Eine geometrische Folge ist eine neue Art von Zahlenfolge, mit der wir uns vertraut machen müssen. Für eine erfolgreiche Bekanntschaft schadet es nicht, zumindest zu wissen und zu verstehen. Dann gibt es kein Problem mit der geometrischen Progression.)

Was ist eine geometrische Progression? Das Konzept der geometrischen Progression.

Wir beginnen die Tour wie gewohnt mit der Grundstufe. Ich schreibe eine unvollendete Zahlenfolge:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Können Sie ein Muster erkennen und sagen, welche Zahlen als nächstes gehen? Der Pfeffer ist klar, die Zahlen 100000, 1000000 und so weiter gehen weiter. Auch ohne großen mentalen Stress ist alles klar, oder?)

OK. Ein anderes Beispiel. Ich schreibe folgende Sequenz:

1, 2, 4, 8, 16, …

Können Sie sagen, welche Nummern als nächstes gehen, nach der Nummer 16 und dem Namen? achte Sequenzmitglied? Wenn Sie herausgefunden haben, dass es die Nummer 128 wäre, dann sehr gut. Die halbe Miete liegt also im Verstehen Bedeutung und Schlüsselpunkte geometrische Progression bereits durchgeführt. Du kannst weiter wachsen.)

Und jetzt wenden wir uns wieder von den Empfindungen der strengen Mathematik zu.

Schlüsselmomente einer geometrischen Progression.

Schlüsselmoment Nr. 1

Die geometrische Progression ist Folge von Zahlen. Genauso wie der Fortschritt. Nichts kniffliges. Habe gerade diese Sequenz arrangiert anders. Daher hat es natürlich einen anderen Namen, ja ...

Schlüsselmoment Nr. 2

Mit dem zweiten Schlüsselpunkt wird die Frage kniffliger. Gehen wir ein wenig zurück und erinnern uns an die Schlüsseleigenschaft einer arithmetischen Folge. Hier ist es: jedes Mitglied ist anders als das vorherige um den gleichen Betrag.

Lässt sich eine ähnliche Schlüsseleigenschaft für eine geometrische Folge formulieren? Denken Sie ein wenig nach... Schauen Sie sich die angeführten Beispiele an. Erraten? Ja! In einer geometrischen Folge (beliebiger!) unterscheidet sich jedes ihrer Glieder vom vorherigen in der gleichen Anzahl von Malen. Stets!

Im ersten Beispiel ist diese Zahl zehn. Welches Glied der Folge Sie auch nehmen, es ist größer als das vorherige zehn Mal.

Im zweiten Beispiel ist dies eine Zwei: Jedes Mitglied ist größer als das vorherige. zweimal.

In diesem entscheidenden Punkt unterscheidet sich die geometrische Progression von der arithmetischen. In einer arithmetischen Folge wird jeder nächste Term erhalten Hinzufügen im gleichen Wert wie in der vorangegangenen Laufzeit. Und hier - Multiplikation der Vorlaufzeit um den gleichen Betrag. Das ist der Unterschied.)

Schlüsselmoment Nr. 3

Dieser Schlüsselpunkt ist völlig identisch mit dem für eine arithmetische Progression. Nämlich: jedes Glied der geometrischen Folge ist an seinem Platz. Alles ist genauso wie bei der arithmetischen Progression und Kommentare sind meiner Meinung nach unnötig. Es gibt den ersten Term, es gibt hunderteins und so weiter. Lassen Sie uns mindestens zwei Mitglieder neu anordnen - das Muster (und damit die geometrische Progression) wird verschwinden. Was bleibt, ist nur eine Zahlenfolge ohne jede Logik.

Das ist alles. Das ist der springende Punkt der geometrischen Progression.

Begriffe und Bezeichnungen.

Und jetzt, nachdem wir uns mit der Bedeutung und den Kernpunkten der geometrischen Progression befasst haben, können wir zur Theorie übergehen. Ansonsten, was ist eine Theorie, ohne die Bedeutung zu verstehen, richtig?

Was ist eine geometrische Progression?

Wie schreibt man allgemein eine geometrische Folge? Kein Problem! Jedes Mitglied der Progression wird auch als Buchstabe geschrieben. Nur für die arithmetische Progression wird normalerweise der Buchstabe verwendet "a", für geometrisch - Buchstabe "b". Mitgliedsnummer, wie üblich, angezeigt unterer rechter Index. Die Mitglieder der Progression selbst werden einfach durch Kommas oder Semikolons getrennt aufgelistet.

So:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Kurz gesagt wird eine solche Progression wie folgt geschrieben: (b n) .

Oder so für endliche Progressionen:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

Oder kurz:

(b n), n=30 .

Das sind eigentlich alle Bezeichnungen. Alles ist gleich, nur der Buchstabe ist anders, ja.) Und jetzt gehen wir direkt zur Definition.

Definition einer geometrischen Folge.

Eine geometrische Folge ist eine numerische Folge, deren erster Term ungleich Null ist und jeder nachfolgende Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist.

Das ist die ganze Definition. Die meisten Wörter und Sätze sind Ihnen klar und vertraut. Es sei denn natürlich, Sie verstehen die Bedeutung einer geometrischen Progression "an den Fingern" und im Allgemeinen. Aber es gibt auch ein paar neue Sätze, auf die ich besonders hinweisen möchte.

Zuerst die Worte: „Der erste Begriff davon von Null verschieden".

Diese Beschränkung auf den ersten Begriff wurde nicht zufällig eingeführt. Was denkst du, wird passieren, wenn der erste Begriff b 1 stellt sich als null heraus? Wie lautet der zweite Term, wenn jeder Term größer als der vorherige ist? gleich oft? Sagen wir dreimal? Mal sehen... Multipliziere den ersten Term (also 0) mit 3 und erhalte... Null! Und das dritte Mitglied? Auch null! Und der vierte Term ist auch Null! Usw…

Wir bekommen nur eine Tüte Bagels eine Folge von Nullen:

0, 0, 0, 0, …

Natürlich hat eine solche Sequenz das Recht auf Leben, aber sie ist ohne praktisches Interesse. Alles ist so klar. Jedes seiner Mitglieder ist Null. Die Summe einer beliebigen Anzahl von Mitgliedern ist ebenfalls null ... Was für interessante Dinge kann man damit machen? Gar nichts…

Folgende Schlüsselwörter: "multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null".

Dieselbe Nummer hat auch einen eigenen speziellen Namen - Nenner einer geometrischen Folge. Fangen wir an, uns zu verabreden.)

Der Nenner einer geometrischen Progression.

Alles ist einfach.

Der Nenner einer geometrischen Folge ist eine Zahl (oder ein Wert) ungleich Null, die darauf hinweist wie oftjedes Mitglied der Progression mehr als die vorherige.

Auch hier ist in Analogie zur arithmetischen Progression das Schlüsselwort, auf das man bei dieser Definition achten sollte, das Wort "mehr". Das bedeutet, dass jeder Term einer geometrischen Folge erhalten wird Multiplikation auf genau diesen Nenner vorheriges Mitglied.

Ich erkläre.

Um zu rechnen, sagen wir zweite Mitglied zu nehmen Erste Mitglied u multiplizieren es auf den Nenner. Zur Berechnung Zehntel Mitglied zu nehmen neunte Mitglied u multiplizieren es auf den Nenner.

Der Nenner der geometrischen Progression selbst kann beliebig sein. Absolut jeder! Ganzzahlig, gebrochen, positiv, negativ, irrational – alle. Außer null. Davon sagt uns das Wort „Nicht-Null“ in der Definition. Warum dieses Wort hier gebraucht wird – dazu später mehr.

Nenner einer geometrischen Folge normalerweise mit einem Buchstaben bezeichnet q.

