x+ j= 35. Diese Gleichung beschreibt die Summe der Längen beider Straßen.

Es wird gesagt, dass das Auto auf der Straße zurückkehrte, die um 5 km kürzer war als die erste. Dann kann die zweite Gleichung geschrieben werden als x− j= 5. Diese Gleichung zeigt, dass die Differenz zwischen den Straßenlängen 5 km beträgt.

Oder die zweite Gleichung kann geschrieben werden als x= j+ 5 . Wir werden diese Gleichung verwenden.

Da die Variablen x und j in beiden Gleichungen dieselbe Zahl bezeichnen, dann können wir daraus ein System bilden:

Lassen Sie uns dieses System mit einer der zuvor untersuchten Methoden lösen. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Substitutionsmethode zu verwenden, da in der zweiten Gleichung die Variable x bereits geäußert.

Setze die zweite Gleichung in die erste ein und finde j

Ersetzen Sie den gefundenen Wert j in die zweite Gleichung x= j+ 5 und finden x

Die Länge der ersten Straße wurde durch die Variable bezeichnet x. Jetzt haben wir seine Bedeutung gefunden. Variable x ist 20. Die Länge der ersten Straße beträgt also 20 km.

Und die Länge der zweiten Straße wurde durch angezeigt j. Der Wert dieser Variablen ist 15. Die Länge der zweiten Straße beträgt also 15 km.

Lassen Sie uns einen Check machen. Stellen wir zunächst sicher, dass das System richtig gelöst ist:

Prüfen wir nun, ob die Lösung (20; 15) die Bedingungen des Problems erfüllt.

Es wurde gesagt, dass das Auto insgesamt 35 km in beide Richtungen gefahren ist. Wir addieren die Längen beider Straßen und vergewissern uns, dass die Lösung (20; 15) diese Bedingung erfüllt: 20 km + 15 km = 35 km

Nächste Bedingung: Das Auto kehrte auf einer anderen Straße zurück, die 5 km kürzer war als die erste . Wir sehen, dass auch die Lösung (20; 15) diese Bedingung erfüllt, da 15 km um 5 km kürzer sind als 20 km: 20 km − 15 km = 5 km

Beim Zusammenstellen eines Systems ist es wichtig, dass die Variablen in allen Gleichungen, die in diesem System enthalten sind, die gleichen Zahlen bezeichnen.

Unser System enthält also zwei Gleichungen. Diese Gleichungen enthalten wiederum die Variablen x und j, die in beiden Gleichungen die gleichen Zahlen bezeichnen, nämlich die Straßenlängen von 20 km und 15 km.

Aufgabe 2. Eichen- und Kiefernschwellen wurden auf die Plattform geladen, insgesamt 300 Schwellen. Es ist bekannt, dass alle Eichenschwellen 1 Tonne weniger wogen als alle Kiefernschwellen. Bestimmen Sie, wie viele Eichen- und Kiefernschwellen einzeln vorhanden waren, wenn jede Eichenschwelle 46 kg und jede Kiefernschwelle 28 kg wog.

Entscheidung

Lassen x Eiche u j Kiefernschwellen wurden auf die Plattform geladen. Wenn es insgesamt 300 Schläfer gibt, kann die erste Gleichung geschrieben werden als x+y = 300 .

Alle Eichenschwellen wogen 46 x kg und Kiefer wog 28 j kg. Da Eichenschwellen 1 Tonne weniger wogen als Kiefernschwellen, kann die zweite Gleichung geschrieben werden als 28y- 46x= 1000 . Diese Gleichung zeigt, dass der Massenunterschied zwischen Eichen- und Kiefernschwellen 1000 kg beträgt.

Tonnen wurden in Kilogramm umgerechnet, da die Masse von Eichen- und Kiefernschwellen in Kilogramm gemessen wird.

Als Ergebnis erhalten wir zwei Gleichungen, die das System bilden

Lassen Sie uns dieses System lösen. Drücken Sie in der ersten Gleichung aus x. Dann nimmt das System die Form an:

Setze die erste Gleichung in die zweite ein und finde j

Ersatz j in die Gleichung x= 300 − j und erfahre was x

Das bedeutet, dass 100 Eichen- und 200 Kiefernschwellen auf die Plattform geladen wurden.

Prüfen wir, ob die Lösung (100; 200) die Bedingungen des Problems erfüllt. Stellen wir zunächst sicher, dass das System richtig gelöst ist:

Es wurde gesagt, dass es insgesamt 300 Schläfer gab. Wir addieren die Anzahl der Eichen- und Kiefernschwellen und vergewissern uns, dass die Lösung (100; 200) diese Bedingung erfüllt: 100 + 200 = 300.

