In diesem Artikel zeigen wir, wie Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens von Winkel und Zahl in der Trigonometrie. Hier werden wir über Notation sprechen, Beispiele für Aufzeichnungen geben und grafische Illustrationen geben. Abschließend ziehen wir eine Parallele zwischen den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens in Trigonometrie und Geometrie.

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Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

Folgen wir der Bildung der Begriffe Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens im Schulmathematikkurs. Im Geometrieunterricht wird die Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben. Und später wird Trigonometrie studiert, die sich auf Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels und der Zahl bezieht. Wir geben all diese Definitionen, geben Beispiele und geben die notwendigen Kommentare.

Spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck

Aus dem Studium der Geometrie sind die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt. Sie werden als Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks angegeben. Wir stellen ihre Formulierungen vor.

Definition.

Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.

Definition.

Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden Bein.

Dort wird auch die Schreibweise von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eingeführt – sin, cos, tg bzw. ctg.

Wenn beispielsweise ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C ist, dann ist der Sinus des spitzen Winkels A gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels BC zur Hypotenuse AB, also sin∠A=BC/AB.

Mit diesen Definitionen können Sie die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels aus den bekannten Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sowie aus den bekannten Werten von Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens und die Länge einer der Seiten, finden Sie die Längen der anderen Seiten. Wenn wir zum Beispiel wüssten, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Schenkel AC 3 und die Hypotenuse AB 7 ist, dann könnten wir per Definition den Kosinus des spitzen Winkels A berechnen: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Drehwinkel

In der Trigonometrie beginnen sie, den Winkel umfassender zu betrachten - sie führen das Konzept des Rotationswinkels ein. Der Rotationswinkel ist im Gegensatz zu einem spitzen Winkel nicht auf Frames von 0 bis 90 Grad beschränkt, der Rotationswinkel in Grad (und im Bogenmaß) kann durch eine beliebige reelle Zahl von −∞ bis +∞ ausgedrückt werden.

Vor diesem Hintergrund sind die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens kein spitzer Winkel mehr, sondern ein Winkel beliebiger Größe – der Rotationswinkel. Sie sind gegeben durch die x- und y-Koordinaten des Punktes A 1 , in den der sogenannte Anfangspunkt A(1, 0) übergeht, nachdem er sich um den Punkt O - den Anfang eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems - um den Winkel α gedreht hat und der Mittelpunkt des Einheitskreises.

Definition.

Sinus des Drehwinkelsα ist die Ordinate des Punktes A 1 , dh sinα = y .

Definition.

Kosinus des Drehwinkelsα wird die Abszisse des Punktes A 1 genannt, d. h. cosα = x .

Definition.

Tangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Ordinate des Punktes A 1 zu seiner Abszisse, dh tgα = y/x .

Definition.

Der Kotangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Abszisse des Punktes A 1 zu seiner Ordinate, dh ctgα = x/y.

Sinus und Cosinus sind für beliebige Winkel α definiert, da wir immer Abszisse und Ordinate des Punktes bestimmen können, den man durch Drehen des Startpunktes um den Winkel α erhält. Und Tangens und Kotangens sind für keinen Winkel definiert. Für solche Winkel α, bei denen der Anfangspunkt auf einen Punkt mit Nullabszisse (0, 1) oder (0, −1) geht, ist die Tangente nicht definiert, und dies geschieht bei den Winkeln 90°+180° k , k∈Z (π /2 + π k rad). Allerdings ist bei solchen Drehwinkeln der Ausdruck tgα=y/x nicht sinnvoll, da er eine Division durch Null enthält. Der Kotangens ist für solche Winkel α nicht definiert, bei denen der Startpunkt zu einem Punkt mit der Null-Ordinate (1, 0) oder (–1, 0) geht, und dies ist der Fall für die Winkel 180° k , k ∈Z (π k rad).

