Integrale (endgültige) Form. Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines materiellen Punktes: Die Änderung der kinetischen Energie eines materiellen Punktes bei einem Teil seiner Verschiebung ist gleich der algebraischen Summe der Arbeit aller Kräfte, die bei derselben Verschiebung auf diesen Punkt wirken.

Der Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems wird formuliert: Die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems, wenn es sich von einer Position in eine andere bewegt, ist gleich der Summe der Arbeit aller äußeren und inneren Kräfte, die während dieser Bewegung auf das System einwirken:

Im Fall eines unveränderlichen Systems ist die Summe der von den Schnittkräften bei jeder Verschiebung verrichteten Arbeit dann gleich Null ().

Gesetz zur Erhaltung der mechanischen Energie. Wenn sich ein mechanisches System unter dem Einfluss potenzieller Kräfte bewegt, werden Änderungen der kinetischen Energie des Systems durch die Abhängigkeiten bestimmt:

Wo ,

Man nennt die Summe der kinetischen und potentiellen Energien eines Systems gesamte mechanische Energie Systeme.

Auf diese Weise, Wenn sich ein mechanisches System in einem stationären Potentialfeld bewegt, bleibt die gesamte mechanische Energie des Systems während der Bewegung unverändert.

Aufgabe. Ein mechanisches System kommt unter dem Einfluss der Schwerkraft aus dem Ruhezustand in Bewegung. Bestimmen Sie unter Berücksichtigung der Gleitreibung von Körper 3, unter Vernachlässigung anderer Widerstandskräfte und der als nicht dehnbar angenommenen Massen der Fäden die Geschwindigkeit und Beschleunigung von Körper 1 in dem Moment, in dem der von ihm zurückgelegte Weg gleich wird S(Abb. 3.70).

Akzeptieren Sie in der Aufgabe:

Lösung. Auf das mechanische System wirken aktive Kräfte , , . Unter Anwendung des Prinzips der Befreiung des Systems von Zwängen zeigen wir die Reaktionen des gelenkig-festen Trägers 2 und der rauen geneigten Oberfläche. Wir werden die Geschwindigkeitsrichtungen der Körper des Systems darstellen und dabei die Tatsache berücksichtigen, dass Körper 1 absteigt.

Lösen wir das Problem, indem wir den Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems anwenden:

Wo T und ist die kinetische Energie des Systems in der Anfangs- und Endposition; - die algebraische Summe der Arbeit, die von äußeren Kräften geleistet wird, die auf das System einwirken, um das System von der Ausgangsposition in die Endposition zu bewegen; - die Summe der Arbeit, die von den inneren Kräften des Systems bei gleicher Verschiebung geleistet wird.

Für das betrachtete System, bestehend aus absolut starren Körpern, die durch nicht dehnbare Fäden verbunden sind:

Da das System in der Ausgangsposition ruhte, dann . Somit:

Die kinetische Energie des Systems ist die Summe der kinetischen Energien der Körper 1, 2, 3:

Die kinetische Energie der sich vorwärts bewegenden Last 1 ist gleich:

Kinetische Energie von Block 2, der sich um eine Achse dreht Oz, senkrecht zur Zeichenebene:

Kinetische Energie von Körper 3 bei seiner Vorwärtsbewegung:

Auf diese Weise,

Der Ausdruck für kinetische Energie enthält die unbekannten Geschwindigkeiten aller Körper im System. Die Definition muss mit beginnen. Lassen Sie uns unnötige Unbekannte loswerden, indem wir Verbindungsgleichungen erstellen.

Zwangsgleichungen sind nichts anderes als kinematische Beziehungen zwischen den Geschwindigkeiten und Bewegungen von Punkten im System. Bei der Zusammenstellung der Zwangsgleichungen drücken wir alle unbekannten Geschwindigkeiten und Bewegungen der Körper des Systems durch die Geschwindigkeit und Bewegung der Last 1 aus.

Die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes auf dem Rand mit kleinem Radius ist gleich der Geschwindigkeit von Körper 1 sowie dem Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit von Körper 2 und dem Rotationsradius R:

Von hier aus drücken wir die Winkelgeschwindigkeit von Körper 2 aus:

Die Rotationsgeschwindigkeit eines beliebigen Punktes am Rand eines Blocks mit großem Radius ist einerseits gleich dem Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit des Blocks und dem Rotationsradius und andererseits der Geschwindigkeit von Körper 3 :

Wenn wir den Wert der Winkelgeschwindigkeit einsetzen, erhalten wir:

Nachdem wir die Ausdrücke (a) und (b) unter den Anfangsbedingungen integriert haben, schreiben wir das Verhältnis der Verschiebungen der Punkte des Systems:

Da wir die grundlegenden Abhängigkeiten der Geschwindigkeiten der Punkte des Systems kennen, kehren wir zum Ausdruck der kinetischen Energie zurück und setzen darin die Gleichungen (a) und (b) ein:

Das Trägheitsmoment von Körper 2 ist gleich:

Wenn wir die Werte der Körpermassen und des Trägheitsmoments von Körper 2 einsetzen, schreiben wir:

Bestimmung der Summe der Arbeit aller äußeren Kräfte des Systems bei einer gegebenen Verschiebung.

Nun setzen wir nach dem Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems die Werte gleich T Und

Die Geschwindigkeit von Körper 1 ergibt sich aus dem Ausdruck (g)

Die Beschleunigung von Körper 1 lässt sich durch Differenzieren der Gleichung (g) nach der Zeit ermitteln.

