Ein riesiger Block Mathematik widmet sich der Arbeit mit Brüchen oder nicht ganzzahligen Zahlen. Sie werden sehr oft im Leben angetroffen, daher ist es für jede Person wichtig zu wissen, wie man mit solchen Zahlen umgeht. Mathematik ist eine Wissenschaft, in der der Schüler mit dem Wissen über einfache Dinge und Handlungen beginnt und dann zu komplexeren übergeht.
Kenntnisse und Fähigkeiten im Umgang mit ähnlichen Zahlen werden ihm künftig die Arbeit mit Logarithmen, rationalen Exponenten und Integralen erleichtern. Mit solchen Zahlen können Sie alles genauso machen wie mit gewöhnlichen: Brüche addieren, dividieren, subtrahieren und multiplizieren. Außerdem können sie reduziert werden. Das Arbeiten mit Brüchen ist einfach, die Hauptsache ist, die Grundregeln und Methoden zu ihrer Berechnung zu kennen.
Grundlegendes Konzept
Um zu verstehen, was diese Bedeutung ist, muss man sich ein bestimmtes ganzes Objekt vorstellen. Nehmen wir an, es gibt einen Kuchen, der in mehrere identische oder gleiche Stücke geschnitten wurde. Jedes Stück wird als Anteil bezeichnet.
Zum Beispiel besteht 10 aus 5 Zweien, jede Zwei ist ein Teil von Zehn.
Die Aktien haben ihre eigenen Namen, abhängig von ihrer Gesamtzahl in einer ganzen Zahl: 10 kann aus zwei Fünfen oder fünf Zweien bestehen, im ersten Fall wird es genannt (eine Sekunde), und im zweiten - 
(ein Fünftel). Es sei daran erinnert, dass es gleich der Hälfte der Zahl ist, (ein Drittel) - Drittel und (ein Viertel) - ein Viertel. Sie können auch durch einen Strich dargestellt werden: ½, 1/3 oder 1/5.
Eine Zahl, die über einer horizontalen Linie oder links von einer schrägen Linie steht, Zähler genannt- es zeigt an, wie viele Anteile von einer ganzen Zahl genommen wurden, und die Zahl steht unter dem Strich oder rechts davon - Nenner, es zeigt, wie viele Aktien geteilt wurden. Zum Beispiel wurde die Torte in 10 Stücke geteilt und gleich zwei davon für verspätete Gäste reserviert. Dies ist 2/10 (zwei Zehntel), d.h. nahm 2 (Zähler) Stücke von den insgesamt 10 (Nenner).
Was sind Aktien, was ist ein unechter Bruch, was ist ein gewöhnlicher Bruch? Diese Fragen sind einfach zu beantworten:
Eine gemischte Figur kann sich immer verwandeln in einen unechten Bruch umgekehrt.
Die Haupteigenschaft besagt: Beim Multiplizieren sowie Teilen von Dividende und Divisor durch den gleichen Faktor im Allgemeinen der Wert des Bruchs ändert sich nicht. Diese Eigenschaft macht alle Operationen mit Brüchen möglich.
Wie schneiden?
Die Hauptregel besagt, dass die Bruchzahl reduziert werden kann - teilen Sie Zähler und Nenner zum selben Teiler(anders als 0), so dass eine neue Ziffer mit kleineren Parametern erhalten wird, aber gleich dem ursprünglichen Wert. Basierend auf dieser Regel kann dies verstanden werden Brüche sind kürzbar und irreduzibel.
Ein Beispiel für Bruchreduktion: 8/24 wird gekürzt, indem seine Parameter durch 2 dividiert werden. Wir erhalten: 8:2=4 und 24:2=12. Als Ergebnis wird die ursprüngliche Zahl zu 4/12. Sie können die Operation wiederholen, indem Sie die Zahlen erneut teilen: 4:2=2 und 12:2=6. Wir bekommen 2/6. Wiederholen wir die Operation noch einmal: 2:2=1 und 6:2=3. Das Ergebnis ist die irreduzible Zahl 1/3, da ihre Parameter nicht mehr durch denselben Teiler geteilt werden können. Jede reduzierte Anzahl kann sein zum Irreduziblen führen.
Sie können reduzieren, wenn Sie Bruchausdrücke miteinander multiplizieren:
*. An sich sind diese Zahlen irreduzibel, aber durch Ausführen der Multiplikationsoperation können Sie sie diagonal reduzieren: * = =. Beim Multiplizieren kann man nur reduzieren kreuz und quer: der Zähler des ersten mit dem Nenner des zweiten und umgekehrt.
