Gleichmäßige Verteilung. kontinuierlicher Wert X ist gleichmäßig verteilt im Intervall ( A, B), wenn alle möglichen Werte in diesem Intervall liegen und die Wahrkonstant ist:

Für eine Zufallsvariable X, gleichmäßig verteilt im Intervall ( A, B) (Abb. 4), die Wahrscheinlichkeit, in ein beliebiges Intervall zu fallen ( X 1 , X 2 ) innerhalb des Intervalls liegen ( A, B), ist gleich:

(30)


Reis. 4. Diagramm der gleichmäßigen Verteilungsdichte

Rundungsfehler sind Beispiele für gleichmäßig verteilte Mengen. Wenn also alle Tabellenwerte einer bestimmten Funktion auf die gleiche Ziffer gerundet werden, gehen wir bei der zufälligen Auswahl eines Tabellenwerts davon aus, dass der Rundungsfehler der ausgewählten Zahl eine im Intervall gleichmäßig verteilte Zufallsvariable ist

Exponentialverteilung. Kontinuierliche Zufallsvariable X Es hat Exponentialverteilung

(31)

Der Graph der Wahr(31) ist in Abb. dargestellt. 5.

Reis. 5. Diagramm der Dichte der Exponentialverteilung

Zeit T Für den störungsfreien Betrieb eines Computersystems handelt es sich um eine Zufallsvariable, die eine Exponentialverteilung mit dem Parameter aufweist λ , dessen physikalische Bedeutung die durchschnittliche Anzahl von Ausfällen pro Zeiteinheit ist, ohne Systemausfallzeiten für Reparaturen.

Normale (Gaußsche) Verteilung. Zufälliger Wert X Es hat normal (Gaußsche) Verteilung, wenn die Dichteverteilung seiner Wahrscheinlichkeiten durch die Abhängigkeit bestimmt wird:

(32)

Wo M = M(X) , .

Bei die Normalverteilung heißt Standard.

Das Diagramm der Dichte der Normalverteilung (32) ist in Abb. dargestellt. 6.

Reis. 6. Diagramm der Dichte der Normalverteilung

Die Normalverteilung ist die häufigste Verteilung bei verschiedenen Zufallsphänomenen der Natur. So können Fehler bei der Ausführung von Befehlen durch ein automatisiertes Gerät, Fehler beim Start eines Raumfahrzeugs zu einem bestimmten Punkt im Weltraum, Fehler bei den Parametern von Computersystemen usw. auftreten. In den meisten Fällen weisen sie eine normale oder nahezu normale Verteilung auf. Darüber hinaus werden Zufallsvariablen, die durch Summation einer großen Anzahl von Zufallstermen gebildet werden, nahezu nach dem Normalgesetz verteilt.

Gammaverteilung. Zufälliger Wert X Es hat Gammaverteilung, wenn die Dichteverteilung seiner Wahrscheinlichkeiten durch die Formel ausgedrückt wird:

(33)

Wo ist die Euler-Gammafunktion.

Kapitel 6. Kontinuierliche Zufallsvariablen.

§ 1. Dichte- und Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen.

Die Wertemenge einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist überzählbar und stellt normalerweise ein endliches oder unendliches Intervall dar.

Eine in einem Wahrscheinlichkeitsraum (W, S, P) gegebene Zufallsvariable x(w) heißt kontinuierlich(absolut stetig) W, wenn es eine nichtnegative Funktion gibt, so dass für jedes x die Verteilungsfunktion Fx(x) als Integral dargestellt werden kann

Die Funktion heißt Funktion Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte.

Die Eigenschaften der Verteilungsdichtefunktion ergeben sich aus der Definition:

1..gif" width="97" height="51">

3. An Kontinuitätspunkten ist die Verteilungsdichte gleich der Ableitung der Verteilungsfunktion: .

4. Die Verteilungsdichte bestimmt das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen, da sie die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass eine Zufallsvariable in das Intervall fällt:

5. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, ist Null: . Daher gelten die folgenden Gleichheiten:

Der Plot der Verteilungsdichtefunktion wird aufgerufen Verteilungskurve, und die durch die Verteilungskurve und die x-Achse begrenzte Fläche ist gleich eins. Dann ist geometrisch gesehen der Wert der Verteilungsfunktion Fx(x) am Punkt x0 die Fläche, die von der Verteilungskurve und der x-Achse begrenzt wird und links vom Punkt x0 liegt.