Nächste Bedingung: Alle Eichenschwellen wogen 1 Tonne weniger als alle Kiefern . Wir sehen, dass auch die Lösung (100; 200) diese Bedingung erfüllt, da 46 × 100 kg Eichenschwellen leichter sind als 28 × 200 kg Kiefernschwellen: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Aufgabe 3. Wir nahmen drei Stücke einer Legierung aus Kupfer und Nickel in Gewichtsverhältnissen von 2: 1, 3: 1 und 5: 1. Davon wurde ein 12 kg schweres Stück mit einem Verhältnis von Kupfer- und Nickelanteil von 4:1 geschmolzen. Finden Sie die Masse jedes Originalstücks, wenn die Masse des ersten doppelt so groß ist wie die des zweiten.

Betrachten wir zunächst den Fall, dass die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Variablen ist, d.h. m = n. Dann ist die Matrix des Systems quadratisch, und ihre Determinante heißt Determinante des Systems.

Methode der inversen Matrix

Betrachten Sie allgemein das Gleichungssystem AX = B mit einer nichtsingulären quadratischen Matrix A. In diesem Fall gibt es eine inverse Matrix A -1 . Lassen Sie uns beide Seiten mit A -1 auf der linken Seite multiplizieren. Wir bekommen A -1 AX \u003d A -1 B. Von hier EX \u003d A -1 B und

Die letzte Gleichheit ist eine Matrixformel zum Auffinden von Lösungen für solche Gleichungssysteme. Die Verwendung dieser Formel wird als Inverse-Matrix-Methode bezeichnet

Lassen Sie uns diese Methode zum Beispiel verwenden, um das folgende System zu lösen:

;

Am Ende der Lösung des Systems kann eine Überprüfung erfolgen, indem die gefundenen Werte in die Gleichungen des Systems eingesetzt werden. In diesem Fall müssen sie sich in echte Gleichheiten verwandeln.

Lassen Sie uns für dieses Beispiel Folgendes überprüfen:

Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen mit einer quadratischen Matrix unter Verwendung von Cramers Formeln

Sei n=2:

Wenn beide Teile der ersten Gleichung mit a 22 und beide Teile der zweiten mit (-a 12) multipliziert werden und dann die resultierenden Gleichungen addiert werden, schließen wir die Variable x 2 aus dem System aus. Ebenso können Sie die Variable x 1 eliminieren (indem Sie beide Seiten der ersten Gleichung mit (-a 21) und beide Seiten der zweiten mit a 11 multiplizieren). Als Ergebnis erhalten wir das System:

Der Ausdruck in Klammern ist die Determinante des Systems

Bezeichnen

Dann nimmt das System die Form an:

Aus dem resultierenden System folgt, dass, wenn die Determinante des Systems 0 ist, das System konsistent und eindeutig ist. Seine einzigartige Lösung kann durch die Formeln berechnet werden:

Wenn = 0, a 1 0 und/oder  2 0, dann nehmen die Gleichungen des Systems die Form 0*х 1 = 2 und/oder 0*х 1 = 2 an. In diesem Fall wird das System inkonsistent sein.

Für den Fall, dass = 1 = 2 = 0 ist, ist das System konsistent und unbestimmt (es hat eine unendliche Anzahl von Lösungen), da es die Form annimmt:

Satz von Cramer(wir lassen den Beweis weg). Wenn die Determinante der Matrix des Gleichungssystems n  ungleich Null ist, hat das System eine eindeutige Lösung, die durch die Formeln bestimmt wird:

,

wobei  j die Determinante der Matrix ist, die man aus der Matrix A erhält, indem man die j-te Spalte durch eine Spalte mit freien Elementen ersetzt.

Die obigen Formeln werden aufgerufen Cramers Formeln.

Als Beispiel verwenden wir diese Methode, um ein System zu lösen, das zuvor mit der Methode der inversen Matrix gelöst wurde:

Nachteile der betrachteten Methoden:

1) erhebliche Komplexität (Berechnung von Determinanten und Auffinden der inversen Matrix);

2) eingeschränkter Anwendungsbereich (für Systeme mit quadratischer Matrix).

Realwirtschaftliche Situationen werden oft durch Systeme modelliert, in denen die Anzahl der Gleichungen und Variablen ziemlich groß ist und es mehr Gleichungen als Variablen gibt, daher ist die folgende Methode in der Praxis üblicher.

Gauss-Methode (Methode der sukzessiven Eliminierung von Variablen)

Dieses Verfahren wird verwendet, um ein System von m linearen Gleichungen mit n Variablen in allgemeiner Form zu lösen. Sein Wesen besteht darin, ein System äquivalenter Transformationen auf die erweiterte Matrix anzuwenden, mit deren Hilfe das Gleichungssystem in die Form transformiert wird, wenn seine Lösungen (falls vorhanden) leicht zu finden sind.

