Die Normalverteilung ist die häufigste Verteilungsart. Es findet sich bei der Analyse von Messfehlern, der Steuerung technologischer Prozesse und Regime sowie bei der Analyse und Vorhersage verschiedener Phänomene in der Biologie, Medizin und anderen Wissensgebieten.

Der Begriff „Normalverteilung“ wird in einem bedingten Sinne verwendet, wie es in der Literatur allgemein akzeptiert wird, wenn auch nicht ganz erfolgreich. Die Behauptung, dass ein bestimmtes Attribut dem Normalverteilungsgesetz gehorcht, bedeutet also keineswegs die Existenz unerschütterlicher Normen, die angeblich dem Phänomen zugrunde liegen, dessen Widerspiegelung das betreffende Attribut ist, und die Unterwerfung unter andere Verteilungsgesetze bedeutet nicht eine Art Abnormalität dieses Phänomens.

Das Hauptmerkmal der Normalverteilung besteht darin, dass sie den Grenzwert darstellt, an den sich andere Verteilungen annähern. Die Normalverteilung wurde erstmals 1733 von Moivre entdeckt. Nur kontinuierliche Zufallsvariablen gehorchen dem Normalgesetz. Die Dichte des Normalverteilungsgesetzes hat die Form.

Der mathematische Erwartungswert für das Normalverteilungsgesetz ist . Die Streuung beträgt .

Grundlegende Eigenschaften der Normalverteilung.

1. Die Verteilungsdichtefunktion wird auf der gesamten reellen Achse definiert Oh , also jeder Wert X entspricht einem genau definierten Wert der Funktion.

2. Für alle Werte X (sowohl positiv als auch negativ) Die Dichtefunktion nimmt positive Werte an, d. h. die Normalkurve liegt über der Achse Oh .

3. Grenze der Dichtefunktion mit unbegrenztem Anstieg X gleich Null, .

4. Die Dichtefunktion der Normalverteilung an dem Punkt hat ein Maximum.

5. Der Graph der Dichtefunktion ist symmetrisch zu einer Geraden.

6. Die Verteilungskurve hat zwei Wendepunkte mit den Koordinaten und.

7. Der Modus und der Median der Normalverteilung stimmen mit der mathematischen Erwartung überein A .

8. Die Form der Normalkurve ändert sich nicht, wenn der Parameter geändert wird A .

9. Die Schiefe- und Kurtosis-Koeffizienten der Normalverteilung sind gleich Null.

Die Bedeutung der Berechnung dieser Koeffizienten für empirische Verteilungsreihen liegt auf der Hand, da sie die Schiefe und Steilheit der gegebenen Reihe im Vergleich zur Normalverteilung charakterisieren.

Die Wahrscheinlichkeit, in das Intervall zu fallen, wird durch die Formel ermittelt, wobei es sich um eine ungerade tabellarische Funktion handelt.

Bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable um einen Wert kleiner als von ihrer mathematischen Erwartung abweicht, d. h. wir ermitteln die Wahrscheinlichkeit der Ungleichheit oder die Wahrscheinlichkeit der doppelten Ungleichheit. Wenn wir es in die Formel einsetzen, erhalten wir

Die Abweichung einer Zufallsvariablen ausdrücken X in Bruchteilen der Standardabweichung, also unter Einbeziehung der letzten Gleichung, erhalten wir .

Dann erhalten wir

wenn wir bekommen ,

wenn wir empfangen.

Aus der letzten Ungleichung folgt, dass praktisch die Streuung einer normalverteilten Zufallsvariablen im Abschnitt liegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable nicht in diesen Bereich fällt, ist sehr gering, nämlich 0,0027, d. h. dieses Ereignis kann nur in drei von 1000 Fällen eintreten. Solche Ereignisse können als nahezu unmöglich angesehen werden. Basierend auf der obigen Überlegung, Drei-Sigma-Regel, die wie folgt formuliert ist: Wenn eine Zufallsvariable normalverteilt ist, darf die Abweichung dieses Werts vom mathematischen Erwartungswert in absoluten Werten das Dreifache der Standardabweichung nicht überschreiten.

Beispiel 28 . Ein von einer automatischen Maschine hergestelltes Teil gilt als geeignet, wenn die Abweichung seiner kontrollierten Größe von der Konstruktionsgröße 10 mm nicht überschreitet. Zufällige Abweichungen der kontrollierten Größe von der Designgröße unterliegen dem Normalverteilungsgesetz mit Standardabweichung mm und mathematischem Erwartungswert. Wie viel Prozent der Gutteile produziert die Maschine?

