Ein Dreieck (aus der Sicht des Euklidischen Raums) ist eine solche geometrische Figur, die aus drei Segmenten besteht, die drei Punkte verbinden, die nicht auf einer Geraden liegen. Die drei Punkte, die ein Dreieck bilden, werden Eckpunkte genannt, und die Liniensegmente, die die Eckpunkte verbinden, werden Seiten des Dreiecks genannt. Was sind Dreiecke?

Gleiche Dreiecke

Es gibt drei Zeichen für die Gleichheit von Dreiecken. Welche Dreiecke heißen gleich? Das sind diejenigen, die:

• zwei Seiten und der Winkel zwischen diesen Seiten sind gleich;
• eine Seite und zwei angrenzende Winkel sind gleich;
• alle drei Seiten sind gleich.

Rechtwinklige Dreiecke haben folgende Gleichheitszeichen:

• entlang eines spitzen Winkels und einer Hypotenuse;
• entlang eines spitzen Winkels und Beins;
• auf zwei Beinen;
• entlang der Hypotenuse und der Kathete.

Was sind Dreiecke?

Entsprechend der Anzahl gleicher Seiten kann ein Dreieck sein:

• Gleichseitig. Es ist ein Dreieck mit drei gleichen Seiten. Alle Winkel in einem gleichseitigen Dreieck betragen 60 Grad. Außerdem fallen die Mittelpunkte des umschriebenen und des eingeschriebenen Kreises zusammen.
• Einseitig. Ein Dreieck ohne gleiche Seiten.
• Gleichschenklige. Es ist ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten. Zwei identische Seiten sind die Seiten und die dritte Seite ist die Basis. In einem solchen Dreieck fallen Winkelhalbierende, Mittelwert und Höhe zusammen, wenn sie auf die Basis abgesenkt werden.

Je nach Größe der Winkel kann ein Dreieck sein:

1. Stumpf – wenn einer der Winkel einen Wert von mehr als 90 Grad hat, also stumpf ist.
2. Spitzwinklig – wenn alle drei Winkel im Dreieck spitz sind, also einen Wert von weniger als 90 Grad haben.
3. Welches Dreieck heißt rechtwinkliges Dreieck? Dies ist einer, dessen rechter Winkel 90 Grad entspricht. Die darin enthaltenen Schenkel werden als die beiden Seiten bezeichnet, die diesen Winkel bilden, und die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.

Grundlegende Eigenschaften von Dreiecken

1. Ein kleinerer Winkel liegt immer der kleineren Seite gegenüber und ein größerer Winkel liegt immer der größeren Seite gegenüber.
2. Gleichen Winkeln liegen immer gleiche Seiten gegenüber, und gegenüberliegenden Seiten liegen immer unterschiedliche Winkel gegenüber. Insbesondere haben in einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel den gleichen Wert.
3. In jedem Dreieck beträgt die Winkelsumme 180 Grad.
4. Einen Außenwinkel erhält man, indem man eine seiner Seiten zu einem Dreieck verlängert. Der Wert des Außenwinkels ist gleich der Summe der Innenwinkel, die nicht an ihn angrenzen.
5. Die Seite eines Dreiecks ist größer als die Differenz seiner beiden anderen Seiten, aber kleiner als deren Summe.

In der Raumgeometrie Lobatschewskis beträgt die Winkelsumme eines Dreiecks immer weniger als 180 Grad. Auf einer Kugel ist dieser Wert größer als 180 Grad. Der Unterschied zwischen 180 Grad und der Summe der Winkel eines Dreiecks wird als Defekt bezeichnet.

Ein Dreieck, bei dem nicht alle Seiten gleich lang sind, heißt vielseitig.

Ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten wird als bezeichnet gleichschenklig. Es werden die gleichen Seiten aufgerufen seitlich, der Dritte Basis. Die folgende Definition wäre gleichermaßen wahr Basen eines Dreiecks ist die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks, die nicht gleich den beiden anderen Seiten ist.

IN gleichschenkligen Dreiecks Basiswinkel sind gleich. Höhe, Median, Winkelhalbierende gleichschenklige Dreiecke, die zu ihrer Basis hingezogen sind, werden kombiniert.

