Nicht alle Gleichungen, die Klammern enthalten, werden auf die gleiche Weise gelöst. Natürlich müssen sie meistens die Klammern öffnen und ähnliche Begriffe angeben (die Art und Weise, wie die Klammern geöffnet werden, ist jedoch unterschiedlich). Aber manchmal müssen Sie die Klammern nicht öffnen. Betrachten wir all diese Fälle mit konkreten Beispielen:

1. 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
2. 2x - 3(x + 5) = -12.
3. (x + 1)(7x - 21) = 0.

Gleichungen durch Klammeröffnung lösen

Diese Methode zum Lösen von Gleichungen ist die gebräuchlichste, aber trotz ihrer scheinbaren Universalität wird sie je nach Art und Weise, wie die Klammern geöffnet werden, in Unterarten unterteilt.

1) Lösung der Gleichung 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).

In dieser Gleichung stehen Minus- und Pluszeichen vor den Klammern. Um die Klammern im ersten Fall zu öffnen, wo ihnen ein Minuszeichen vorangestellt ist, sollten alle Vorzeichen innerhalb der Klammern vertauscht werden. Dem zweiten Klammerpaar ist ein Pluszeichen vorangestellt, das die Zeichen in Klammern nicht beeinflusst und daher einfach weggelassen werden kann. Wir bekommen:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.

Die Terme mit x werden auf die linke Seite der Gleichung übertragen, der Rest auf die rechte Seite (die Vorzeichen der übertragenen Terme ändern sich in das Gegenteil):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.

Hier sind ähnliche Begriffe:

Um den unbekannten Faktor x zu finden, teilen Sie das Produkt 18 durch den bekannten Faktor 6:

x \u003d 18 / 6 \u003d 3.

2) Lösung der Gleichung 2x - 3(x + 5) = -12.

In dieser Gleichung müssen Sie auch zuerst die Klammern öffnen, aber das Distributivgesetz anwenden: Um -3 mit der Summe (x + 5) zu multiplizieren, sollten Sie -3 mit jedem Term in Klammern multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren:

2x - 3x - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3.

Lösen von Gleichungen ohne öffnende Klammern

Die dritte Gleichung (x + 1) (7x - 21) \u003d 0 kann auch durch Öffnen der Klammern gelöst werden, aber in solchen Fällen ist es viel einfacher, die Multiplikationseigenschaft zu verwenden: Das Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist . Meint:

x + 1 = 0 oder 7x - 21 = 0.

Die Hauptfunktion von Klammern besteht darin, die Reihenfolge der Aktionen bei der Berechnung von Werten zu ändern. zum Beispiel, im numerischen Ausdruck \(5 3+7\) wird zuerst die Multiplikation berechnet und dann die Addition: \(5 3+7 =15+7=22\). Aber im Ausdruck \(5·(3+7)\) wird zuerst die Addition in Klammern berechnet und erst dann die Multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammer: \(-(4m+3)\).
Entscheidung : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme \(5-(3x+2)+(2+3x)\) ein.
Entscheidung : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(5(3-x)\).
Entscheidung : Wir haben \(3\) und \(-x\) in der Klammer und fünf vor der Klammer. Dies bedeutet, dass jedes Glied der Klammer mit \ (5 \) multipliziert wird - ich erinnere Sie daran Das Multiplikationszeichen zwischen einer Zahl und einer Klammer in der Mathematik wird nicht geschrieben, um die Größe von Datensätzen zu reduzieren.

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(-2(-3x+5)\).
Entscheidung : Wie im vorherigen Beispiel werden die Klammern \(-3x\) und \(5\) mit \(-2\) multipliziert.

Beispiel. Vereinfachen Sie den Ausdruck: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Entscheidung : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Es bleibt die letzte Situation zu betrachten.