Dies ist eine solche Ansicht, in der der obere linke Teil der Systemmatrix eine abgestufte Matrix ist. Dies wird unter Verwendung der gleichen Techniken erreicht, die verwendet wurden, um eine abgestufte Matrix zu erhalten, um den Rang zu bestimmen. In diesem Fall werden auf die erweiterte Matrix elementare Transformationen angewendet, die es ermöglichen, ein äquivalentes Gleichungssystem zu erhalten. Danach nimmt die erweiterte Matrix die Form an:

Das Erhalten einer solchen Matrix wird aufgerufen in einer geraden Linie Gauss-Methode.

Das Finden der Werte von Variablen aus dem entsprechenden Gleichungssystem wird aufgerufen rückwärts Gauss-Methode. Betrachten wir es.

Beachten Sie, dass die letzten (m – r) Gleichungen die Form annehmen:

Wenn mindestens eine der Nummern
nicht gleich Null ist, dann ist die entsprechende Gleichheit falsch und das ganze System wird inkonsistent.

Daher für jedes gemeinsame System
. In diesem Fall sind die letzten (m – r) Gleichungen für beliebige Werte der Variablen Identitäten 0 = 0 und können beim Lösen des Systems ignoriert werden (verwerfen Sie einfach die entsprechenden Zeilen).

Danach sieht das System so aus:

Betrachten Sie zunächst den Fall r=n. Dann nimmt das System die Form an:

Aus der letzten Gleichung des Systems kann man x r eindeutig finden.

Wenn man x r kennt, kann man daraus x r -1 eindeutig ausdrücken. Dann können wir aus der vorherigen Gleichung, wenn wir x r und x r -1 kennen, x r -2 ausdrücken und so weiter. bis x 1 .

In diesem Fall wird das System also kooperativ und definitiv sein.

Betrachten Sie nun den Fall, wenn r Basic(grundlegend) und alles andere - nicht basisch(klein, frei). Die letzte Gleichung des Systems sieht folgendermaßen aus:

Aus dieser Gleichung können wir die Grundvariable x r in Form von Nichtgrundvariablen ausdrücken:

Die vorletzte Gleichung sieht so aus:

Durch Ersetzen des resultierenden Ausdrucks anstelle von x r wird es möglich, die Basisvariable x r -1 durch Nicht-Basisvariable auszudrücken. Usw. zu Variable x 1 . Um eine Lösung für das System zu erhalten, können Sie nicht grundlegende Variablen mit beliebigen Werten gleichsetzen und dann die grundlegenden Variablen mithilfe der erhaltenen Formeln berechnen. In diesem Fall ist das System also konsistent und unbestimmt (hat eine unendliche Anzahl von Lösungen).

Lassen Sie uns zum Beispiel das Gleichungssystem lösen:

Der Satz von Basisvariablen wird aufgerufen Basis Systeme. Der Satz von Koeffizientenspalten für sie wird ebenfalls aufgerufen Basis(Grundsäulen) oder grundlegendes Moll Systemmatrizen. Es wird diejenige Lösung des Systems aufgerufen, bei der alle Nichtbasisvariablen gleich Null sind grundlegende Lösung.

Im vorherigen Beispiel ist die Basislösung (4/5; -17/5; 0; 0) (Variablen x 3 und x 4 (c 1 und c 2) werden auf Null gesetzt, und die Basisvariablen x 1 und x 2 werden durch sie berechnet) . Um ein Beispiel für eine nicht grundlegende Lösung zu geben, müssen x 3 und x 4 (c 1 und c 2) gleichzeitig mit beliebigen Zahlen ungleich Null gleichgesetzt und die restlichen Variablen durchgerechnet werden Sie. Zum Beispiel erhalten wir mit c 1 = 1 und c 2 = 0 eine nicht-basische Lösung – (4/5; –12/5; 1; 0). Durch Substitution lässt sich leicht überprüfen, ob beide Lösungen richtig sind.

Offensichtlich kann es in einem unbestimmten System nichtbasischer Lösungen unendlich viele Lösungen geben. Wie viele Basislösungen kann es geben? Jede Zeile der transformierten Matrix muss einer Basisvariablen entsprechen. Insgesamt enthält das Problem n Variablen und r einfache Zeilen. Daher kann die Anzahl der möglichen Sätze von Basisvariablen die Anzahl der Kombinationen von n bis 2 nicht überschreiten. Es kann weniger als sein , weil es nicht immer möglich ist, das System so zu transformieren, dass dieser bestimmte Satz von Variablen zugrunde liegt.

Was ist das für eine Art? Dies ist eine solche Form, wenn die Matrix, die aus den Spalten der Koeffizienten für diese Variablen gebildet wird, schrittweise ist und in diesem Fall aus Zeilen besteht. Jene. der Rang der Koeffizientenmatrix für diese Variablen muss gleich r sein. Sie kann nicht größer sein, da die Anzahl der Spalten gleich r ist. Fällt er kleiner als r aus, deutet dies auf eine lineare Abhängigkeit der Spalten mit Variablen hin. Solche Spalten können keine Basis bilden.