Dreieck, wobei alle Seiten gleich sind, wird bezeichnet als gleichseitig oder richtig. In einem gleichseitigen Dreieck betragen alle Winkel 60° und die Mittelpunkte des eingeschriebenen und umschriebenen Kreises werden zusammengefasst.

Arten von Dreiecken abhängig von den Parametern der Winkel.

Ein Dreieck, in dem nur Winkel kleiner als 90 0 (spitz) genannt werden spitzwinklig.

Ein Dreieck, in dem ein Winkel von 90 0 dargestellt wird, heißt rechteckig. Gewöhnlich werden die Seiten eines Dreiecks bezeichnet, die einen rechten Winkel bilden Beine, und die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite - Hypotenuse.

Die Wissenschaft der Geometrie sagt uns, was ein Dreieck, ein Quadrat oder ein Würfel ist. In der modernen Welt wird es ausnahmslos von allen in den Schulen gelernt. Eine Wissenschaft, die direkt untersucht, was ein Dreieck ist und welche Eigenschaften es hat, ist die Trigonometrie. Sie untersucht im Detail alle mit Daten verbundenen Phänomene. Wir werden in unserem Artikel darüber sprechen, was ein Dreieck heute ist. Ihre Typen werden im Folgenden beschrieben, ebenso wie einige damit verbundene Theoreme.

Was ist ein Dreieck? Definition

Dies ist ein flaches Polygon. Es hat drei Ecken, was aus dem Namen hervorgeht. Es hat außerdem drei Seiten und drei Scheitelpunkte, von denen der erste Segmente und der zweite Punkte sind. Wenn Sie wissen, was zwei Winkel sind, können Sie den dritten ermitteln, indem Sie die Summe der ersten beiden von der Zahl 180 subtrahieren.

Was sind Dreiecke?

Sie können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden.

Zunächst werden sie in spitzwinklig, stumpfwinklig und rechteckig unterteilt. Die ersten haben spitze Winkel, also solche, die weniger als 90 Grad betragen. Bei stumpfen Winkeln ist einer der Winkel stumpf, also einer, der mehr als 90 Grad beträgt, die anderen beiden sind spitz. Zu den spitzen Dreiecken zählen auch gleichseitige Dreiecke. Bei solchen Dreiecken sind alle Seiten und Winkel gleich. Sie sind alle gleich 60 Grad. Dies lässt sich leicht berechnen, indem man die Summe aller Winkel (180) durch drei teilt.

Rechtwinkliges Dreieck

Es ist unmöglich, nicht darüber zu sprechen, was ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Eine solche Figur hat einen Winkel von 90 Grad (gerade), das heißt, zwei ihrer Seiten stehen senkrecht. Die anderen beiden Winkel sind spitz. Sie können gleich sein, dann wird es gleichschenklig sein. Der Satz des Pythagoras bezieht sich auf das rechtwinklige Dreieck. Mit seiner Hilfe können Sie die dritte Seite finden, indem Sie die ersten beiden kennen. Nach diesem Satz erhält man das Quadrat der Hypotenuse, wenn man das Quadrat eines Beins zum Quadrat des anderen hinzufügt. Das Quadrat des Beins kann berechnet werden, indem man das Quadrat des bekannten Beins vom Quadrat der Hypotenuse subtrahiert. Wenn wir darüber sprechen, was ein Dreieck ist, können wir uns an die gleichschenkligen Elemente erinnern. Dabei sind zwei der Seiten gleich und zwei der Winkel sind ebenfalls gleich.

Was ist Bein und Hypotenuse?

Das Bein ist eine der Seiten eines Dreiecks, die einen Winkel von 90 Grad bilden. Die Hypotenuse ist die verbleibende Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Von dort aus kann eine Senkrechte auf das Bein abgesenkt werden. Das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse wird Kosinus genannt, das Gegenteil heißt Sinus.

- Was sind seine Merkmale?

Es ist rechteckig. Seine Beine sind drei und vier und die Hypotenuse ist fünf. Wenn Sie gesehen haben, dass die Schenkel dieses Dreiecks gleich drei und vier sind, können Sie sicher sein, dass die Hypotenuse gleich fünf ist. Nach diesem Prinzip kann auch leicht bestimmt werden, dass das Bein gleich drei ist, wenn das zweite gleich vier und die Hypotenuse gleich fünf ist. Um diese Aussage zu beweisen, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden. Wenn zwei Beine 3 und 4 sind, dann ist 9 + 16 \u003d 25, die Wurzel von 25 ist 5, das heißt, die Hypotenuse ist 5. Das ägyptische Dreieck wird auch rechtwinkliges Dreieck genannt, dessen Seiten 6, 8 und 10 sind ; 9, 12 und 15 und andere Zahlen im Verhältnis 3:4:5.