Lassen Sie uns das Konzept einer weiteren grundlegenden dynamischen Eigenschaft der Bewegung einführen – der kinetischen Energie. Die kinetische Energie eines materiellen Punktes ist eine Skalargröße, die der Hälfte des Produkts aus der Masse des Punktes und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit entspricht.

Die Maßeinheit für kinetische Energie ist dieselbe wie für Arbeit (in SI - 1 J). Finden wir die Beziehung, die diese beiden Größen verbindet.

Betrachten wir einen materiellen Punkt mit einer Masse, die sich von einer Position mit Geschwindigkeit zu einer Position mit Geschwindigkeit bewegt

Um die gewünschte Abhängigkeit zu erhalten, wenden wir uns der Gleichung zu, die das Grundgesetz der Dynamik ausdrückt. Projizieren wir beide Teile auf die Tangente an die in Bewegungsrichtung gerichtete Flugbahn des Punktes M, erhalten wir

Stellen wir die Tangentialbeschleunigung des hier enthaltenen Punktes im Formular dar

Als Ergebnis finden wir das

Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichheit mit und tragen sie unter dem Differentialzeichen ein. Wenn wir dann beachten, dass wo die elementare Kraftarbeit ist, erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Änderung der kinetischen Energie eines Punktes in Differentialform:

Nachdem wir nun beide Seiten dieser Gleichheit innerhalb der Grenzen integriert haben, die den Werten der Variablen an den Punkten entsprechen, werden wir schließlich finden

Gleichung (52) drückt den Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines Punktes in seiner endgültigen Form aus: Die Änderung der kinetischen Energie eines Punktes während einer Verschiebung ist gleich der algebraischen Summe der Arbeit aller auf den Punkt einwirkenden Kräfte die gleiche Verschiebung.

Der Fall der unfreien Bewegung. Wenn sich der Punkt unfrei bewegt, enthält die rechte Seite der Gleichung (52) die Arbeit der gegebenen (aktiven) Kräfte und die Arbeit der Kopplungsreaktion. Beschränken wir uns auf die Betrachtung der Bewegung eines Punktes entlang einer stationären glatten (reibungsfreien) Oberfläche oder Kurve. In diesem Fall ist die Reaktion N (siehe Abb. 233) normal zur Flugbahn des Punktes und gerichtet. Dann ist gemäß Formel (44) die Reaktionsarbeit einer stationären glatten Oberfläche (oder Kurve) für jede Bewegung des Punktes gleich Null, und aus Gleichung (52) erhalten wir

Folglich ist bei der Bewegung entlang einer stationären glatten Oberfläche (oder Kurve) die Änderung der kinetischen Energie eines Punktes gleich der Summe der bei dieser Bewegung geleisteten Arbeit der auf den Punkt ausgeübten aktiven Kräfte.

Wenn die Oberfläche (Kurve) nicht glatt ist, wird die Arbeit der Reibungskraft zur Arbeit der wirkenden Kräfte addiert (siehe § 88). Wenn sich die Oberfläche (Kurve) bewegt, ist die absolute Verschiebung des Punktes M möglicherweise nicht senkrecht zu N und die Reaktionsarbeit N ist nicht gleich Null (z. B. die Reaktionsarbeit der Aufzugsplattform).

Probleme lösen. Der Satz über die Änderung der kinetischen Energie [Formel (52)] ermöglicht es, die Arbeit der wirkenden Kräfte zu bestimmen (das erste Problem der Dynamik) oder die Arbeit zu kennen, wenn man weiß, wie sich die Geschwindigkeit eines Punktes ändert, wenn sich ein Punkt bewegt die wirkenden Kräfte, um zu bestimmen, wie sich die Geschwindigkeit eines Punktes bei Bewegung ändert (das zweite Problem der Dynamik). Bei der Lösung des zweiten Problems ist es bei gegebenen Kräften notwendig, deren Arbeit zu berechnen. Wie aus den Formeln (44), (44) hervorgeht, ist dies nur möglich, wenn die Kräfte konstant sind oder nur von der Position (Koordinaten) des bewegten Punktes abhängen, beispielsweise der Elastizitätskraft oder der Schwerkraft (siehe § 88). ).

Somit kann Formel (52) direkt zur Lösung des zweiten Problems der Dynamik verwendet werden, wenn die Daten und erforderlichen Größen im Problem Folgendes umfassen: wirkende Kräfte, die Verschiebung eines Punktes und seine Anfangs- und Endgeschwindigkeiten (d. h. Größen) und Die Kräfte sollten konstant sein oder nur von der Position (Koordinaten) des Punktes abhängen.

Der Satz in Differentialform [Formel (51)] kann natürlich auf alle wirkenden Kräfte angewendet werden.

Aufgabe 98. Eine Last mit einem Gewicht von kg, die mit Geschwindigkeit von Punkt A in einer Höhe geworfen wird (Abb. 235), hat am Fallpunkt C eine Geschwindigkeit. Bestimmen Sie, welche Arbeit die auf die Last wirkende Luftwiderstandskraft verrichtet während seiner Bewegung

Lösung. Während sich die Last bewegt, wirken auf die Last die Schwerkraft P und die Luftwiderstandskraft R. Nach dem Satz über die Änderung der kinetischen Energie gilt, wenn wir die Last als materiellen Punkt betrachten

Aus dieser Gleichheit, da nach der Formel, die wir finden

Aufgabe 99. Bestimmen Sie unter den Bedingungen von Aufgabe 96 (siehe [§ 84), welchen Weg die Last zurücklegen wird, bevor sie anhält (siehe Abb. 223, wo die Anfangsposition der Last und die Endposition ist).