Betrachten wir, welche anderen grundlegenden Lösungen in dem obigen Beispiel gefunden werden können. Betrachten Sie dazu alle möglichen Kombinationen von vier Variablen mit zwei grundlegenden. Solche Kombinationen werden
, und einer von ihnen (x 1 und x 2) wurde bereits betrachtet.

Nehmen wir die Variablen x 1 und x 3 . Finden Sie den Rang der Koeffizientenmatrix für sie:

Da es gleich zwei ist, können sie basisch sein. Wir setzen die nicht grundlegenden Variablen x 2 und x 4 mit Null gleich: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Dann folgt aus der Formel x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4, dass x 1 \u003d 4/5, und aus der Formel x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 folgt x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Somit erhalten wir die Grundlösung (4/5; 0; 17/5; 0).

In ähnlicher Weise können Sie grundlegende Lösungen für die grundlegenden Variablen x 1 und x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 und x 4 – (0; –9; 0; 4); x 3 und x 4 - (0; 0; 9; 4).

Die Variablen x 2 und x 3 in diesem Beispiel können nicht als grundlegende angesehen werden, da der Rang der entsprechenden Matrix gleich eins ist, d.h. weniger als zwei:

.

Ein anderer Ansatz ist möglich, um zu bestimmen, ob es möglich ist, eine Basis von einigen Variablen zu bilden oder nicht. Bei der Lösung des Beispiels nahm es als Ergebnis der Transformation der Systemmatrix in eine Stufenform die Form an:

Durch die Wahl von Variablenpaaren konnten die entsprechenden Minoren dieser Matrix berechnet werden. Es ist leicht zu sehen, dass alle Paare außer x 2 und x 3 ungleich Null sind, d.h. die Spalten sind linear unabhängig. Und nur für Spalten mit Variablen x 2 und x 3
, was auf ihre lineare Abhängigkeit hinweist.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Lösen wir das Gleichungssystem

Die Gleichung, die der dritten Zeile der letzten Matrix entspricht, ist also inkonsistent - sie führte zur falschen Gleichheit 0 = -1, daher ist dieses System inkonsistent.

Jordan-Gauß-Verfahren 3 ist eine Weiterentwicklung der Gaußschen Methode. Sein Wesen besteht darin, dass die erweiterte Matrix des Systems in die Form umgewandelt wird, wenn die Koeffizienten der Variablen eine Identitätsmatrix bis zu einer Permutation von Zeilen oder Spalten 4 bilden (wobei der Rang der Systemmatrix ist).

Lassen Sie uns das System mit dieser Methode lösen:

Betrachten Sie die erweiterte Matrix des Systems:

In dieser Matrix wählen wir das Identitätselement aus. Beispielsweise ist der Koeffizient bei x 2 in der dritten Einschränkung 5. Stellen wir sicher, dass in den verbleibenden Zeilen dieser Spalte Nullen stehen, d.h. Machen Sie die Spalte einfach. Im Prozess der Transformationen werden wir dies nennen Säulefreizügig(führend, Schlüssel). Die dritte Einschränkung (die dritte Schnur) wird ebenfalls aufgerufen freizügig. Mich selber Element, die am Schnittpunkt der zulässigen Zeile und Spalte steht (hier ist es eine Einheit), wird auch genannt freizügig.

Die erste Zeile enthält nun den Koeffizienten (-1). Um an ihrer Stelle eine Null zu erhalten, multiplizieren Sie die dritte Zeile mit (-1) und subtrahieren Sie das Ergebnis von der ersten Zeile (d. h. addieren Sie einfach die erste Zeile zur dritten).

Die zweite Zeile enthält einen Koeffizienten von 2. Um an ihrer Stelle Null zu erhalten, multiplizieren Sie die dritte Zeile mit 2 und subtrahieren Sie das Ergebnis von der ersten Zeile.

Das Ergebnis der Transformationen sieht folgendermaßen aus:

Diese Matrix zeigt deutlich, dass eine der ersten beiden Einschränkungen gelöscht werden kann (die entsprechenden Zeilen sind proportional, d. h. diese Gleichungen folgen aufeinander). Streichen wir die zweite:

Es gibt also zwei Gleichungen im neuen System. Eine einzelne Spalte (zweite) wird empfangen, und die Einheit befindet sich hier in der zweiten Zeile. Erinnern wir uns, dass die Basisvariable x 2 der zweiten Gleichung des neuen Systems entspricht.

Wählen wir eine Basisvariable für die erste Zeile. Es kann jede Variable außer x 3 sein (weil bei x 3 die erste Bedingung einen Nullkoeffizienten hat, d. h. die Menge der Variablen x 2 und x 3 kann hier nicht grundlegend sein). Sie können die erste oder vierte Variable nehmen.