Was könnte ein Dreieck sonst noch sein?

Dreiecke können auch ein- und umschrieben werden. Die Figur, um die der Kreis beschrieben wird, heißt eingeschrieben, alle seine Eckpunkte sind Punkte, die auf dem Kreis liegen. Ein umschriebenes Dreieck ist ein Dreieck, in das ein Kreis eingeschrieben ist. Alle seine Seiten stehen an bestimmten Stellen mit ihm in Kontakt.

Wie ist

Die Fläche jeder Figur wird in Quadrateinheiten (Quadratmeter, Quadratmillimeter, Quadratzentimeter, Quadratdezimeter usw.) gemessen. Dieser Wert kann je nach Dreieckstyp auf unterschiedliche Weise berechnet werden. Die Fläche einer beliebigen Figur mit Winkeln kann ermittelt werden, indem man ihre Seite mit der Senkrechten multipliziert, die aus dem entgegengesetzten Winkel auf sie fällt, und diese Figur durch zwei dividiert. Sie können diesen Wert auch ermitteln, indem Sie die beiden Seiten multiplizieren. Dann multiplizieren Sie diese Zahl mit dem Sinus des Winkels zwischen diesen Seiten und dividieren Sie diesen durch zwei. Wenn Sie alle Seiten eines Dreiecks kennen, aber seine Winkel nicht kennen, können Sie die Fläche auf andere Weise ermitteln. Dazu müssen Sie den halben Umfang finden. Dann subtrahieren Sie abwechselnd verschiedene Seiten von dieser Zahl und multiplizieren Sie die vier erhaltenen Werte. Als nächstes finden Sie die herausgegebene Nummer heraus. Die Fläche eines eingeschriebenen Dreiecks kann ermittelt werden, indem man alle Seiten multipliziert und die resultierende Zahl durch vier dividiert, die es umschreibt.

Die Fläche des beschriebenen Dreiecks ermitteln wir auf diese Weise: Wir multiplizieren den halben Umfang mit dem Radius des darin eingeschriebenen Kreises. Wenn dann seine Fläche wie folgt ermittelt werden kann: Wir quadrieren die Seite, multiplizieren die resultierende Zahl mit der Wurzel aus drei und dividieren diese Zahl dann durch vier. Auf ähnliche Weise können Sie die Höhe eines Dreiecks berechnen, bei dem alle Seiten gleich sind. Dazu müssen Sie eine davon mit der Wurzel aus drei multiplizieren und diese Zahl dann durch zwei dividieren.

Dreieckssätze

Die wichtigsten Sätze, die mit dieser Figur verbunden sind, sind der oben beschriebene Satz des Pythagoras und der Kosinus. Der zweite Punkt (Sinus) besteht darin, dass man, wenn man eine Seite durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels dividiert, den Radius des Kreises erhält, der um sie herum beschrieben wird, multipliziert mit zwei. Der dritte (Kosinus) besteht darin, dass man das Quadrat der dritten Seite erhält, wenn man die Summe der Quadrate der beiden Seiten von ihrem Produkt subtrahiert, mit zwei multipliziert und mit dem Kosinus des zwischen ihnen liegenden Winkels.

Dali-Dreieck – was ist das?

Viele, die mit diesem Konzept konfrontiert werden, denken zunächst, dass es sich um eine Art Definition in der Geometrie handelt, aber das ist überhaupt nicht der Fall. Das Dali-Dreieck ist der gebräuchliche Name für drei Orte, die eng mit dem Leben des berühmten Künstlers verbunden sind. Seine „Spitzen“ sind das Haus, in dem Salvador Dali lebte, das Schloss, das er seiner Frau schenkte, und das Museum für surrealistische Gemälde. Bei einem Rundgang durch diese Orte erfahren Sie viel Wissenswertes über diesen originellen, weltberühmten Künstler.