Lösung. Betrachten Sie eine Zufallsvariable X - Abweichung der Größe vom Design. Der Teil wird als passend erkannt, wenn die Zufallsvariable zum Intervall gehört. Die Wahrscheinlichkeit, ein passendes Teil herzustellen, ergibt sich aus der Formel. Daher liegt der Anteil der von der Maschine produzierten Gutteile bei 95,44 %.

Binomialverteilung

Binomial ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Auftretens M Anzahl der Veranstaltungen in P unabhängige Tests, bei denen die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses jeweils konstant und gleich ist R . Die Wahrscheinlichkeit der möglichen Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses wird nach der Bernoulli-Formel berechnet: ,

Wo . Dauerhaft P Und R In diesem Ausdruck sind die Parameter des Binomialgesetzes enthalten. Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen.

Grundlegende numerische Eigenschaften der Binomialverteilung. Der mathematische Erwartungswert ist. Die Streuung beträgt . Die Schiefe- und Kurtosis-Koeffizienten sind gleich und. Mit einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl der Versuche A Und E gegen Null tendieren, daher können wir davon ausgehen, dass die Binomialverteilung mit zunehmender Anzahl von Versuchen zur Normalverteilung konvergiert.

Beispiel 29 . Unabhängige Tests werden mit der gleichen Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses durchgeführt A in jedem Test. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A in einem Versuch, wenn die Varianz in der Anzahl der Auftritte über drei Versuche hinweg 0,63 beträgt.

Lösung. Für die Binomialverteilung. Ersetzen Sie die Werte, die wir von hier oder dann erhalten, und .

Poisson-Verteilung

Gesetz der Verbreitung seltener Phänomene

Die Poisson-Verteilung beschreibt die Anzahl der Ereignisse M , die in gleichen Zeitabständen auftreten, vorausgesetzt, dass die Ereignisse unabhängig voneinander mit konstanter durchschnittlicher Intensität auftreten. Gleichzeitig steigt die Zahl der Versuche P ist groß und die Wahrscheinlichkeit, dass in jedem Versuch ein Ereignis auftritt R klein. Daher wird die Poisson-Verteilung als Gesetz seltener Phänomene oder einfachster Fluss bezeichnet. Der Parameter der Poisson-Verteilung ist der Wert, der die Intensität des Auftretens von Ereignissen charakterisiert P Tests. Poisson-Verteilungsformel.

Die Poisson-Verteilung beschreibt gut die Anzahl der Ansprüche auf Zahlung von Versicherungssummen pro Jahr, die Anzahl der in einer bestimmten Zeit bei der Telefonzentrale eingegangenen Anrufe, die Anzahl der Elementausfälle bei Zuverlässigkeitstests, die Anzahl fehlerhafter Produkte usw .

Grundlegende numerische Eigenschaften für die Poisson-Verteilung. Der mathematische Erwartungswert ist gleich der Varianz und ist gleich A . Also . Dies ist ein charakteristisches Merkmal dieser Distribution. Die Schiefe- und Kurtosis-Koeffizienten sind jeweils gleich.

Beispiel 30 . Die durchschnittliche Zahl der Auszahlungen der Versicherungssumme pro Tag beträgt zwei. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie in fünf Tagen Folgendes zahlen müssen: 1) 6 Versicherungssummen; 2) weniger als sechs Beträge; 3) nicht weniger als sechs.Verteilung.

Diese Verteilung wird häufig beobachtet, wenn die Lebensdauer verschiedener Geräte, die Betriebszeit einzelner Elemente, Teile des Systems und des Systems als Ganzes untersucht werden, wenn zufällige Zeitintervalle zwischen dem Auftreten zweier aufeinanderfolgender seltener Ereignisse berücksichtigt werden.

Die Dichte der Exponentialverteilung wird durch den Parameter bestimmt, der aufgerufen wird Fehlerrate. Dieser Begriff ist mit einem bestimmten Anwendungsgebiet verbunden – der Zuverlässigkeitstheorie.

