Beispiele zur Problemlösung zum Thema "Zufallsvariablen".

Eine Aufgabe 1 . Es werden 100 Lose in der Lotterie ausgegeben. Es wurde ein Gewinn von 50 USD gespielt. und zehn Gewinne von jeweils $10. Finden Sie das Verteilungsgesetz des Wertes X - die Kosten eines möglichen Gewinns.

Lösung. Mögliche Werte von X: x 1 = 0; x 2 = 10 und x 3 = 50. Da es 89 „leere“ Tickets gibt, ist p 1 = 0,89, die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 10 c.u. (10 Karten) – p 2 = 0,10 und für einen Gewinn von 50 c.u. -p 3 = 0,01. Auf diese Weise:

	0,89	0,10	0,01

Einfach zu steuern: .

Eine Aufgabe 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Käufer vorab mit der Werbung des Produkts vertraut gemacht hat, beträgt 0,6 (p = 0,6). Eine selektive Qualitätskontrolle der Werbung erfolgt durch Befragung der Käufer vor dem ersten, der die Anzeige vorab studiert hat. Erstellen Sie eine Reihe von Verteilungen der Anzahl der befragten Käufer.

Lösung. Entsprechend der Problemstellung ist p = 0,6. Von: q=1 -p = 0,4. Setzen wir diese Werte ein, erhalten wir: und eine Verteilungsreihe konstruieren:

Pi		0,24

Eine Aufgabe 3. Ein Computer besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen: einer Systemeinheit, einem Monitor und einer Tastatur. Bei einem einzigen starken Spannungsanstieg beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements 0,1. Erstellen Sie basierend auf der Bernoulli-Verteilung das Verteilungsgesetz für die Anzahl der ausgefallenen Elemente während einer Überspannung im Netz.

Lösung. In Betracht ziehen Bernoulli-Verteilung(oder Binomial): die Wahrscheinlichkeit, dass in n Tests, Ereignis A wird genau angezeigt k einmal: , oder:

	q n					p n

BEI Kommen wir zurück zur Aufgabe.

Mögliche Werte von X (Anzahl der Ausfälle):

x 0 = 0 – keines der Elemente ausgefallen;

x 1 =1 - Ausfall eines Elements;

x 2 =2 - Ausfall von zwei Elementen;

x 3 =3 - Ausfall aller Elemente.

Da p = 0,1 ist, ist q = 1 – p = 0,9. Unter Verwendung der Bernoulli-Formel erhalten wir

, ,

, .

Kontrolle: .

Daher das angestrebte Verteilungsgesetz:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Aufgabe 4. 5000 Schuss produziert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Patrone defekt ist . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in der gesamten Charge genau 3 defekte Patronen gibt?

Lösung. Zutreffend Poisson-Verteilung: Diese Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei einem sehr großen

Anzahl der Versuche (Massenversuche), bei denen die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A jeweils sehr klein ist, Ereignis A tritt k-mal ein: , wo .

Hier n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Wir finden , dann die gewünschte Wahrscheinlichkeit: .

Aufgabe 5. Beim Schießen vor dem ersten Treffer mit der Wahrscheinlichkeit, p zu treffen = 0,6 beim Schuss, müssen wir die Wahrscheinlichkeit finden, dass der Treffer beim dritten Schuss erfolgt.

Lösung. Wenden wir die geometrische Verteilung an: Es sollen unabhängige Versuche gemacht werden, bei denen das Ereignis A jeweils eine Eintrittswahrscheinlichkeit p (und eine Nichteintrittswahrscheinlichkeit q = 1 - p) hat. Die Versuche enden, sobald Ereignis A eintritt.

Unter solchen Bedingungen wird die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A beim k-ten Test eintritt, durch die Formel bestimmt: . Hier p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4 k \u003d 3. Daher .

Aufgabe 6. Gegeben sei das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X:

Finde die mathematische Erwartung.

Lösung. .

Beachten Sie, dass die probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ist.

Aufgabe 7. Finden Sie die Varianz einer Zufallsvariablen X mit dem folgenden Verteilungsgesetz:

Lösung. Hier .

Das Verteilungsgesetz des Quadrats von X 2 :

X 2

Erforderliche Varianz: .

Streuung charakterisiert den Grad der Abweichung (Streuung) einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung.

Aufgabe 8. Die Zufallsvariable sei durch die Verteilung gegeben:

			10m

Finden Sie seine numerischen Eigenschaften.

Lösung: m, m 2 ,

M 2 , m.

Über eine Zufallsvariable X kann man beides sagen – ihr mathematischer Erwartungswert beträgt 6,4 m bei einer Varianz von 13,04 m 2 , oder - seine mathematische Erwartung beträgt 6,4 m mit einer Abweichung von m. Die zweite Formulierung ist offensichtlich klarer.

Eine Aufgabe 9. Zufallswert X gegeben durch die Verteilungsfunktion:
.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert X als Ergebnis des Tests einen im Intervall enthaltenen Wert annimmt .

Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert aus einem bestimmten Intervall annimmt, ist gleich dem Inkrement der Integralfunktion in diesem Intervall, d.h. . In unserem Fall und daher

.

Eine Aufgabe 10. Diskrete Zufallsvariable X durch das Vertriebsgesetz gegeben:

Verteilungsfunktion finden F(x ) und erstelle seinen Graphen.

