Was ist ein Derivat?
Definition und Bedeutung der Ableitung einer Funktion

Viele werden von der unerwarteten Stelle dieses Artikels im Kurs meines Autors über die Ableitung einer Funktion einer Variablen und ihre Anwendungen überrascht sein. Immerhin, wie es aus der Schule war: Ein Standard-Lehrbuch gibt zunächst einmal eine Definition einer Ableitung, ihrer geometrischen, mechanischen Bedeutung. Als nächstes finden die Schüler Ableitungen von Funktionen per Definition, und tatsächlich wird nur dann die Ableitungstechnik perfektioniert Ableitungstabellen.

Pragmatischer ist aus meiner Sicht aber folgender Ansatz: Zunächst einmal empfiehlt es sich, GUT ZU VERSTEHEN Funktionsgrenze, und speziell unendlich klein. Die Sache ist die Die Definition des Derivats basiert auf dem Konzept einer Grenze, die im Schulunterricht kaum berücksichtigt wird. Aus diesem Grund dringt ein erheblicher Teil der jungen Konsumenten von Granitwissen schlecht in die Essenz des Derivats ein. Wenn Sie sich also nicht gut mit Differentialrechnung auskennen oder sich der kluge Kopf dieses Ballasts im Laufe der Jahre erfolgreich entledigt hat, beginnen Sie bitte mit Funktionsgrenzen. Gleichzeitig meistern / erinnern Sie sich an ihre Entscheidung.

Der gleiche praktische Sinn legt nahe, dass es zuerst profitabel ist lernen, Derivate zu finden, einschließlich Ableitungen komplexer Funktionen. Theorie ist Theorie, aber man will ja immer differenzieren. Diesbezüglich ist es besser, die aufgeführten Grundlektionen zu erarbeiten und vielleicht zu werden Meister der Differenzierung ohne die Essenz ihres Handelns überhaupt zu erkennen.

Ich empfehle, mit den Materialien auf dieser Seite zu beginnen, nachdem Sie den Artikel gelesen haben. Die einfachsten Probleme mit einem Derivat, wobei insbesondere das Problem der Tangente an den Graphen einer Funktion betrachtet wird. Aber es kann sich verzögern. Tatsache ist, dass viele Anwendungen der Ableitung kein Verständnis erfordern, und es ist nicht verwunderlich, dass die theoretische Lektion ziemlich spät erschien - als ich sie erklären musste Auffinden von Anstiegs-/Abnahmeintervallen und Extrema Funktionen. Außerdem war er ziemlich lange in dem Thema " Funktionen und Graphen“, bis ich beschloss, es früher einzubauen.

Deshalb, liebe Teekannen, beeilen Sie sich nicht, die Essenz des Derivats wie hungrige Tiere aufzunehmen, da die Sättigung geschmacklos und unvollständig sein wird.

Das Konzept des Erhöhens, Verringerns, Maximums, Minimums einer Funktion

Viele Tutorials führen mit Hilfe einiger praktischer Probleme zum Konzept eines Derivats, und ich habe auch ein interessantes Beispiel gefunden. Stellen Sie sich vor, wir müssten in eine Stadt reisen, die auf verschiedenen Wegen zu erreichen ist. Wir verwerfen sofort die gekrümmten gewundenen Pfade und betrachten nur gerade Linien. Aber auch die direkte Anfahrt ist anders: Über eine ebene Autobahn gelangt man in die City. Oder auf einer hügeligen Autobahn – auf und ab, auf und ab. Eine andere Straße geht nur bergauf, und eine andere geht die ganze Zeit bergab. Abenteuerlustige wählen eine Route durch die Schlucht mit einer steilen Felswand und einem steilen Anstieg.

Aber was auch immer Ihre Vorlieben sind, es ist wünschenswert, das Gebiet zu kennen oder zumindest eine topografische Karte davon zu haben. Was ist, wenn es keine solchen Informationen gibt? Immerhin kann man zum Beispiel einen flachen Weg wählen, stolpert dabei aber über eine Skipiste mit lustigen Finnen. Nicht die Tatsache, dass der Navigator und sogar ein Satellitenbild zuverlässige Daten liefern. Daher wäre es schön, die Entlastung des Weges mathematisch zu formalisieren.

Betrachten Sie eine Straße (Seitenansicht):

Für alle Fälle erinnere ich Sie an eine elementare Tatsache: Die Reise findet statt von links nach rechts. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Funktion kontinuierlich im betrachteten Bereich.