Also sind Sinus und Cosinus für alle Rotationswinkel definiert, der Tangens ist für alle Winkel außer 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) definiert und der Kotangens ist für alle Winkel außer 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Die uns bereits bekannten Schreibweisen tauchen in den Definitionen sin, cos, tg und ctg auf, sie werden auch zur Bezeichnung von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels verwendet (manchmal findet man auch die Schreibweise tan und cot, die Tangente und entsprechen Kotangens). Der Sinus des Rotationswinkels von 30 Grad lässt sich also als sin30° schreiben, die Aufzeichnungen tg(−24°17′) und ctgα entsprechen dem Tangens des Rotationswinkels −24 Grad 17 Minuten und dem Kotangens des Rotationswinkels α . Denken Sie daran, dass beim Schreiben des Bogenmaßes eines Winkels die Notation "rad" oft weggelassen wird. Beispielsweise wird der Kosinus eines Rotationswinkels von drei Pi rad üblicherweise als cos3 π bezeichnet.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass bei der Rede von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels der Ausdruck „Rotationswinkel“ oder das Wort „Rotation“ oft weggelassen wird. Das heißt, anstelle des Ausdrucks "Sinus des Drehwinkels Alpha" wird normalerweise der Ausdruck "Sinus des Winkels Alpha" oder noch kürzer - "Sinus von Alpha" verwendet. Dasselbe gilt für Kosinus, Tangens und Kotangens.

Nehmen wir auch an, dass die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit den gerade gegebenen Definitionen für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Rotationswinkels im Bereich von 0 bis 90 übereinstimmen Grad. Wir werden dies belegen.

Zahlen

Definition.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl t ist eine Zahl, die dem Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels in t Bogenmaß entspricht.

Beispielsweise ist der Kosinus von 8 π per Definition eine Zahl gleich dem Kosinus eines Winkels von 8 π rad. Und der Kosinus des Winkels in 8 π rad ist gleich eins, also ist der Kosinus der Zahl 8 π gleich 1.

Es gibt einen anderen Ansatz zur Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl. Sie besteht darin, dass jeder reellen Zahl t ein im Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems zentrierter Punkt des Einheitskreises zugeordnet wird und durch die Koordinaten dieses Punktes Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens bestimmt werden. Lassen Sie uns näher darauf eingehen.

Lassen Sie uns zeigen, wie die Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Punkten des Kreises hergestellt wird:

• der Zahl 0 wird der Startpunkt A(1, 0) zugeordnet;
• eine positive Zahl t ist einem Punkt auf dem Einheitskreis zugeordnet, den wir erreichen, wenn wir uns vom Startpunkt aus gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis bewegen und einen Weg der Länge t durchlaufen;
• Eine negative Zahl t ist einem Punkt auf dem Einheitskreis zugeordnet, den wir erreichen, wenn wir den Kreis vom Startpunkt im Uhrzeigersinn umrunden und einen Weg der Länge |t| durchlaufen .

Kommen wir nun zu den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Zahl t. Nehmen wir an, dass die Zahl t einem Punkt des Kreises A 1 (x, y) entspricht (zum Beispiel entspricht die Zahl &pi/2; dem Punkt A 1 (0, 1) ).

Definition.

Der Sinus einer Zahl t ist die Ordinate des Einheitskreispunktes, der der Zahl t entspricht, d. h. sint=y .

Definition.

Der Kosinus einer Zahl t wird die Abszisse des Punktes des Einheitskreises genannt, der der Zahl t entspricht, d. h. cost=x .

Definition.

Tangens einer Zahl t ist das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, dh tgt = y/x. In einer anderen äquivalenten Formulierung ist der Tangens der Zahl t das Verhältnis des Sinus dieser Zahl zum Kosinus, d. h. tgt = sint/cost .

Definition.

Kotangens einer Zahl t ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, dh ctgt = x/y. Eine andere Formulierung lautet wie folgt: Der Tangens der Zahl t ist das Verhältnis des Kosinus der Zahl t zum Sinus der Zahl t : ctgt=cost/sint .