Aufgabe 1. Die Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen hat die Form:

Bestimmen Sie die Konstante C, konstruieren Sie die Verteilungsfunktion Fx(x) und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit.

Lösung. Die Konstante C ergibt sich aus der Bedingung Wir haben:

woraus C=3/8.

Beachten Sie zum Konstruieren der Verteilungsfunktion Fx(x), dass das Intervall den Bereich des x-Arguments (der Zahlenachse) in drei Teile unterteilt: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

da die Dichte x auf der Halbachse Null ist. Im zweiten Fall

Im letzten Fall schließlich, wenn x>2,

Da die Dichte auf der Halbachse verschwindet. Somit erhält man die Verteilungsfunktion

Wahrscheinlichkeit nach der Formel berechnen. Auf diese Weise,

§ 2. Numerische Eigenschaften einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Erwarteter Wert für kontinuierlich verteilte Zufallsvariablen wird durch die Formel https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> bestimmt,

wenn das Integral auf der rechten Seite absolut konvergiert.

Streuung x kann mit der Formel berechnet werden , und auch, wie im diskreten Fall, nach der Formel https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Alle in Kapitel 5 für diskrete Zufallsvariablen angegebenen Eigenschaften von Erwartung und Varianz gelten auch für kontinuierliche Zufallsvariablen.

Aufgabe 2. Berechnen Sie für eine Zufallsvariable x aus Aufgabe 1 den mathematischen Erwartungswert und die Varianz .

Lösung.

Und das bedeutet

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Ein Diagramm der gleichmäßigen Verteilungsdichte finden Sie in Abb. .

Abb.6.2. Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte. einheitliches Gesetz

Die Verteilungsfunktion Fx(x) einer gleichmäßig verteilten Zufallsvariablen ist

Fx(x)=

Mathematische Erwartung und Streuung; .

Die Exponentialverteilung (Exponentialverteilung). Eine kontinuierliche Zufallsvariable x, die nicht negative Werte annimmt, hat eine Exponentialverteilung mit dem Parameter l>0, wenn die Wahrder Zufallsvariablen gleich ist

px(x)=

Reis. 6.3. Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte des Exponentialgesetzes.

Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung hat die Form

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> und , wenn seine Verteilungsdichte gleich ist

.

Die Menge aller nach dem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen mit Parametern und Parametern wird mit bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen ist

.

Reis. 6.4. Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte des Normalgesetzes

Normalverteilungsparameter sind die mathematische Erwartung https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Im konkreten Fall wann https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> Normalverteilung heißt Standard, und die Klasse solcher Distributionen wird als https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> bezeichnet,

während die Verteilungsfunktion

Ein solches Integral kann nicht analytisch berechnet werden (es wird nicht in „Quadraturen“ genommen), weshalb Tabellen für die Funktion erstellt werden. Die Funktion ist mit der in Kapitel 4 eingeführten Laplace-Funktion verwandt

,

die folgende Beziehung . Bei beliebigen Werten der Parameter https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> Die Zufsteht mit der Laplace-Funktion unter Verwendung der folgenden Beziehung in Beziehung:

.

Daher kann die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable in ein Intervall fällt, mit der Formel berechnet werden

.

Eine nichtnegative Zufallsvariable x heißt logarithmisch normalverteilt, wenn ihr Logarithmus h=lnx dem Normalengesetz folgt. Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer logarithmisch normalverteilten Zufallsvariablen sind Mx= und Dx=.

Aufgabe 3. Es sei ein zufälliger Wert gegeben https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Lösung. Hier und https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplace-Verteilung wird durch die Funktion fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> festgelegt und die Kurtosis ist gx=3.

Abb.6.5. Dichtefunktion der Laplace-Verteilung.