Sie können auch eine Mischfigur kürzen, d.h. den ganzzahligen Teil und den echten Bruch als unechten Bruch darstellen. Dafür Sollte gemacht werden einige Aktionen:
Auch das Umgekehrte gilt: Aus einem unechten Bruch einen gemischten Bruch machen. Betrachten Sie dazu die umgekehrte Aktion mit:
Auf diese Weise ist es möglich, Fraktionen in jeder Operation zu reduzieren. Sie können die Werte des Dividenden und Divisors reduzieren, indem Sie sie mit demselben Faktor multiplizieren und von einer gemischten Zahl in einen Bruch umwandeln und umgekehrt.
Mögliche Aktionen
Alle Hauptarten von Berechnungen sind beim Zählen von Anteilen sowie mit ganzen Zahlen verfügbar: Addition, Subtraktion und andere. Betrachten Sie jede Aktion separat mit Beispielen:
Addition und Subtraktion
Sie können Anteile abhängig von ihrem Divisor auf zwei Arten hinzufügen. Sie sind gleich und verschieden. Betrachten Sie ein Beispiel für das Addieren von Anteilen mit denselben Teilern.
Um + zu lösen, ist es notwendig, den Dividenden separat zu addieren und den Divisor nicht zu berühren: 1 + 1. Das Ergebnis wird eine Zahl sein, aber da es falsch ist, kann es in eine gemischte umgewandelt werden, indem der Dividende durch den Divisor geteilt wird: 2: 2 = 1. Es sollte immer (!) die falsche Aktie angegeben werden auf das Richtige und Irreduzible, D.h. wenn sein Dividende und sein Divisor durch denselben Faktor geteilt werden können, sollte dies in einer obligatorischen Reihenfolge erfolgen.
Bei der Addition von Aktien mit unterschiedlichen Teilern müssen diese zunächst erfolgen zum selben führen. Um beispielsweise zu lösen: benötigen Sie:
Die Subtraktion wird genauso durchgeführt: Bei identischen Teilern berühren wir sie nicht und subtrahieren die Zähler der Reihe nach: - = =
. Wenn die Nenner unterschiedlich sind, sollten Sie dasselbe tun wie bei der Addition: Finden Sie das LCM, Faktoren, multiplizieren Sie die Anteile und subtrahieren Sie dann die Anteile mit denselben Teilern.
Welche Brucharten gibt es?
Beginnen wir mit dem, was es ist. Ein Bruch ist eine Zahl, die einen Bruchteil von eins hat. Es kann in zwei Formen geschrieben werden. Die erste heißt gewöhnlich. Das heißt, einer, der einen horizontalen oder schrägen Strich hat. Es entspricht dem Divisionszeichen.
In einer solchen Notation wird die Zahl über dem Bindestrich als Zähler und darunter als Nenner bezeichnet.
Bei gewöhnlichen Brüchen werden richtige und falsche Brüche unterschieden. Bei ersterem ist der Modulo-Zähler immer kleiner als der Nenner. Die Falschen werden so genannt, weil sie das Gegenteil haben. Der Wert eines echten Bruchs ist immer kleiner als eins. Während die falsche immer größer als diese Zahl ist.
Es gibt auch gemischte Zahlen, also solche, die einen ganzzahligen und einen Bruchteil haben.
Die zweite Schreibweise ist dezimal. Über ihr separates Gespräch.
Was ist der Unterschied zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen?
Im Grunde nichts. Es ist nur eine andere Schreibweise derselben Zahl. Unechte Brüche werden nach einfachen Operationen leicht zu gemischten Zahlen. Umgekehrt.
Es hängt alles von der konkreten Situation ab. Manchmal ist es bei Aufgaben bequemer, einen unechten Bruch zu verwenden. Und manchmal ist es notwendig, es in eine gemischte Zahl zu übersetzen, und dann wird das Beispiel sehr einfach gelöst. Was zu verwenden ist: unechte Brüche, gemischte Zahlen - hängt von der Beobachtung des Problemlösers ab.
Die gemischte Zahl wird auch mit der Summe aus dem ganzzahligen Teil und dem Bruchteil verglichen. Außerdem ist die Sekunde immer kleiner als Eins.
Wie stellt man eine gemischte Zahl als unechten Bruch dar?
Wenn Sie eine Aktion mit mehreren Zahlen ausführen möchten, die in unterschiedlichen Formen geschrieben sind, müssen Sie sie gleich machen. Eine Methode besteht darin, Zahlen als unechte Brüche darzustellen.
Zu diesem Zweck müssen Sie den folgenden Algorithmus befolgen:
- den Nenner mit dem ganzzahligen Teil multiplizieren;
- addiere den Wert des Zählers zum Ergebnis;
- schreibe die Antwort über die Linie;
- den Nenner gleich lassen.
Hier sind Beispiele, wie man unechte Brüche aus gemischten Zahlen schreibt:
- 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
- 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.
Wie schreibt man einen unechten Bruch als gemischte Zahl?
