Anwendung

Die Lösung des Derivats zur Website, um das von Studenten und Schülern abgedeckte Material zu konsolidieren. Die Berechnung der Ableitung einer Funktion in wenigen Sekunden ist nicht schwierig, wenn Sie unseren Online-Problemlösungsdienst nutzen. Jeder dritte Student wird in der Lage sein, eine detaillierte Analyse für ein gründliches Studium in einer praktischen Lektion zu geben. Oft werden wir von der Abteilung der zuständigen Abteilung zur Förderung der Mathematik in den Bildungseinrichtungen des Landes angesprochen. Wie in diesem Fall ganz zu schweigen von der Online-Lösung der Ableitung für einen abgeschlossenen Raum von Zahlenfolgen. Viele wohlhabende Privatpersonen dürfen ihrer Verwunderung Ausdruck verleihen. Aber in der Zwischenzeit sitzen Mathematiker nicht still und arbeiten hart. Die Änderung der Eingabeparameter nach linearen Merkmalen wird vom Ableitungsrechner hauptsächlich aufgrund der Suprema der absteigenden Positionen der Würfel akzeptiert. Das Ergebnis ist als Oberfläche unvermeidlich. Als Ausgangsdaten erspart das Online-Derivat unnötige Schritte. Außer fiktive Hausaufgaben. Abgesehen davon, dass das Online-Lösen von Ableitungen ein notwendiger und wichtiger Aspekt des Mathematiklernens ist, erinnern sich Schüler oft nicht an Probleme aus der Vergangenheit. Der Student versteht dies wie ein faules Geschöpf. Aber Studenten sind lustige Leute! Entweder tun Sie es nach den Regeln, oder die Ableitung der Funktion in einer schiefen Ebene kann einen materiellen Punkt beschleunigen. Lassen Sie uns den Vektor des absteigenden räumlichen Strahls irgendwohin lenken. In der gewünschten Antwort scheint das Finden der Ableitung aufgrund der Instabilität des mathematischen Systems eine abstrakte theoretische Richtung zu sein. Stellen Sie sich ein Zahlenverhältnis als eine Folge ungenutzter Optionen vor. Der Kommunikationskanal wurde mit der fünften Linie entlang des absteigenden Vektors vom Punkt der geschlossenen Verzweigung des Würfels aufgefüllt. Auf der Ebene gekrümmter Räume führt uns das Online-Lösen der Ableitung zu einer Schlussfolgerung, die die größten Köpfe des Planeten im letzten Jahrhundert zum Nachdenken brachte. Im Zuge der Veranstaltungen aus dem Bereich der Mathematik wurden fünf grundlegend wichtige Faktoren, die zur Verbesserung der Position der Variablenwahl beitragen, in die öffentliche Diskussion gebracht. Das Punktegesetz besagt also, dass das Online-Derivat nicht in jedem Fall detailliert berechnet wird, nur ein loyal fortschreitender Moment kann eine Ausnahme sein. Die Prognose brachte uns in eine neue Entwicklungsrunde. Wir brauchen ein Ergebnis. In der Linie der unter der Oberfläche verlaufenden mathematischen Steigung befindet sich der Rechner der Modenableitungen im Bereich des Schnittpunkts der Produkte auf dem Biegesatz. Es bleibt die Differenzierung der Funktion an ihrem unabhängigen Punkt in der Nähe der Epsilon-Nachbarschaft zu analysieren. Das sieht jeder in der Praxis. Infolgedessen wird es in der nächsten Phase der Programmierung etwas zu entscheiden geben. Der Student braucht das Online-Derivat wie immer, unabhängig von den imaginären Studien, die praktiziert werden. Es stellt sich heraus, dass die Online-Lösung der Ableitungsfunktion multipliziert mit einer Konstanten nicht die allgemeine Bewegungsrichtung des materiellen Punktes ändert, sondern die Geschwindigkeitszunahme in einer geraden Linie charakterisiert. In diesem Sinne ist es nützlich, unseren Ableitungsrechner anzuwenden und alle Werte einer Funktion für den gesamten Satz ihrer Definition zu berechnen. Es ist einfach nicht nötig, die Kraftwellen des Gravitationsfeldes zu studieren. In keinem Fall wird die Online-Derivatlösung die Neigung des ausgehenden Strahls anzeigen, aber nur in seltenen Fällen, wenn es wirklich notwendig ist, können sich Universitätsstudenten dies vorstellen. Wir untersuchen den Auftraggeber. Der Wert des kleinsten Rotors ist vorhersagbar. Wenden Sie auf das Ergebnis die nach rechts gerichteten Linien an, entlang derer die Kugel beschrieben wird, aber der Online-Ableitungsrechner ist die Grundlage für Zahlen mit besonderer Stärke und nichtlinearer Abhängigkeit. Der Mathematik-Projektbericht ist fertig. Persönliche Eigenschaften Die Differenz der kleinsten