Wählen wir x 1. Dann ist das Auflösungselement 5, und beide Seiten der Auflösungsgleichung müssen durch fünf geteilt werden, um eins in der ersten Spalte der ersten Zeile zu erhalten.

Stellen wir sicher, dass die restlichen Zeilen (d. h. die zweite Zeile) in der ersten Spalte Nullen enthalten. Da nun die zweite Zeile nicht Null, sondern 3 ist, müssen von der zweiten Zeile die Elemente der konvertierten ersten Zeile, multipliziert mit 3, abgezogen werden:

Eine Basislösung kann direkt aus der resultierenden Matrix extrahiert werden, indem die Nichtbasisvariablen mit Null und die Basisvariablen mit den freien Termen in den entsprechenden Gleichungen gleichgesetzt werden: (0,8; -3,4; 0; 0). Sie können auch allgemeine Formeln ableiten, die grundlegende Variablen durch nicht grundlegende Variablen ausdrücken: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Diese Formeln beschreiben den gesamten unendlichen Satz von Lösungen für das System (indem Sie x 3 und x 4 mit beliebigen Zahlen gleichsetzen, können Sie x 1 und x 2 berechnen).

Beachten Sie, dass das Wesen der Transformationen in jeder Phase der Jordan-Gauß-Methode wie folgt war:

1) die zulässige Zeichenfolge wurde durch das zulässige Element geteilt, um eine Einheit an ihrer Stelle zu erhalten,

2) Von allen anderen Zeilen wurde das transformierte Auflösungsvermögen multipliziert mit dem Element, das sich in der gegebenen Zeile in der Auflösungsspalte befand, subtrahiert, um anstelle dieses Elements Null zu erhalten.

Betrachten Sie noch einmal die transformierte erweiterte Matrix des Systems:

Aus diesem Eintrag ist ersichtlich, dass der Rang der Matrix des Systems A r ist.

Im Zuge der obigen Überlegungen haben wir festgestellt, dass das System genau dann konsistent ist, wenn
. Dies bedeutet, dass die erweiterte Matrix des Systems wie folgt aussehen wird:

Wenn wir Nullzeilen verwerfen, erhalten wir, dass der Rang der erweiterten Matrix des Systems auch gleich r ist.

Satz von Kronecker-Capelli. Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Matrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix dieses Systems ist.

Denken Sie daran, dass der Rang einer Matrix gleich der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen ist. Daraus folgt, dass, wenn der Rang der erweiterten Matrix kleiner als die Anzahl der Gleichungen ist, die Gleichungen des Systems linear abhängig sind und eine oder mehrere von ihnen aus dem System ausgeschlossen werden können (weil sie linear sind Kombination der anderen). Das Gleichungssystem ist nur dann linear unabhängig, wenn der Rang der erweiterten Matrix gleich der Anzahl der Gleichungen ist.

Darüber hinaus kann für konsistente Systeme linearer Gleichungen argumentiert werden, dass das System eine eindeutige Lösung hat, wenn der Rang der Matrix gleich der Anzahl der Variablen ist, und wenn es weniger als die Anzahl der Variablen ist Das System ist unbestimmt und hat unendlich viele Lösungen.

1Angenommen, die Matrix enthält fünf Zeilen (die anfängliche Zeilenreihenfolge ist 12345). Wir müssen die zweite Zeile und die fünfte ändern. Damit die zweite Zeile an die Stelle der fünften fällt und sich nach unten „bewegt“, ändern wir die benachbarten Zeilen dreimal nacheinander: die zweite und dritte (13245), die zweite und vierte (13425) und die zweite und fünfte (13452). Damit die fünfte Reihe den Platz der zweiten in der ursprünglichen Matrix einnehmen kann, muss die fünfte Reihe nur um zwei aufeinanderfolgende Änderungen nach oben „verschoben“ werden: die fünfte und vierte Reihe (13542) und die fünfte und dritte (15342).

2Anzahl der Kombinationen von n bis r wird die Anzahl aller unterschiedlichen r-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge genannt (unterschiedliche Mengen sind solche, die eine unterschiedliche Zusammensetzung von Elementen haben, die Auswahlreihenfolge ist nicht wichtig). Es wird nach der Formel berechnet:
. Erinnern Sie sich an die Bedeutung des Zeichens „!“ (Fakultät):
0!=1.)

3Da diese Methode gebräuchlicher ist als die zuvor besprochene Gaußsche Methode und im Wesentlichen eine Kombination aus der Vorwärts- und Rückwärts-Gaußschen Methode ist, wird sie manchmal auch Gaußsche Methode genannt, wobei der erste Teil des Namens weggelassen wird.

4Zum Beispiel
.

