Partielle Ableitungen von Funktionen zweier Variablen.
Konzept und Lösungsbeispiele

In dieser Lektion werden wir unsere Bekanntschaft mit der Funktion zweier Variablen fortsetzen und die vielleicht häufigste thematische Aufgabe betrachten - das Finden partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung sowie das totale Differential der Funktion. Teilzeitstudierende werden in der Regel im 1. Studienjahr im 2. Semester mit partiellen Ableitungen konfrontiert. Außerdem findet sich nach meinen Beobachtungen die Aufgabe, partielle Ableitungen zu finden, fast immer in der Klausur.

Um das folgende Material effektiv zu studieren, müssen Sie notwendig in der Lage sein, die "üblichen" Ableitungen einer Funktion einer Variablen mehr oder weniger sicher zu finden. Den richtigen Umgang mit Derivaten lernen Sie in den Lektionen Wie finde ich die Ableitung? und Ableitung einer komplexen Funktion. Wir brauchen auch eine Ableitungstabelle von Elementarfunktionen und Ableitungsregeln, es ist am bequemsten, wenn sie in gedruckter Form zur Hand ist. Referenzmaterial finden Sie auf der Seite Mathematische Formeln und Tabellen.

Lassen Sie uns schnell das Konzept einer Funktion von zwei Variablen wiederholen, ich werde versuchen, mich auf das Nötigste zu beschränken. Eine Funktion mit zwei Variablen wird normalerweise als geschrieben, wobei die Variablen aufgerufen werden unabhängige Variablen oder Argumente.

Beispiel: - eine Funktion von zwei Variablen.

Manchmal wird die Notation verwendet. Es gibt auch Aufgaben, bei denen der Buchstabe anstelle eines Buchstabens verwendet wird.

Aus geometrischer Sicht ist eine Funktion zweier Variablen meistens eine Oberfläche des dreidimensionalen Raums (eine Ebene, ein Zylinder, eine Kugel, ein Paraboloid, ein Hyperboloid usw.). Aber eigentlich ist das schon eher analytische Geometrie, und wir haben mathematische Analysis auf der Tagesordnung, die mich mein Hochschullehrer nie als mein „Pferd“ abschreiben ließ.

Wir wenden uns der Frage zu, partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung zu finden. Ich habe eine gute Nachricht für diejenigen unter Ihnen, die ein paar Tassen Kaffee getrunken haben und Lust auf unvorstellbar schwierigen Stoff haben: partielle Ableitungen sind fast die gleichen wie die "gewöhnlichen" Ableitungen einer Funktion einer Variablen.

Für partielle Ableitungen gelten alle Ableitungsregeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Es gibt nur ein paar kleine Unterschiede, die wir gleich kennenlernen werden:

... ja, übrigens, für dieses Thema habe ich es erstellt Kleines pdf-Buch, mit dem Sie in nur wenigen Stunden "Ihre Hand füllen" können. Aber wenn Sie die Seite verwenden, erhalten Sie natürlich auch das Ergebnis - nur vielleicht etwas langsamer:

Beispiel 1

Finden Sie partielle Ableitungen der ersten und zweiten Ordnung einer Funktion

Zuerst finden wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung. Es gibt zwei davon.

Notation:
oder - partielle Ableitung nach "x"
oder - partielle Ableitung nach "y"

Lass uns beginnen mit . Wenn wir die partielle Ableitung in Bezug auf "x" finden, wird die Variable als Konstante (konstante Zahl) betrachtet..

Kommentare zu den ergriffenen Maßnahmen:

(1) Das erste, was wir tun, wenn wir die partielle Ableitung finden, ist zu schließen alles Funktion in Klammern unter dem Bindestrich mit Index.

Achtung wichtig! Tiefstellungen VERLIEREN NICHT im Zuge der Lösung. Wenn Sie in diesem Fall irgendwo ohne einen „Strich“ zeichnen, kann der Lehrer ihn zumindest neben die Aufgabe stellen (einen Teil der Partitur wegen Unaufmerksamkeit sofort abbeißen).