Die nächste Methode ist das Gegenteil der oben diskutierten. Das heißt, wenn alle gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden. Der Aktionsalgorithmus sieht wie folgt aus:
- Teilen Sie den Zähler durch den Nenner, um den Rest zu erhalten;
- schreibe den Quotienten anstelle des ganzzahligen Teils des Gemischten;
- der Rest sollte über der Linie platziert werden;
- der Divisor ist der Nenner.
Beispiele für eine solche Transformation:
76/14; 76:14 = 5 mit einem Rest von 6; die Antwort ist 5 ganze Zahlen und 6/14; der Bruchteil in diesem Beispiel muss um 2 reduziert werden, Sie erhalten 3/7; Die endgültige Antwort ist 5 ganze 3/7.
108/54; nach Division erhält man ohne Rest den Quotienten 2; das bedeutet, dass nicht alle unechten Brüche als gemischte Zahl dargestellt werden können; Die Antwort ist eine Ganzzahl - 2.
Wie verwandelt man eine ganze Zahl in einen unechten Bruch?
Es gibt Situationen, in denen eine solche Aktion erforderlich ist. Um unechte Brüche mit einem vorgegebenen Nenner zu erhalten, müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:
- eine ganze Zahl mit dem gewünschten Nenner multiplizieren;
- schreiben Sie diesen Wert über die Linie;
- Platziere einen Nenner darunter.
Die einfachste Option ist, wenn der Nenner gleich eins ist. Dann braucht man nicht zu multiplizieren. Es reicht aus, einfach eine ganze Zahl zu schreiben, die im Beispiel angegeben ist, und eine Einheit unter den Strich zu setzen.
Beispiel: Mache 5 zu einem unechten Bruch mit einem Nenner von 3. Nachdem du 5 mit 3 multipliziert hast, erhältst du 15. Diese Zahl ist der Nenner. Die Antwort auf die Aufgabe ist ein Bruchteil: 15/3.
Zwei Ansätze zur Lösung von Aufgaben mit unterschiedlichen Zahlen
Im Beispiel sollen Summe und Differenz sowie Produkt und Quotient zweier Zahlen berechnet werden: 2 ganze Zahlen 3/5 und 14/11.
Im ersten Ansatz die gemischte Zahl wird als unechter Bruch dargestellt.
Nachdem Sie die oben beschriebenen Schritte ausgeführt haben, erhalten Sie den folgenden Wert: 13/5.
Um die Summe zu ermitteln, müssen Sie die Brüche auf denselben Nenner bringen. 13/5 multipliziert mit 11 ergibt 143/55. Und 14/11 nimmt nach Multiplikation mit 5 die Form an: 70/55. Um die Summe zu berechnen, müssen Sie nur die Zähler addieren: 143 und 70, und dann die Antwort mit einem Nenner aufschreiben. 213/55 - dieser unechte Bruch ist die Lösung des Problems.
Beim Finden der Differenz werden dieselben Zahlen subtrahiert: 143 - 70 = 73. Die Antwort ist ein Bruch: 73/55.
Wenn Sie 13/5 und 14/11 multiplizieren, müssen Sie nicht auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Multiplizieren Sie einfach die Zähler und Nenner paarweise. Die Antwort lautet: 182/55.
Ebenso bei der Teilung. Für die richtige Lösung müssen Sie die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor umdrehen: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.
Im zweiten Ansatz Aus einem unechten Bruch wird eine gemischte Zahl.
Nachdem die Aktionen des Algorithmus ausgeführt wurden, wird 14/11 zu einer gemischten Zahl mit einem ganzzahligen Teil von 1 und einem Bruchteil von 3/11.
Bei der Berechnung der Summe müssen Sie die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat addieren. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Die endgültige Antwort ist 3 ganze 48/55. Im ersten Anflug gab es einen Bruch 213/55. Sie können die Korrektheit überprüfen, indem Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln. Nachdem Sie 213 durch 55 geteilt haben, ist der Quotient 3 und der Rest 48. Es ist leicht zu sehen, dass die Antwort richtig ist.
Beim Subtrahieren wird das „+“-Zeichen durch „-“ ersetzt. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Um die Antwort aus dem vorherigen Ansatz zu überprüfen, müssen Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln: 73 wird durch 55 geteilt und Sie erhalten einen Quotienten von 1 und einen Rest von 18.
Um das Produkt und den Quotienten zu finden, ist es unpraktisch, gemischte Zahlen zu verwenden. Hier empfiehlt es sich immer, auf unechte Brüche auszuweichen.
Wie wandelt man einen unechten Bruch in einen richtigen um?
Das Wort selbst - ein Bruch bedeutet, dass die Zahl gebrochen ist, sie ist kleiner als ein Ganzes (mindestens eins).
