Bis zum Bestehen der Prüfung in Mathematik bleibt immer weniger Zeit. Die Situation spitzt sich zu, die Nerven von Schülern, Eltern, Lehrern und Erziehern werden immer mehr strapaziert. Tägliche Mathe-Unterrichtseinheiten werden Ihnen helfen, nervöse Spannungen abzubauen. Denn nichts lädt sich bekanntlich so positiv auf und hilft nicht beim Bestehen von Prüfungen, wie das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und Kenntnisse. Heute erzählt Ihnen ein Mathematiklehrer von der Lösung von Systemen logarithmischer und exponentieller Ungleichungen, Aufgaben, die traditionell vielen modernen Gymnasiasten Schwierigkeiten bereiten.

Um das Lösen von Aufgaben C3 aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zu lernen, empfehle ich Ihnen als Nachhilfelehrer in Mathematik, die folgenden wichtigen Punkte zu beachten.

1. Bevor Sie mit der Lösung von Systemen logarithmischer und exponentieller Ungleichungen fortfahren, müssen Sie lernen, wie Sie jede dieser Arten von Ungleichungen separat lösen. Um zu verstehen, wie der Bereich der zulässigen Werte gefunden wird, werden insbesondere äquivalente Transformationen von logarithmischen und exponentiellen Ausdrücken durchgeführt. Sie können einige der damit verbundenen Geheimnisse verstehen, indem Sie die Artikel "" und "" studieren.

2. Gleichzeitig ist es notwendig zu erkennen, dass die Lösung eines Systems von Ungleichungen nicht immer darauf hinausläuft, jede Ungleichung einzeln zu lösen und die resultierenden Lücken zu schließen. Manchmal wird die Lösung der zweiten stark vereinfacht, wenn man die Lösung einer Ungleichung des Systems kennt. Als Mathe-Tutor, der Schüler auf Abschlussprüfungen im USE-Format vorbereitet, werde ich in diesem Artikel ein paar Geheimnisse dazu lüften.

3. Es ist notwendig, den Unterschied zwischen der Schnittmenge und der Vereinigung von Mengen für sich selbst klar zu verstehen. Dies ist eines der wichtigsten mathematischen Kenntnisse, die ein erfahrener professioneller Tutor seinem Schüler von den ersten Unterrichtsstunden an zu vermitteln versucht. Eine visuelle Darstellung des Schnitts und der Vereinigung von Mengen ist durch die sogenannten "Euler-Kreise" gegeben.

Schnittpunkt setzen Eine Menge heißt eine Menge, die nur die Elemente enthält, die jede dieser Mengen hat.

Überschneidung

Bild des Schnittpunkts von Mengen mit "Euler-Kreisen"

Finger Erklärung. Diana hat ein „Set“ in ihrer Handtasche, bestehend aus ( Stifte, Bleistift, Lineale, Notizbücher, Kämme). Alice hat ein "Set" in ihrer Handtasche, bestehend aus ( Notizbuch, Bleistift, Spiegel, Notizbücher, die Kiewer Koteletts). Der Schnittpunkt dieser beiden "Mengen" wird die "Menge" sein, die aus ( Bleistift, Notizbücher), da sowohl Diana als auch Alice beide dieser „Elemente“ haben.

Wichtig zu merken! Wenn die Lösung der Ungleichung das Intervall und die Lösung der Ungleichung das Intervall ist, dann ist die Lösung der Systeme:

ist das Intervall, das ist Überschneidung ursprüngliche Intervalle. Hier und untenirgendeiner der Charaktere title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} und unter ist das entgegengesetzte Vorzeichen.

Vereinigung von Mengen heißt die Menge, die aus allen Elementen der ursprünglichen Mengen besteht.

Mit anderen Worten, wenn zwei Sätze gegeben sind und dann ihre Verband wird ein Satz der folgenden Form sein:

Bild der Vereinigung von Mengen mit "Euler-Kreisen"

Finger Erklärung. Die Vereinigung der "Mengen" im vorherigen Beispiel ist die "Menge", die aus ( Stifte, Bleistift, Lineale, Notizbücher, Kämme, Notizbuch, Spiegel, die Kiewer Koteletts), da es aus allen Elementen der ursprünglichen "Mengen" besteht. Eine Klarstellung, die vielleicht nicht überflüssig ist. Viele kann nicht dieselben Elemente enthalten.