Der Ausdruck für die Integralfunktion der Exponentialverteilung kann mithilfe der Eigenschaften der Differentialfunktion gefunden werden:

Mathematischer Erwartungswert der Exponentialverteilung, Varianz, Standardabweichung. Daher ist es für diese Verteilung typisch, dass die Standardabweichung numerisch dem mathematischen Erwartungswert entspricht. Für jeden Wert des Parameters sind die Schiefe- und Kurtosis-Koeffizienten konstante Werte.

Beispiel 31 . Die durchschnittliche Betriebszeit des Fernsehers vor dem ersten Ausfall beträgt 500 Stunden. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Fernsehgerät mehr als 1000 Stunden störungsfrei läuft.

Lösung. Da die durchschnittliche Zeit bis zum ersten Ausfall 500 beträgt, dann . Wir finden die gewünschte Wahrscheinlichkeit anhand der Formel.

Bei vielen Problemen im Zusammenhang mit normalverteilten Zufallsvariablen muss die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine Zufallsvariable, die dem Normalgesetz mit Parametern folgt, in das Intervall von bis fällt. Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, verwenden wir die allgemeine Formel

Wo ist die Verteilungsfunktion der Menge?

Finden wir die Verteilungsfunktion einer nach dem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen mit Parametern. Die Verteilungsdichte des Wertes beträgt:

. (6.3.2)

Von hier aus finden wir die Verteilungsfunktion

. (6.3.3)

Nehmen wir die Änderung der Variablen im Integral (6.3.3) vor.

und bringen Sie es in die Form:

(6.3.4)

Das Integral (6.3.4) wird nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt, sondern kann durch eine spezielle Funktion berechnet werden, die ein bestimmtes Integral des Ausdrucks ausdrückt oder (das sogenannte Wahrscheinlichkeitsintegral), für das Tabellen erstellt werden . Es gibt viele Varianten solcher Funktionen, zum Beispiel:

;

usw. Welche dieser Funktionen man nutzt, ist Geschmackssache. Wir werden eine solche Funktion wählen

. (6.3.5)

Es ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion nichts anderes als die Verteilungsfunktion für eine normalverteilte Zufallsvariable mit Parametern ist.

Wir vereinbaren, die Funktion als Normalverteilungsfunktion zu bezeichnen. Der Anhang (Tabelle 1) zeigt Tabellen mit Funktionswerten.

Lassen Sie uns die Verteilungsfunktion (6.3.3) der Größe mit Parametern und durch die Normalverteilungsfunktion ausdrücken. Offensichtlich,

. (6.3.6)

Lassen Sie uns nun die Wahrscheinlichkeit ermitteln, eine Zufallsvariable im Segment von bis zu treffen. Nach Formel (6.3.1)

Somit haben wir die Wahrscheinlichkeit ausgedrückt, dass eine Zufallsvariable, die nach dem Normalgesetz mit beliebigen Parametern verteilt ist, in Bezug auf die Standardverteilungsfunktion, die dem einfachsten Normalgesetz mit den Parametern 0,1 entspricht, auf das Diagramm fällt. Beachten Sie, dass die Funktionsargumente in Formel (6.3.7) eine sehr einfache Bedeutung haben: Es gibt einen Abstand vom rechten Ende des Abschnitts zum Zentrum der Streuung, ausgedrückt in Standardabweichungen; - der gleiche Abstand für das linke Ende des Abschnitts. Dieser Abstand gilt als positiv, wenn sich das Ende rechts vom Dispersionszentrum befindet, und als negativ, wenn es links liegt.

Wie jede Verteilungsfunktion hat die Funktion die folgenden Eigenschaften:

3. - nicht abnehmende Funktion.

Darüber hinaus folgt aus der Symmetrie der Normalverteilung mit Parametern über den Ursprung Folgendes

Mit dieser Eigenschaft wäre es zwar möglich, die Funktionstabellen nur auf positive Werte des Arguments zu beschränken, aber um eine unnötige Operation (Subtraktion von eins) zu vermeiden, liefert Tabelle 1 des Anhangs Werte für sowohl positive als auch negative Argumente.