Daher ist es notwendig, eine Ganzzahl aus dem Zähler zu extrahieren. Zum Beispiel ist die Zahl 30/4 ein falscher Bruch, da 30 größer als 4 ist. Sie müssen also nur 30 durch 4 teilen und erhalten die Zahl vor dem Dezimalkomma – 7 – und setzen sie dann vor den Bruch . Multiplizieren Sie 7 mit 4 und subtrahieren Sie diese Zahl von 30 – Sie erhalten 2 – sie wird im Zähler des Bruchs stehen. Das Ergebnis ist 7 2/4, wir reduzieren - 7 1/2. In Ihrem Beispiel lautet die Antwort 2 3/4.
Dazu benötigen Sie einen Nenner: den Nenner.
Die ganze Zahl, die sich herausstellte - schreiben Sie in den Zähler. Der Nenner ist derjenige, der war. Wenn Sie teilen, schreiben Sie es als ganzen Teil auf.
11:4=2 (3. Rest).
Wir erhalten den Bruchteil der Regel: 2 - bis zu 34
Um einen unechten Bruch in einen richtigen umzuwandeln, musst du die ganzen Teile identifizieren und sie vom unechten Bruch subtrahieren. In unserem Fall ist der unechte Bruch 11/4. Es wird zwei (2) ganze Teile geben. Wir subtrahieren sie und erhalten den richtigen Bruch: zwei Komma drei Viertel (2 Komma 3/4).
Ein unechter Bruch, in unserem Fall 11/4, muss in einen richtigen umgewandelt werden, d.h. in diesem Fall eine gemischte Fraktion. Wenn auf einfache Weise, dann ist der Bruch falsch, weil neben dem Bruch auch eine ganze Zahl drin ist. Es ist, als würde ein Kuchen im Kühlschrank stehen, der nicht fertig, wenn auch angeschnitten ist, und auf dem Tisch noch ein paar Stücke vom zweiten übrig sind. Wenn wir von 11/4 sprechen, kennen wir nicht mehr zwei ganze Kuchen, wir sehen nur noch elf große Stücke. 11 geteilt durch 4 ergibt 2 und der Rest ist 11-8=3. Also, 2 ganze 3/4, jetzt stimmt der Bruch, darin wird der Zähler kleiner als der Nenner, aber gemischt, da die Berechnung nicht ohne ganze Einheiten auskommen könnte.
Um einen unechten Bruch in einen richtigen Bruch umzuwandeln, dividiere den Zähler durch den Nenner. Die resultierende Ganzzahl wird vor dem Bruch herausgenommen und der Rest in den Zähler eingetragen. Der Nenner ändert sich nicht.
Beispiel: 11/4 ist ein unechter Bruch, bei dem der Zähler 11 und der Nenner 4 ist.
Zuerst teilen wir 11 durch 4, wir erhalten 2 ganze Zahlen und 3 Rest. Wir nehmen 2 vor dem Bruch heraus und schreiben den Rest 3 in den Zähler 3/4. Somit wird der Bruch regulär - 2 ganze Zahlen und 3/4.
Bei einem unechten Bruch ist der Nenner kleiner als der Zähler, was darauf hinweist, dass dieser Bruch ganzzahlige Teile hat, die unterschieden und als echter Bruch mit einer ganzen Zahl erhalten werden können.
Der einfachste Weg, den Zähler durch den Nenner zu dividieren. Die resultierende ganze Zahl wird links vom Bruch gesetzt und der Rest wird in den Zähler geschrieben, der Nenner bleibt gleich.
Zum Beispiel 4.11. Wir teilen 11 durch 4 und erhalten 2 und den Rest 3. Zwei ist die Zahl, die wir neben den Bruch schreiben, und wir schreiben die Drei in den Zähler des Bruchs. Kommt 2 und 3/4 heraus.
Um diese einfache Frage zu beantworten, können Sie dasselbe einfache Problem lösen:
Petya und Valya kamen in die Gesellschaft ihrer Altersgenossen. Insgesamt waren es 11. Valya hatte Äpfel dabei (aber nicht viele) und um alle zu verwöhnen, schnitt Petya jeden in vier Teile und verteilte sie. Genug für alle und sogar noch fünf Stück übrig.
Wie viele Äpfel hat Petya verteilt und wie viele Äpfel sind noch übrig? Wie viele waren es?
Kannst du das mathematisch aufschreiben?
11 Apfelscheiben, in unserem Fall 11/4, erhalten einen unechten Bruch, da der Zähler größer als der Nenner ist.
Um den ganzen Teil hervorzuheben (Konvertieren unechter Bruch zu eigentlichem Bruch), brauchst du Teile den Zähler durch den Nenner, der unvollständige Quotient (in unserem Fall ist es 2) wird links geschrieben, der Rest (3) bleibt im Zähler und der Nenner wird nicht berührt.
Als Ergebnis erhalten wir 11/4 = 11:4 = 2 3/4 Peter verteilte die Äpfel.
Ebenso bleiben 5/4 = 1 1/4 Äpfel übrig.
(11+5)/4 = 16/4 = 4 Äpfel, die Valya mitgebracht hat
Dezimalzahlen wie 0,2; 1,05; 3.017 usw. wie sie gehört werden, so werden sie geschrieben. Null Komma zwei, wir bekommen einen Bruchteil. Ein ganzes Fünfhundertstel, wir bekommen einen Bruchteil. Drei ganze siebzehn Tausendstel, wir bekommen einen Bruchteil. Die Ziffern vor dem Dezimalpunkt einer Dezimalzahl sind der ganzzahlige Teil des Bruchs. Die Zahl nach dem Komma ist der Zähler des zukünftigen Bruchs. Wenn nach dem Komma eine einstellige Zahl steht, ist der Nenner 10, wenn zweistellig - 100, dreistellig - 1000 usw. Einige der resultierenden Fraktionen können reduziert werden. In unseren Beispielen 
Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln
Dies ist die Umkehrung der vorherigen Transformation. Was ist ein Dezimalbruch? Ihr Nenner ist immer 10 oder 100 oder 1000 oder 10.000 und so weiter. Wenn dein üblicher Bruch einen solchen Nenner hat, gibt es kein Problem. Zum Beispiel, oder
Wenn zum Beispiel ein Bruchteil . In diesem Fall müssen Sie die Grundeigenschaft des Bruchs verwenden und den Nenner in 10 oder 100 oder 1000 umwandeln ... Wenn wir in unserem Beispiel Zähler und Nenner mit 4 multiplizieren, erhalten wir einen Bruch, der geschrieben werden kann als Dezimalzahl 0,12.
Manche Brüche sind einfacher zu dividieren als den Nenner umzurechnen. Zum Beispiel,
Einige Brüche können nicht in Dezimalzahlen umgewandelt werden!
Zum Beispiel,
Einen gemischten Bruch in einen unechten umwandeln
Ein gemischter Bruch wie , lässt sich leicht in einen unechten Bruch umwandeln. Dazu müssen Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner (unten) multiplizieren und zum Zähler (oben) addieren, wobei der Nenner (unten) unverändert bleibt. Also
Wenn du einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandelst, kannst du daran denken, dass du Brüche addieren kannst
Einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln (den ganzen Teil hervorheben)
Ein unechter Bruch kann in einen gemischten Bruch umgewandelt werden, indem der ganze Teil markiert wird. Betrachten Sie ein Beispiel, . Bestimmen Sie, wie viele ganzzahlige mal „3“ in „23“ passen. Oder wir teilen 23 auf dem Taschenrechner durch 3, die ganze Zahl bis zum Komma ist die gewünschte. Das ist „7“. Als nächstes bestimmen wir den Zähler des zukünftigen Bruchs: Wir multiplizieren das Ergebnis „7“ mit dem Nenner „3“ und subtrahieren das Ergebnis vom Zähler „23“. 
Wie würden wir den Überschuss finden, der vom Zähler „23“ übrig bleibt, wenn wir die maximale Zahl von „3“ entfernen? Der Nenner bleibt unverändert. Alles ist erledigt, notieren Sie das Ergebnis
Jede Person hatte beim Lösen von Problemen aus der Mathematik oft Probleme mit Brüchen. Es gibt viele von ihnen, daher werden wir verschiedene Optionen zur Lösung der wichtigsten Probleme dieser Art in Betracht ziehen.
Was sind Brüche
Die obere Zahl eines Bruchs wird Zähler genannt, die untere Zahl Nenner. Ein gewöhnlicher Bruch ist ein Quotient aus zwei Zahlen, eine dieser Zahlen steht im Zähler des Bruchs, die zweite im Nenner des Bruchs. Die Arten dieser gewöhnlichen Brüche werden bestimmt, indem der Nenner und der Zähler des Bruchs verglichen werden.
Wenn der Nenner eines Bruchs (einer natürlichen Zahl) größer ist als der Zähler eines Bruchs (einer natürlichen Zahl), dann heißt der Bruch echt. Hier sind einige Beispiele: 7/19; 13.9.; 31/152; 17.5.
Wenn der Nenner eines Bruchs (einer natürlichen Zahl) kleiner oder gleich dem Zähler eines Bruchs (einer natürlichen Zahl) ist, dann wird der Bruch als unechter Bruch bezeichnet. Hier sind einige Beispiele: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.
Wie übersetze ich einen unechten Bruch?
Um einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umzuwandeln, müssen Sie den ganzzahligen Teil des Bruchs mit dem Nenner im Bruchteil multiplizieren und den Zähler zu diesem Produkt hinzufügen. Nimm dann die Summe als Zähler und schreibe den gleichen Nenner wie zuvor. Hier sind einige Beispiele:
- 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
- 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.
Um einen unechten Bruch in einen echten Bruch umzuwandeln, musst du den Zähler dieses unechten Bruchs durch seinen Nenner dividieren. Die resultierende Ganzzahl wird als ganzzahliger Teil des Bruchs genommen, und der Rest (natürlich, falls vorhanden) wird als Zähler des Bruchteils des richtigen Bruchs genommen, wobei derselbe Nenner wie zuvor geschrieben wird. Hier sind einige Beispiele:
- 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
- 156/12 = (13x12)/12 = 13.
Um einen unechten Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie herausfinden, ob ein solcher Faktor existiert, der es Ihnen ermöglicht, den Nenner des Bruchteils des unechten Bruchs auf eine Zahl zu bringen, die gleich zehn ist (oder zehn erhöht auf eine beliebige Zahl). Potenzen (10, 100, 1000 und mehr) Wenn es einen solchen Faktor gibt, dann ist es notwendig, Zähler und Nenner des unechten Bruchs mit diesem Faktor zu multiplizieren, um ihn zu überprüfen , zum ganzzahligen Teil des unechten Bruchs. Wir geben Beispiele:
- Multiplikator "5" - 8/20 = (8x5) / (20x5) = 40/100 = 0,4.
- Multiplikator "4" - 14/25 = (14x4) / (25x4) = 56/100 = 0,56.
- Multiplikator "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.
Wenn kein solcher Faktor existiert, bedeutet dies, dass dieser unechte Dezimalbruch kein eindeutiges Äquivalent hat. Das heißt, nicht jeder unechte Bruch kann in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. In diesem Fall müssen Sie den ungefähren Wert des Bruchs mit der erforderlichen Genauigkeit ermitteln. Sie können einen solchen Bruch auf einem Taschenrechner, in Gedanken oder in einer Spalte berechnen. Hier einige Beispiele: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (auf Zehntel gerundet), = 5,86 (auf Hundertstel gerundet), = 5,857 (auf Tausendstel gerundet); 3/7, 7/6, 1/3 und andere. Sie sind auch nicht eindeutig übersetzt und werden auf einem Taschenrechner, im Kopf oder in einer Spalte gezählt.
Jetzt wissen Sie, wie man unechte Brüche in echte oder dezimale Brüche umwandelt!
Einfache mathematische Regeln und Tricks werden, wenn sie nicht ständig angewendet werden, am schnellsten vergessen. Begriffe verschwinden noch schneller aus dem Gedächtnis.
Eine dieser einfachen Aktionen ist die Umwandlung eines unechten Bruchs in einen echten, oder mit anderen Worten, einen gemischten Bruch.
Unechter Bruch
Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler (die Zahl über dem Bruchstrich) größer oder gleich dem Nenner (die Zahl unter dem Strich) ist. Einen solchen Bruch erhält man, indem man Brüche addiert oder einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert. Nach den Regeln der Mathematik muss ein solcher Bruch in einen regulären umgewandelt werden.
Richtiger Bruchteil
Es ist logisch anzunehmen, dass alle anderen Brüche als korrekt bezeichnet werden. Strenge Definition - ein korrekter Bruch wird aufgerufen, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist. Ein Bruch mit einem ganzzahligen Teil wird manchmal als gemischter Bruch bezeichnet.
Umwandlung eines unechten Bruchs in einen echten Bruch
- Erster Fall: Zähler und Nenner sind gleich. Als Ergebnis der Transformation eines solchen Bruchteils wird einer erhalten. Es spielt keine Rolle, ob es drei Drittel oder einhundertfünfundzwanzig einhundertfünfundzwanzig sind. Tatsächlich bezeichnet ein solcher Bruch die Handlung, eine Zahl durch sich selbst zu teilen.
- Zweiter Fall: Der Zähler ist größer als der Nenner. Hier müssen Sie sich an die Methode zum Teilen von Zahlen mit einem Rest erinnern.
Dazu müssen Sie die Zahl finden, die dem Wert des Zählers am nächsten kommt, der ohne Rest durch den Nenner teilbar ist. Zum Beispiel haben Sie einen Bruchteil von neunzehn Dritteln. Die nächste Zahl, die durch drei geteilt werden kann, ist achtzehn. Nimm sechs. Subtrahiere nun die resultierende Zahl vom Zähler. Wir bekommen eine Einheit. Das ist der Rest. Schreiben Sie das Ergebnis der Transformation auf: sechs ganze Zahlen und ein Drittel.
Aber bevor du den Bruch auf die richtige Form bringst, musst du prüfen, ob er sich kürzen lässt.