Wichtig zu merken! Wenn die Lösung der Ungleichung das Intervall und die Lösung der Ungleichung das Intervall ist, dann ist die Lösung der Menge:

ist das Intervall, das ist einen Verband ursprüngliche Intervalle.

Kommen wir direkt zu den Beispielen.

Beispiel 1 Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung von Problem C3.

1. Wir lösen zuerst die erste Ungleichung. Mit der Substitution gelangen wir zur Ungleichung:

2. Wir lösen nun die zweite Ungleichung. Der Bereich seiner zulässigen Werte wird durch die Ungleichung bestimmt:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Innerhalb des akzeptablen Bereichs, vorausgesetzt, dass die Basis des Logarithmus title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Unter Ausschluss von Lösungen, die nicht im Bereich der zulässigen Werte liegen, erhalten wir das Intervall

3. Antwort auf System Ungleichheiten werden Überschneidung

Die entstehenden Lücken auf dem Zahlenstrahl. Die Lösung ist ihre Schnittmenge

Beispiel 2 Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung von Problem C3.

1. Wir lösen zuerst die erste Ungleichung. Multipliziere beide Teile mit title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Kommen wir zur umgekehrten Substitution:

2.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Grafische Darstellung der resultierenden Spannweite. Lösung des Systems - ihre Schnittmenge

Beispiel 3 Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung von Problem C3.

1. Wir lösen zuerst die erste Ungleichung. Multipliziere beide Teile davon mit title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Mittels Substitution gelangen wir zu folgender Ungleichung:

Kommen wir zur umgekehrten Substitution:

2. Wir lösen nun die zweite Ungleichung. Lassen Sie uns zunächst den Bereich der zulässigen Werte dieser Ungleichung bestimmen:

ql-rechts-eqno">

Bitte beachte, dass

Dann erhalten wir unter Berücksichtigung des zulässigen Wertebereichs:

3. Wir finden die allgemeine Lösung von Ungleichungen. Der Vergleich der erhaltenen irrationalen Werte der Knotenpunkte ist in diesem Beispiel keineswegs trivial. Dies kann auf folgende Weise erfolgen. Als

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

dann und die endgültige Antwort an das System ist:

Beispiel 4 Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung des Problems C3.

1. Lösen wir zuerst die zweite Ungleichung:

2. Die erste Ungleichung des ursprünglichen Systems ist eine logarithmische Variablen-Basis-Ungleichung. Eine bequeme Möglichkeit, solche Ungleichungen zu lösen, ist im Artikel "Komplexe logarithmische Ungleichungen" beschrieben, sie basiert auf einer einfachen Formel:

Anstelle eines Vorzeichens kann ein beliebiges Ungleichheitszeichen eingesetzt werden, Hauptsache, es ist in beiden Fällen gleich. Die Verwendung dieser Formel vereinfacht die Lösung der Ungleichung erheblich:

Lassen Sie uns nun den Bereich der zulässigen Werte dieser Ungleichung bestimmen. Es wird durch das folgende System gegeben:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

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Es ist leicht einzusehen, dass dieses Intervall gleichzeitig auch die Lösung unserer Ungleichung sein wird.

3. Die endgültige Antwort auf das Original Systeme Ungleichheiten werden Überschneidung erhalten Intervalle, das ist

Beispiel 5 Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Problemlösung C3.

1. Wir lösen zuerst die erste Ungleichung. Wir verwenden Substitution. Wir gehen zu folgender quadratischer Ungleichung über:

2. Wir lösen nun die zweite Ungleichung. Der Bereich seiner zulässigen Werte wird vom System bestimmt:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Diese Ungleichung entspricht dem folgenden gemischten System:

Im Bereich gültiger Werte, also mit title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Unter Berücksichtigung des Bereichs der zulässigen Werte erhalten wir:

3. Die endgültige Entscheidung des Originals Systeme ist

Lösung von Problem C3.