Zahlen und die Ableitung der Funktion entlang der y-Achse bringen die Konkavität derselben Funktion auf die Höhe. Es gibt eine Richtung - es gibt eine Schlussfolgerung. Es ist einfacher, die Theorie in die Praxis umzusetzen. Es gibt einen Vorschlag von Studierenden zum Zeitpunkt des Studienbeginns. Brauche die Antwort eines Lehrers. Auch hier wird das mathematische System wie in der vorherigen Position nicht auf der Grundlage einer Aktion reguliert, die beim Auffinden der Ableitung hilft.Wie die niedrigere halblineare Version zeigt die Online-Ableitung im Detail die Identifizierung der Lösung gemäß an degeneriertes bedingtes Gesetz. Stellen Sie einfach die Idee vor, Formeln zu berechnen. Die lineare Differentiation einer Funktion weist die Wahrheit der Lösung zurück, indem sie einfach irrelevante positive Variationen auslegt. Die Bedeutung der Vergleichszeichen wird als kontinuierlicher Bruch der Funktion entlang der Achse angesehen. Dies ist laut dem Studenten die Bedeutung der bewusstesten Schlussfolgerung, in der das Online-Derivat etwas anderes als ein treues Beispiel mathematischer Analyse ist. Der Radius eines gekrümmten Kreises im euklidischen Raum hingegen gab dem Ableitungsrechner eine natürliche Darstellung des Austauschs entscheidender Probleme für die Stabilität. Die beste Methode ist gefunden. Es war einfacher, die Aufgabe zu leveln. Lassen Sie die Anwendbarkeit des unabhängigen Differenzenanteils zur Lösung der Ableitungen online führen. Die Lösung dreht sich um die x-Achse und beschreibt die Figur eines Kreises. Es gibt einen Ausweg, und er basiert auf Forschung, die von Universitätsstudenten theoretisch unterstützt wird, von der jeder lernt, und sogar zu diesen Zeitpunkten gibt es eine Ableitung der Funktion. Wir haben einen Weg gefunden, um voranzukommen, und die Studenten haben ihn bestätigt. Wir können es uns leisten, die Ableitung zu finden, ohne über einen unnatürlichen Ansatz zur Transformation des mathematischen Systems hinauszugehen. Das linke Proportionalzeichen wächst exponentiell als mathematische Darstellung des Online-Ableitungsrechners aufgrund des unbekannten Umstands linearer Multiplikatoren auf der unendlichen y-Achse. Mathematiker auf der ganzen Welt haben die Exklusivität des Produktionsprozesses bewiesen. Innerhalb eines Kreises gibt es gemäß der Beschreibung der Theorie ein kleinstes Quadrat. Auch hier wird das Online-Derivat unsere Vermutung weiter ausführen, was die theoretisch verfeinerte Meinung überhaupt beeinflusst haben könnte. Es gab Meinungen anderer Art als in dem von uns analysierten Bericht. Gesonderte Aufmerksamkeit darf Studenten unserer Fakultäten nicht widerfahren, aber nur nicht klugen und fortgeschrittenen Mathematikern, bei denen die Differenzierung einer Funktion nur eine Ausrede ist. Die mechanische Bedeutung der Ableitung ist sehr einfach. Die Auftriebskraft wird als Online-Ableitung für abfallende Beharrungsräume über die Zeit berechnet. Offensichtlich ist der Ableitungsrechner ein rigoroser Prozess zur Beschreibung des Problems der Entartung einer künstlichen Transformation als amorpher Körper. Die erste Ableitung spricht von einer Änderung der Bewegung eines materiellen Punktes. Der dreidimensionale Raum wird offensichtlich im Zusammenhang mit speziell trainierten Technologien zum Lösen von Ableitungen online betrachtet, eigentlich ist er in jedem Kolloquium zum Thema mathematische Disziplin. Die zweite Ableitung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung eines materiellen Punktes und bestimmt die Beschleunigung. Der auf der Verwendung einer affinen Transformation basierende Meridianansatz bringt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt aus dem Definitionsbereich dieser Funktion auf eine neue Ebene. Ein Online-Ableitungsrechner kann in manchen Fällen nicht ohne Zahlen und Symbole für den richtigen ausführbaren Moment auskommen, abgesehen von der umwandelbaren Anordnung der Dinge der Aufgabe. Überraschenderweise gibt es eine zweite Beschleunigung eines materiellen Punktes, diese charakterisiert die Beschleunigungsänderung. In kurzer Zeit werden wir beginnen, die Lösung des Derivats online zu studieren, aber sobald ein bestimmter Meilenstein im Wissen erreicht ist, wird unser Schüler diesen Prozess beenden. Das beste Mittel zum Netzwerken ist ein Live-Chat zu einem mathematischen Thema. Es gibt Grundsätze, die auf keinen Fall verletzt werden dürfen, egal wie schwierig die Aufgabe ist. Es ist sinnvoll, das Derivat rechtzeitig und fehlerfrei online zu finden. Dies führt zu einer neuen Position des mathematischen Ausdrucks. Das System ist stabil. Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist nicht so populär wie die mechanische. Es ist unwahrscheinlich, dass sich jemand daran erinnert, wie die Online-Ableitung im Detail auf der Ebene den Umriss der Linien der Funktion zur Normalen aus dem Dreieck neben der x-Achse abgeleitet hat. Der Mensch verdient eine große Rolle in der Forschung des letzten Jahrhunderts. Führen wir in drei elementaren Stufen die Differentiation der Funktion an Punkten sowohl aus dem Definitionsbereich als auch im Unendlichen durch. Es wird nur im Studienbereich geschrieben, kann aber den Hauptvektor in Mathematik und Zahlentheorie ersetzen, sobald das, was passiert, den Online-Derivaterechner mit dem Problem verbindet. Es würde einen Grund geben, aber es wird einen Grund geben, eine Gleichung aufzustellen. Es ist sehr wichtig, alle Eingabeparameter im Auge zu behalten. Das Beste wird nicht immer frontal genommen, dahinter steckt ein kolossaler Arbeitsaufwand der besten Köpfe, die wussten, wie das Online-Derivat im Weltraum berechnet wird. Seitdem wird die Konvexität als Eigenschaft einer stetigen Funktion betrachtet. Dennoch ist es besser, sich zunächst die Aufgabe zu stellen, Derivate in kürzester Zeit online zu lösen. Damit ist die Lösung vollständig. Neben den nicht erfüllten Normen wird dies als nicht ausreichend angesehen. Anfangs schlägt fast jeder Student vor, eine einfache Methode vorzustellen, wie die Ableitung einer Funktion einen umstrittenen Wachstumsalgorithmus verursacht. In Richtung des aufsteigenden Balkens. Dies ist als allgemeine Position sinnvoll. Früher markierten sie den Beginn der Vollendung einer bestimmten mathematischen Handlung, heute wird es umgekehrt sein. Vielleicht wird die Lösung des Derivats online das Thema erneut aufwerfen, und wir werden eine gemeinsame Meinung über seine Erhaltung bei der Diskussion des Lehrertreffens akzeptieren. Wir hoffen auf Verständnis von allen Seiten der Tagungsteilnehmer. Die logische Bedeutung ist in der Beschreibung des Ableitungsrechners in der Resonanz von Zahlen über die Reihenfolge der Präsentation des Gedankens des Problems enthalten, das im letzten Jahrhundert von den großen Wissenschaftlern der Welt beantwortet wurde. Es hilft, eine komplexe Variable aus dem konvertierten Ausdruck zu extrahieren und die Ableitung online zu finden, um eine massive Aktion des gleichen Typs auszuführen. Die Wahrheit ist viel besser als Vermutungen. Der kleinste Wert im Trend. Das Ergebnis lässt nicht lange auf sich warten, wenn Sie einen einzigartigen Dienst für die genaueste Ortung nutzen, für den es ein Online-Derivat im Detail gibt. Indirekt, aber auf den Punkt gebracht, wie ein weiser Mann sagte, wurde auf Wunsch vieler Studenten aus verschiedenen Städten der Union ein Online-Derivaterechner erstellt. Wenn es einen Unterschied gibt, warum dann zweimal entscheiden. Der gegebene Vektor liegt auf der gleichen Seite wie die Normale. Mitte des letzten Jahrhunderts wurde die Differenzierung einer Funktion keineswegs so wahrgenommen wie heute. Dank der laufenden Entwicklung ist die Online-Mathematik erschienen. Im Laufe der Zeit vergessen die Studenten, mathematische Disziplinen zu würdigen. Die Online-Lösung des Derivats wird unsere These herausfordern, die zu Recht auf der Anwendung der Theorie basiert und durch praktisches Wissen unterstützt wird. Werde über den bestehenden Wert des Präsentationsfaktors hinausgehen und die Formel in expliziter Form für die Funktion schreiben. Es kommt vor, dass Sie das Derivat jetzt online finden müssen, ohne einen Taschenrechner zu verwenden, aber Sie können immer auf den Trick des Studenten zurückgreifen und einen solchen Dienst trotzdem als Website nutzen. Somit spart der Student viel Zeit beim Kopieren von Beispielen aus einem Notizbuchentwurf in eine endgültige Form. Wenn es keine Widersprüche gibt, dann nutzen Sie für solch komplexe Beispiele den Schritt-für-Schritt-Lösungsservice.