So finden Sie diesen q? Kein Problem! Wir müssen jeden Begriff der Progression nehmen und dividiere durch den vorherigen Term. Teilung ist Fraktion. Daher der Name – „der Nenner des Fortschritts“. Der Nenner sitzt meist in einem Bruch, ja...) Obwohl logischerweise der Wert q aufgerufen werden soll Privat geometrische Progression, ähnlich wie Unterschied für eine arithmetische Folge. Aber vereinbart, anzurufen Nenner. Und wir werden das Rad auch nicht neu erfinden.)

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert definieren q für diese geometrische Folge:

2, 6, 18, 54, …

Alles ist elementar. Wir nehmen irgendein Sequenznummer. Was wir wollen, nehmen wir. Außer dem allerersten. Zum Beispiel 18. Und dividiere durch vorherige Nummer. Das heißt um 6.

Wir bekommen:

q = 18/6 = 3

Das ist alles. Dies ist die richtige Antwort. Für eine gegebene geometrische Folge ist der Nenner drei.

Finden wir den Nenner q für eine andere geometrische Progression. Zum Beispiel so:

1, -2, 4, -8, 16, …

Alles das selbe. Welche Zeichen auch immer die Mitglieder selbst haben, wir nehmen sie trotzdem irgendein Sequenznummer (z. B. 16) und dividieren durch vorherige Nummer(d.h. -8).

Wir bekommen:

d = 16/(-8) = -2

Und das war's.) Diesmal war der Nenner der Progression negativ. Minus zwei. Es passiert.)

Nehmen wir diesen Verlauf:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Und noch einmal, unabhängig von der Art der Zahlen in der Folge (sogar ganze Zahlen, sogar Bruchzahlen, sogar negativ, sogar irrational), nehmen wir eine beliebige Zahl (z. B. 1/9) und dividieren durch die vorherige Zahl (1/3). Natürlich nach den Bruchrechnungsregeln.

Wir bekommen:

Das ist alles.) Hier stellte sich heraus, dass der Nenner ein Bruch war: q = 1/3.

Aber so eine "Progression" wie Sie?

3, 3, 3, 3, 3, …

Offensichtlich hier q = 1 . Formal ist dies auch eine geometrische Progression, nur mit gleiche Mitglieder.) Für Studium und Praxis sind solche Verläufe aber nicht interessant. Genauso wie Progressionen mit durchgezogenen Nullen. Daher werden wir sie nicht berücksichtigen.

Wie Sie sehen können, kann der Nenner der Progression alles sein – ganzzahlig, gebrochen, positiv, negativ – alles! Es kann nicht nur null sein. Nicht erraten warum?

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an, was passieren wird, wenn wir als Nenner nehmen q Null.) Lassen Sie uns zum Beispiel haben b 1 = 2 , a q = 0 . Was wird dann die zweite Amtszeit sein?

Wir glauben:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Und das dritte Mitglied?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Arten und Verhalten geometrischer Verläufe.

Bei allem war mehr oder weniger klar: ob der Unterschied in der Progression liegt d positiv ist, nimmt die Progression zu. Wenn die Differenz negativ ist, nimmt die Progression ab. Es gibt nur zwei Möglichkeiten. Es gibt kein drittes.)

Aber mit dem Verhalten einer geometrischen Progression wird alles viel interessanter und vielfältiger!)

Sobald sich die Mitglieder hier verhalten: Sie nehmen zu und ab und nähern sich Null auf unbestimmte Zeit und ändern sogar das Vorzeichen, wobei sie abwechselnd entweder auf "Plus" oder auf "Minus" eilen! Und bei all dieser Vielfalt muss man sich gut verstehen können, ja ...

Wir verstehen?) Beginnen wir mit dem einfachsten Fall.

Der Nenner ist positiv ( q >0)

Bei einem positiven Nenner können zunächst die Glieder einer geometrischen Folge eingehen plus unendlich(d. h. unbegrenzt steigen) und hineingehen können minus unendlich(d.h. auf unbestimmte Zeit verringern). Wir haben uns bereits an ein solches Verhalten von Progressionen gewöhnt.

Zum Beispiel:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Hier ist alles einfach. Jedes Mitglied der Progression ist mehr als die vorherigen. Und jedes Mitglied bekommt Multiplikation vorheriges Mitglied an positiv Zahl +2 (d.h. q = 2 ). Das Verhalten einer solchen Progression ist offensichtlich: Alle Mitglieder der Progression wachsen auf unbestimmte Zeit und gehen in den Weltraum. Plus unendlich...

Hier nun der Verlauf:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Auch hier wird jeder Term der Progression erhalten Multiplikation vorheriges Mitglied an positiv Zahl +2. Aber das Verhalten einer solchen Progression ist bereits genau umgekehrt: Jedes Mitglied der Progression wird erhalten weniger als zuvor, und alle seine Terme nehmen unendlich ab und gehen gegen minus unendlich.

Nun überlegen wir uns: Was haben diese beiden Verläufe gemeinsam? Richtig, Nenner! Hier und da q = +2 . Positive Zahl. Zwei. Und hier Verhalten Diese beiden Verläufe sind grundlegend verschieden! Nicht erraten warum? Ja! Es geht nur um erstes Mitglied! Er ist es, wie man sagt, der die Musik bestellt.) Sehen Sie selbst.

Im ersten Fall das erste Glied der Progression positiv(+1) und damit alle nachfolgenden Terme, die man durch Multiplikation mit erhält positiv Nenner q = +2 , wird auch positiv.

Aber im zweiten Fall, dem ersten Begriff Negativ(-ein). Daher werden alle nachfolgenden Mitglieder der Progression durch Multiplikation mit erhalten positiv q = +2 , werden ebenfalls erhalten Negativ. Aus "minus" ergibt nach "plus" immer "minus", ja.)

Wie Sie sehen können, kann sich eine geometrische Progression im Gegensatz zu einer arithmetischen Progression völlig unterschiedlich verhalten, nicht nur abhängig vom Nennerq, sondern auch abhängig vom ersten Mitglied, Ja.)

Denken Sie daran: Das Verhalten einer geometrischen Folge wird eindeutig durch ihr erstes Mitglied bestimmt b 1 und Nennerq .

Und jetzt beginnen wir mit der Analyse weniger bekannter, aber viel interessanterer Fälle!

Nehmen Sie zum Beispiel die folgende Sequenz:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Auch diese Folge ist eine geometrische Folge! Jedes Mitglied dieser Progression wird ebenfalls erhalten Multiplikation die vorherige Amtszeit um die gleiche Nummer. Nur die Nummer ist Bruchteil: q = +1/2 . Oder +0,5 . Und (wichtig!) Nummer, kleiner:q = 1/2<1.

Was ist interessant an dieser geometrischen Progression? Wohin gehen seine Mitglieder? Schauen wir mal:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Was ist hier interessant? Zunächst fällt sofort die Abnahme der Mitglieder der Progression auf: jedes ihrer Mitglieder kleiner das vorherige genau 2 Mal. Oder, gemäß der Definition einer geometrischen Folge, jeder Term mehr Bisherige 1/2 mal, da Progressionsnenner q = 1/2 . Und durch die Multiplikation mit einer positiven Zahl kleiner als eins nimmt das Ergebnis normalerweise ab, ja ...

Was noch kann in dem Verhalten dieser Progression gesehen werden? Verschwinden seine Mitglieder? unbegrenzt, auf minus unendlich gehen? Nein! Sie verschwinden auf besondere Weise. Anfangs nehmen sie recht schnell ab, dann immer langsamer. Und die ganze Zeit bleiben positiv. Wenn auch sehr, sehr klein. Und was streben sie an? Nicht erraten? Ja! Sie tendieren gegen Null!) Und, achten Sie auf die Mitglieder unserer Progression niemals erreichen! Nur ihm unendlich nahe. Es ist sehr wichtig.)

Eine ähnliche Situation wird in einem solchen Fortschreiten sein:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Hier b 1 = -1 , a q = 1/2 . Alles ist gleich, nur dass die Mitglieder jetzt von der anderen Seite, von unten, auf Null zugehen. Die ganze Zeit bleiben Negativ.)