Hier stellen wir fest, dass die gerade gegebenen Definitionen mit der am Anfang dieses Unterabschnitts gegebenen Definition übereinstimmen. Tatsächlich fällt der Punkt des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, mit dem Punkt zusammen, den man erhält, wenn man den Startpunkt um einen Winkel von t im Bogenmaß dreht.

Es lohnt sich auch, diesen Punkt zu klären. Nehmen wir an, wir haben einen sin3-Eintrag. Wie kann man verstehen, ob es sich um den Sinus der Zahl 3 oder den Sinus des Drehwinkels von 3 Radiant handelt? Das geht meist aus dem Kontext hervor, sonst ist es wahrscheinlich egal.

Trigonometrische Funktionen des Winkel- und Zahlenarguments

Gemäß den im vorherigen Absatz gegebenen Definitionen entspricht jeder Rotationswinkel α einem wohldefinierten Wert von sinα sowie dem Wert von cosα. Außerdem entsprechen alle Drehwinkel außer 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) den Werten tgα , und außer 180° k , k∈Z (π k rad ) sind die Werte von ctgα . Daher sind sinα, cosα, tgα und ctgα Funktionen des Winkels α. Mit anderen Worten, dies sind Funktionen des Winkelarguments.

Ebenso können wir über die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines numerischen Arguments sprechen. Tatsächlich entspricht jede reelle Zahl t einem wohldefinierten Wert von sint sowie cost . Außerdem entsprechen alle Zahlen außer π/2+π·k , k∈Z den Werten tgt , und die Zahlen π·k , k∈Z entsprechen den Werten ctgt .

Die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens werden aufgerufen grundlegende trigonometrische Funktionen.

Aus dem Kontext geht meist hervor, dass es sich um trigonometrische Funktionen eines Winkelarguments oder eines Zahlenarguments handelt. Andernfalls können wir die unabhängige Variable sowohl als Maß für den Winkel (das Winkelargument) als auch als numerisches Argument betrachten.

Die Schule untersucht jedoch hauptsächlich numerische Funktionen, dh Funktionen, deren Argumente sowie die entsprechenden Funktionswerte Zahlen sind. Wenn wir also über Funktionen sprechen, ist es ratsam, trigonometrische Funktionen als Funktionen numerischer Argumente zu betrachten.

Verbindung von Definitionen aus Geometrie und Trigonometrie

Wenn wir den Rotationswinkel α von 0 bis 90 Grad betrachten, stimmen die Daten im Zusammenhang mit der Trigonometrie der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels vollständig mit den Definitionen von Sinus, Cosinus überein , Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck, die im Geometriekurs gegeben werden. Lassen Sie uns das begründen.

Zeichnen Sie einen Einheitskreis im rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxy. Beachten Sie den Startpunkt A(1, 0) . Drehen wir es um einen Winkel α im Bereich von 0 bis 90 Grad, erhalten wir den Punkt A 1 (x, y) . Lassen Sie uns die Senkrechte A 1 H vom Punkt A 1 auf die Ox-Achse fallen lassen.

Es ist leicht zu sehen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Winkel A 1 OH gleich dem Drehwinkel α ist, die Länge des an diesen Winkel angrenzenden Schenkels OH gleich der Abszisse des Punktes A 1 ist, also |OH |=x, die Länge des Schenkels A 1 H gegenüber dem Winkel ist gleich der Ordinate des Punktes A 1 , das heißt |A 1 H| = y , und die Länge der Hypotenuse OA 1 ist gleich eins , da es der Radius des Einheitskreises ist. Dann ist nach geometrischer Definition der Sinus eines spitzen Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck A 1 OH gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, also sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Und per Definition aus der Trigonometrie ist der Sinus des Drehwinkels α gleich der Ordinate des Punktes A 1, dh sinα = y. Dies zeigt, dass die Definition des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck der Definition des Sinus des Drehwinkels α für α von 0 bis 90 Grad entspricht.

