Jobtyp: 7

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-4; 10). Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion f (x). In Ihrer Antwort , geben Sie die Länge des größten von ihnen an.

Lösung anzeigen

Lösung

Wie Sie wissen, nimmt die Funktion f (x) in den Intervallen ab, an denen die Ableitung f "(x) an jedem Punkt kleiner als Null ist. Wenn man bedenkt, dass es notwendig ist, die Länge des größten von ihnen zu finden, drei solcher Intervalle unterscheiden sich natürlich von der Figur: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Die Länge des größten von ihnen - (5; 9) ist gleich 4.

Antworten

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-8; 7). Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f (x), die dazugehören zum Intervall [-6; -2].

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Lösung

Der Graph zeigt, dass die Ableitung f "(x) der Funktion f (x) an genau einem Punkt (zwischen -5 und -4) vom Intervall [ -6;-2 Daher gibt es genau einen maximalen Punkt auf dem Intervall [-6;-2].

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Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), die auf dem Intervall (-2; 8) definiert ist. Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) gleich 0 ist.

Lösung anzeigen

Lösung

Wenn die Ableitung an einem Punkt gleich Null ist, dann ist die Tangente an den Graphen der an diesem Punkt gezeichneten Funktion parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir solche Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse ist. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen können, gibt es 5 Extrempunkte.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und markierte Punkte -6, -1, 1, 4 auf der x-Achse. An welchem ​​dieser Punkte ist der Wert der Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

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Lösung

Wir ziehen Tangenten an den Graphen der Funktion an Punkten mit den angegebenen Abszissen. Wir bestimmen, in welchem ​​​​Winkel sie zur positiven Richtung der Ochsenachse geneigt sind. Wie Sie wissen, ist der Wert der Tangente des angegebenen Winkels der Wert der Ableitung an den angegebenen Punkten.

An den Punkten -1 und 4 sind die Tangenten spitzwinklig geneigt, sodass der Wert der Ableitung an diesen Punkten negativ ist. Bedenkt man, dass die Tangente am Punkt x=-6 in einem kleineren stumpfen Winkel geneigt ist (näher an der Vertikalen), ist der Wert der Ableitung an diesem Punkt am kleinsten.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-9; 4). Finden Sie die Intervalle zum Erhöhen der Funktion f (x). In Ihrem Antwort, geben Sie die Länge des größten von ihnen an.

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Lösung

Wie Sie wissen, nimmt die Funktion f (x) in den Intervallen zu, an denen die Ableitung f "(x) an jedem Punkt größer als Null ist. Wenn man bedenkt, dass es notwendig ist, die Länge des größten von ihnen zu finden, drei solcher Intervalle unterscheiden sich natürlich von der Figur: (-9; -8) ; (-5; -1); (1; 4).

Die Länge des größten von ihnen (-5; -1) beträgt 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-8; 7). Finden Sie die Anzahl der Minimalpunkte der Funktion f (x), die dazugehören zum Intervall [-4; 3].

Wenn der Funktionsgraph in einem bestimmten Intervall eine durchgehende Linie ist, also eine Linie, die ohne Bleistift von einem Blatt Papier gezeichnet werden kann, dann heißt eine solche Funktion auf diesem Intervall stetig. Es gibt auch Funktionen, die nicht stetig sind. Betrachten Sie als Beispiel den Graphen einer Funktion, die auf den Intervallen und [c; b] ist kontinuierlich, aber an einem Punkt
x = c ist diskontinuierlich und daher nicht stetig auf dem gesamten Segment. Alle Funktionen, die wir im Schulmathematikkurs studieren, sind stetige Funktionen auf jedem Intervall, auf dem sie definiert sind.

Beachten Sie, dass eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall eine Ableitung hat, in diesem Intervall stetig ist.

Die Umkehrung ist nicht wahr. Eine Funktion, die in einem Intervall stetig ist, hat möglicherweise an einigen Stellen in diesem Intervall keine Ableitung. Zum Beispiel die Funktion
y = |log 2 x| ist auf dem Intervall x > 0 stetig, hat aber an der Stelle x = 1 keine Ableitung, da der Graph der Funktion an dieser Stelle keine Tangente hat.

Ziehen Sie in Betracht, Diagramme mit der Ableitung zu zeichnen.

Zeichnen Sie die Funktion f(x) = x 3 - 2x 2 + x.

Lösung.

1) Diese Funktion ist für alle x ∈ R definiert.

2) Finden Sie die Monotonieintervalle der betrachteten Funktion und ihren Extremumspunkt unter Verwendung der Ableitung. Die Ableitung ist f "(x) = 3x 2 - 4x + 1. Finden Sie die stationären Punkte:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, woraus x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

Um das Vorzeichen der Ableitung zu bestimmen, zerlegen wir das quadratische Trinom 3x 2 - 4x + 1 in Faktoren:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). Daher in den Intervallen x< 1/3 и х >1 Ableitung ist positiv; die Funktion nimmt also in diesen Intervallen zu.