Die Zufallsvariable x ist verteilt Weibull-Gesetz, wenn es eine Verteilungsdichtefunktion hat, die https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> entspricht

Die Weibull-Distribution folgt den Zeiten des störungsfreien Betriebs vieler technischer Geräte. Ein wichtiges Merkmal bei Aufgaben dieses Profils ist die Ausfallrate (Sterblichkeitsrate) l(t) der untersuchten Elemente des Alters t, bestimmt durch die Beziehung l(t)=. Wenn a=1, dann geht die Weibull-Verteilung in eine Exponentialverteilung über, und wenn a=2 - in die sogenannte Verteilung Rayleigh.

Mathematische Erwartung der Weibull-Verteilung: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, wobei Г(а) der Euler ist Funktion. .

Bei verschiedenen Problemen der angewandten Statistik stößt man häufig auf sogenannte „abgeschnittene“ Verteilungen. Die Steuerbehörden sind beispielsweise an der Einkommensverteilung derjenigen Personen interessiert, deren Jahreseinkommen einen bestimmten, im Steuergesetz festgelegten Schwellenwert c0 überschreitet. Es stellt sich heraus, dass diese Verteilungen in etwa der Pareto-Verteilung entsprechen. Pareto-Verteilung durch Funktionen gegeben

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> Zufallsvariable x und monotone differenzierbare Funktion ..gif" width="200" height="51">

Hier https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Aufgabe 4. Die Zufallsvariable ist gleichmäßig über das Intervall verteilt. Finden Sie die Dichte einer Zufallsvariablen.

Lösung. Aus dem Zustand des Problems folgt, dass

Als nächstes die Funktion ist eine monotone und differenzierbare Funktion auf dem Intervall und hat eine Umkehrfunktion , deren Ableitung gleich ist Daher,

§ 5. Ein Paar kontinuierlicher Zufallsvariablen

Gegeben seien zwei stetige Zufallsvariablen x und h. Dann bestimmt das Paar (x, h) einen „zufälligen“ Punkt auf der Ebene. Ein Paar (x, h) heißt Zufallsvektor oder zweidimensionale Zufallsvariable.

gemeinsame Verteilungsfunktion Zufallsvariablen x und h und die Funktion heißt F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. Fugendichte Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen x und h ist eine solche Funktion .

Die Bedeutung dieser Definition der gemeinsamen Verteilungsdichte ist wie folgt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein „zufälliger Punkt“ (x, h) in eine Fläche auf einer Ebene fällt, wird als Volumen einer dreidimensionalen Figur berechnet – eines „gekrümmten“ Zylinders, der von der Oberfläche begrenzt wird https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Das einfachste Beispiel einer gemeinsamen Verteilung zweier Zufallsvariablen ist die zweidimensionale gleichmäßige Verteilung am SetA. Gegeben sei eine begrenzte Menge M mit Fläche. Sie ist definiert als die Verteilung des Paares (x, h), gegeben durch die folgende gemeinsame Dichte:

Aufgabe 5. Ein zweidimensionaler Zufallsvektor (x, h) sei innerhalb des Dreiecks gleichmäßig verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ungleichheit x>h.

Lösung. Die Fläche des angegebenen Dreiecks ist gleich (siehe Abb. Nr.?). Aufgrund der Definition einer zweidimensionalen Gleichverteilung ist die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen x, h gleich

Das Ereignis passt zum Set auf einer Ebene, also einer Halbebene. Dann die Wahrscheinlichkeit

Auf der Halbebene B ist die Verbindungsdichte außerhalb der Menge https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> gleich Null. Somit , die Halbebene B ist in zwei Mengen unterteilt und https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> und , und das zweite Integral ist Null, da dort die Fugendichte Null ist. Deshalb

Ist die gemeinsame Verteilungsdichte für das Paar (x, h) gegeben, so werden die Dichten und Komponenten x und h genannt private Dichten und werden nach den Formeln berechnet:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Für kontinuierlich verteilte Zufallsvariablen mit den Dichten px(x), ph(y) bedeutet Unabhängigkeit das

Aufgabe 6. Bestimmen Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems, ob die Komponenten des Zufallsvektors x und h unabhängig sind?

Lösung. Berechnen wir die Teildichten und . Wir haben:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Offensichtlich ist in unserem Fall https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> die gemeinsame Dichte von x und h und j(x, y) ist also eine Funktion zweier Argumente

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Aufgabe 7. Berechnen Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems.