1. Wir lösen zuerst die erste Ungleichung. Durch äquivalente Transformationen bringen wir es auf die Form:

2. Wir lösen nun die zweite Ungleichung. Der Bereich seiner gültigen Werte wird durch die Spanne bestimmt: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Diese Antwort gehört vollständig in den Bereich der akzeptablen Werte der Ungleichheit.

3. Indem wir die in den vorherigen Abschnitten erhaltenen Intervalle kreuzen, erhalten wir die endgültige Antwort auf das System der Ungleichungen:

Heute haben wir Systeme logarithmischer und exponentieller Ungleichungen gelöst. Aufgaben dieser Art wurden im laufenden Studienjahr in Testversionen des USE in Mathematics angeboten. Als Mathe-Tutor mit Erfahrung in der Vorbereitung auf den USE kann ich jedoch sagen, dass dies keineswegs bedeutet, dass ähnliche Aufgaben in den realen Versionen des USE in Mathematik im Juni enthalten sein werden.

Lassen Sie mich eine Warnung aussprechen, die sich in erster Linie an Tutoren und Schullehrer richtet, die an der Vorbereitung von Gymnasiasten auf den USE in Mathematik beteiligt sind. Es ist sehr gefährlich, Schüler streng auf vorgegebene Themen auf eine Prüfung vorzubereiten, da in diesem Fall die Gefahr besteht, dass sie selbst bei einer geringfügigen Änderung des zuvor angegebenen Aufgabenformats vollständig „aufgefüllt“ wird. Die Mathematikausbildung muss abgeschlossen sein. Liebe Kolleginnen und Kollegen, bitte vergleichen Sie Ihre Schüler nicht mit Robotern durch das sogenannte „Training“, um eine bestimmte Art von Problem zu lösen. Schließlich gibt es nichts Schlimmeres als die Formalisierung des menschlichen Denkens.

Allen viel Glück und kreativen Erfolg!

Sergej Walerjewitsch

Wenn Sie es versuchen, gibt es zwei Möglichkeiten: Es wird funktionieren oder es wird nicht funktionieren. Wenn Sie es nicht versuchen, gibt es nur einen.
© Volksweisheit

Die Lösung der meisten mathematischen Probleme ist irgendwie mit der Transformation numerischer, algebraischer oder funktionaler Ausdrücke verbunden. Dies gilt insbesondere für die Lösung. In den USE-Varianten Mathematik gehört zu diesem Aufgabentyp insbesondere die Aufgabe C3. Das Erlernen der Lösung von C3-Aufgaben ist nicht nur für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung wichtig, sondern auch aus dem Grund, dass diese Fähigkeit für das Studium eines Mathematikstudiums an Hochschulen nützlich sein wird.

Bei den Aufgaben C3 müssen Sie verschiedene Arten von Gleichungen und Ungleichungen lösen. Darunter sind rationale, irrationale, exponentielle, logarithmische, trigonometrische, enthaltende Module (Absolutwerte) sowie kombinierte. In diesem Artikel werden die wichtigsten Arten von Exponentialgleichungen und -ungleichungen sowie verschiedene Methoden zu ihrer Lösung beschrieben. Lesen Sie über das Lösen anderer Arten von Gleichungen und Ungleichungen in der Überschrift "" in Artikeln, die Methoden zum Lösen von C3-Problemen aus den USE-Varianten in der Mathematik gewidmet sind.

Bevor Sie mit der Analyse von spezifischen fortfahren Exponentialgleichungen und Ungleichungen, als Mathe-Nachhilfelehrer schlage ich vor, dass Sie einiges an theoretischem Material auffrischen, das wir brauchen werden.

Exponentialfunktion

Was ist eine Exponentialfunktion?

Ansichtsfunktion j = ein x, wo a> 0 und a≠ 1, genannt Exponentialfunktion.

Hauptsächlich Exponentialfunktion Eigenschaften j = ein x:

Graph einer Exponentialfunktion

Der Graph der Exponentialfunktion ist Aussteller:

Graphen von Exponentialfunktionen (Exponenten)

Lösung von Exponentialgleichungen

indikativ werden Gleichungen genannt, in denen die unbekannte Variable nur in Exponenten beliebiger Potenzen vorkommt.