Ebenso kann gezeigt werden, dass die Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels α mit den Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels α übereinstimmen.

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Sinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis Gegenteil Katheter zur Hypotenuse.
Sie wird wie folgt bezeichnet: sin α.

Kosinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.
Er wird wie folgt bezeichnet: cos α.

Tangente Der spitze Winkel α ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.
Sie wird wie folgt bezeichnet: tg α.

Kotangens Der spitze Winkel α ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.
Er wird wie folgt bezeichnet: ctg α.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels hängen nur von der Größe des Winkels ab.

Regeln:

Grundlegende trigonometrische Identitäten in einem rechtwinkligen Dreieck:

(α - spitzer Winkel gegenüber dem Bein b und neben dem Bein a . Seite mit - Hypotenuse. β - der zweite spitze Winkel).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos2α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Wenn der spitze Winkel zunimmtsinα undtg α erhöhen, undcos α nimmt ab.

Für jeden spitzen Winkel α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Erklärendes Beispiel:

Lassen Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC ein
AB = 6,
BC = 3,
Winkel A = 30º.

Berechne den Sinus von Winkel A und den Kosinus von Winkel B.

Entscheidung .

1) Zuerst finden wir den Wert des Winkels B. Hier ist alles einfach: Da in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der spitzen Winkel 90º beträgt, ist der Winkel B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Berechnen Sie sin A. Wir wissen, dass der Sinus gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist. Bei Winkel A ist das gegenüberliegende Bein die Seite BC. So:

BC 3 1
Sünde A = -- = - = -
AB 6 2

3) Jetzt berechnen wir cos B. Wir wissen, dass der Cosinus gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse ist. Für Winkel B ist das benachbarte Bein die gleiche Seite BC. Das bedeutet, dass wir wieder BC durch AB teilen müssen, also die gleichen Aktionen ausführen wie bei der Berechnung des Sinus des Winkels A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Das Ergebnis ist:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Daraus folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Sinus eines spitzen Winkels gleich dem Kosinus eines anderen spitzen Winkels ist – und umgekehrt. Genau das bedeuten unsere beiden Formeln:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Schauen wir es uns noch einmal an:

1) Sei α = 60º. Setzen wir den Wert von α in die Sinusformel ein, erhalten wir:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Sei α = 30º. Setzen wir den Wert von α in die Kosinusformel ein, erhalten wir:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Weitere Informationen zur Trigonometrie finden Sie im Abschnitt Algebra.)

Trigonometrische Identitäten sind Gleichungen, die eine Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen, wodurch Sie jede dieser Funktionen finden können, vorausgesetzt, dass eine andere bekannt ist.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Diese Identität besagt, dass die Summe des Quadrats des Sinus eines Winkels und des Quadrats des Kosinus eines Winkels gleich eins ist, was es in der Praxis ermöglicht, den Sinus eines Winkels zu berechnen, wenn sein Kosinus bekannt ist, und umgekehrt .

Bei der Konvertierung trigonometrischer Ausdrücke wird diese Identität sehr häufig verwendet, wodurch Sie die Summe der Quadrate des Kosinus und des Sinus eines Winkels durch eins ersetzen und die Ersetzungsoperation auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen können.

Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus ermitteln

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Diese Identitäten werden aus den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens gebildet. Schließlich ist die Ordinate von y per Definition der Sinus und die Abszisse von x der Kosinus. Dann ist die Tangente gleich dem Verhältnis \frac(y)(x)=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha), und das Verhältnis \frac(x)(y)=\frac(\cos\alpha)(\sin\alpha)- wird ein Kotangens sein.

Wir fügen hinzu, dass nur für solche Winkel \alpha, für die die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen Sinn machen, die Identitäten stattfinden werden, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Zum Beispiel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) gilt für \alpha-Winkel, die von verschieden sind \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- für einen anderen Winkel \alpha als \pi z ist z eine ganze Zahl.

