Als ich zum ersten Mal von diesem Prinzip erfuhr, hatte ich ein Gefühl von Mystik. Es scheint, dass die Natur auf mysteriöse Weise alle möglichen Wege der Systembewegung sortiert und die beste davon auswählt.

Heute möchte ich ein wenig über eines der bemerkenswertesten physikalischen Prinzipien sprechen – das Prinzip der geringsten Wirkung.

Hintergrund

Seit Galilei ist bekannt, dass sich Körper, auf die keine Kräfte wirken, geradlinig, also auf dem kürzesten Weg bewegen. Lichtstrahlen bewegen sich auch in geraden Linien.

Auch reflektiertes Licht bewegt sich so, dass es auf dem kürzesten Weg von einem Punkt zum anderen gelangt. Im Bild ist der kürzeste Weg der grüne Weg, bei dem der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist. Jeder andere Pfad, wie der rote, wird länger sein.

Dies lässt sich leicht nachweisen, indem man einfach die Strahlengänge auf die gegenüberliegende Seite des Spiegels spiegelt. Sie sind im Bild gestrichelt dargestellt.

Es ist ersichtlich, dass der grüne Pfad ACB in eine gerade Linie ACB' übergeht. Und der rote Pfad verwandelt sich in eine unterbrochene Linie ADB ', die natürlich länger ist als die grüne.

Im Jahr 1662 schlug Pierre Fermat vor, dass die Lichtgeschwindigkeit in einer dichten Substanz wie Glas geringer ist als in Luft. Zuvor war die allgemein akzeptierte Version Descartes, wonach die Lichtgeschwindigkeit in Materie größer sein muss als in Luft, um das richtige Brechungsgesetz zu erhalten. Für Fermat erschien die Annahme, dass sich Licht in einem dichteren Medium schneller bewegen könnte als in einem dünneren, unnatürlich. Daher nahm er an, dass alles genau umgekehrt ist und bewies eine erstaunliche Sache - unter dieser Annahme wird Licht gebrochen, um sein Ziel in kürzester Zeit zu erreichen.

Auch in der Abbildung zeigt die grüne Farbe den Weg, den der Lichtstrahl tatsächlich zurücklegt. Der rot markierte Weg ist der kürzeste, aber nicht der schnellste, weil das Licht im Glas einen längeren Weg zurücklegen muss und seine Geschwindigkeit darin langsamer ist. Am schnellsten ist der tatsächliche Weg des Lichtstrahls.

All diese Tatsachen legten nahe, dass die Natur auf irgendeine rationale Weise handelt, Licht und Körper sich auf die optimalste Weise bewegen und so wenig Aufwand wie möglich aufwenden. Aber was diese Bemühungen waren und wie man sie berechnete, blieb ein Rätsel.

1744 führte Maupertuis den Begriff „Wirkung“ ein und formulierte das Prinzip, wonach sich die wahre Flugbahn eines Teilchens von jeder anderen dadurch unterscheidet, dass die Wirkung dafür minimal ist. Maupertuis selbst konnte jedoch nicht klar definieren, was dieser Aktion gleichkommt. Eine rigorose mathematische Formulierung des Prinzips der kleinsten Wirkung wurde von anderen Mathematikern – Euler, Lagrange – entwickelt und schließlich von William Hamilton gegeben:

In mathematischer Sprache ist das Prinzip der kleinsten Wirkung recht kurz formuliert, aber nicht alle Leser verstehen die Bedeutung der verwendeten Notation. Ich möchte versuchen, dieses Prinzip klarer und einfacher zu erklären.

lockerer Körper

Stellen Sie sich also vor, Sie sitzen zu einem bestimmten Zeitpunkt in einem Auto und erhalten zu einem bestimmten Zeitpunkt eine einfache Aufgabe: Bis zu dem Zeitpunkt müssen Sie ein Auto zum Punkt fahren.

Kraftstoff für das Auto ist teuer und natürlich möchten Sie ihn so wenig wie möglich ausgeben. Ihr Auto wird mit den neuesten Supertechnologien hergestellt und kann so schnell beschleunigen oder verzögern, wie Sie möchten. Allerdings ist er so ausgelegt, dass er umso mehr Sprit verbraucht, je schneller er fährt. Außerdem ist der Kraftstoffverbrauch proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Wenn Sie doppelt so schnell fahren, verbrauchen Sie in der gleichen Zeit viermal mehr Kraftstoff. Neben der Geschwindigkeit wird der Kraftstoffverbrauch natürlich auch von der Masse des Autos beeinflusst. Je schwerer unser Auto, desto mehr Kraftstoff verbraucht es. Der Kraftstoffverbrauch unseres Autos beträgt zu jedem Zeitpunkt , d.h. ist genau gleich der kinetischen Energie des Autos.

Wie also muss man fahren, um pünktlich ans Ziel zu kommen und möglichst wenig Sprit zu verbrauchen? Es ist klar, dass Sie in einer geraden Linie gehen müssen. Mit zunehmender Fahrstrecke wird genau nicht weniger Kraftstoff verbraucht. Und dann können Sie verschiedene Taktiken wählen. Sie können zum Beispiel schnell im Voraus an dem Punkt ankommen und sich einfach hinsetzen und warten, bis die Zeit gekommen ist. Die Fahrgeschwindigkeit und damit der Kraftstoffverbrauch zu jedem Zeitpunkt wird hoch sein, aber die Fahrzeit wird auch reduziert. Vielleicht ist der Gesamtkraftstoffverbrauch in diesem Fall nicht so groß. Oder Sie können gleichmäßig fahren, mit der gleichen Geschwindigkeit, so dass Sie ohne Eile genau im Moment ankommen. Oder ein Teil des Weges geht schnell und ein Teil langsamer. Was ist der beste Weg?

Es stellt sich heraus, dass die optimale und wirtschaftlichste Art des Fahrens darin besteht, mit konstanter Geschwindigkeit zu fahren, um genau zur festgelegten Zeit am Punkt zu sein. Jede andere Option verbraucht mehr Kraftstoff. An einigen Beispielen können Sie sich selbst davon überzeugen. Der Grund dafür ist, dass der Kraftstoffverbrauch mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zunimmt. Wenn die Geschwindigkeit zunimmt, steigt daher der Kraftstoffverbrauch schneller als die Fahrzeit abnimmt, und der Gesamtkraftstoffverbrauch nimmt ebenfalls zu.

Wir haben also herausgefunden, dass, wenn ein Auto zu einem bestimmten Zeitpunkt Kraftstoff im Verhältnis zu seiner kinetischen Energie verbraucht, der wirtschaftlichste Weg, um genau zur festgelegten Zeit von Punkt zu Punkt zu gelangen, darin besteht, gleichmäßig und auf einer geraden Linie zu fahren, genau wie ein Körper bewegt sich ohne auf ihn einwirkende Kräfte. Jede andere Fahrweise führt zu einem höheren Gesamtkraftstoffverbrauch.

Im Bereich der Schwerkraft

Jetzt verbessern wir unser Auto ein wenig. Bringen wir Strahltriebwerke daran an, damit es frei in jede Richtung fliegen kann. Im Allgemeinen blieb das Design gleich, sodass der Kraftstoffverbrauch wieder streng proportional zur kinetischen Energie des Autos blieb. Wenn nun die Aufgabe gestellt wird, von einem Punkt zu einem Zeitpunkt abzufliegen und zu einem Zeitpunkt t anzukommen, dann wird der wirtschaftlichste Weg natürlich nach wie vor gleichmäßig und geradlinig fliegen, um genau zu dem Punkt anzukommen festgesetzte Zeit t. Dies entspricht wiederum der freien Bewegung des Körpers im dreidimensionalen Raum.

In das neueste Modell des Autos wurde jedoch ein ungewöhnliches Gerät eingebaut. Dieses Gerät ist in der Lage, Kraftstoff buchstäblich aus dem Nichts zu produzieren. Aber das Design ist so, dass je höher das Auto ist, desto mehr Kraftstoff produziert das Gerät zu einem bestimmten Zeitpunkt. Der Kraftstoffausstoß ist direkt proportional zur Höhe, auf der sich das Fahrzeug gerade befindet. Je schwerer das Auto ist, desto leistungsstärker ist das Gerät und desto mehr Kraftstoff wird produziert, und die Leistung ist direkt proportional zur Masse des Autos. Es stellte sich heraus, dass die Vorrichtung so beschaffen ist, dass die Kraftstoffabgabe genau gleich (wo ist die Beschleunigung im freien Fall) ist, d.h. potenzielle Energie des Autos.