5Gäbe es keine Einheiten in der Matrix des Systems, dann wäre es zum Beispiel möglich, beide Teile der ersten Gleichung durch zwei zu teilen, und dann würde der erste Koeffizient eins; oder so ähnlich.

Löse das System mit zwei Unbekannten - das bedeutet, alle Paare von Variablenwerten zu finden, die jede der gegebenen Gleichungen erfüllen. Jedes solche Paar wird aufgerufen Systemlösung.

Beispiel:
Das Wertepaar \(x=3\);\(y=-1\) ist eine Lösung des ersten Systems, denn durch Einsetzen dieser Tripel und Minus-Einsen in das System anstelle von \(x\) und \ (y\), beide Gleichungen werden zu gültigen Gleichungen \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Aber \(x=1\); \(y=-2\) - ist keine Lösung für das erste System, weil nach Substitution die zweite Gleichung "nicht konvergiert" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Beachten Sie, dass solche Paare oft kürzer geschrieben werden: statt "\(x=3\); \(y=-1\)" schreiben sie so: \((3;-1)\).

Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?

Es gibt drei Möglichkeiten, lineare Gleichungssysteme zu lösen:

1. Substitutionsmethode.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle dieser Variablen in eine andere Gleichung des Systems ein.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   In der zweiten Gleichung ist jeder Term gerade, also vereinfachen wir die Gleichung, indem wir sie durch \(2\) dividieren.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Dieses System kann auf beliebige Weise gelöst werden, aber mir scheint, dass die Substitutionsmethode hier am bequemsten ist. Lassen Sie uns y aus der zweiten Gleichung ausdrücken.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ersetze \(6x-13\) für \(y\) in der ersten Gleichung.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Die erste Gleichung ist normal geworden. Wir lösen es.

   Lassen Sie uns zuerst die Klammern öffnen.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Lassen Sie uns \(117\) nach rechts verschieben und ähnliche Terme angeben.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Teilen Sie beide Seiten der ersten Gleichung durch \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hurra, wir haben \(x\) gefunden! Setze seinen Wert in die zweite Gleichung ein und finde \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Schreiben wir die Antwort auf.

Wir werden zwei Arten der Lösung von Gleichungssystemen analysieren:

1. Lösung des Systems nach der Substitutionsmethode.
2. Lösung des Systems durch gliedweise Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems.

Um das Gleichungssystem zu lösen Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Wir drücken aus. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir ersetzen in einer anderen Gleichung anstelle der ausgedrückten Variablen den resultierenden Wert.
3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) brauchen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir dieselben Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren die Gleichungen, als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen.
3. Wir lösen die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Graphen der Funktion.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lösen wir nach der Substitutionsmethode

Lösen des Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. ausdrücken
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, daher stellt sich heraus, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nach dem Ausdrücken ersetzen wir in der ersten Gleichung 3 + 10y anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (offene Klammern)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, daher müssen wir x und y finden, denn der Schnittpunkt besteht aus x und y. Lassen Sie uns x finden, im ersten Absatz, wo wir ausgedrückt haben, ersetzen wir dort y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, an erster Stelle Punkte zu schreiben, wir schreiben die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems nach der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wählen Sie eine Variable aus, sagen wir, wir wählen x aus. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahiere von der ersten Gleichung die zweite, um die Variable x loszuwerden. Löse die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir ersetzen das gefundene y in jeder der Gleichungen, sagen wir in der ersten Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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Zuverlässiger als die im vorherigen Absatz besprochene grafische Methode.

Substitutionsmethode

Wir haben diese Methode in der 7. Klasse verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Der in der 7. Klasse entwickelte Algorithmus eignet sich gut zum Lösen von Systemen aus zwei beliebigen (nicht unbedingt linearen) Gleichungen mit zwei Variablen x und y (natürlich können die Variablen mit anderen Buchstaben bezeichnet werden, was keine Rolle spielt). Tatsächlich haben wir diesen Algorithmus im vorherigen Absatz verwendet, als das Problem einer zweistelligen Zahl zu einem mathematischen Modell führte, das ein Gleichungssystem ist. Wir haben dieses Gleichungssystem oben mit der Substitutionsmethode gelöst (siehe Beispiel 1 aus § 4).

Algorithmus zur Anwendung der Substitutionsmethode beim Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen x, y.

1. Drücken Sie y durch x aus einer Gleichung des Systems aus.
2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle von y in eine andere Gleichung des Systems ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung nach x auf.
4. Setze der Reihe nach jede der Wurzeln der im dritten Schritt gefundenen Gleichung anstelle von x in den im ersten Schritt erhaltenen Ausdruck y bis x ein.
5. Schreiben Sie die Antwort in Form von Wertepaaren (x; y) auf, die im dritten bzw. vierten Schritt gefunden wurden.