Lösung. Da die Verteilungsfunktion

zum , dann

bei ;

bei ;

bei ;

bei ;

Relevantes Diagramm:

Aufgabe 11. Kontinuierliche Zufallsvariable X gegeben durch die Differentialverteilungsfunktion: .

Finde die Trefferwahrscheinlichkeit X zum Intervall

Lösung. Beachten Sie, dass dies ein Sonderfall des Exponentialverteilungsgesetzes ist.

Verwenden wir die Formel: .

Eine Aufgabe 12. Finden Sie die numerischen Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen X, die durch das Verteilungsgesetz gegeben ist:

	–5
	X2: x2 . , wo ist die Laplace-Funktion. Die Werte dieser Funktion werden anhand einer Tabelle gefunden. In unserem Fall: . Nach der Tabelle finden wir: also:

Definition.Dispersion (Streuung) Als diskrete Zufallsvariable bezeichnet man die mathematische Erwartung der quadrierten Abweichung der Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung:

Beispiel. Für das obige Beispiel finden wir

Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist:

Mögliche Werte der quadrierten Abweichung:

; ;

Die Streuung ist:

In der Praxis ist diese Methode der Varianzberechnung jedoch unbequem, weil führt zu umständlichen Berechnungen für eine Vielzahl von Werten einer Zufallsvariablen. Daher wird ein anderes Verfahren verwendet.

Abweichungsberechnung

Satz. Die Varianz ist gleich der Differenz zwischen dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats der Zufallsvariablen X und dem Quadrat ihres mathematischen Erwartungswerts:

Nachweisen. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der mathematische Erwartungswert und das Quadrat des mathematischen Erwartungswerts konstante Werte sind, können wir schreiben:

Wenden wir diese Formel auf das obige Beispiel an:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Dispersionseigenschaften

1) Die Streuung eines konstanten Wertes ist Null:

2) Der konstante Faktor lässt sich aus dem Streuungszeichen herausnehmen, indem man ihn quadriert:

.

3) Die Varianz der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen dieser Variablen:

4) Die Varianz der Differenz zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen dieser Variablen:

Die Gültigkeit dieser Gleichheit folgt aus Eigenschaft 2.

Satz. Die Varianz der Anzahl der Vorkommen des Ereignisses A in n unabhängigen Versuchen, bei denen die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses jeweils konstant ist, ist gleich dem Produkt der Anzahl der Versuche mit der Eintrittswahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses tritt nicht in jedem Versuch auf:

Beispiel. Das Werk produziert 96 % der Produkte erster Qualität und 4 % der Produkte zweiter Qualität. 1000 Artikel werden zufällig ausgewählt. Lassen X- die Anzahl der Produkte der ersten Klasse in dieser Stichprobe. Finden Sie das Verteilungsgesetz, den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen.

Somit kann das Verteilungsgesetz als binomial betrachtet werden.

Beispiel. Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen X– Häufigkeit des Ereignisses ABER in zwei unabhängigen Versuchen, wenn die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens dieses Ereignisses in beiden Versuchen gleich sind und dies bekannt ist

Da Zufallswert X also nach dem Binomialgesetz verteilt

Beispiel. Unabhängige Tests werden mit der gleichen Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses durchgeführt ABER bei jeder Prüfung. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses heraus ABER wenn die Varianz der Häufigkeit des Ereignisses in drei unabhängigen Versuchen 0,63 beträgt.

Nach der Dispersionsformel des Binomialgesetzes erhalten wir:

;

Beispiel. Getestet wird ein Gerät bestehend aus vier unabhängig arbeitenden Geräten. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten jedes der Geräte sind jeweils gleich ; ; . Ermitteln Sie die mathematische Erwartung und Varianz der Anzahl der ausgefallenen Geräte.

Nimmt man die Anzahl der ausgefallenen Geräte als Zufallsvariable, sehen wir, dass diese Zufallsvariable die Werte 0, 1, 2, 3 oder 4 annehmen kann.

Um ein Verteilungsgesetz für diese Zufallsvariable aufzustellen, müssen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden. Akzeptieren wir.

1) Kein einziges Gerät ist ausgefallen:

2) Eines der Geräte ist ausgefallen.

Zufällige Variable Es wird eine Größe genannt, die als Ergebnis von Tests, die unter gleichen Bedingungen durchgeführt wurden, in Abhängigkeit von zufälligen Faktoren, die nicht berücksichtigt werden, allgemein unterschiedliche Werte annimmt. Beispiele für Zufallsvariablen: die Anzahl der auf einen Würfel gefallenen Punkte, die Anzahl fehlerhafter Produkte in einer Charge, die Abweichung des Auftreffpunkts des Projektils vom Ziel, die Betriebszeit des Geräts usw. Unterscheiden Sie zwischen diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen . Diskret Es wird eine Zufallsvariable genannt, deren mögliche Werte eine zählbare Menge bilden, endlich oder unendlich (d. H. Eine solche Menge, deren Elemente nummeriert werden können).

kontinuierlich Es wird eine Zufallsvariable genannt, deren mögliche Werte kontinuierlich ein endliches oder unendliches Intervall der numerischen Achse ausfüllen. Die Anzahl der Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist immer unendlich.

Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben am Ende des lateinischen Alphabets bezeichnet: X, Y, . ; Werte einer Zufallsvariablen - in Kleinbuchstaben: X, y. . Auf diese Weise, X Bezeichnet den gesamten Satz möglicher Werte einer Zufallsvariablen und X - Einige spezifische Bedeutung.