Beim Multiplizieren von Klammern mit Klammern wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten multipliziert:

\((c+d)(a-b)=c(a-b)+d(a-b)=ca-cb+da-db\)

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \((2-x)(3x-1)\).
Entscheidung : Wir haben ein Produkt mit Klammern und es kann sofort mit der obigen Formel geöffnet werden. Aber um nicht verwirrt zu werden, machen wir alles Schritt für Schritt.
Schritt 1. Entfernen Sie die erste Klammer - jedes ihrer Mitglieder wird mit der zweiten Klammer multipliziert:

Schritt 2. Erweitern Sie die Produkte der Klammer wie oben beschrieben um den Faktor:
- das erste zuerst...

Dann die zweite.

Schritt 3. Jetzt multiplizieren wir und bringen ähnliche Terme:

Es ist nicht notwendig, alle Transformationen im Detail zu malen, Sie können sofort multiplizieren. Aber wenn Sie gerade lernen, Klammern zu öffnen - schreiben Sie detailliert, ist die Wahrscheinlichkeit geringer, einen Fehler zu machen.

Hinweis zum gesamten Abschnitt. Tatsächlich müssen Sie sich nicht alle vier Regeln merken, sondern nur eine, diese hier: \(c(a-b)=ca-cb\) . Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel \((a-b)=a-b\) . Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel \(-(a-b)=-a+b\) . Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.

Klammer in Klammer

In der Praxis gibt es manchmal Probleme mit Klammern, die in anderen Klammern verschachtelt sind. Hier ist ein Beispiel für eine solche Aufgabe: den Ausdruck \(7x+2(5-(3x+y))\) zu vereinfachen.

Um bei diesen Aufgaben erfolgreich zu sein, müssen Sie:
- die Verschachtelung von Klammern genau verstehen - welche in welcher steht;
- Öffnen Sie die Klammern nacheinander, beginnend zum Beispiel mit der innersten.

Es ist wichtig, wenn Sie eine der Klammern öffnen Berühren Sie den Rest des Ausdrucks nicht, schreiben Sie es einfach so um, wie es ist.
Nehmen wir die obige Aufgabe als Beispiel.

Beispiel. Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme \(7x+2(5-(3x+y))\) ein.
Entscheidung:

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme ein \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Entscheidung :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Dies ist eine dreifache Verschachtelung von Klammern. Wir beginnen mit dem innersten (grün hervorgehoben). Da vor der Klammer ein Plus steht, wird es einfach entfernt.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Jetzt müssen Sie die zweite Klammer öffnen, dazwischen. Aber vorher werden wir den Ausdruck vereinfachen, indem wir ähnliche Begriffe in dieser zweiten Klammer einblenden.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Nun öffnen wir die zweite Klammer (blau markiert). Vor der Klammer steht ein Multiplikator – also wird jeder Term in der Klammer damit multipliziert.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Und öffnen Sie die letzte Klammer. Vor der Klammer Minus - also alle Vorzeichen vertauscht.

Das Öffnen von Klammern ist eine Grundfertigkeit in der Mathematik. Ohne diese Fähigkeit ist es unmöglich, in den Klassen 8 und 9 eine Note über drei zu erreichen. Daher empfehle ich ein gutes Verständnis dieses Themas.

Eine Gleichung mit einer Unbekannten, die nach Öffnen der Klammern und Kürzen gleicher Terme die Form annimmt

ax + b = 0, wobei a und b beliebige Zahlen sind, heißt Lineargleichung mit einem Unbekannten. Heute werden wir herausfinden, wie man diese linearen Gleichungen löst.

Zum Beispiel alle Gleichungen:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linear.

Der Wert der Unbekannten, der die Gleichung in eine wahre Gleichheit verwandelt, wird genannt Entscheidung oder die Wurzel der Gleichung .

Wenn wir beispielsweise in der Gleichung 3x + 7 \u003d 13 die Zahl 2 anstelle des unbekannten x ersetzen, erhalten wir die korrekte Gleichheit 3 ​​2 + 7 \u003d 13. Daher ist der Wert x \u003d 2 die Lösung oder die Wurzel der Gleichung.

Und der Wert x \u003d 3 verwandelt die Gleichung 3x + 7 \u003d 13 nicht in eine wahre Gleichheit, da 3 2 + 7 ≠ 13. Daher ist der Wert x \u003d 3 keine Lösung oder Wurzel der Gleichung.