Was sind die Merkmale dieses Diagramms?

In Intervallen Funktion steigt, das heißt, jeder von seinem nächsten Wert mehr Der vorherige. Grob gesagt geht der Zeitplan nach oben(wir besteigen den Hügel). Und auf dem Intervall die Funktion abnehmend- jeder nächste Wert weniger der vorherige, und unser Zeitplan geht von oben nach unten(geht den Abhang hinunter).

Achten wir auch auf besondere Punkte. An dem Punkt, an dem wir ankommen maximal, also existiert ein solcher Abschnitt des Pfades, auf dem der Wert am größten (höchsten) sein wird. An der gleichen Stelle, Minimum, und existiert so seine Nachbarschaft, in der der Wert am kleinsten (niedrigsten) ist.

Strengere Terminologie und Definitionen werden in der Lektion berücksichtigt. über die Extrema der Funktion, aber lassen Sie uns jetzt ein weiteres wichtiges Merkmal untersuchen: die Intervalle die Funktion nimmt zu, aber sie nimmt zu bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Und das erste, was auffällt, ist, dass der Chart im Intervall nach oben steigt viel cooler als im Intervall. Ist es möglich, die Steilheit der Straße mit mathematischen Mitteln zu messen?

Funktionsänderungsrate

Die Idee ist folgende: Nehmen Sie etwas Wert (lesen Sie "Delta x"), die wir anrufen werden Argumenterhöhung, und beginnen wir mit dem "Anprobieren" an verschiedenen Punkten unseres Weges:

1) Betrachten wir den Punkt ganz links: Unter Umgehung der Distanz steigen wir den Hang bis zu einer Höhe (grüne Linie) hinauf. Der Wert wird aufgerufen Funktionsinkrement, und in diesem Fall ist dieses Inkrement positiv (die Differenz der Werte entlang der Achse ist größer als Null). Machen wir das Verhältnis , das das Maß für die Steilheit unserer Straße sein wird. Offensichtlich ist eine sehr spezifische Zahl, und da beide Inkremente positiv sind, dann .

Aufmerksamkeit! Bezeichnung sind EINES Symbol, das heißt, Sie können das „Delta“ nicht vom „x“ „abreißen“ und diese Buchstaben separat betrachten. Der Kommentar gilt natürlich auch für das Inkrementsymbol der Funktion.

Lassen Sie uns die Art des resultierenden Bruchs aussagekräftiger untersuchen. Angenommen, wir befinden uns zunächst in einer Höhe von 20 Metern (im linken schwarzen Punkt). Nachdem wir die Entfernung von Metern (linke rote Linie) überwunden haben, befinden wir uns auf einer Höhe von 60 Metern. Dann wird das Inkrement der Funktion sein Meter (grüne Linie) und: . Auf diese Weise, auf jedem Meter diesen Straßenabschnitt Höhe nimmt zu im mittleren um 4 Meter… hast du deine Kletterausrüstung vergessen? =) Mit anderen Worten, das konstruierte Verhältnis charakterisiert die DURCHSCHNITTLICHE ÄNDERUNGSRATE (in diesem Fall das Wachstum) der Funktion.

Notiz : Die Zahlenwerte des betreffenden Beispiels entsprechen nur annähernd den Proportionen der Zeichnung.

2) Lassen Sie uns nun die gleiche Entfernung vom schwarzen Punkt ganz rechts gehen. Hier ist der Anstieg sanfter, daher ist die Schrittweite (rote Linie) relativ klein, und das Verhältnis im Vergleich zum vorherigen Fall wird ziemlich bescheiden sein. Relativ gesehen, Meter und Funktionswachstumsrate ist . Das heißt, hier für jeden Meter der Straße gibt es im mittleren einen halben Meter hoch.

3) Ein kleines Abenteuer am Berghang. Schauen wir uns den oberen schwarzen Punkt auf der y-Achse an. Nehmen wir an, dass dies eine Marke von 50 Metern ist. Wieder überwinden wir die Distanz, wodurch wir uns niedriger befinden - auf einer Höhe von 30 Metern. Da wurde die Bewegung gemacht von oben nach unten(in der "entgegengesetzten" Richtung der Achse), dann das Finale das Inkrement der Funktion (Höhe) wird negativ sein: Meter (braune Linie in der Zeichnung). Und in diesem Fall sprechen wir über Zerfallsrate Merkmale: , das heißt, für jeden Meter des Weges dieses Abschnitts nimmt die Höhe ab im mittleren um 2 Meter. Achten Sie beim fünften Punkt auf die Kleidung.