(2) Verwenden Sie die Ableitungsregeln , . Für ein einfaches Beispiel wie dieses können beide Regeln im selben Schritt angewendet werden. Achten Sie auf den ersten Begriff: seit wird als Konstante betrachtet, und jede Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden, dann nehmen wir es aus Klammern heraus. Das heißt, in dieser Situation ist es nicht besser als eine normale Nummer. Schauen wir uns nun den dritten Term an: Hier gibt es im Gegenteil nichts herauszunehmen. Da es eine Konstante ist, ist es auch eine Konstante, und in diesem Sinne ist es nicht besser als das letzte Glied – die „Sieben“.

(3) Wir verwenden tabellarische Ableitungen und .

(4) Wir vereinfachen oder, wie ich gerne sage, „kombinieren“ die Antwort.

Jetzt . Wenn wir die partielle Ableitung nach "y" finden, dann die Variableals Konstante betrachtet (konstante Zahl).

(1) Wir verwenden die gleichen Ableitungsregeln , . Im ersten Term nehmen wir die Konstante jenseits des Vorzeichens der Ableitung heraus, im zweiten Term kann nichts herausgenommen werden, weil es bereits eine Konstante ist.

(2) Wir verwenden die Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen. Ändern Sie gedanklich in der Tabelle alle "X" in "Y". Das heißt, diese Tabelle gilt gleichermaßen für (und tatsächlich für fast jeden Buchstaben). Insbesondere sehen die von uns verwendeten Formeln so aus: und .

Was bedeuten partielle Ableitungen?

Im Kern ähneln partielle Ableitungen 1. Ordnung "gewöhnliche" Ableitung:

- Das Funktionen, die charakterisieren Änderungsrate Funktionen in Richtung der Achsen bzw. Also zum Beispiel die Funktion charakterisiert die Steilheit von "Aufstiegen" und "Pisten" Oberflächen in Richtung der Abszissenachse, und die Funktion gibt Auskunft über das "Relief" derselben Fläche in Richtung der Ordinatenachse.

! Notiz : hier bezieht sich auf Richtungen, die sind parallel Koordinatenachsen.

Betrachten wir zum besseren Verständnis einen bestimmten Punkt der Ebene und berechnen darin den Wert der Funktion („Höhe“):
- und nun stellen Sie sich vor, Sie wären hier (an der Oberfläche).

Wir berechnen die partielle Ableitung nach „x“ an einem gegebenen Punkt:

Das negative Vorzeichen der "X"-Ableitung sagt uns etwas darüber aus absteigend Funktionen an einem Punkt in Richtung der x-Achse. Mit anderen Worten, wenn wir klein-klein machen (unendlich klein) Schritt in Richtung der Spitze der Achse (parallel zu dieser Achse), gehen Sie dann den Hang der Oberfläche hinunter.

Nun ermitteln wir die Beschaffenheit des „Geländes“ in Richtung der y-Achse:

Die Ableitung nach "y" ist also positiv an einem Punkt entlang der Achse, der Funktion erhöht sich. Wenn es ganz einfach ist, dann warten wir hier auf einen Anstieg.

Außerdem ist die partielle Ableitung an einem Punkt charakterisiert Änderungsrate Funktionen in die entsprechende Richtung. Je größer der resultierende Wert modulo- Je steiler die Oberfläche und umgekehrt, je näher sie an Null liegt, desto flacher ist die Oberfläche. In unserem Beispiel ist also die „Steigung“ in Richtung der Abszissenachse steiler als der „Berg“ in Richtung der Ordinatenachse.

Aber das waren zwei Privatwege. Es ist ziemlich klar, dass von dem Punkt an, an dem wir uns befinden, (und im Allgemeinen von jedem Punkt der gegebenen Oberfläche) wir können uns in eine andere Richtung bewegen. Daher besteht ein Interesse daran, eine allgemeine "Navigationskarte" zu erstellen, die uns etwas über die "Landschaft" der Oberfläche sagen würde. nach Möglichkeit an jedem Punkt Umfang dieser Funktion auf allen verfügbaren Wegen. Ich werde darüber und andere interessante Dinge in einer der nächsten Lektionen sprechen, aber jetzt kehren wir zur technischen Seite des Problems zurück.