Die Lösung beliebiger linearer Gleichungen wird auf die Lösung von Gleichungen der Form reduziert

ax + b = 0.

Wir übertragen den freien Term von der linken Seite der Gleichung auf die rechte, indem wir das Vorzeichen vor b in das Gegenteil ändern, erhalten wir

Wenn a ≠ 0, dann x = – b/a .

Beispiel 1 Lösen Sie die Gleichung 3x + 2 = 11.

Wir übertragen 2 von der linken Seite der Gleichung auf die rechte, während wir das Vorzeichen vor 2 in das Gegenteil ändern, erhalten wir
3x \u003d 11 - 2.

Dann machen wir die Subtraktion
3x = 9.

Um x zu finden, müssen Sie das Produkt durch einen bekannten Faktor dividieren, d. h.
x = 9:3.

Der Wert x = 3 ist also die Lösung oder die Wurzel der Gleichung.

Antwort: x = 3.

Wenn a = 0 und b = 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x \u003d 0. Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ist auch 0. Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl.

Beispiel 2 Lösen Sie die Gleichung 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Erweitern wir die Klammern:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Hier sind ähnliche Mitglieder:
0x = 0.

Antwort: x ist eine beliebige Zahl.

Wenn a = 0 und b ≠ 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x = - b. Diese Gleichung hat keine Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ≠ 0.

Beispiel 3 Lösen Sie die Gleichung x + 8 = x + 5.

Gruppieren wir die Terme mit Unbekannten auf der linken Seite und die freien Terme auf der rechten Seite:
x - x \u003d 5 - 8.

Hier sind ähnliche Mitglieder:
0x = - 3.

Antwort: keine Lösungen.

Auf der Abbildung 1 das Schema zur Lösung der linearen Gleichung ist gezeigt

Lassen Sie uns ein allgemeines Schema zum Lösen von Gleichungen mit einer Variablen erstellen. Betrachten Sie die Lösung von Beispiel 4.

Beispiel 4 Lösen wir die Gleichung

1) Multiplizieren Sie alle Terme der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, gleich 12.

2) Nach Abzug erhalten wir
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Um Mitglieder mit unbekannten und freien Mitgliedern zu trennen, öffnen Sie die Klammern:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Wir gruppieren in einem Teil die Begriffe, die Unbekanntes enthalten, und im anderen - freie Begriffe:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Hier sind ähnliche Mitglieder:
- 22x = - 154.

6) Teile durch - 22 , Wir bekommen
x = 7.

Wie Sie sehen können, ist die Wurzel der Gleichung sieben.

Im Allgemeinen sind solche Gleichungen können wie folgt gelöst werden:

a) Bringe die Gleichung in eine ganzzahlige Form;

b) offene Klammern;

c) gruppiere die Terme, die die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die freien Terme im anderen;

d) ähnliche Mitglieder mitbringen;

e) Lösen Sie eine Gleichung der Form aх = b, die nach dem Bringen gleicher Terme erhalten wurde.

Dieses Schema ist jedoch nicht für jede Gleichung erforderlich. Beim Lösen vieler einfacherer Gleichungen muss man nicht bei der ersten, sondern bei der zweiten beginnen ( Beispiel. 2), Dritter ( Beispiel. dreizehn) und sogar ab der fünften Stufe, wie in Beispiel 5.

Beispiel 5 Lösen Sie die Gleichung 2x = 1/4.

Wir finden das Unbekannte x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Betrachten Sie die Lösung einiger linearer Gleichungen, denen Sie im Hauptexamen begegnen.

Beispiel 6 Lösen Sie Gleichung 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Antwort: - 0,125

Beispiel 7 Lösen Sie die Gleichung - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Antwort: 2.3

Beispiel 8 Löse die Gleichung

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Beispiel 9 Finde f(6), wenn f (x + 2) = 3 7er

Entscheidung

Da wir f(6) finden müssen und f(x + 2) kennen,
dann x + 2 = 6.