Die Ableitung ist bei 1/3 negativ< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Der Punkt x 1 \u003d 1/3 ist der maximale Punkt, da die Funktion rechts von diesem Punkt abnimmt und nach links zunimmt. An diesem Punkt ist der Wert der Funktion f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Der Mindestpunkt ist der Punkt x 2 \u003d 1, da die Funktion links von diesem Punkt abnimmt und nach rechts zunimmt; sein Wert an diesem Minimalpunkt ist f(1) = 0.

3) Beim Konstruieren eines Graphen werden üblicherweise die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen gefunden. Da f(0) = 0 ist, geht der Graph durch den Ursprung. Lösen wir die Gleichung f(0) = 0, finden wir die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, woraus x \u003d 0, x \u003d 1.

4) Für eine genauere Darstellung suchen wir die Werte der Funktion an zwei weiteren Punkten: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Anhand der Ergebnisse der Studie (Punkte 1 - 4) erstellen wir ein Diagramm der Funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + x.

Um eine Funktion zu zeichnen, untersucht man normalerweise zuerst die Eigenschaften dieser Funktion, indem man ihre Ableitung nach einem Schema ähnlich dem Schema zur Lösung von Problem 1 verwendet.

Wenn Sie also die Eigenschaften einer Funktion untersuchen, müssen Sie Folgendes finden:

1) der Bereich seiner Definition;

2) Derivat;

3) stationäre Punkte;

4) Zunahme- und Abnahmeintervalle;

5) Extrempunkte und Funktionswerte an diesen Punkten.

Die Ergebnisse der Studie werden bequem in Form einer Tabelle festgehalten. Erstellen Sie dann mithilfe der Tabelle einen Graphen der Funktion. Für eine genauere Darstellung werden normalerweise die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und gegebenenfalls einige weitere Punkte des Diagramms gefunden.

Wenn wir mit einer geraden oder ungeraden Funktion konfrontiert sind, dann für Beim Erstellen seines Diagramms reicht es aus, die Eigenschaften zu untersuchen und sein Diagramm für x\u003e 0 zu erstellen und es dann symmetrisch um die y-Achse (Ursprung) zu reflektieren. Wenn wir beispielsweise die Funktion f(x) = x + 4/x analysieren, kommen wir zu dem Schluss, dass diese Funktion ungerade ist: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x) = -f(x). Nachdem wir alle Punkte des Plans abgeschlossen haben, erstellen wir einen Graphen der Funktion für x\u003e 0 und den Graphen dieser Funktion für x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 relativ zum Ursprung.

Aus Gründen der Kürze beim Lösen von Problemen zum Zeichnen von Funktionen wird der größte Teil der Argumentation mündlich durchgeführt.

Wir weisen auch darauf hin, dass wir bei der Lösung einiger Probleme möglicherweise auf die Notwendigkeit stoßen, die Funktion nicht im gesamten Definitionsbereich, sondern nur in einem bestimmten Intervall zu untersuchen, z. B. wenn Sie beispielsweise die Funktion f(x) zeichnen müssen. = 1 + 2x 2 - x 4 auf Segment [-1; 2].

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Die Variable wird aufgerufen Funktion Variable , wenn jeder gültige Wert entspricht einem einzelnen Wert . Variable es wird genannt unabhängige Variable oder Streit Funktionen.

Die Menge aller Argumentwerte, für die die Funktion bestimmte reelle Werte annimmt, wird aufgerufen Definitionsbereich diese Funktion. Die Menge aller Werte einer Funktion wird aufgerufen seine Reichweite.

Umfang und Umfang einer Funktion f symbolisiert
und
beziehungsweise. Domain
genannt symmetrischer Satz wenn zusammen mit jedem Element es enthält auch das entgegengesetzte Element (
).

Untersuchen Sie, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist.

Funktion
genannt eben

für alle
.

Funktion f genannt seltsam, wenn seine Domäne ist
ist eine symmetrische Menge und die Gleichheit
für alle
.

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse ÖY, und der Graph einer ungeraden Funktion ist relativ zum Ursprung. Wenn also die untersuchte Funktion gerade oder ungerade ist, reicht es aus, sie auf positive Werte des Arguments aus dem Definitionsbereich zu untersuchen.

Untersuchen Sie, ob die Funktion periodisch ist.

Viele
genannt periodisch mit Periode T (
), falls überhaupt
durchgeführt
und
.

Funktion f genannt Zeitschrift mit Periode T, wenn
- Periodischer Satz mit Periode T und für jeden
Gleichberechtigung
.

Periodendiagramm mit Periode T Funktion geht beim Verschieben um in sich selbst über T entlang der x-Achse.