Für Lösungen Exponentialgleichungen Sie müssen den folgenden einfachen Satz kennen und anwenden können:

Satz 1. Exponentialgleichung a f(x) = a g(x) (wo a > 0, a≠ 1) entspricht der Gleichung f(x) = g(x).

Darüber hinaus ist es nützlich, sich die grundlegenden Formeln und Aktionen mit Abstufungen zu merken:

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Beispiel 1 Löse die Gleichung:

Lösung: Verwenden Sie die obigen Formeln und Substitution:

Die Gleichung lautet dann:

Die Diskriminante der resultierenden quadratischen Gleichung ist positiv:

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Dies bedeutet, dass diese Gleichung zwei Wurzeln hat. Wir finden sie:

Zurück zur Substitution erhalten wir:

Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln, da die Exponentialfunktion über den gesamten Definitionsbereich streng positiv ist. Lösen wir die zweite:

Unter Berücksichtigung dessen, was in Theorem 1 gesagt wurde, gehen wir zur äquivalenten Gleichung über: x= 3. Dies ist die Antwort auf die Aufgabe.

Antworten: x = 3.

Beispiel 2 Löse die Gleichung:

Lösung: Die Gleichung hat keine Einschränkungen im Bereich der zulässigen Werte, da der Wurzelausdruck für jeden Wert sinnvoll ist x(Exponentialfunktion j = 9 4 -x positiv und ungleich Null).

Wir lösen die Gleichung durch äquivalente Transformationen unter Verwendung der Regeln der Multiplikation und Division von Potenzen:

Der letzte Übergang wurde gemäß Theorem 1 durchgeführt.

Antworten:x= 6.

Beispiel 3 Löse die Gleichung:

Lösung: beide Seiten der ursprünglichen Gleichung können durch 0,2 geteilt werden x. Dieser Übergang ist äquivalent, da dieser Ausdruck für jeden Wert größer als Null ist x(Die Exponentialfunktion ist in ihrem Bereich streng positiv). Dann nimmt die Gleichung die Form an:

Antworten: x = 0.

Beispiel 4 Löse die Gleichung:

Lösung: Wir vereinfachen die Gleichung durch äquivalente Transformationen zu einer elementaren Gleichung, indem wir die Regeln der Division und Multiplikation von Potenzen verwenden, die am Anfang des Artikels angegeben sind:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 4 x, wie im vorherigen Beispiel, ist eine äquivalente Transformation, da dieser Ausdruck für keinen Wert gleich Null ist x.

Antworten: x = 0.

Beispiel 5 Löse die Gleichung:

Lösung: Funktion j = 3x, die auf der linken Seite der Gleichung steht, nimmt zu. Funktion j = —x-2/3, auf der rechten Seite der Gleichung stehend, nimmt ab. Das heißt, wenn sich die Graphen dieser Funktionen schneiden, dann höchstens an einem Punkt. In diesem Fall ist leicht zu erraten, dass sich die Graphen an diesem Punkt schneiden x= -1. Es wird keine anderen Wurzeln geben.

Antworten: x = -1.

Beispiel 6 Löse die Gleichung:

Lösung: Wir vereinfachen die Gleichung durch äquivalente Transformationen, wobei wir überall berücksichtigen, dass die Exponentialfunktion für jeden Wert strikt größer als Null ist x und unter Verwendung der am Anfang des Artikels angegebenen Regeln zur Berechnung des Produkts und der Teilpotenzen:

Antworten: x = 2.

Exponentielle Ungleichungen lösen

indikativ Ungleichungen genannt, bei denen die unbekannte Variable nur in den Exponenten einiger Potenzen enthalten ist.

Für Lösungen exponentielle Ungleichungen Voraussetzung ist die Kenntnis des folgenden Satzes:

Satz 2. Wenn ein a> 1, dann die Ungleichung a f(x) > a g(x) entspricht einer gleichbedeutenden Ungleichung: f(x) > g(x). Wenn 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) entspricht einer Ungleichung der entgegengesetzten Bedeutung: f(x) < g(x).

Beispiel 7 Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung: Stellen Sie die ursprüngliche Ungleichung in der Form dar:

Teilen Sie beide Seiten dieser Ungleichung durch 3 2 x, und (aufgrund der Positivität der Funktion j= 3 2x) ändert sich das Ungleichheitszeichen nicht:

Lassen Sie uns eine Substitution verwenden:

Dann nimmt die Ungleichung die Form an:

Die Lösung der Ungleichung ist also das Intervall:

Wenn wir zur umgekehrten Substitution übergehen, erhalten wir:

Die linke Ungleichung ist aufgrund der Positivität der Exponentialfunktion automatisch erfüllt. Unter Verwendung der bekannten Eigenschaft des Logarithmus gehen wir zur äquivalenten Ungleichung über:

Da die Basis des Grads eine Zahl größer als eins ist, wird Äquivalent (nach Satz 2) der Übergang zu der folgenden Ungleichung sein:

Also bekommen wir endlich Antworten:

Beispiel 8 Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung: Unter Verwendung der Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen schreiben wir die Ungleichung in die Form um:

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen:

Mit dieser Substitution nimmt die Ungleichung die Form an:

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit 7, erhalten wir die folgende äquivalente Ungleichung:

Die Ungleichung wird also durch die folgenden Werte der Variablen erfüllt t:

Wenn wir dann zur Substitution zurückkehren, erhalten wir:

Da die Basis des Grades hier größer als eins ist, geht man (nach Satz 2) äquivalent zur Ungleichung über:

Endlich bekommen wir Antworten:

Beispiel 9 Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung:

Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch den Ausdruck:

Es ist immer größer als Null (weil die Exponentialfunktion positiv ist), sodass das Ungleichheitszeichen nicht geändert werden muss. Wir bekommen:

t , die im Intervall liegen:

Beim Übergang zur umgekehrten Substitution stellen wir fest, dass sich die ursprüngliche Ungleichung in zwei Fälle aufteilt:

Die erste Ungleichung hat wegen der Positivität der Exponentialfunktion keine Lösungen. Lösen wir die zweite:

Beispiel 10 Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung:

Parabelzweige j = 2x+2-x 2 sind nach unten gerichtet, daher wird sie nach oben durch den Wert begrenzt, den sie an ihrer Spitze erreicht:

Parabelzweige j = x 2 -2x+2, die im Indikator stehen, sind nach oben gerichtet, was bedeutet, dass er von unten durch den Wert begrenzt wird, den er oben erreicht:

Gleichzeitig erweist sich die Funktion als nach unten beschränkt j = 3 x 2 -2x+2 auf der rechten Seite der Gleichung. Sie erreicht ihren kleinsten Wert an der gleichen Stelle wie die Parabel im Index, und dieser Wert ist gleich 3 1 = 3. Die ursprüngliche Ungleichung kann also nur wahr sein, wenn die Funktion links und die Funktion rechts nehmen value , gleich 3 (der Schnittpunkt der Bereiche dieser Funktionen ist nur diese Zahl). Diese Bedingung ist an einem einzigen Punkt erfüllt x = 1.

Antworten: x= 1.

Um zu lernen, wie man löst Exponentialgleichungen und Ungleichungen, Sie müssen ihre Lösung ständig trainieren. Verschiedene Methodenhandbücher, mathematische Grundschulhefte, Sammlungen von Wettbewerbsaufgaben, Mathematikunterricht in der Schule sowie Einzelunterricht mit einem professionellen Tutor können Ihnen bei dieser schwierigen Aufgabe helfen. Ich wünsche Ihnen von Herzen viel Erfolg bei der Vorbereitung und glänzende Ergebnisse bei der Prüfung.

Sergej Walerjewitsch

P.S. Liebe Gäste! Bitte schreiben Sie keine Anfragen zur Lösung Ihrer Gleichungen in die Kommentare. Dafür habe ich leider überhaupt keine Zeit. Solche Nachrichten werden gelöscht. Bitte lesen Sie den Artikel. Vielleicht finden Sie darin Antworten auf Fragen, mit denen Sie Ihre Aufgabe nicht alleine lösen konnten.

Irrationale Ungleichheiten

Unter einer irrationalen Ungleichung versteht man eine Ungleichung, bei der die unbekannten Größen unter dem Vorzeichen des Radikals stehen. Die Lösung solcher Ungleichungen besteht in der Regel darin, dass sie mit Hilfe einiger Transformationen durch äquivalente rationale Gleichungen, Ungleichungen oder Gleichungs- und Ungleichungssysteme (oftmals gemischte Systeme, d. h. solche, die sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen enthalten) ersetzt werden. , und weiter kann die Lösung den oben umrissenen Schritten folgen. Diese Transformationen sind neben der Veränderung von Variablen (Einführung neuer Variablen) und der Faktorisierung auch die Erhöhung beider Teile der Ungleichung im gleichen Maße. In diesem Fall muss jedoch die Äquivalenz der Übergänge von einer Ungleichung zur anderen überwacht werden. Mit gedankenloser Potenzierung können die Wurzeln der Ungleichheit gleichzeitig verloren und gewonnen werden. Zum Beispiel das Quadrieren der korrekten Ungleichung -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Die hier verwendete Hauptaussage ist jedoch wahr: Wenn beide Seiten einer Ungleichung nichtnegativ sind, dann ist sie äquivalent zu der Ungleichung, die man durch termweise Potenzierung erhält.

Bei der Lösung von Ungleichungen auf diese Weise muss darauf geachtet werden, keine Fremdlösungen zu erhalten. Daher ist es sinnvoll, wenn möglich, den Definitionsbereich der Ungleichung sowie den Bereich möglicher Werte der Lösungen zu finden.

Exponentielle und logarithmische Ungleichungen

Der Lösung exponentieller und logarithmischer Ungleichungen geht das Studium der Eigenschaften der entsprechenden Funktionen voraus; Durchführung vieler Aufgaben zur Transformation von Exponential- und Logarithmusausdrücken; Lösung von Gleichungen mit Logarithmen und Variablen im Exponenten. Die Lösung der einfachsten Ungleichungen, die berücksichtigt werden

wobei eine der Ungleichungen bedeutet<,>,.

Der Punkt ist, dass dieses Thema normalerweise als absolut neues Thema eingeführt wird, basierend nur auf den zuvor untersuchten Eigenschaften dieser Funktionen. Es ist meines Erachtens sinnvoll, es mit der Lösung von Ungleichungen im Allgemeinen (also mit dem bereits bekannten Algorithmus) zu verbinden. Es ist zu beachten, dass die Intervallmethode nicht direkt verwendet werden kann. Aber die Lösung verschiedener exponentieller und logarithmischer Ungleichungen basiert auf den folgenden Regeln:

Wenn a > 1, dann

Wenn 0

Wenn a > 1, dann

Wenn 0

Wobei das Zeichen das Gegenteil in der Bedeutung des Zeichens bedeutet.

Damit werden in der Regel exponentielle und logarithmische Ungleichungen auf rationale zurückgeführt, die bereits mit der oben beschriebenen Methode der Intervalle gelöst werden können.

Ungleichungen, die trigonometrische Funktionen enthalten

Dieses Thema wird in der pädagogischen Literatur kaum behandelt, und in einigen Lehrbüchern wird es im Allgemeinen aus dem Rahmen des zu studierenden Kurses herausgenommen (wie bereits in Kapitel I dieser Arbeit erwähnt). Von den trigonometrischen Ungleichungen werden in der Regel nur die einfachsten Typen betrachtet.

Wohingegen die im praktischen Teil zu diesem Abschnitt vorgestellten Aufgaben in Sammlungen von Wettbewerbsproblemen, in Sammlungen für Bewerber und Materialien für Aufnahmeprüfungen an technischen Fakultäten von Universitäten zu finden sind. Diese. Dieses Material gehört nicht zum Pflichtstudium in der Grund- und Oberstufe, ist aber nützlich.

Die Intervallmethode ist besonders effektiv beim Lösen von Ungleichungen, die trigonometrische Funktionen enthalten. Bei der Lösung rein trigonometrischer Ungleichungen mit dieser Methode ist es zweckmäßig, statt der Zahlenachse einen Zahlenkreis zu verwenden, der durch die Wurzeln der entsprechenden trigonometrischen Gleichungen (Zähler und Nenner) in Bögen unterteilt wird, die die gleiche Rolle spielen wie die Intervalle auf der Zahlenachse. Auf diesen Bögen hat der trigonometrische Ausdruck, der der zu lösenden Ungleichung entspricht, konstante Vorzeichen, die unter Verwendung der Regel eines separaten „bequemen“ Punktes und der Eigenschaft der Vielfachheit von Wurzeln bestimmt werden können. Um die Bögen selbst zu bestimmen, ist es oft überhaupt nicht erforderlich, den gesamten (unendlichen) Satz von Wurzeln der entsprechenden Gleichungen zu finden; Es reicht aus, aus diesen Gleichungen die Werte der wichtigsten trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens) zu finden und die diesen Werten entsprechenden Punkte auf dem Zahlenkreis zu markieren.

Sie können den Zahlenkreis direkt verwenden, um die ursprüngliche trigonometrische Ungleichung mit der Intervallmethode zu lösen, wenn alle Funktionen, durch die die Ungleichung geschrieben wird, die Hauptperiode (kleinste positive) oder haben, wobei m eine positive ganze Zahl ist. Wenn der Hauptpunkt dieser Funktionen größer als oder ist, sollten Sie zuerst die Variablen ändern und dann den Zahlenkreis verwenden.

Wenn die Ungleichung sowohl trigonometrische als auch andere Funktionen enthält, sollte die numerische Achse verwendet werden, um sie mit der Intervallmethode zu lösen.

Alle B7-Aufgaben, die ich gesehen habe, wurden auf die gleiche Weise formuliert: eine Gleichung lösen. In diesem Fall gehören die Gleichungen selbst zu einem von drei Typen:

1. logarithmisch;
2. Demonstrativ;
3. Irrational.

Im Allgemeinen wird ein vollständiger Leitfaden für jede Art von Gleichung mehr als ein Dutzend Seiten umfassen und weit über den Rahmen der Prüfung hinausgehen. Daher werden wir nur die einfachsten Fälle betrachten, die unprätentiöse Überlegungen und Berechnungen erfordern. Dieses Wissen wird völlig ausreichen, um jedes B7-Problem zu lösen.

In der Mathematik bedeutet der Begriff "eine Gleichung lösen", die Menge aller Wurzeln einer gegebenen Gleichung zu finden oder zu beweisen, dass diese Menge leer ist. Im USE-Formular können aber nur Zahlen eingegeben werden - keine Sets. Wenn es also mehr als eine Wurzel in Aufgabe B7 gab (oder umgekehrt keine), wurde in der Lösung ein Fehler gemacht.

Logarithmische Gleichungen

Eine logarithmische Gleichung ist jede Gleichung, die sich auf die Form log reduzieren lässt a f(x) = k, wo a > 0, a≠ 1 ist die Basis des Logarithmus, f(x) ist eine beliebige Funktion, k ist etwas konstant.

Eine solche Gleichung löst man, indem man die Konstante k unter dem Vorzeichen des Logarithmus einführt: k= anmelden a a k. Die Basis des neuen Logarithmus ist gleich der Basis des Originals. Wir erhalten das Gleichungslog a f(x) = Protokoll a a k, die durch Verwerfen des Logarithmus gelöst wird.

Beachten Sie das, durch die Bedingung a> 0, also f(x) = a k> 0, d.h. der ursprüngliche Logarithmus existiert.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: log 7 (8 − x) = 2.

Lösung. log 7 (8 − x) = 2 ⇔ log 7 (8 − x) = log 7 7 2 ⇔ 8 − x = 49 ⇔ x = −41.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: log 0,5 (6 − x) = −2.

Lösung. log 0,5 (6 − x) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − x) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − x = 4 ⇔ x = 2.

Aber was ist, wenn sich herausstellt, dass die ursprüngliche Gleichung komplizierter ist als das Standardprotokoll? a f(x) = k? Dann reduzieren wir es auf den Standard, sammeln alle Logarithmen in einer Richtung und die Zahlen in der anderen.

Wenn in der ursprünglichen Gleichung mehr als ein Logarithmus vorkommt, müssen Sie den Bereich der zulässigen Werte (ODV) jeder unter dem Logarithmus stehenden Funktion suchen. Andernfalls können zusätzliche Wurzeln erscheinen.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: log 5 ( x+ 1) + Protokoll 5 ( x + 5) = 1.

Da es zwei Logarithmen in der Gleichung gibt, finden wir die ODZ:

1. x + 1 > 0 ⇔ x > −1
2. x + 5 > 0 ⇔ x > −5

Wir erhalten, dass die ODZ das Intervall (−1, +∞) ist. Jetzt lösen wir die Gleichung:

Protokoll 5 ( x+ 1) + Protokoll 5 ( x+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( x + 1)(x+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( x + 1)(x+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( x + 1)(x + 5) = 5 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 5 ⇔ x (x + 6) = 0 ⇔ x 1 = 0, x 2 = −6.

Aber x 2 = -6 qualifiziert nicht für ODZ. Bleibt die Wurzel x 1 = 0.

Exponentialgleichungen

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die sich auf die Form reduziert a f(x) = k, wo a > 0, a≠ 1 - Studiengrundlage, f(x) ist eine beliebige Funktion, k ist etwas konstant.

Diese Definition wiederholt fast wörtlich die Definition einer logarithmischen Gleichung. Die Exponentialgleichungen sind noch einfacher zu lösen als die logarithmischen, weil hier die Funktion nicht benötigt wird f(x) war positiv.

Um dies zu lösen, nehmen wir die Substitution vor k = a t, wo t Allgemein gesprochen ist der Logarithmus ( t= anmelden a k), aber im USE die Zahlen a und k wird gewählt, damit zu finden t wird einfach sein. In der resultierenden Gleichung a f(x) = a t die Basen sind gleich, was bedeutet, dass die Exponenten gleich sind, d.h. f(x) = t. Die Lösung der letzten Gleichung bereitet in der Regel keine Probleme.

Eine Aufgabe. Gleichung lösen: 7 x − 2 = 49.

Lösung. 7 x − 2 = 49 ⇔ 7 x − 2 = 7 2 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: 6 16 − x = 1/36.

Lösung. 6 16 - x = 1/36 ⇔ 6 16 − x = 6 −2 ⇔ 16 − x = −2 ⇔ x = 18.

Ein wenig über die Transformation von Exponentialgleichungen. Wenn die ursprüngliche Gleichung abweicht a f(x) = k , wenden wir die Regeln für die Arbeit mit Graden an:

1. a n · a m = a n + m ,
2. a n / a m = a n − m ,
3. (a n) m = a n · m .

Außerdem müssen Sie die Regeln zum Ersetzen von Wurzeln und Brüchen durch Grade mit einem rationalen Exponenten kennen:

Solche Gleichungen sind in der USE extrem selten, aber ohne sie wäre die Analyse von Problem B7 unvollständig.

Eine Aufgabe. Gleichung lösen: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343

Beachte das:

1. (7/5) 2x − 1 = ((5/7) −1) 2x − 1 = (5/7) 1 − 2x ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Wir haben: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) x− 2 · (5/7) 1 − 2 x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) x − 2 + 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −x − 1 = (5/7) 3 ⇔ −x − 1 = 3 ⇔ x = −4.

Irrationale Gleichungen

Irrational wird jede Gleichung verstanden, die das Vorzeichen der Wurzel enthält. Von der ganzen Vielfalt irrationaler Gleichungen betrachten wir nur den einfachsten Fall, wenn die Gleichung die Form hat:

Um diese Gleichung zu lösen, quadrieren wir beide Seiten. Wir bekommen die Gleichung f(x) = a 2. In diesem Fall ist die Anforderung der ODZ automatisch erfüllt: f(x) ≥ 0, weil a 2 ≥ 0. Es bleibt noch eine einfache Gleichung zu lösen f(x) = a 2 .

Eine Aufgabe. Löse die Gleichung:

Wir quadrieren beide Seiten und erhalten: 5 x − 6 = 8 2 ⇔ 5x − 6 = 64 ⇔ 5x = 70 ⇔ x = 14.

Eine Aufgabe. Löse die Gleichung:

Zuerst quadrieren wir wie beim letzten Mal beide Seiten. Und dann fügen wir dem Zähler ein Minuszeichen hinzu. Wir haben:

Beachten Sie, wann x= −4 steht unter der Wurzel eine positive Zahl, d.h. die Anforderung der ODZ ist erfüllt.