Wir lösen die lineare Gleichung x + 2 = 6,
wir bekommen x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Wenn x = 4 dann
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Antwort: 27.

Wenn Sie noch Fragen haben, der Wunsch besteht, sich eingehender mit dem Lösen von Gleichungen zu beschäftigen, melden Sie sich für meine Lektionen im TERMINPLAN an. Ich helfe Ihnen gerne weiter!

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Klammern werden verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen in numerischen und alphabetischen Ausdrücken sowie in Ausdrücken mit Variablen ausgeführt werden. Es ist praktisch, von einem Ausdruck mit Klammern zu einem identisch gleichen Ausdruck ohne Klammern überzugehen. Diese Technik wird Klammeröffnung genannt.

Klammern zu erweitern bedeutet, den Ausdruck von diesen Klammern zu befreien.

Besondere Aufmerksamkeit verdient ein weiterer Punkt, der die Besonderheiten von Schreiblösungen beim Öffnen von Klammern betrifft. Wir können den Anfangsausdruck mit Klammern schreiben und das Ergebnis nach dem Öffnen der Klammern als Gleichheit. Beispielsweise nach dem Öffnen der Klammern anstelle des Ausdrucks
3−(5−7) erhalten wir den Ausdruck 3−5+7. Wir können diese beiden Ausdrücke als die Gleichheit 3−(5−7)=3−5+7 schreiben.

Und noch ein wichtiger Punkt. In der Mathematik ist es zur Reduzierung von Einträgen üblich, kein Pluszeichen zu schreiben, wenn es das erste in einem Ausdruck oder in Klammern ist. Wenn wir zum Beispiel zwei positive Zahlen addieren, zum Beispiel sieben und drei, dann schreiben wir nicht +7 + 3, sondern einfach 7 + 3, obwohl sieben auch eine positive Zahl ist. Wenn Sie beispielsweise den Ausdruck (5 + x) sehen, wissen Sie, dass vor der nicht geschriebenen Klammer ein Plus und vor dem ein Plus + (+5 + x) steht fünf.

Klammererweiterungsregel für die Addition

Wenn beim Öffnen von Klammern ein Plus vor den Klammern steht, wird dieses Plus zusammen mit den Klammern weggelassen.

Beispiel. Öffnen Sie die Klammern im Ausdruck 2 + (7 + 3) Vor den Klammern plus, dann ändern sich die Zeichen vor den Zahlen in den Klammern nicht.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Die Regel zum Erweitern von Klammern beim Subtrahieren

Wenn vor den Klammern ein Minus steht, wird dieses Minus mit den Klammern weggelassen, aber die Begriffe, die in den Klammern standen, ändern ihr Vorzeichen in das Gegenteil. Das Fehlen eines Zeichens vor dem ersten Begriff in Klammern impliziert ein +-Zeichen.

Beispiel. Öffnende Klammern in Ausdruck 2 − (7 + 3)

Vor den Klammern steht ein Minus, daher müssen Sie die Zeichen vor den Zahlen aus den Klammern ändern. Vor der Zahl 7 steht kein Zeichen in Klammern, was bedeutet, dass die Sieben positiv ist, es wird davon ausgegangen, dass das +-Zeichen davor steht.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Beim Öffnen der Klammern entfernen wir das Minus aus dem Beispiel, das vor den Klammern stand, und die Klammern selbst 2 − (+ 7 + 3) und ändern die Zeichen in den Klammern in die entgegengesetzten.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Erweiternde Klammern beim Multiplizieren

Wenn vor den Klammern ein Multiplikationszeichen steht, wird jede Zahl innerhalb der Klammern mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert. Gleichzeitig ergibt die Multiplikation eines Minus mit einem Minus ein Plus, und die Multiplikation eines Minus mit einem Plus, wie die Multiplikation eines Plus mit einem Minus, ergibt ein Minus.

Daher werden Klammern in Produkten gemäß dem Verteilungsgesetz der Multiplikation erweitert.