Lösung. Nach obiger Formel gilt:

.

Das Dreieck darstellen als

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Dichte der Summe zweier kontinuierlicher Zufallsvariablen

Seien x und h unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Die Dichte der Zufallsvariablen x + h wird aus der Formel berechnet Windungen

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Berechnen Sie die Summendichte.

Lösung. Da x und h nach dem Exponentialgesetz mit dem Parameter verteilt sind, sind ihre Dichten gleich

Somit,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Wenn x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">ist negativ und daher . Wenn also https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Somit haben wir die Antwort erhalten:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> ist normalverteilt mit den Parametern 0 und 1. Zufallsvariablen x1 und x2 sind unabhängig und haben Normalverteilung Verteilungen mit den Parametern a1 bzw. a2 Beweisen Sie, dass x1 + x2 eine Normalverteilung hat. Zufallsvariablen x1, x2, ... xn sind verteilt und unabhängig und haben die gleiche Verteilungsdichtefunktion

.

Finden Sie die Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte von Mengen:

a) h1 = min (x1 , x2, ...xn) ; b) h(2) = max(x1,x2, ... xn )

Zufallsvariablen x1, x2, ... xn sind unabhängig und gleichmäßig auf dem Intervall [à, b] verteilt. Finden Sie Verteilungsfunktionen und Verteilungsdichtefunktionen von Mengen

x(1) = min(x1,x2, ... xn) und x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Beweisen Sie, dass M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Die Zufallsvariable wird nach dem Cauchy-Gesetz verteilt. Finden Sie: a) den Koeffizienten a; b) Verteilungsfunktion; c) die Wahrscheinlichkeit, das Intervall (-1, 1) zu erreichen. Zeigen Sie, dass die Erwartung von x nicht existiert. Die Zufallsvariable gehorcht dem Laplace-Gesetz mit dem Parameter l (l>0): Finden Sie den Koeffizienten a; Erstellen Sie Diagramme der Verteilungsdichte und der Verteilungsfunktion. finde Mx und Dx; Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Schreiben Sie eine Formel für die Verteilungsdichte und ermitteln Sie Mx und Dx.

Rechenaufgaben.

Ein zufälliger Punkt A hat eine gleichmäßige Verteilung auf einem Kreis mit dem Radius R. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz des Abstands r des Punktes zum Mittelpunkt des Kreises. Zeigen Sie, dass die Größe r2 gleichmäßig auf der Strecke verteilt ist.

Die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen hat die Form:

Berechnen Sie die Konstante C, die Verteilungsfunktion F(x) und die Wahrscheinlichkeit Die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen hat die Form:

Berechnen Sie die Konstante C, die Verteilungsfunktion F(x) und die Wahrscheinlichkeit Die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen hat die Form:
Berechnen Sie die Konstante C, die Verteilungsfunktion F(x), die Varianz und die Wahrscheinlichkeit. Die Zufallsvariable hat eine Verteilungsfunktion

Berechnen Sie die Dichte einer Zufallsvariablen, den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Wahrscheinlichkeit. Überprüfen Sie, ob die Funktion =
kann eine Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen sein. Finden Sie die numerischen Eigenschaften dieser Größe: Mx und Dx. Die Zufallsvariable ist gleichmäßig auf dem Segment verteilt. Schreiben Sie die Verteilungsdichte auf. Finden Sie die Verteilungsfunktion. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable auf das Segment und auf das Segment fällt. Die Verteilungsdichte x ist

.

Finden Sie die Konstante c, die Verteilungsdichte h = und die Wahrscheinlichkeit

P (0,25

Die Computerbetriebszeit ist nach einem Exponentialgesetz mit dem Parameter l = 0,05 (Ausfälle pro Stunde) verteilt, hat also eine Dichtefunktion

p(x) = .

Die Lösung eines bestimmten Problems erfordert einen störungsfreien Betrieb der Maschine für 15 Minuten. Tritt während der Lösung des Problems ein Fehler auf, wird der Fehler erst am Ende der Lösung erkannt und das Problem erneut gelöst. Finden Sie: a) die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Lösung des Problems kein Fehler auftritt; b) die durchschnittliche Zeit, in der das Problem gelöst wird.