In dieser Lektion lernen wir, wie man Formeln und Differenzierungsregeln anwendet.

Beispiele. Finden Sie Ableitungen von Funktionen.

1. y = x 7 + x 5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 9. Anwendung der Regel ich, Formeln 4, 2 und 1. Wir bekommen:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Wir lösen ähnlich, indem wir dieselben Formeln und die Formel verwenden 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Anwendung der Regel ich, Formeln 3, 5 und 6 und 1.

Anwendung der Regel IV, Formeln 5 und 1 .

Im fünften Beispiel gemäß der Regel ich die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen, und wir haben gerade die Ableitung des 1. Terms gefunden (Beispiel 4 ), daher werden wir Ableitungen finden 2 und 3 Bedingungen und zum 1 Begriff, können wir sofort das Ergebnis schreiben.

Differenzieren 2 und 3 Begriffe nach der Formel 4 . Dazu wandeln wir die Wurzeln des dritten und vierten Grades in Nenner in Potenzen mit negativen Exponenten um und dann entsprechend 4 Formel finden wir die Ableitungen der Potenzen.

Sehen Sie sich dieses Beispiel und das Ergebnis an. Hast du das Muster erwischt? Gut. Das bedeutet, dass wir eine neue Formel haben und sie zu unserer Ableitungstabelle hinzufügen können.

Lösen wir das sechste Beispiel und leiten eine weitere Formel her.

Wir verwenden die Regel IV und Formel 4 . Wir reduzieren die resultierenden Brüche.

Wir betrachten diese Funktion und ihre Ableitung. Sie haben das Muster natürlich verstanden und sind bereit, die Formel zu benennen:

Neue Formeln lernen!

Beispiele.

1. Ermitteln Sie das Argumentinkrement und das Funktionsinkrement y= x2 wenn der Anfangswert des Arguments war 4 , und das Neue 4,01 .

Lösung.

Neuer Argumentwert x \u003d x 0 + Δx. Ersetzen Sie die Daten: 4,01 = 4 + Δx, daher das Inkrement des Arguments Δх=4,01-4=0,01. Das Inkrement einer Funktion ist per Definition gleich der Differenz zwischen dem neuen und dem vorherigen Wert der Funktion, d.h. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Da haben wir eine Funktion y=x2, dann Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Antworten: Argumenterhöhung Δх=0,01; Funktionsinkrement Δу=0,0801.

Es war möglich, das Funktionsinkrement auf andere Weise zu finden: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Finden Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen y=f(x) am Punkt x 0, wenn f "(x 0) \u003d 1.

Lösung.

Der Wert der Ableitung am Kontaktpunkt x 0 und ist der Wert der Tangente der Steigung der Tangente (die geometrische Bedeutung der Ableitung). Wir haben: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, als tg45°=1.

Antworten: die Tangente an den Graphen dieser Funktion bildet einen Winkel mit der positiven Richtung der Ox-Achse, gleich 45°.

3. Leiten Sie die Formel für die Ableitung einer Funktion her y=xn.

Unterscheidung ist der Vorgang, die Ableitung einer Funktion zu finden.

Beim Auffinden von Ableitungen werden Formeln verwendet, die auf der Grundlage der Definition der Ableitung abgeleitet wurden, genauso wie wir die Formel für den Ableitungsgrad hergeleitet haben: (xn)" = nxn-1.

Hier sind die Formeln.

Ableitungstabelle es wird leichter zu merken sein, indem man verbale Formulierungen ausspricht:

1. Die Ableitung eines konstanten Werts ist Null.

2. X-Hub ist gleich eins.

3. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden.

4. Die Ableitung eines Grades ist gleich dem Produkt des Exponenten dieses Grades mit dem Grad mit gleicher Basis, aber der Exponent ist um eins kleiner.