Beispiel. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Beim Multiplizieren von Klammern mit Klammern wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Tatsächlich ist es nicht nötig, sich alle Regeln zu merken, es reicht aus, sich nur eine zu merken, diese hier: c(a−b)=ca−cb. Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel (a−b)=a−b. Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel −(a−b)=−a+b. Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.

Erweitern Sie Klammern beim Teilen

Wenn nach den Klammern ein Divisionszeichen steht, dann ist jede Zahl innerhalb der Klammern durch den Divisor nach der Klammer teilbar und umgekehrt.

Beispiel. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

So erweitern Sie verschachtelte Klammern

Wenn der Ausdruck verschachtelte Klammern enthält, werden sie der Reihe nach erweitert, beginnend mit extern oder intern.

Gleichzeitig ist es beim Öffnen einer der Klammern wichtig, die anderen Klammern nicht zu berühren, sondern sie einfach so umzuschreiben, wie sie sind.

Beispiel. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Lineare Gleichungen. Lösung, Beispiele.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Lineare Gleichungen.

Lineare Gleichungen sind nicht das schwierigste Thema in der Schulmathematik. Aber es gibt einige Tricks, die selbst einen geübten Schüler verwirren können. Sollen wir es herausfinden?)

Eine lineare Gleichung wird normalerweise als eine Gleichung der Form definiert:

Axt + b = 0 wo A und B- beliebige Zahlen.

2x + 7 = 0. Hier a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 hier a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Hier a=12, b=1/2

Nichts kompliziertes, oder? Vor allem, wenn Sie die Worte nicht bemerken: "wobei a und b beliebige Zahlen sind"... Und wenn Sie es bemerken, aber unachtsam darüber nachdenken?) Immerhin, wenn a=0, b=0(beliebige Zahlen möglich?), dann bekommen wir einen komischen Ausdruck:

Aber das ist nicht alles! Wenn, sagen wir, a=0, a b=5, es stellt sich etwas ganz Absurdes heraus:

Was das Vertrauen in Mathematik strapaziert und untergräbt, ja ...) Vor allem in Klausuren. Aber von diesen seltsamen Ausdrücken müssen Sie auch X finden! Was es gar nicht gibt. Und überraschenderweise ist dieses X sehr leicht zu finden. Wir werden lernen, wie es geht. In dieser Lektion.

Wie erkennt man eine lineare Gleichung im Aussehen? Es kommt darauf an, welches Aussehen.) Der Trick ist, dass lineare Gleichungen nicht nur Gleichungen der Form genannt werden Axt + b = 0 , sondern auch beliebige Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form gebracht werden. Und wer weiß, ob es reduziert ist oder nicht?)

In manchen Fällen ist eine lineare Gleichung deutlich zu erkennen. Sprich, wenn wir eine Gleichung haben, in der es nur Unbekannte ersten Grades gibt, ja Zahlen. Und die Gleichung nicht Brüche dividiert durch Unbekannt , es ist wichtig! Und Division durch Anzahl, oder ein numerischer Bruch - das war's! Zum Beispiel:

Dies ist eine lineare Gleichung. Hier gibt es Brüche, aber es gibt keine x im Quadrat, im Würfel usw. und es gibt keine x in den Nennern, d.h. Nein Division durch x. Und hier ist die Gleichung

kann nicht als linear bezeichnet werden. Hier sind x alle im ersten Grad, aber es gibt Division durch Ausdruck mit x. Nach Vereinfachungen und Transformationen können Sie eine lineare Gleichung und eine quadratische Gleichung und alles, was Sie möchten, erhalten.

Es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, eine lineare Gleichung in einem komplizierten Beispiel zu finden, bis Sie sie fast gelöst haben. Es ist ärgerlich. Aber bei Aufgaben wird in der Regel nicht nach der Form der Gleichung gefragt, oder? In Aufgaben werden Gleichungen geordnet entscheiden. Es gefällt.)

Lösung linearer Gleichungen. Beispiele.