Eine solche geometrische Progression, deren Mitglieder auf unbestimmte Zeit gegen Null gehen.(egal ob positiv oder negativ), in der Mathematik hat es einen besonderen Namen - unendlich abnehmender geometrischer Verlauf. Diese Entwicklung ist so interessant und ungewöhnlich, dass sie es sogar sein wird separater Unterricht .)

Also haben wir alles mögliche in Betracht gezogen positiv Nenner sind sowohl große als auch kleinere. Die Eins selbst betrachten wir aus den oben genannten Gründen nicht als Nenner (erinnern Sie sich an das Beispiel mit der Folge von Tripeln ...)

Zusammenfassen:

positivund mehr als eine (q>1), dann die Mitglieder der Progression:

a) unbegrenzt zunehmen (fallsb 1 >0);

b) auf unbestimmte Zeit abnehmen (fallsb 1 <0).

Ist der Nenner einer geometrischen Folge positiv und Weniger als eins (0< q<1), то члены прогрессии:

a) unendlich nahe Null Oben(Wennb 1 >0);

b) unendlich nahe Null von unten(Wennb 1 <0).

Es bleibt nun, den Fall zu prüfen negativer Nenner.

Der Nenner ist negativ ( q <0)

Wir werden für ein Beispiel nicht weit gehen. Warum eigentlich zottelige Großmutter?!) Lassen Sie zum Beispiel das erste Mitglied der Progression sein b 1 = 1 , und nimm den Nenner q = -2.

Wir erhalten die folgende Sequenz:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

Und so weiter.) Jeder Term der Progression wird erhalten Multiplikation vorheriges Mitglied an eine negative Zahl-2. In diesem Fall werden alle Mitglieder auf ungeraden Plätzen (erster, dritter, fünfter usw.) sein positiv, und an geraden Stellen (zweiter, vierter usw.) - Negativ. Die Zeichen sind streng verschachtelt. Plus-Minus-Plus-Minus ... Eine solche geometrische Folge heißt - zunehmendes Vorzeichen abwechselnd.

Wohin gehen seine Mitglieder? Und nirgendwo.) Ja, im Absolutwert (d.h. modulo) die Bedingungen unseres Fortschritts steigen auf unbestimmte Zeit (daher der Name „ansteigend“). Aber gleichzeitig wirft es jedes Mitglied der Progression abwechselnd in die Hitze und dann in die Kälte. Entweder plus oder minus. Unsere Progression schwankt ... Außerdem wächst die Schwankungsbreite mit jedem Schritt schnell, ja.) Daher die Bestrebungen der Mitglieder der Progression, irgendwohin zu gehen speziell hier Nein. Weder bis plus unendlich, noch bis minus unendlich, noch bis null – nirgendwo.

Betrachten Sie nun einen gebrochenen Nenner zwischen null und minus eins.

Lass es zum Beispiel sein b 1 = 1 , a q = -1/2.

Dann erhalten wir die Progression:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Und wieder haben wir einen Zeichenwechsel! Aber anders als im vorigen Beispiel gibt es hier schon eine deutliche Tendenz der Terme gegen Null.) Nur nähern sich unsere Terme diesmal nicht streng von oben oder unten, sondern wieder an Null zögernd. Nehmen Sie abwechselnd entweder positive oder negative Werte an. Aber gleichzeitig sie Module kommen der geschätzten Null immer näher.)

Diese geometrische Folge wird aufgerufen unendlich abnehmendes Wechselzeichen.

Warum sind diese beiden Beispiele interessant? Und die Tatsache, dass in beiden Fällen stattfindet abwechselnde Zeichen! Ein solcher Chip ist nur für Progressionen mit negativem Nenner typisch, ja.) Wenn Sie also bei einer Aufgabe eine geometrische Progression mit abwechselnden Mitgliedern sehen, wissen Sie bereits genau, dass ihr Nenner zu 100% negativ ist, und Sie werden sich nicht irren im Zeichen.)

Übrigens beeinflusst das Vorzeichen des ersten Terms bei einem negativen Nenner das Verhalten der Progression selbst überhaupt nicht. Was auch immer das Zeichen des ersten Mitglieds der Progression ist, in jedem Fall wird das Zeichen des Wechsels der Mitglieder beobachtet. Die ganze Frage ist gerecht an welchen Stellen(gerade oder ungerade) gibt es Mitglieder mit bestimmten Vorzeichen.

Erinnern:

Ist der Nenner einer geometrischen Folge Negativ , dann sind die Vorzeichen der Terme der Progression immer wechseln.

Gleichzeitig haben die Mitglieder selbst:

a) unbegrenzt erhöhenmodulo, Wennq<-1;

b) unendlich gegen Null gehen, wenn -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Das ist alles. Alle typischen Fälle werden analysiert.)

Beim Analysieren einer Vielzahl von Beispielen geometrischer Progressionen verwendete ich regelmäßig die Wörter: „neigt gegen null“, "neigt gegen unendlich", strebt gegen minus unendlich... Es ist in Ordnung.) Diese Redewendungen (und konkrete Beispiele) sind nur ein erstes Kennenlernen Verhalten verschiedene Zahlenfolgen. Ein Beispiel für eine geometrische Progression.

Warum müssen wir überhaupt das Progressionsverhalten kennen? Welchen Unterschied macht es, wohin sie geht? Auf null, auf plus unendlich, auf minus unendlich ... Was geht uns das an?

Die Sache ist die, dass man schon an der Uni, im Studium der höheren Mathematik, die Fähigkeit braucht, mit einer Vielzahl von Zahlenfolgen (mit beliebigen, nicht nur Progressionen!) zu arbeiten und sich genau vorstellen zu können, wie sich diese oder jene Folge verhält - ob sie unbegrenzt zunimmt, ob sie abnimmt, ob sie gegen eine bestimmte Zahl (und nicht unbedingt gegen Null) tendiert, oder gar gegen nichts tendiert ... Ein ganzer Abschnitt ist diesem Thema im Laufe der Mathematik gewidmet Analyse - Grenztheorie. Etwas genauer das Konzept Grenze der Zahlenfolge. Sehr interessantes Thema! Es macht Sinn, aufs College zu gehen und es herauszufinden.)

Einige Beispiele aus diesem Abschnitt (Sequenzen, die eine Grenze haben) und insbesondere unendlich abnehmender geometrischer Verlauf in der Schule anfangen zu lernen. Benutzt werden.)

Darüber hinaus wird die Möglichkeit, das Verhalten von Sequenzen in Zukunft gut zu studieren, sehr in die Hände spielen und sehr nützlich sein Funktionsforschung. Am abwechslungsreichsten. Aber die Fähigkeit, kompetent mit Funktionen zu arbeiten (Ableitungen zu berechnen, sie vollständig zu untersuchen, ihre Graphen zu erstellen), erhöht Ihr mathematisches Niveau bereits dramatisch! Zweifel? Nicht nötig. Denken Sie auch an meine Worte.)

Schauen wir uns einen geometrischen Verlauf im Leben an?

Im Leben um uns herum treffen wir sehr, sehr oft auf exponentielle Progression. Ohne es zu wissen.)

So vermehren sich zum Beispiel verschiedene Mikroorganismen, die uns überall in riesigen Mengen umgeben und die wir ohne Mikroskop gar nicht sehen, exakt in geometrischer Progression.

Nehmen wir an, ein Bakterium reproduziert sich, indem es sich in zwei Hälften teilt und in 2 Bakterien Nachkommen hervorbringt. Jeder von ihnen wiederum teilt sich bei der Vermehrung ebenfalls in zwei Hälften, wodurch ein gemeinsamer Nachwuchs von 4 Bakterien entsteht. Die nächste Generation wird 8 Bakterien geben, dann 16 Bakterien, 32, 64 und so weiter. Mit jeder nachfolgenden Generation verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Ein typisches Beispiel einer geometrischen Progression.)