Ein Bruch kann gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Also eine Zahl, durch die beide ohne Rest teilbar sind. Wenn es mehrere solcher Teiler gibt, müssen Sie den größten finden.
Zum Beispiel haben alle geraden Zahlen einen gemeinsamen Teiler – zwei. Und der Bruch von sechzehntel Zwölftel hat einen weiteren gemeinsamen Teiler - vier. Dies ist der größte Teiler. Teile Zähler und Nenner durch vier. Reduktionsergebnis: vier Drittel. Wandeln Sie diesen Bruch nun als Übung in einen echten Bruch um.
In diesem Material werden wir so etwas wie gemischte Zahlen analysieren. Wir beginnen wie immer mit einer Definition und kleinen Beispielen, dann erklären wir den Zusammenhang zwischen gemischten Zahlen und unechten Brüchen. Danach lernen wir, wie man den ganzzahligen Teil korrekt aus einem Bruch extrahiert und als Ergebnis eine ganze Zahl erhält.
Das Konzept einer gemischten Zahl
Wenn wir die Summe n + a b nehmen, wobei der Wert von n jede natürliche Zahl sein kann und a b ein echter gewöhnlicher Bruch ist, dann können wir dasselbe schreiben, ohne ein Plus zu verwenden: n a b . Nehmen wir zur Verdeutlichung konkrete Zahlen: 28 + 5 7 ist also dasselbe wie 28 5 7 . Das Schreiben eines Bruchs neben einer ganzen Zahl wird als gemischte Zahl bezeichnet.
Bestimmung 1
gemischte Zahl ist eine Zahl, die gleich der Summe einer natürlichen Zahl n mit einem echten gewöhnlichen Bruch a b ist. In diesem Fall ist n der ganzzahlige Teil der Zahl und a b ist ihr Bruchteil.
Aus der Definition folgt, dass jede gemischte Zahl gleich dem ist, was sich aus der Addition ihrer ganzen und gebrochenen Teile ergibt. Somit gilt die Gleichheit n a b = n + a b.
Es kann auch geschrieben werden als n + a b = n a b .
Was sind einige Beispiele für gemischte Zahlen? 5 1 8 gehört ihnen also, während fünf ihr ganzer Teil und ein Achtel ein Bruchteil ist. Weitere Beispiele: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 .
Wir haben oben geschrieben, dass nur ein echter Bruch im Bruchteil einer gemischten Zahl stehen sollte. Manchmal finden Sie Einträge wie 5 22 3 , 75 7 2 . Sie sind keine gemischten Zahlen, weil ihr Bruchteil ist falsch. Sie sind als Summe einer ganzen Zahl und eines Bruchteils zu verstehen. Solche Zahlen können auf standardmäßige gemischte Zahlen reduziert werden, indem der ganzzahlige Teil des unechten Bruchs genommen und in diesen Beispielen zu 5 bzw. 75 addiert wird.
Auch Zahlen der Form 0 3 14 werden nicht gemischt. Der erste Teil der Bedingung ist hier nicht erfüllt: Der ganzzahlige Teil darf nur durch eine natürliche Zahl dargestellt werden, Null nicht.
Wie hängen unechte Brüche und gemischte Zahlen zusammen?
Am einfachsten lässt sich dieser Zusammenhang an einem konkreten Beispiel nachvollziehen.
Beispiel 1
Nehmen wir einen ganzen Kuchen und noch drei Viertel davon. Nach den Additionsregeln haben wir 1 + 3 4 Kuchen auf dem Tisch. Diese Summe kann als gemischte Zahl als 1 3 4 Kuchen dargestellt werden. Wenn wir einen ganzen Kuchen nehmen und ihn auch in vier gleiche Teile schneiden, dann haben wir 7 4 Kuchen auf dem Tisch. Offensichtlich hat sich die Menge durch das Schneiden nicht erhöht, und 1 3 4 = 7 4 .
Unser Beispiel beweist, dass jeder unechte Bruch als gemischte Zahl dargestellt werden kann.
Kommen wir zurück zu unseren 7 4 Kuchen, die noch auf dem Tisch liegen. Setzen wir einen Kuchen aus seinen Stücken zurück (1 + 3 4). Wir haben wieder 1 3 4 .
Antworten: 7 4 = 1 3 4 .
Wir haben herausgefunden, wie man einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umwandelt. Wenn der Zähler eines unechten Bruchs eine Zahl enthält, die ohne Rest durch den Nenner teilbar ist, dann kannst du das tun, und dann wird unser unechter Bruch zu einer natürlichen Zahl.
Beispiel 2
Zum Beispiel,
8 4 = 2 seit 8: 4 = 2 .