Stellen wir uns nun die Frage: Was ist der beste Wert für "Messstandard"? Es ist klar, dass 10 Meter sehr grob sind. Ein gutes Dutzend Beulen passen problemlos darauf. Warum gibt es Unebenheiten, es kann eine tiefe Schlucht darunter sein, und nach ein paar Metern - seine andere Seite mit einem weiteren steilen Anstieg. Mit einem Zehn-Meter-Wert erhalten wir daher keine verständliche Eigenschaft solcher Abschnitte des Pfades durch das Verhältnis.

Aus der obigen Diskussion folgt folgende Schlussfolgerung: desto kleiner der Wert, desto genauer werden wir das Relief der Straße beschreiben. Darüber hinaus sind die folgenden Tatsachen wahr:

– Für alle Hebepunkte Sie können einen Wert (wenn auch einen sehr kleinen) wählen, der in die Grenzen des einen oder anderen Anstiegs passt. Und das bedeutet, dass das entsprechende Höheninkrement garantiert positiv ist und die Ungleichung das Wachstum der Funktion an jedem Punkt dieser Intervalle korrekt anzeigt.

- Ebenfalls, für alle Steigungspunkt, gibt es einen Wert, der vollständig auf diese Steigung passt. Daher ist die entsprechende Höhenzunahme eindeutig negativ, und die Ungleichung zeigt die Abnahme der Funktion an jedem Punkt des angegebenen Intervalls korrekt an.

– Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn die Änderungsrate der Funktion Null ist: . Erstens ist ein Höheninkrement von Null () ein Zeichen für einen geraden Pfad. Und zweitens gibt es noch andere merkwürdige Situationen, Beispiele dafür sehen Sie in der Abbildung. Stellen Sie sich vor, das Schicksal hat uns auf die Spitze eines Hügels mit hochfliegenden Adlern oder auf den Grund einer Schlucht mit quakenden Fröschen geführt. Wenn Sie einen kleinen Schritt in eine beliebige Richtung machen, ist die Höhenänderung vernachlässigbar, und wir können sagen, dass die Änderungsrate der Funktion tatsächlich Null ist. Das gleiche Muster wird an einigen Stellen beobachtet.

Somit haben wir uns einer erstaunlichen Gelegenheit genähert, die Änderungsrate einer Funktion vollkommen genau zu charakterisieren. Schließlich erlaubt uns die mathematische Analyse, das Inkrement des Arguments auf Null zu lenken, das heißt, es zu machen unendlich klein.

Infolgedessen stellt sich eine weitere logische Frage: Ist es möglich, die Straße und ihren Zeitplan zu finden? eine andere Funktion, die würde es uns sagenüber alle Ebenen, Anstiege, Abfahrten, Gipfel, Niederungen sowie die Anstiegs- / Abfallrate an jedem Punkt des Pfades?

Was ist ein Derivat? Definition eines Derivats.
Die geometrische Bedeutung der Ableitung und des Differentials

Bitte aufmerksam und nicht zu schnell lesen – das Material ist einfach und für jeden zugänglich! Es ist in Ordnung, wenn an manchen Stellen etwas nicht ganz klar erscheint, Sie können später immer noch zum Artikel zurückkehren. Ich werde mehr sagen, es ist nützlich, die Theorie mehrmals zu studieren, um alle Punkte qualitativ zu verstehen (der Rat ist besonders relevant für „technische“ Studenten, für die höhere Mathematik eine wichtige Rolle im Bildungsprozess spielt).

Natürlich werden wir es in der Definition der Ableitung an einem Punkt ersetzen durch:

Wozu sind wir gekommen? Und wir kamen zu dem Schluss, dass für eine Funktion nach dem Gesetz ausgerichtet ist andere Funktion, Was heisst Ableitungsfunktion(oder einfach Derivat).