In der Praxis stößt man häufig auf das Problem, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine normalverteilte Zufallsvariable in einen Bereich fällt, der symmetrisch zum Dispersionszentrum liegt. Betrachten Sie einen solchen Längenabschnitt (Abb. 6.3.1). Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, auf diese Seite zu stoßen, mit der Formel (6.3.7):

Unter Berücksichtigung der Eigenschaft (6.3.8) der Funktion und einer kompakteren Form der linken Seite der Formel (6.3.9) erhalten wir eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass eine nach dem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable hineinfällt ein zum Streuzentrum symmetrischer Abschnitt:

. (6.3.10)

Lassen Sie uns das folgende Problem lösen. Lassen Sie uns aufeinanderfolgende Längensegmente vom Streuzentrum aus beiseite legen (Abb. 6.3.2) und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in jedes dieser Segmente fällt. Da die Kurve des Normalgesetzes symmetrisch ist, reicht es aus, solche Segmente nur in eine Richtung zu verschieben.

Nach der Formel (6.3.7) finden wir:

(6.3.11)

Wie aus diesen Daten hervorgeht, sind die Wahrscheinlichkeiten, jedes der folgenden Segmente (fünftes, sechstes usw.) mit einer Genauigkeit von 0,001 zu treffen, gleich Null.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten, die Segmente zu treffen, auf 0,01 (bis zu 1 %) runden, erhalten wir drei leicht zu merkende Zahlen:

0,34; 0,14; 0,02.

Die Summe dieser drei Werte beträgt 0,5. Das bedeutet, dass für eine normalverteilte Zufallsvariable alle Streuungen (bis zu Bruchteilen eines Prozents) in den Abschnitt passen.

Dies ermöglicht es, bei Kenntnis der Standardabweichung und des mathematischen Erwartungswerts einer Zufallsvariablen ungefähr den Bereich ihrer praktisch möglichen Werte anzugeben. Diese Methode zur Schätzung des Bereichs möglicher Werte einer Zufallsvariablen ist in der mathematischen Statistik als „Drei-Sigma-Regel“ bekannt. Die Drei-Sigma-Regel impliziert auch eine Näherungsmethode zur Bestimmung der Standardabweichung einer Zufallsvariablen: Sie nehmen die maximal praktisch mögliche Abweichung vom Durchschnitt und dividieren sie durch drei. Diese grobe Methode kann natürlich nur dann empfohlen werden, wenn es keine anderen, genaueren Möglichkeiten zur Bestimmung gibt.

Beispiel 1. Eine nach dem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable ist ein Fehler bei der Messung einer bestimmten Entfernung. Bei der Messung ist ein systematischer Fehler in Richtung Überschätzung um 1,2 (m) zulässig; die Standardabweichung des Messfehlers beträgt 0,8 (m). Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung des gemessenen Werts vom wahren Wert im absoluten Wert 1,6 (m) nicht überschreitet.

Lösung. Der Messfehler ist eine Zufallsvariable, die dem Normalgesetz mit den Parametern und gehorcht. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass diese Größe auf das Intervall von bis fällt. Nach Formel (6.3.7) haben wir:

Mithilfe der Funktionstabellen (Anhang, Tabelle 1) finden wir:

; ,

Beispiel 2. Finden Sie die gleiche Wahrscheinlichkeit wie im vorherigen Beispiel, jedoch unter der Bedingung, dass kein systematischer Fehler vorliegt.

Lösung. Mit der Formel (6.3.10) finden wir unter der Annahme:

.

Beispiel 3. Auf ein Ziel, das wie ein Streifen (Autobahn) mit einer Breite von 20 m aussieht, wird in einer Richtung senkrecht zur Autobahn geschossen. Das Zielen erfolgt entlang der Mittellinie der Autobahn. Die Standardabweichung in der Schussrichtung beträgt m. Es liegt ein systematischer Fehler in der Schussrichtung vor: Die Unterschreitung beträgt 3 m. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss die Autobahn zu treffen.

(echt, streng positiv)

Normalverteilung, auch genannt Gaußsche Verteilung oder Gauß-Laplace- Wahrscheinlichkeitsverteilung, die im eindimensionalen Fall durch die Wgegeben ist, die mit der Gaußschen Funktion übereinstimmt:

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

wobei der Parameter μ der mathematische Erwartungswert (Mittelwert), der Median und der Modus der Verteilung ist und der Parameter σ die Standardabweichung ( σ  ² – Varianz) der Verteilung ist.

Somit ist die eindimensionale Normalverteilung eine Verteilungsfamilie mit zwei Parametern. Der multivariate Fall wird im Artikel „Multivariate Normalverteilung“ beschrieben.

Standardnormalverteilung wird als Normalverteilung mit Mittelwert μ = 0 und Standardabweichung σ = 1 bezeichnet.