Wie man eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandelt
Um Probleme erfolgreich zu lösen, ist es hilfreich, die umgekehrte Aktion ausführen zu können, dh aus gemischten Zahlen unechte Brüche zu machen. In diesem Absatz werden wir analysieren, wie man es richtig macht.
Dazu müssen Sie die folgende Aktionsfolge reproduzieren:
1. Zunächst stellen wir die verfügbare gemischte Zahl n a b als Summe aus ganzzahligem und gebrochenem Anteil dar. Es stellt sich heraus n + a b
3. Danach führen wir eine bereits bekannte Aktion aus - wir addieren zwei gewöhnliche Brüche n 1 und a b. Der resultierende unechte Bruch ist gleich der in der Bedingung angegebenen gemischten Zahl.
Analysieren wir diese Aktion an einem konkreten Beispiel.
Beispiel 3
Schreibe 5 3 7 als unechten Bruch.
Entscheidung
Wir führen die Schritte des obigen Algorithmus nacheinander aus. Unsere Zahl 5 3 7 ist die Summe der ganzen und gebrochenen Teile, also 5 + 3 7. Lassen Sie uns nun die fünf als 5 1 schreiben. Wir haben die Summe 5 1 + 3 7 erhalten.
Der letzte Schritt besteht darin, Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren:
5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7
Die ganze Lösung der Kurzform kann geschrieben werden als 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 .
Antworten: 5 3 7 = 38 7 .
Mit Hilfe der obigen Wirkungskette können wir also jede gemischte Zahl n a b in einen unechten Bruch umwandeln. Wir haben die Formel n a b = n b + a b erhalten, die wir verwenden werden, um weitere Probleme zu lösen.
Beispiel 4
Schreibe 15 2 5 als unechten Bruch.
Entscheidung
Nehmen Sie diese Formel und ersetzen Sie sie durch die gewünschten Werte. Wir haben n = 15 , a = 2 , b = 5 , also 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5 .
Antworten: 15 2 5 = 77 5 .
Normalerweise führen wir den unechten Bruch nicht als endgültige Antwort auf. Es ist üblich, die Berechnungen abzuschließen und sie entweder durch eine natürliche Zahl (Teilen des Zählers durch den Nenner) oder eine gemischte Zahl zu ersetzen. In der Regel wird die erste Methode verwendet, wenn es möglich ist, den Zähler ohne Rest durch den Nenner zu teilen, und die zweite - wenn eine solche Aktion unmöglich ist.
Wenn wir den ganzen Teil aus einem unechten Bruch extrahieren, ersetzen wir ihn einfach durch eine gleiche gemischte Zahl.
Mal sehen, wie genau das gemacht wird.
Bestimmung 2
Wir präsentieren einen Beweis dieser Behauptung.
Wir müssen erklären, warum q r b = a b . Dazu muss die gemischte Zahl q r b als unechter Bruch dargestellt werden, indem alle Schritte des Algorithmus aus dem vorherigen Absatz befolgt werden. Da ein unvollständiger Quotient ist und r der Rest der Division von a durch b ist, muss die Gleichheit a = b · q + r gelten.
Also q b + r b = a b also q r b = a b . Dies ist der Beweis unserer Behauptung. Zusammenfassen:
Bestimmung 3
Die Auswahl des ganzzahligen Teils aus dem unechten Bruch a b erfolgt wie folgt:
1) Wir teilen a durch b mit Rest und schreiben den unvollständigen Quotienten q und den Rest r getrennt.
2) Schreiben Sie die Ergebnisse als q r b . Dies ist unsere gemischte Zahl, gleich dem ursprünglichen unechten Bruch.
Beispiel 5
Drücken Sie 1074 als gemischte Zahl aus.
Entscheidung
Wir teilen 104 durch 7 in einer Spalte:
Die Division des Zählers a = 118 durch den Nenner b = 7 ergibt den unvollständigen Quotienten q = 16 und den Rest r = 6.
Als Ergebnis erhalten wir, dass der unechte Bruch 118 7 gleich der gemischten Zahl q r b = 16 6 7 ist.
Antworten: 118 7 = 16 6 7 .
Es bleibt uns noch zu sehen, wie man einen unechten Bruch durch eine natürliche Zahl ersetzt (vorausgesetzt, ihr Zähler ist ohne Rest durch den Nenner teilbar).
Denken Sie dazu daran, welche Beziehung zwischen gewöhnlichen Brüchen und der Division besteht. Daraus können wir die Gleichungen ableiten: a b = a: b = c . Es stellt sich heraus, dass der unechte Bruch a b durch eine natürliche Zahl c ersetzt werden kann.
Beispiel 6
Wenn sich beispielsweise herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch 27 3 ist, können wir stattdessen 9 schreiben, da 27 3 \u003d 27: 3 \u003d 9.
Antworten: 27 3 = 9 .
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