Wir systematisieren die elementaren angewandten Regeln:

1) Wenn wir durch differenzieren, wird die Variable als Konstante betrachtet.

2) Bei Differenzierung gem, wird dann als Konstante betrachtet.

3) Die Regeln und die Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen sind gültig und anwendbar für jede Variable (oder jede andere), in Bezug auf die die Differentiation durchgeführt wird.

Schritt zwei. Wir finden partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Es gibt vier von ihnen.

Notation:
oder - die zweite Ableitung nach "x"
oder - die zweite Ableitung nach "y"
oder - gemischt Ableitung "x nach y"
oder - gemischt Ableitung "Y mit X"

Bei der zweiten Ableitung gibt es keine Probleme. In einfachen Worten, die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.

Der Einfachheit halber werde ich die bereits gefundenen partiellen Ableitungen erster Ordnung umschreiben:

Zuerst finden wir die gemischten Ableitungen:

Wie Sie sehen, ist alles einfach: Wir nehmen die partielle Ableitung und differenzieren sie erneut, aber in diesem Fall bereits nach „y“.

Ähnlich:

In praktischen Beispielen können Sie sich auf die folgende Gleichheit konzentrieren:

So ist es sehr bequem, durch gemischte Ableitungen zweiter Ordnung zu überprüfen, ob wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung richtig gefunden haben.

Wir finden die zweite Ableitung nach "x".
Keine Erfindungen, nehmen wir und wieder durch "X" differenzieren:

Ähnlich:

Es sollte beachtet werden, dass Sie bei der Suche zeigen müssen erhöhte Aufmerksamkeit, da es keine wundersamen Gleichheiten gibt, um sie zu testen.

Die zweiten Ableitungen finden auch breite praktische Anwendung, insbesondere werden sie beim Problem des Auffindens verwendet Extrema einer Funktion zweier Variablen. Aber alles hat seine Zeit:

Beispiel 2

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion am Punkt . Finden Sie Ableitungen zweiter Ordnung.

Dies ist ein Beispiel für Selbstlösungen (Antworten am Ende der Lektion). Wenn Sie Schwierigkeiten haben, Wurzeln zu unterscheiden, gehen Sie zurück zur Lektion Wie finde ich die Ableitung? Im Allgemeinen werden Sie ziemlich bald lernen, wie Sie ähnliche Derivate im Handumdrehen finden.

Wir füllen unsere Hand mit komplexeren Beispielen:

Beispiel 3

Prüfe das . Schreiben Sie das totale Differential erster Ordnung.

Lösung: Wir finden partielle Ableitungen erster Ordnung:

Achten Sie auf den Index: Neben dem "x" ist es nicht verboten, in Klammern zu schreiben, dass es sich um eine Konstante handelt. Diese Markierung kann für Anfänger sehr nützlich sein, um die Navigation in der Lösung zu erleichtern.

Weitere Kommentare:

(1) Wir entfernen alle Konstanten außerhalb des Vorzeichens der Ableitung. In diesem Fall werden und und damit ihr Produkt als konstante Zahl betrachtet.

(2) Vergessen Sie nicht, wie man die Wurzeln richtig unterscheidet.

(1) Wir entfernen alle Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung, in diesem Fall ist die Konstante .

(2) Unter der Primzahl haben wir das Produkt zweier Funktionen, daher müssen wir die Produktdifferenzierungsregel anwenden .

(3) Vergessen Sie nicht, dass dies eine komplexe Funktion ist (obwohl die einfachste der komplexen). Wir verwenden die entsprechende Regel: .

Nun finden wir gemischte Ableitungen zweiter Ordnung:

Das bedeutet, dass alle Berechnungen korrekt sind.

Lassen Sie uns das totale Differential schreiben. Im Zusammenhang mit der betrachteten Aufgabe macht es keinen Sinn zu sagen, was das totale Differential einer Funktion zweier Variablen ist. Es ist wichtig, dass genau dieses Differential sehr oft in praktischen Problemen niedergeschrieben werden muss.