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  Die Bedeutung der Normalverteilung in vielen Bereichen der Wissenschaft (zum Beispiel in der mathematischen Statistik und der statistischen Physik) ergibt sich aus dem zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wenn das Ergebnis einer Beobachtung die Summe vieler zufälliger, schwach voneinander abhängiger Variablen ist, von denen jede einen kleinen Beitrag zur Gesamtsumme leistet, tendiert die Verteilung des zentrierten und normalisierten Ergebnisses zur Normalverteilung, wenn die Anzahl der Terme zunimmt. Dieses Gesetz der Wahrscheinlichkeitstheorie hat zur Folge, dass die Normalverteilung weit verbreitet ist, was einer der Gründe für ihren Namen war.

  Eigenschaften

  Momente

  Wenn Zufallsvariablen X 1 (\displaystyle X_(1)) Und X 2 (\displaystyle X_(2)) sind unabhängig und haben eine Normalverteilung mit mathematischen Erwartungen μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Und μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) und Dispersionen σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Und σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) bzw. dann X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) hat auch eine Normalverteilung mit Erwartungswert μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) und Streuung σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Dies impliziert, dass eine normale Zufallsvariable als Summe einer beliebigen Anzahl unabhängiger normaler Zufallsvariablen dargestellt werden kann.

  Maximale Entropie

  Die Normalverteilung weist die maximale Differentialentropie aller kontinuierlichen Verteilungen auf, deren Varianz einen bestimmten Wert nicht überschreitet.

  Modellierung normaler Pseudozufallsvariablen

  Die einfachsten Näherungsmodellierungsmethoden basieren auf dem zentralen Grenzwertsatz. Wenn wir nämlich mehrere unabhängige, identisch verteilte Größen mit endlicher Varianz addieren, dann wird die Summe verteilt etwa Bußgeld. Wenn Sie beispielsweise 100 unabhängige Standards hinzufügen gleichmäßig Verteilte Zufallsvariablen, dann ist die Verteilung der Summe ungefähr normal.

  Für die Softwaregenerierung normalverteilter Pseudozufallsvariablen ist es vorzuziehen, die „Box“- Muller-Transformation zu verwenden. Es ermöglicht Ihnen, einen normalverteilten Wert basierend auf einem gleichmäßig verteilten Wert zu generieren.

  Normalverteilung in Art und Anwendungen

  Die Normalverteilung kommt in der Natur häufig vor. Beispielsweise werden die folgenden Zufallsvariablen durch die Normalverteilung gut modelliert:

  • Schussablenkung.
  • Messfehler (die Fehler einiger Messgeräte weisen jedoch keine Normalverteilung auf).
  • einige Merkmale lebender Organismen in einer Population.

  Diese Verteilung ist so weit verbreitet, weil es sich um eine unendlich teilbare kontinuierliche Verteilung mit endlicher Varianz handelt. Daher nähern sich einige andere ihm im Grenzfall an, wie zum Beispiel Binomial und Poisson. Viele nichtdeterministische physikalische Prozesse werden durch diese Verteilung modelliert.

  Beziehung zu anderen Distributionen

  • Die Normalverteilung ist eine Pearson-Verteilung vom Typ XI.
  • Das Verhältnis eines Paares unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen weist eine Cauchy-Verteilung auf. Das heißt, wenn die Zufallsvariable X (\displaystyle X) stellt die Beziehung dar X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Wo Y (\displaystyle Y) Und Z (\displaystyle Z) sind unabhängige Standardnormal-Zufallsvariablen), dann hat es eine Cauchy-Verteilung.
  • Wenn z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) sind gemeinsam unabhängige Standardnormal-Zufallsvariablen, d.h. z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), dann die Zufallsvariable x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) hat eine Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden.
  • Wenn die Zufallsvariable X (\displaystyle X) unterliegt einer Lognormalverteilung, dann ist sein natürlicher Logarithmus normalverteilt. Das heißt, wenn X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Das Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Und umgekehrt, wenn Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Das X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \Rechts)).
  • Das Verhältnis der Quadrate zweier standardmäßig normaler Zufallsvariablen hat

  In der Praxis gehorchen die meisten Zufallsvariablen, die von einer großen Anzahl von Zufallsfaktoren beeinflusst werden, dem Normalgesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Daher ist dieses Gesetz in verschiedenen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie von besonderer Bedeutung.