Auch einige Insekten - Blattläuse, Fliegen - vermehren sich exponentiell. Und Hasen übrigens manchmal auch.)

Ein weiteres Beispiel für eine alltagsnähere geometrische Progression ist die sogenannte Zinseszins. Solch ein interessantes Phänomen findet sich oft in Bankeinlagen und wird genannt Zinskapitalisierung. Was ist das?

Sie selbst sind natürlich noch jung. Du lernst in der Schule, du bewirbst dich nicht bei Banken. Aber deine Eltern sind Erwachsene und unabhängige Menschen. Sie gehen arbeiten, verdienen ihr tägliches Brot und legen einen Teil des Geldes auf die Bank, um zu sparen.)

Angenommen, Ihr Vater möchte einen bestimmten Geldbetrag für einen Familienurlaub in der Türkei sparen und 50.000 Rubel zu 10 % pro Jahr für einen Zeitraum von drei Jahren auf die Bank legen mit jährlicher Zinskapitalisierung. Außerdem kann während dieser gesamten Zeit nichts mit der Kaution gemacht werden. Sie können das Guthaben weder auffüllen noch Geld vom Konto abheben. Welchen Gewinn wird er in diesen drei Jahren machen?

Nun, zuerst müssen Sie herausfinden, was 10 % pro Jahr sind. Das bedeutet es In einem Jahr 10 % werden von der Bank zum anfänglichen Einzahlungsbetrag hinzugefügt. Wovon? Natürlich ab anfänglicher Einzahlungsbetrag.

Berechnen Sie den Betrag des Kontos in einem Jahr. Wenn der anfängliche Betrag der Einzahlung 50.000 Rubel (d. H. 100%) betrug, wie viel Zinsen werden dann in einem Jahr auf dem Konto sein? Richtig, 110 %! Ab 50.000 Rubel.

Wir betrachten also 110% von 50.000 Rubel:

50.000 1,1 \u003d 55.000 Rubel.

Ich hoffe, Sie verstehen, dass das Finden von 110 % des Werts bedeutet, diesen Wert mit der Zahl 1,1 zu multiplizieren? Wenn Sie nicht verstehen, warum das so ist, erinnern Sie sich an die fünfte und sechste Klasse. Nämlich - das Verhältnis von Prozenten zu Brüchen und Teilen.)

Somit beträgt die Erhöhung für das erste Jahr 5000 Rubel.

Wie viel Geld wird nach zwei Jahren auf dem Konto sein? 60.000 Rubel? Leider (oder eher glücklicherweise) ist es nicht so einfach. Der ganze Clou bei der Zinskapitalisierung ist, dass bei jeder neuen Verzinsung diese Zinsen bereits berücksichtigt werden ab dem neuen Betrag! Von dem, der bereits ist auf Rechnung im Augenblick. Und die für die vorherige Laufzeit aufgelaufenen Zinsen werden zum ursprünglichen Betrag der Einlage hinzugerechnet und nehmen somit selbst an der Berechnung der neuen Zinsen teil! Das heißt, sie werden ein vollständiger Teil des Gesamtkontos. oder allgemein Hauptstadt. Daher der Name - Zinskapitalisierung.

Es ist in der Wirtschaft. Und in der Mathematik werden solche Prozentsätze genannt Zinseszins. Oder Prozent von Prozent.) Ihr Trick ist, dass bei der sequentiellen Berechnung die Prozentsätze jedes Mal berechnet werden vom Neuwert. Nicht vom Original...

Also, um die Summe durchzurechnen 2 Jahre, müssen wir 110 % des Betrags berechnen, der auf dem Konto sein wird In einem Jahr. Das heißt, bereits ab 55.000 Rubel.

Wir betrachten 110% von 55.000 Rubel:

55000 1,1 \u003d 60500 Rubel.

Dies bedeutet, dass die prozentuale Erhöhung für das zweite Jahr bereits 5.500 Rubel und für zwei Jahre 10.500 Rubel beträgt.

Jetzt können Sie bereits erahnen, dass der Betrag auf dem Konto in drei Jahren 110% von 60.500 Rubel betragen wird. Das sind wieder 110% aus dem vorigen (letzten Jahr) Beträge.

Hier betrachten wir:

60500 1,1 \u003d 66550 Rubel.

Und jetzt bauen wir unsere Geldbeträge in aufeinanderfolgenden Jahren auf:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Und wie? Warum nicht eine geometrische Progression? Erstes Mitglied b 1 = 50000 , und der Nenner q = 1,1 . Jeder Term ist strikt 1,1-mal größer als der vorherige. Alles in strikter Übereinstimmung mit der Definition.)

Und wie viele zusätzliche prozentuale Boni wird Ihr Vater "einwerfen", während seine 50.000 Rubel drei Jahre lang auf dem Bankkonto waren?

Wir glauben:

66550 - 50000 = 16550 Rubel

Es ist natürlich schlecht. Dies ist jedoch der Fall, wenn der anfängliche Betrag des Beitrags gering ist. Was ist, wenn es mehr gibt? Sagen Sie, nicht 50, sondern 200.000 Rubel? Dann beträgt die Erhöhung für drei Jahre bereits 66.200 Rubel (wenn Sie mitzählen). Das ist schon sehr gut.) Und wenn der Beitrag noch größer ist? Das ist es...

Fazit: Je höher der Anfangsbeitrag, desto rentabler wird die Zinskapitalisierung. Aus diesem Grund werden Einlagen mit Zinskapitalisierung von Banken für lange Zeiträume bereitgestellt. Sagen wir fünf Jahre.

Auch alle möglichen schlimmen Krankheiten wie Influenza, Masern und noch schrecklichere Krankheiten (dasselbe SARS in den frühen 2000er Jahren oder die Pest im Mittelalter) breiten sich gerne exponentiell aus. Daher das Ausmaß der Epidemien, ja ...) Und das alles wegen der Tatsache, dass eine geometrische Progression mit ganzen positiven Nenner (q>1) - eine Sache, die sehr schnell wächst! Denken Sie an die Vermehrung von Bakterien: Aus einem Bakterium werden zwei gewonnen, aus zwei - vier, aus vier - acht und so weiter ... Bei der Ausbreitung einer Infektion ist alles gleich.)

Die einfachsten Probleme in der geometrischen Progression.

Beginnen wir wie immer mit einem einfachen Problem. Rein um die Bedeutung zu verstehen.

1. Es ist bekannt, dass der zweite Term einer geometrischen Folge 6 ist und der Nenner -0,5 ist. Finde den ersten, dritten und vierten Term.

Also sind wir gegeben endlos geometrische Progression, wohlbekannt zweites Semester dieser Verlauf:

b2 = 6

Darüber hinaus wissen wir auch Progressionsnenner:

q = -0,5

Und Sie müssen finden das erste Drittel und vierte Mitglieder dieser Progression.

Hier handeln wir. Wir schreiben die Reihenfolge entsprechend der Bedingung des Problems auf. Direkt allgemein ausgedrückt, wobei das zweite Mitglied die Sechs ist:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Beginnen wir jetzt mit der Suche. Wir beginnen wie immer mit dem Einfachsten. Sie können zum Beispiel den dritten Term berechnen b 3? Dürfen! Wir wissen bereits (direkt im Sinne einer geometrischen Folge), dass der dritte Term (b3) mehr als eine Sekunde (b 2 ) in "q" einmal!

Also schreiben wir:

b 3 =b 2 · q

Wir ersetzen die Sechs in diesem Ausdruck statt durch b 2 und -0,5 statt dessen q und wir denken. Und das Minus kommt natürlich auch nicht zu kurz …

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

So. Der dritte Term fiel negativ aus. Kein Wunder: unser Nenner q- negativ. Und Plus multipliziert mit Minus ergibt natürlich Minus.)