Die gesamte Lösung linearer Gleichungen besteht aus identischen Transformationen von Gleichungen. Diese Transformationen (bis zu zwei!) liegen übrigens den Lösungen zugrunde alle Gleichungen der Mathematik. Mit anderen Worten, die Entscheidung irgendein Die Gleichung beginnt mit denselben Transformationen. Im Fall von linearen Gleichungen endet es (die Lösung) dieser Transformationen mit einer vollwertigen Antwort. Es ist sinnvoll, dem Link zu folgen, oder?) Außerdem gibt es auch Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen.

Beginnen wir mit dem einfachsten Beispiel. Ohne Fallstricke. Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen.

x - 3 = 2 - 4x

Dies ist eine lineare Gleichung. Xs stehen alle in der ersten Potenz, es gibt keine Division durch X. Aber eigentlich ist es uns egal, wie die Gleichung lautet. Wir müssen es lösen. Das Schema hier ist einfach. Sammle alles mit x auf der linken Seite der Gleichung, alles ohne x (Zahlen) auf der rechten Seite.

Dazu müssen Sie umbuchen - 4x nach links, natürlich mit Vorzeichenwechsel, aber - 3 - Nach rechts. Das ist übrigens erste identische Transformation von Gleichungen.Überrascht? Also sind sie dem Link nicht gefolgt, aber vergebens ...) Wir bekommen:

x + 4x = 2 + 3

Wir geben ähnlich, wir betrachten:

Was brauchen wir, um vollkommen glücklich zu sein? Ja, damit links ein sauberes X steht! Fünf steht im Weg. Befreien Sie sich von den fünf mit zweite identische Transformation von Gleichungen. Wir teilen nämlich beide Teile der Gleichung durch 5. Wir erhalten eine fertige Antwort:

Natürlich ein elementares Beispiel. Dies ist zum Aufwärmen.) Es ist nicht ganz klar, warum ich mich hier an identische Transformationen erinnerte? Okay. Wir packen den Stier bei den Hörnern.) Entscheiden wir uns für etwas Beeindruckenderes.

Hier ist zum Beispiel diese Gleichung:

Mit was fangen wir an? Mit X - nach links, ohne X - nach rechts? Könnte so sein. Kleine Schritte entlang der langen Straße. Und das können Sie sofort, auf universelle und kraftvolle Weise. Es sei denn natürlich, in Ihrem Arsenal gibt es identische Transformationen von Gleichungen.

Ich stelle Ihnen eine zentrale Frage: Was missfällt dir an dieser Gleichung am meisten?

95 von 100 Personen werden antworten: Brüche ! Die Antwort ist richtig. Also lasst uns sie loswerden. Also fangen wir gleich an zweite identische Transformation. Womit multiplizierst du den Bruch auf der linken Seite, sodass der Nenner vollständig gekürzt wird? Richtig, 3. Und rechts? Mit 4. Aber Mathe erlaubt uns, beide Seiten mit zu multiplizieren die gleiche Nummer. Wie kommen wir raus? Lass uns beide Seiten mit 12 multiplizieren! Jene. auf einen gemeinsamen Nenner. Dann werden die drei reduziert und die vier. Vergessen Sie nicht, dass Sie jeden Teil multiplizieren müssen komplett. So sieht der erste Schritt aus:

Erweitern der Klammern:

Beachten Sie! Zähler (x+2) Ich habe Klammern genommen! Denn beim Multiplizieren von Brüchen wird der Zähler komplett mit dem Ganzen multipliziert! Und jetzt können Sie Brüche kürzen und kürzen:

Öffnen der restlichen Klammern:

Kein Beispiel, sondern reines Vergnügen!) Jetzt erinnern wir uns an den Spruch aus den unteren Klassen: mit x - nach links, ohne x - nach rechts! Und wenden Sie diese Transformation an:

Hier sind einige wie:

Und wir teilen beide Teile durch 25, d.h. wenden Sie die zweite Transformation erneut an:

Das ist alles. Antworten: X=0,16

Achtung: Um die ursprünglich verwirrende Gleichung in eine angenehme Form zu bringen, haben wir zwei (nur zwei!) identische Transformationen- Übersetzung von links nach rechts mit Vorzeichenwechsel und Multiplikationsdivision der Gleichung durch dieselbe Zahl. Das ist der universelle Weg! Wir werden auf diese Weise arbeiten irgendein Gleichungen! Absolut beliebig. Deshalb wiederhole ich diese identischen Transformationen ständig.)