Zusammenhang zwischen Tangens und Kotangens

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Diese Identität gilt nur für Winkel \alpha, die von verschieden sind \frac(\pi)(2) z. Andernfalls wird entweder Kotangens oder Tangens nicht bestimmt.

Basierend auf den obigen Punkten erhalten wir das tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Daraus folgt das tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Somit sind der Tangens und der Kotangens eines Winkels, in dem sie sinnvoll sind, gegenseitig reziproke Zahlen.

Beziehungen zwischen Tangens und Kosinus, Kotangens und Sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- Die Summe des Quadrats der Tangente des Winkels \alpha und 1 ist gleich dem inversen Quadrat des Kosinus dieses Winkels. Diese Identität gilt für alle \alpha außer \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- Die Summe aus 1 und dem Quadrat des Kotangens des Winkels \alpha ist gleich dem inversen Quadrat des Sinus des gegebenen Winkels. Diese Identität gilt für jedes andere \alpha als \pi z .

Beispiele mit Lösungen zu Problemen mit trigonometrischen Identitäten

Beispiel 1

Finde \sin \alpha und tg \alpha wenn \cos \alpha=-\frac12 und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Lösung anzeigen

Entscheidung

Die Funktionen \sin \alpha und \cos \alpha sind durch die Formel verknüpft \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Einsetzen in diese Formel \cos \alpha = -\frac12, wir bekommen:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Diese Gleichung hat 2 Lösungen:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Nach Zustand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Sinus also positiv \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Um tg \alpha zu finden, verwenden wir die Formel tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Beispiel 2

Finde \cos \alpha und ctg \alpha wenn und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Lösung anzeigen

Entscheidung

Einsetzen in die Formel \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 bedingte Zahl \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), wir bekommen \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Diese Gleichung hat zwei Lösungen \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Nach Zustand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Kosinus also negativ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Um ctg \alpha zu finden, verwenden wir die Formel ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Wir kennen die entsprechenden Werte.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Die Begriffe Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind die Hauptkategorien der Trigonometrie – einem Zweig der Mathematik – und sind untrennbar mit der Definition eines Winkels verbunden. Der Besitz dieser mathematischen Wissenschaft erfordert das Auswendiglernen und Verstehen von Formeln und Theoremen sowie ein entwickeltes räumliches Denken. Deshalb bereiten trigonometrische Berechnungen Schülern und Studenten oft Schwierigkeiten. Um sie zu überwinden, sollten Sie sich mit trigonometrischen Funktionen und Formeln vertraut machen.

Begriffe in der Trigonometrie

Um die grundlegenden Konzepte der Trigonometrie zu verstehen, müssen Sie zunächst entscheiden, was ein rechtwinkliges Dreieck und ein Winkel in einem Kreis sind und warum alle grundlegenden trigonometrischen Berechnungen damit verbunden sind. Ein Dreieck, in dem einer der Winkel 90 Grad beträgt, ist ein rechtwinkliges Dreieck. Historisch gesehen wurde diese Figur oft von Menschen in Architektur, Navigation, Kunst und Astronomie verwendet. Dementsprechend kamen die Leute beim Studium und der Analyse der Eigenschaften dieser Figur zur Berechnung der entsprechenden Verhältnisse ihrer Parameter.

Die Hauptkategorien, die mit rechtwinkligen Dreiecken verbunden sind, sind die Hypotenuse und die Schenkel. Die Hypotenuse ist die Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Beine sind jeweils die anderen beiden Seiten. Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.

Sphärische Trigonometrie ist ein Teilbereich der Trigonometrie, der nicht in der Schule studiert wird, aber in angewandten Wissenschaften wie Astronomie und Geodäsie von Wissenschaftlern verwendet wird. Ein Merkmal eines Dreiecks in der sphärischen Trigonometrie ist, dass es immer eine Winkelsumme von mehr als 180 Grad hat.

Winkel eines Dreiecks

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis des Schenkels gegenüber dem gewünschten Winkel zur Hypotenuse des Dreiecks. Dementsprechend ist der Kosinus das Verhältnis des benachbarten Schenkels und der Hypotenuse. Diese beiden Werte haben immer einen Wert kleiner als eins, da die Hypotenuse immer länger ist als das Bein.

Der Tangens eines Winkels ist ein Wert, der dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten Schenkel des gewünschten Winkels oder Sinus zu Cosinus entspricht. Der Kotangens wiederum ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels des gewünschten Winkels zum gegenüberliegenden Kakteen. Den Kotangens eines Winkels erhält man auch, indem man die Einheit durch den Wert des Tangens dividiert.

Einheitskreis

Ein Einheitskreis in der Geometrie ist ein Kreis, dessen Radius gleich eins ist. Ein solcher Kreis wird im kartesischen Koordinatensystem konstruiert, wobei der Kreismittelpunkt mit dem Ursprungspunkt zusammenfällt und die Anfangslage des Radiusvektors durch die positive Richtung der X-Achse (Abszissenachse) bestimmt wird. Jeder Punkt des Kreises hat zwei Koordinaten: XX und YY, dh die Koordinaten der Abszisse und der Ordinate. Wenn wir einen beliebigen Punkt auf dem Kreis in der XX-Ebene auswählen und die Senkrechte von ihm auf die Abszissenachse fallen lassen, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck, das durch einen Radius zum ausgewählten Punkt gebildet wird (lassen Sie uns ihn mit dem Buchstaben C bezeichnen), eine Senkrechte, die auf gezeichnet wird die X-Achse (der Schnittpunkt ist mit dem Buchstaben G bezeichnet) und ein Segment die Abszissenachse zwischen dem Ursprung (der Punkt ist mit dem Buchstaben A bezeichnet) und dem Schnittpunkt G. Das resultierende Dreieck ACG ist ein einbeschriebenes rechtwinkliges Dreieck ein Kreis, bei dem AG die Hypotenuse und AC und GC die Beine sind. Den Winkel zwischen dem Radius des Kreises AC und dem Segment der Abszissenachse mit der Bezeichnung AG definieren wir als α (Alpha). Also cos α = AG/AC. Da AC der Radius des Einheitskreises ist und gleich eins ist, stellt sich heraus, dass cos α = AG ist. In ähnlicher Weise ist sin α = CG.

Außerdem ist es mit Kenntnis dieser Daten möglich, die Koordinaten des Punktes C auf dem Kreis zu bestimmen, da cos α=AG und sin α=CG, was bedeutet, dass der Punkt C die gegebenen Koordinaten hat (cos α; sin α). Da wir wissen, dass der Tangens gleich dem Verhältnis von Sinus zu Kosinus ist, können wir bestimmen, dass tg α \u003d y / x und ctg α \u003d x / y. Betrachtet man Winkel in einem negativen Koordinatensystem, kann man berechnen, dass die Sinus- und Kosinuswerte einiger Winkel negativ sein können.

Berechnungen und Grundformeln

Werte trigonometrischer Funktionen

Nachdem wir das Wesen trigonometrischer Funktionen durch den Einheitskreis betrachtet haben, können wir die Werte dieser Funktionen für einige Winkel ableiten. Die Werte sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Die einfachsten trigonometrischen Identitäten

Gleichungen, in denen ein unbekannter Wert unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion steht, heißen trigonometrisch. Identitäten mit dem Wert sin x = α, k ist eine beliebige ganze Zahl:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. Sünde x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitäten mit dem Wert cos x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identitäten mit dem Wert tg x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identitäten mit dem Wert ctg x = a, wobei k eine beliebige Ganzzahl ist:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Gießen Sie Formeln

Diese Kategorie konstanter Formeln bezeichnet Methoden, mit denen Sie von trigonometrischen Funktionen der Form zu Funktionen des Arguments wechseln können, dh Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels mit beliebigem Wert in die entsprechenden Indikatoren des Winkels umwandeln können das Intervall von 0 bis 90 Grad für eine einfachere Berechnung.