Lösung. Auf die Last wirken wie in Aufgabe 96 die Kräfte P, N, F. Um den Bremsweg zu bestimmen, verwenden wir unter Berücksichtigung der Tatsache, dass zu den Bedingungen dieser Aufgabe auch eine konstante Kraft F gehört, den Satz über die Änderung von kinetische Energie

Im betrachteten Fall die Geschwindigkeit der Last im Moment des Anhaltens. Da außerdem die Kräfte P und N senkrecht zur Verschiebung stehen, kommen wir daraus, wo wir finden

Nach den Ergebnissen von Aufgabe 96 erhöht sich die Bremszeit proportional zur Anfangsgeschwindigkeit und der Bremsweg ist, wie wir herausgefunden haben, proportional zum Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit. Auf den Bodentransport übertragen zeigt sich, dass die Gefahr mit zunehmender Geschwindigkeit zunimmt.

Aufgabe 100. Eine Last mit dem Gewicht P hängt an einem Faden der Länge l. Der Faden wird zusammen mit der Last schräg von der Vertikalen abgelenkt (Abb. 236, a) und ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. Bei der Bewegung wirkt auf die Last eine Widerstandskraft R, die wir näherungsweise durch ihren Durchschnittswert ersetzen. Finden Sie die Geschwindigkeit der Last in dem Moment, in dem der Faden einen Winkel mit der Vertikalen bildet

Lösung. Unter Berücksichtigung der Problembedingungen verwenden wir erneut Satz (52):

Auf die Last wirkt die Schwerkraft P, die Reaktion des Widerstandsfadens, dargestellt durch ihren Mittelwert R. Für die Kraft P gilt nach Formel (47) für die Kraft N, da wir schließlich für die Kraft erhalten denn nach Formel (45) wird es sein (die Länge s des Bogens ist gleich dem Produktradius l pro Mittelpunktswinkel). Darüber hinaus ergibt sich entsprechend den Bedingungen des Problems aus Gleichung (a):

In Abwesenheit eines Widerstands erhalten wir hieraus die bekannte Galilei-Formel, die offensichtlich auch für die Geschwindigkeit einer frei fallenden Last gilt (Abb. 236, b).

In dem betrachteten Problem erhalten wir schließlich durch Einführung einer anderen Notation (die durchschnittliche Widerstandskraft pro Gewichtseinheit der Last) das Ergebnis

Aufgabe 101. Im unverformten Zustand hat die Ventilfeder eine Länge von cm, bei vollständig geöffnetem Ventil beträgt ihre Länge cm und die Höhe des Ventilhubs beträgt cm (Abb. 237). Federsteifigkeit Ventilgewicht kg. Bestimmen Sie unter Vernachlässigung der Auswirkungen von Schwerkraft und Widerstandskräften die Geschwindigkeit des Ventils im Moment des Schließens.

Lösung: Verwenden wir die Gleichung

Je nach Problemstellung wird die Arbeit nur durch die elastische Kraft der Feder verrichtet. Dann wird es nach Formel (48) so sein

In diesem Fall

Wenn wir außerdem alle diese Werte in Gleichung (a) einsetzen, erhalten wir schließlich

Aufgabe 102. Eine Last, die in der Mitte eines elastischen Balkens liegt (Abb. 238), lenkt diesen um einen Betrag ab (statistische Durchbiegung des Balkens). Bestimmen Sie unter Vernachlässigung des Gewichts des Balkens, wie groß seine maximale Durchbiegung bei Belastung sein wird fällt aus einer Höhe H auf den Balken.

Lösung. Wie im vorherigen Problem verwenden wir zur Lösung Gleichung (52). In diesem Fall sind die Anfangsgeschwindigkeit der Last und ihre Endgeschwindigkeit (im Moment der maximalen Auslenkung des Balkens) gleich Null und Gleichung (52) nimmt die Form an

Die Arbeit wird hier durch die Gravitationskraft P auf die Verschiebung und die elastische Kraft des Balkens F auf die Verschiebung verrichtet. Darüber hinaus erhalten wir für den Balken, indem wir diese Größen in die Gleichung (a) einsetzen

Wenn jedoch die Last auf dem Balken im Gleichgewicht ist, wird die Schwerkraft durch die Elastizitätskraft ausgeglichen, sodass die vorherige Gleichheit in der Form dargestellt werden kann

Lösen Sie diese quadratische Gleichung und berücksichtigen Sie, dass wir entsprechend den Bedingungen des Problems finden sollten

Es ist interessant festzustellen, dass, wenn sich herausstellt, dass wenn eine Last in der Mitte eines horizontalen Trägers platziert wird, ihre maximale Durchbiegung beim Absenken der Last doppelt so groß ist wie die statische. Anschließend beginnt die Last zusammen mit dem Balken um die Gleichgewichtslage zu schwingen. Unter dem Einfluss des Widerstands werden diese Schwingungen gedämpft und das System wird in eine Position gebracht, in der die Auslenkung des Balkens gleich ist

Aufgabe 103. Bestimmen Sie die minimale vertikal gerichtete Anfangsgeschwindigkeit, die dem Körper verliehen werden muss, damit er von der Erdoberfläche auf eine bestimmte Höhe H aufsteigt (Abb. 239). Man geht davon aus, dass die Anziehungskraft umgekehrt proportional zum Quadrat variiert Abstand vom Erdmittelpunkt. Luftwiderstand vernachlässigen.