Vertriebsrecht Eine diskrete Zufallsvariable ist eine in irgendeiner Form gegebene Entsprechung zwischen den möglichen Werten einer Zufallsvariablen und ihren Wahrscheinlichkeiten.

Lassen Sie die möglichen Werte der Zufallsvariablen X Gibt . Als Ergebnis des Tests nimmt die Zufallsvariable einen dieser Werte an, d. h. Ein Ereignis aus einer vollständigen Gruppe von paarweise inkompatiblen Ereignissen tritt auf.

Lassen Sie auch die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse bekannt sein:

Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X Es kann in Form einer Tabelle namens geschrieben werden Nahverteilung Diskrete Zufallsvariable:

zufällige Variablen. Diskrete Zufallsvariable.
Erwarteter Wert

Der zweite Abschnitt auf Wahrscheinlichkeitstheorie gewidmet zufällige Variablen , die uns buchstäblich in jedem Artikel zum Thema unsichtbar begleitet hat. Und es ist an der Zeit, klar zu artikulieren, was es ist:

Zufällig genannt Wert, die als Ergebnis des Tests dauern wird der eine und einzige ein numerischer Wert, der von Zufallsfaktoren abhängt und nicht im Voraus vorhersehbar ist.

Zufallsvariablen sind in der Regel benennen durch * , und ihre Werte in den entsprechenden Kleinbuchstaben mit tiefgestellten Zeichen, zum Beispiel .

* Manchmal verwendet sowie griechische Buchstaben

Wir sind auf ein Beispiel gestoßen Erste Lektion in Wahrscheinlichkeitstheorie, wobei wir tatsächlich die folgende Zufallsvariable berücksichtigt haben:

- die Anzahl der Punkte, die nach dem Würfeln herausfallen.

Dieser Test ergibt der einzige die Linie, die nicht vorhersehbar ist (Tricks werden nicht berücksichtigt); in diesem Fall kann die Zufallsvariable einen der folgenden Werte annehmen:

- die Anzahl der Jungen unter 10 Neugeborenen.

Es ist ziemlich klar, dass diese Zahl nicht im Voraus bekannt ist, und in den nächsten zehn geborenen Kindern kann es sein:

Oder Jungs - der eine und einzige der aufgeführten Optionen.

Und um fit zu bleiben, ein bisschen Sportunterricht:

- Weitsprungdistanz (in einigen Einheiten).

Das kann selbst der Sportmeister nicht vorhersagen 🙂

Aber was sind Ihre Hypothesen?

Sobald Menge reeller Zahlen unendlich, dann kann die Zufallsvariable nehmen unendlich viele Werte aus irgendeinem Intervall. Und das ist der grundlegende Unterschied zu den vorherigen Beispielen.

Auf diese Weise, Es empfiehlt sich, Zufallsvariablen in 2 große Gruppen zu unterteilen:

1) Diskret (wechselnd) Zufallsvariable - nimmt separat genommene, isolierte Werte an. Die Anzahl dieser Werte sicherlich oder unendlich, aber zählbar.

... unverständliche Bedingungen gezogen wurden? Dringend wiederholen Grundlagen der Algebra!

2) Kontinuierliche Zufallsvariable - dauert alle numerische Werte aus einem endlichen oder unendlichen Bereich.

Notiz : Abkürzungen DSV und NSV sind in der pädagogischen Literatur beliebt

Lassen Sie uns zuerst eine diskrete Zufallsvariable analysieren, dann - kontinuierlich.

Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen

- Das Konformität zwischen den möglichen Werten dieser Größe und ihren Wahrscheinlichkeiten. Meistens wird das Gesetz in eine Tabelle geschrieben:

Der Begriff ist recht geläufig die Zeile Verteilung, aber in manchen Situationen klingt es zweideutig, und deshalb werde ich mich an das "Gesetz" halten.

Und jetzt sehr wichtiger Punkt: da die Zufallsvariable Notwendig wird akzeptieren einer der Werte, dann bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe und die Summe der Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens gleich eins ist:

oder, falls gefaltet geschrieben:

So hat zum Beispiel das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Würfelpunkten folgende Form:

Sie haben vielleicht den Eindruck, dass eine diskrete Zufallsvariable nur "gute" ganzzahlige Werte annehmen kann. Lassen Sie uns die Illusion zerstreuen - sie können alles sein:

Einige Spiele haben das folgende Auszahlungsverteilungsgesetz:

…wahrscheinlich träumst du schon lange von solchen Aufgaben 🙂 Ich verrate dir ein Geheimnis – ich auch. Vor allem nach Arbeitsende Feldtheorie.

Lösung: Da eine Zufallsvariable nur einen von drei Werten annehmen kann, bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe, was bedeutet, dass die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins ist:

Wir entlarven den "Partisanen":

– die Wahrscheinlichkeit, herkömmliche Einheiten zu gewinnen, beträgt also 0,4.

Kontrolle: Was Sie sicherstellen müssen.

Antworten:

Nicht selten muss das Vertriebsrecht eigenständig erstellt werden. Für diesen Einsatz Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, Multiplikations-/Additionssätze für Ereigniswahrscheinlichkeiten und andere Chips tervera:

In der Schachtel befinden sich 50 Lottoscheine, von denen 12 gewinnen, und 2 von ihnen gewinnen jeweils 1000 Rubel und der Rest - jeweils 100 Rubel. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable - die Höhe des Gewinns, wenn ein Ticket zufällig aus der Box gezogen wird.