Die Formeln zum Reduzieren von Funktionen für den Sinus eines Winkels sehen folgendermaßen aus:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Für den Kosinus eines Winkels:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cosα;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cosα;
• cos(3600 + α) = cosα.

Die Verwendung der obigen Formeln ist unter Beachtung von zwei Regeln möglich. Erstens, wenn der Winkel als Wert (π/2 ± a) oder (3π/2 ± a) dargestellt werden kann, ändert sich der Wert der Funktion:

• von der Sünde zum cos;
• von Kose zu Sünde;
• von tg bis ctg;
• von ctg bis tg.

Der Wert der Funktion bleibt unverändert, wenn der Winkel als (π ± a) oder (2π ± a) dargestellt werden kann.

Zweitens ändert sich das Vorzeichen der reduzierten Funktion nicht: Wenn es anfangs positiv war, bleibt es so. Dasselbe gilt für negative Funktionen.

Additionsformeln

Diese Formeln drücken die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Summe und Differenz zweier Drehwinkel in Bezug auf ihre trigonometrischen Funktionen aus. Winkel werden üblicherweise als α und β bezeichnet.

Die Formeln sehen so aus:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Diese Formeln gelten für beliebige Winkel α und β.

Doppel- und Dreifachwinkelformeln

Die trigonometrischen Formeln eines Doppel- und Dreifachwinkels sind Formeln, die die Funktionen der Winkel 2α bzw. 3α mit den trigonometrischen Funktionen des Winkels α in Beziehung setzen. Abgeleitet aus Additionsformeln:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Übergang von der Summe zum Produkt

In Anbetracht der Tatsache, dass 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) und diese Formel vereinfachen, erhalten wir die Identität sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Ähnlich ist sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Übergang vom Produkt zur Summe

Diese Formeln folgen aus den Identitäten für den Übergang der Summe zum Produkt:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Reduktionsformeln

In diesen Identitäten können die quadratischen und kubischen Potenzen von Sinus und Cosinus als Sinus und Cosinus der ersten Potenz eines Vielfachwinkels ausgedrückt werden:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universelle Substitution

Die universellen trigonometrischen Substitutionsformeln drücken trigonometrische Funktionen in Bezug auf die Tangente eines halben Winkels aus.

• Sünde x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), während x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), wobei x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), wobei x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), während x \u003d π + 2πn.

Spezialfälle

Sonderfälle der einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind unten angegeben (k ist eine beliebige ganze Zahl).

Privat für Sinus:

Sünde x Wert	x-Wert
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk oder 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk oder -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk oder 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk oder -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk oder 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk oder -2π/3 + 2πk

Kosinusquotienten:

cos x wert	x-Wert
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privat für Tangente:

tg x-Wert	x-Wert
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangensquotienten:

ctg x-Wert	x-Wert
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Sätze

Sinussatz

Es gibt zwei Versionen des Theorems - einfach und erweitert. Einfacher Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. In diesem Fall sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α, β, γ sind die entgegengesetzten Winkel.

Erweiterter Sinussatz für ein beliebiges Dreieck: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In dieser Identität bezeichnet R den Radius des Kreises, in den das gegebene Dreieck eingeschrieben ist.

Kosinussatz

Die Identität wird folgendermaßen dargestellt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. In der Formel sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α ist der Winkel gegenüber der Seite a.