4) Ersetzen Sie wiederum jeden der gefundenen Werte von y in die Formel x \u003d 5 - Zy. Wenn, dann
5) Paare (2; 1) und Lösungen eines gegebenen Gleichungssystems.

Antwort: (2; 1);

Algebraische Additionsmethode

Diese Methode ist Ihnen ebenso wie die Substitutionsmethode aus dem Algebra-Kurs der 7. Klasse bekannt, wo sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwendet wurde. Wir erinnern uns an das Wesen der Methode im folgenden Beispiel.

Beispiel 2 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Wir multiplizieren alle Terme der ersten Gleichung des Systems mit 3 und lassen die zweite Gleichung unverändert:
Subtrahiere die zweite Gleichung des Systems von seiner ersten Gleichung:

Als Ergebnis der algebraischen Addition zweier Gleichungen des ursprünglichen Systems wurde eine Gleichung erhalten, die einfacher ist als die erste und die zweite Gleichung des gegebenen Systems. Mit dieser einfacheren Gleichung haben wir das Recht, jede Gleichung eines gegebenen Systems zu ersetzen, zum Beispiel die zweite. Dann wird das gegebene Gleichungssystem durch ein einfacheres System ersetzt:

Dieses System kann durch die Substitutionsmethode gelöst werden. Aus der zweiten Gleichung finden wir. Setzen wir diesen Ausdruck anstelle von y in die erste Gleichung des Systems ein, erhalten wir

Es bleibt übrig, die gefundenen Werte von x in die Formel einzusetzen

Wenn x = 2 dann

Somit haben wir zwei Lösungen für das System gefunden:

Verfahren zur Einführung neuer Variablen

Die Methode der Einführung einer neuen Variablen beim Lösen rationaler Gleichungen mit einer Variablen haben Sie im Algebrakurs der 8. Klasse kennengelernt. Die Essenz dieser Methode zum Lösen von Gleichungssystemen ist die gleiche, aber aus technischer Sicht gibt es einige Besonderheiten, die wir in den folgenden Beispielen besprechen werden.

Beispiel 3 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Führen wir eine neue Variable ein Dann lässt sich die erste Gleichung des Systems in einfacherer Form umschreiben: Lösen wir diese Gleichung nach der Variablen t:

Diese beiden Werte erfüllen die Bedingung und sind daher die Wurzeln einer rationalen Gleichung mit der Variablen t. Aber das bedeutet entweder, wo wir finden, dass x = 2y, oder
Mit der Methode der Einführung einer neuen Variablen ist es uns also gelungen, die erste Gleichung des Systems, die ziemlich komplex erscheint, in zwei einfachere Gleichungen zu „stratifizieren“:

x = 2y; j - 2x.

Was kommt als nächstes? Und dann muss jede der beiden erhaltenen einfachen Gleichungen wiederum in einem System mit der Gleichung x 2 - y 2 \u003d 3 betrachtet werden, an die wir uns noch nicht erinnert haben. Mit anderen Worten reduziert sich das Problem auf die Lösung zweier Gleichungssysteme:

Es ist notwendig, Lösungen für das erste System, das zweite System zu finden und alle resultierenden Wertepaare in die Antwort aufzunehmen. Lösen wir das erste Gleichungssystem:

Wenden wir die Substitutionsmethode an, zumal hier alles dafür bereit ist: Wir setzen den Ausdruck 2y statt x in die zweite Gleichung des Systems ein. Werden

Da x \u003d 2y ist, finden wir x 1 \u003d 2 bzw. x 2 \u003d 2. Somit werden zwei Lösungen für das gegebene System erhalten: (2; 1) und (-2; -1). Lösen wir das zweite Gleichungssystem:

Wenden wir wieder die Substitutionsmethode an: Wir ersetzen den Ausdruck 2x anstelle von y in der zweiten Gleichung des Systems. Werden

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat. Daher sollten nur die Lösungen des ersten Systems in die Antwort aufgenommen werden.

Antwort: (2; 1); (-2;-1).

Die Methode der Einführung neuer Variablen beim Lösen von Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen wird in zwei Versionen verwendet. Erste Option: Eine neue Variable wird eingeführt und in nur einer Gleichung des Systems verwendet. Genau das ist in Beispiel 3 passiert. Die zweite Option: Zwei neue Variablen werden eingeführt und gleichzeitig in beiden Gleichungen des Systems verwendet. Dies wird in Beispiel 4 der Fall sein.