Wir betrachten nun den nächsten, vierten Term der Progression:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Der vierte Term ist wieder mit einem Plus. Der fünfte Term hat wieder ein Minus, der sechste ein Plus und so weiter. Schilder - abwechselnd!

So wurden das dritte und vierte Mitglied gefunden. Das Ergebnis ist die folgende Sequenz:

b1; 6; -3; 1,5; …

Es bleibt nun, den ersten Term zu finden b 1 nach der bekannten Sekunde. Dazu gehen wir in die andere Richtung, nach links. Das bedeutet, dass wir in diesem Fall den zweiten Term der Progression nicht mit dem Nenner multiplizieren müssen, sondern Teilen.

Wir teilen und erhalten:

Das ist alles.) Die Antwort auf das Problem lautet wie folgt:

-12; 6; -3; 1,5; …

Wie Sie sehen können, ist das Lösungsprinzip dasselbe wie in . Wir wissen irgendein Mitglied u Nenner geometrische Progression - wir können jeden anderen Begriff finden. Was immer wir wollen, wir werden es finden.) Der einzige Unterschied besteht darin, dass Addition / Subtraktion durch Multiplikation / Division ersetzt wird.

Denken Sie daran: Wenn wir mindestens ein Glied und einen Nenner einer geometrischen Folge kennen, können wir immer jedes andere Glied dieser Folge finden.

Die folgende Aufgabe stammt der Überlieferung nach aus der realen Version der OGE:

2.

…; 150; X; 6; 1,2; …

Und wie? Diesmal gibt es keinen ersten Term, keinen Nenner q, nur eine Zahlenfolge ist vorgegeben ... Kommt einem schon bekannt vor, oder? Ja! Ein ähnliches Problem wurde bereits in der arithmetischen Progression behandelt!

Hier haben wir keine Angst. Alles das selbe. Drehen Sie den Kopf auf und erinnern Sie sich an die elementare Bedeutung einer geometrischen Progression. Wir schauen uns unsere Folge genau an und finden heraus, welche Parameter der geometrischen Folge der drei Hauptglieder (erstes Glied, Nenner, Gliednummer) darin verborgen sind.

Mitgliedsnummern? Es gibt keine Mitgliedsnummern, ja ... Aber es sind vier nacheinander Zahlen. Was dieses Wort bedeutet, ich sehe keinen Sinn darin, es an dieser Stelle zu erklären.) Gibt es zwei? benachbarte bekannte Nummern? Es gibt! Dies sind 6 und 1,2. Damit wir finden können Progressionsnenner. Also nehmen wir die Zahl 1,2 und dividieren zur vorherigen Nummer. Für sechs.

Wir bekommen:

Wir bekommen:

x= 150 0,2 = 30

Antworten: x = 30 .

Wie Sie sehen können, ist alles ganz einfach. Die Hauptschwierigkeit liegt nur in den Berechnungen. Besonders schwierig ist es bei negativen und gebrochenen Nennern. Wer also Probleme hat, wiederholt die Rechnung! Wie man mit Brüchen arbeitet, wie man mit negativen Zahlen arbeitet und so weiter... Ansonsten wird man hier gnadenlos langsamer.

Jetzt ändern wir das Problem ein wenig. Jetzt wird es interessant! Lassen Sie uns die letzte Zahl 1.2 darin entfernen. Lassen Sie uns dieses Problem jetzt lösen:

3. Mehrere aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Folge werden ausgeschrieben:

…; 150; X; 6; …

Finden Sie den Term der Progression, gekennzeichnet durch den Buchstaben x.

Alles ist gleich, nur zwei benachbart bekannt Wir haben keine Mitglieder der Progression mehr. Dies ist das Hauptproblem. Wegen der Größenordnung q durch zwei benachbarte Terme können wir schon leicht bestimmen wir können nicht. Haben wir eine Chance, die Herausforderung zu meistern? Sicherlich!

Schreiben wir den unbekannten Begriff " x„Direkt im Sinne einer geometrischen Progression! Ganz allgemein.

Ja Ja! Direkt mit unbekanntem Nenner!

Einerseits können wir für x das folgende Verhältnis schreiben:

x= 150q

Andererseits haben wir jedes Recht, dasselbe X durchzumalen nächste Mitglied, durch die sechs! Teile sechs durch den Nenner.

So:

x = 6/ q

Offensichtlich können wir jetzt beide Verhältnisse gleichsetzen. Da wir ausdrücken das gleiche Wert (x), sondern zwei verschiedene Wege.

Wir erhalten die Gleichung:

Alles multiplizieren mit q, vereinfachen, reduzieren, erhalten wir die Gleichung:

q 2 \u003d 1/25

Wir lösen und erhalten:

q = ±1/5 = ±0,2

Hoppla! Der Nenner ist doppelt! +0,2 und -0,2. Und welches soll man wählen? Sackgasse?

Ruhig! Ja, das Problem hat wirklich zwei Lösungen! Daran ist nichts auszusetzen. Es passiert.) Sie sind nicht überrascht, wenn Sie zum Beispiel zwei Wurzeln bekommen, indem Sie das Übliche lösen? Hier ist die gleiche Geschichte.)

Für q = +0,2 wir werden .. bekommen:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

Und für q = -0,2 Wille:

X = 150 (-0,2) = -30

Wir bekommen eine doppelte Antwort: x = 30; x = -30.

Was bedeutet diese interessante Tatsache? Und was existiert zwei Progressionen, die Bedingung des Problems erfüllt!

Wie diese:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Beides ist geeignet.) Was ist Ihrer Meinung nach der Grund für die Aufspaltung der Antworten? Nur wegen der Eliminierung eines bestimmten Mitglieds der Progression (1,2), das nach der Sechs kommt. Und da wir nur das vorherige (n-1)-te und nachfolgende (n+1)-te Glied der geometrischen Folge kennen, können wir über das dazwischen stehende n-te Glied nicht mehr eindeutig etwas sagen. Es gibt zwei Optionen - Plus und Minus.

Aber es spielt keine Rolle. In der Regel gibt es bei Aufgaben zu einer geometrischen Folge zusätzliche Informationen, die eine eindeutige Antwort geben. Sagen wir die Worte: "vorzeichenwechselnde Progression" oder "Fortschritt mit positivem Nenner" und so weiter... Diese Wörter sollen als Anhaltspunkt dafür dienen, welches Zeichen, Plus oder Minus, bei der endgültigen Antwort zu wählen ist. Wenn es keine solchen Informationen gibt, dann - ja, die Aufgabe wird es haben zwei Lösungen.)

Und jetzt entscheiden wir selbst.

4. Bestimmen Sie, ob die Zahl 20 ein Mitglied einer geometrischen Folge sein wird:

4 ; 6; 9; …

5. Gegeben ist ein alternierender geometrischer Verlauf:

…; 5; x ; 45; …

Finden Sie den Begriff der Progression, der durch den Buchstaben angegeben ist x .

6. Finden Sie den vierten positiven Term der geometrischen Progression:

625; -250; 100; …

7. Der zweite Term der geometrischen Progression ist -360 und ihr fünfter Term ist 23,04. Finden Sie den ersten Term dieser Progression.

Antworten (in Unordnung): -15; 900; Nein; 2.56.

Herzlichen Glückwunsch, wenn alles geklappt hat!

Etwas passt nicht? Gibt es irgendwo eine doppelte Antwort? Wir lesen die Auftragsbedingungen sorgfältig durch!

Das letzte Rätsel funktioniert nicht? Nichts kompliziertes.) Wir arbeiten direkt nach dem Sinn einer geometrischen Progression. Nun, Sie können ein Bild zeichnen. Es hilft.)