Ein 24 cm langer Stab wird in zwei Teile zerbrochen; Wir gehen davon aus, dass die Bruchstelle gleichmäßig über die gesamte Länge des Stabes verteilt ist. Was ist die durchschnittliche Länge des größten Teils der Rute? Ein 12 cm langes Stück wird zufällig in zwei Teile geschnitten. Der Schnittpunkt ist gleichmäßig über die gesamte Länge des Segments verteilt. Wie groß ist die durchschnittliche Länge eines kleinen Teils des Segments? Die Zufallsvariable ist gleichmäßig über das Intervall verteilt. Finden Sie die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = .

Zeigen Sie, dass x eine stetige Verteilungsfunktion hat

F(x) = P(x

Finden Sie die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion der Summe zweier unabhängiger Größen x und h mit gleichmäßigen Verteilungsgesetzen auf den Intervallen bzw. Die Zufallsvariablen x und h sind unabhängig und gleichmäßig auf die Intervalle bzw. verteilt. Berechnen Sie die Dichte der Summe x+h. Die Zufallsvariablen x und h sind unabhängig und gleichmäßig auf die Intervalle bzw. verteilt. Berechnen Sie die Dichte der Summe x+h. Die Zufallsvariablen x und h sind unabhängig und gleichmäßig auf die Intervalle bzw. verteilt. Berechnen Sie die Dichte der Summe x+h. Zufallsvariablen sind unabhängig und haben eine exponentielle Verteilung mit der Dichte . Finden Sie die Verteilungsdichte ihrer Summe. Finden Sie die Verteilung der Summe der unabhängigen Zufallsvariablen x und h, wobei x eine gleichmäßige Verteilung auf dem Intervall hat und h eine Exponentialverteilung mit Parameter l hat. Finden Sie P , wenn x: a) Normalverteilung mit den Parametern a und s2 hat; b) Exponentialverteilung mit Parameter l; c) gleichmäßige Verteilung im Intervall [-1;1]. Die gemeinsame Verteilung von x, h ist gleichförmig im Quadrat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Finden Sie die Wahrscheinlichkeit . Sind x und h unabhängig? Ein Paar Zufallsvariablen x und h ist innerhalb des Dreiecks K= gleichmäßig verteilt. Berechnen Sie die Dichte x und h. Sind diese Zufallsvariablen unabhängig? Finden Sie die Wahrscheinlichkeit. Die Zufallsvariablen x und h sind unabhängig und gleichmäßig auf die Intervalle und [-1,1] verteilt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit. Eine zweidimensionale Zufallsvariable (x, h) ist gleichmäßig in einem Quadrat mit den Eckpunkten (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) verteilt. Finden Sie den Wert der gemeinsamen Verteilungsfunktion am Punkt (1, -1). Der Zufallsvektor (x, h) ist gleichmäßig innerhalb eines Kreises mit Radius 3 verteilt, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Schreiben Sie einen Ausdruck für die gemeinsame Verteilungsdichte. Bestimmen Sie, ob diese Zufallsvariablen abhängig sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit. Ein Paar Zufallsvariablen x und h ist innerhalb eines Trapezes mit Eckpunkten an den Punkten (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) gleichmäßig verteilt. Ermitteln Sie die gemeinsame Verteilungsdichte für dieses Zufallsvariablenpaar und die Dichte der Komponenten. Sind x und h abhängig? Ein zufälliges Paar (x, h) ist gleichmäßig innerhalb des Halbkreises verteilt. Finden Sie die Dichten x und h und untersuchen Sie die Frage nach ihrer Abhängigkeit. Die gemeinsame Dichte zweier Zufallsvariablen x und h beträgt .
Finden Sie die Dichten x, h. Erforschen Sie die Frage nach der Abhängigkeit von x und h. Ein zufälliges Paar (x, h) ist gleichmäßig auf der Menge verteilt. Finden Sie die Dichten x und h und untersuchen Sie die Frage nach ihrer Abhängigkeit. Finden Sie M(xh). Zufallsvariablen x und h sind unabhängig und werden nach dem Exponentialgesetz mit dem Parameter Find verteilt

Durch die Verteilungsfunktion sei eine kontinuierliche Zufallsvariable X gegeben f(x). Nehmen wir an, dass alle möglichen Werte der Zufallsvariablen zum Intervall [ a,b].