Gerade
auf der Oberfläche
genannt vertikale Asymptote Funktionen
, wenn eine der einseitigen Grenzen
oder
gleich
.

Also die direkte
ist die vertikale Asymptote der Funktion
wenn Punkt - Sollbruchstelle zweiter Art für die Funktion
.

Untersuchen Sie das Verhalten einer Funktion im Unendlichen und finden Sie ihre horizontalen und schiefen Asymptoten.

Gerade
genannt schräge Asymptote Funktionsgraph
bei
(
), wenn
bei
(
).

Satz 1. Für die Existenz einer schiefen Asymptote
bei
Funktionen
notwendig und ausreichend für
Voraussetzungen erfüllt:

1.
,
,

2.
,
.

Finden Sie Extrempunkte und Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion.

Funktion
genannt zunehmend(abnehmend) auf der
, falls überhaupt
von Ungleichheit
folgt der Ungleichheit
(
).

Steigende und fallende Funktionen werden aufgerufen eintönig.

Satz 2(hinreichende Bedingung für Monotonie). Lassen Sie die Funktion
definiert und kontinuierlich an
und differenzierbar durch
. Wenn ein
(
), dann
steigt (sinkt)
.

Punkt
genannt Höchstpunkt (Mindestpunkt) Funktionen
wenn überhaupt , ausreichend nah am Punkt
(
).

Der Wert der Funktion am Punkt des Maximums (Minimum) wird aufgerufen maximal (Minimum) Funktionen.

Punkt
genannt strenger Maximalpunkt (striktes Minimum) Funktionen
wenn überhaupt , ausreichend nah am Punkt und davon verschieden die Ungleichheit
(
).

Funktionswert am Punkt genannt striktes Maximum (striktes Minimum) Funktionen.

Die maximalen und minimalen Punkte werden aufgerufen Extrempunkte, und die Funktionswerte in ihnen sind Extreme Funktionen.

Satz 3(notwendige Extremumsbedingung). Wenn die Funktion
an dem Punkt hat Extremum, dann ist die Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null oder existiert nicht.

Punkt genannt stationären Punkt Funktionen
, wenn
. Punkt genannt kritischer Punkt Funktionen
, wenn
oder existiert nicht.

Aus Satz 3 folgt, dass nur kritische Punkte Extrempunkte sein können. Das Gegenteil ist nicht immer der Fall.

Satz 4(Ausreichende Bedingung für ein Extremum. Erste Regel). An der Stelle lassen
Funktion Ableitung
verschwindet und ändert das Vorzeichen beim Passieren dieses Punktes, dann der Punkt der Extremumpunkt der Funktion ist, und wenn:

1)
bei
und
bei
, dann
- Punkt des strikten Maximums;

2)
bei
und
bei
, dann
ist ein strikter Mindestpunkt.

Satz 5(Ausreichende Bedingung für ein Extremum. Zweite Regel). Wenn an der Stelle
erste Ableitung der Funktion
gleich null ist, und die zweite Ableitung dann nicht null ist - Extrempunkt und:

1) ist der maximale Punkt, wenn
;

2) ist der Minimalpunkt, wenn
.

Ein Algorithmus zum Finden von Extrempunkten für eine stetige Funktion
:

Lassen Sie uns kritische Punkte finden
Funktionen
auf der
. Ordnen wir sie in aufsteigender Reihenfolge: Sie teilen
in Intervallen
,
,…,
. In jedem von ihnen
, hat es ein konstantes Vorzeichen (positiv oder negativ). Um das Vorzeichen einer Ableitung in einem Intervall zu bestimmen, ist es notwendig, ihr Vorzeichen an jedem Punkt im Intervall zu bestimmen. Dann bestimmen wir durch Wechsel des Vorzeichens der Ableitung beim Übergang von einem Intervall zum anderen die Extrempunkte nach Theorem 4.

Bestimmung der Konvexitätsrichtungen des Funktionsgraphen und der Wendepunkte.

Lassen Sie die Funktion
differenzierbar durch
. Dann gibt es eine Tangente an den Graphen der Funktion
an jedem Punkt
,
, und diese Tangenten sind nicht parallel zur Achse
.

Funktion
genannt konvex nach oben (Abstieg) auf der
wenn der Graph der Funktion innerhalb liegt
liegt nicht über (nicht unter) einer seiner Tangenten.

Satz 6(ausreichende Bedingung für Konvexität). Lassen Sie die Funktion
doppelt differenzierbar auf
. Dann wenn
(
) auf der
, dann ist die Funktion konvex nach unten (oben) an
.

Punkt genannt Wendepunkt Funktionen
wenn sich die Konvexitätsrichtung der Funktion beim Durchgang durch diesen Punkt ändert
.

Satz 7(notwendige Wendebedingung). Wenn am Wendepunkt Funktionen
die zweite Ableitung existiert und stetig ist, dann ist sie an dieser Stelle gleich Null.

Satz 8(ausreichende Bedingung für Flexion). Wenn ein
und

1)
ändert bei der Durchfahrt das Vorzeichen , dann - Wendepunkt der Funktion
;

2)
ändert beim Durchfahren nicht das Vorzeichen , dann ist kein Funktionswendepunkt
.

Zeichnen einer Funktion.

zeitlicher Ablauf Funktionen
ist die Menge der Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die gegebene funktionale Abhängigkeit erfüllen.

Beispiel 7.1. Explore-Funktion

Lösung.

, da diese Funktion ein Polynom ist.

Wir untersuchen die Funktion auf Monotonie, finden die Extrempunkte.

Lassen Sie uns zuerst die kritischen Punkte der Funktion finden.

, da die Ableitung auch ein Polynom ist.


oder
, oder
. Folglich,
,
,
sind die kritischen Punkte der Funktion.

H legen wir die kritischen Punkte der Funktion auf die reelle Gerade und bestimmen die Vorzeichen Derivat

Zwischen
,
die Funktion nimmt in den Intervallen ab
,
die Funktion nimmt zu.

Punkte
und
sind die Minimalpunkte der Funktion, .

Punkt
ist der Maximalpunkt der Funktion,
.

Wir untersuchen die Funktion für die Richtung der Konvexität, finden die Wendepunkte.



.

Lassen Sie uns Punkte setzen X 1 und X 2 auf dem Zahlenstrahl und bestimme die Vorzeichen zweite Ableitung in jedem der resultierenden Intervalle.

H und dazwischen
und
Die Funktion ist im Intervall nach unten konvex
Die Funktion ist nach oben konvex. Punkte
und
sind Wendepunkte.

Beispiel 7.2. Explore-Funktion
auf Monotonie und Richtung der Konvexität, finden Sie Extrema und Wendepunkte.

Lösung.

Finde den Definitionsbereich der Funktion.

:

 .

2. Wir untersuchen die Funktion auf Monotonie, finden die Extrempunkte.

, .



. Folglich,
– kritischer Punkt der Funktion.

Wir zeichnen den Definitionsbereich der Funktion und den kritischen Punkt auf der reellen Linie. Lassen Sie uns die Vorzeichen der Ableitung für jedes der resultierenden Intervalle bestimmen.

H und dazwischen
,
Die Funktion nimmt im Intervall ab
die Funktion nimmt zu. Punkt
- Höchstpunkt,
.

3. Bestimmen Sie die Richtung der Konvexität des Graphen der Funktion und finden Sie die Wendepunkte.



.

T Punkte
- möglicher Wendepunkt. Bestimmen wir die Vorzeichen der zweiten Ableitung in den Intervallen
,
,
.

Zwischen
,
Die Funktion ist auf dem Intervall nach oben konvex
Die Funktion ist nach unten konvex. Punkt
- Wendepunkt.

Beispiel 7.3. Führen Sie eine vollständige Funktionsstudie durch
und plotte es.

Lösung. 1.
.

2. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.

3. Die Funktion ist nicht periodisch.

4. Finde die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen und Konstanzintervallen. O-Achse X der Graph schneidet sich nicht, weil
für alle
. O-Achse bei:
,
.

bei
,
bei
.

5. Die Funktion ist im Definitionsbereich stetig, da sie elementar ist,
- Bruchpunkt. Lassen Sie uns die Art der Lücke untersuchen:

,
.

Folglich,
– Unterbrechungsstelle zweiter Art, gerade Linie
ist die vertikale Asymptote des Graphen der Funktion.

6. Wir untersuchen das Verhalten der Funktion für
und bei
:

,
. Daher eine gerade Linie
ist die horizontale Asymptote des Graphen der Funktion at
.

Als
, dann andere schräge Asymptoten bei
Nein.

Finden Sie heraus, ob es schiefe Asymptoten für gibt
:

. Daher bei
es gibt keine schiefen Asymptoten.

7. Wir untersuchen die Funktion auf Monotonie und Extremum.

,

- Mindestpunkt
- Minimum.

8. Wir untersuchen die Funktion für Konvexitäts- und Beugungsrichtung.

=

.

auf der
,existiert im Moment nicht
.Es gibt keine Wendepunkte.

9. Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen (Abb. 4).

Abbildung 4 - Illustration für Beispiel 7.3.

Beispiel 7.4. Explore-Funktion
und plotte es.

Lösung. Lassen Sie uns diese Funktion untersuchen.

,
.

Wir untersuchen das Verhalten der Funktion im Unendlichen und finden die horizontale und schiefe Asymptote:

Als
, dann gibt es keine horizontalen Asymptoten.

,

Somit gibt es eine eindeutige schiefe Asymptote

Wir untersuchen die Funktion auf Monotonie und finden Extrema:

.

Aus
sollte
, wo
,
.

In der Pause

, daher steigt die Funktion in diesem Intervall an; in

, d.h. die Funktion ist fallend. Daher der Punkt
ist der Höchstpunkt:
. In der Pause

, daher nimmt die Funktion in diesem Intervall ab; in

, d.h. die Funktion wächst. Am Punkt
Wir haben mindestens:
.

Wir untersuchen den Graphen der Funktion auf die Richtung der Konvexität und bestimmen die Wendepunkte. Dafür finden wir

Offensichtlich in der Pause

, daher ist die Kurve in diesem Intervall konvex nach oben; im Intervall

, d.h. in diesem Intervall ist die Kurve nach unten konvex. Seit am
Funktion nicht definiert ist, dann gibt es keinen Wendepunkt.

Der Graph der Funktion ist in Abb. 5.

Abbildung 5 - Illustration für Beispiel 7.3.

Algorithmus zur Lösung des Problems, einen Funktionsgraphen zu zeichnen.

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.

2. Finde die Ableitung der Funktion.

3. Finden Sie stationäre Punkte.

4. Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung auf den erhaltenen Intervallen.

5. Bestimmen Sie Intervalle der Monotonie.

6. Bestimme die Extrempunkte und finde den Wert der Funktion an diesen Punkten.

7. Machen Sie eine Tabelle.

8. Weitere Punkte finden.

9. Zeichnen Sie die Funktion.

Zum Beispiel. Untersuchen Sie eine Funktion mit einer Ableitung und zeichnen Sie ihren Graphen.

1. AUS:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , dann steigt die Funktion;

Dann fällt die Funktion ab;

Diese Funktion nimmt zu;

6. - Höchstpunktzahl, weil Ableitung Vorzeichen geändert von + nach - ;

Der Mindestpunkt, weil Die Ableitung änderte das Vorzeichen von - nach +.

X
	+		-		+

8. Zusätzliche Punkte:

9. Erstellen eines Diagramms.

2.3 . Varianten der Kontrollarbeiten.

Prüfung Nr. 1 zum Thema "Derivative" B-1

a ) f(x)\u003d 4x 2 + 6x + 3, x 0 \u003d 1;

b) ;

in) f(x)\u003d (3x 2 +1) (3x 2 -1), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x cosx,

a) f(x)= 5 3x-4 ;

b) f(x) = sin(4x-7);

d) f (x) \u003d In (x 3 + 5x).

3. Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 4 - x 2 am Punkt x 0 \u003d -3.

An der Stelle mit der Abszisse x 0 = -1.

f (x) \u003d x 2 - 2x am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d -2.

6. Die Körperbewegungsgleichung hat die Form s(t) = 2,5t 2 + 1,5t. Finden Sie die Geschwindigkeit des Körpers 4 Sekunden nach Beginn der Bewegung.

7.

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-2

a ) f(x)\u003d x 4 -3 x 2 +5, x 0 \u003d -3;

b) ;

in) f(x)\u003d (2x 2 +1) (4 + x 3), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f (x) \u003d 4 2 x -1;

b) f(x) = cos(4x+5);

d) f(x) = +2x.

3. Finden Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d - x 4 + x 3 am Punkt x 0 \u003d - 1.

4. An welcher Stelle befindet sich die Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d 3x 2 -12x +11 parallel zur x-Achse?

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 3 - 3x 2 + 2x - 1 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d 2.

6. Der Punkt bewegt sich nach einem geradlinigen Gesetz x(t) = 2,5t 2 -10t + 11. Zu welchem ​​Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit des Körpers gleich 20? (Koordinate wird in Metern gemessen, Zeit - in Sekunden).

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie ein Diagramm:

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-3

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d 7x 2 -56x + 8, x 0 \u003d 4;

b) ;

in) f(x)

G ) f(x)=3x sinx,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f (x) \u003d 2 5 x +3;

b) f(x) = cos(0,5x+3);

d) f(x) = +5x.

3. Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 2x 2 + x am Punkt x 0 \u003d -2.

4. An welchem ​​​​Punkt ist die Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d x 2 + 4x - 12 parallel zur x-Achse?

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d -x 2 -3x + 2 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d -1.

6. Der Punkt bewegt sich nach dem Geradengesetz x(t) = 3t 2 + t + 4. Zu welchem ​​Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit des Körpers gleich 7? (Koordinate in Metern, Zeit in Sekunden)

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-4

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d x 5 -4x + 8, x 0 \u003d 2;

b) ;

in) f(x)\u003d (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 \u003d -1;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f(x)= 3 4 x- 1 ;

b) f(x) = 2sin (2,5x-2);

d) f(x) = ln (2x 3 + x).

3. Finden Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 0,5x 2 + 1 am Punkt x 0 \u003d 3.

4. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt mit der Abszisse x 0 = 1.

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f(x) = x 2 +2x+1 bei c

Abszisse x 0 = - 2.

6. Der Punkt bewegt sich gemäß dem Geradengesetz x(t) = 4t + t 2 - . Finden Sie seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 (die Koordinate wird in Metern gemessen, die Zeit in Sekunden.)

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-5

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d 3x 5 -12x 2 + 6x + 2, x 0 \u003d 1;

b) ;

in) f(x)= (2x+1) (x-5), x0 = 2;

G ) f(x)=2x cos3x,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f(x)= 2 3x-4 ;

b) f (x) \u003d Sünde (3x 2 - 2);

d) f (x) \u003d ln (x 2 + 5x).

3. Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 3x 2 + 40x -10 am Punkt x 0 \u003d -1.

4. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d - 1.

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 2 -2x + 3 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d - 2.

6. Der Punkt bewegt sich nach dem Geradengesetz x(t) = 3t 3 +2t+1. Finden Sie seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 (Koordinate in Metern, Zeit in Sekunden).

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-6

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 \u003d 1;

b) ;

in) f(x)\u003d (x 2 +1) (x 3 -2), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sin5x,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f(x)= 2 3 x+ 5 ,

b) f(x) = cos(3x-1);

d) f(x) = -2x.

3. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d 3x 3 -35x + 8 am Punkt x 0 \u003d 2.

4. An welchem ​​​​Punkt ist die Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d x 3 -3x + 1 parallel zur x-Achse?

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 2 + 3x-2 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d -1.

6. Der Punkt bewegt sich gemäß dem Geradengesetz x(t) = 3t 2 -2t+4. Zu welchem ​​Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit des Körpers 4? (Koordinate in Metern, Zeit in Sekunden)

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Klausur Nr. 3 zum Thema „Derivative“ B-7

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d x 6 -3x 2 +2, x 0 \u003d 2;

b) ;

in) f(x)\u003d (x 3 -4) (3x 2 +1), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f(x)= 3 4 x + 2 ;

b) f(x) = 2sin (5x+2);

d) f(x) = ln (3x 2 - x).

3. Finden Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 0,5x 2 -1 am Punkt x 0 \u003d - 3.

4. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt mit der Abszisse x 0 = -1.

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 2 + 2x + 1 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d - 2.

6. Der Punkt bewegt sich gemäß dem Geradlinigkeitsgesetz x(t) = 4t - t 2 + . Finden Sie seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 (Koordinate in Metern, Zeit in Sekunden).

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-8

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d x 4 -2x 3 + 5x-1, x 0 \u003d 2;

b) ;

in) f(x)\u003d (2x 2 +1) (1 + x 3), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f (x) \u003d 5 2 x +3,

b) f(x) = cos(5x 2 +1);

d) f(x) = +5x.

3. Finden Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d x 4 -x 2 am Punkt x 0 \u003d 1.

4. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d 2.

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 3 -3x 2 + 2x am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d 2.

6. Der Punkt bewegt sich gemäß dem Geradlinigkeitsgesetz x(t) = 2,5t 2 - 10t +6. Finden Sie die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 4 (die Koordinate wird in Metern gemessen, die Zeit in Sekunden).

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Informationen zum Autor

Ossipzowa Galina Petrowna

Arbeitsort, Position:

MBOU "Sekundarschule Nr. 12" der Stadt Wyborg, Mathematiklehrer.

Gebiet Leningrad

Merkmale des Unterrichts (Klassen)

Das Bildungsniveau:

Sekundarstufe (vollständige) Allgemeinbildung

Zielgruppe:

Lehrer (Lehrer)

Klassen):

Artikel):

Algebra

Artikel):

Mathe

Das Ziel des Unterrichts:

Um die Fähigkeit zu entwickeln, die Ableitung auf das Studium von Funktionen und das Plotten anzuwenden.

Entwickeln Sie logisches Denken, die Fähigkeit zu analysieren, die Fähigkeit, ein Problem zu stellen und es zu lösen.

Kultivieren Sie den Wunsch, Ihre Meinung zu äußern.

Unterrichtstyp:

Lektion des Studierens und primäre Festigung des neuen Wissens

Schüler in der Klasse:

Verwendete Lehrbücher und Tutorials:

WCU: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin

Verwendete methodische Literatur:

M.K. Potapov, AV Shevkin "Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse, 10". Das Buch für den Lehrer. M: "Aufklärung" 2010.

Gebrauchte Ausrüstung:

Computer, Dokumentenkamera, Tabelle mit der Funktion Recherchealgorithmus, Aufgabenkarten.

Kurzbeschreibung:

1. Systemaktivitätsansatz beim Aufbau einer Algebrastunde und Beginn der Analyse in der 11. Klasse.

Algebra-Unterricht und angefangene Analyse in der 11. Klasse

(UMC: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin)

Unterrichtsthema: "Anwendung der Ableitung auf die Konstruktion von Funktionsgraphen"

Die Hauptziele des Unterrichts:

die Fähigkeit zu bilden, die Ableitung auf das Studium von Funktionen und das Plotten anzuwenden;

die Fähigkeit entwickeln, ein Problem zu stellen, es zu lösen, logisches Denken, die Fähigkeit zu analysieren;

den Wunsch nähren, ihre Meinung zu äußern.

Ausrüstung und Unterlagen: Computer, Dokumentenkamera, Tabelle mit der Funktion Recherchealgorithmus, Aufgabenkarten.

Während des Unterrichts

Motivation der pädagogischen Tätigkeit.

Hallo Leute.

Was haben Sie in früheren Lektionen gelernt? (wie man die Ableitung verwendet, um kritische Punkte, Anstiegsintervalle, Abfall einer Funktion, ihre Extrema, den größten (kleinsten) Wert zu finden).

In dieser Lektion werden wir weiterhin Funktionen untersuchen, die die Ableitung verwenden.

Wissensaktualisierung.

Auf dem Bildschirm sehen Sie einen Graphen der Funktion y=f(x):

Welche Eigenschaften einer Funktion lassen sich aus einem Graphen bestimmen? Benenne sie.

Antwort: 1) D(f) = R;

2) Die Funktion ist stetig

3) Die Funktion steigt auf dem Segment [-2; 0,5] und auf dem Intervall und auf , und daher f "(x)< 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

Maximalpunkte der Funktion: x Mindestpunktzahl : x=-2 x=3;

4) der größte Wert der Funktion existiert nicht, der kleinste ist -2 bei = 3;

E(f) = [-2; +∞).

Wie finde ich Extrempunkte einer Funktion? (Ändert die Ableitung beim Durchlaufen eines kritischen Punktes das Vorzeichen von „+“ auf „-“, dann ist dieser Punkt ein Maximumpunkt, wenn die Ableitung beim Durchlaufen eines kritischen Punktes das Vorzeichen wechselt von

„-“ auf „+“, dann ist dieser Punkt ein Minimumpunkt, ändert die Ableitung beim Durchlaufen eines kritischen Punktes nicht das Vorzeichen, dann ist dieser kritische Punkt kein Extremumpunkt.

− Formulieren Sie einen Algorithmus zum Auffinden von Anstiegs-, Abfall- und Extrema-Intervallen der Funktion bei = f(x) analytisch gegeben.

Die Schüler formulieren, die Schritte des Algorithmus werden nacheinander auf dem Bildschirm geöffnet.

Algorithmus.

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.

2. Finde die Ableitung der Funktion.

3. Finden Sie kritische Punkte.

4. Markieren Sie den Definitionsbereich und die kritischen Punkte auf der reellen Linie. Bestimmen Sie mit der verallgemeinerten Methode der Intervalle die Vorzeichen der Ableitung der erhaltenen Intervalle.

5. Unter Verwendung ausreichender Zeichen finden Sie Anstiegs-, Abfalls- und Extrema-Intervalle der Funktion.

Betrachten Sie nun die Funktion f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Der Lehrer schreibt an die Tafel, während die Schüler diktieren. Die Schüler arbeiten in Notizbüchern.

1. D(f) = R, f(x) ist stetig auf D(f).

   Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, nicht periodisch.

Schnittpunkte

mit der x-Achse: (0; 0) und (-3; 0), weil

f(x) = 0, also ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x(x² + 6x + 9) = 0

⅓x (x + 3)² = 0

mit y-Achse: (0; 0).

Ableitung der Funktion: f "(x) \u003d x² + 4x + 3, D (f "(x)) \u003d R

kritische Punkte: f "(x) \u003d 0 bei x \u003d -3, x \u003d -1.

Wir markieren die kritischen Punkte auf dem Zahlenstrahl und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung auf den erhaltenen Intervallen:

f "(x) > 0 auf (-∞; -3) und auf (-1; +∞); f "(x)< 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

f max= 0 bei x = -3, f Mindest= -4 bei x = -1

4) Die Funktion hat keine Maximal- und Minimalwerte.

Was hast du wiederholt?

Was denkst du, ist die nächste Aufgabe, die ich dir anbieten werde?

Sie haben also Ihre Feature-Recherche durchgeführt. Und jetzt müssen Sie anhand der Ergebnisse der Studie die Funktion f (x) \u003d ⅓x³ + 2x² + 3x zeichnen.

Werden Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben?

3. Identifizierung von Schwierigkeiten, Problemen

Der Lehrer lädt mehrere Schüler ein, die Schwierigkeiten zu äußern.

Welche Aufgabe mussten Sie erledigen? (Erstellen Sie anhand der Forschungsdaten einen Graphen der Funktion).

Warum hast du Schwierigkeiten? (Wir wissen nicht, wie man Diagramme gemäß dem Studium der Funktion zeichnet).

Was verwenden Sie für die Feature-Recherche? (Derivat).

4. Erstellen Sie ein Projekt, um aus einer Schwierigkeit herauszukommen.

Geben Sie den Zweck Ihrer Tätigkeit an. (Lernen Sie, wie man einen Graphen zeichnet, indem Sie Funktionen mit Hilfe einer Ableitung untersuchen).

Formulieren Sie das Unterrichtsthema. (Verwenden der Ableitung zum Zeichnen von Funktionsgraphen).

Das Thema der Lektion wird auf der Tafel angezeigt.

Sie haben also Probleme, einen Funktionsgraphen zu zeichnen. Was haben Sie bisher zum Zeichnen von Funktionsgraphen verwendet? (Tabellen mit einigen Punkten, die zum Diagramm gehören).

Aber oft geben die Punkte kein objektives Bild des Graphen. Und nun, da Sie den Funktionsforschungsalgorithmus kennen, welche Daten werden Sie in die Tabelle eingeben? (Sie müssen die Ergebnisse der Untersuchung der Funktion in die Tabelle eingeben und dann ein Diagramm aus der Tabelle zeichnen).

5. Umsetzung des gebauten Projekts

Auf dem Brett öffnet sich eine leere Tabelle:

Sie haben die Funktion f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x untersucht.

Listen Sie die Schritte auf, die Sie unternommen haben, um die Funktion zu erkunden. (Die Tabelle füllt sich im Laufe der Zeit aus)

Die in der Tabelle erhaltenen Ergebnisse werden in die Koordinatenebene übertragen.

Was kann noch getan werden, um die Grafik genauer zu machen? (Sie können mehrere zusätzliche Punkte finden, die zum Graphen der Funktion gehören).

Auf der Tafel erscheint ein Graph der Funktion f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Sie haben eine Funktion gezeichnet.

Wie hast du das gemacht? (Wir haben einen Grafikalgorithmus erstellt). (Lassen Sie uns noch einmal über die Phasen des Studiums der Funktion und der Konstruktion ihres Graphen sprechen).

Algorithmus zum Zeichnen eines Diagramms mit einer Ableitung..

1. D (f), Kontinuität von f(x);
2. f "(x);
3. f "(x) =0, f "(x) existiert nicht;

zusätzliche Punkte;

6. Primäre Festigung des erworbenen Wissens.

Was ist jetzt zu tun? (Sie müssen lernen, wie man den Algorithmus verwendet, um Diagramme zu erstellen).

Zeichnen Sie nun den Graphen der Funktion. f(x) = X + .

Ein Student arbeitet an der Tafel und kommentiert seine Aktionen, die anderen arbeiten in Notizbüchern.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f(x) ist stetig auf D (f).
2. Funktionsableitung: f "(x) \u003d 1 - 4 / x².

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ∞).

Kritische Punkte: \u003d 0 für x \u003d 2 und x \u003d -2, es gibt keine Punkte, an denen f "() nicht existiert.

5. Zusätzliche Punkte:

6. Grafikfunktion:

Versuchen Sie, die Grafik selbst zu zeichnen.

Zur Überprüfung erscheint ein Diagramm auf dem Bildschirm.

7. Selbständiges Arbeiten mit Selbstprüfung nach Muster

Und jetzt wollen wir überprüfen, wie jeder von Ihnen verstanden hat, wie man den konstruierten Algorithmus anwendet.

	Variante 1. Untersuchen Sie eine Funktion und zeichnen Sie ihren Graphen Option 2. Konstruieren Sie gemäß einer teilweise durchgeführten Studie einen Graphen der Funktion

Die Schüler bearbeiten die Aufgabe selbstständig, nach Abschluss der Arbeit vergleichen die Schüler ihre Arbeit mit einer detaillierten Stichprobe:

Variante 1 .

1) D(f)=R, die Funktion ist stetig.

2) j | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; D (f | ) = R

X 1 = 0; X 2 = 2

¦ / ( X)

Option 2.

1) D(f)=R, die Funktion ist stetig.

2) j¢ = 6 x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; D (f | ) = R

X 1 = − 1; X 2 = 1

Wessen Aufgabe verursachte Schwierigkeiten?

− Bei welchem ​​Schritt des Algorithmus?

- Was ist die Ursache des Problems?

- Wer hat die Aufgabe richtig gemacht?

8. Aufnahme in das System des Wissens und der Wiederholung.

Schauen wir uns nun an, in welchen Aufgaben der Prüfung Sie das Erlernte anwenden können.

Probleme lösen:

1. Finden Sie den Satz von Funktionswerten.

2. Bei welchen Werten des Parameters R Gleichung = p hat 2 Wurzeln, 1 Wurzel, keine Wurzeln?

1) Antwort: (− ¥; − 4] U )