Tangentensatz

Die Formel drückt die Beziehung zwischen den Tangenten zweier Winkel und der Länge der ihnen gegenüberliegenden Seiten aus. Die Seiten sind mit a, b, c bezeichnet und die entsprechenden gegenüberliegenden Winkel sind α, β, γ. Formel des Tangentensatzes: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangenssatz

Ordnet den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises der Länge seiner Seiten zu. Wenn a, b, c die Seiten eines Dreiecks sind und A, B, C jeweils ihre gegenüberliegenden Winkel, r der Radius des einbeschriebenen Kreises und p der halbe Umfang des Dreiecks sind, die folgenden Identitäten halt:

• ctgA/2 = (p-a)/r;
• ctgB/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Anwendungen

Trigonometrie ist nicht nur eine theoretische Wissenschaft, die mit mathematischen Formeln verbunden ist. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, und viele andere.

Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind die Grundbegriffe der Trigonometrie, mit der man den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seitenlängen in einem Dreieck mathematisch ausdrücken und durch Identitäten, Sätze und Regeln die gesuchten Größen finden kann.

Vorlesung: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens eines beliebigen Winkels

Sinus, Cosinus eines beliebigen Winkels

Um zu verstehen, was trigonometrische Funktionen sind, wenden wir uns einem Kreis mit einem Einheitsradius zu. Dieser Kreis ist im Ursprung der Koordinatenebene zentriert. Um die gegebenen Funktionen zu bestimmen, verwenden wir den Radiusvektor ODER, die in der Mitte des Kreises beginnt, und dem Punkt R ist ein Punkt auf dem Kreis. Dieser Radiusvektor bildet mit der Achse einen Winkel Alpha OH. Da der Kreis einen Radius gleich eins hat, dann ODER = R = 1.

Wenn vom Punkt R fallen Sie eine Senkrechte auf die Achse OH, dann erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse gleich eins.

Wenn sich der Radiusvektor im Uhrzeigersinn bewegt, wird diese Richtung aufgerufen Negativ, aber wenn es sich gegen den Uhrzeigersinn bewegt - positiv.

Der Sinus eines Winkels ODER, ist die Ordinate des Punktes R Vektoren auf einem Kreis.

Das heißt, um den Wert des Sinus eines gegebenen Winkels Alpha zu erhalten, ist es notwendig, die Koordinate zu bestimmen Beim auf der Oberfläche.

Wie wurde dieser Wert ermittelt? Da wir wissen, dass der Sinus eines beliebigen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist, erhalten wir das

Und seit R = 1, dann sin(α) = y 0 .

Im Einheitskreis kann der Ordinatenwert nicht kleiner als -1 und größer als 1 sein, was bedeutet, dass

Der Sinus ist im ersten und zweiten Viertel des Einheitskreises positiv und im dritten und vierten negativ.

Kosinus eines Winkels gegebener Kreis, der durch den Radiusvektor gebildet wird ODER, ist die Abszisse des Punktes R Vektoren auf einem Kreis.

Das heißt, um den Wert des Kosinus eines gegebenen Winkels Alpha zu erhalten, ist es notwendig, die Koordinate zu bestimmen X auf der Oberfläche.

Der Kosinus eines beliebigen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse, das bekommen wir

Und seit R = 1, dann cos(α) = x 0 .

Im Einheitskreis kann der Wert der Abszisse nicht kleiner als -1 und größer als 1 sein, was bedeutet, dass

Der Kosinus ist im ersten und vierten Quadranten des Einheitskreises positiv und im zweiten und dritten negativ.

Tangentebeliebigen Winkel das Verhältnis von Sinus zu Cosinus wird berechnet.

Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck, dann ist dies das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten. Wenn wir von einem Einheitskreis sprechen, dann ist dies das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse.

Nach diesen Beziehungen zu urteilen, kann verstanden werden, dass die Tangente nicht existieren kann, wenn der Wert der Abszisse Null ist, dh bei einem Winkel von 90 Grad. Die Tangente kann alle anderen Werte annehmen.

Die Tangente ist im ersten und dritten Viertel des Einheitskreises positiv und im zweiten und vierten negativ.