Die Ableitung charakterisiert Änderungsrate Funktionen . Auf welche Weise? Der Gedanke zieht sich wie ein roter Faden von Anfang an durch den Artikel. Betrachten Sie einen Punkt Domänen Funktionen . Die Funktion sei an einem gegebenen Punkt differenzierbar. Dann:

1) Wenn , dann steigt die Funktion am Punkt . Und offensichtlich gibt es das Intervall(auch wenn sehr klein), der den Punkt enthält, an dem die Funktion wächst, und ihr Diagramm geht „von unten nach oben“.

2) Wenn , dann nimmt die Funktion am Punkt ab. Und es gibt ein Intervall, das einen Punkt enthält, an dem die Funktion abnimmt (der Graph geht „von oben nach unten“).

3) Wenn, dann unendlich nah In der Nähe des Punktes hält die Funktion ihre Geschwindigkeit konstant. Dies geschieht, wie erwähnt, für ein funktionskonstantes und an kritischen Stellen der Funktion, insbesondere an den minimalen und maximalen Punkten.

Etwas Semantik. Was bedeutet das Verb „differenzieren“ im weitesten Sinne? Differenzieren bedeutet, ein Merkmal hervorzuheben. Indem wir die Funktion differenzieren, „wählen“ wir die Rate ihrer Änderung in Form einer Ableitung der Funktion . Und was ist übrigens mit dem Wort "Ableitung" gemeint? Funktion passiert aus der Funktion.

Die Begriffe interpretieren sehr erfolgreich die mechanische Bedeutung der Ableitung :
Betrachten wir das Gesetz der Änderung der Körperkoordinaten, das von der Zeit abhängt, und die Funktion der Bewegungsgeschwindigkeit des gegebenen Körpers. Die Funktion charakterisiert die Änderungsgeschwindigkeit der Körperkoordinate, ist also die erste Ableitung der Funktion nach der Zeit: . Wenn das Konzept der „Körperbewegung“ in der Natur nicht existierte, dann würde es auch nicht existieren Derivat Begriff „Geschwindigkeit“.

Die Beschleunigung eines Körpers ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit, also: . Wenn die ursprünglichen Konzepte „Körperbewegung“ und „Körperbewegungsgeschwindigkeit“ in der Natur nicht existierten, dann gäbe es keine Derivat das Konzept der Beschleunigung eines Körpers.

Zusammenfassung einer offenen Unterrichtsstunde eines Lehrers an der Pädagogischen Hochschule Nr. 4 in St. Petersburg

Martusewitsch Tatjana Olegowna

Datum: 29.12.2014.

Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung.

Unterrichtsart: neuen Stoff lernen.

Lehrmethoden: visuell, teilweise explorativ.

Der Zweck des Unterrichts.

Führen Sie das Konzept einer Tangente an den Graphen einer Funktion an einem Punkt ein, finden Sie heraus, was die geometrische Bedeutung der Ableitung ist, leiten Sie die Tangensgleichung her und lehren Sie, wie man sie findet.

Pädagogische Aufgaben:

Ein Verständnis der geometrischen Bedeutung der Ableitung erreichen; Herleitung der Tangentengleichung; lernen, grundlegende Probleme zu lösen;

eine Wiederholung des Materials zum Thema "Definition eines Derivats" bereitzustellen;

Bedingungen für die Kontrolle (Selbstkontrolle) von Wissen und Fähigkeiten schaffen.

Entwicklungsaufgaben:

Förderung der Bildung von Fähigkeiten zur Anwendung von Vergleichsmethoden, Verallgemeinerung und Hervorhebung der Hauptsache;

die Entwicklung des mathematischen Horizonts, des Denkens und Sprechens, der Aufmerksamkeit und des Gedächtnisses fortsetzen.

Pädagogische Aufgaben:

Interesse an Mathematik fördern;

Aktivitätserziehung, Mobilität, Kommunikationsfähigkeit.

Unterrichtstyp - eine kombinierte Unterrichtsstunde mit IKT.

Ausrüstung – Multimediainstallation, PräsentationMicrosoftEnergiePunkt.

Unterrichtsphase

Zeit

Lehrertätigkeit

Studentische Aktivität

1. Organisatorischer Moment.

Nachricht über das Thema und den Zweck der Lektion.

Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung.

Der Zweck des Unterrichts.

Führen Sie das Konzept einer Tangente an den Graphen einer Funktion an einem Punkt ein, finden Sie heraus, was die geometrische Bedeutung der Ableitung ist, leiten Sie die Tangensgleichung her und lehren Sie, wie man sie findet.