5. Die Ableitung der Wurzel ist gleich eins dividiert durch zwei gleiche Wurzeln.

6. Die Ableitung von Eins dividiert durch x ist minus eins dividiert durch x zum Quadrat.

7. Die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus.

8. Die Ableitung des Kosinus ist gleich minus Sinus.

9. Die Ableitung des Tangens ist gleich eins dividiert durch das Quadrat des Kosinus.

10. Die Ableitung des Kotangens ist minus eins dividiert durch das Quadrat des Sinus.

Wir lehren Unterscheidungsregeln.

1. Die Ableitung der algebraischen Summe ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungsterme.

2. Die Ableitung des Produkts ist gleich dem Produkt der Ableitung des ersten Faktors durch den zweiten plus dem Produkt des ersten Faktors durch die Ableitung des zweiten.

3. Die Ableitung von „y“ geteilt durch „ve“ ist gleich einem Bruch, in dessen Zähler „y ein Strich multipliziert mit „ve“ minus „y, multipliziert mit einem Strich“ und im Nenner – „ve im Quadrat“ ist “.

4. Ein Sonderfall der Formel 3.

Lass uns zusammen lernen!

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Bei der Ableitung der allerersten Formel der Tabelle gehen wir von der Definition der Ableitung einer Funktion an einem Punkt aus. Nehmen wir wo x- jede reelle Zahl, das heißt, x– beliebige Nummer aus dem Funktionsdefinitionsbereich . Schreiben wir die Grenze des Verhältnisses des Funktionsinkrements zum Argumentinkrement zu:

Es ist zu beachten, dass unter dem Vorzeichen des Grenzwerts ein Ausdruck erhalten wird, der nicht die Unsicherheit von Null dividiert durch Null ist, da der Zähler keinen infinitesimalen Wert enthält, sondern genau Null. Mit anderen Worten, das Inkrement einer konstanten Funktion ist immer Null.

Auf diese Weise, Ableitung einer konstanten Funktionauf dem gesamten Definitionsbereich gleich Null ist.

Ableitung einer Potenzfunktion.

Die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion hat die Form , wobei der Exponent p ist eine beliebige reelle Zahl.

Beweisen wir zunächst die Formel für den natürlichen Exponenten, also z p = 1, 2, 3, ...

Wir verwenden die Definition eines Derivats. Schreiben wir die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Potenzfunktion zum Inkrement des Arguments:

Um den Ausdruck im Zähler zu vereinfachen, wenden wir uns der Binomialformel von Newton zu:

Folglich,

Damit ist die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion für einen natürlichen Exponenten bewiesen.

Ableitung der Exponentialfunktion.

Wir leiten die Ableitungsformel basierend auf der Definition ab:

Kam in die Ungewissheit. Um es zu erweitern, führen wir eine neue Variable ein, und für . Dann . Beim letzten Übergang haben wir die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus verwendet.

Führen wir eine Substitution in der ursprünglichen Grenze durch:

Erinnern wir uns an die zweite bemerkenswerte Grenze, dann kommen wir zur Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion:

Ableitung einer logarithmischen Funktion.

Beweisen wir die Formel für die Ableitung der logarithmischen Funktion für alle x aus dem Geltungsbereich und alle gültigen Basiswerte a Logarithmus. Per Definition der Ableitung haben wir:

Wie Sie bemerkt haben, wurden die Transformationen im Beweis unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus durchgeführt. Gleichberechtigung gilt wegen der zweiten bemerkenswerten Grenze.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen.

Um Formeln für Ableitungen trigonometrischer Funktionen herzuleiten, müssen wir uns einige trigonometrische Formeln sowie den ersten bemerkenswerten Grenzwert ins Gedächtnis rufen.

Per Definition der Ableitung für die Sinusfunktion haben wir .

Wir verwenden die Formel für die Sinusdifferenz:

Bleibt noch die erste bemerkenswerte Grenze:

Also die Ableitung der Funktion Sünde x Es gibt cos x.

Die Formel für die Kosinusableitung beweist man genauso.

Also die Ableitung der Funktion cos x Es gibt – Sünde x.

Die Ableitung von Formeln für die Ableitungstabelle von Tangens und Kotangens erfolgt nach den bewährten Ableitungsregeln (Ableitung eines Bruchs).

Ableitungen hyperbolischer Funktionen.

Die Ableitungsregeln und die Ableitungsformel der Exponentialfunktion aus der Ableitungstabelle erlauben es uns, Formeln für die Ableitungen des hyperbolischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens abzuleiten.

