Lektion und Präsentation zum Thema: "Funktion y=cos(x). Definition und Graph einer Funktion"

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Was werden wir studieren:
1. Definition.
2. Graph der Funktion.
3. Eigenschaften der Funktion Y=cos(X).
4. Beispiele.

Definition der Kosinusfunktion y=cos(x)

Leute, wir haben uns bereits mit der Funktion Y=sin(X) getroffen.

Erinnern wir uns an eine der Geisterformeln: sin(X + π/2) = cos(X).

Dank dieser Formel können wir behaupten, dass die Funktionen sin(X + π/2) und cos(X) identisch sind und ihre Funktionsgraphen gleich sind.

Der Graph der Funktion sin(X + π/2) wird aus dem Graphen der Funktion sin(X) durch paralleles Verschieben um π/2 Einheiten nach links erhalten. Dies ist der Graph der Funktion Y=cos(X).

Der Graph der Funktion Y=cos(X) wird auch als Sinuskurve bezeichnet.

cos(x)-Funktionseigenschaften

Schreiben wir die Eigenschaften unserer Funktion:
• Der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen.
• Die Funktion ist gerade. Erinnern wir uns an die Definition einer geraden Funktion. Eine Funktion wird auch dann aufgerufen, wenn die Gleichheit y(-x)=y(x) gilt. Wie wir uns von den Geisterformeln erinnern: cos(-x)=-cos(x), ist die Definition erfüllt, dann ist der Kosinus eine gerade Funktion.
• Die Funktion Y=cos(X) nimmt im Intervall ab und steigt im Intervall [π; 2π]. Wir können dies auf dem Graphen unserer Funktion überprüfen.
• Die Funktion Y=cos(X) ist nach unten und oben beschränkt. Diese Eigenschaft kommt daher, dass
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Der kleinste Wert der Funktion ist -1 (für x = π + 2πk). Der größte Wert der Funktion ist 1 (für x = 2πk).
• Die Funktion Y=cos(X) ist eine stetige Funktion. Schauen wir uns den Graphen an und vergewissern uns, dass unsere Funktion keine Lücken hat, was Stetigkeit bedeutet.
• Der Wertebereich ist das Segment [- 1; ein]. Dies ist auch deutlich aus der Grafik ersichtlich.
• Die Funktion Y=cos(X) ist eine periodische Funktion. Schauen wir uns den Graphen noch einmal an und sehen, dass die Funktion in einigen Intervallen die gleichen Werte annimmt.

Beispiele mit der cos(x)-Funktion

1. Lösen Sie die Gleichung cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Lösung: Bauen wir 2 Graphen der Funktion: y=cos(x) und y=(x - 2π) 2 + 1 (siehe Abbildung).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 ist eine um 2π nach rechts und um 1 nach oben verschobene Parabel. Unsere Graphen schneiden sich an einem Punkt A (2π; 1), dies ist die Antwort: x \u003d 2π.

2. Zeichnen Sie die Funktion Y=cos(X) für x ≤ 0 und Y=sin(X) für x ≥ 0

Lösung: Um den erforderlichen Graphen zu erstellen, zeichnen wir Stück für Stück zwei Graphen der Funktion. Erster Schnitt: y=cos(x) für x ≤ 0. Zweiter Schnitt: y=sin(x)
für x ≥ 0. Lassen Sie uns beide "Stücke" in einem Diagramm darstellen.

3. Finde den größten und kleinsten Wert der Funktion Y=cos(X) auf der Strecke [π; 7π/4]

Lösung: Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen und unser Segment [π; 7π/4]. Die Grafik zeigt, dass die größten und kleinsten Werte an den Enden des Segments erreicht werden: an den Punkten π bzw. 7π/4.
Antwort: cos(π) = -1 ist der kleinste Wert, cos(7π/4) = der größte Wert.

4. Zeichnen Sie die Funktion y=cos(π/3 - x) + 1

Lösung: cos(-x)= cos(x), dann erhält man den gewünschten Graphen, indem man den Graphen der Funktion y=cos(x) π/3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben verschiebt.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1) Lösen Sie die Gleichung: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Lösen Sie die Gleichung: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Zeichnen Sie die Funktion y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Zeichnen Sie die Funktion y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Finde den größten und kleinsten Wert der Funktion y=cos(x) auf dem Segment .
6) Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion y=cos(x) auf dem Intervall [- π/6; 5π/4].

"Graphen von Funktionen und ihre Eigenschaften" - y = ctg x. 4) Eingeschränkte Funktion. 3) Ungerade Funktion. (Der Graph der Funktion ist symmetrisch zum Ursprung). y = tx. 7) Die Funktion ist auf jedem Intervall der Form (?k; ? + ?k) stetig. Die Funktion y = tg x ist auf jedem Intervall der Form stetig. 4) Die Funktion nimmt in jedem Intervall der Form (?k; ? + ?k) ab. Der Graph der Funktion y \u003d tg x wird Tangente genannt.

"Graph der Funktion Y X" - Parabelvorlage y \u003d x2. Klicken Sie hier, um Diagramme anzuzeigen. Beispiel 2. Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion y = x2 + 1 erstellen, basierend auf dem Graphen der Funktion y=x2 (Mausklick). Beispiel 3. Lassen Sie uns beweisen, dass der Graph der Funktion y \u003d x2 + 6x + 8 eine Parabel ist, und einen Graphen erstellen. Der Graph der Funktion y=(x - m)2 ist eine Parabel mit einem Scheitelpunkt im Punkt (m; 0).

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Nun betrachten wir die Frage, wie man die trigonometrischen Funktionen mehrerer Winkel darstellt ωx, wo ω ist eine positive Zahl.

Um eine Funktion zu plotten y = Sünde ωx Vergleichen wir diese Funktion mit der bereits untersuchten Funktion y = Sünde x. Nehmen wir an, dass bei x = x 0 Funktion y = Sünde x nimmt einen Wert gleich 0 an. Dann

y 0 = Sünde x 0 .

Transformieren wir dieses Verhältnis wie folgt:

Daher die Funktion y = Sünde ωx beim X = x 0 / ω nimmt denselben Wert an beim 0 , das ist die Funktion y = Sünde x beim x= x 0 . Und das bedeutet, dass die Funktion y = Sünde ωx wiederholt seine Werte in ω mal häufiger als die Funktion y = Sünde x. Also der Graph der Funktion y = Sünde ωx erhalten durch "Komprimieren" des Graphen der Funktion y = Sünde x in ω mal entlang der x-Achse.

Zum Beispiel der Graph der Funktion y \u003d Sünde 2x erhalten durch "Komprimieren" der Sinuskurve y = Sünde x zweimal entlang der Abszisse.

Funktionsgraph y \u003d Sünde x / 2 erhalten durch zweimaliges "Dehnen" der Sinuskurve y \u003d sin x (oder "komprimieren") 1 / 2 mal) entlang der x-Achse.

Da die Funktion y = Sünde ωx wiederholt seine Werte in ω mal häufiger als die Funktion
y = Sünde x, dann seine Periode in ω mal kleiner als die Periode der Funktion y = Sünde x. Zum Beispiel die Periode der Funktion y \u003d Sünde 2x gleich 2π / 2 = π , und die Periode der Funktion y \u003d Sünde x / 2 gleich π / x / 2 = 4π .

Es ist interessant, das Verhalten der Funktion zu untersuchen y \u003d Sündenaxt am Beispiel von Animationen, die sehr einfach im Programm erstellt werden können Ahorn:

In ähnlicher Weise werden Graphen für andere trigonometrische Funktionen mehrerer Winkel konstruiert. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = cos 2x, die durch "Komprimieren" des Kosinus erhalten wird y = cos x zweimal entlang der x-Achse.

Funktionsgraph y = cos x / 2 erhalten durch "Strecken" der Kosinuswelle y = cos x zweimal entlang der x-Achse.

In der Abbildung sehen Sie einen Graphen der Funktion y = tg 2x, erhalten durch "Komprimieren" der Tangente y = tgx zweimal entlang der Abszisse.

Funktionsgraph y = tg x / 2 , erhalten durch "Strecken" der Tangente y = tgx zweimal entlang der x-Achse.

Und schließlich die vom Programm durchgeführte Animation Ahorn:

Übungen

1. Erstellen Sie Graphen dieser Funktionen und geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte dieser Graphen mit den Koordinatenachsen an. Bestimmen Sie die Perioden dieser Funktionen.

a). y=Sünde 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 g). y = cos 2x / 3

b). y = cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 h). y=ctg x / 3

in). y=tg 4x / 3 e). y = Sünde 2x / 3

2. Funktionsperioden definieren y \u003d Sünde (πx) und y = tg (πх / 2).

3. Geben Sie zwei Beispiele für eine Funktion, die alle Werte von -1 bis +1 (einschließlich dieser beiden Zahlen) annimmt und sich periodisch mit einer Periode von 10 ändert.

4 *. Geben Sie zwei Beispiele für Funktionen an, die alle Werte von 0 bis 1 (einschließlich dieser beiden Zahlen) annehmen und sich periodisch mit einem Punkt ändern π / 2.

5. Geben Sie zwei Beispiele für Funktionen an, die alle reellen Werte annehmen und sich periodisch mit Periode 1 ändern.

6 *. Geben Sie zwei Beispiele für Funktionen an, die alle negativen Werte und Null annehmen, aber keine positiven Werte annehmen und sich periodisch mit einer Periode von 5 ändern.