Lösung: Wie Sie bemerkt haben, ist es üblich, die Werte einer Zufallsvariablen einzugeben aufsteigende Reihenfolge. Deshalb beginnen wir mit den kleinsten Gewinnen, nämlich Rubel.

Insgesamt gibt es 50 - 12 = 38 solcher Tickets, und gem klassische Definition:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogenes Los nicht gewinnt.

Die restlichen Fälle sind einfach. Die Wahrscheinlichkeit, Rubel zu gewinnen, beträgt:

Und für :

Prüfen: - und das ist ein besonders angenehmer Moment bei solchen Aufgaben!

Antworten: das erforderliche Auszahlungsverteilungsgesetz:

Die folgende Aufgabe für eine unabhängige Entscheidung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, ist . Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable - die Anzahl der Treffer nach 2 Schüssen.

... ich wusste, dass du ihn vermisst hast 🙂 Wir erinnern uns Multiplikations- und Additionstheoreme. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Das Verteilungsgesetz beschreibt eine Zufallsvariable vollständig, aber in der Praxis ist es nützlich (und manchmal nützlicher), nur einen Teil davon zu kennen. numerische Merkmale .

Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

In einfachen Worten, dies durchschnittlicher Erwartungswert mit wiederholtem Testen. Lassen Sie eine Zufallsvariable jeweils Werte mit Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dann ist der mathematische Erwartungswert dieser Zufallsvariablen gleich Summe der Werke alle seine Werte durch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

oder in gefalteter Form:

Berechnen wir zum Beispiel die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen - die Anzahl der Punkte, die auf einen Würfel fallen:

Was ist die probabilistische Bedeutung des erhaltenen Ergebnisses? Wenn Sie den Würfel oft genug würfeln, dann mittlere Bedeutung die verlorenen Punkte werden nahe bei 3,5 liegen - und je mehr Tests Sie machen, desto näher. Eigentlich habe ich in der Lektion darüber bereits ausführlich über diesen Effekt gesprochen statistische Wahrscheinlichkeit.

Erinnern wir uns nun an unser hypothetisches Spiel:

Es stellt sich die Frage: Ist es überhaupt rentabel, dieses Spiel zu spielen? ... wer hat irgendwelche Eindrücke? „Spontan“ kann man also nicht sagen! Aber diese Frage kann leicht beantwortet werden, indem man im Wesentlichen die mathematische Erwartung berechnet - gewichteter Durchschnitt Gewinnwahrscheinlichkeiten:

So die mathematische Erwartung dieses Spiels verlieren.

Vertrauen Sie keinen Eindrücken - vertrauen Sie Zahlen!

Ja, hier kann man 10 oder sogar 20-30 mal hintereinander gewinnen, aber auf Dauer werden wir unweigerlich ruiniert. Und ich würde dir nicht raten, solche Spielchen zu spielen 🙂 Na ja, vielleicht nur zum Spass.

Aus alledem folgt, dass die mathematische Erwartung KEIN ZUFÄLLIGER Wert ist.

Kreative Aufgabe zur eigenständigen Recherche:

Herr X spielt Europäisches Roulette nach folgendem System: Er setzt ständig 100 Rubel auf Rot. Verfassen Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen - ihre Auszahlung. Berechnen Sie die mathematische Gewinnerwartung und runden Sie sie auf Kopeken auf. Wie im mittleren verliert der Spieler für jede hundert Wette?

Bezug : Europäisches Roulette enthält 18 rote, 18 schwarze und 1 grünen Sektor ("Null"). Fällt ein „Rot“ aus, bekommt der Spieler einen doppelten Einsatz ausgezahlt, ansonsten geht es an die Einnahmen des Casinos

Es gibt viele andere Roulette-Systeme, für die Sie Ihre eigenen Wahrscheinlichkeitstabellen erstellen können. Dies ist aber der Fall, wenn wir keine Verteilungsgesetze und -tabellen benötigen, weil feststeht, dass die mathematische Erwartung des Spielers genau dieselbe sein wird. Ändert sich nur von System zu System Streuung, die wir in Teil 2 der Lektion kennenlernen werden.

Aber vorher ist es nützlich, Ihre Finger auf den Tasten des Taschenrechners zu strecken:

Die Zufallsvariable ist durch ihr eigenes Wahrgegeben:

Finden Sie heraus, ob das bekannt ist. Führen Sie eine Überprüfung durch.

Dann wenden wir uns dem Studium zu Streuung einer diskreten Zufallsvariablen, und ggf. JETZT SOFORT!!- um den Faden des Themas nicht zu verlieren.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 3 Lösung: nach Bedingung - die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen. Dann:
ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags.

Machen wir - das Gesetz der Trefferverteilung bei zwei Schüssen:

- kein einziger Treffer. Durch der Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

- ein Treffer. Durch Theoreme der Addition von Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer und Multiplikation unabhängiger Ereignisse:

- zwei Treffer. Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

Prüfung: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Antworten :

Notiz : es war möglich, Bezeichnungen zu verwenden - das ist nicht wichtig.

Beispiel 4 Lösung: Der Spieler gewinnt 100 Rubel in 18 von 37 Fällen, und daher hat das Verteilungsgesetz seiner Gewinne folgende Form:

Lassen Sie uns die mathematische Erwartung berechnen:

Somit verliert der Spieler pro hundert Wetteinsatz durchschnittlich 2,7 Rubel.

Beispiel 5 Lösung: per Definition der mathematischen Erwartung:

Lassen Sie uns Teile tauschen und Vereinfachungen vornehmen:

auf diese Weise:

Lass uns das Prüfen:

, was zu überprüfen war.

Antworten :

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Diskrete Zufallsvariablen

Zufällige Variable es wird eine Variable aufgerufen, die bei jedem Test je nach zufälliger Ursache einen vorher unbekannten Wert annimmt. Zufallsvariablen werden mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Durch ihren Typ können Zufallsvariablen sein diskret und kontinuierlich.

Diskrete Zufallsvariable- das ist so eine Zufallsvariable, deren Werte höchstens zählbar sein können, also entweder endlich oder zählbar. Zählbarkeit bedeutet, dass die Werte einer Zufallsvariablen aufgezählt werden können.

Beispiel 1 . Lassen Sie uns Beispiele für diskrete Zufallsvariablen geben:

a) die Anzahl der Treffer auf das Ziel mit $n$ Schüssen, hier sind die möglichen Werte $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) die Anzahl der Wappen, die beim Werfen einer Münze herausgefallen sind, hier sind die möglichen Werte $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) die Anzahl der Schiffe, die an Bord angekommen sind (ein zählbarer Satz von Werten).

d) die Anzahl der an der Vermittlungsstelle ankommenden Anrufe (ein zählbarer Satz von Werten).

1. Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen.

Eine diskrete Zufallsvariable $X$ kann die Werte $x_1,\dots ,\ x_n$ mit Wahrscheinlichkeiten $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ annehmen. Die Entsprechung zwischen diesen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten wird genannt Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen. In der Regel wird diese Entsprechung anhand einer Tabelle angegeben, in deren erster Zeile die Werte von $x_1,\dots,\x_n$ angegeben sind und in der zweiten Zeile die diesen Werten entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $ sind p_1,\dots,\p_n$.

$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

Beispiel 2 . Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der gewürfelten Punkte beim Würfeln. Eine solche Zufallsvariable $X$ kann folgende Werte $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten all dieser Werte sind gleich $1/6$. Dann das Wahrfür die Zufallsvariable $X$:

$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Kommentar. Da die Ereignisse $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ im Verteilungsgesetz der diskreten Zufallsvariablen $X$ eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein, also $\sum

2. Mathematischer Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen.

Mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen gibt seinen "zentralen" Wert an. Für eine diskrete Zufallsvariable berechnet sich der mathematische Erwartungswert als Summe der Produkte aus den Werten $x_1,\dots ,\x_n$ und den diesen Werten entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,\p_n$, also: $M\links(X\rechts)=\sum ^n_ $. In der englischen Literatur wird eine andere Notation $E\left(X\right)$ verwendet.

Erwartungseigenschaften$M\links(X\rechts)$:

1. $M\left(X\right)$ liegt zwischen dem kleinsten und größten Wert der Zufallsvariablen $X$.
2. Der mathematische Erwartungswert einer Konstanten ist gleich der Konstanten selbst, d.h. $M\links(C\rechts)=C$.
3. Der konstante Faktor kann aus dem Erwartungszeichen entnommen werden: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Der mathematische Erwartungswert der Summe der Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungswerte: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Der mathematische Erwartungswert des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen: $M\links(XY\rechts)=M\links(X\rechts)M\links(Y\rechts)$.

Beispiel 3 . Finden wir den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ aus Beispiel $2$.

Wir können feststellen, dass $M\left(X\right)$ zwischen dem kleinsten ($1$) und größten ($6$) Wert der Zufallsvariablen $X$ liegt.

Beispiel 4 . Es ist bekannt, dass der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ gleich $M\left(X\right)=2$ ist. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $3X+5$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften erhalten wir $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Beispiel 5 . Es ist bekannt, dass der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ gleich $M\left(X\right)=4$ ist. Finden Sie die mathematische Erwartung der Zufallsvariablen $2X-9$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften erhalten wir $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Streuung einer diskreten Zufallsvariablen.

Mögliche Werte von Zufallsvariablen können bei gleichen mathematischen Erwartungen unterschiedlich um ihre Durchschnittswerte streuen. So stellte sich zum Beispiel in zwei Studentengruppen heraus, dass die durchschnittliche Punktzahl für die Prüfung in Wahrscheinlichkeitstheorie 4 war, aber in einer Gruppe waren alle gute Studenten und in der anderen Gruppe nur C-Schüler und ausgezeichnete Studenten. Daher bedarf es eines solchen numerischen Merkmals einer Zufallsvariablen, das die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um ihre mathematische Erwartung herum aufzeigen würde. Diese Eigenschaft ist Dispersion.

Streuung einer diskreten Zufallsvariablen$X$ ist:

In der englischen Literatur wird die Notation $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ verwendet. Sehr oft wird die Varianz $D\left(X\right)$ nach der Formel $D\left(X\right)=\sum^n_ berechnet —^2$.