Lösung. Betrachten wir den Körper als materiellen Punkt mit Masse, verwenden wir die Gleichung

Die Arbeit wird hier durch die Gravitationskraft F verrichtet. Dann erhalten wir unter Verwendung der Formel (50) unter Berücksichtigung dessen, dass in diesem Fall R der Radius der Erde ist

Denn am höchsten Punkt, mit dem gefundenen Arbeitswert, ergibt sich Gleichung (a).

Betrachten wir Sonderfälle:

a) H sei sehr klein im Vergleich zu R. Dann - ein Wert nahe Null. Durch Division von Zähler und Nenner erhalten wir

Für kleine H kommen wir also zur Formel von Galileo;

b) Finden wir heraus, mit welcher Anfangsgeschwindigkeit der geschleuderte Körper ins Unendliche fliegt. Wenn wir Zähler und Nenner durch A dividieren, erhalten wir

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Kurze Review

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Zwei Fälle der Transformation der mechanischen Bewegung eines materiellen Punktes oder Punktesystems:

1. mechanische Bewegung wird als mechanische Bewegung von einem mechanischen System auf ein anderes übertragen;
2. mechanische Bewegung wird in eine andere Bewegungsform der Materie umgewandelt (in die Form potentieller Energie, Wärme, Elektrizität usw.).

Wenn die Umwandlung einer mechanischen Bewegung ohne Übergang in eine andere Bewegungsform betrachtet wird, ist das Maß der mechanischen Bewegung der Impulsvektor eines materiellen Punktes oder eines mechanischen Systems. Das Maß der Kraft ist in diesem Fall der Vektor des Kraftimpulses.

Wenn mechanische Bewegung in eine andere Form der Bewegung von Materie übergeht, dient die kinetische Energie eines materiellen Punktes oder mechanischen Systems als Maß für die mechanische Bewegung. Das Maß für die Kraftwirkung bei der Umwandlung einer mechanischen Bewegung in eine andere Bewegungsform ist die Kraftarbeit

Kinetische Energie

Unter kinetischer Energie versteht man die Fähigkeit des Körpers, bei der Bewegung ein Hindernis zu überwinden.

Kinetische Energie eines materiellen Punktes

Die kinetische Energie eines materiellen Punktes ist eine skalare Größe, die der Hälfte des Produkts aus der Masse des Punktes und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit entspricht.

Kinetische Energie:

• charakterisiert sowohl translatorische als auch rotatorische Bewegungen;
• hängt nicht von der Bewegungsrichtung der Punkte des Systems ab und charakterisiert keine Änderungen in diese Richtungen;
• charakterisiert die Wirkung sowohl innerer als auch äußerer Kräfte.

Kinetische Energie eines mechanischen Systems

Die kinetische Energie des Systems ist gleich der Summe der kinetischen Energien der Körper des Systems. Die kinetische Energie hängt von der Art der Bewegung der Körper des Systems ab.

Bestimmung der kinetischen Energie eines Festkörpers für verschiedene Bewegungsarten.

Kinetische Energie der Translationsbewegung
Während der Translationsbewegung ist die kinetische Energie des Körpers gleich T=M V 2 /2.

Das Maß für die Trägheit eines Körpers bei translatorischer Bewegung ist die Masse.

Kinetische Energie der Rotationsbewegung eines Körpers

Bei der Rotationsbewegung eines Körpers ist die kinetische Energie gleich dem halben Produkt aus dem Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Rotationsachse und dem Quadrat seiner Winkelgeschwindigkeit.

Ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei Drehbewegungen ist das Trägheitsmoment.

Die kinetische Energie eines Körpers hängt nicht von der Drehrichtung des Körpers ab.

Kinetische Energie der planparallelen Bewegung eines Körpers

Bei planparalleler Bewegung eines Körpers ist die kinetische Energie gleich

Kraftarbeit

Die Kraftarbeit charakterisiert die Wirkung einer Kraft auf einen Körper während einer Bewegung und bestimmt die Änderung des Geschwindigkeitsmoduls eines bewegten Punktes.

Elementare Kraftarbeit

Die Elementararbeit einer Kraft ist definiert als eine skalare Größe, die dem Produkt der Projektion der Kraft auf die Tangente an die Flugbahn, gerichtet in die Bewegungsrichtung des Punktes, und der in dieser Richtung gerichteten infinitesimalen Verschiebung des Punktes entspricht Tangente.

Kraftarbeit bei der endgültigen Verschiebung

Die von einer Kraft bei einer endgültigen Verschiebung geleistete Arbeit ist gleich der Summe ihrer Arbeit an Elementarquerschnitten.

Die Arbeit einer Kraft an einer endgültigen Verschiebung M 1 M 0 ist gleich dem Integral der Elementararbeit entlang dieser Verschiebung.

Die Arbeit einer Kraft auf die Verschiebung M 1 M 2 wird durch die Fläche der Figur dargestellt, begrenzt durch die Abszissenachse, die Kurve und die Ordinaten, die den Punkten M 1 und M 0 entsprechen.

Die Maßeinheit für die Arbeit von Kraft und kinetischer Energie im SI-System ist 1 (J).

Sätze über die Kraftarbeit

Satz 1. Die von der resultierenden Kraft bei einer bestimmten Verschiebung geleistete Arbeit ist gleich der algebraischen Summe der Arbeit, die von den Komponentenkräften bei derselben Verschiebung geleistet wird.

Satz 2. Die Arbeit, die eine konstante Kraft auf die resultierende Verschiebung verrichtet, ist gleich der algebraischen Summe der Arbeit, die diese Kraft auf die Komponentenverschiebungen verrichtet.

Leistung

Leistung ist eine Größe, die die von einer Kraft pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit bestimmt.

Die Einheit der Leistungsmessung ist 1W = 1 J/s.

Fälle zur Bestimmung der Kräftearbeit

Arbeit der inneren Kräfte

Die Summe der von den inneren Kräften eines starren Körpers bei jeder Bewegung geleisteten Arbeit ist Null.

Arbeit der Schwerkraft

Arbeit der elastischen Kraft

Arbeit der Reibungskraft

Arbeit der auf einen rotierenden Körper ausgeübten Kräfte

Die Elementararbeit der Kräfte, die auf einen starren Körper wirken, der sich um eine feste Achse dreht, ist gleich dem Produkt aus dem Hauptmoment der äußeren Kräfte relativ zur Drehachse und dem Inkrement des Drehwinkels.

Rollwiderstand

In der Kontaktzone des stationären Zylinders und der Ebene kommt es zu einer lokalen Verformung der Kontaktkompression, die Spannungsverteilung erfolgt nach einem elliptischen Gesetz und die Wirkungslinie der Resultierenden N dieser Spannungen fällt mit der Wirkungslinie der Last zusammen Kraft auf den Zylinder Q. Beim Rollen des Zylinders wird die Lastverteilung asymmetrisch mit einem in Richtung Bewegung verschobenen Maximum. Die Resultierende N wird um den Betrag k verschoben – der Arm der Rollreibungskraft, der auch Rollreibungskoeffizient genannt wird und die Dimension Länge (cm) hat.

Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines materiellen Punktes

Die Änderung der kinetischen Energie eines materiellen Punktes bei einer bestimmten Verschiebung ist gleich der algebraischen Summe aller Kräfte, die bei derselben Verschiebung auf den Punkt wirken.

Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems

Die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems bei einer bestimmten Verschiebung ist gleich der algebraischen Summe der inneren und äußeren Kräfte, die bei derselben Verschiebung auf die materiellen Punkte des Systems wirken.

Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines festen Körpers

Die Änderung der kinetischen Energie eines starren Körpers (unverändertes System) bei einer bestimmten Verschiebung ist gleich der Summe der äußeren Kräfte, die bei derselben Verschiebung auf Punkte des Systems wirken.

Effizienz

Kräfte, die in Mechanismen wirken

Kräfte und Kräftepaare (Momente), die auf einen Mechanismus oder eine Maschine wirken, können in Gruppen eingeteilt werden:

1. Antriebskräfte und -momente, die positive Arbeit leisten (auf die Antriebsglieder angewendet, z. B. Gasdruck auf den Kolben in einem Verbrennungsmotor).

2. Kräfte und Widerstandsmomente, die negative Arbeit leisten:

• Nutzwiderstand (sie verrichten die von der Maschine geforderte Arbeit und werden auf die angetriebenen Glieder ausgeübt, z. B. der Widerstand der von der Maschine angehobenen Last),
• Widerstandskräfte (z. B. Reibungskräfte, Luftwiderstand usw.).

3. Schwerkraftkräfte und elastische Kräfte von Federn (sowohl positive als auch negative Arbeit, während die Arbeit für einen vollständigen Zyklus Null ist).

4. Von außen auf den Körper oder Ständer einwirkende Kräfte und Momente (Reaktion des Fundaments etc.), die keine Arbeit leisten.

5. Wechselwirkungskräfte zwischen Gliedern, die in kinematischen Paaren wirken.

6. Die Trägheitskräfte der Verbindungen, die durch die Masse und die Bewegung der Verbindungen mit Beschleunigung verursacht werden, können positive, negative Arbeit leisten und keine Arbeit leisten.

Kräftearbeit in Mechanismen

Wenn die Maschine im stationären Zustand arbeitet, ändert sich ihre kinetische Energie nicht und die Summe der auf sie ausgeübten Arbeit der Antriebs- und Widerstandskräfte ist Null.

Die Arbeit, die aufgewendet wird, um die Maschine in Bewegung zu setzen, wird in die Überwindung nützlicher und schädlicher Widerstände investiert.

Effizienz des Mechanismus

Der mechanische Wirkungsgrad bei stetiger Bewegung ist gleich dem Verhältnis der Nutzarbeit der Maschine zur Arbeit, die für das Antreiben der Maschine aufgewendet wird:

Maschinenelemente können in Reihe, parallel und gemischt geschaltet werden.

Effizienz in Reihenschaltung

Wenn Mechanismen in Reihe geschaltet sind, ist der Gesamtwirkungsgrad geringer als der niedrigste Wirkungsgrad eines einzelnen Mechanismus.

Effizienz in Parallelschaltung

Bei Parallelschaltung von Mechanismen ist der Gesamtwirkungsgrad größer als der niedrigste und kleiner als der höchste Wirkungsgrad eines einzelnen Mechanismus.

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Berechnungsbeispiel eines Stirnradgetriebes
Ein Beispiel für die Berechnung eines Stirnradgetriebes. Die Materialauswahl, die Berechnung der zulässigen Spannungen, die Berechnung der Kontakt- und Biegefestigkeit wurden durchgeführt.