Schüler auf die Arbeit im Unterricht vorbereiten.

Vorbereitung auf die Arbeit im Unterricht.

Bewusstsein für das Thema und den Zweck des Unterrichts.

Notizen.

2. Vorbereitung auf das Studium neuen Stoffes durch Wiederholung und Aktualisierung von Grundkenntnissen.

Organisation der Wiederholung und Aktualisierung des Grundwissens: Definitionen der Ableitung und Formulierung ihrer physikalischen Bedeutung.

Formulierung der Definition des Derivats und Formulierung seiner physikalischen Bedeutung. Wiederholung, Aktualisierung und Festigung von Grundkenntnissen.

Organisation der Wiederholung und Bildung der Fähigkeit, die Ableitung einer Potenzfunktion und elementarer Funktionen zu finden.

Finden der Ableitung dieser Funktionen durch Formeln.

Wiederholung der Eigenschaften einer linearen Funktion.

Wiederholung, Wahrnehmung von Zeichnungen und Lehreraussagen

3. Arbeiten mit neuem Material: Erklärung.

Erläuterung der Bedeutung des Verhältnisses Funktionsinkrement zu Argumentinkrement

Erklärung der geometrischen Bedeutung der Ableitung.

Einführung in neuen Stoff durch mündliche Erklärungen mit Bildern und visuellen Hilfsmitteln: Multimedia-Präsentation mit Animation.

Wahrnehmung von Erklärung, Verständnis, Antworten auf die Fragen des Lehrers.

Formulierung einer Frage an den Lehrer bei Schwierigkeiten.

Wahrnehmung neuer Informationen, ihr primäres Verständnis und Verständnis.

Formulierung von Fragen an den Lehrer bei Schwierigkeiten.

Erstellen Sie eine Gliederung.

Formulierung der geometrischen Bedeutung der Ableitung.

Betrachtung von drei Fällen.

Notizen machen, Zeichnungen machen.

4. Arbeiten mit neuem Material.

Primäres Verständnis und Anwendung des studierten Materials, seine Festigung.

Ab wann ist die Ableitung positiv?

Negativ?

Gleich Null?

Lernen, nach einem Algorithmus nach Antworten auf die Fragen zu suchen, die der Zeitplan stellt.

Neue Informationen verstehen und verstehen und anwenden, um ein Problem zu lösen.

5. Primäres Verständnis und Anwendung des studierten Materials, seine Festigung.

Task-Bedingungsmeldung.

Aufzeichnen einer Aufgabenbedingung.

Formulierung einer Frage an den Lehrer bei Schwierigkeiten

6. Wissensanwendung: selbstständige Tätigkeit mit Lehrcharakter.

Lösen Sie das Problem selbst:

Anwendung des erworbenen Wissens.

Unabhängige Arbeit zur Lösung des Problems, die Ableitung der Figur zu finden. Diskussion und Überprüfung der Antworten zu zweit, bei Schwierigkeiten eine Frage an die Lehrkraft formulieren.

7. Arbeiten mit neuem Material: Erklärung.

Herleitung der Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion in einem Punkt.

Eine ausführliche Erläuterung der Herleitung der Tangentengleichung an den Funktionsgraphen in einem Punkt, als visuelle Hilfestellung in Form einer Multimedia-Präsentation, Antworten auf die Fragen der Schüler.

Herleitung der Tangentengleichung zusammen mit dem Lehrer. Antworten auf die Fragen des Lehrers.

Skizzieren, zeichnen.

8. Arbeiten mit neuem Material: Erklärung.

Im Dialog mit Studierenden Herleitung eines Algorithmus zur Bestimmung der Tangentengleichung an den Graphen einer gegebenen Funktion an einem gegebenen Punkt.

Im Dialog mit dem Lehrer die Ableitung eines Algorithmus zum Auffinden der Gleichung der Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion an einem gegebenen Punkt.

Notizen.

Task-Bedingungsmeldung.

Training in der Anwendung des erworbenen Wissens.

Organisation der Suche nach Lösungswegen und deren Umsetzung. detaillierte Analyse der Lösung mit Erläuterung.

Aufzeichnen einer Aufgabenbedingung.

Annahmen über mögliche Wege zur Lösung des Problems bei der Umsetzung der einzelnen Punkte des Aktionsplans treffen. Problemlösung gemeinsam mit dem Lehrer.

Notieren Sie die Lösung des Problems und die Antwort.

9. Wissensanwendung: selbstständige Tätigkeit mit Lehrcharakter.

Individuelle Steuerung. Beratung und Unterstützung der Studierenden nach Bedarf.

Überprüfung und Erläuterung der Lösung anhand der Präsentation.

Anwendung des erworbenen Wissens.

Unabhängige Arbeit zur Lösung des Problems, die Ableitung der Figur zu finden. Diskussion und Überprüfung der Antworten zu zweit, bei Schwierigkeiten eine Frage an den Lehrer formulieren

10. Hausaufgaben.

§48, Aufgaben 1 und 3, verstehe die Lösung und schreibe sie in ein Heft mit Bildern.

№ 860 (2,4,6,8),

Hausaufgabennachricht mit Kommentaren.

Hausaufgaben aufnehmen.

11. Zusammenfassung.

Wir haben die Definition der Ableitung wiederholt; die physikalische Bedeutung des Derivats; Eigenschaften einer linearen Funktion.

Wir haben gelernt, was die geometrische Bedeutung der Ableitung ist.

Wir haben gelernt, die Gleichung der Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion an einem gegebenen Punkt abzuleiten.

Korrektur und Klärung der Ergebnisse des Unterrichts.

Aufzählung der Ergebnisse des Unterrichts.

12. Reflexion.

1. Hattest du eine Lektion: a) leicht; b) normalerweise; c) schwierig.

a) gelernt (a) vollständig, ich kann mich bewerben;

b) gelernt (a), finden es aber schwierig anzuwenden;

c) nicht verstanden.

3. Multimediale Präsentation im Unterricht:

a) half bei der Assimilation des Materials; b) hat die Assimilation des Materials nicht unterstützt;

c) störte die Assimilation des Materials.

Reflexion leiten.

Jobtyp: 7

Bedingung

Die Linie y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10. Finden Sie b unter der Voraussetzung, dass die Abszisse des Berührungspunkts kleiner als Null ist.

Lösung anzeigen

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentenpunkt sowohl zum Graphen der Funktion als auch zum Tangens, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Je nach Zustand der Abszisse sind die Berührungspunkte kleiner Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.

Antworten

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=-3x+4 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7. Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

Lösung anzeigen

Lösung

Die Steigung der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 an einem beliebigen Punkt x_0 ist y"(x_0). Aber y"=-2x+5, also y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Der in der Bedingung angegebene Winkelkoeffizient der Linie y=-3x+4 ist -3.Parallele Linien haben die gleichen Steigungskoeffizienten.Daher finden wir einen Wert x_0, der =-2x_0 +5=-3 ist.

Wir erhalten: x_0 = 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

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Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(-6; 2) und B(-1; 1) verläuft. Bezeichne mit C(-6; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=-6 und y=1 und mit \alpha den Winkel ABC (in der Abbildung ist zu sehen, dass er spitz ist). Dann bildet die Gerade AB mit der positiven Richtung der Ox-Achse einen stumpfen Winkel \pi -\alpha.

Wie Sie wissen, ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0. beachte das tg \alpha=\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Von hier aus erhalten wir durch die Reduktionsformeln: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=-2x-4 tangiert den Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12. Finden Sie b unter der Voraussetzung, dass die Abszisse des Berührungspunkts größer als Null ist.

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Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12 durch die

tangiert diesen Graphen.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, also y "(x_0)=32x_0+b=-2. Andererseits gehört der Tangentenpunkt sowohl zum Graphen der Funktion als auch zum Tangente, also 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(Fälle)

Wenn wir das System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Je nach Zustand der Abszisse sind die Berührungspunkte größer Null, also x_0=1, dann b=-2-32x_0=-34.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), die auf dem Intervall (-2; 8) definiert ist. Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden y=6 verläuft.

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Lösung

Die Linie y=6 ist parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir solche Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse ist. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen können, gibt es 4 Extrempunkte.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=4x-6 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9. Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

Lösung anzeigen

Lösung

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d x ^ 2-4x + 9 an einem beliebigen Punkt x_0 ist y "(x_0). Aber y" \u003d 2x-4, was y "(x_0) \ bedeutet u003d 2x_0-4. Die in der Bedingung angegebene Steigung der Tangente y \u003d 4x-7 ist gleich 4. Parallele Linien haben die gleichen Steigungen. Daher finden wir einen solchen Wert x_0, dass 2x_0-4 \u003d 4. Wir bekommen : x_0 \u003d 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x_0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.

Lösung anzeigen

Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(1; 1) und B(5; 4) verläuft. Bezeichne mit C(5; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=5 und y=1 und mit \alpha den Winkel BAC (in der Abbildung ist zu sehen, dass er spitz ist). Dann bildet die Linie AB mit der positiven Richtung der Ox-Achse einen Winkel \alpha.

Um den geometrischen Wert der Ableitung herauszufinden, betrachten Sie den Graphen der Funktion y = f(x). Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M mit den Koordinaten (x, y) und einen nahegelegenen Punkt N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Lassen Sie uns die Ordinaten $\overline(M_(1) M)$ und $\overline(N_(1) N)$ zeichnen und vom Punkt M aus eine Linie parallel zur OX-Achse ziehen.

Das Verhältnis $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ ist der Tangens des Winkels $\alpha $1, den die Sekante MN mit der positiven Richtung der OX-Achse bildet. Da $\Delta $x gegen Null geht, nähert sich Punkt N M, und die Tangente MT an die Kurve im Punkt M wird zur Grenzposition der Sekante MN. Somit ist die Ableitung f`(x) gleich der Tangente des Winkels $ \alpha $, der von der Tangente an die Kurve am Punkt M (x, y) mit positiver Richtung zur OX-Achse gebildet wird - die Steigung der Tangente (Abb. 1).

Abbildung 1. Graph einer Funktion

Bei der Berechnung der Werte mit den Formeln (1) ist es wichtig, sich nicht in den Vorzeichen zu irren, denn Inkrement kann negativ sein.

Der auf der Kurve liegende Punkt N kann sich M von jeder Seite nähern. Wenn also in Abbildung 1 der Tangente die entgegengesetzte Richtung gegeben wird, ändert sich der Winkel $\alpha $ um $\pi $, was die Tangente des Winkels und dementsprechend die Steigung erheblich beeinflusst.

Fazit

Daraus folgt, dass die Existenz der Ableitung mit der Existenz einer Tangente an die Kurve y = f(x) zusammenhängt und die Steigung -- tg $\alpha $ = f`(x) endlich ist. Daher darf die Tangente nicht parallel zur OY-Achse sein, sonst ist $\alpha $ = $\pi $/2, und die Tangente des Winkels wird unendlich.

An einigen Punkten kann eine kontinuierliche Kurve keine Tangente haben oder eine Tangente parallel zur OY-Achse haben (Abb. 2). Dann kann die Funktion keine Ableitung in diesen Werten haben. Auf der Funktionskurve kann es beliebig viele solcher Punkte geben.

Abbildung 2. Außergewöhnliche Punkte der Kurve

Betrachten Sie Abbildung 2. Lassen Sie $\Delta $x von negativen oder positiven Werten gegen Null gehen:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Wenn in diesem Fall die Relationen (1) einen endlichen Gang haben, wird dies bezeichnet als:

Im ersten Fall die Ableitung nach links, im zweiten die Ableitung nach rechts.

Die Existenz einer Grenze spricht von der Äquivalenz und Gleichheit der linken und rechten Ableitung:

Wenn die linke und die rechte Ableitung nicht gleich sind, dann gibt es an diesem Punkt Tangenten, die nicht parallel zu OY sind (Punkt M1, Abb. 2). An den Punkten M2, M3 gehen die Beziehungen (1) gegen unendlich.

Für N Punkte links von M2 ist $\Delta $x $

Rechts von $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, aber der Ausdruck ist auch f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Für Punkt $M_3$ links $\Delta $x $$ 0 und f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, also Ausdrücke (1) sind beide links und rechts positiv und tendieren zu +$\infty $, wenn $\Delta $x sich -0 und +0 nähert.

Der Fall des Fehlens einer Ableitung an bestimmten Punkten der Geraden (x = c) ist in Abbildung 3 dargestellt.

Abbildung 3. Fehlen von Derivaten

Beispiel 1

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion und die Tangente an den Graphen am Punkt mit der Abszisse $x_0$. Finde den Wert der Ableitung der Funktion auf der Abszisse.

Lösung. Die Ableitung an einem Punkt ist gleich dem Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments. Wählen wir zwei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf der Tangente. Dies seien beispielsweise die Punkte F (-3,2) und C (-2,4).