Dispersionseigenschaften$D\links(X\rechts)$:

1. Die Streuung ist immer größer oder gleich Null, d.h. $D\links(X\rechts)\ge 0$.
2. Die Streuung von einer Konstanten ist gleich Null, d.h. $D\links(C\rechts)=0$.
3. Der konstante Faktor kann aus dem Dispersionszeichen herausgenommen werden, sofern er quadriert ist, d.h. $D\links(CX\rechts)=C^2D\links(X\rechts)$.
4. Die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen, d.h. $D\links(X+Y\rechts)=D\links(X\rechts)+D\links(Y\rechts)$.
5. Die Varianz der Differenz unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen, d.h. $D\links(X-Y\rechts)=D\links(X\rechts)+D\links(Y\rechts)$.

Beispiel 6 . Berechnen wir die Varianz der Zufallsvariablen $X$ aus Beispiel $2$.

Beispiel 7 . Es ist bekannt, dass die Varianz der Zufallsvariablen $X$ gleich $D\left(X\right)=2$ ist. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen $4X+1$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften finden wir $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ links(X\rechts)=16\cdot 2=32$.

Beispiel 8 . Es ist bekannt, dass die Varianz von $X$ gleich $D\left(X\right)=3$ ist. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen $3-2X$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften finden wir $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ links(X\rechts)=4\cdot 3=12$.

4. Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen.

Die Methode, eine diskrete Zufallsvariable in Form einer Verteilungsreihe darzustellen, ist nicht die einzige und vor allem nicht universell, da eine kontinuierliche Zufallsvariable nicht durch eine Verteilungsreihe spezifiziert werden kann. Es gibt eine andere Möglichkeit, eine Zufallsvariable darzustellen - die Verteilungsfunktion.

Verteilungsfunktion Die Zufallsvariable $X$ ist eine Funktion $F\left(x\right)$, die die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner als ein fester Wert $x$ annimmt, also $F\left(x\ rechts)$ )=P\links(X 6$, dann $F\links(x\rechts)=P\links(X=1\rechts)+P\links(X=2\rechts)+P\links( X=3 \rechts)+P\links(X=4\rechts)+P\links(X=5\rechts)+P\links(X=6\rechts)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Graph der Verteilungsfunktion $F\left(x\right)$:

Grundgesetze der Verteilung

1. Binomialverteilungsgesetz.

Das Binomialverteilungsgesetz beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses A m-mal in n unabhängigen Versuchen, vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit p des Eintretens des Ereignisses A in jedem Versuch konstant ist.

Beispielsweise erhält die Verkaufsabteilung eines Baumarkts im Durchschnitt in 10 Anrufen einen Auftrag für den Kauf von Fernsehern. Schreiben Sie ein Wahrfür den Kauf von m Fernsehgeräten. Konstruieren Sie ein Polygon der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

In der Tabelle ist m die Anzahl der Bestellungen, die das Unternehmen für den Kauf eines Fernsehgeräts erhalten hat. C n m ist die Anzahl der Kombinationen von m TVs mal n, p ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, d.h. Bestellung eines TV, q ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A nicht eintritt, d.h. keinen Fernseher bestellen, ist P m,n die Wahrscheinlichkeit, m Fernseher aus n zu bestellen. Abbildung 1 zeigt das Polygon der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

2.Geometrische Verteilung.

Die geometrische Verteilung einer Zufallsvariablen hat folgende Form:

P m ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A in Versuch Nummer m.
p ist die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A in einem Versuch.
q = 1 - s

Beispiel. Eine Reparaturfirma für Haushaltsgeräte erhielt eine Charge von 10 Austauschgeräten für Waschmaschinen. Es gibt Fälle, in denen ein Stapel 1 fehlerhaften Block enthält. Es wird solange geprüft, bis ein defekter Block gefunden wird. Es ist notwendig, ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der überprüften Blöcke zu erstellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Block defekt sein kann, beträgt 0,1. Konstruieren Sie ein Polygon der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass mit zunehmender Zahl m die Wahrscheinlichkeit abnimmt, dass ein fehlerhafter Block erkannt wird. Die letzte Zeile (m=10) kombiniert zwei Wahrscheinlichkeiten: 1 – dass sich der zehnte Block als fehlerhaft herausstellte – 0,038742049 , 2 – dass sich alle überprüften Blöcke als brauchbar herausstellten – 0,34867844. Da die Wahrscheinlichkeit eines Blockausfalls relativ gering ist (p = 0,1), ist die Wahrscheinlichkeit des letzten Ereignisses Pm (10 getestete Blöcke) relativ hoch. Abb.2.

3. Hypergeometrische Verteilung.

Die hypergeometrische Verteilung einer Zufallsvariablen hat folgende Form:

Erstellen Sie zum Beispiel ein Verteilungsgesetz von 7 erratenen Zahlen aus 49. In diesem Beispiel wurden die Gesamtzahlen N = 49, n = 7 Zahlen entfernt, M - die Gesamtzahlen, die eine bestimmte Eigenschaft haben, d.h. richtig geratene Zahlen, m ist die Anzahl der richtig geratenen Zahlen unter den gezogenen.

Die Tabelle zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl m=1 zu erraten, höher ist als bei m=0. Dann beginnt die Wahrscheinlichkeit jedoch rapide zu sinken. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, 4 Zahlen zu erraten, bereits kleiner als 0,005, und 5 ist vernachlässigbar.

4. Poisson-Verteilungsgesetz.

Eine Zufallsvariable X hat eine Poisson-Verteilung, wenn ihr Verteilungsgesetz die Form hat:

Np = konst
n ist die Anzahl der gegen unendlich strebenden Versuche
p ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses, die gegen Null tendiert
m ist die Anzahl der Vorkommen von Ereignis A

Beispielsweise erhält ein Fernsehunternehmen im Durchschnitt etwa 100 Anrufe pro Tag. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fernseher der Marke A zu bestellen, beträgt 0,08; B - 0,06 und C - 0,04. Stellen Sie das Verteilungsgesetz für den Kauf von Fernsehgeräten der Marken A, B und C auf. Konstruieren Sie ein Polygon der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Aus der Bedingung haben wir: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)

(Tabelle ist nicht vollständig)

Wenn n groß genug ist und gegen unendlich strebt und p gegen null strebt, so dass das Produkt np gegen eine konstante Zahl strebt, dann ist dieses Gesetz eine Annäherung an das Binomialverteilungsgesetz. Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass die Kurve umso näher an der m-Achse liegt, je größer die Wahrscheinlichkeit p ist, d.h. sanfter. (Abb.4)

Es sei darauf hingewiesen, dass die Gesetze der binomialen, geometrischen, hypergeometrischen und Poisson-Verteilung die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen ausdrücken.

5. Gesetz über die einheitliche Verteilung.

Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte (x) in einem bestimmten Intervall ein konstanter Wert ist, dann heißt das Verteilungsgesetz gleichmäßig. Abbildung 5 zeigt die Graphen der Wahrscund der Wahrscheinlichkeitsdichte des Gleichverteilungsgesetzes.

6. Normalverteilungsgesetz (Gaußsches Gesetz).

Unter den Verteilungsgesetzen kontinuierlicher Zufallsvariablen ist das Normalverteilungsgesetz das gebräuchlichste. Eine Zufallsvariable ist nach dem Normalverteilungsgesetz verteilt, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat:

wo
a ist die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen
? - Standardabweichung

Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen mit Normalverteilungsgesetz ist symmetrisch zur Geraden x=a, d.h. x ist gleich dem mathematischen Erwartungswert. Wenn also x = a, dann hat die Kurve ein Maximum gleich:

Wenn sich der Wert der mathematischen Erwartung ändert, verschiebt sich die Kurve entlang der Ox-Achse. Die Grafik (Abb. 6) zeigt, dass die Kurve bei x=3 ein Maximum hat, weil der mathematische Erwartungswert ist 3. Wenn der mathematische Erwartungswert einen anderen Wert annimmt, beispielsweise a=6, dann hat die Kurve ein Maximum bei x=6. Apropos Standardabweichung, wie Sie der Grafik entnehmen können, je größer die Standardabweichung, desto kleiner der Maximalwert der Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen.

Eine Funktion, die die Verteilung einer Zufallsvariablen im Intervall (-?, x) ausdrückt und ein Normalverteilungsgesetz hat, wird durch die Laplace-Funktion gemäß der folgenden Formel ausgedrückt:

Diese. Die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariablen X besteht aus zwei Teilen: der Wahrscheinlichkeit, bei der x Werte von minus unendlich bis a annimmt, gleich 0,5, und der zweite Teil von a bis x. (Abb.7)

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Lektion: Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen ist die Entsprechung zwischen möglichen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten. Sie kann tabellarisch, grafisch und analytisch angegeben werden.

Was eine Zufallsvariable ist, wird in dieser Lektion besprochen.

Bei der tabellarischen Einstellung enthält die erste Zeile der Tabelle mögliche Werte und die zweite deren Wahrscheinlichkeiten, also

Diese Menge wird als Verteilungsreihe bezeichnet. diskrete Zufallsvariable.

X=x1, X=x2, X=xn bilden eine vollständige Gruppe, da die Zufallsvariable in einem Versuch nur einen möglichen Wert annehmen wird. Daher ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins, dh p1 + p2 + pn = 1 oder

Wenn die Wertemenge von X unendlich ist, dann Beispiel 1. Es werden 100 Lose in einer Barlotterie ausgegeben. Es werden ein Gewinn von 1000 Rubel und 10 von 100 Rubel gespielt. Finden Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X - die Kosten eines möglichen Gewinns für den Besitzer eines Lottoscheins.

Das gewünschte Verteilungsgesetz hat die Form:

Kontrolle; 0,01+0,1+0,89=1.
Bei einer grafischen Methode zum Festlegen des Verteilungsgesetzes werden Punkte auf der Koordinatenebene (Xi: Pi) aufgebaut und dann durch gerade Liniensegmente verbunden. Die resultierende unterbrochene Linie wird aufgerufen Verteilungspolygon. Für Beispiel 1 wird das Verteilungspolygon in Abbildung 1 gezeigt.

Bei der analytischen Methode zur Festlegung des Verteilungsgesetzes wird eine Formel angegeben, die die Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen mit ihren möglichen Werten in Beziehung setzt.

Beispiele diskreter Verteilungen

Binomialverteilung

Es seien n Versuche gemacht, bei denen jeweils das Ereignis A mit konstanter Wahrscheinlichkeit p eintritt, also nicht mit konstanter Wahrscheinlichkeit eintritt q = 1- p. Betrachten Sie eine Zufallsvariable X- die Anzahl der Vorkommen von Ereignis A in diesen n Versuchen. Die möglichen Werte von X sind x1 = 0 , x2 = 1,…, xn+1 = n . Die Wahrscheinlichkeit dieser möglich

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen heißt Windows XP Word 2003 Excel 2003 Die Verteilungsgesetze diskreter Zufallsvariablen Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen ist jede Beziehung, die eine Beziehung zwischen den möglichen Werten einer Zufallszahl herstellt variabel und […]

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Rechtsgrundlage der Russischen Föderation Kostenlose Konsultation Bundesgesetzgebung …]

Organisation OJSC "NEFTEL" Adresse: G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 Juristische Adresse: 443020, G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 OKFS: 42 - Gemischtes russisches Eigentum mit einem Anteil am Eigentum der konstituierenden Einheiten des Russischen Föderation OKOGU: 4210014 - Organisationen, die von juristischen Personen oder Bürgern oder juristischen Personen gegründet wurden und […]

Wie bekannt, zufällige Variable wird eine Variable genannt, die je nach Fall bestimmte Werte annehmen kann. Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets (X, Y, Z) und ihre Werte mit den entsprechenden Kleinbuchstaben (x, y, z) bezeichnet. Zufallsvariablen werden in diskontinuierliche (diskrete) und kontinuierliche unterteilt.

Diskrete Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, die nur eine endliche oder unendliche (zählbare) Menge von Werten mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten ungleich Null annimmt.

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen ist eine Funktion, die die Werte einer Zufallsvariablen mit ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten verbindet. Das Verteilungsgesetz kann auf eine der folgenden Arten spezifiziert werden.

1 . Das Verteilungsgesetz kann durch die Tabelle angegeben werden:

wobei λ>0, k = 0, 1, 2, … .

in) mit Hilfe Verteilungsfunktion F(x) , die für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner als x annimmt, also F(x) = P(X< x).

Eigenschaften der Funktion F(x)

3 . Das Verteilungsgesetz kann grafisch eingestellt werden – Verteilungspolygon (Polygon) (siehe Aufgabe 3).

Beachten Sie, dass es zur Lösung einiger Probleme nicht erforderlich ist, das Verteilungsgesetz zu kennen. In einigen Fällen reicht es aus, eine oder mehrere Zahlen zu kennen, die die wichtigsten Merkmale des Vertriebsrechts widerspiegeln. Es kann eine Zahl sein, die den „Durchschnittswert“ einer Zufallsvariablen bedeutet, oder eine Zahl, die die durchschnittliche Größe der Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Durchschnittswert angibt. Zahlen dieser Art nennt man numerische Merkmale einer Zufallsvariablen.

Grundlegende numerische Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen :

• Mathematische Erwartung (Mittelwert) einer diskreten Zufallsvariablen M(X)=Σ x ich p ich.
  Für Binomialverteilung M(X)=np, für Poisson-Verteilung M(X)=λ
• Streuung diskrete Zufallsvariable D(X)=M2 oder D(X) = M(X 2) − 2. Die Differenz X–M(X) wird als Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert bezeichnet.
  Für Binomialverteilung D(X)=npq, für Poisson-Verteilung D(X)=λ
• Standardabweichung (Standardabweichung) σ(X)=√D(X).

Beispiele für die Lösung von Problemen zum Thema "Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen"

Aufgabe 1.

1000 Lottoscheine wurden ausgegeben: 5 von ihnen gewinnen 500 Rubel, 10 - 100 Rubel, 20 - 50 Rubel, 50 - 10 Rubel. Bestimmen Sie das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X - Gewinne pro Ticket.

Lösung. Je nach Problemstellung sind folgende Werte der Zufallsvariablen X möglich: 0, 10, 50, 100 und 500.

Die Anzahl der Tickets ohne Gewinn beträgt 1000 - (5+10+20+50) = 915, dann P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Ebenso finden wir alle anderen Wahrscheinlichkeiten: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Wir stellen das resultierende Gesetz in Form einer Tabelle dar:

Finden Sie den mathematischen Erwartungswert von X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Aufgabe 3.

Das Gerät besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements in einem Experiment beträgt 0,1. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der fehlerhaften Elemente in einem Experiment, bauen Sie ein Verteilungspolygon. Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x) und zeichnen Sie sie. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen.

Lösung. 1. Die diskrete Zufallsvariable X=(Anzahl der ausgefallenen Elemente in einem Experiment) hat die folgenden möglichen Werte: x 1 =0 (keines der Elemente des Geräts ist ausgefallen), x 2 =1 (ein Element ist ausgefallen), x 3 =2 ( zwei Elemente fehlgeschlagen ) und x 4 \u003d 3 (drei Elemente fehlgeschlagen).

Ausfälle von Elementen sind unabhängig voneinander, die Ausfallwahrscheinlichkeiten jedes Elements sind gleich, daher ist es anwendbar Formel von Bernoulli . Unter der Bedingung n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten der Werte:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Überprüfe: ∑pi = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Somit hat das gewünschte Binomialverteilungsgesetz X die Form:

Auf der Abszissenachse tragen wir die möglichen Werte x i und auf der Ordinatenachse die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p i auf. Konstruieren wir die Punkte M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Wenn wir diese Punkte mit Liniensegmenten verbinden, erhalten wir das gewünschte Verteilungspolygon.

3. Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x) = P(X).

Für x ≤ 0 gilt F(x) = P(X<0) = 0;
für 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
für 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
für 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
für x > 3 ist es F(x) = 1, weil das Ereignis ist sicher.

Graph der Funktion F(x)

4. Für die Binomialverteilung X:
- mathematischer Erwartungswert М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- Streuung D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- Standardabweichung σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.