Ableitung der Umkehrfunktion.

Damit es bei der Darstellung keine Verwirrung gibt, bezeichnen wir im unteren Index das Argument der Funktion, durch das die Differenzierung durchgeführt wird, dh es ist die Ableitung der Funktion f(x) an x.

Jetzt formulieren wir Regel zum Finden der Ableitung der Umkehrfunktion.

Lassen Sie die Funktionen y = f(x) und x = g(y) gegenseitig invers, definiert auf den Intervallen bzw. Wenn an einem Punkt eine endliche Nicht-Null-Ableitung der Funktion existiert f(x), dann existiert an dem Punkt eine endliche Ableitung der Umkehrfunktion g(y), und . In einem anderen Eintrag .

Diese Regel kann beliebig umformuliert werden x aus dem Intervall , dann bekommen wir .

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formeln überprüfen.

Finden wir die Umkehrfunktion für den natürlichen Logarithmus (hier j ist eine Funktion, und x- Streit). Lösen Sie diese Gleichung für x, wir bekommen (hier x ist eine Funktion, und j ihr Argument). Also, und zueinander inverse Funktionen.

Aus der Tabelle der Derivate sehen wir das und .

Stellen wir sicher, dass die Formeln zum Finden von Ableitungen der Umkehrfunktion uns zu den gleichen Ergebnissen führen:

Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differentiation genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen, Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen zu finden, indem die Ableitung als Grenze des Verhältnisses des Inkrements zum Inkrement des Arguments definiert wurde, erschien eine Ableitungstabelle und genau definierte Ableitungsregeln . Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) waren die ersten, die sich mit dem Auffinden von Derivaten beschäftigten.

Um die Ableitung einer beliebigen Funktion zu finden, ist es daher heutzutage nicht erforderlich, die oben erwähnte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern nur die Tabelle zu verwenden von Derivaten und die Regeln der Differenzierung. Der folgende Algorithmus eignet sich zum Auffinden der Ableitung.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Strichzeichen einfache Funktionen zerlegen und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) diese Funktionen sind verwandt. Außerdem finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen des Produkts, der Summe und des Quotienten - in den Ableitungsregeln. Die Ableitungstabelle und Ableitungsregeln folgen nach den ersten beiden Beispielen.

Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Ableitungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung der Summe der Funktionen die Summe der Ableitungen der Funktionen ist, d.h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von "X" gleich eins ist und die Ableitung des Sinus Kosinus ist. Wir ersetzen diese Werte in der Summe der Ableitungen und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir differenzieren als Ableitung der Summe, wobei der zweite Term mit konstantem Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden kann:

Wenn es noch Fragen gibt, woher etwas kommt, werden sie in der Regel nach der Lektüre der Ableitungstabelle und der einfachsten Ableitungsregeln klar. Wir gehen gleich zu ihnen.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstanten (Zahl). Jede Zahl (1, 2, 5, 200 ...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer null. Dies ist sehr wichtig, da es sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Meistens "x". Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, sich daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nicht-Quadratwurzeln in eine Potenz umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen hoch -1
5. Ableitung der Quadratwurzel
6. Sinusableitung
7. Cosinus-Ableitung
8. Tangensableitung
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arkuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des inversen Tangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung der Exponentialfunktion

Abgrenzungsregeln

1. Ableitung der Summe oder Differenz
2. Derivat eines Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar sind, dann an der gleichen Stelle die Funktionen

und

diese. die Ableitung der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen durch eine Konstante unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen, d.h.

Regel 2Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar sind, dann ist auch ihr Produkt an derselben Stelle differenzierbar

und

diese. die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folge 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden:

Folge 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes der Faktoren und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbar.u/v und

diese. die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner das Quadrat des ersteren Zählers ist .

Wo kann man auf anderen Seiten suchen

Bei der Bestimmung der Ableitung des Produkts und des Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Ableitungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie weitere Beispiele zu diesen Ableitungen im Artikel."Die Ableitung eines Produkts und eines Quotienten".

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in der Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist seine Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird er aus dem Vorzeichen der Ableitungen herausgenommen. Dies ist ein typischer Fehler, der in der Anfangsphase des Ableitungsstudiums auftritt, aber wenn der durchschnittliche Schüler mehrere Ein-Zwei-Komponenten-Beispiele löst, macht er diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie beim Differenzieren eines Produkts oder eines Quotienten einen Begriff haben u"v, indem u- eine Zahl, z. B. 2 oder 5, dh eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (ein solcher Fall wird in Beispiel 10 analysiert). .

Ein weiterer häufiger Fehler ist die mechanische Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion einem eigenen Artikel gewidmet. Aber zuerst werden wir lernen, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Auf Transformationen von Ausdrücken kann man dabei nicht verzichten. Dazu müssen Sie möglicherweise in neuen Windows-Handbüchern öffnen Aktionen mit Kräften und Wurzeln und Aktionen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen mit Potenzen und Wurzeln suchen, dh wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion " Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln".

Wenn Sie eine Aufgabe wie z , dann befinden Sie sich in der Lektion "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen".

Schritt-für-Schritt-Beispiele - wie man die Ableitung findet

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir bestimmen die Teile des Ausdrucks der Funktion: Der gesamte Ausdruck stellt das Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, von denen einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall ist in jeder Summe der zweite Term mit einem Minuszeichen versehen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. Also wird "x" zu eins und minus 5 - zu null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten die folgenden Werte von Derivaten:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die durch die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten finden. Wir wenden die Formel zum Ableiten eines Quotienten an: Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für solche Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Stapel von Wurzeln und Graden gibt, wie zum Beispiel dann willkommen im Unterricht "Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln" .

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Kosinus, Tangens und anderen trigonometrischen Funktionen erfahren möchten, dh wann die Funktion aussieht , dann hast du Unterricht "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen" .

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen einer der Faktoren die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, mit deren Ableitung wir uns in der Ableitungstabelle vertraut gemacht haben. Nach der Produktdifferenzierungsregel und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir den Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Nach der Ableitungsregel des Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um den Bruch im Zähler loszuwerden, multipliziere Zähler und Nenner mit .

Die Ableitung einer Funktion ist eines der schwierigsten Themen im Schullehrplan. Nicht jeder Absolvent wird die Frage beantworten, was ein Derivat ist.

Dieser Artikel erklärt einfach und klar, was ein Derivat ist und warum es benötigt wird.. Wir werden jetzt keine mathematische Strenge der Darstellung anstreben. Das Wichtigste ist, die Bedeutung zu verstehen.

Erinnern wir uns an die Definition:

Die Ableitung ist die Änderungsrate der Funktion.

Die Abbildung zeigt Graphen von drei Funktionen. Welche wächst deiner Meinung nach am schnellsten?

Die Antwort liegt auf der Hand - die dritte. Es hat die höchste Änderungsrate, dh die größte Ableitung.

Hier ist ein weiteres Beispiel.

Kostya, Grisha und Matvey bekamen gleichzeitig Jobs. Mal sehen, wie sich ihr Einkommen im Laufe des Jahres verändert hat:

Sie können sofort alles auf dem Diagramm sehen, richtig? Kostyas Einkommen hat sich in sechs Monaten mehr als verdoppelt. Und Grishas Einkommen stieg auch, aber nur ein bisschen. Und Matthews Einkommen ging auf null zurück. Die Startbedingungen sind die gleichen, aber die Änderungsrate der Funktion, d.h. Derivat, - anders. Bei Matvey ist die Ableitung seines Einkommens im Allgemeinen negativ.

Intuitiv können wir die Änderungsrate einer Funktion leicht abschätzen. Aber wie machen wir das?

Was wir wirklich sehen, ist, wie steil der Graph der Funktion nach oben (oder nach unten) geht. Mit anderen Worten, wie schnell sich y mit x ändert. Offensichtlich kann dieselbe Funktion an verschiedenen Punkten einen anderen Wert der Ableitung haben – das heißt, sie kann sich schneller oder langsamer ändern.

Die Ableitung einer Funktion wird mit bezeichnet.

Lassen Sie uns zeigen, wie man mithilfe des Diagramms findet.

Ein Graph einer Funktion wird gezeichnet. Nehmen Sie einen Punkt darauf mit einer Abszisse. Zeichnen Sie an dieser Stelle eine Tangente an den Graphen der Funktion. Wir wollen auswerten, wie steil der Graph der Funktion nach oben geht. Ein praktischer Wert dafür ist Tangente der Steigung der Tangente.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente der Steigung der Tangente, die an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Bitte beachten Sie - als Neigungswinkel der Tangente nehmen wir den Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse.

Manchmal fragen die Schüler, was die Tangente an den Graphen einer Funktion ist. Dies ist eine gerade Linie, die außerdem den einzigen gemeinsamen Punkt mit dem Diagramm in diesem Abschnitt hat, wie in unserer Abbildung gezeigt. Es sieht aus wie eine Tangente an einen Kreis.

Lass uns finden . Wir erinnern uns, dass die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten ist. Aus Dreieck:

Wir haben die Ableitung mithilfe des Diagramms gefunden, ohne die Formel der Funktion zu kennen. Solche Aufgaben finden sich oft in der Klausur in Mathematik unter der Nummer.

Es gibt noch einen weiteren wichtigen Zusammenhang. Denken Sie daran, dass die Gerade durch die Gleichung gegeben ist

Die Menge in dieser Gleichung heißt Steigung einer Geraden. Sie ist gleich der Tangente des Neigungswinkels der Geraden zur Achse.

.

Das verstehen wir

Erinnern wir uns an diese Formel. Es drückt die geometrische Bedeutung der Ableitung aus.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente, die an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Mit anderen Worten, die Ableitung ist gleich der Tangente der Steigung der Tangente.

Wir haben bereits gesagt, dass dieselbe Funktion an verschiedenen Punkten eine andere Ableitung haben kann. Mal sehen, wie die Ableitung mit dem Verhalten der Funktion zusammenhängt.

Lassen Sie uns einen Graphen einer Funktion zeichnen. Lassen Sie diese Funktion in einigen Bereichen zunehmen und in anderen abnehmen, und zwar mit unterschiedlichen Raten. Und lassen Sie diese Funktion maximale und minimale Punkte haben.

An einem Punkt nimmt die Funktion zu. Die am Punkt gezeichnete Tangente an den Graphen bildet einen spitzen Winkel; mit positiver Achsrichtung. Also ist die Ableitung an dem Punkt positiv.

An diesem Punkt nimmt unsere Funktion ab. Die Tangente bildet an dieser Stelle einen stumpfen Winkel; mit positiver Achsrichtung. Da der Tangens eines stumpfen Winkels negativ ist, ist die Ableitung am Punkt negativ.

Folgendes passiert:

Wenn eine Funktion wächst, ist ihre Ableitung positiv.

Wenn es abnimmt, ist seine Ableitung negativ.

Und was passiert bei den Höchst- und Mindestpunkten? Wir sehen, dass bei (Maximalpunkt) und (Minimalpunkt) die Tangente horizontal ist. Daher ist die Tangente der Steigung der Tangente an diesen Punkten Null, und die Ableitung ist ebenfalls Null.

Der Punkt ist der Maximalpunkt. An dieser Stelle wird die Zunahme der Funktion durch eine Abnahme ersetzt. Folglich ändert sich das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle von „Plus“ auf „Minus“.

Am Punkt – dem Minimalpunkt – ist die Ableitung ebenfalls gleich Null, ändert aber ihr Vorzeichen von „minus“ auf „plus“.

Fazit: Mit Hilfe der Ableitung erfahren Sie alles, was uns über das Verhalten der Funktion interessiert.

Wenn die Ableitung positiv ist, dann steigt die Funktion.

Wenn die Ableitung negativ ist, dann ist die Funktion fallend.

Am Maximalpunkt ist die Ableitung Null und wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus.

Am Minimalpunkt ist die Ableitung ebenfalls Null und wechselt das Vorzeichen von Minus zu Plus.

Wir schreiben diese Erkenntnisse in Form einer Tabelle:

	steigt	Höchstpunkt	abnehmend	Mindestpunkt	steigt
+	0	-	0	+

Machen wir zwei kleine Klarstellungen. Sie werden einen davon benötigen, wenn Sie das Problem lösen. Ein anderer - im ersten Jahr mit einer ernsthafteren Untersuchung von Funktionen und Derivaten.

Es ist ein Fall möglich, in dem die Ableitung einer Funktion irgendwann gleich Null ist, die Funktion aber an dieser Stelle weder ein Maximum noch ein Minimum hat. Diese sog :

An einem Punkt ist die Tangente an den Graphen horizontal und die Ableitung ist Null. Vor dem Punkt nahm die Funktion jedoch zu - und nach dem Punkt steigt sie weiter an. Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich nicht – es ist positiv geblieben wie es war.

Es kommt auch vor, dass am Punkt des Maximums oder Minimums die Ableitung nicht existiert. In der Grafik entspricht dies einem scharfen Bruch, wenn es unmöglich ist, an einem bestimmten Punkt eine Tangente zu zeichnen.

Aber wie findet man die Ableitung, wenn die Funktion nicht durch einen Graphen, sondern durch eine Formel gegeben ist? In diesem Fall gilt es