Beispiel 4 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lassen Sie uns zwei neue Variablen einführen:

Das lernen wir dann

Dies wird es uns ermöglichen, das gegebene System in einer viel einfacheren Form umzuschreiben, aber in Bezug auf die neuen Variablen a und b:

Da a \u003d 1, finden wir aus der Gleichung a + 6 \u003d 2: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Somit erhalten wir für die Variablen a und b eine Lösung:

Kehren wir zu den Variablen x und y zurück, erhalten wir das Gleichungssystem

Wir wenden die algebraische Additionsmethode an, um dieses System zu lösen:

Seitdem finden wir aus der Gleichung 2x + y = 3:
Somit erhalten wir für die Variablen x und y eine Lösung:

Lassen Sie uns diesen Abschnitt mit einer kurzen, aber ziemlich ernsthaften theoretischen Diskussion abschließen. Sie haben bereits Erfahrung im Lösen verschiedener Gleichungen gesammelt: linear, quadratisch, rational, irrational. Sie wissen, dass die Hauptidee beim Lösen einer Gleichung darin besteht, allmählich von einer Gleichung zu einer anderen zu wechseln, die einfacher, aber der gegebenen entspricht. Im vorigen Abschnitt haben wir den Begriff der Äquivalenz für Gleichungen mit zwei Variablen eingeführt. Dieses Konzept wird auch für Gleichungssysteme verwendet.

Definition.

Zwei Gleichungssysteme mit den Variablen x und y heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben oder wenn beide Systeme keine Lösungen haben.

Alle drei Methoden (Substitution, algebraische Addition und Einführung neuer Variablen), die wir in diesem Abschnitt besprochen haben, sind vom Standpunkt der Äquivalenz absolut korrekt. Mit anderen Worten, wir ersetzen mit diesen Methoden ein Gleichungssystem durch ein anderes, einfacheres, aber dem ursprünglichen System gleichwertiges.

Graphisches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen

Wir haben bereits gelernt, Gleichungssysteme auf so gängige und zuverlässige Weise zu lösen, wie die Methode der Substitution, algebraischen Addition und die Einführung neuer Variablen. Und jetzt erinnern wir uns an die Methode, die Sie bereits in der vorherigen Lektion gelernt haben. Wiederholen wir also, was Sie über die grafische Lösungsmethode wissen.

Die Methode zum grafischen Lösen von Gleichungssystemen besteht in der Konstruktion eines Graphen für jede der spezifischen Gleichungen, die in diesem System enthalten sind und sich in derselben Koordinatenebene befinden, und auch dort, wo es erforderlich ist, den Schnittpunkt der Punkte dieser Graphen zu finden . Zur Lösung dieses Gleichungssystems dienen die Koordinaten dieses Punktes (x; y).

Es sollte daran erinnert werden, dass es für ein grafisches Gleichungssystem üblich ist, entweder eine einzige richtige Lösung oder eine unendliche Anzahl von Lösungen oder überhaupt keine Lösungen zu haben.

Sehen wir uns nun jede dieser Lösungen genauer an. Und so kann das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung haben, wenn sich die Linien, die die Graphen der Gleichungen des Systems sind, schneiden. Wenn diese Geraden parallel sind, dann hat ein solches Gleichungssystem absolut keine Lösungen. Wenn die direkten Graphen der Gleichungen des Systems zusammenfallen, können Sie mit einem solchen System viele Lösungen finden.

Schauen wir uns nun den Algorithmus zum Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten mit einer grafischen Methode an:

Zunächst erstellen wir zunächst einen Graphen der 1. Gleichung;
Der zweite Schritt besteht darin, einen Graphen zu zeichnen, der sich auf die zweite Gleichung bezieht;
Drittens müssen wir die Schnittpunkte der Graphen finden.
Als Ergebnis erhalten wir die Koordinaten jedes Schnittpunkts, der die Lösung des Gleichungssystems darstellt.

Sehen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels genauer an. Gegeben ist ein zu lösendes Gleichungssystem:

Gleichungen lösen

1. Zuerst erstellen wir einen Graphen dieser Gleichung: x2+y2=9.

Aber es sollte beachtet werden, dass dieser Graph von Gleichungen ein Kreis sein wird, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist, und sein Radius gleich drei sein wird.

2. Unser nächster Schritt wird sein, eine Gleichung zu zeichnen, wie z. B.: y = x - 3.

In diesem Fall müssen wir eine Linie bauen und die Punkte (0;−3) und (3;0) finden.

3. Mal sehen, was wir haben. Wir sehen, dass die Gerade den Kreis an zwei seiner Punkte A und B schneidet.

Nun suchen wir die Koordinaten dieser Punkte. Wir sehen, dass die Koordinaten (3;0) dem Punkt A und die Koordinaten (0;−3) dem Punkt B entsprechen.

Und was bekommen wir als Ergebnis?

Die am Schnittpunkt einer Geraden mit einem Kreis erhaltenen Zahlen (3;0) und (0;−3) sind genau die Lösungen beider Gleichungen des Systems. Und daraus folgt, dass diese Zahlen auch Lösungen dieses Gleichungssystems sind.

Das heißt, die Antwort dieser Lösung sind die Zahlen: (3;0) und (0;−3).