Der Kraftstoffverbrauch zu jedem Zeitpunkt ist gleich der kinetischen Energie abzüglich der potenziellen Energie des Autos (abzüglich der potenziellen Energie, da das installierte Fahrzeug Kraftstoff produziert und nicht verbraucht). Jetzt ist unsere Aufgabe die wirtschaftlichste Bewegung des Autos zwischen den Punkten und es wird schwieriger. Eine geradlinige gleichförmige Bewegung ist in diesem Fall nicht die effektivste. Es stellt sich heraus, dass es optimaler ist, ein wenig zu klettern, dort eine Weile zu verweilen, mehr Kraftstoff zu entwickeln und dann zum Punkt abzusteigen. Bei richtiger Flugbahn deckt der gesamte Treibstoffverbrauch durch Steigflug die zusätzlichen Treibstoffkosten für die Verlängerung der Flugbahn und die Erhöhung der Geschwindigkeit. Bei sorgfältiger Berechnung wäre es für ein Auto am wirtschaftlichsten, in einer Parabel zu fliegen, auf genau der gleichen Flugbahn und mit genau der gleichen Geschwindigkeit wie ein Stein im Schwerefeld der Erde.

Hier lohnt es sich, eine Erklärung abzugeben. Natürlich kann man einen Stein auf viele verschiedene Arten von einem Punkt aus so werfen, dass er den Punkt trifft. Aber Sie müssen es so werfen, dass es, nachdem es von einem Punkt nach dem anderen geflogen ist, genau zu dem Zeitpunkt auf einen Punkt trifft. Es ist diese Bewegung, die für unser Auto am wirtschaftlichsten ist.

Die Lagrange-Funktion und das Prinzip der kleinsten Wirkung

Nun können wir diese Analogie auf reale physische Körper übertragen. Ein Analogon der Intensität des Kraftstoffverbrauchs für Körper wird als Lagrange-Funktion oder Lagrange-Funktion (zu Ehren von Lagrange) bezeichnet und mit dem Buchstaben bezeichnet. Die Lagrange-Funktion zeigt, wie viel „Treibstoff“ der Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt verbraucht. Für einen Körper, der sich in einem Potentialfeld bewegt, ist die Lagrange-Funktion gleich seiner kinetischen Energie minus seiner potentiellen Energie.

Ein Analogon der Gesamtmenge an Kraftstoff, die für die gesamte Bewegungszeit verbraucht wird, d.h. der über die gesamte Bewegungszeit akkumulierte Wert der Lagrange-Funktion wird als "Aktion" bezeichnet.

Das Prinzip der kleinsten Wirkung besagt, dass sich der Körper so bewegt, dass die Wirkung (die von der Bewegungsbahn abhängt) minimal ist. In diesem Fall sollte man nicht vergessen, dass die Anfangs- und Endbedingungen gegeben sind, d.h. wo der Körper zu Zeit und zu Zeit ist.

Dabei muss sich der Körper nicht in einem einheitlichen Gravitationsfeld bewegen, das wir für unser Auto betrachtet haben. Sie können ganz unterschiedliche Situationen betrachten. Ein Körper kann an einem Gummiband schwingen, an einem Pendel schwingen oder um die Sonne fliegen, in all diesen Fällen bewegt er sich so, dass der "Gesamtverbrauch" minimiert wird, d.h. Handlung.

Wenn das System aus mehreren Körpern besteht, dann ist die Lagrange-Funktion eines solchen Systems gleich der gesamten kinetischen Energie aller Körper minus der gesamten potentiellen Energie aller Körper. Und wieder bewegen sich alle Körper gemeinsam, so dass die Wirkung des gesamten Systems während einer solchen Bewegung minimal ist.

Nicht so einfach

Tatsächlich habe ich ein wenig geschummelt, indem ich sagte, dass sich Körper immer so bewegen, dass die Aktion minimiert wird. Obwohl dies in sehr vielen Fällen zutrifft, kann man sich Situationen vorstellen, in denen die Aktion eindeutig nicht minimal ist.

Nehmen wir zum Beispiel einen Ball und legen ihn in einen leeren Raum. In einiger Entfernung davon stellen wir eine elastische Wand auf. Nehmen wir an, wir möchten, dass der Ball nach einiger Zeit an der gleichen Stelle landet. Unter diesen gegebenen Bedingungen kann sich der Ball auf zwei verschiedene Arten bewegen. Erstens kann er einfach liegen bleiben. Zweitens können Sie es an die Wand schieben. Der Ball wird die Wand erreichen, von ihr abprallen und zurückkommen. Es ist klar, dass Sie es mit einer solchen Geschwindigkeit vorantreiben können, dass es genau zum richtigen Zeitpunkt zurückkehrt.

Beide Varianten der Bewegung des Balls sind möglich, aber die Aktion im zweiten Fall wird größer sein, weil sich der Ball die ganze Zeit über mit einer kinetischen Energie ungleich Null bewegt.

Wie kann das Prinzip der kleinsten Wirkung gerettet werden, damit es in solchen Situationen gilt? Darüber sprechen wir in.

1. Kinematik eines materiellen Punktes. Unter einem materiellen Punkt versteht man ein physikalisches Objekt, das geometrisch einem mathematischen Punkt entspricht, aber eine Masse hat. Die Kinematik ist ein Teilgebiet der Physik, das die Bewegungsarten von Körpern untersucht, ohne die Ursachen der Bewegung zu berücksichtigen. Die Position eines Punktes im Raum wird durch einen Radiusvektor charakterisiert. Der Radiusvektor eines Punktes ist ein Vektor, dessen Anfang mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammenfällt und dessen Ende mit dem betrachteten Punkt zusammenfällt. r = ich x + j ja + k z. Die Geschwindigkeit ist die Strecke, die ein Körper pro Zeiteinheit zurücklegt. v(t) = d r/dt. v(t) = ich dx/dt+ j dy/dt+ k dz/dt. Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit. a=d v/dt = d2 r/dt2= ich d2x/dt2 + j d 2 y/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n= τ dv/dt+ n v2/R.

d r = v dt; d v = a dt, also v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + a t2/2.

2. Dynamik eines materiellen Punktes. Newtonsche Gesetze. Die Grundbegriffe der Dynamik sind der Masse- und der Kraftbegriff. Kraft ist die Ursache der Bewegung, d.h. unter dem Einfluss der Kraft des Körpers an Geschwindigkeit gewinnen. Kraft ist eine Vektorgröße. Die Masse ist ein Maß für die Trägheit eines Körpers. Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit heißt Impuls. p= m v. Der Drehimpuls eines materiellen Punktes ist der Vektor L = r * p. Das auf einen materiellen Punkt wirkende Kraftmoment wird als Vektor bezeichnet M = r * F. Differenzieren wir den Ausdruck für den Drehimpuls, so erhalten wir: d L/dt=d r/dt* p + r*d p/dt. In Anbetracht dessen, dass d r/dt= v und v parallel p, wir bekommen d L/dt= M.Newtonsche Gesetze. Das erste Newtonsche Gesetz besagt, dass ein Körper einen Ruhezustand oder eine gleichförmige geradlinige Bewegung beibehält, wenn keine anderen Kräfte auf ihn einwirken oder ihre Wirkung kompensiert wird. Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass die Impulsänderung über die Zeit ein konstanter Wert ist und gleich der einwirkenden Kraft d ist p/ dt = d / dt (m v) = md v/dt= F.Dies ist Newtons zweites Gesetz in Differentialform. Das dritte Newtonsche Gesetz besagt, dass bei der Wechselwirkung zweier Körper jeder mit gleicher, aber entgegengesetzt gerichteter Kraft auf den anderen einwirkt. F 1 = - F 2 .

3. Dynamik des Systems materieller Punkte. Naturschutzgesetze. Das System der materiellen Punkte ist die Gesamtheit ihrer endlichen Zahl. Jeder Punkt des Systems wird von internen (von anderen Punkten) und externen Kräften beeinflusst. Sei m die Masse, r i der Radiusvektor. x i , y i , z i - Schnur. i-ter Punkt. Der Impuls eines Systems materieller Punkte ist die Summe der Impulse der materiellen Punkte, aus denen das System besteht: p= Σ (i=1,n) p ich = [ p 1 + p 2 +…+ p n]. Der Drehimpuls eines Systems materieller Punkte ist die Summe der Impulsmomente, aus denen das System materieller Punkte besteht: L = Σ [ L ich ] = Σ [ r ich * p ich ]. Die auf ein System materieller Punkte wirkende Kraft ist definiert als die Summe aller Kräfte, die auf die Punkte des Systems wirken, einschließlich der Wechselwirkungskräfte zwischen den Punkten des Systems: F = Σ [ F Ich wo F ich = F i' + Σ(j ≠ i) F ji ist die auf den materiellen Punkt des Systems wirkende Kraft, bezeichnet mit dem Index i. Es besteht aus einer äußeren Kraft F i ’ und Schnittgröße Σ(i ≠ j) [ F ji ], die als Ergebnis der Interaktion mit anderen Punkten des Systems auf den Punkt einwirkt. Dann gilt: F = Σ (i=1,n) [ F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji]. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji ] = 0, also F = Σ [ F ich']. Das auf ein System materieller Punkte wirkende Kraftmoment ist die Summe der auf die Punkte des Systems wirkenden Kräftemomente M= Σ (i) [ M ich ] = Σ (i) [ r ich * F ich ] = Σ (i) [ r ich * F ich']. Für ein System materieller Punkte hat die Bewegungsgleichung die Form d p/ dt = Σ = Σ [ F ich ].