Ein Beispiel für die Lösung eines Balkenbiegeproblems
Im Beispiel wurden Diagramme der Querkräfte und Biegemomente erstellt, ein gefährlicher Abschnitt gefunden und ein I-Träger ausgewählt. Das Problem analysierte die Konstruktion von Diagrammen unter Verwendung differenzieller Abhängigkeiten und führte eine vergleichende Analyse verschiedener Balkenquerschnitte durch.

Ein Beispiel für die Lösung eines Wellentorsionsproblems
Die Aufgabe besteht darin, die Festigkeit einer Stahlwelle bei gegebenem Durchmesser, Material und zulässiger Beanspruchung zu testen. Bei der Lösung werden Diagramme von Drehmomenten, Schubspannungen und Verdrehwinkeln erstellt. Das Eigengewicht der Welle wird nicht berücksichtigt

Ein Beispiel für die Lösung eines Spannungs-Druck-Problems einer Stange
Die Aufgabe besteht darin, die Festigkeit eines Stabstahls bei vorgegebenen zulässigen Spannungen zu prüfen. Bei der Lösung werden Diagramme der Längskräfte, Normalspannungen und Verschiebungen erstellt. Das Eigengewicht der Rute wird nicht berücksichtigt

Anwendung des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mithilfe des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems

Ein Beispiel für die Lösung eines Problems anhand des Satzes über die Änderung der kinetischen Energie eines Systems mit starren Körpern, Blöcken, Riemenscheiben und einer Feder.

Inhalt

Die Aufgabe

Das mechanische System besteht aus den Gewichten 1 und 2, einer Stufenscheibe 3 mit Stufenradien R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m und Trägheitsradius relativ zur Rotationsachse ρ 3 = 0,2 m, Block 4 Radius R 4 = 0,2 m und beweglicher Block 5. Block 5 wird als massiver homogener Zylinder betrachtet. Reibungskoeffizient der Last 2 auf der Ebene f = 0,1 . Die Körper des Systems sind durch über Blöcke geworfene und auf der Riemenscheibe 3 aufgewickelte Fäden miteinander verbunden. Abschnitte der Fäden verlaufen parallel zu den entsprechenden Ebenen. Am beweglichen Block 5 ist eine Feder mit dem Steifigkeitskoeffizienten c = befestigt 280 N/m.

Unter Krafteinwirkung F = f (s) = 80(6 + 7 s) N Abhängig von der Verschiebung s des Angriffspunkts beginnt das System, sich aus dem Ruhezustand zu bewegen. Die Verformung der Feder im Moment des Beginns der Bewegung ist Null. Bei der Bewegung wirkt auf die Riemenscheibe 3 ein konstantes Moment M = 1,6 Nm Widerstandskräfte (durch Reibung in Lagern). Körpermasse: m 1 = 0 , M 2 = 5 kg, M 3 = 6 kg, M 4 = 0 , M 5 = 4 kg.

Bestimmen Sie den Wert des Schwerpunkts des Körpers 5 V C 5 in dem Moment, in dem die Verschiebung s der Last 1 gleich s wird 1 = 0,2 m.

Notiz. Wenn Sie ein Problem lösen, verwenden Sie Satz der kinetischen Energieänderung.

Die Lösung des Problems

Gegeben: R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, M 1 = 0 , M 2 = 5 kg, M 3 = 6 kg, M 4 = 0 , M 5 = 4 kg, F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, S 1 = 0,2 m.

Finden: V C 5 .

Variablenbezeichnungen

R 3 , r 3- Radien der Riemenscheibenstufen 3;
ρ 3 - Trägheitsradius der Riemenscheibe 3 relativ zur Drehachse;
R 5 - Blockradius 5;
V 1 , V 2 - Geschwindigkeiten der Körper 1 und 2;
ω 3 - Winkelgeschwindigkeit der Drehung der Riemenscheibe 3;
V C 5 - Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts C 5 Block 5;
ω 5 - Winkelgeschwindigkeit der Drehung von Block 5;
S 1 , S 2 - Bewegung der Körper 1 und 2;
φ 3 - Drehwinkel der Riemenscheibe 3;
sc 5 - Bewegung des Massenschwerpunkts C 5 Block 5;
s A, s B - bewegliche Punkte A und B.

Kinematische Beziehungen herstellen

Stellen wir kinematische Beziehungen her. Da die Lasten 1 und 2 durch einen Thread verbunden sind, sind ihre Geschwindigkeiten gleich:
V 2 = V 1.
Da der Faden, der die Lasten 1 und 2 verbindet, auf der äußeren Stufe der Riemenscheibe 3 aufgewickelt ist, bewegen sich die Punkte der äußeren Stufe der Riemenscheibe 3 mit der Geschwindigkeit V 2 = V 1. Dann beträgt die Winkelgeschwindigkeit der Riemenscheibe:
.
Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts V C 5 Block 5 ist gleich der Geschwindigkeit der Punkte der inneren Stufe von Riemenscheibe 3:
.
Die Geschwindigkeit des Punktes K ist Null. Daher ist es das Momentangeschwindigkeitszentrum von Block 5. Drehwinkelgeschwindigkeit von Block 5:
.
Die Geschwindigkeit von Punkt B – dem freien Ende der Feder – ist gleich der Geschwindigkeit von Punkt A:
.

Lassen Sie uns die Geschwindigkeiten in V C ausdrücken 5 .
;
;
.

Jetzt lasst uns installieren Zusammenhänge zwischen Körperbewegungen und Drehwinkeln Riemenscheibe und Block. Da Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten zeitliche Ableitungen von Verschiebungen und Drehwinkeln sind
,
dann bestehen die gleichen Zusammenhänge zwischen Verschiebungen und Drehwinkeln:
S 2 = s 1;
;
;
.