Gesamtdifferential erster Ordnung Funktionen zweier Variablen hat die Form:

In diesem Fall:

Das heißt, in der Formel müssen Sie nur dummerweise die bereits gefundenen partiellen Ableitungen erster Ordnung ersetzen. Differentialsymbole und in dieser und ähnlichen Situationen ist es besser, wenn möglich in Zählern zu schreiben:

Und auf wiederholten Wunsch der Leser, volles Differential zweiter Ordnung.

Es sieht aus wie das:

Suchen Sie SORGFÄLTIG die "Einzelbuchstaben" -Ableitungen der 2. Ordnung:

und notieren Sie das "Monster", "befestigen" Sie sorgfältig die Quadrate, das Produkt und vergessen Sie nicht, die gemischte Ableitung zu verdoppeln:

Es ist in Ordnung, wenn etwas schwierig erscheint, Sie können später immer noch zu Derivaten zurückkehren, nachdem Sie die Differenzierungstechnik aufgegriffen haben:

Beispiel 4

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion . Prüfe das . Schreiben Sie das totale Differential erster Ordnung.

Betrachten Sie eine Reihe von Beispielen mit komplexen Funktionen:

Beispiel 5

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung der Funktion .

Entscheidung:

Beispiel 6

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .
Schreiben Sie das Gesamtdifferential auf.

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion). Ich werde nicht die vollständige Lösung posten, weil es ziemlich einfach ist.

Sehr oft werden alle oben genannten Regeln in Kombination angewendet.

Beispiel 7

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .

(1) Wir verwenden die Regel der Ableitung der Summe

(2) Der erste Term wird in diesem Fall als Konstante betrachtet, da in dem Ausdruck nichts von „x“ abhängt – nur „y“. Weißt du, es ist immer schön, wenn ein Bruch in Null umgewandelt werden kann). Für den zweiten Term wenden wir die Produktdifferenzierungsregel an. Übrigens, in diesem Sinne würde sich nichts ändern, wenn stattdessen eine Funktion angegeben wäre - das ist hier wichtig das Produkt zweier Funktionen, JEDER davon hängt ab "X", und deshalb müssen Sie die Ableitungsregel des Produkts anwenden. Für den dritten Term wenden wir die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an.

(1) Im ersten Term enthalten sowohl der Zähler als auch der Nenner ein „y“, daher müssen Sie die Regel zum Ableiten des Quotienten anwenden: . Der zweite Term hängt NUR von "x" ab, was bedeutet, dass er als Konstante betrachtet wird und zu Null wird. Für den dritten Term verwenden wir die Ableitungsregel einer komplexen Funktion.

Für die Leser, die es mutig bis fast zum Ende der Lektion geschafft haben, erzähle ich zur Entspannung eine alte Mechmatov-Anekdote:

Einmal tauchte ein böses Derivat im Raum der Funktionen auf und wie es ging, um alle zu unterscheiden. Alle Funktionen zerstreuen sich in alle Richtungen, niemand will sich drehen! Und nur eine Funktion entkommt nirgendwo. Das Derivat nähert sich ihm und fragt:

"Warum läufst du nicht vor mir weg?"

- Ha. Aber das ist mir egal, denn ich bin "e hoch x", und du kannst mir nichts antun!

Worauf das böse Derivat mit einem hinterhältigen Lächeln antwortet:

- Hier liegst du falsch, ich werde dich durch „y“ unterscheiden, also sei Null für dich.

Wer den Witz verstand, beherrschte die Ableitungen, zumindest für die „Troika“).

Beispiel 8

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Eine vollständige Lösung und ein Musterentwurf des Problems finden Sie am Ende der Lektion.

Nun, das ist fast alles. Abschließend kann ich nicht umhin, die Mathematiker mit einem weiteren Beispiel zu erfreuen. Dabei geht es nicht einmal um Laien, jeder hat eine andere mathematische Ausbildung - es gibt Menschen (und nicht so selten), die sich gerne mit schwierigeren Aufgaben messen. Obwohl das letzte Beispiel in dieser Lektion weniger kompliziert als umständlich in Bezug auf Berechnungen ist.

Definition: Das totale Differential einer Funktion mehrere Variablen heißt die Summe aller ihrer partiellen Differentiale:

Beispiel 1: .

Entscheidung:

Da die partiellen Ableitungen dieser Funktion gleich sind:

Dann können wir sofort die partiellen Differentiale dieser Funktionen schreiben:

, ,

Dann sieht das totale Differential der Funktion so aus:

.

Beispiel 2 Finden Sie das vollständige Differential einer Funktion

Entscheidung:

Diese Funktion ist komplex, d.h. kann man sich vorstellen als

Wir finden partielle Ableitungen:

Volles Differential:

Die analytische Bedeutung des Gesamtdifferentials ist, dass das Gesamtdifferential einer Funktion mehrerer Variablen den Hauptteil des Gesamtinkrements dieser Funktion ausmacht, das heißt, es gibt eine ungefähre Gleichheit: ∆z≈dz.

Es muss jedoch daran erinnert werden, dass diese Näherungsgleichungen nur für kleine Differentiale dx und dy der Argumente der Funktion z=f(x,y) gelten.

Die Verwendung des Gesamtdifferentials in Näherungsrechnungen basiert auf der Verwendung der Formel ∆z≈dz.

In der Tat, wenn in dieser Formel das Inkrement ∆z der Funktion als dargestellt wird, und das Gesamtdifferential als , dann erhalten wir:

≈ ,

Die resultierende Formel kann verwendet werden, um ungefähr den "neuen" Wert einer Funktion von zwei Variablen zu finden, die sie mit ausreichend kleinen Inkrementen ihrer beiden Argumente annimmt.

Beispiel. Finden Sie den ungefähren Wert einer Funktion , mit den folgenden Werten seiner Argumente: 1.01, .

Entscheidung.

Durch Ersetzen der partiellen Ableitungen der zuvor in der Formel gefundenen Funktionen erhalten wir:

Beim Einsetzen der Werte x=1, ∆x=0,01, y=2, ∆y=0,02 erhalten wir:

skalares Feld.

Wenn an jedem Punkt eines Raumgebietes D die Funktion U(p)=U(x,y,z) gegeben ist, dann sagt man, dass im Gebiet D ein skalares Feld gegeben ist.

Bezeichnet beispielsweise U(x, y, z) die Temperatur am Punkt M(x, y, z), so spricht man von einem skalaren Temperaturfeld. Wenn der Bereich D mit Flüssigkeit oder Gas gefüllt ist und U(x,y,z) den Druck bezeichnet, dann liegt ein skalares Druckfeld vor. Ist die Anordnung von Ladungen oder massiven Körpern im Raum gegeben, so spricht man von einem Potentialfeld.

Das Skalarfeld wird aufgerufen stationär, wenn sich die Funktion U(x,y,z) nicht mit der Zeit ändert: U(x,y,z) ≠ f(t).

Jedes stationäre Feld ist gekennzeichnet durch:

1) die ebene Oberfläche des Skalarfeldes

2) die Änderungsrate des Feldes in einer bestimmten Richtung.

Ebene Oberfläche Skalarfeld ist der Ort der Punkte, an denen die Funktion U(x,y,z) einen konstanten Wert annimmt, d. h. U(x,y,z) = const. Die Sammlung dieser Punkte bildet eine bestimmte Oberfläche. Wenn wir eine andere Konstante nehmen, erhalten wir eine andere Oberfläche.

Beispiel: Gegeben sei ein Skalarfeld. Ein Beispiel für ein solches Feld ist das elektrische Potentialfeld einer elektrischen Punktladung (+q). Die ebenen Flächen sind hier die Äquipotentialflächen , also Kugeln, in deren Mitte sich eine Ladung befindet, die ein Feld erzeugt.

Die Richtung des größten Anstiegs einer Skalarfunktion wird durch einen Vektor namens angegeben Gradient und wird durch das Symbol (oder ) gekennzeichnet.

Der Gradient der Funktion wird in Bezug auf die partiellen Ableitungen dieser Funktion gefunden und ist an einem bestimmten Punkt immer senkrecht zur ebenen Oberfläche des Skalarfelds:

, wo

Einheitsvektoren jeweils entlang der Achsen OX, OY, OZ

Die Ableitung der Funktion U(x,y,z) in jede andere Richtung (λ) wird durch die Formel bestimmt:

, wo

α, β, γ sind die Winkel zwischen den Koordinatenachsen OX, OY, OZ bzw. Richtung.

Wie Sie sehen können, müssen Sie die Ableitung mit dx multiplizieren, um das Differential zu finden. Damit können Sie aus der Formeltabelle für Ableitungen sofort die entsprechende Tabelle für Differentiale schreiben.

Gesamtdifferential für eine Funktion zweier Variablen:

Das Gesamtdifferential für eine Funktion von drei Variablen ist gleich der Summe der Teildifferentiale: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x). ,y,z)dz

Bestimmung . Eine Funktion y=f(x) heißt an einer Stelle x 0 differenzierbar, wenn ihr Inkrement an dieser Stelle dargestellt werden kann als ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, wobei A eine Konstante und α(∆ x) ist unendlich klein, da ∆x → 0.
Die Forderung, dass eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist, ist gleichbedeutend mit der Existenz einer Ableitung an dieser Stelle mit A = f'(x 0).

Sei f(x) in einem Punkt x 0 differenzierbar und f "(x 0)≠0 , dann gilt ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, wobei α= α(∆x) →0 als ∆x → 0. Die Größe ∆y und jeder Term auf der rechten Seite sind infinitesimale Werte wie ∆x→0. Vergleichen wir sie: , das heißt, α(∆x)∆x ist eine infinitesimal höhere Ordnung als f’(x 0)∆x.
, also ∆y~f’(x 0)∆x. Daher ist f’(x 0)∆x der Haupt- und zugleich linear zu ∆x Teil des Inkrements ∆y (linear bedeutet ∆x ersten Grades enthaltend). Dieser Term wird als Differential der Funktion y \u003d f (x) am Punkt x 0 bezeichnet und mit dy (x 0) oder df (x 0) bezeichnet. Also für beliebiges x
dy=f′(x)∆x. (ein)
Sei also dx=∆x
dy=f′(x)dx. (2)

Beispiel. Finden Sie Ableitungen und Differentiale dieser Funktionen.
a) y=4tg2x
Entscheidung:

Differential:
b)
Entscheidung:

Differential:
c) y=arkussin 2 (lnx)
Entscheidung:

Differential:
G)
Entscheidung:
=
Differential:

Beispiel. Finden Sie für die Funktion y=x 3 einen Ausdruck für ∆y und dy für einige Werte von x und ∆x.
Entscheidung. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (wir haben den linearen Hauptteil von ∆y in Bezug auf ∆x genommen). In diesem Fall ist α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Sammlungsausgabe:

AUF DEM DIFFERENTIAL ZWEITER ORDNUNG

Lovkov Iwan Jurjewitsch

Student der Moskauer Staatlichen Universität für Informationstechnologien, Funktechnik und Elektronik, RF, Serpukhov

E- Post: Alkasardänzer@ Wanderer. en

Taperechkina Vera Alekseevna

kann. Phys.-Math. Wissenschaften, außerordentlicher Professor, Moskauer Staatliche Universität für Informationstechnologien, Funktechnik und Elektronik, Russische Föderation, Serpukhov

ÜBER DIFFERENTIAL ZWEITER ORDNUNG

Lovkov Ivan

Student der Moskauer Staatlichen Universität für Informationstechnologien, Funktechnik und Elektronik, Russland, Serpukhov

Vera Taperetschkina

Kandidat der physikalischen und mathematischen Wissenschaften, außerordentlicher Professor der Moskauer Staatlichen Universität für Informationstechnologien, Funktechnik und Elektronik, Russland, Serpukhov

ANMERKUNG

Die Arbeit betrachtet Methoden zum Auffinden von Ableitungen und Differentialen erster und zweiter Ordnung für komplexe Funktionen zweier Variablen.

ABSTRAKT

Berechnungsmethoden von Ableitungen und ersten und zweiten Differentialen für zusammengesetzte Funktionen zweier Variablen.

Stichworte: partielle Ableitungen; Differential.

Schlüsselwörter: partielle Ableitungen; Differential.

1. Einführung.

Formulieren wir einige Tatsachen aus der Theorie der Funktionen mehrerer Veränderlicher, die wir im Folgenden benötigen.

Definition: Eine Funktion z=f(u, v) heißt an einem Punkt (u, v) differenzierbar, wenn ihr Inkrement Δz dargestellt werden kann als:

Der lineare Teil des Inkrements wird Gesamtdifferential genannt und mit dz bezeichnet.

Satz (hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit) vgl.

Existieren in irgendeiner Umgebung von m.(u, v) stetige partielle Ableitungen und , so ist die Funktion f(u, v) an dieser Stelle und differenzierbar

(du=Δu, dv=Δv). (ein)

Definition: Das zweite Differential der Funktion z=f(u, v) an einem gegebenen Punkt (u, v) ist das erste Differential des ersten Differentials der Funktion f(u, v), d.h.

Aus der Definition des zweiten Differentials z=f(u, v), wobei u und v unabhängige Variablen sind, folgt

Somit gilt die Formel:

Bei der Ableitung der Formel wurde der Satz von Schwartz über die Gleichheit gemischter Ableitungen verwendet. Diese Gleichheit gilt unter der Voraussetzung, dass sind in einer Umgebung von m.(u, v) definiert und stetig in m.(u, v). sehen

Die Formel zur Bildung des 2. Differentials lässt sich symbolisch in folgender Form schreiben: – Formales Quadrieren der Klammer mit anschließender formaler Multiplikation rechts mit f(x y) ergibt die zuvor erhaltene Formel . Analog gilt die Formel für das 3. Differential:

Und überhaupt:

Wobei die formale Potenzierung nach Newtons Binomialformel durchgeführt wird:

;

Beachten Sie, dass das erste Differential einer Funktion zweier Variablen die Forminvarianzeigenschaft hat. Das heißt, wenn u und v unabhängige Variablen sind, dann gilt für die Funktion z=f(u, v) nach (1)

Seien nun u=u(x y), v=v(x y), dann z=f(u(x y), v(x y)), dann sind x und y unabhängige Variablen

Verwendung bekannter Formeln zur Ableitung einer komplexen Funktion:

Dann erhalten wir aus (3) und (4):

Auf diese Weise,

(5)

wo - das erste Differential der Funktion u, - das erste Differential der Funktion v.

Wenn wir (1) und (5) vergleichen, sehen wir, dass die Formel für dz formal geschrieben bleibt, aber wenn in (1) du=Δu, dv=Δv Inkremente von unabhängigen Variablen sind, dann sind in (5) du und dv Differentiale von Funktionen u und v.

2. Das zweite Differential einer zusammengesetzten Funktion zweier Variablen.

Zunächst zeigen wir, dass das zweite Differential nicht die Forminvarianzeigenschaft hat.

Sei z=z(u, v) im Fall von unabhängigen Variablen u und v, das zweite Differential wird durch die Formel (2) gefunden

Sei nun u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), wobei x und y unabhängige Variablen sind. Dann

.

Also, wir haben endlich:

Die Formeln (2) und (6) stimmen in der Form nicht überein, daher hat das zweite Differential nicht die Invarianzeigenschaft.

Zuvor wurden partielle Ableitungsformeln 1. Ordnung für eine komplexe Funktion z=f(u, v) hergeleitet, wobei u=u(x y), v=v(x y), wobei x und y unabhängige Variablen sind, siehe .

Wir leiten Formeln zur Berechnung partieller Ableitungen und eines Differentials zweiter Ordnung für die Funktion z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y) her, wobei x und y unabhängige Variablen sind.

Für Funktionen u(x y), v(x y) von unabhängigen Variablen x, y haben wir die Formeln:

Lassen Sie uns die Formeln (8) durch (6) ersetzen.

Damit haben wir eine Formel für das Differential zweiter Ordnung einer komplexen Funktion zweier Variablen erhalten.

Vergleicht man die Koeffizienten für partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer komplexen Funktion zweier Variablen in (2) und (9), erhält man die Formeln:

Beispiel 1cm

Sei z=f(u, v), u=xy, v=. Finden Sie das zweite Differential.

Lösung: partielle Ableitungen berechnen:

, , , ,

, ,