Wie Sie sehen können, ist das Prinzip der Lösung linearer Gleichungen einfach. Wir nehmen die Gleichung und vereinfachen sie mit Hilfe identischer Transformationen, bis wir die Antwort erhalten. Die Hauptprobleme liegen hier in den Berechnungen und nicht im Prinzip der Lösung.

Aber ... Es gibt solche Überraschungen beim Lösen der elementarsten linearen Gleichungen, die sie in eine starke Benommenheit treiben können ...) Glücklicherweise kann es nur zwei solcher Überraschungen geben. Nennen wir sie Sonderfälle.

Spezialfälle beim Lösen linearer Gleichungen.

Erstmal überraschen.

Angenommen, Sie stoßen auf eine elementare Gleichung, etwa wie folgt:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Etwas gelangweilt wechseln wir mit X nach links, ohne X - nach rechts ... Mit einem Vorzeichenwechsel ist alles chinar ... Wir bekommen:

2x-5x+3x=5-2-3

Wir glauben, und ... oh mein Gott! Wir bekommen:

An sich ist diese Gleichheit nicht zu beanstanden. Null ist wirklich Null. Aber X ist weg! Und wir müssen in die Antwort schreiben, was x gleich ist. Sonst zählt die Lösung nicht, ja...) Eine Sackgasse?

Ruhig! In solchen Zweifelsfällen gelten die allgemeinsten Regeln. Wie löst man Gleichungen? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Das heisst, Finden Sie alle Werte von x, die uns, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, die richtige Gleichheit geben.

Aber wir haben die richtige Gleichheit bereits passiert! 0=0, wo eigentlich?! Es bleibt herauszufinden, bei welchen x dies erreicht wird. In welche Werte von x können sie eingesetzt werden Original Gleichung, wenn diese x's immer noch auf null schrumpfen? Komm schon?)

Ja!!! Xs können ersetzt werden irgendein! Was willst du. Mindestens 5, mindestens 0,05, mindestens -220. Sie werden trotzdem schrumpfen. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen.) Ersetzen Sie alle x-Werte in Original gleichsetzen und berechnen. Die ganze Zeit wird die reine Wahrheit erhalten: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 und so weiter.

Hier ist Ihre Antwort: x ist eine beliebige Zahl.

Die Antwort kann in verschiedenen mathematischen Symbolen geschrieben werden, die Essenz ändert sich nicht. Dies ist eine völlig korrekte und vollständige Antwort.

Überraschung an zweiter Stelle.

Nehmen wir dieselbe elementare lineare Gleichung und ändern nur eine Zahl darin. So werden wir entscheiden:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nach denselben identischen Transformationen erhalten wir etwas Faszinierendes:

So. Eine lineare Gleichung gelöst, eine seltsame Gleichheit erhalten. Mathematisch gesehen haben wir falsche Gleichheit. Und in einfachen Worten, das ist nicht wahr. Rave. Aber trotzdem ist dieser Unsinn ein ziemlich guter Grund für die richtige Lösung der Gleichung.)

Auch hier denken wir nach allgemeinen Regeln. Was x, wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, uns geben wird Korrekt Gleichberechtigung? Ja, keine! Es gibt keine solchen xes. Was auch immer Sie ersetzen, alles wird reduziert, Unsinn bleibt.)

Hier ist Ihre Antwort: es gibt keine lösungen.

Dies ist auch eine vollkommen gültige Antwort. In der Mathematik kommen solche Antworten häufig vor.

So. Nun, ich hoffe, der Verlust von x beim Lösen einer (nicht nur linearen) Gleichung wird Sie überhaupt nicht stören. Die Sache ist bekannt.)

Nachdem wir uns nun mit allen Fallstricken in linearen Gleichungen befasst haben, ist es sinnvoll, sie zu lösen.

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