Bestimmung der kinetischen Energie des Systems

Lassen Sie uns die kinetische Energie des Systems ermitteln. Last 2 führt eine translatorische Bewegung mit der Geschwindigkeit V aus 2 . Die Riemenscheibe 3 führt eine Drehbewegung mit der Winkeldrehgeschwindigkeit ω aus 3 . Block 5 führt eine planparallele Bewegung aus. Es rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω 5 und sein Massenschwerpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeit V C 5 . Kinetische Energie des Systems:
.

Da der Trägheitsradius der Riemenscheibe relativ zur Drehachse gegeben ist, wird das Trägheitsmoment der Riemenscheibe relativ zur Drehachse durch die Formel bestimmt:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Da Block 5 ein massiver homogener Zylinder ist, ist sein Trägheitsmoment relativ zum Massenschwerpunkt gleich
.

Mithilfe kinematischer Beziehungen drücken wir alle Geschwindigkeiten durch V C aus 5 und ersetzen Sie Ausdrücke für Trägheitsmomente in der Formel für kinetische Energie.
,
wo wir die Konstante eingegeben haben
kg.

Wir haben also die Abhängigkeit der kinetischen Energie des Systems von der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts V C gefunden 5 beweglicher Block:
, wobei m = 75 kg.

Bestimmung der von äußeren Kräften verrichteten Arbeit

Berücksichtigen Sie äußere Kräfte, auf das System einwirkend.
Dabei berücksichtigen wir nicht die Spannungskräfte der Fäden, da die Fäden nicht dehnbar sind und daher keine Arbeit leisten. Aus diesem Grund berücksichtigen wir keine inneren Spannungen, die in Körpern wirken, da diese absolut fest sind.
Auf Körper 1 (ohne Masse) wirkt eine bestimmte Kraft F.
Auf Last 2 wirkt die Schwerkraft P 2 = m 2 g 2 und Reibungskraft F T .
Auf die Riemenscheibe 3 wirkt die Schwerkraft P 3 = m 3 g, N-Achsen-Druckkraft 3 und das Moment der Reibungskräfte M.
Auf Riemenscheibe 4 (ohne Masse) wirkt die Druckkraft der N-Achse 4 .
Auf den beweglichen Block 5 wirkt die Schwerkraft P 5 = m 5 g, die elastische Kraft F y der Feder und die Spannungskraft des Fadens T K am Punkt K.

Die Arbeit, die eine Kraft verrichtet, wenn sie ihren Angriffspunkt um eine kleine Verschiebung verschiebt, ist gleich dem Skalarprodukt der Vektoren, also dem Produkt der Absolutwerte der Vektoren F und ds durch den Kosinus des Winkels dazwischen ihnen. Eine gegebene Kraft, die auf Körper 1 ausgeübt wird, ist parallel zur Bewegung von Körper 1. Daher ist die von der Kraft verrichtete Arbeit, wenn sich Körper 1 um eine Strecke bewegt 1 ist gleich:


J.

Betrachten Sie Last 2. Auf sie wirkt die Schwerkraft P 2 , Flächendruckkraft N 2 , Fadenspannungskraft T 23 , T 24 und Reibungskraft F T . Da sich die Last nicht in vertikaler Richtung bewegt, ist die Projektion ihrer Beschleunigung auf die vertikale Achse Null. Daher ist die Summe der Kraftprojektionen auf der vertikalen Achse gleich Null:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 = P 2 = m 2 g.
Reibungskraft:
F T = f N 2 = f m 2 g.
Kräfte P 2 und N 2 senkrecht zur Verschiebung s 2 , also produzieren sie keine Arbeit.
Arbeit der Reibungskraft:
J.

Wenn wir Last 2 als isoliertes System betrachten, müssen wir die durch die Zugkräfte der Fäden T erzeugte Arbeit berücksichtigen 23 und T 24 . Uns interessiert jedoch das Gesamtsystem bestehend aus den Körpern 1, 2, 3, 4 und 5. Für ein solches System sind die Spannkräfte der Fäden innere Kräfte. Und da die Threads nicht erweiterbar sind, ist die Summe ihrer Arbeit Null. Bei Belastung 2 sind zusätzlich die auf die Riemenscheibe 3 und den Block 4 wirkenden Fadenspannungskräfte zu berücksichtigen. Sie sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet zu den Kräften T 23 und T 24 . Daher ist die von den Spannkräften der Fäden 23 und 24 über der Last 2 geleistete Arbeit gleich groß und hat ein entgegengesetztes Vorzeichen wie die Arbeit, die von den Spannkräften dieser Fäden über der Riemenscheibe 3 und dem Block 4 geleistet wird Die durch die Zugkräfte der Fäden erzeugte Arbeit ist Null.

Betrachten Sie Riemenscheibe 3. Da sich ihr Massenschwerpunkt nicht bewegt, ist die von der Schwerkraft geleistete Arbeit P 3 gleich Null.
Weil C-Achse 3 bewegungslos ist, dann ist die Druckkraft der N-Achse 3 bringt keine Arbeit hervor.
Die vom Drehmoment geleistete Arbeit berechnet sich ähnlich wie die von der Kraft geleistete Arbeit:
.
In unserem Fall sind die Vektoren des Reibungsmoments und des Drehwinkels der Riemenscheibe entlang der Drehachse der Riemenscheibe gerichtet, jedoch in entgegengesetzter Richtung. Daher ist die Arbeit des Moments der Reibungskräfte:
J.