Der Schwerpunkt eines Systems materieller Punkte ist ein imaginärer Punkt mit einem Radiusvektor R= 1/mΣ . Die Geschwindigkeit seiner Bewegung v=d R/dt. Dann ist die Bewegungsgleichung m d v/dt= F. Die Momentengleichung für das System der materiellen Punkte d L/dt= M. Naturschutzgesetze. Ein isoliertes System ist eines, das nicht von äußeren Kräften beeinflusst wird. In ihr F= 0, also d p/dt = 0. Dann p= konst. In einem isolierten System das Moment äußerer Kräfte M= 0. Also d L/dt = 0, was bedeutet L= konst. Die Änderung der kinetischen Energie eines materiellen Punktes, wenn er sich zwischen zwei Positionen bewegt, ist gleich der von der Kraft verrichteten Arbeit. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F d l oder m 0 v 2 /2 + E p \u003d const.

4. Bewegung in einem zentralsymmetrischen Feld. Keplers Gesetze. Das Feld heißt zentral, wenn die potentielle Energie des darin befindlichen Körpers nur vom Abstand r zu einem bestimmten Fixpunkt abhängt. Gewalt F= - ∂U(r)/ ∂ r= - dU/dr r/r, das auf das Teilchen wirkt, hängt im Betrag ebenfalls nur von r ab und ist auf jeden Punkt entlang des Radiusvektors gerichtet. Bei Bewegung im Zentralfeld bleibt das Moment des Systems relativ zur Feldmitte erhalten. Für einen Teilchenmoment M = [r*R]. Da die Vektoren M und r senkrecht zueinander stehen, bedeutet die Konstanz von M, dass, wenn sich das Teilchen bewegt, sein Radiusvektor immer in derselben Ebene bleibt – der Ebene senkrecht zu M. Somit liegt die Flugbahn des Teilchens vollständig im Zentralfeld in einer Ebene. Indem wir die Polarkoordinaten r, φ darin einführen, schreiben wir die Lagrange-Funktion in der Form L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). Diese Funktion enthält nicht explizit die Koordinate φ. Für eine solche Koordinate ist der ihr entsprechende verallgemeinerte Impuls p i das Bewegungsintegral. In diesem Fall fällt der verallgemeinerte Impuls p φ = mr 2 φ(∙) mit dem Moment M z = M zusammen, so dass M = mr 2 φ(∙) (1). Beachten Sie, dass dieses Gesetz für eine ebene Bewegung eines Teilchens in einem zentralen Feld eine einfache geometrische Interpretation zulässt. Der Ausdruck 1/2 r r d φ ist die Fläche des Sektors, der von zwei unendlich nahen Radiusvektoren und einem Bogenelement der Flugbahn gebildet wird. Wir bezeichnen ihn als df und schreiben den Impuls des Teilchens in der Form M = 2mf, wobei die Ableitung f die Sektorgeschwindigkeit genannt wird. Daher bedeutet die Impulserhaltung die Konstanz der Sektorgeschwindigkeit - für gleiche Zeiträume beschreibt der Radiusvektor eines bewegten Punktes gleiche Flächen ( Keplers zweites Gesetz). Wenn wir φ(∙) bis M aus (1) ausdrücken und in den Ausdruck für Energie einsetzen, erhalten wir: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Also r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) oder Variablen trennen und integrieren: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + const. Wenn wir ferner (1) schreiben als dφ = M 2 /mr 2 dt, hier dt einsetzen und integrieren, finden wir: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /r 2) + konst. Keplers erstes Gesetz. Jeder Planet dreht sich in einer Ellipse mit der Sonne in einem ihrer Brennpunkte. Keplers drittes Gesetz. Die Quadrate der Sternenperioden der Planeten verhalten sich wie Kubikzahlen der großen Halbachsen ihrer Bahnen T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .

5. Die Lagrange-Funktion und die Lagrange-Gleichungen eines Systems materieller Punkte. Bewegungsintegrale. Stellen Sie sich ein geschlossenes System materieller Punkte vor. Die Lagrange-Funktion dafür hat die Form L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), wobei T = Σ (a) die kinetische Energie und U die potentielle Energie der Teilchenwechselwirkung ist. Dann haben die Bewegungsgleichungen d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a die Form m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Diese Bewegungsgleichungen werden Newtonsche Gleichungen genannt. Vektor F a = - ∂U/∂r a heißt Kraft. Wenn zur Beschreibung der Bewegung nicht kartesische Koordinaten von Punkten verwendet werden, sondern beliebige verallgemeinerte Koordinaten q i , dann muss zum Erhalten der Lagrange-Funktion die entsprechende Transformation durchgeführt werden: x a = f(q 1 , q 2 , .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)] usw. Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Funktion L= 1 / 2 Σ(a) – U erhalten wir die gewünschte Lagrange-Funktion der Form L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Bewegungsintegrale. Es gibt solche Funktionen verallgemeinerter Koordinaten, die während der Bewegung konstante Werte beibehalten, abhängig nur von den Anfangsbedingungen. Sie werden Bewegungsintegrale genannt. Aufgrund der Zeithomogenität ist dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Ersetzen wir ∂L/∂q i gemäß den Lagrange-Gleichungen durch d/dt (∂L/∂q i (∙)), so erhalten wir dL/dt = Σ(i) bzw. d/dt (Σ(i) - L) = 0 Dies zeigt, dass sich die Größe E = Σ(i) – L, Energie genannt, nicht ändert, d.h. Bewegungsintegral. Aufgrund der räumlichen Homogenität bei unendlich kleinem Transfer ε, wenn alle Punkte des Systems um ε = δr verschoben sind, ändert sich die Lagrange-Funktion, gleich δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], muss gleich Null sein, d.h. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Unter Verwendung der Lagrange-Gleichungen erhalten wir Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Dann ist die Größe R= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], Impuls genannt, bleibt unverändert, d.h. Bewegungsintegral. Aufgrund der Raumisotropie bei unendlich kleiner Drehung um den Winkel δφ ist die Änderung der Lagrange-Funktion gleich δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ r a + ∂L/∂v ein δ v a] muss Null sein. Die Änderung ∂L/∂ vornehmen v ein = p a und ∂L/∂ r ein = p a (∙) wegen der Willkür von δφ erhalten wir d/dt Σ(a) [ r a p a ] = 0. Der Wert ¼ = Σ(a) [ r a p a ], Drehimpuls genannt, bleibt konstant, d.h. Bewegungsintegral.

6. Dynamik eines absolut starren Körpers. Tensor der Trägheit. Euler-Gleichungen. Ein starrer Körper ist ein System von materiellen Punkten, deren Abstand konstant bleibt. Für eine vollständige Beschreibung der Bewegung eines starren Körpers ist es neben der Bewegung eines seiner Punkte notwendig, die Bewegung des Körpers in der Nähe dieses Punktes als Fixpunkt zu kennen. Der Körper sei im Punkt O fixiert. Wir bezeichnen den Radiusvektor des Punktes m i bezüglich O r ich , w die momentane Winkelgeschwindigkeit des Körpers ist, dann der Drehimpuls L= Σ [ r ich bin ich v ich ] = Σ = wΣ - Σ . Diese Vektorgleichheit kann als drei Projektionen auf die Koordinatenachsen L x = w x Σ - Σ geschrieben werden; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . Da ( w r i) = x ich w x + y ich w y + z ich w z erhalten wir L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z , wobei J xx = Σ , J xy = Σ , andere sind ähnlich. Die Werte J xx , J yy , J zz heißen axiale Trägheitsmomente, und J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy heißen Fliehträgheitsmomente. Die Wertemenge J ij heißt Trägheitstensor. Die Elemente von J ii heißen diagonal. Wenn alle Elemente außerhalb der Diagonale gleich Null sind, dann sagen sie, dass die Achsen des Körpers, die mit den Koordinatenachsen zusammenfallen, die Hauptträgheitsachsen sind und die Größen J ii die Hauptträgheitsmomente genannt werden. Ein solcher Tensor wird auf eine Diagonalform reduziert.

Euler-Gleichungen. Die Bewegungsgleichung des Massenschwerpunktes des Körpers hat die Form m d v 0 /dt = md/dt ( w * r 0) = F, wo r 0 ist der Radiusvektor des Massenmittelpunkts des Körpers, gezeichnet vom Punkt seiner Befestigung. Es ist zweckmäßig, die dem Körper zugeordneten Achsen des Koordinatensystems entlang der Hauptträgheitsachsen zu richten. In diesem Fall nimmt der Drehimpuls eine einfache Form an L 1 = J 1 w 1 , L 2 = J 2 w 2 , L 3 = J 3 w 3 , und w i sind die Projektionen der Winkelgeschwindigkeit auf die sich zusammen bewegenden Koordinatenachsen mit dem Körper. Unter Verwendung der allgemeinen Formel d EIN/dt = ∂ EIN/∂t + w* EIN, können wir die Momentengleichung wie folgt darstellen: ∂ L/∂t + w * L = M. Unter Berücksichtigung von L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , schreiben wir diese Gleichung in Projektionen auf die Achsen des sich bewegenden Koordinatensystems um: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Diese Gleichungen werden Euler-Gleichungen genannt.

7. Bewegung relativ zu nicht-trägen Referenzrahmen. NISO ist ein System, in dem Der Körper bewegt sich mit Beschleunigung relativ zur Ruhe. Koordinatensystem. Hier sind die Begriffe Homogenität und Isotropie von Raum und Zeit nicht erfüllt, weil Dauer und Länge in NISO variieren. Außerdem geht der Inhalt des 3. Newtonschen Gesetzes und der Erhaltungssätze verloren. Der Grund für alles sind die Trägheitskräfte, die nur mit dem Koordinatensystem, der Katze, verbunden sind. die Bewegung des Körpers beeinflussen. DANN. Die Beschleunigung kann durch eine äußere Kraft oder durch Trägheit geändert werden. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), wobei Fi die Trägheitskraft, a die Beschleunigung ist. Körper in IFR, a′-Accel. der gleiche Körper in NISO. In NISO ist das 1. Newtonsche Gesetz nicht erfüllt! Fi=-m(a′-a), d.h. Trägheitskräfte gehorchen Newtons 3. z-gut nicht, weil sie sind kurzlebig. Beim Übergang von ISO zu NISO verschwinden die Trägheitskräfte. Trägheit Kräfte werden immer gegen die Augenlider gerichtet. äußere Kräfte. Die Trägheitskräfte können vektoriell addiert werden. In ISO: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . Die Konzepte absoluter, relativer und translatorischer Geschwindigkeiten werden in NISO eingeführt: u 0 - absolute Geschwindigkeit, a 0 - relative Beschleunigung. ruhend Koordinatensystem.

u x 0 \u003d v + u x 0 '; ein x 0 \u003d ein ' + ein x; u x ’ a x - relative Geschwindigkeit und Beschleunigung. Bewegung Koordinatensystem. (relativ) ; v, a′-Geschwindigkeit. und beschleunigt. k' bezieht sich. k, d.h. tragbare Geschwindigkeit und Beschleunigung

8. Hamiltons Variationsprinzip. (Prinzip der kleinsten Wirkung).

Es gibt eine -Funktion der verallgemeinerten Koordinate, Geschwindigkeit, Zeit. Betrachten wir einen 2S-dimensionalen Raum, dann ist die Position des Systems S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L die Lagrange-Funktion; S-Aktion. Die Wirkungsfunktion heißt itnegral S=∫ Ldt=0, mit der Katze. Entlang der wahren Bewegungsbahn hat das System einen Minimalwert, d.h. S=Smin, δS=0. Jene. das System von 1 nach 2 bewegt sich entlang einer solchen Trajektorie, dass seine Wirkung minimal ist – Hamiltons Prinzip der kleinsten Wirkung. L = T – U ist die Differenz zwischen der kinetischen und potentiellen Energie des Systems. Nach Hamilton entspricht die reale Trajektorie der minimalen Aktion. Lassen Sie uns eine Flugbahn finden. Die tatsächliche Trajektorie ist die minimale Trajektorie. S-funktional. Finden wir seine min. δS = 0 erste Variation. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g ich δg ich ] + Σ[∂L/∂g ich ( ) δg ich ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g ich ( ) δg ich ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g ich ( ) dδg ich = ∂L/∂g ich ( )δg ich (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg ich d/dt (∂L/∂g ich ( )) dt;

;

δg i hängen nicht voneinander ab
=0
auf der tatsächlichen Trajektorie muss die folgende Gleichung erfüllt sein:
- Lagrange-Gleichung (für alle i= 1,…S).

9. Schwingungen von Systemen mit einem und vielen Freiheitsgraden. Freie und erzwungene Schwingungen . Der einfachste Fall ist, wenn das System einen Freiheitsgrad hat. Einer solchen Stellung des Systems entspricht bei der Katze ein stabiles Gleichgewicht. ihr Potenzial. en. U(q) hat ein Minimum. Eine Abweichung von dieser Position führt zum Auftreten einer Kraft - dU/dq, die dazu neigt, das System zurückzubringen. q 0 - verallgemeinerte Koordinate. Wir erweitern U(q) - U(q0) in Potenzen und erhalten U(q) - U(q0) ≈ k / 2 (q - q 0) 2 wobei k \u003d U '' (q 0) ein positiver Koeffizient ist . U(q 0) \u003d 0, wir bezeichnen x \u003d q - q 0 - die Abweichung der Koordinate vom Gleichgewichtswert, dann ist U (x) \u003d kx 2 / 2 potentielle Energie. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -kinetische Energie bei q = q0 und a(q0) = m ergibt sich die Lagrange-Funktion für ein eindimensional schwingendes System: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. Die dieser Funktion entsprechende Bewegungsgleichung lautet: mx(∙∙) + kx = 0 oder x(∙∙) + w 2 x = 0, wobei w = √(k/m) die zyklische Schwingungsfrequenz ist. Die Lösung für diese ur-th ist x \u003d a cos (wt + α), wobei a die Amplitude der Schwingungen ist, wt + α die Phase der Schwingungen. dann. die Energie des schwingenden Systems ist E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Erzwungene Schwingungen. In diesem Fall hat das System neben seiner eigenen potentiellen Energie ½ kx 2 auch eine potentielle Energie U e (x, m), die mit der Einwirkung eines äußeren Feldes verbunden ist. Dementsprechend lautet die Lagrange-Funktion eines solchen Systems: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), wobei F(t) eine externe Kraft ist.

Die entsprechende Bewegungsgleichung lautet mx(∙∙) + kx = F(t) oder x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Wenn F(t) eine einfache periodische Funktion der Zeit mit einer gewissen Frequenz γ ist: F(t) = f cos(γt + β), dann lautet die Lösung der Bewegungsgleichungen: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a und α werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Dass. Unter der Wirkung einer Antriebskraft führt das System eine Bewegung aus, die eine Kombination zweier Schwingungen darstellt - mit der Eigenfrequenz des Systems w und mit der Frequenz der Antriebskraft - γ. Schwingungen von Systemen mit vielen Freiheitsgraden . Topf. en. System U(q i) hat ein Minimum bei q i =q i 0 . Indem wir kleine Verschiebungen x i = q i - q i 0 einführen und U darin mit einer Genauigkeit von Termen der 2. Ordnung entwickeln, erhalten wir das Potential. Energie: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . Kinet. en. für ein solches System ist 1/2 Σ(i,k) , wobei m ik =m ki . Die Lagrange-Gleichung für ein solches System wäre: L = 1/2 Σ(i,k) . Dann ist dL = Σ(i,k) . Wir suchen x k (t) in der Form x k ​​\u003d A k exp (-iwt), A k ist eine Konstante. Setzen wir dies in die Lagrange-Gleichung ein, erhalten wir ein System linearer homogener Gleichungen. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - charakteristische Gleichung, sie hat s verschiedene Wurzeln w 2 α (α=1,2,….,s) w α - Eigenfrequenzen von das System. Eine spezielle Lösung des Systems hat die Form: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Die allgemeine Lösung ist die Summe aller speziellen Lösungen: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], wobei Q = Re (C α exp(-iw α t)).

10. Kanonische Gleichung von Hamilton. Eine Reihe von Vorteilen beim Studium von Fragestellungen der Mechanik ist die Beschreibung mit Hilfe verallgemeinerter Koordinaten und Impulse, der Übergang von einem Satz unabhängiger Variablen zu einem anderen kann durch die Legendre-Transformation erfolgen. In diesem Fall kommt es auf folgendes an. Das Gesamtdifferential der Lagrange-Funktionen als Funktion von Koordinaten und Geschwindigkeiten ist: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Dieser Ausdruck kann geschrieben werden als dL = Σ(i) + Σ(i) . Schreiben wir es in der Form um: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . Der Wert unter dem Vorzeichen des Differentials ist die Energie des Systems, ausgedrückt in Koordinaten und Impulsen, und wird als Hamilton-Funktion bezeichnet: H (p, q, t) = Σ (i) - L. Aus dif. Gleichheiten dH = - Σ(i) + Σ(i) folgen den Gleichungen: q i (∙) = ∂H/∂p i , p i (∙) = - ∂H/∂q i sind die Hamilton-Gleichungen. Wegen ihrer Einfachheit und Symmetrie werden sie auch genannt. kanonisch. Poisson-Klammern. Die Zeitableitung jeder Funktion F von verallgemeinerten Koordinaten, Impulsen und Zeit ist dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂ p ich dpi /dt]. Unter Verwendung der Hamilton-Gleichungen können wir diese Gleichung in die folgende Form umschreiben: dF/dt = ∂F/∂t + , wobei = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - genannt. die Poisson-Klammer. Offensichtlich kann die Hamilton-Gleichung mit Poisson-Klammern geschrieben werden.

11. Hamilton-Jacobi-Gleichung . Nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung haben wir S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Betrachten Sie die Aktion (S) als eine Größe, die die Bewegung entlang wahrer Trajektorien charakterisiert. Basierend auf der Lagrange-Gleichung für die Änderung der Wirkung beim Wechsel von einer Trajektorie zu einer nahegelegenen Trajektorie (mit einem Freiheitsgrad) erhalten wir: δS = pδq oder für eine beliebige Anzahl von Freiheitsgraden: δS = Σ(i) . Daraus folgt, dass die partiellen Ableitungen der Wirkung nach den Koordinaten gleich den entsprechenden Impulsen sind: ∂S/∂q i = p i (1). Per Definition ist dS/dt = L, wenn man andererseits S als Funktion von Koordinaten und Zeit betrachtet und Formel (1) verwendet, erhält man: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S /∂q ich q ich (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Wenn wir beide Ausdrücke vergleichen, erhalten wir ∂S/∂t = L - Σ(i) oder ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Die Formeln (1), (2) können zusammen geschrieben werden als dS = Σ(i) – Hdt. Und die Aktion (S) selbst wird S = ∫ (Σ(i) – Hdt). Für H unabhängig von t gilt S(q,t)=S 0 (q) - Et, wobei S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] eine verkürzte Wirkung ist und …t durch H(p) ersetzt wird ,q) . Die Funktion S(q,t) erfüllt einen bestimmten Unterschied. Gleichung, die wir erhalten, indem wir die Impulse Р in Beziehung (2) durch die Ableitungen ∂S/∂q ersetzen: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 ist eine Gleichung in partiellen Ableitungen 1. Ordnung genannt. Hamilton-Jacobi-Gleichung. Für ein Teilchen in einem äußeren Feld U(x,y,z,t) hat es also die Form: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. Verformungen und Spannungen in Festkörpern. Youngsche Module, Scherung. Poisson-Zahl . Verformung ist eine Veränderung der Form und des Volumens eines Körpers unter Einwirkung äußerer Kräfte. Unter Einwirkung einer äußeren Kraft ändert sich die Form des Körpers. Alle Deformationen in der Natur können auf 3 reduziert werden m Hauptverformungen: 1) Zug, Druck; 2) Scherung; 3) Torsion. Unterscheiden Sie zwischen homogenen und inhomogenen Verformungen. Wenn alle Teile gleich verformt sind, dann dies gleichmäßig verformt. Wenn sich alle Körperteile unterschiedlich verformen, dann diese inhomogen verformt. Das Hookesche Gesetz ist im Bereich nur elastischer Verformung erfüllt.  = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F-Regelung = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0 ; F-Steuerung \u003d ESx / l 0. Das Hookesche Gesetz definiert die Beziehung zwischen  und . k ist der Elastizitätskoeffizient, er hängt von den geometrischen Abmessungen ab, dem Material, aus dem der Körper besteht. E ist der Elastizitätsmodul. Der Elastizitätsmodul ist gleich der Kraft, die auf einen Körper mit Einheitsquerschnitt ausgeübt werden muss, damit sich sein Körper um das Zweifache vergrößert. Eine andere Art der Verformung ist die Scherverformung, die beobachtet wird, wenn die Oberfläche tangential aufgebracht wird; sie ist parallel zur Schubverformungsfläche, beobachtet unter Einwirkung von Tangentialkräften, d.h. die Kräfte werden tangential aufgebracht. Ψ~F t /S (Verschiebungswinkel). Ψ = nF t /S; n ist der Verschiebungsfaktor. F t = nS. (E>N, E~ 4N).

Die quantitative Beziehung zwischen E und N ist durch die Querdehnzahl gegeben. N = E/(2(1+μ)), wobei  die Querkontraktionszahl ist. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. Die Querkontraktionszahl bestimmt die Änderung der Querabmessungen bei Zug oder Druck.  0,5.

13. Mechanik von Flüssigkeiten und Gasen. Für alle Flüssigkeiten und Gase gilt als vereinheitlichender Parameter: Dichte ρ, Druck P=F n /S. In Flüssigkeiten und Gasen findet der E-Modul statt, aber der Schubmodul |σ|=|P|, σ - Spannung nicht. Ist die Flüssigkeit (Gas) bewegungslos, handelt es sich um Hydrostatik (Aerostatik). Charakteristische Gesetzmäßigkeiten: Pascalsches Gesetz: Der in Gasen und Flüssigkeiten entstehende Überdruck wird in alle Richtungen gleichmäßig übertragen. Zn Archimedes gilt sowohl für Flüssigkeiten als auch für Gase. Die archimedische Kraft wirkt immer gegen die Schwerkraft. Der Grund für die Entstehung der Archimedes-Kraft ist das Vorhandensein eines Körpers des Volumens V. Z-n Archimedes: Ein Körper in einer Flüssigkeit oder einem Gas wird immer von einer Kraft beeinflusst, die gleich dem Gewicht der Flüssigkeit oder des Gases ist, das durch den eingetauchten Teil verdrängt wird am Körper und senkrecht nach oben gerichtet. Ist F A > F HEAVY, dann schwimmt der Körper, ist es umgekehrt, dann sinkt er. Wenn eine Flüssigkeit (Gas) fließt, wird die Strahlkontinuitätsgleichung zu diesen Gleichungen hinzugefügt. Die Bahn der Bewegung eines Teilchens in einer Flüssigkeit heißt. aktuelle Zeile. Der durch eine Stromlinie begrenzte Teil des Raums wird aufgerufen. aktuelle Röhre. Das Fluid im Strahlrohr kann stationär oder instationär strömen. Der Strom wird aufgerufen Bahnhof wenn durch einen bestimmten Abschnitt der aktuellen Röhre pro Einheit. Zeit vergeht die gleiche Menge an Flüssigkeit (Gas), sonst ist die Strömung nicht statisch. Angenommen, wir haben ein Stromrohr der folgenden Form: Wenn die Flüssigkeitsströmung statisch ist. Dann ist m 1 =m 2 =…=m n pro Zeiteinheit, wenn das Fluid inkompressibel ist, dann ist ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; \u003d ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 \u003d ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, da die Flüssigkeit inkompressibel ist, ist ρ konstant υ 1 S 1 = υ 2 S 2 =… = υ n S n , υS=const; υ=const/S ist die Strahlkontinuitätsgleichung. p d v/dt = ρ g– Grad P – Gl. Euler - 2. Ordnung. Newton für Flüssigkeiten und Gase. Das Gesetz bleibt erhalten. Energie in Flüssigkeiten und Gasen. Lv. Bernoulli. Ausweis. Naz. Eine inkompressible Flüssigkeit, bei der viskose Reibungskräfte vernachlässigt werden können. Es wird keine kinetische Energie aufgewendet, um Arbeit gegen Reibungskräfte zu verrichten. Ρυ 2 /2+ρgh + P = const – Gl. Bernoulli, ρυ 2 /2 – Staudruck, ρgh – Hydrostat. Druck, P - Molekulardruck. Mυ 2 /2 \u003d EK; mυ 2 /2V = E K /V = ρυ 2 /2. Kraft der viskosen Reibung F A = ​​​​- ηΔυΔS/ΔZ  6 π r η υ – Stokes-Kraft. Η - Koeffizient. Viskosität, Δυ/ΔZ – Grad υ, r – Körpermaße. Dies ist Newtons Formel für viskose Reibungskräfte. Wenn es Reibungskräfte in der Flüssigkeit gibt, dann id. Die Flüssigkeit wird viskos. ρv 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 /2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 - P 2) \u003d ρ (υ 2 2 - υ 1 2) / 2. Wenn ΔP = 0, dann ist υ 2 2 – υ 1 2 = 0, und es gibt keinen Fluidfluss. Wo P größer ist, ist schnell. Weniger Strom. Wenn der Querschnitt S zunimmt, dann nimmt P zu und υ ab. Wenn die aktuelle Röhre nicht horizontal liegt, dann υ 2 2 -υ 1 2 \u003d 2g (h 1 -h 2); υ \u003d sqrt (2g (h 1 -h 2)) - Formel von Torricelli.

1. Prinzip von Hamilton-Ostrogradsky

Sie ist mittlerweile zu einem der Grundprinzipien der Mechanik geworden. Für holonome mechanische Systeme kann es direkt als Folge des d'Alembert-Lagrange-Prinzips erhalten werden. Aus dem Hamilton-Ostrogradsky-Prinzip lassen sich wiederum alle Eigenschaften der Bewegung holonomer mechanischer Systeme gewinnen.

Stellen Sie sich die Bewegung eines Systems materieller Punkte relativ zu einem Trägheitsbezugssystem unter der Wirkung aktiver Kräfte vor, und lassen Sie die möglichen Verschiebungen der Punkte des Systems durch ideale holonome Beschränkungen einschränken. Lassen Sie uns die kartesischen Koordinaten des Punktes als und die unabhängigen Lagrange-Koordinaten als bezeichnen. Die Beziehung zwischen den kartesischen und den Lagrange-Koordinaten ist durch die Relationen gegeben

Wir gehen im Folgenden davon aus, dass die Koordinaten durch einwertige, stetige und beliebig differenzierbare Funktionen von Variablen repräsentiert werden und dass sich die Parameter von jeder Position des Systems sowohl in positiver als auch in negativer Richtung ändern können . Wir betrachten die Bewegung des Systems ab einem bestimmten Zeitpunkt bis zu dem Moment, an dem die Anfangsposition des Systems den Werten entspricht

Lagrange-Koordinaten und die Position des Systems im Moment - Werte Lassen Sie uns in Betracht ziehen -dimensionaler erweiterter Raum von Koordinaten und Zeit, in dem ein Punkt jeder spezifischen Position des Systems entspricht. In einem solchen erweiterten -dimensionalen Raum wird die Bewegung des Systems durch eine bestimmte Kurve dargestellt, die im Folgenden als Bahn des Systems bezeichnet wird. Zwei Punkte entsprechen hier der Anfangs- und Endposition des Systems. Bei der tatsächlichen Bewegung des Systems von Position zu Position ändern sich die Lagrange-Koordinaten kontinuierlich und definieren eine Kurve im -dimensionalen Raum, die wir die reale Bahn des Systems nennen wollen. Es ist möglich, das System in Übereinstimmung mit den dem System auferlegten Beschränkungen von Position zu Position im gleichen Zeitintervall, aber entlang einer anderen Trajektorie zu bewegen, die der realen nahe kommt, ohne sich Gedanken über die Erfüllung der Bewegungsgleichungen zu machen. Wir nennen eine solche Bahn im -dimensionalen Raum eine Umwegbahn. Durch den Vergleich von Bewegungen entlang der Ist- und Umwegtrajektorien wollen wir uns zum Ziel setzen, die Isttrajektorie unter den Umwegen zu bestimmen. Lassen Sie die Position des Systems zu einem Zeitpunkt auf der tatsächlichen Bahn mit einem Punkt P und die Position des Systems zur gleichen Zeit auf einer kreisförmigen Bahn mit einem Punkt P markieren (Abb. 252).

Ein Segment, das gleichzeitig zwei Punkte auf unterschiedlichen Trajektorien verbindet, stellt die momentan mögliche Bewegung des Systems dar. Es entspricht einer Änderung der Lagrange-Koordinaten im Moment beim Bewegen von Position P zu Position P um einen Betrag Die Bewegung des Systems entspricht Variationen in kartesischen Koordinaten, die in Form von Variationen der Lagrange-Koordinaten in Form von Gleichheiten ausgedrückt werden können

Betrachten Sie eine beliebige Ein-Parameter-Familie von "Trajektorien".

von denen jeder die Punkte verbindet, die jeweils zu bestimmten Zeiten durch sie hindurchgehen, und der Wert des Parameters der tatsächlichen Trajektorie (direktem Pfad) entsprechen soll, die das System zeitlich von Position zu Position durchläuft, d. h. allen anderen Trajektorien, die die Punkte verbinden Die Bewegung des Systems entlang einer beliebigen Trajektorie entspricht einer Änderung der Lagrange-Koordinaten aufgrund einer Änderung der Zeit, wenn der Parameter a unverändert bleibt. Der Parameter a ändert sich nur, wenn er sich von einer Trajektorie zu einer anderen bewegt. Die Koordinatenvariation wird nun wie folgt definiert:

und die zeitliche Ableitung der Koordinate hat die Form

Lassen Sie die Lagrange-Koordinaten einwertige stetig differenzierbare Funktionen von sein. Dann

Die erhaltenen Beziehungen in der Mechanik werden "permutierbar" genannt. Differenzierungsoperationen sind nur dann permutierbar, wenn alle Koordinaten unabhängig und nicht durch nicht integrierbare Beziehungen verbunden sind.

Zeigen wir, dass die Permutabilität der Variations- und Differentiationsoperationen auch für kartesische Koordinaten gilt. Lassen

Betrachten Sie die zeitliche Ableitung von

Andererseits,

Subtrahieren wir die zweite Gleichheit von der ersten, erhalten wir

woraus folgt

d.h. die Operationen der Differentiation und Variation sind auch für kartesische Koordinaten permutierbar, wenn dem System materieller Punkte nur holonome ideale Beschränkungen auferlegt werden.

Fahren wir mit der Definition der tatsächlichen Trajektorie unter allen Umwegen fort. Die eigentliche Bewegung des Systems erfolgt nach dem d'Alembert-Lagrange-Prinzip

die den "Trend" der wahren Bewegung (tatsächliche Bewegung) zu jedem Zeitpunkt bestimmt. Betrachten Sie das Integral

entlang der tatsächlichen Trajektorie des Systems genommen. Alle verglichenen Trajektorien des Systems beginnen zur gleichen Zeit und vom gleichen Punkt im -dimensionalen Raum. Sie enden alle zum selben Zeitpunkt am selben Punkt. Daher sind an den Enden der Trajektorien bei die Bedingungen

Wir transformieren die resultierende Gleichung, indem wir den Ausdruck partiell integrieren

und da die Variationen an den Enden der Trajektorie verschwinden, haben wir

Aufgrund der Vertauschbarkeit der Operationen Differentiation und Variation haben wir

danach nimmt die Gleichung die Form an

In dieser Form drückt die resultierende Gleichung Hamiltons "Prinzip der kleinsten Wirkung" für allgemeine mechanische Systeme aus. Auf der realen Bahn des Systems verschwindet das Integral der Funktion

Wenn die auf das System wirkenden Kräfte eine Kraftfunktion haben, dann gilt folgende Beziehung:

und die obige Gleichung nimmt die Form an

Da die Variation nicht mit einer Zeitänderung verbunden ist, können die Operationen von Variation und Integration vertauscht werden:

d.h. das Integral über die reale Trajektorie hat einen stationären Wert.

Wir haben die Notwendigkeit eines stationären Wertes des Integrals auf der realen Trajektorie gezeigt. Zeigen wir, dass das Verschwinden der integralen Variation eine hinreichende Bedingung für die tatsächliche Bewegung des Systems ist. Dazu genügt es, die Bewegungsgleichungen des Systems aus dem Hamiltonschen Prinzip zu gewinnen.

Stellen Sie sich ein mechanisches System mit holonomen idealen Zwangsbedingungen vor, dessen Position durch Lagrange-Koordinaten und die aktive Kraft bestimmt wird

hängt von verallgemeinerten Geschwindigkeiten, Koordinaten und Zeit ab. Unter Berücksichtigung der bekannten Relation

Schreiben wir das Hamilton-Prinzip in die Form um

Durchführen von Personalvariationen

und dann partiell integrieren

da an den Enden des Intervalls die Variationen der Koordinaten gleich Null sind, erhalten wir aus dem Hamilton-Prinzip

Variationen sind innerhalb des Intervalls willkürlich und unabhängig, und dann ist aufgrund des Hauptlemmas der Variationsrechnung Gleichheit nur dann möglich, wenn alle Koeffizienten bei verschwinden, d. h. wenn die Bedingungen

Die resultierenden Gleichungen müssen in der tatsächlichen Bewegung des mechanischen Systems gültig sein. Die Hinlänglichkeit des Hamilton-Prinzips wird durch die Tatsache bewiesen, dass diese Gleichungen Lagrange-Gleichungen der zweiten Art sind, die die Bewegung eines mechanischen Systems beschreiben, dem holonome ideale Zwangsbedingungen auferlegt sind.

Das Hamiltonsche Prinzip für mechanische Systeme mit holonomen idealen Nebenbedingungen lässt sich nun wie folgt formulieren:

Die tatsächliche Bewegung eines Systems mit holonomen idealen Verbindungen zwischen zwei gegebenen Positionen unterscheidet sich von den kinematisch möglichen Bewegungen zwischen diesen Positionen, die im selben Zeitintervall ausgeführt werden, dadurch, dass das Integral über die reale Bewegung verschwindet

für alle Werte, die die angegebenen Bedingungen erfüllen.

Die Verwendung des d'Alembert-Prinzips ermöglicht es, die Reaktionskräfte der Bindungen nicht zu berücksichtigen, und ermöglicht die Anwendung beliebiger verallgemeinerter Koordinaten. Das Erhalten von Gleichungen in verallgemeinerten Koordinaten kann jedoch aufgrund des Vorhandenseins von Skalarprodukten im d'Alembert-Prinzip (2.13) schwierig sein. Mit Hilfe von Koordinatentransformationen können Gleichungen (2.13) in eine Form transformiert werden, die nur Skalarfunktionen verallgemeinerter Koordinaten enthält. Einen anderen Weg zeigen wir, wenn man zunächst vom d'Alembert-Prinzip zum integralen Variationsprinzip übergeht. Die Ableitung der Gleichungen der Mechanik aus dem Variationsprinzip ermöglichte es, viele wichtige Ergebnisse zu gewinnen. In der Zukunft wurden Variationsprinzipien auch in anderen Bereichen der theoretischen Physik eingesetzt.

Betrachten Sie den Fall, wenn die Kräfte ein Potential haben. Dann wird die virtuelle Arbeit der Kräfte in die Form geschrieben (2.14)

Im Allgemeinen kann die potentielle Energie von der Zeit abhängen. Da die Schwankung mit einem festen Wert berechnet wird, beeinflusst dies die Schlussfolgerungen in keiner Weise. Bei der Verwendung verallgemeinerter Koordinaten ist die potentielle Energie letztlich eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten. Dann hat die Variation der potentiellen Energie die Form

(2.15)

In Analogie zu den Ausdrücken (1.12) werden partielle Ableitungen der potentiellen Energie nach verallgemeinerten Koordinaten genannt Verallgemeinerte Kräfte:

Um Terme mit Beschleunigungen in eine Variation von einer Skalarfunktion umzuwandeln, integrieren wir zuerst die Gleichung (2.9) zeitlich: . (2.17)

(2.18)

Wir gehen davon aus, dass die zeitliche Anfangsposition UND die zeitliche Endposition des Systems materieller Punkte gegeben sind. Daher ist er für diese Zeitpunkte gleich Null, und der erste Term in (2.18) verschwindet. Da die Koordinatenvariationen für feste Zeiten betrachtet werden, können Zeitableitung und Variation vertauscht werden. Der zweite Term in (2.18) wird in die Form transformiert

(2.19)

Dieselben Transformationen können für alle Koordinaten aller Materialpunkte durchgeführt werden. Wir berücksichtigen auch den Ausdruck (2.14) für die virtuelle Arbeit hinsichtlich der Potentialfunktion. Als Ergebnis erhalten wir für das Integral (2.17).

. (2.20) Die im letzten Integral der Formel (2.20) enthaltene Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie wird genannt Lagrange-Funktion und ist mit dem Buchstaben gekennzeichnet . Die Lagrange-Funktion hängt von den Koordinaten und Geschwindigkeiten materieller Punkte ab. Beim Übergang zu verallgemeinerten Koordinaten wird dies in verallgemeinerten Koordinaten und verallgemeinerten Geschwindigkeiten ausgedrückt:

Die Zeit darf nicht in der Lagrange-Funktion enthalten sein. Das Integral aus (2.20) wird mit einem Buchstaben bezeichnet und heißt Handlung; (2.22)

Nach Einführung dieser Bezeichnungen nimmt die Bedingung (2.20) die Form an. (2.23)

Die Variation der Aktion ist Null. Das bedeutet, dass die Wirkung ein Extremum hat, den größten oder kleinsten Wert annimmt, wenn die die Bewegung des mechanischen Systems beschreibenden Funktionen als Abhängigkeit in das Integral (2.22) eingesetzt werden. Daher kann die Bedingung des Aktionsextremums verwendet werden, um das Bewegungsgesetz eines Systems materieller Punkte zu finden.

Jetzt können wir formulieren integrales Prinzip, namens Hamiltonsches Prinzip: Die Bewegung eines mechanischen Systems über eine endliche Zeitspanne hinweg Vor Es geschieht so, dass die Aktion ein Extremum hat.

Für konservative Systeme entspricht das Hamiltonsche Prinzip den Newtonschen Gesetzen. Es kann daher als das Grundprinzip der Mechanik angesehen werden, aus dem sich alle Gleichungen der Mechanik ableiten: Es handelt sich um ein Variationsprinzip, da sich die Abhängigkeit der verallgemeinerten Koordinaten von der Zeit aus der Bedingung des Minimums des Wirkungsintegrals ergibt. Einer der Vorteile der Anwendung des Hamilton-Prinzips besteht darin, dass es nur Skalarfunktionen enthält, die auf beliebige verallgemeinerte Koordinaten neu berechnet werden können. Daher erweisen sich die aus dem Variationsprinzip folgenden Gleichungen als unmittelbar in verallgemeinerten Koordinaten geschrieben. Die Gewinnung der Gleichungen der Mechanik aus dem Variationsprinzip ermöglichte auch die Lösung einer Reihe grundlegender Fragen der klassischen Mechanik.

VORTRAG 2 ELEKTRON - WELLE UND TEILCHEN

Schauen wir uns dieses Experiment an. Elektronen einer bestimmten Energie, die aus einer Quelle herausfliegen, passieren eines nach dem anderen kleine Löcher in einer Barriere, die ihnen in den Weg gestellt wird, und fallen dann auf eine Fotoplatte oder einen Leuchtschirm, wo sie eine Spur hinterlassen. Nach dem Entwickeln einer Fotoplatte sieht man darauf eine Kombination aus abwechselnd hellen und dunklen Streifen, d.h. ein Beugungsmuster, das ein ziemlich komplexes physikalisches Phänomen ist, das tatsächlich Beugung (d. h. das Abrunden eines Hindernisses durch eine Welle) und Interferenz (Überlagerung von Wellen) umfasst.

Betrachten wir dieses Phänomen, ohne auf die Details einzugehen. Folgende Punkte nehmen wir zur Kenntnis:

− sowohl Beugung als auch Interferenz wurden in einem solchen Experiment beobachtet

mit Elektronen, sie sprechen über die Manifestation von Welleneigenschaften durch sie (und im Allgemeinen durch Mikropartikel), weil nur Wellen in der Lage sind, sich um ein Hindernis zu biegen und sich am Treffpunkt zu überlappen;

- selbst wenn Elektronen einzeln (d. h. mit großem Abstand) durch das Loch gehen, bleibt das resultierende Beugungsmuster das gleiche wie bei massivem Beschuss, das heißt

Über die Manifestation der Welleneigenschaften jedes einzelnen Elektrons;

− Um die Beugung von Elektronen zu erklären, muss man sie mit ihrer Bewegung vergleichen eine Wellenfunktion, deren Eigenschaften das beobachtete Beugungsmuster bestimmen sollten. Da es aber eine Wellenfunktion gibt, muss es auch eine Wellengleichung geben, deren Lösung diese Funktion ist.

Daher beginnen wir nicht mit der Untersuchung der Gleichung selbst, sondern der Funktion, d.h. Lösungen der Wellengleichung. Aber zuerst erinnern wir uns an das Hamilton-Prinzip, das als Axiom in der Quantenmechanik gilt.

HAMILTON-PRINZIP

1833 Sir Hamilton erläuterte in „On a General Method of Expression the Paths of Light and Planets by the Coefficients of a Certain Characteristic Function“ die folgende Idee:

Die Darstellung der Gesetze der Mechanik beginnt meist mit den Newtonschen Gesetzen. Man kann aber auch vom "anderen Ende" ausgehen, nämlich von der Formulierung einer sehr allgemeinen Aussage, genannt Prinzip der kleinsten Wirkung. Nach diesem Prinzip ist die reale Bewegung eines mechanischen Systems (im Gegensatz zu allen anderen denkbaren

Bewegungen) entspricht dem extremen (und für ein hinreichend kleines Zeitintervall ∆ t = t 2 − t 1 − Minimum) Wert des Integrals, genannt

gegeben durch die "Wirkung" S = ∫ Ldt ,

wobei L eine Funktion von Koordinaten, Geschwindigkeiten und allgemein der Zeit ist, die als "Lagrange-Funktion" bezeichnet wird.

Wie Hamilton gezeigt hat, entspricht jeder Größe in der Mechanik eine ihr analoge Größe in der geometrischen Optik. Somit kann die Ausbreitung einer ebenen Welle als räumliche Verschiebung der Oberfläche konstanter Phase ϕ = const dargestellt werden. Gleichzeitig kann die Bewegung eines Systems identischer materieller Punkte entlang eines Bündels von Trajektorien mit der Bewegung einer Fläche konstanter Wirkung im Raum S = const in Verbindung gebracht werden. Die Analogie "Phase" - "Aktion" kann fortgesetzt werden, dann sind Größen wie Energie und Frequenz sowie Impuls und Wellenvektor "ähnlich" (dh die Formeln sind ähnlich, obwohl die Bedeutung unterschiedlich ist).

E. = − ∂ ∂ S. t ; ω = − ∂ ∂ ϕ t ; p = S; k = ϕ .

− ″nabla″-Operator, eingeführt von Hamilton

= ∂ ∂ x ich + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k .

Die von Hamilton entdeckte optisch-mechanische Analogie erregte über 100 Jahre lang keine Aufmerksamkeit. Und nur de Broglie verstand die Bedeutung dieser Analogie für die duale Natur eines Mikroobjekts (wir werden später auf de Broglies Beziehung eingehen). Für die weitere Arbeit müssen wir jedoch ein Objekt mit einer Ruhemasse und einer Welle vergleichen.

EBENE WELLENFORMEL.

Nach dem Hamilton-Prinzip kann die eindimensionale Bewegung eines Elektrons (eines Objekts mit Ruhemasse) in Richtung der „x“-Achse einer ebenen monochromatischen Welle zugeordnet werden:

	Ψ = A cos 2π					−νt
	Ψ = A sin 2π					−νt

Ψ − Amplitude (mit maximalem Betrag A ) ,

λ - Wellenlänge, ν - Frequenz, t - Zeit.

Führen wir die Kreisfrequenz ω = 2 πν und den Wellenvektor k = 2 λ π n ein,

wobei n ein Einheitsvektor ist, der die Bewegungsrichtung einer ebenen Welle angibt; Dann:

Ψ = Acos(kx − ω t)

Ψ = A sin(kx − ω t ) (6)

Der Ausdruck (kx − ω t ) heißt Phase der Welle (ϕ ).

Es ist bequemer, Ausdruck (6) in einer äquivalenten komplexen Form zu schreiben:

Ψ = A (cosϕ + i sinϕ ) = Ae i ϕ , (7)

wobei A − auch komplex sein kann. Der Ausdruck e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (8) ist die Euler-Formel.

Funktion (8) ist periodisch mit Periode 2 π n (n = 0, ± 1; ± 2;...). BEIM

(7) Es gibt sowohl Wellen- als auch diskrete Charakteristiken, die der Periode (8) entsprechen. Wir haben also den ersten Schritt getan, um eine Wellenfunktion zu erhalten, die mit der Bewegung eines freien Elektrons vergleichbar ist, indem wir Formel (7) geschrieben haben.

EXPERIMENTE ZUR SUCHE NACH ELEKTRONISCHEN HÜLLEN.

Ein Elektron kann also einem Teilchen ohne Ruhemasse zugeordnet werden, das Welleneigenschaften aufweist. Diese Tatsache wurde erstmals 1924 von dem bedeutenden französischen Physiker Louis de Broglie auf der Grundlage des Hamilton-Prinzips vorhergesagt und dann 1927 experimentell nachgewiesen. Amerikaner J. Davisson und A. Germer.

Louis de Broglie schlug vor, dass ein frei bewegliches Elektron mit dem Impuls p und der Energie E einer Welle mit dem Wellenvektor k und der Frequenz ω zugeordnet werden kann, und:

	p = h					(9) und E = hω (10).

(Erinnern Sie sich daran, dass h \u003d 2 h π \u003d 1,054 10 - 34 J s)

Diese Zusammenhänge haben in der Entstehungsgeschichte der Quantenphysik eine herausragende Rolle gespielt, da es sich um experimentell nachgewiesene Zusammenhänge handelt. Lassen Sie uns die Essenz der Experimente von Davisson und Gerrmer verstehen. Davisson, der die Reflexion von Elektronen von Festkörpern untersuchte, versuchte, die Konfiguration des elektrischen Feldes zu "prüfen", das ein einzelnes Atom umgibt, d.h. nach elektronischen Granaten gesucht

ki Atome. 1923 Zusammen mit seinem Schüler G. Kansman erhielt er Kurven für die Verteilung gestreuter Elektronen über Winkel in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des anfänglichen (ungestreuten) Strahls.

Das Installationsschema ist sehr einfach, die Strahlenergie, der Einfallswinkel auf das Ziel und die Position des Detektors wurden geändert. Nach der klassischen Physik sollten gestreute Elektronen in alle Richtungen ausfliegen. Ihre Intensität sollte nicht von Winkeln oder Energie abhängen. Genau das geschah in den Experimenten von Davisson und Kansman. Fast ..., aber es gab immer noch kleine Maxima auf den Kurven der Winkelverteilung von Energien, die durch die Inhomogenität der Felder in der Nähe der Zielatome erklärt wurden. Die deutschen Physiker J. Frank und W. Elsasser schlugen vor, dass dies auf Elektronenbeugung zurückzuführen ist. Der Streit half, den Fall zu lösen. 1927 Davisson experimentierte zusammen mit Germer mit einer Nickelplatte. Luft ist versehentlich in die Anlage eingedrungen und die Metalloberfläche oxidiert. Es war notwendig, den Oxidfilm durch Glühen des Kristalls in einem Hochtemperaturofen in einer reduzierenden Umgebung zu entfernen, wonach das Experiment fortgesetzt wurde. Aber die Ergebnisse waren unterschiedlich. Anstelle einer monotonen (oder fast monotonen) Änderung der Intensität gestreuter Elektronen mit dem Winkel wurden ausgeprägte Maxima und Minima beobachtet, deren Position von der Elektronenenergie abhängt. Der Grund für eine so starke Änderung des Streumusters ist die Bildung von Nickel-Einkristallen als Ergebnis des Brennens, die als Beugungsgitter dienten. Wenn de Broglie Recht hat und Elektronen Welleneigenschaften haben, dann sollte das Streubild einem Röntgenbild ähneln, und die Berechnung des Röntgenbildes erfolgt nach der bereits bekannten Bragg-Formel. Somit beträgt für den in der Figur gezeigten Fall der Winkel α zwischen der Bragg-Ebene und der Richtung der maximalen Elektronenstreuung 65°. Der durch das Röntgenverfahren gemessene Abstand "a" zwischen den Ebenen im Ni-Einkristall beträgt 0,091 nm.

Die Bragg-Gleichung, die die Position der Maxima während der Beugung beschreibt, hat die Form: n λ = 2asin α (n ist eine ganze Zahl).

Unter der Annahme n = 1 und unter Verwendung der experimentellen Werte von ″a″

und ″ α ″ erhalten wir für λ :

λ = 2 0,091 sin 650 = 0,165 nm.

De Broglie-Formel:

was in ausgezeichneter Übereinstimmung mit dem Experiment steht. Anschließend wurden ähnliche Ergebnisse von Tom-

Sohn (1928) und 1930 von vielen anderen Physikern.

Somit haben sowohl Experiment als auch Theorie die Dualität des Verhaltens des Elektrons gezeigt. Trotz des revolutionären Charakters dieser Sichtweise blieb die innere Struktur des Elektrons immer noch unklar. In der Wissenschaft treten jedoch häufig Ereignisse auf, dank derer es möglich ist, unüberwindbare Wissensgebiete zu umgehen und bestimmte Schritte auf dem Weg des Fortschritts auf Umwegen zu gehen.

In den 1920er Jahren, zu Beginn der Quantenmechanik, stellten sich die Physiker einer anderen Aufgabe - die Mechanik der Mikrowelt zu bauen, d.h. Finden Sie die Gesetze, die die Bewegung eines Elektrons unter verschiedenen Bedingungen bestimmen

Bedingungen, ohne auf Modelle zurückzugreifen, die seine innere Struktur beschreiben.

Also: Wir haben ein Mikroobjekt mit negativer Ladung und einer bestimmten Masse, das irgendwie die Eigenschaften einer Welle und eines Teilchens vereint. Die Frage ist: Was sind die Merkmale der physikalischen Beschreibung der Bewegung eines solchen Mikroobjekts? Ein Merkmal ist bereits klar. Bewegung ohne Energieverlust kann nur ein Teilchen ohne Ruhemasse ausführen, das ausschließlich Welleneigenschaften hat, also ein Photon. Aber ein weiteres Merkmal dieses Objekts ist, dass es frei von Ruhe ist. Die Kombination dieser beiden Merkmale eines Mikropartikels erfordert spezielle Axiome oder Prinzipien. Eines der wichtigsten Prinzipien zur Beschreibung solcher Objekte, die in schwer fassbaren Momenten ihr Wesen ändern und entweder Wellen- oder Korpuskulareigenschaften widerspiegeln, ist die Unschärferelation.