  Eine Zufallsvariable $X$ gehorcht dem Normalverteilungsgesetz, wenn ihre Wahrdie folgende Form hat

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

  Schematisch ist in der Abbildung der Graph der Funktion $f\left(x\right)$ dargestellt, der den Namen „Gaußsche Kurve“ trägt. Rechts neben dieser Grafik ist die deutsche 10-Mark-Banknote zu sehen, die bereits vor der Einführung des Euro im Umlauf war. Wenn man genau hinschaut, erkennt man auf dieser Banknote die Gaußsche Kurve und ihren Entdecker, den größten Mathematiker Carl Friedrich Gauß.

  Kehren wir zu unserer Dichtefunktion $f\left(x\right)$ zurück und erläutern wir die Verteilungsparameter $a,\ (\sigma )^2$. Der Parameter $a$ charakterisiert das Streuungszentrum der Werte der Zufallsvariablen, hat also die Bedeutung des mathematischen Erwartungswerts. Wenn sich der Parameter $a$ ändert und der Parameter $(\sigma )^2$ unverändert bleibt, können wir die Verschiebung des Graphen der Funktion $f\left(x\right)$ entlang der Abszissenachse beobachten, während die Dichte Der Graph selbst ändert seine Form nicht.

  

  Der Parameter $(\sigma )^2$ ist die Varianz und charakterisiert die Form der Dichtekurve $f\left(x\right)$. Wenn wir den Parameter $(\sigma )^2$ bei unverändertem Parameter $a$ ändern, können wir beobachten, wie der Dichtegraph seine Form ändert, schrumpft oder streckt, ohne sich entlang der Abszisse zu verschieben.

  

  Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine normalverteilte Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt

  Bekanntlich lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable $X$ in das Intervall $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ fällt, mit $P\left(\alpha berechnen< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  Hier ist die Funktion $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ Laplace-Funktion. Die Werte dieser Funktion stammen aus . Folgende Eigenschaften der Funktion $\Phi \left(x\right)$ können beachtet werden.

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, d. h. die Funktion $\Phi \left(x\right)$ ist ungerade.

  2 . $\Phi \left(x\right)$ ist eine monoton wachsende Funktion.

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \Phi \ links(x\rechts)\ )=-0,5$.

  Um die Werte der Funktion $\Phi \left(x\right)$ zu berechnen, können Sie auch den Funktionsassistenten $f_x$ des Excel-Pakets verwenden: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\right )-0,5$. Berechnen wir zum Beispiel die Werte der Funktion $\Phi \left(x\right)$ für $x=2$.

  

  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ in ein Intervall fällt, das symmetrisch zum Erwartungswert $a$ ist, kann mit der Formel berechnet werden

  $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  Drei-Sigma-Regel. Es ist praktisch sicher, dass eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ in das Intervall $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ fällt.

  Beispiel 1 . Die Zufallsvariable $X$ unterliegt dem normalen Wahrmit den Parametern $a=2,\ \sigma =3$. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ in das Intervall $\left(0,5;1\right)$ fällt, und die Wahrscheinlichkeit, dass die Ungleichung $\left|X-a\right|< 0,2$.

  Verwendung der Formel

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  finde $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ über (3))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \left(0.33\right) =0,191-0,129=0,062 $.

  $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  Beispiel 2 . Nehmen wir an, dass der Aktienkurs eines bestimmten Unternehmens im Laufe des Jahres eine nach dem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable mit einem mathematischen Erwartungswert von 50 konventionellen Geldeinheiten und einer Standardabweichung von 10 ist Tag des besprochenen Zeitraums beträgt der Preis für die Aktie:

  a) mehr als 70 konventionelle Währungseinheiten?

  b) unter 50 pro Aktie?

  c) zwischen 45 und 58 konventionelle Geldeinheiten pro Aktie?

  Die Zufallsvariable $X$ sei der Aktienkurs eines Unternehmens. Gemäß der Bedingung unterliegt $X$ einer Normalverteilung mit den Parametern $a=50$ – mathematischer Erwartungswert, $\sigma =10$ – Standardabweichung. Wahrscheinlichkeit $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ über (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

  $$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  Das Gesetz der Normalverteilung der Wahrscheinlichkeiten einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nimmt unter den verschiedenen theoretischen Gesetzen eine Sonderstellung ein, da es in vielen praktischen Studien das wichtigste ist. Er beschreibt die meisten Zufallsphänomene, die mit Produktionsprozessen verbunden sind.

  Zu den zufälligen Phänomenen, die dem Normalverteilungsgesetz gehorchen, gehören Messfehler von Produktionsparametern, die Verteilung technologischer Herstellungsfehler, die Höhe und das Gewicht der meisten biologischen Objekte usw.

  Normal nennen wir das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen, die durch eine Differentialfunktion beschrieben wird

  a – mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen;

  Die Standardabweichung der Normalverteilung.

  Der Graph der Differentialfunktion der Normalverteilung wird als Normalkurve (Gaußsche Kurve) bezeichnet (Abb. 7).

  

  Reis. 7 Gaußsche Kurve

  Eigenschaften einer Normalkurve (Gaußkurve):

  1. Die Kurve ist symmetrisch zur Geraden x = a;

  2. Die Normalkurve liegt über der X-Achse, d. h. für alle Werte von X ist die Funktion f(x) immer positiv;

  3. Die Ochsenachse ist die horizontale Asymptote des Diagramms, weil

  4. Für x = a hat die Funktion f(x) ein Maximum gleich

  ,

  an den Punkten A und B und die Kurve hat Wendepunkte, deren Ordinaten gleich sind.

  

  Gleichzeitig beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der absolute Wert der Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung die Standardabweichung nicht überschreitet, 0,6826.

  an den Punkten E und G ist für und der Wert der Funktion f(x) gleich

  

  und die Wahrscheinlichkeit, dass der absolute Wert der Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert das Doppelte der Standardabweichung nicht überschreitet, beträgt 0,9544.

  Bei asymptotischer Annäherung an die Abszissenachse kommt die Gaußsche Kurve an den Punkten C und D, bei und der Abszissenachse sehr nahe. An diesen Punkten ist der Wert der Funktion f(x) sehr klein

  

  und die Wahrscheinlichkeit, dass der absolute Wert der Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert das Dreifache der Standardabweichung nicht überschreitet, beträgt 0,9973. Diese Eigenschaft der Gaußschen Kurve heißt „ Drei-Sigma-Regel".

  
  
  

  Wenn eine Zufallsvariable normalverteilt ist, überschreitet der Absolutwert ihrer Abweichung vom mathematischen Erwartungswert nicht das Dreifache der Standardabweichung.

  Eine Änderung des Werts des Parameters a (der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen) ändert nicht die Form der Normalenkurve, sondern führt nur zu ihrer Verschiebung entlang der X-Achse: nach rechts, wenn a zunimmt, und nach links, wenn a nimmt ab.

  Wenn a=0, ist die Normalenkurve symmetrisch zur y-Achse.

  Durch Ändern des Werts des Parameters (Standardabweichung) ändert sich die Form der Normalkurve: Mit zunehmender Ordinatenabnahme der Normalkurve wird die Kurve entlang der X-Achse gestreckt und dagegen gedrückt. Beim Verringern steigen die Ordinaten der Normalkurve, die Kurve schrumpft entlang der X-Achse und wird „spitzer“.

  Gleichzeitig bleibt für alle Werte von und die durch die Normalenkurve und die X-Achse begrenzte Fläche gleich eins (d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable einen durch die Normalenkurve begrenzten Wert annimmt). die X-Achse ist gleich 1).

  Normalverteilung mit beliebigen Parametern und , d. h. beschrieben durch eine Differentialfunktion

  

  genannt allgemeine Normalverteilung.

  Die Normalverteilung mit Parametern und heißt normalisierte Verteilung(Abb. 8). In einer normalisierten Verteilung ist die Differentialverteilungsfunktion:

  

  Reis. 8 Normalisierte Kurve

  Die Integralfunktion der allgemeinen Normalverteilung hat die Form:

  Eine Zufallsvariable X sei nach dem Normalgesetz im Intervall (c, d) verteilt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen zum Intervall (c, d) gehörenden Wert annimmt, gleich

  

  Beispiel. Die Zufallsvariable X ist nach dem Normalgesetz verteilt. Der mathematische Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Zufallsvariablen betragen a=30 und . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert im Intervall (10, 50) annimmt.

  Nach Bedingung: . Dann

  Unter Verwendung vorgefertigter Laplace-Tabellen (siehe Anhang 3) haben wir.