Definition. mathematische Erwartung Die kontinuierliche Zufallsvariable X, deren mögliche Werte zum Segment gehören, wird als bestimmtes Integral bezeichnet

Betrachtet man die möglichen Werte einer Zufallsvariablen auf der gesamten Zahlenachse, so ergibt sich der mathematische Erwartungswert durch die Formel:

In diesem Fall wird natürlich angenommen, dass das uneigentliche Integral konvergiert.

Definition. Streuung Eine kontinuierliche Zufallsvariable wird als mathematische Erwartung des Quadrats ihrer Abweichung bezeichnet.

Analog zur Varianz einer diskreten Zufallsvariablen wird zur praktischen Berechnung der Varianz folgende Formel verwendet:

Definition. Standardabweichung heißt Quadratwurzel der Varianz.

Definition. Mode M 0 einer diskreten Zufallsvariablen wird als ihr wahrscheinlichster Wert bezeichnet. Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist der Modus der Wert der Zufallsvariablen, bei dem die Verteilungsdichte ein Maximum aufweist.

Wenn das Verteilungspolygon für eine diskrete Zufallsvariable oder die Verteilungskurve für eine kontinuierliche Zufallsvariable zwei oder mehr Maxima aufweist, wird eine solche Verteilung aufgerufen bimodal oder multimodal. Wenn eine Verteilung ein Minimum, aber kein Maximum hat, wird sie aufgerufen antimodal.

Definition. Median M D einer Zufallsvariablen X ist ihr Wert, relativ zu dem sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen größeren oder kleineren Wert der Zufallsvariablen erhält.

Geometrisch gesehen ist der Median die Abszisse des Punktes, an dem die durch die Verteilungskurve begrenzte Fläche in zwei Hälften geteilt wird. Beachten Sie, dass bei einer unimodalen Verteilung der Modus und der Median mit der mathematischen Erwartung übereinstimmen.

Definition. Startmoment Befehl k Die Zufallsvariable X wird als mathematische Erwartung von X bezeichnet k.

Das Anfangsmoment erster Ordnung ist gleich dem mathematischen Erwartungswert.

Definition. Zentraler Punkt Befehl k Die Zufallsvariable X wird als mathematische Erwartung des Wertes bezeichnet

Für eine diskrete Zufallsvariable: .

Für eine kontinuierliche Zufallsvariable: .

Das Zentralmoment erster Ordnung ist immer Null und das Zentralmoment zweiter Ordnung ist gleich der Dispersion. Das zentrale Moment dritter Ordnung charakterisiert die Asymmetrie der Verteilung.

Definition. Man nennt das Verhältnis des Zentralmoments dritter Ordnung zur Standardabweichung dritten Grades Asymmetriekoeffizient.

Definition. Um die Schärfe und Ebenheit der Verteilung zu charakterisieren, wird eine Größe genannt Kurtosis.

Neben den betrachteten Größen werden auch die sogenannten absoluten Momente verwendet:

Absoluter Startzeitpunkt: . Absolutes zentrales Moment: . Das absolute Zentralmoment erster Ordnung heißt arithmetische mittlere Abweichung.

Beispiel. Bestimmen Sie für das oben betrachtete Beispiel den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X.

Beispiel. Eine Urne enthält 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. Daraus wird fünfmal hintereinander eine Kugel entnommen, jedes Mal wird die entnommene Kugel wieder zurückgelegt und die Kugeln gemischt. Nehmen Sie die Anzahl der extrahierten weißen Kugeln als Zufallsvariable X, stellen Sie das Verteilungsgesetz dieser Menge auf und bestimmen Sie ihren mathematischen Erwartungswert und ihre Varianz.

Weil Werden die Kugeln in jedem Experiment zurückgebracht und gemischt, dann können die Versuche als unabhängig betrachtet werden (das Ergebnis des vorherigen Experiments hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens oder Nichteintretens eines Ereignisses in einem anderen Experiment).

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass in jedem Experiment eine weiße Kugel erscheint, konstant und gleich

Als Ergebnis von fünf aufeinanderfolgenden Versuchen kann es sein, dass der weiße Ball überhaupt nicht erscheint, einmal, zweimal, drei, vier oder fünf Mal. Um ein Verteilungsgesetz aufzustellen, müssen Sie die Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse ermitteln.

1) Der weiße Ball erschien überhaupt nicht:

2) Der weiße Ball erschien einmal:

3) Der weiße Ball erscheint zweimal: .

Aufgrund ihrer physikalischen Natur können Zufallsvariablen deterministisch und zufällig sein.

Diskret ist eine Zufallsvariable, deren einzelne Werte neu nummeriert werden können (Anzahl der Produkte, Anzahl der Teile – defekt und gut usw.).

Als kontinuierlich wird eine Zufallsvariable bezeichnet, deren mögliche Werte eine bestimmte Lücke füllen (Abweichung der Größe des hergestellten Teils vom Nennwert, Messfehler, Abweichung der Form des Teils, Höhe der Mikrorauheit usw.).

Eine Zufallsvariable kann nicht durch einen einzelnen Wert charakterisiert werden. Dazu ist es notwendig, die Menge möglicher Werte und die für diese Menge gegebenen Wahrscheinlichkeitsmerkmale anzugeben.

Für den Fall, dass ein Zufallsereignis als Zahl ausgedrückt wird, können wir von einer Zufallsvariablen sprechen. Zufällig Sie nennen den Wert, der als Ergebnis des Tests einen möglichen Wert annimmt, der im Voraus unbekannt ist und von zufälligen Ursachen abhängt, die nicht im Voraus berücksichtigt werden können.

Verlust eines Werts einer Zufallsvariablen X Dies ist ein zufälliges Ereignis: X \u003d x i. Unter den Zufallsvariablen werden diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen unterschieden.

Diskrete Zufallsvariable Es wird eine Zufallsvariable aufgerufen, die als Ergebnis des Tests mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten einzelne Werte annimmt. Die Anzahl möglicher Werte einer diskreten Zufallsvariablen kann endlich oder unendlich sein. Beispiele für eine diskrete Zufallsvariable: Aufzeichnung von Tachowerten oder gemessenen Temperaturen zu bestimmten Zeitpunkten.

Kontinuierliche Zufallsvariable Es wird eine Zufallsvariable aufgerufen, die als Ergebnis des Tests alle Werte aus einem bestimmten Zahlenintervall annimmt. Die Anzahl der möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist unendlich. Ein Beispiel für eine kontinuierliche Zufallsvariable: Messung der Bewegungsgeschwindigkeit eines beliebigen Transportmittels oder der Temperatur während eines bestimmten Zeitintervalls.

Jede Zufallsvariable hat ihr eigenes Wahrund ihre eigene Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion. Bevor wir die Verteilungsfunktion definieren, betrachten wir die Variablen, die sie definieren. Lassen Sie einige X ist eine reelle Zahl und man erhält eine Zufallsvariable X, dabei x > X. Es ist erforderlich, die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen zu bestimmen X wird kleiner als dieser feste Wert sein X.

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X eine Funktion genannt F(x), die die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Zufallsvariable X als Ergebnis des Tests einen Wert annimmt, der kleiner als der Wert von x ist, das heißt:

Eine Zufallsvariable wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie charakterisiert das Gesetz seiner Verteilung . Dieses Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen den möglichen Werten einer Zufallsvariablen und den diesen Werten entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens her. Es gibt zwei Formen, das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen zu beschreiben: Differential und Integral . Darüber hinaus wird in der Metrologie hauptsächlich die Differentialform verwendet – das Verteilungsgesetz Wahrscheinlichkeitsdichte zufällige Variable.

Differentialverteilungsgesetz gekennzeichnet Wahrf(x) zufällige Variable X. Wahrscheinlichkeit R Treffen einer Zufallsvariablen im Intervall von x 1 Vor x 2 ergibt sich aus der Formel:

Grafisch ist diese Wahrscheinlichkeit das Verhältnis der Fläche unter der Kurve f (x) im Bereich von x 1 bis x 2 zur Gesamtfläche, die durch die gesamte Verteilungskurve begrenzt wird. In der Regel wird die Fläche unter der gesamten Wahauf eins normiert.

In diesem Fall die Verteilung kontinuierlich zufällige Variable. Zusätzlich zu ihnen gibt es diskret Zufallsvariablen, die eine Reihe spezifischer Werte annehmen, die nummeriert werden können.

Integrales Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen ist eine Funktion F(x), durch die Formel definiert

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable kleiner als x 1 ist, wird durch den Wert der Funktion F(x) bei x = x 1 gegeben:

Obwohl das Verteilungsgesetz von Zufallsvariablen ihr vollständiges probabilistisches Merkmal darstellt, ist die Ermittlung dieses Gesetzes eine ziemlich schwierige Aufgabe und erfordert zahlreiche Messungen. Daher ist es in der Praxis unterschiedlich, die Eigenschaften einer Zufallsvariablen zu beschreiben numerische Eigenschaften von Verteilungen. Diese beinhalten Momente zufällige Variablen: primär und zentral, das sind einige durchschnittliche Werte. Wenn außerdem die vom Ursprung aus gezählten Werte gemittelt werden, werden die Momente aufgerufen anfänglich, und wenn vom Distributionszentrum, dann zentral.

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist die Funktion F(x), die für jedes x die Wahrscheinlichkeit ausdrückt, dass die Zufallsvariable X den Wert annimmt, kleineres x

Beispiel 2.5. Gegeben sei eine Reihe von Verteilungen einer Zufallsvariablen

Finden Sie die Verteilungsfunktion und stellen Sie sie grafisch dar. Lösung. Laut Definition

F(jc) = 0 für X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 bei 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 bei X > 5.

Also (siehe Abb. 2.1):

Eigenschaften der Verteilungsfunktion:

1. Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist eine nicht negative Funktion zwischen Null und Eins:

2. Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist eine nicht abnehmende Funktion auf der gesamten Zahlenachse, d.h. bei X 2 >x

3. Bei minus Unendlich ist die Verteilungsfunktion gleich Null, bei plus Unendlich ist sie gleich Eins, d.h.

4. Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen X im Intervall ist gleich dem bestimmten Integral seiner Wahrscheinlichkeitsdichte im Bereich von A Vor B(siehe Abb. 2.2), d.h.

Reis. 2.2

3. Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen (siehe Abb. 2.3) kann durch die Wahrscheinlichkeitsdichte mit der Formel ausgedrückt werden:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Uneigentliches Integral in unendlichen Grenzen der Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist gleich eins:

Geometrische Eigenschaften / und 4 Wahrscheinlichkeitsdichten bedeuten, dass sein Diagramm ist Verteilungskurve - liegt nicht unterhalb der x-Achse, und die Gesamtfläche der Figur, begrenzte Verteilungskurve und x-Achse, ist gleich eins.

Für eine kontinuierliche Zufallsvariable X erwarteter Wert M(X) und Varianz D(X) werden durch die Formeln bestimmt:

(wenn das Integral absolut konvergiert); oder

(wenn die reduzierten Integrale konvergieren).

Neben den oben genannten numerischen Merkmalen werden zur Beschreibung einer Zufallsvariablen auch die Konzepte der Quantile und Prozentpunkte verwendet.

q-Level-Quantil(oder q-Quantil) ist ein solcher Wertx qzufällige Variable, bei dem seine Verteilungsfunktion den Wert annimmt, gleich q, d.h.

• 100Der q%-ou-Punkt ist das Quantil X~ q .
• ? Beispiel 2.8.

Finden Sie gemäß Beispiel 2.6 das Quantil xqj und 30 % Zufallsvariablenpunkt X.

Lösung. Nach Definition (2.16) ist F(xo t3)= 0,3, d.h.

~Y~ = 0,3, daher das Quantil x 0 3 = 0,6. 30 % Zufallsvariablenpunkt X, oder Quantil Х)_о,з = xoj» ergibt sich analog aus der Gleichung ^ = 0,7. woher *,= 1,4. ?

Zu den numerischen Merkmalen einer Zufallsvariablen gehören anfänglich v* und zentral R* Momente k-ter Ordnung, bestimmt für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen durch die Formeln: