Hallo! In diesem Artikel werden wir Probleme mit Bällen betrachten. Vielmehr wird es hier eine Kombination von Körpern geben: eine Kugel oder mit anderen Worten ein Zylinder, der in der Nähe der Kugel beschrieben wird (was dasselbe ist) und ein Würfel, der in die Kugel eingeschrieben ist.
Der Blog hat sich bereits eine Aufgabengruppe mit Bällen überlegt, . In den vorgestellten Aufgaben werden wir darüber sprechen, das Volumen und die Oberfläche dieser Körper zu finden.du musst wissen!
Formel für das Kugelvolumen:
Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:
Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet:
Die Formel für die Oberfläche eines Zylinders lautet:
Mehr zur Zylinderseitenfläche:
Es ist ein Rechteck, das zu einem Zylinder "verdreht" ist, dessen eine Seite dem Umfang der Basis entspricht - dies ist 2ПiR, die andere Seite entspricht der Höhe des Zylinders - dies ist N.
Was ist bei den gestellten Aufgaben zu beachten?
1. Wenn eine Kugel in einen Zylinder eingeschrieben ist, dann haben sie einen gemeinsamen Radius.
2. Die Höhe eines um eine Kugel umschriebenen Zylinders ist gleich zwei ihrer Radien (oder Durchmesser).
3. Wenn ein Würfel in eine Kugel eingeschrieben ist, dann ist die Diagonale dieses Würfels gleich dem Durchmesser der Kugel.
245348. Der Zylinder ist in der Nähe der Kugel beschrieben. Das Volumen des Zylinders ist 33. Finde das Volumen der Kugel.
Formel für das Kugelvolumen:
Wir müssen den Radius der Kugel finden.
Eine Kugel und ein Zylinder haben einen gemeinsamen Radius. Die Grundfläche des Zylinders ist ein Kreis mit Radius R, die Höhe des Zylinders ist gleich zwei Radien. Das Volumen des Zylinders wird also nach folgender Formel berechnet:
Setzen Sie das in der Bedingung angegebene Volumen in die Formel ein und drücken Sie den Radius aus:
Lassen wir den Ausdruck in dieser Form, es ist nicht notwendig, den Radius auszudrücken (die Wurzel dritten Grades zu ziehen), da wir genau R 3 benötigen.
Somit ist das Volumen der Kugel gleich:
Antwort: 22
245349. Der Zylinder ist in der Nähe der Kugel beschrieben. Das Volumen der Kugel ist 24. Finden Sie das Volumen des Zylinders.
Diese Aufgabe ist die Umkehrung der vorherigen.
Formel für das Kugelvolumen:
Das Volumen eines Zylinders wird nach folgender Formel berechnet:
Da das Volumen der Kugel bekannt ist, können wir den Radius ausdrücken und dann das Volumen des Zylinders finden:
Auf diese Weise:
Antwort: 36
316557. Die Kugel ist in einen Zylinder eingeschrieben. Die Oberfläche der Kugel ist 111. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Zylinders.
Kugeloberflächenformel:
Zylinderoberflächenformel:
Vereinfachen wir:
Da uns die Oberfläche der Kugel gegeben ist, können wir den Radius ausdrücken:
Antwort: 166,5
Eine Kugel um einen Zylinder und einen Kegel heißt (a), wenn die Spitze des Kegels auf der Oberfläche der Kugel liegt und die Basis des Kegels der Abschnitt der Kugel ist. Eine Kugel kann immer in der Nähe eines geraden Kreiskegels umschrieben werden, der Mittelpunkt einer in der Nähe eines Kegels umschriebenen Kugel liegt auf der Höhe des Kegels. Der in der Nähe des Kegels beschriebene Mittelpunkt der Kugel kann sowohl innerhalb als auch außerhalb des Kegels liegen und auch mit dem Mittelpunkt der Basis zusammenfallen.
heißt), wenn die Grundflächen des Zylinders Kugelabschnitte sind. (a Ein gerader Kreiszylinder kann umschrieben werden. Der Mittelpunkt einer um einen Zylinder umschriebenen Kugel liegt auf der Höhe des Zylinders.
Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks kann außerhalb des Dreiecks liegen Für ein rechtwinkliges Dreieck: R= Der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Mittelpunkt der Hypotenuse. Für ein regelmäßiges Viereck: R= eine Seite; R ist der Radius des Inkreises
Nr. 645. In eine Kugel ist ein Zylinder eingeschrieben. Finden Sie das Verhältnis der Fläche der Gesamtfläche des Zylinders zur Fläche der Kugel, wenn die Höhe des Zylinders gleich dem Durchmesser der Basis ist. R R Gegeben: eine Kugel mit Mittelpunkt O, ein Zylinder ist eingeschrieben, h=2 R Gefunden: R Analyse der Bedingungen: O R
Eine Kugel kann genau dann in der Nähe einer Pyramide umschrieben werden, wenn ein Kreis in der Nähe ihrer Basis umschrieben werden kann.
Um das Zentrum O dieser Kugel zu bauen, benötigen Sie:
1. Finden Sie das Zentrum O, den Kreis, der in der Nähe der Basis umschrieben ist.
2. Ziehen Sie durch Punkt O eine gerade Linie senkrecht zur Ebene der Basis.
3. Zeichnen Sie durch die Mitte einer beliebigen Seitenkante der Pyramide eine Ebene senkrecht zu dieser Kante.
4. Suchen Sie den Punkt O des Schnittpunkts der konstruierten Linie und der Ebene.
Sonderfall: Die Seitenkanten der Pyramide sind gleich. Dann:
der Ball kann beschrieben werden;
das Zentrum O der Kugel liegt auf der Höhe der Pyramide;
Wo ist der Radius der umschriebenen Sphäre; - Seitenrippe; H ist die Höhe der Pyramide.
5.2. Kugel und Prisma
Eine Kugel kann in der Nähe eines Prismas genau dann umschrieben werden, wenn das Prisma gerade ist und ein Kreis in der Nähe seiner Basis umschrieben werden kann.
Der Mittelpunkt der Kugel ist die Mitte des Segments, das die Mittelpunkte der in der Nähe der Basen beschriebenen Kreise verbindet.
wo ist der Radius der umschriebenen Sphäre; ist der Radius des umschriebenen Kreises in der Nähe der Basis; H ist die Höhe des Prismas.
5.3. Kugel und Zylinder
Eine Kugel kann immer in der Nähe eines Zylinders beschrieben werden. Der Mittelpunkt der Kugel ist das Symmetriezentrum des axialen Abschnitts des Zylinders.
5.4. Kugel und Kegel
Eine Kugel kann immer in der Nähe eines Kegels beschrieben werden. die Mitte des Balls; dient als Mittelpunkt eines Kreises, der um den axialen Abschnitt des Kegels umschrieben ist.
Die Welt um uns herum ist trotz der Vielfalt der mit ihnen auftretenden Objekte und Phänomene aufgrund der klaren Wirkung der Naturgesetze voller Harmonie. Hinter der scheinbaren Freiheit, mit der die Natur die Umrisse zeichnet und die Formen der Dinge erschafft, gibt es klare Regeln und Gesetze, die unwillkürlich die Anwesenheit einer höheren Macht im Schöpfungsprozess suggerieren. Am Rande der pragmatischen Wissenschaft, die auftretende Phänomene aus der Position mathematischer Formeln und theosophischer Weltanschauungen beschreibt, gibt es eine Welt, die uns eine ganze Reihe von Emotionen und Eindrücken von den Dingen, die sie erfüllen, und den Ereignissen, die auftreten, gibt Sie.
Eine Kugel ist die in der Natur am häufigsten vorkommende Form für physische Körper. Die meisten Körper des Makrokosmos und des Mikrokosmos haben die Form einer Kugel oder neigen dazu, sich einer solchen zu nähern. Tatsächlich ist der Ball ein Beispiel für eine ideale Form. Die allgemein anerkannte Definition für einen Ball ist die folgende: Es ist ein geometrischer Körper, eine Menge (Menge) aller Punkte im Raum, die sich in einem Abstand vom Mittelpunkt befinden, der einen bestimmten nicht überschreitet. In der Geometrie wird dieser Abstand als Radius und in Bezug auf eine gegebene Figur als Radius der Kugel bezeichnet. Mit anderen Worten, das Volumen der Kugel enthält alle Punkte, die sich in einem Abstand vom Mittelpunkt befinden, der die Länge des Radius nicht überschreitet.
Die Kugel wird auch als Ergebnis der Drehung eines Halbkreises um ihren Durchmesser betrachtet, der gleichzeitig bewegungslos bleibt. Gleichzeitig wird zu solchen Elementen und Eigenschaften wie Radius und Volumen der Kugel die Achse der Kugel (fester Durchmesser) hinzugefügt, und ihre Enden werden als Pole der Kugel bezeichnet. Die Oberfläche einer Kugel wird Kugel genannt. Wenn wir es mit einer geschlossenen Kugel zu tun haben, dann schließt sie diese Sphäre ein, wenn es sich um eine offene handelt, dann schließt sie sie aus.
In Anbetracht zusätzlicher Definitionen in Bezug auf die Kugel sollte über Schnittebenen gesprochen werden. Die Sekantenebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, heißt Großkreis. Für andere flache Abschnitte des Balls ist es üblich, den Namen "kleine Kreise" zu verwenden. Bei der Berechnung der Flächen dieser Abschnitte wird die Formel πR² verwendet.
Bei der Berechnung des Volumens einer Kugel stießen Mathematiker auf einige ziemlich faszinierende Muster und Besonderheiten. Es stellte sich heraus, dass dieser Wert das Volumen einer um eine Kugel herum beschriebenen Pyramide oder eines Zylinders entweder vollständig wiederholt oder von der Bestimmungsmethode sehr nahe kommt. Es stellt sich heraus, dass das Volumen der Kugel gleich ist, wenn ihre Grundfläche die gleiche Fläche wie die Oberfläche der Kugel hat und die Höhe gleich dem Radius der Kugel ist. Betrachten wir einen um die Kugel herum beschriebenen Zylinder, dann können wir das Muster berechnen, nach dem das Volumen der Kugel eineinhalb Mal kleiner ist als das Volumen dieses Zylinders.
Attraktiv und originell ist die Ballrücknahme nach dem Cavalieri-Prinzip. Es besteht darin, das Volumen einer beliebigen Figur zu finden, indem man die durch ihren Schnitt erhaltenen Flächen mit einer unendlichen Zahl addiert. Nehmen wir zum Schluss eine Halbkugel mit dem Radius R und einen Zylinder mit der Höhe R und einem Grundkreis mit dem Radius R (der Basen der Halbkugel und des Zylinders liegen in der gleichen Ebene). In diesen Zylinder betreten wir einen Kegel mit einer Spitze in der Mitte seiner unteren Basis. Nachdem wir bewiesen haben, dass das Volumen der Halbkugel und der Teile des Zylinders, die außerhalb des Kegels liegen, gleich sind, können wir das Volumen der Kugel leicht berechnen. Seine Formel hat folgende Form: vier Drittel des Produkts aus dem Kubikradius und π (V= 4/3R^3×π). Dies lässt sich leicht beweisen, indem man eine gemeinsame Schnittebene durch eine Halbkugel und einen Zylinder zieht. Die Flächen eines kleinen Kreises und eines Rings, die von außen durch die Seiten eines Zylinders und eines Kegels begrenzt werden, sind gleich. Und mit dem Cavalieri-Prinzip kommt man leicht zum Beweis der Hauptformel, mit deren Hilfe wir das Volumen der Kugel bestimmen.
Aber nicht nur das Problem, natürliche Körper zu studieren, ist damit verbunden, Wege zu finden, ihre verschiedenen Eigenschaften und Eigenschaften zu bestimmen. Eine solche Stereometriefigur wie ein Ball wird in praktischen menschlichen Aktivitäten sehr häufig verwendet. Die Masse der technischen Geräte hat in ihren Entwürfen Details nicht nur in Kugelform, sondern auch aus Elementen einer Kugel zusammengesetzt. Es ist das Kopieren idealer natürlicher Lösungen im Prozess menschlicher Aktivität, das die qualitativ hochwertigsten Ergebnisse liefert.
Wenn das Problem eine in eine Kugel eingeschriebene Pyramide enthält, sind die folgenden theoretischen Informationen zur Lösung nützlich.
Wenn die Pyramide in eine Kugel eingeschrieben ist, dann liegen alle ihre Ecken auf der Oberfläche dieser Kugel (auf der Kugel) bzw. sind die Abstände vom Mittelpunkt der Kugel zu den Ecken gleich dem Radius der Kugel.
Jede Fläche einer Pyramide, die in eine Kugel eingeschrieben ist, ist ein Polygon, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Die Basen der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Ebene der Flächen fallen, sind die Mittelpunkte dieser umschriebenen Kreise. Somit ist der Mittelpunkt der in der Nähe der Pyramide beschriebenen Kugel der Schnittpunkt der Senkrechten zu den Flächen der Pyramide, die durch die Mittelpunkte der in der Nähe der Flächen beschriebenen Kreise gezogen werden.
Häufiger wird der Mittelpunkt der in der Nähe der Pyramide beschriebenen Kugel als Schnittpunkt der zur Basis gezogenen Senkrechten durch den Mittelpunkt des in der Nähe der Basis umschriebenen Kreises und der Mittelsenkrechten zur Seitenkante (die Mittelsenkrechte liegt in der Ebene, die durch diese seitliche Kante und die erste Senkrechte (auf die Basis gezogen) verläuft.Wenn sich in der Nähe der Basis einer Pyramide kein Kreis einschreiben lässt, dann kann diese Pyramide nicht in eine Kugel eingeschrieben werden in der Nähe einer dreieckigen Pyramide eingeschrieben, und eine viereckige Pyramide, die in eine Kugel mit einem Parallelogramm an der Basis eingeschrieben ist, kann eine rechteckige oder quadratische Basis haben.
Das Zentrum der in der Nähe der Pyramide beschriebenen Kugel kann innerhalb der Pyramide, auf der Oberfläche der Pyramide (auf der Seitenfläche, auf der Basis) und außerhalb der Pyramide liegen. Wenn aus der Problemstellung nicht genau hervorgeht, wo genau der Mittelpunkt der beschriebenen Kugel liegt, empfiehlt es sich zu überlegen, wie sich verschiedene Möglichkeiten der Lokalisierung auf die Lösung auswirken können.
In der Nähe jeder regelmäßigen Pyramide kann eine Kugel beschrieben werden. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Linie, die die Höhe der Pyramide enthält, und der Mittelsenkrechten zur Seitenkante.
Beim Lösen von Problemen auf einer in eine Kugel eingeschriebenen Pyramide werden am häufigsten einige Dreiecke berücksichtigt.
Beginnen wir mit dem Dreieck SO1C. Sie ist gleichschenklig, da ihre beiden Seiten gleich den Radien der Kugel sind: SO1=O1C=R. Daher ist O1F seine Höhe, sein Median und seine Winkelhalbierende.
Rechtwinklige Dreiecke SOC und SFO1 sind im spitzen Winkel S ähnlich. Daher
SO=H ist die Höhe der Pyramide, SC=b ist die Länge der Seitenkante, SF=b/2, SO1=R, OC=r ist der Radius des Kreises, der in der Nähe der Basis der Pyramide umschrieben wird.
In einem rechtwinkligen Dreieck OO1C ist die Hypotenuse O1C=R, die Beine sind OC=r, OO1=H-R. Nach dem Satz des Pythagoras:
Setzt man die Höhe SO fort, erhält man den Durchmesser SM. Dreieck SCM ist rechtwinklig (weil der einbeschriebene Winkel SCM auf dem Durchmesser aufliegt). Darin ist OC die zur Hypotenuse gezogene Höhe, SO und OM sind die Projektionen der Beine SC und CM auf die Hypotenuse. Nach den Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks
