GEOMETRIE
Unterrichtspläne für die 10
Lektion 56
Thema. Fläche einer orthogonalen Projektion eines Polygons
Der Zweck der Lektion: das Studium des Satzes auf dem Gebiet der orthogonalen Projektion eines Polygons, die Bildung der Fähigkeiten der Schüler, den studierten Satz auf die Lösung von Problemen anzuwenden.
Ausstattung: stereometrisches Set, Würfelmodell.
Während des Unterrichts
I. Überprüfung der Hausaufgaben
1. Zwei Schüler übertragen die Lösungen zu den Aufgaben Nr. 42, 45 an die Tafel.
2. Frontale Vernehmung.
1) Definieren Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen, die sich schneiden.
2) Wie groß ist der Winkel zwischen:
a) parallele Ebenen;
b) senkrechte Ebenen?
3) Wie stark kann sich der Winkel zwischen zwei Ebenen ändern?
4) Stimmt es, dass eine Ebene, die parallele Ebenen schneidet, diese unter denselben Winkeln schneidet?
5) Stimmt es, dass eine Ebene, die senkrechte Ebenen schneidet, diese unter denselben Winkeln schneidet?
3. Überprüfung der Richtigkeit der Lösung der Aufgaben Nr. 42, 45, die die Schüler an der Tafel nachgestellt haben.
II. Wahrnehmung und Bewusstsein für neues Material
Auftrag an Studenten
1. Beweisen Sie, dass die Projektionsfläche eines Dreiecks mit einer Seite in der Projektionsebene gleich dem Produkt aus seiner Fläche und dem Kosinus des Winkels zwischen der Ebene des Polygons und der Projektionsebene ist.
2. Beweisen Sie den Satz für den Fall, dass das Gitterdreieck eine Seite parallel zur Projektionsebene hat.
3. Beweisen Sie den Satz für den Fall, dass das Gitterdreieck keine Seite parallel zur Projektionsebene hat.
4. Beweisen Sie den Satz für ein beliebiges Polygon.
Probleme lösen
1. Ermitteln Sie die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons mit einer Fläche von 50 cm2 und einem Winkel zwischen der Ebene des Polygons und seiner Projektion von 60 °.
2. Finden Sie die Fläche des Polygons, wenn die Fläche der orthogonalen Projektion dieses Polygons 50 cm2 beträgt und der Winkel zwischen der Ebene des Polygons und seiner Projektion 45 ° beträgt.
3. Die Fläche des Polygons beträgt 64 cm2 und die Fläche der orthogonalen Projektion 32 cm2. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen des Polygons und seiner Projektion.
4. Oder ist vielleicht die Fläche der orthogonalen Projektion des Polygons gleich der Fläche dieses Polygons?
5. Die Kante des Würfels ist a. Finden Sie die Querschnittsfläche eines Würfels durch eine Ebene, die durch die Oberseite der Basis in einem Winkel von 30 ° zu dieser Basis verläuft und alle Seitenkanten schneidet. (Antworten. )
6. Aufgabe Nr. 48 (1, 3) aus dem Lehrbuch (S. 58).
7. Aufgabe Nr. 49 (2) aus dem Lehrbuch (S. 58).
8. Die Seiten des Rechtecks sind 20 und 25 cm, seine Projektion auf eine Ebene ist ähnlich. Finden Sie den Projektionsumfang. (Antwort: 72 cm oder 90 cm.)
III. Hausaufgaben
§4, Nr. 34; Sicherheitsfrage Nr. 17; Aufgaben Nr. 48 (2), 49 (1) (S. 58).
IV. Zusammenfassung der Lektion
Frage an die Klasse
1) Formulieren Sie einen Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons.
2) Kann die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons größer sein als die Fläche des Polygons?
3) Eine Ebene α wird durch die Hypotenuse AB eines rechtwinkligen Dreiecks ABC unter einem Winkel von 45° zur Ebene des Dreiecks und einer Senkrechten CO zur Ebene α gezogen. AC \u003d 3 cm, BC \u003d 4 cm Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind:
a) der Winkel zwischen den Ebenen ABC und α ist gleich dem Winkel CMO, wobei der Punkt H die Basis der Höhe CM des Dreiecks ABC ist;
b) SD = 2,4 cm;
c) Dreieck AOC ist eine orthogonale Projektion des Dreiecks ABC auf die Ebene α;
d) Die Fläche des Dreiecks AOB beträgt 3 cm2.
(Antwort. a) Richtig; b) falsch; c) falsch; d) richtig.)
Bei Problemen in der Geometrie hängt der Erfolg nicht nur von der Kenntnis der Theorie ab, sondern auch von einer guten Zeichnung.
Bei flachen Zeichnungen ist alles mehr oder weniger klar. Aber in der Stereometrie ist die Situation komplizierter. Schließlich ist es notwendig, darzustellen dreidimensional Körper an eben Zeichnung, und zwar so, dass sowohl Sie selbst als auch derjenige, der Ihre Zeichnung betrachtet, denselben dreidimensionalen Körper sehen würden.
Wie kann man das machen?
Natürlich ist jedes Bild eines dreidimensionalen Körpers in einer Ebene bedingt. Es gibt jedoch bestimmte Regeln. Es gibt eine allgemein anerkannte Art, Blaupausen zu erstellen − Parallelprojektion.
Nehmen wir einen festen Körper.
Lass uns aussuchen Projektionsebene.
Durch jeden Punkt des volumetrischen Körpers ziehen wir gerade Linien, die parallel zueinander sind und die Projektionsebene in einem bestimmten Winkel schneiden. Jede dieser Linien schneidet die Projektionsebene an irgendeinem Punkt. Zusammen bilden diese Punkte Projektion volumetrischer Körper in einer Ebene, dh sein flaches Bild.
Wie erstellt man Projektionen von volumetrischen Körpern?
Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Rahmen eines dreidimensionalen Körpers - ein Prisma, eine Pyramide oder einen Zylinder. Wenn wir es mit einem parallelen Lichtstrahl beleuchten, erhalten wir ein Bild - einen Schatten an der Wand oder auf dem Bildschirm. Beachten Sie, dass unterschiedliche Bilder aus unterschiedlichen Blickwinkeln erhalten werden, aber einige Muster noch vorhanden sind:
Die Projektion des Segments wird das Segment sein.
Wenn das Segment senkrecht zur Projektionsebene steht, wird es natürlich an einem Punkt angezeigt.
Im allgemeinen Fall ist die Projektion eines Kreises eine Ellipse.
Die Projektion eines Rechtecks ist ein Parallelogramm.
So sieht die Projektion eines Würfels auf eine Ebene aus:
Hier sind Vorder- und Rückseite parallel zur Projektionsebene
Sie können es anders machen:
Welchen Winkel wir auch wählen, Projektionen paralleler Segmente in der Zeichnung sind ebenfalls parallele Segmente. Dies ist eines der Prinzipien der Parallelprojektion.
Wir zeichnen Projektionen der Pyramide,
Zylinder:
Noch einmal wiederholen wir das Grundprinzip der Parallelprojektion. Wir wählen die Projektionsebene und ziehen parallel zueinander verlaufende Geraden durch jeden Punkt des Volumenkörpers. Diese Linien schneiden die Projektionsebene in einem gewissen Winkel. Wenn dieser Winkel 90° beträgt, ist er es rechteckige Projektion. Mit Hilfe der rechteckigen Projektion werden Zeichnungen von dreidimensionalen Teilen im Maschinenbau erstellt. In diesem Fall sprechen wir von Draufsicht, Vorderansicht und Seitenansicht.
Detaillierter Beweis des Polygon-Orthogonalprojektionssatzes
Wenn - Projektion einer Wohnung n -gon zu einer Ebene, wo ist der Winkel zwischen den Ebenen der Polygone und. Mit anderen Worten, die Projektionsfläche eines flachen Polygons ist gleich dem Produkt aus der Fläche des projizierten Polygons und dem Kosinus des Winkels zwischen der Projektionsebene und der Ebene des projizierten Polygons.
Nachweisen. ich Bühne. Führen wir zuerst den Beweis für das Dreieck. Betrachten wir 5 Fälle.
1 Fall. in der Projektionsebene liegen .
Seien jeweils die Projektionen von Punkten auf die Ebene. In unserem Fall. Nehmen wir das an. Lassen Sie - Höhe, dann können wir aus dem Satz der drei Senkrechten schließen, dass - Höhe (- die Projektion der Schräge, - ihre Basis und die Gerade durch die Basis der Schräge gehen).
In Betracht ziehen. Es ist rechteckig. Per Definition von Kosinus:
Andererseits ist da und dann definitionsgemäß der lineare Winkel des Flächenwinkels, der durch die Halbebenen der Ebenen und mit der Grenzlinie gebildet wird, und daher ist sein Maß auch das Maß des Winkels dazwischen die Projektionsebenen des Dreiecks und das Dreieck selbst, das heißt.
Finden Sie das Verhältnis der Fläche zu:
Beachten Sie, dass die Formel auch dann wahr bleibt, wenn . In diesem Fall
2. Fall. Liegt nur in der Projektionsebene und ist parallel zur Projektionsebene .
Seien jeweils die Projektionen von Punkten auf die Ebene. In unserem Fall.
Lassen Sie uns eine gerade Linie durch den Punkt ziehen. In unserem Fall schneidet die Gerade die Projektionsebene, was nach dem Lemma bedeutet, dass die Gerade auch die Projektionsebene schneidet. Sei es ein Punkt Da, dann liegen die Punkte in derselben Ebene, und da sie parallel zur Projektionsebene ist, folgt aus dem Zeichen der Parallelität der Geraden und der Ebene, dass. Daher ist ein Parallelogramm. Betrachten und. Sie sind auf drei Seiten gleich (- gemeinsam, wie gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms). Beachten Sie, dass das Viereck ein Rechteck ist und (entlang des Schenkels und der Hypotenuse) gleich ist, daher ist es auf drei Seiten gleich. Deshalb.
Für 1 Fall gilt:, d.h.
3. Fall. Liegt nur in der Projektionsebene und ist nicht parallel zur Projektionsebene .
Der Punkt sei der Schnittpunkt der Geraden mit der Projektionsebene. Beachten wir, dass i. Bei 1 Gelegenheit: i. Damit bekommen wir das
4 Fall. Scheitelpunkte liegen nicht in der Projektionsebene . Betrachten Sie Senkrechte. Nimm die kleinste dieser Senkrechten. Lass es senkrecht sein. Es kann sich herausstellen, dass entweder nur oder nur. Dann nehmen wir es trotzdem.
Lassen Sie uns einen Punkt von einem Punkt auf einer Strecke, damit und von einem Punkt auf einer Strecke, einen Punkt, damit, beiseite setzen. Eine solche Konstruktion ist möglich, da - die kleinste der Senkrechten. Beachten Sie, dass dies eine Projektion ist und konstruktionsbedingt. Lassen Sie uns beweisen, dass und gleich sind.
Betrachten wir ein Viereck. Durch Bedingung - Senkrechte zu einer Ebene, daher nach dem Satz, daher. Da wir konstruktionsbedingt auf der Grundlage eines Parallelogramms (auf parallelen und gleichen gegenüberliegenden Seiten) daraus schließen können - ein Parallelogramm. Meint, . Es wird ähnlich bewiesen, dass . Daher sind und auf drei Seiten gleich. Deshalb. Beachten Sie, dass und als gegenüberliegende Seiten von Parallelogrammen, daher aufgrund der Parallelität der Ebenen, . Da diese Ebenen parallel sind, bilden sie mit der Projektionsebene denselben Winkel.
Für die vorigen Fälle gilt:
5 Fall. Die Projektionsebene schneidet die Seiten . Betrachten wir gerade Linien. Sie stehen senkrecht zur Projektionsebene, sind also nach dem Satz parallel. Bei gleichgerichteten Strahlen mit Ursprung in Punkten legen wir jeweils gleiche Segmente beiseite, sodass die Scheitelpunkte außerhalb der Projektionsebene liegen. Beachten Sie, dass dies eine Projektion ist und konstruktionsbedingt. Zeigen wir, dass es gleich ist.
Seit und konstruktionsbedingt dann. Daher auf der Grundlage eines Parallelogramms (auf zwei gleichen und parallelen Seiten) - ein Parallelogramm. Es kann ähnlich bewiesen werden, dass und Parallelogramme sind. Aber dann ist und (als gegenüberliegende Seiten) daher in drei Seiten gleich. Meint, .
Außerdem und damit aufgrund der Parallelität der Ebenen. Da diese Ebenen parallel sind, bilden sie mit der Projektionsebene denselben Winkel.
Für zutreffenden Fall 4:.
II Bühne. Lassen Sie uns ein flaches Polygon in Dreiecke unter Verwendung von Diagonalen aufteilen, die vom Scheitelpunkt aus gezogen werden: Dann gemäß den vorherigen Fällen für Dreiecke: .
Q.E.D.
Kapitel IV. Gerade Linien und Ebenen im Raum. Polyeder
§ 55. Projektionsfläche eines Vielecks.
Denken Sie daran, dass der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene der Winkel zwischen einer gegebenen Linie und ihrer Projektion auf die Ebene ist (Abb. 164).
Satz. Die Fläche der orthogonalen Projektion des Polygons auf die Ebene ist gleich der Fläche des projizierten Polygons multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, der durch die Ebene des Polygons und die Projektionsebene gebildet wird.
Jedes Polygon kann in Dreiecke unterteilt werden, deren Flächensumme gleich der Fläche des Polygons ist. Daher genügt es, den Satz für ein Dreieck zu beweisen.
Lassen /\
ABC wird auf eine Ebene projiziert R. Betrachten Sie zwei Fälle:
a) eine der Parteien /\
ABC ist parallel zur Ebene R;
b) keine der Parteien /\
ABC ist nicht parallel R.
In Betracht ziehen erster Fall: lass [AB] || R.
Zeichnen Sie durch die (AB)-Ebene R 1 || R und projizieren orthogonal /\
ABC an R 1 und weiter R(Abb. 165); wir bekommen /\
ABC1 und /\
ABS".
Durch die Projektionseigenschaft haben wir /\
ABC 1 /\
A"B"C" und daher
S /\ ABC1=S /\ ABC"
Lassen Sie uns _|_ und das Segment D 1 C 1 zeichnen. Dann ist _|_ , a = φ der Winkel zwischen den Ebenen /\ ABC und Flugzeug R eines . Deshalb
S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD1 | cos φ = S /\ ABC cos φ
und damit s /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.
Kommen wir zur Überlegung zweiter Fall. Zeichne ein Flugzeug R 1 || Rüber diesen Gipfel /\
ABC, die Entfernung von der zum Flugzeug R das kleinste (es sei Knoten A).
Wir werden entwerfen /\
ABC im Flugzeug R 1 und R(Abb. 166); seien seine Projektionen jeweils /\
AB 1 C 1 und /\
ABS".
Lass (Sonne) p 1 = D. Dann
S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
Eine Aufgabe. Eine Ebene wird durch die Seite der Basis eines regelmäßigen dreieckigen Prismas unter einem Winkel φ = 30 ° zur Ebene seiner Basis gezogen. Finden Sie die Fläche des resultierenden Abschnitts, wenn die Seite der Basis des Prismas a= 6cm.
Lassen Sie uns den Schnitt dieses Prismas darstellen (Abb. 167). Da das Prisma regelmäßig ist, stehen seine Seitenkanten senkrecht zur Ebene der Basis. Meint, /\ ABC ist eine Projektion /\ ADC, also
Betrachten Sie das Flugzeug p und die Linie, die es schneidet . Lassen ABER ist ein beliebiger Punkt im Raum. Ziehen Sie eine Linie durch diesen Punkt , parallel zur Linie . Lassen . Punkt heißt Punktprojektion ABER zum Flugzeug p im parallelen Design entlang einer vorgegebenen Linie . Ebene p , auf die die Raumpunkte projiziert werden, heißt Projektionsebene.
p - Projektionsebene;
- direkter Entwurf; ;
; ; ;
Orthogonales Design ist ein Sonderfall des parallelen Designs. Orthogonale Projektion ist eine Parallelprojektion, bei der die Projektionslinie senkrecht zur Projektionsebene verläuft. Die orthogonale Projektion wird häufig in der technischen Zeichnung verwendet, bei der eine Figur auf drei Ebenen projiziert wird - horizontal und zwei vertikal.
Definition:
Orthographische Projektion eines Punktes M zum Flugzeug p Basis genannt M 1 aufrecht mm 1, vom Punkt abgesenkt M zum Flugzeug p.
Bezeichnung: , 
, .
Definition: Orthographische Projektion der Figur F zum Flugzeug p ist die Menge aller Punkte der Ebene, die orthogonale Projektionen der Punktmenge der Figur sind F zum Flugzeug p.
Orthogonales Design als Spezialfall des parallelen Designs hat die gleichen Eigenschaften:
p - Projektionsebene;
- direkter Entwurf; ;
1) ;
2) , .
- Projektionen paralleler Linien sind parallel.
Projektionsfläche einer flachen Figur
Satz: Die Fläche der Projektion eines flachen Polygons auf eine bestimmte Ebene ist gleich der Fläche des projizierten Polygons multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen der Ebene des Polygons und der Projektionsebene.
Stufe 1: Die projizierte Figur ist ein Dreieck ABC, dessen Seite AC in der Projektionsebene a (parallel zur Projektionsebene a) liegt.
Gegeben:
Beweisen:
Nachweisen:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Nach dem Satz der drei Senkrechten;
ВD - Höhe; In 1 D - Höhe;
5. - linearer Winkel des Diederwinkels;
6. ; ; ; 
;
Stufe 2: Die projizierte Figur ist ein Dreieck ABC, dessen Seiten nicht in der Projektionsebene a liegen und nicht parallel dazu sind.
Gegeben:
Beweisen:
Nachweisen:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Bühne 1);
5. ; ; ;
(Bühne 1);
Bühne: Die entworfene Figur ist ein beliebiges Vieleck.
Nachweisen:
Das Polygon wird durch Diagonalen, die von einem Eckpunkt aus gezogen werden, in eine endliche Anzahl von Dreiecken unterteilt, für die der Satz gilt. Daher gilt der Satz auch für die Summe der Flächeninhalte aller Dreiecke, deren Ebenen mit der Projektionsebene denselben Winkel bilden.
Kommentar: Der bewiesene Satz gilt für jede flache Figur, die durch eine geschlossene Kurve begrenzt ist.
Übungen:
1. Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist, wenn seine Projektion ein regelmäßiges Dreieck mit der Seite a ist.
2. Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist, wenn seine Projektion ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Seite von 10 cm und einer Basis von 12 cm ist.
3. Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist, wenn seine Projektion ein Dreieck mit den Seiten 9, 10 und 17 cm ist.
4. Berechnen Sie die Fläche des Trapezes, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist, wenn seine Projektion ein gleichschenkliges Trapez ist, dessen größere Basis 44 cm, die Seite 17 cm und die Diagonale beträgt 39cm.
5. Berechnen Sie die Projektionsfläche eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 8 cm, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist.
6. Eine Raute mit einer Seitenlänge von 12 cm und einem spitzen Winkel bildet mit einer gegebenen Ebene einen Winkel. Berechnen Sie die Projektionsfläche der Raute auf dieser Ebene.
7. Eine Raute mit einer Seitenlänge von 20 cm und einer Diagonale von 32 cm bildet mit einer gegebenen Ebene einen Winkel. Berechnen Sie die Projektionsfläche der Raute auf dieser Ebene.
8. Die Projektion des Baldachins auf eine horizontale Ebene ist ein Rechteck mit Seiten und . Finden Sie die Fläche des Baldachins, wenn die Seitenflächen gleiche Rechtecke sind, die in einem Winkel zur horizontalen Ebene geneigt sind, und der mittlere Teil des Baldachins ein Quadrat parallel zur Projektionsebene ist.
11. Übungen zum Thema "Linien und Ebenen im Raum":
Die Seiten des Dreiecks sind 20 cm, 65 cm, 75 cm. Vom Scheitelpunkt des größeren Winkels des Dreiecks zu seiner Ebene wird eine 60 cm lange Senkrechte gezogen. Bestimmen Sie den Abstand von den Enden der Senkrechten zur größeren Seite des Dreiecks.
2. Von einem Punkt, der in einem Abstand von cm von der Ebene getrennt ist, werden zwei geneigte gezeichnet, die mit der Ebene Winkel bilden, die gleich sind , und untereinander - ein rechter Winkel. Finden Sie den Abstand zwischen den Schnittpunkten der schiefen Ebene.
3. Die Seite eines regelmäßigen Dreiecks beträgt 12 cm Der Punkt M wird so gewählt, dass die Segmente, die den Punkt M mit allen Eckpunkten des Dreiecks verbinden, Winkel mit seiner Ebene bilden. Finden Sie den Abstand von Punkt M zu den Ecken und Seiten des Dreiecks.
4. Eine Ebene wird in einem Winkel zur Diagonalen des Quadrats durch die Seite des Quadrats gezogen. Finde die Winkel, in denen zwei Seiten des Quadrats zur Ebene geneigt sind.
5. Der Schenkel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks ist schräg zur Ebene a geneigt, die durch die Hypotenuse verläuft. Beweisen Sie, dass der Winkel zwischen der Ebene a und der Ebene des Dreiecks ist.
6. Der Flächenwinkel zwischen den Ebenen der Dreiecke ABC und DBC beträgt . Finden Sie AD, wenn AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Kontrollfragen zum Thema "Linien und Ebenen im Raum"
1. Nennen Sie die grundlegenden Konzepte der Stereometrie. Formulieren Sie die Axiome der Stereometrie.
2. Beweisen Sie die Konsequenzen der Axiome.
3. Wie ist die relative Position zweier Linien im Raum? Definieren Sie sich schneidende, parallele, sich schneidende Linien.
4. Beweisen Sie das Kriterium für sich schneidende Geraden.
5. Wie ist die relative Position der Linie und der Ebene? Geben Sie Definitionen für sich schneidende, parallele Linien und Ebenen an.
6. Beweisen Sie das Parallelitätszeichen einer Geraden und einer Ebene.
7. Wie ist die relative Position der beiden Ebenen?
8. Definieren Sie parallele Ebenen. Beweisen Sie ein Kriterium für die Parallelität zweier Ebenen. Formulieren Sie Sätze über parallele Ebenen.
9. Definieren Sie den Winkel zwischen Linien.
10. Beweisen Sie das Zeichen der Rechtwinkligkeit einer Geraden und einer Ebene.
11. Definieren Sie die Basis der Senkrechten, die Basis der Schräge, die Projektion der Schräge auf eine Ebene. Formulieren Sie die Eigenschaften der Senkrechten und Schrägen, die von einem Punkt auf die Ebene abgesenkt werden.
12. Definieren Sie den Winkel zwischen einer geraden Linie und einer Ebene.
13. Beweisen Sie den Satz an drei Senkrechten.
14. Geben Sie Definitionen eines Diederwinkels, eines linearen Winkels eines Diederwinkels an.
15. Beweisen Sie das Zeichen der Rechtwinkligkeit zweier Ebenen.
16. Definieren Sie den Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten.
17. Definieren Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
18. Definieren Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.
19. Definieren Sie den Abstand zwischen einer Geraden und einer dazu parallelen Ebene.
20. Definieren Sie den Abstand zwischen parallelen Ebenen.
21. Definieren Sie den Abstand zwischen schrägen Linien.
22. Definieren Sie die orthogonale Projektion eines Punktes auf eine Ebene.
23. Definieren Sie die orthogonale Projektion einer Figur auf eine Ebene.
24. Formulieren Sie Eigenschaften von Projektionen auf eine Ebene.
25. Formulieren und beweisen Sie einen Satz über die Projektionsfläche eines flachen Polygons.