Wie Sie sehen können, ist alles elementar. Wenn die Progression kurz ist. Was ist, wenn es lang ist? Oder ist die Zahl des gewünschten Mitglieds sehr groß? Ich möchte in Analogie zu einer arithmetischen Folge irgendwie eine bequeme Formel bekommen, die es leicht macht, sie zu finden irgendein Mitglied jeder geometrischen Progression nach seiner Nummer. Ohne viele, viele Male mit zu multiplizieren q. Und es gibt eine solche Formel!) Details - in der nächsten Lektion.

NUMERISCHE FOLGEN VI

§ 148. Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression

Bisher haben wir, wenn wir von Summen sprechen, immer angenommen, dass die Anzahl der Terme in diesen Summen endlich ist (z. B. 2, 15, 1000 usw.). Aber beim Lösen mancher Probleme (insbesondere der höheren Mathematik) muss man sich mit den Summen unendlich vieler Terme auseinandersetzen

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Wie hoch sind diese Beträge? A-Priorat die Summe unendlich vieler Terme a 1 , a 2 , ..., a n , ... heißt Grenzwert der Summe S n Erste P Zahlen wann P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Grenze (2) kann natürlich existieren oder nicht. Dementsprechend wird gesagt, dass die Summe (1) existiert oder nicht existiert.

Wie findet man heraus, ob die Summe (1) in jedem einzelnen Fall existiert? Eine allgemeine Lösung dieser Frage geht weit über den Rahmen unseres Programms hinaus. Es gibt jedoch einen wichtigen Spezialfall, den wir jetzt betrachten müssen. Wir werden über die Summierung der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression sprechen.

Lassen a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... ist eine unendlich fallende geometrische Folge. Dies bedeutet, dass | q |< 1. Сумма первых P Mitglieder dieser Progression ist gleich

Aus den grundlegenden Sätzen über die Grenzen von Variablen (siehe § 136) erhalten wir:

Aber 1 = 1, a q n = 0. Daher

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression ist also gleich dem ersten Term dieser Progression dividiert durch eins minus dem Nenner dieser Progression.

1) Die Summe der geometrischen Progression ist 1, 1/3, 1/9, 1/27, ...

und die Summe einer geometrischen Folge 12 ist; -6; 3; - 3 / 2 , ... gleich

2) Ein einfacher periodischer Bruch 0,454545 ... verwandelt sich in einen gewöhnlichen.

Um dieses Problem zu lösen, stellen wir diesen Bruch als unendliche Summe dar:

Die rechte Seite dieser Gleichheit ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, deren erster Term 45/100 und der Nenner 1/100 ist. So

Auf die beschriebene Weise erhält man auch die allgemeine Regel zur Umwandlung einfacher periodischer Brüche in gewöhnliche Brüche (siehe Kapitel II, § 38):

Um einen einfachen periodischen Bruch in einen gewöhnlichen Bruch umzuwandeln, müssen Sie wie folgt vorgehen: Setzen Sie die Periode des Dezimalbruchs in den Zähler und in den Nenner - eine Zahl, die aus Neunen besteht, die so oft genommen werden, wie es Ziffern in der Periode gibt des Dezimalbruchs.

3) Gemischter periodischer Bruch 0,58333 .... wird zu einem gewöhnlichen Bruch.

Stellen wir diesen Bruch als unendliche Summe dar:

Auf der rechten Seite dieser Gleichheit bilden alle Terme ab 3/1000 eine unendlich abnehmende geometrische Folge, deren erster Term 3/1000 und der Nenner 1/10 ist. So

Auf die beschriebene Weise erhält man auch die allgemeine Regel für die Umwandlung von gemischten periodischen Brüchen in gewöhnliche Brüche (siehe Kapitel II, § 38). Wir nehmen es hier bewusst nicht auf. Diese umständliche Regel muss man sich nicht merken. Es ist viel nützlicher zu wissen, dass jeder gemischte periodische Bruch als Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge und einer Zahl dargestellt werden kann. Und die Formel

für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression muss man sich natürlich merken.

Als Übung laden wir Sie ein, sich zusätzlich zu den Aufgaben Nr. 995-1000 unten noch einmal der Aufgabe Nr. 301 § 38 zuzuwenden.

Übungen

995. Wie nennt man die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge?

996. Finden Sie Summen von unendlich abnehmenden geometrischen Folgen:

997. Für welche Werte X Fortschreiten

nimmt unendlich ab? Finden Sie die Summe einer solchen Progression.

998. In einem gleichseitigen Dreieck mit einer Seite a ein neues Dreieck wird eingeschrieben, indem die Mittelpunkte seiner Seiten verbunden werden; in dieses Dreieck wird auf die gleiche Weise ein neues Dreieck eingeschrieben, und so weiter bis ins Unendliche.

a) die Summe der Umfänge all dieser Dreiecke;

b) die Summe ihrer Flächen.

999. In einem Quadrat mit einer Seite a ein neues Quadrat wird eingeschrieben, indem die Mittelpunkte seiner Seiten verbunden werden; ebenso wird in dieses Quadrat ein Quadrat eingeschrieben, und so weiter bis ins Unendliche. Finde die Summe der Umfänge all dieser Quadrate und die Summe ihrer Flächen.

1000. Machen Sie eine unendlich abnehmende geometrische Folge, so dass ihre Summe gleich 25 / 4 ist und die Summe der Quadrate ihrer Terme gleich 625 / 24 ist.

zum Beispiel, Folge \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… ist eine geometrische Folge, weil sich jedes nächste Element vom vorherigen um den Faktor zwei unterscheidet (mit anderen Worten, es kann aus dem vorherigen durch Multiplikation mit zwei erhalten werden):

Wie jede Folge wird eine geometrische Folge durch einen kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet. Die Zahlen, die eine Progression bilden, werden sie genannt Mitglieder(oder Elemente). Sie werden mit demselben Buchstaben wie die geometrische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

zum Beispiel, besteht die geometrische Folge \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) aus den Elementen \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) und so weiter. Mit anderen Worten:

Wenn Sie die obigen Informationen verstehen, können Sie die meisten Probleme zu diesem Thema bereits lösen.

Beispiel (OGE):
Entscheidung:

Antworten : \(-686\).

Beispiel (OGE): Gegeben seien die ersten drei Terme der Progression \(324\); \(-108\); \(36\)…. Finden Sie \(b_5\).
Entscheidung:

	Um die Folge fortzusetzen, müssen wir den Nenner kennen. Lassen Sie uns es aus zwei benachbarten Elementen finden: Womit sollte \(324\) multipliziert werden, um \(-108\) zu erhalten?
\(324 q=-108\)	Von hier aus können wir den Nenner leicht berechnen.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Jetzt können wir leicht das Element finden, das wir brauchen.
	Antwort bereit.

Antworten : \(4\).

Beispiel: Die Progression ist durch die Bedingung \(b_n=0.8 5^n\) gegeben. Welche Zahl gehört zu dieser Progression:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Entscheidung: Aus dem Wortlaut der Aufgabe geht hervor, dass eine dieser Zahlen definitiv in unserem Fortschritt liegt. Daher können wir seine Mitglieder einfach einzeln berechnen, bis wir den benötigten Wert gefunden haben. Da unsere Progression durch die Formel gegeben ist, berechnen wir die Werte der Elemente, indem wir verschiedene \(n\) ersetzen:
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – es gibt keine solche Zahl in der Liste. Wir machen weiter.
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - und das gibt es auch nicht.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – und hier ist unser Champion!

Antworten: \(100\).

Beispiel (OGE): Gegeben sind mehrere aufeinanderfolgende Glieder der geometrischen Folge …\(8\); \(x\); \(fünfzig\); \(-125\)…. Ermitteln Sie den Wert des mit dem Buchstaben \(x\) bezeichneten Elements.

Entscheidung:

Antworten: \(-20\).

Beispiel (OGE): Die Progression ergibt sich aus den Bedingungen \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Finde die Summe der ersten \(4\) Terme dieser Progression.

Entscheidung:

Antworten: \(105\).

Beispiel (OGE): Es ist bekannt, dass exponentiell \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Finde den Nenner \(q\).

Entscheidung:

	Aus dem Diagramm links ist ersichtlich, dass wir, um von \ (b_6 \) nach \ (b_9 \) zu „kommen“, drei „Schritte“ machen, dh wir multiplizieren \ (b_6 \) dreimal mit der Nenner der Progression. Mit anderen Worten: \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Ersetzen Sie die uns bekannten Werte.
\(704=(-11)q^3\)	„Kehren“ Sie die Gleichung um und teilen Sie sie durch \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Welche Kubikzahl ergibt \(-64\)? Natürlich \(-4\)!
	Antwort gefunden. Dies kann überprüft werden, indem die Zahlenkette von \(-11\) bis \(704\) wiederhergestellt wird.
	Alle einverstanden - die Antwort ist richtig.

Antworten: \(-4\).

Die wichtigsten Formeln

Wie Sie sehen können, können die meisten geometrischen Progressionsprobleme mit reiner Logik gelöst werden, einfach durch das Verständnis der Essenz (dies ist im Allgemeinen charakteristisch für Mathematik). Aber manchmal beschleunigt und erleichtert die Kenntnis bestimmter Formeln und Muster die Entscheidung erheblich. Wir werden zwei solche Formeln untersuchen.

Die Formel für das \(n\)-te Mitglied lautet: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), wobei \(b_1\) das erste Mitglied der Progression ist; \(n\) – Nummer des gewünschten Elements; \(q\) ist der Nenner der Progression; \(b_n\) ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer \(n\).

Mit dieser Formel können Sie beispielsweise das Problem vom ersten Beispiel an in nur einem Schritt lösen.

Beispiel (OGE): Der geometrische Verlauf ist durch die Bedingungen \(b_1=-2\) gegeben; \(q=7\). Finden Sie \(b_4\).
Entscheidung:

Antworten: \(-686\).

Dieses Beispiel war einfach, daher hat uns die Formel die Berechnungen nicht zu sehr erleichtert. Betrachten wir das Problem etwas komplizierter.

Beispiel: Der geometrische Verlauf ist durch die Bedingungen \(b_1=20480\) gegeben; \(q=\frac(1)(2)\). Finden Sie \(b_(12)\).
Entscheidung:

Antworten: \(10\).

\(\frac(1)(2)\) zur \(11\)-ten Potenz zu erheben ist natürlich nicht sehr erfreulich, aber immer noch einfacher als \(11\) \(20480\) durch zwei zu teilen.

Die Summe \(n\) der ersten Terme: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , wobei \(b_1\) der erste Term ist der Progression; \(n\) – die Anzahl der summierten Elemente; \(q\) ist der Nenner der Progression; \(S_n\) ist die Summe \(n\) der ersten Mitglieder der Progression.

Beispiel (OGE): Gegeben sei eine geometrische Folge \(b_n\), deren Nenner \(5\) ist, und der erste Term \(b_1=\frac(2)(5)\). Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Progression.
Entscheidung:

Antworten: \(1562,4\).

Und wieder könnten wir das Problem „auf der Stirn“ lösen – alle sechs Elemente der Reihe nach finden und dann die Ergebnisse addieren. Die Anzahl der Berechnungen und damit die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Fehlers würden jedoch dramatisch zunehmen.

Für eine geometrische Folge gibt es noch einige weitere Formeln, die wir hier wegen ihres geringen praktischen Nutzens nicht berücksichtigt haben. Sie können diese Formeln finden.

Zunehmende und abnehmende geometrische Progressionen

Die ganz am Anfang des Artikels betrachtete Progression \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) hat einen Nenner \(q\) größer als eins, und daher ist jeder nächste Term größer als Der vorherige. Solche Progressionen werden aufgerufen zunehmend.

Wenn \(q\) kleiner als eins, aber positiv ist (d. h. zwischen null und eins liegt), dann ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Zum Beispiel in der Progression \(4\); \(2\); \(ein\); \(0,5\); \(0.25\)… der Nenner von \(q\) ist \(\frac(1)(2)\).

Diese Progressionen werden aufgerufen abnehmend. Beachten Sie, dass keines der Elemente dieser Progression negativ sein wird, sie werden nur mit jedem Schritt kleiner und kleiner. Das heißt, wir werden uns allmählich dem Nullpunkt nähern, aber wir werden ihn nie erreichen und wir werden ihn nicht überschreiten. Mathematiker sagen in solchen Fällen "gegen Null streben".

Beachten Sie, dass bei einem negativen Nenner die Elemente einer geometrischen Folge zwangsläufig das Vorzeichen ändern. zum Beispiel, die Progression \(5\); \(-fünfzehn\); \(45\); \(-135\); \(675\)... der Nenner von \(q\) ist \(-3\), und deshalb "blinken" die Vorzeichen der Elemente.

Betrachten wir eine Serie.

7 28 112 448 1792...

Es ist absolut klar, dass der Wert eines seiner Elemente genau viermal größer ist als der vorherige. Diese Serie ist also eine Weiterentwicklung.

Eine geometrische Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen, deren Hauptmerkmal darin besteht, dass die nächste Zahl aus der vorherigen durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl erhalten wird. Dies wird durch die folgende Formel ausgedrückt.

a z +1 = a z q, wobei z die Nummer des ausgewählten Elements ist.

Dementsprechend ist z ∈ N.

Der Zeitraum, in dem eine geometrische Progression in der Schule gelernt wird, ist die 9. Klasse. Beispiele helfen Ihnen, das Konzept zu verstehen:

0.25 0.125 0.0625...

Basierend auf dieser Formel kann der Nenner der Progression wie folgt ermittelt werden:

Weder q noch b z können Null sein. Außerdem sollte jedes der Elemente der Progression nicht gleich Null sein.

Dementsprechend müssen Sie, um die nächste Zahl in der Reihe herauszufinden, die letzte mit q multiplizieren.

Um diese Progression anzugeben, müssen Sie ihr erstes Element und ihren Nenner angeben. Danach ist es möglich, jeden der nachfolgenden Terme und ihre Summe zu finden.

Sorten

Abhängig von q und a 1 wird diese Progression in mehrere Typen unterteilt:

• Wenn sowohl a 1 als auch q größer als eins sind, dann ist eine solche Folge eine geometrische Folge, die mit jedem nächsten Element ansteigt. Ein Beispiel dafür ist unten dargestellt.

Beispiel: a 1 =3, q=2 - beide Parameter sind größer als eins.

Dann kann die Zahlenfolge wie folgt geschrieben werden:

3 6 12 24 48 ...

• Wenn |q| kleiner als eins, d. h. die Multiplikation damit ist gleichbedeutend mit der Division, dann ist eine Progression mit ähnlichen Bedingungen eine abnehmende geometrische Progression. Ein Beispiel dafür ist unten dargestellt.

Beispiel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ist größer als eins, q ist kleiner.

Dann kann die Zahlenfolge wie folgt geschrieben werden:

6 2 2/3 ... - jedes Element ist dreimal größer als das darauf folgende Element.

• Vorzeichenvariable. Wenn q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Beispiel: a 1 = -3 , q = -2 - beide Parameter sind kleiner als Null.

Dann kann die Folge wie folgt geschrieben werden:

3, 6, -12, 24,...

Formeln

Zur bequemen Verwendung geometrischer Progressionen gibt es viele Formeln:

• Formel des z-ten Gliedes. Ermöglicht es Ihnen, das Element unter einer bestimmten Nummer zu berechnen, ohne die vorherigen Nummern zu berechnen.

Beispiel:q = 3, a 1 = 4. Es ist erforderlich, das vierte Element der Progression zu berechnen.

Entscheidung:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Die Summe der ersten Elemente, deren Anzahl ist z. Ermöglicht die Berechnung der Summe aller Elemente einer Folge bis zuein zinklusive.

Seit (1-q) im Nenner steht, dann (1 - q)≠ 0, also ist q ungleich 1.

Hinweis: Wenn q = 1, dann wäre die Progression eine Folge einer sich unendlich wiederholenden Zahl.

Die Summe einer geometrischen Folge, Beispiele:a 1 = 2, q= -2. Berechnen Sie S5.

Entscheidung:S 5 = 22 - Berechnung nach Formel.

• Betrag, wenn |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Beispiel:a 1 = 2 , q= 0,5. Finden Sie den Betrag.

Entscheidung:Gr = 2 · = 4

Gr = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Einige Eigenschaften:

• charakteristische Eigenschaft. Wenn die folgende Bedingung für jeden durchgeführtz, dann ist die gegebene Zahlenreihe eine geometrische Folge:

ein z 2 = ein z -1 · az+1

• Außerdem wird das Quadrat einer beliebigen Zahl einer geometrischen Folge gefunden, indem die Quadrate von zwei beliebigen anderen Zahlen in einer bestimmten Reihe addiert werden, wenn sie von diesem Element gleich weit entfernt sind.

ein z 2 = ein z - t 2 + ein z + t 2 , wotist der Abstand zwischen diesen Zahlen.

• Elementeunterscheiden sich in qeinmal.
• Die Logarithmen der Progressionselemente bilden ebenfalls eine Progression, aber bereits arithmetisch, das heißt, jeder von ihnen ist um eine bestimmte Zahl größer als der vorherige.

Beispiele einiger klassischer Probleme

Um besser zu verstehen, was eine geometrische Progression ist, können Beispiele mit einer Lösung für die 9. Klasse helfen.

• Bedingungen:a 1 = 3, a 3 = 48. Findenq.

Lösung: Jedes nachfolgende Element ist größer als das vorherige inq einmal.Es ist notwendig, einige Elemente durch andere unter Verwendung eines Nenners auszudrücken.

Somit,a 3 = q 2 · a 1

Beim Auswechselnq= 4

• Bedingungen:a 2 = 6, a 3 = 12. Berechnen Sie S6.

Entscheidung:Dazu reicht es aus, q, das erste Element, zu finden und es in die Formel einzusetzen.

a 3 = q· a 2 , somit,q= 2

a2 = q eine 1 ,Deshalb eine 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Finden Sie das vierte Element der Progression.

Lösung: Dazu genügt es, das vierte Element durch das erste und durch den Nenner auszudrücken.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Anwendungsbeispiel:

• Der Kunde der Bank hat eine Einzahlung in Höhe von 10.000 Rubel getätigt, zu deren Bedingungen der Kunde jedes Jahr 6% davon zum Kapitalbetrag hinzufügt. Wie viel Geld ist nach 4 Jahren auf dem Konto?

Lösung: Der Anfangsbetrag beträgt 10.000 Rubel. Ein Jahr nach der Investition weist das Konto also einen Betrag von 10.000 + 10.000 auf · 0,06 = 10000 1,06

Dementsprechend wird der Betrag auf dem Konto nach einem weiteren Jahr wie folgt ausgedrückt:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Das heißt, jedes Jahr erhöht sich der Betrag um das 1,06-fache. Das heißt, um den Geldbetrag auf dem Konto nach 4 Jahren zu ermitteln, reicht es aus, das vierte Element der Progression zu finden, das durch das erste Element gleich 10.000 und den Nenner gleich 1,06 gegeben ist.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Beispiele für Aufgaben zur Berechnung der Summe:

Bei verschiedenen Problemen wird eine geometrische Progression verwendet. Ein Beispiel für die Ermittlung der Summe kann wie folgt gegeben werden:

a 1 = 4, q= 2, berechnenS5.

Lösung: Alle für die Berechnung notwendigen Daten sind bekannt, Sie müssen sie nur in die Formel einsetzen.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Berechnen Sie die Summe der ersten sechs Elemente.

Entscheidung:

Geom. Progression, jedes nächste Element ist q-mal größer als das vorherige, d.h. um die Summe zu berechnen, müssen Sie das Element kennena 1 und Nennerq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Ebenso müssen wir findena 1 , wissenda 2 undq.

a 1 · q = a 2

eine 1 =2

S 6 = 728.

Betrachten Sie nun die Frage der Summation einer unendlichen geometrischen Folge. Nennen wir die Partialsumme einer gegebenen unendlichen Progression die Summe ihrer ersten Terme. Bezeichnen Sie die Teilsumme mit dem Symbol

Für jede unendliche Progression

man kann eine (auch unendliche) Folge ihrer Partialsummen bilden

Eine Folge mit unbegrenztem Anstieg habe einen Grenzwert

In diesem Fall heißt die Zahl S, d. h. die Grenze der Teilsummen der Progression, die Summe einer unendlichen Progression. Wir werden beweisen, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge immer eine Summe hat, und eine Formel für diese Summe ableiten (wir können auch zeigen, dass für eine unendliche Folge keine Summe hat, nicht existiert).

Wir schreiben den Ausdruck für die Partialsumme als Summe der Glieder der Progression nach Formel (91.1) und betrachten den Grenzwert der Partialsumme bei

Aus dem Satz von Punkt 89 ist bekannt, dass für eine abnehmende Progression ; daher finden wir unter Anwendung des Differenzgrenzensatzes

(Auch hier gilt die Regel: der konstante Faktor wird aus dem Vorzeichen des Grenzwertes genommen). Die Existenz wird bewiesen, und gleichzeitig erhält man die Formel für die Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge:

Gleichheit (92.1) kann auch geschrieben werden als

Hier mag es paradox erscheinen, dass der Summe einer unendlichen Menge von Termen ein wohldefinierter endlicher Wert zugewiesen wird.

Eine klare Illustration kann gegeben werden, um diese Situation zu erklären. Betrachten Sie ein Quadrat mit einer Seite gleich eins (Abb. 72). Lassen Sie uns dieses Quadrat durch eine horizontale Linie in zwei gleiche Teile teilen und den oberen Teil auf den unteren legen, sodass ein Rechteck mit den Seiten 2 und entsteht. Danach teilen wir die rechte Hälfte dieses Rechtecks ​​erneut durch eine horizontale Linie in zwei Hälften und befestigen den oberen Teil am unteren (wie in Abb. 72 gezeigt). In Fortsetzung dieses Prozesses transformieren wir das ursprüngliche Quadrat mit einer Fläche von 1 ständig in gleich große Figuren (in Form einer Treppe mit dünner werdenden Stufen).

Bei unendlicher Fortsetzung dieses Prozesses zerfällt die gesamte Fläche des Quadrats in unendlich viele Terme – die Flächen von Rechtecken mit Grundseiten gleich 1 und Höhen, die Flächen der Rechtecke bilden nur eine unendlich abnehmende Progression, seine Summe

d.h. ist wie erwartet gleich der Fläche des Quadrats.

Beispiel. Finden Sie die Summen der folgenden unendlichen Progressionen:

Lösung, a) Wir stellen fest, dass diese Progression daher durch die Formel (92.2) wir finden

b) Hier bedeutet es, dass wir mit derselben Formel (92.2) haben

c) Wir finden, dass diese Progression daher keine Summe hat.

In Abschnitt 5 wurde die Anwendung der Summenformel einer unendlich fallenden Progression auf die Umwandlung eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch gezeigt.

Übungen

1. Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge ist 3/5, und die Summe ihrer ersten vier Terme ist 13/27. Finden Sie den ersten Term und den Nenner der Progression.

2. Finden Sie vier Zahlen, die eine alternierende geometrische Folge bilden, bei der der zweite Term um 35 kleiner als der erste und der dritte um 560 größer als der vierte ist.

3. Zeigen Sie die Was-wäre-wenn-Sequenz

bildet eine unendlich abnehmende geometrische Folge, dann die Folge

für jede Form eine unendlich abnehmende geometrische Progression. Gilt diese Behauptung für

Leiten Sie eine Formel für das Produkt der Terme einer geometrischen Folge her.