Schauen wir uns Block 5 an.
Da die Geschwindigkeit des Punktes K Null ist, erzeugt die Kraft T K keine Arbeit.
Schwerpunkt von Block C 5 eine Strecke s C bewegt 5 hoch. Daher ist die von der Schwerkraft des Blocks geleistete Arbeit:
J.
Die von der elastischen Kraft der Feder geleistete Arbeit ist gleich der Änderung der potentiellen Energie der Feder mit Minuszeichen. Da die Feder also zunächst nicht verformt wird
J.

Die Summe der Arbeit aller Kräfte:

J.

Anwendung des Satzes über die Änderung der kinetischen Energie eines Systems

Wenden wir den Satz über die Änderung der kinetischen Energie des Systems in integraler Form an.
.
Da das System zu Beginn in Ruhe war, beträgt seine kinetische Energie zu Beginn seiner Bewegung
T 0 = 0 .
Dann
.
Von hier
MS.

Die kinetische Energie eines mechanischen Systems setzt sich aus den kinetischen Energien aller seiner Punkte zusammen:

Wenn wir jeden Teil dieser Gleichheit nach der Zeit differenzieren, erhalten wir:

Mit dem Grundgesetz der Dynamik Zu Punkt des Systems m k 2i k= Fj., kommen wir zur Gleichheit

Das Skalarprodukt aus Kraft F und Geschwindigkeit v am Angriffspunkt heißt starke Kraft und bezeichnen R:

Unter Verwendung dieser neuen Notation stellen wir (11.6) in der folgenden Form dar:

Die resultierende Gleichheit drückt die Differentialform des Satzes über die Änderung der kinetischen Energie aus: Die Änderungsrate der kinetischen Energie eines mechanischen Systems ist gleich der Summe der Kräfte aller cm, die auf das System einwirken.

Präsentation des Derivats F in (8.5) in Bruchform – und ausführen

Wenn wir dann die Variablen trennen, erhalten wir:

Wo dT- kinetische Energiedifferenz, d.h. seine Veränderung über einen verschwindend kleinen Zeitraum dr, dr k = k dt - elementare Bewegung Zu- te Punkte des Systems, d.h. Bewegung in der Zeit dt.

Skalarprodukt aus Kraft F und Elementarverschiebung DR seine Einsatzpunkte werden genannt Grundarbeit Kräfte und bezeichnen dA:

Mithilfe der Eigenschaften des Skalarprodukts können wir die elementare Kraftarbeit auch in der Form darstellen

Hier ds = dr - Bogenlänge der Trajektorie des Kraftangriffspunkts, entsprechend seiner Elementarverschiebung s/g; A - der Winkel zwischen den Richtungen des Kraftvektors F und des Elementarverschiebungsvektors c/r; F„ F y , F,- Projektionen des Kraftvektors F auf die kartesischen Achsen; dx, dy, dz - Projektionen auf die kartesischen Achsen des Vektors der Elementarverschiebung s/g.

Unter Berücksichtigung der Notation (11.9) kann Gleichheit (11.8) in der folgenden Form dargestellt werden:

diese. Das Differential der kinetischen Energie des Systems ist gleich der Summe der Elementararbeiten aller auf das System wirkenden Kräfte. Diese Gleichheit drückt wie (11.7) die Differentialform des Satzes über die Änderung der kinetischen Energie aus, unterscheidet sich jedoch von (11.7) dadurch, dass sie keine Ableitungen, sondern unendlich kleine Inkremente – Differentiale – verwendet.

Wenn wir die Term-für-Term-Integration der Gleichheit (11.12) durchführen, erhalten wir:

wobei als Integrationsgrenzen verwendet werden: 7 0 - kinetische Energie des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt? 0 ; 7) - kinetische Energie des Systems zum jeweiligen Zeitpunkt tx.

Bestimmte Integrale über die Zeit oder A(F):

Hinweis 1: Zur Berechnung der Arbeit ist es manchmal bequemer, eine nicht bogenförmige Parametrisierung der Flugbahn zu verwenden MS), und koordinieren M(x(t), y(/), z(f)). In diesem Fall ist es für elementare Arbeiten naheliegend, die Darstellung (11.11) zu übernehmen und das krummlinige Integral in der Form darzustellen:

Unter Berücksichtigung der Notation (11.14) der Arbeit an einer endlichen Verschiebung nimmt die Gleichheit (11.13) die Form an

und stellt die endgültige Form des Satzes über die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems dar.

Satz 3. Die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems bei seiner Bewegung von der Ausgangsposition in die Endposition ist gleich der Summe der Arbeit aller Kräfte, die während dieser Bewegung auf Punkte des Systems wirken.

Kommentar 2. Die rechte Seite der Gleichheit (11.16) berücksichtigt die Arbeit mit aller Kraft, das sowohl extern als auch intern auf das System einwirkt. Dennoch gibt es mechanische Systeme, bei denen die Gesamtarbeit aller inneren Kräfte Null ist. Egos so genannt unveränderliche Systeme, bei dem sich die Abstände zwischen interagierenden Materialpunkten nicht ändern. Zum Beispiel ein System fester Körper, die durch reibungsfreie Scharniere oder flexible, nicht dehnbare Fäden verbunden sind. Für solche Systeme reicht es in Gleichung (11.16) aus, nur die Arbeit äußerer Kräfte zu berücksichtigen, d.h. Satz (11.16) hat die Form: