Beim Studium der Algebra in einer weiterführenden Schule (Klasse 9) ist eines der wichtigen Themen das Studium numerischer Folgen, zu denen Progressionen gehören - geometrisch und arithmetisch. In diesem Artikel betrachten wir eine arithmetische Progression und Beispiele mit Lösungen.

Was ist eine arithmetische Progression?

Um dies zu verstehen, ist es notwendig, den betrachteten Ablauf zu definieren sowie die grundlegenden Formeln anzugeben, die bei der Lösung von Problemen weiter verwendet werden.

Arithmetik oder ist eine solche Menge geordneter rationaler Zahlen, von denen sich jedes Mitglied durch einen konstanten Wert vom vorherigen unterscheidet. Dieser Wert wird Differenz genannt. Das heißt, wenn Sie jedes Mitglied einer geordneten Zahlenreihe und die Differenz kennen, können Sie die gesamte arithmetische Folge wiederherstellen.

Nehmen wir ein Beispiel. Die nächste Zahlenfolge ist eine arithmetische Folge: 4, 8, 12, 16, ..., da die Differenz in diesem Fall 4 beträgt (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Aber die Zahlenreihe 3, 5, 8, 12, 17 kann nicht mehr der betrachteten Progressionsart zugeordnet werden, da die Differenz dafür kein konstanter Wert ist (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Wichtige Formeln

Wir geben jetzt die grundlegenden Formeln an, die benötigt werden, um Probleme mit einer arithmetischen Progression zu lösen. Sei a n das n-te Glied der Folge, wobei n eine ganze Zahl ist. Der Unterschied wird mit dem lateinischen Buchstaben d bezeichnet. Dann sind die folgenden Ausdrücke wahr:

1. Um den Wert des n-ten Terms zu bestimmen, eignet sich die Formel: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Um die Summe der ersten n Terme zu bestimmen: S n = (a n + a 1)*n/2.

Um Beispiele für eine arithmetische Folge mit einer Lösung in Klasse 9 zu verstehen, reicht es aus, sich an diese beiden Formeln zu erinnern, da alle Probleme der betreffenden Art auf ihrer Verwendung aufbauen. Vergessen Sie auch nicht, dass die Progressionsdifferenz durch die Formel bestimmt wird: d = a n - a n-1 .

Beispiel #1: Suche nach einem unbekannten Mitglied

Wir geben ein einfaches Beispiel für eine arithmetische Folge und die Formeln, die zur Lösung verwendet werden müssen.

Sei die Folge 10, 8, 6, 4, ... gegeben, es müssen fünf Terme darin gefunden werden.

Aus den Bedingungen des Problems folgt bereits, dass die ersten 4 Terme bekannt sind. Die Quinte kann auf zwei Arten definiert werden:

1. Lassen Sie uns zuerst die Differenz berechnen. Wir haben: d = 8 - 10 = -2. Ebenso könnte man zwei beliebige andere Terme nehmen, die nebeneinander stehen. Beispiel: d = 4 - 6 = -2. Da bekannt ist, dass d \u003d a n - a n-1, dann d \u003d a 5 - a 4, woher wir bekommen: a 5 \u003d a 4 + d. Wir ersetzen die bekannten Werte: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Die zweite Methode erfordert ebenfalls die Kenntnis des Unterschieds der betreffenden Progression, also müssen Sie ihn zuerst bestimmen, wie oben gezeigt (d = -2). Da wir wissen, dass der erste Term a 1 = 10 ist, verwenden wir die Formel für die Zahl n der Folge. Wir haben: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Setzen wir n = 5 in den letzten Ausdruck ein, erhalten wir: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Wie Sie sehen, führen beide Lösungen zum gleichen Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Differenz d der Progression negativ ist. Solche Folgen werden als abnehmend bezeichnet, weil jeder nachfolgende Term kleiner als der vorherige ist.

Beispiel #2: Progressionsunterschied

Lassen Sie uns die Aufgabe jetzt ein wenig komplizieren und ein Beispiel geben, wie Sie den Unterschied einer arithmetischen Folge ermitteln können.

Es ist bekannt, dass in einigen algebraischen Progressionen der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Folge zum 7. Term wiederherzustellen.

Lassen Sie uns die Formel verwenden, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Wir ersetzen die bekannten Daten aus der Bedingung, dh die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 \u003d 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie leicht die Differenz berechnen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Damit war der erste Teil der Aufgabe gelöst.

Um die Folge bis zum 7. Glied wiederherzustellen, sollten Sie die Definition einer algebraischen Progression verwenden, dh a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d und so weiter. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 und 7 = 18.

Beispiel Nr. 3: eine Progression machen

Lassen Sie uns die Bedingung des Problems noch komplizierter machen. Jetzt müssen Sie die Frage beantworten, wie Sie eine arithmetische Progression finden. Folgendes Beispiel kann gegeben werden: Es werden zwei Zahlen gegeben, zum Beispiel 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Folge zu machen, so dass drei weitere Terme dazwischen platziert werden.

Bevor Sie mit der Lösung dieses Problems beginnen, müssen Sie verstehen, welchen Platz die angegebenen Zahlen in der zukünftigen Progression einnehmen werden. Da zwischen ihnen drei weitere Terme stehen, dann eine 1 \u003d -4 und eine 5 \u003d 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, fahren wir mit einer Aufgabe fort, die der vorherigen ähnlich ist. Auch hier verwenden wir für den n-ten Term die Formel, wir erhalten: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Aus: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Hier ist die Differenz kein ganzzahliger Wert, sondern eine rationale Zahl, sodass die Formeln für die algebraische Progression gleich bleiben.

Jetzt addieren wir den gefundenen Unterschied zu einer 1 und stellen die fehlenden Mitglieder der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, was mit der Bedingung des Problems übereinstimmte.

Beispiel #4: Das erste Mitglied der Progression

Wir geben weiterhin Beispiele für eine arithmetische Folge mit einer Lösung. Bei allen bisherigen Aufgaben war die erste Zahl der algebraischen Folge bekannt. Betrachten wir nun ein Problem anderer Art: Gegeben seien zwei Zahlen, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es ist notwendig herauszufinden, ab welcher Zahl diese Folge beginnt.

Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. Über diese Zahlen ist im Zustand des Problems nichts bekannt. Schreiben wir trotzdem die Ausdrücke für jeden Begriff, über den wir Informationen haben: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen, in denen es 2 Unbekannte gibt (a 1 und d). Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.

Das angegebene System lässt sich am einfachsten lösen, wenn Sie in jeder Gleichung eine 1 ausdrücken und dann die resultierenden Ausdrücke vergleichen. Erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, woher die Differenz d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (nur 3 Dezimalstellen sind angegeben).

Wenn Sie d kennen, können Sie jeden der beiden obigen Ausdrücke für eine 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Wenn Zweifel am Ergebnis bestehen, können Sie es überprüfen, indem Sie beispielsweise das 43. Glied der Progression bestimmen, das in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Ein kleiner Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.

Beispiel #5: Summe

Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.

Gegeben sei eine Zahlenreihe folgender Form: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe von 100 dieser Zahlen?

Dank der Entwicklung der Computertechnologie kann dieses Problem gelöst werden, dh alle Zahlen nacheinander addieren, was der Computer tut, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Das Problem lässt sich aber gedanklich lösen, wenn man darauf achtet, dass die dargestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz 1 ist. Wendet man die Summenformel an, erhält man: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Es ist merkwürdig, dass dieses Problem "Gaußsche" genannt wird, da der berühmte Deutsche es Anfang des 18. Jahrhunderts im Alter von nur 10 Jahren in wenigen Sekunden in seinem Kopf lösen konnte. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Folge nicht, aber er bemerkte, dass man immer dasselbe Ergebnis erhält, wenn man Zahlenpaare addiert, die sich an den Rändern der Folge befinden, nämlich 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da diese Summen genau 50 (100 / 2) sein werden, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Beispiel #6: Summe der Terme von n bis m

Ein weiteres typisches Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist das folgende: Bei einer gegebenen Reihe von Zahlen: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie herausfinden, wie die Summe ihrer Glieder von 8 bis 14 sein wird.

Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Die erste davon besteht darin, unbekannte Terme von 8 bis 14 zu finden und sie dann der Reihe nach zu summieren. Da es nur wenige Terme gibt, ist diese Methode nicht mühsam genug. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem durch die zweite Methode zu lösen, die universeller ist.

Die Idee ist, eine Formel für die Summe einer algebraischen Folge zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Für beide Fälle schreiben wir zwei Ausdrücke für die Summe:

1. S m \u003d m * (am + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (ein n + ein 1) / 2.

Da n > m ist, ist es offensichtlich, dass die 2-Summe die erste enthält. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen bilden und den Term a m dazu addieren (im Fall der Differenzbildung wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + ein n * n / 2 + ein m * (1- m / 2). Es ist notwendig, Formeln für ein n und ein m in diesen Ausdruck einzusetzen. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Die resultierende Formel ist etwas umständlich, allerdings hängt die Summe S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen einsetzen, erhalten wir: S mn = 301.

Wie aus den obigen Lösungen ersichtlich ist, basieren alle Aufgaben auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme beginnen, wird empfohlen, dass Sie die Bedingung sorgfältig lesen, klar verstehen, was Sie finden möchten, und erst dann mit der Lösung fortfahren.

Ein weiterer Tipp ist, sich um Einfachheit zu bemühen, das heißt, wenn Sie die Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, müssen Sie genau das tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, geringer ist. Zum Beispiel könnte man im Beispiel einer arithmetischen Progression mit Lösung Nr. 6 bei der Formel S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + am anhalten, und unterteilen Sie die allgemeine Aufgabe in separate Unteraufgaben (in diesem Fall finden Sie zuerst die Begriffe a n und a m).

Wenn Zweifel am Ergebnis bestehen, wird empfohlen, es zu überprüfen, wie dies in einigen der angegebenen Beispiele geschehen ist. Wie man eine arithmetische Progression findet, herausgefunden. Wenn du es einmal herausgefunden hast, ist es nicht so schwer.

Unterrichtstyp: neuen Stoff lernen.

Unterrichtsziele:

• Erweiterung und Vertiefung der Vorstellungen der Schüler zu Aufgaben, die mit arithmetischer Progression gelöst werden; Organisieren der Suchaktivität von Studenten beim Ableiten der Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge;
• Entwicklung von Fähigkeiten zum selbstständigen Erwerb neuer Kenntnisse, Nutzung bereits erworbener Kenntnisse zur Erfüllung der Aufgabe;
• Entwicklung des Wunsches und der Notwendigkeit, die gewonnenen Fakten zu verallgemeinern, Entwicklung der Selbständigkeit.

Aufgaben:

• das vorhandene Wissen zum Thema „Arithmetische Progression“ zu verallgemeinern und zu systematisieren;
• Formeln zur Berechnung der Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge herleiten;
• lehren, wie man die erhaltenen Formeln zur Lösung verschiedener Probleme anwendet;
• Machen Sie die Schüler auf das Verfahren aufmerksam, mit dem der Wert eines numerischen Ausdrucks ermittelt wird.

Ausrüstung:

• Karten mit Aufgaben für Gruppen- und Paararbeit;
• Bewertungspapier;
• Präsentation"Arithmetische Progression".

I. Aktualisierung von Grundkenntnissen.

1. Selbständiges Arbeiten zu zweit.

1. Möglichkeit:

Definieren Sie eine arithmetische Progression. Schreiben Sie eine rekursive Formel auf, die eine arithmetische Folge definiert. Geben Sie ein Beispiel für eine arithmetische Progression und geben Sie deren Unterschied an.

2. Möglichkeit:

Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf. Finden Sie den 100. Term einer arithmetischen Folge ( ein}: 2, 5, 8 …
Zu dieser Zeit bereiten zwei Studenten auf der Rückseite der Tafel Antworten auf dieselben Fragen vor.
Die Schüler bewerten die Arbeit des Partners, indem sie sie mit der Tafel vergleichen. (Broschüren mit Antworten werden ausgehändigt).

2. Spielmoment.

Übung 1.

Lehrer. Ich habe mir eine arithmetische Progression ausgedacht. Stellen Sie mir nur zwei Fragen, damit Sie nach den Antworten schnell das 7. Mitglied dieser Progression nennen können. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 …)

Fragen von Studenten.

1. Was ist das sechste Glied der Progression und was ist der Unterschied?
2. Was ist das achte Glied der Progression und was ist der Unterschied?

Wenn es keine Fragen mehr gibt, kann der Lehrer sie anregen - ein „Verbot“ von d (Unterschied), dh es darf nicht gefragt werden, was der Unterschied ist. Sie können Fragen stellen: Was ist das 6. Glied der Progression und was ist das 8. Glied der Progression?

Aufgabe 2.

Auf der Tafel sind 20 Zahlen geschrieben: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Der Lehrer steht mit dem Rücken zur Tafel. Die Schüler sagen die Nummer der Nummer, und der Lehrer ruft sofort die Nummer selbst an. Erklären Sie, wie ich es tun kann?

Der Lehrer erinnert sich an die Formel des n-ten Begriffs ein n \u003d 3n - 2 und findet durch Ersetzen der gegebenen Werte von n die entsprechenden Werte ein .

II. Erklärung des Erziehungsauftrags.

Ich schlage vor, ein altes Problem aus dem 2. Jahrtausend v. Chr. zu lösen, das in ägyptischen Papyri gefunden wurde.

Aufgabe:„Lasst euch sagen: Teilt 10 Maß Gerste auf 10 Personen auf, die Differenz zwischen jedem und seinem Nächsten beträgt 1/8 des Maßes.“

• Wie hängt dieses Problem mit dem Thema der arithmetischen Progression zusammen? (Jede nächste Person bekommt 1/8 des Maßes mehr, also ist die Differenz d=1/8, 10 Personen, also n=10.)
• Was bedeutet deiner Meinung nach die Zahl 10? (Die Summe aller Mitglieder der Progression.)
• Was müssen Sie sonst noch wissen, um Gerste einfach und unkompliziert nach Problemzustand zu teilen? (Das erste Glied der Progression.)

Unterrichtsziel- Ermittlung der Abhängigkeit der Summe der Glieder der Progression von ihrer Anzahl, dem ersten Glied und der Differenz, und Überprüfung, ob das Problem in der Antike richtig gelöst wurde.

Bevor wir die Formel herleiten, sehen wir uns an, wie die alten Ägypter das Problem gelöst haben.

Und sie haben es so gelöst:

1) 10 Maßnahmen: 10 = 1 Maßnahme - durchschnittlicher Anteil;
2) 1 Takt ∙ = 2 Takte - verdoppelt Durchschnitt Teilen.
verdoppelt Durchschnitt der Anteil ist die Summe der Anteile der 5. und 6. Person.
3) 2 Takte - 1/8 Takt = 1 7/8 Takte - doppelter Anteil der fünften Person.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - der Anteil der Quinte; und so weiter, können Sie den Anteil jeder vorherigen und nachfolgenden Person finden.

Wir erhalten die Folge:

III. Die Lösung der Aufgabe.

1. Arbeiten Sie in Gruppen

1. Gruppe: Finden Sie die Summe von 20 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Im Allgemeinen

Gruppe II: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 (Legende von Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Fazit:

III. Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 21.

Lösung: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Fazit:

IV-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 101.

Fazit:

Diese Methode zur Lösung der betrachteten Probleme wird als „Gauß-Methode“ bezeichnet.

2. Jede Gruppe präsentiert die Lösung des Problems an der Tafel.

3. Verallgemeinerung der Lösungsvorschläge für eine beliebige arithmetische Folge:

ein 1 , ein 2 , ein 3 ,…, ein n-2 , ein n-1 , ein n .
S n \u003d ein 1 + ein 2 + ein 3 + ein 4 + ... + ein n-3 + ein n-2 + ein n-1 + ein n.

Wir finden diese Summe, indem wir ähnlich argumentieren:

4. Haben wir die Aufgabe gelöst?(Ja.)

IV. Primäres Verständnis und Anwendung der erhaltenen Formeln bei der Lösung von Problemen.

1. Überprüfen der Lösung eines alten Problems anhand der Formel.

2. Anwendung der Formel zur Lösung verschiedener Probleme.

3. Übungen zur Bildung der Fähigkeit, die Formel bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

A) Nr. 613

Gegeben :( und n) - arithmetische Progression;

(an): 1, 2, 3, ..., 1500

Finden: S1500

Entscheidung: , und 1 = 1 und 1500 = 1500,

B) Gegeben: ( und n) - arithmetische Progression;
(und n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Finden: n
Entscheidung:

V. Eigenständiges Arbeiten mit gegenseitiger Überprüfung.

Denis ging als Kurier zur Arbeit. Im ersten Monat betrug sein Gehalt 200 Rubel, in jedem weiteren Monat stieg es um 30 Rubel. Wie viel hat er in einem Jahr verdient?

Gegeben :( und n) - arithmetische Progression;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Finden: S12
Entscheidung:

Antwort: Denis erhielt 4380 Rubel für das Jahr.

VI. Hausaufgabenbetreuung.

1. S. 4.3 - lerne die Herleitung der Formel.
2. №№ 585, 623 .
3. Stellen Sie ein Problem auf, das mit der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge gelöst werden würde.

VII. Zusammenfassung der Lektion.

1. Spielberichtsbogen

2. Setzen Sie die Sätze fort

• Heute habe ich im Unterricht gelernt...
• Gelernte Formeln ...
• Ich glaube, dass …

3. Können Sie die Summe der Zahlen von 1 bis 500 finden? Welche Methode werden Sie anwenden, um dieses Problem zu lösen?

Referenzliste.

1. Algebra, 9. Klasse. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. Ed. G.V. Dorofejewa. Moskau: Aufklärung, 2009.

Die Summe einer arithmetischen Progression.

Die Summe einer arithmetischen Folge ist eine einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch in der Formel. Aber es gibt allerlei Aufgaben zu diesem Thema. Von elementar bis ziemlich solide.

Beschäftigen wir uns zunächst mit der Bedeutung und Formel der Summe. Und dann entscheiden wir. Zu Ihrem eigenen Vergnügen.) Die Bedeutung der Summe ist so einfach wie Lowing. Um die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, müssen Sie nur alle ihre Mitglieder sorgfältig addieren. Wenn diese Terme wenige sind, können Sie ohne Formeln hinzufügen. Aber wenn es viel ist, oder viel ... Addition ist ärgerlich.) In diesem Fall spart die Formel.

Die Summenformel ist einfach:

Lassen Sie uns herausfinden, welche Art von Buchstaben in der Formel enthalten sind. Das wird einiges aufklären.

Sn ist die Summe einer arithmetischen Folge. Additionsergebnis alles Mitglieder, mit Erste An letzte. Es ist wichtig. Füge genau hinzu alles Mitglieder in einer Reihe, ohne Lücken und Sprünge. Und, genau, ab Erste. Bei Problemen wie dem Ermitteln der Summe des dritten und achten Glieds oder der Summe der Glieder fünf bis zwanzig wird die direkte Anwendung der Formel enttäuschend sein.)

eine 1 - Erste Mitglied der Progression. Hier ist alles klar, es ist einfach Erste Zeilennummer.

ein- letzte Mitglied der Progression. Die letzte Zahl der Zeile. Kein sehr geläufiger Name, aber auf die Menge bezogen sehr passend. Dann wirst du es selbst sehen.

n ist die Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Zahl in der Formel enthalten ist stimmt mit der Anzahl der hinzugefügten Terme überein.

Lassen Sie uns das Konzept definieren letzte Mitglied ein. Füllfrage: Welche Art von Mitglied wird letzte, falls gegeben endlos arithmetische Folge?

Für eine sichere Antwort müssen Sie die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge verstehen und ... die Aufgabe sorgfältig lesen!)

Bei der Aufgabe, die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, erscheint immer der letzte Term (direkt oder indirekt), was begrenzt werden soll. Andernfalls eine endliche, bestimmte Menge existiert einfach nicht. Für die Lösung spielt es keine Rolle, welche Progression gegeben ist: endlich oder unendlich. Es spielt keine Rolle, wie es gegeben ist: durch eine Reihe von Zahlen oder durch die Formel des n-ten Glieds.

Das Wichtigste ist zu verstehen, dass die Formel vom ersten Glied der Progression bis zum Glied mit der Zahl funktioniert n. Eigentlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. Die Zahl dieser allerersten Mitglieder, d.h. n, wird allein durch die Aufgabenstellung bestimmt. In der Aufgabe werden all diese wertvollen Informationen oft verschlüsselt, ja ... Aber nichts, in den folgenden Beispielen werden wir diese Geheimnisse enthüllen.)

Beispiele für Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge.

Erstmal nützliche Informationen:

Die Hauptschwierigkeit bei Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge ist die richtige Bestimmung der Elemente der Formel.

Die Autoren der Aufgaben verschlüsseln genau diese Elemente mit grenzenloser Fantasie.) Die Hauptsache hier ist, keine Angst zu haben. Um die Essenz der Elemente zu verstehen, genügt es, sie zu entziffern. Schauen wir uns einige Beispiele im Detail an. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf einem echten GIA basiert.

1. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a n = 2n-3,5. Finde die Summe der ersten 10 Terme.

Gut gemacht. Einfach.) Was müssen wir wissen, um die Menge nach der Formel zu bestimmen? Erstes Mitglied eine 1, das letzte Semester ein, ja die Nummer des letzten Begriffs n.

Wo bekommt man die letzte Mitgliedsnummer n? Ja, da, im Zustand! Es sagt, finden Sie die Summe ersten 10 Mitglieder. Nun, welche Nummer wird es sein letzte, zehntes Mitglied?) Sie werden es nicht glauben, seine Nummer ist das zehnte!) Daher statt ein wir werden in die Formel einsetzen eine 10, aber stattdessen n- zehn. Auch hier ist die Nummer des letzten Mitglieds gleich der Anzahl der Mitglieder.

Es bleibt zu bestimmen eine 1 und eine 10. Dies lässt sich leicht durch die Formel des n-ten Terms berechnen, die in der Aufgabenstellung angegeben ist. Sie wissen nicht, wie es geht? Besuchen Sie die vorherige Lektion, ohne dies - nichts.

eine 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

eine 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

Sn = S10.

Wir haben die Bedeutung aller Elemente der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge herausgefunden. Es bleibt, sie zu ersetzen und zu zählen:

Das ist alles dazu. Antwort: 75.

Eine weitere Aufgabe basierend auf dem GIA. Etwas komplizierter:

2. Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n), deren Differenz 3,7 beträgt; ein 1 \u003d 2,3. Finde die Summe der ersten 15 Terme.

Wir schreiben sofort die Summenformel:

Diese Formel ermöglicht es uns, den Wert eines beliebigen Mitglieds anhand seiner Nummer zu ermitteln. Wir suchen nach einer einfachen Substitution:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Es bleibt übrig, alle Elemente in der Formel durch die Summe einer arithmetischen Folge zu ersetzen und die Antwort zu berechnen:

Antwort: 423.

Übrigens, wenn in der Summenformel statt ein ersetzen Sie einfach die Formel des n-ten Terms, wir erhalten:

Geben wir ähnliche an, erhalten wir eine neue Formel für die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge:

Wie Sie sehen, wird hier der n-te Term nicht benötigt. ein. Bei manchen Aufgaben hilft diese Formel sehr, ja ... Sie können sich diese Formel merken. Und Sie können es einfach zum richtigen Zeitpunkt abheben, wie hier. Schließlich muss man sich die Formel für die Summe und die Formel für den n-ten Term unbedingt merken.)

Nun die Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):

3. Finden Sie die Summe aller positiven zweistelligen Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind.

Wie! Kein erstes Mitglied, kein letztes, überhaupt keine Progression ... Wie soll man leben!?

Sie müssen mit Ihrem Kopf denken und aus der Bedingung alle Elemente der Summe einer arithmetischen Folge ziehen. Was sind zweistellige Zahlen - wir wissen es. Sie bestehen aus zwei Zahlen.) Welche zweistellige Zahl wird Erste? 10, vermutlich.) letztes Ding zweistellige Zahl? 99 natürlich! Die dreistelligen werden ihm folgen ...

Vielfache von drei ... Hm ... Das sind hier Zahlen, die ohne Rest durch drei teilbar sind! Zehn ist nicht durch drei teilbar, 11 ist nicht teilbar... 12... ist teilbar! Es entsteht also etwas. Sie können je nach Problemstellung bereits eine Reihe schreiben:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Wird diese Reihe eine arithmetische Folge sein? Sicherlich! Jeder Begriff unterscheidet sich vom vorherigen strikt um drei. Wenn dem Term beispielsweise 2 oder 4 hinzugefügt wird, ist das Ergebnis, d.h. eine neue Zahl wird nicht mehr durch 3 geteilt. Sie können sofort die Differenz der arithmetischen Progression zum Haufen feststellen: d = 3. Nützlich!)

Wir können also sicher einige Progressionsparameter aufschreiben:

Wie wird die Nummer sein n letztes Mitglied? Wer denkt, dass 99 irrt, der irrt gewaltig ... Zahlen - sie gehen immer hintereinander, und unsere Mitglieder springen über die ersten drei. Sie passen nicht zusammen.

Hier gibt es zwei Lösungen. Ein Weg ist für die super Fleißigen. Sie können den Verlauf, die ganze Zahlenreihe malen und die Anzahl der Begriffe mit dem Finger zählen.) Der zweite Weg ist für die Nachdenklichen. Sie müssen sich die Formel für den n-ten Term merken. Wenn die Formel auf unser Problem angewendet wird, erhalten wir, dass 99 das dreißigste Glied der Progression ist. Jene. n = 30.

Wir betrachten die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge:

Wir schauen und freuen uns.) Wir haben alles Notwendige herausgezogen, um den Betrag aus dem Zustand des Problems zu berechnen:

eine 1= 12.

eine 30= 99.

Sn = S30.

Was bleibt, ist elementare Arithmetik. Ersetzen Sie die Zahlen in der Formel und berechnen Sie:

Antwort: 1665

Eine andere Art von beliebten Rätseln:

4. Eine arithmetische Progression ist gegeben:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Ermitteln Sie die Summe der Terme vom zwanzigsten bis zum vierunddreißigsten.

Wir sehen uns die Summenformel an und ... wir sind verärgert.) Die Formel, ich möchte Sie daran erinnern, berechnet die Summe vom ersten Mitglied. Und in dem Problem müssen Sie die Summe berechnen seit dem zwanzigsten... Die Formel wird nicht funktionieren.

Sie können natürlich die gesamte Progression hintereinander malen und die Terme von 20 bis 34 setzen. Aber ... irgendwie stellt sich das als dumm und lang heraus, oder?)

Es gibt eine elegantere Lösung. Lassen Sie uns unsere Serie in zwei Teile aufteilen. Der erste Teil wird von der ersten Amtszeit bis zum neunzehnten. Zweiter Teil - zwanzig bis vierunddreißig. Das ist klar, wenn wir die Summe der Terme des ersten Teils berechnen S1-19, addieren wir es zur Summe der Mitglieder des zweiten Teils S 20-34, erhalten wir die Summe der Progression vom ersten Term bis zum vierunddreißigsten S1-34. So:

S1-19 + S 20-34 = S1-34

Dies zeigt, dass die Summe zu finden S 20-34 kann durch einfache Subtraktion erfolgen

S 20-34 = S1-34 - S1-19

Beide Summen auf der rechten Seite werden berücksichtigt vom ersten Mitglied, d.h. die Standard-Summenformel ist durchaus anwendbar auf sie. Fangen wir an?

Wir extrahieren die Progressionsparameter aus der Aufgabenbedingung:

d = 1,5.

eine 1= -21,5.

Um die Summen der ersten 19 und der ersten 34 Terme zu berechnen, benötigen wir den 19. und 34. Term. Wir zählen sie nach der Formel des n-ten Terms, wie in Aufgabe 2:

eine 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

eine 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nichts ist übriggeblieben. Subtrahiere die Summe von 19 Termen von der Summe von 34 Termen:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Antwort: 262.5

Ein wichtiger Hinweis! Es gibt eine sehr nützliche Funktion zur Lösung dieses Problems. Statt direkter Berechnung was du brauchst (S 20-34), wir haben gezählt was anscheinend nicht benötigt wird - S 1-19. Und dann haben sie entschieden S 20-34, wobei das Unnötige aus dem vollständigen Ergebnis verworfen wird. Eine solche "Täuschung mit den Ohren" erspart oft böse Rätsel.)

In dieser Lektion haben wir Probleme betrachtet, für deren Lösung es ausreicht, die Bedeutung der Summe einer arithmetischen Folge zu verstehen. Nun, Sie müssen ein paar Formeln kennen.)

Praktische Ratschläge:

Wenn Sie ein Problem für die Summe einer arithmetischen Folge lösen, empfehle ich, die beiden Hauptformeln aus diesem Thema sofort aufzuschreiben.

Formel des n-ten Terms:

Diese Formeln sagen Ihnen sofort, wonach Sie suchen müssen, in welche Richtung Sie denken müssen, um das Problem zu lösen. Hilft.

Und nun die Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

5. Finde die Summe aller zweistelligen Zahlen, die nicht durch drei teilbar sind.

Cool?) Der Hinweis ist in der Notiz zu Aufgabe 4 versteckt. Nun, Aufgabe 3 wird helfen.

6. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a 1 = –5,5; ein n+1 = ein n +0,5. Finde die Summe der ersten 24 Terme.

Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Sie können darüber in der vorherigen Lektion lesen. Ignorieren Sie den Link nicht, solche Rätsel sind häufig im GIA zu finden.

7. Vasya hat Geld für den Urlaub gespart. So viel wie 4550 Rubel! Und ich beschloss, der am meisten geliebten Person (mich) ein paar Tage des Glücks zu schenken). Lebe schön, ohne dir etwas zu versagen. Geben Sie am ersten Tag 500 Rubel aus und geben Sie an jedem weiteren Tag 50 Rubel mehr aus als am vorherigen! Bis das Geld aufgebraucht ist. Wie viele glückliche Tage hatte Vasya?

Ist es schwierig?) Eine zusätzliche Formel aus Aufgabe 2 hilft weiter.

Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Erste Ebene

Arithmetische Progression. Ausführliche Theorie mit Beispielen (2019)

Numerische Folge

Setzen wir uns also hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten (in unserem Fall sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche von ihnen die erste, welche die zweite und so weiter bis zur letzten ist, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Numerische Folge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Folgenummer spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Folge. Die zweite Zahl (wie die -te Zahl) ist immer gleich.
Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Eine solche Zahlenfolge wird als arithmetische Folge bezeichnet.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne als endlose Zahlenfolge verstanden. Der Name "Arithmetik" wurde aus der Theorie der kontinuierlichen Proportionen übernommen, mit der sich die alten Griechen beschäftigten.

Dies ist eine numerische Folge, deren jedes Glied gleich der vorherigen ist, hinzugefügt mit der gleichen Nummer. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

a)
b)
c)
d)

Ich habs? Vergleichen Sie unsere Antworten:
Ist ein arithmetische Progression - b, c.
Ist nicht arithmetische Progression - a, d.

Kehren wir zu der gegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Mitglieds zu finden. Existieren zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können zum vorherigen Wert der Progressionsnummer addieren, bis wir das te Glied der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenzufassen haben – nur drei Werte:

Das -te Glied der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2-Wege

Was wäre, wenn wir den Wert des th-Terms der Progression finden müssten? Die Summierung hätte uns mehr als eine Stunde gekostet, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren der Zahlen keine Fehler gemacht hätten.
Natürlich haben sich Mathematiker einen Weg ausgedacht, bei dem man die Differenz einer arithmetischen Progression nicht zum vorherigen Wert addieren muss. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genau an ... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, was den Wert des -ten Elements dieser arithmetischen Folge ausmacht:


Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbstständig den Wert eines Gliedes dieser arithmetischen Folge zu finden.

Berechnet? Vergleichen Sie Ihre Eingaben mit der Antwort:

Beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl erhalten haben wie bei der vorherigen Methode, als wir die Glieder einer arithmetischen Folge sukzessive zum vorherigen Wert addiert haben.
Versuchen wir diese Formel zu „entpersonalisieren“ – wir bringen sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Arithmetische Progressionsgleichung.

Arithmetische Progressionen nehmen entweder zu oder ab.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen sowohl in zunehmenden als auch in abnehmenden Termen einer arithmetischen Progression verwendet.
Schauen wir es uns in der Praxis an.
Wir erhalten eine arithmetische Folge bestehend aus den folgenden Zahlen:

Seit damals:

Daher waren wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl bei abnehmender als auch bei zunehmender arithmetischer Progression funktioniert.
Versuchen Sie selbst, die -ten und -ten Glieder dieser arithmetischen Folge zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Lassen Sie uns die Aufgabe komplizieren – wir leiten die Eigenschaft einer arithmetischen Folge ab.
Angenommen, wir haben die folgende Bedingung:
- Arithmetische Progression, finden Sie den Wert.
Ganz einfach, sagst du und zählst nach der Formel, die du schon kennst:

Sei a, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und bekommen, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist es nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns Zahlen in der Bedingung gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, Fehler in den Berechnungen zu machen.
Überlegen Sie nun, ist es möglich, dieses Problem mit einer Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich, ja, und wir werden versuchen, es jetzt herauszubringen.

Bezeichnen wir den gewünschten Term der arithmetischen Folge so, dass wir die Formel kennen, um ihn zu finden - dies ist die gleiche Formel, die wir am Anfang hergeleitet haben:
, dann:

• Das vorherige Mitglied der Progression ist:
• Das nächste Glied der Progression ist:

Lassen Sie uns die vorherigen und nächsten Mitglieder der Progression zusammenfassen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder der Progression doppelt so groß ist wie der Wert des Mitglieds der Progression, das sich zwischen ihnen befindet. Mit anderen Worten, um den Wert eines Progressionsmitglieds mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu finden, ist es notwendig, sie zu addieren und durch zu dividieren.

Richtig, wir haben die gleiche Nummer. Lassen Sie uns das Material reparieren. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, denn es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut erledigt! Sie wissen fast alles über Progression! Es bleibt nur eine Formel herauszufinden, die der Legende nach einer der größten Mathematiker aller Zeiten, der "König der Mathematiker" - Karl Gauß, leicht für sich selbst herleiten konnte ...

Als Carl Gauß 9 Jahre alt war, stellte der Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeiten von Schülern anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von bis einschließlich (nach anderen Quellen bis einschließlich). " Was war die Überraschung des Lehrers, als einer seiner Schüler (es war Karl Gauß) nach einer Minute die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langem Rechnen das falsche Ergebnis erhielten ...

Der junge Carl Gauss bemerkte ein Muster, das Sie leicht erkennen können.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ti Mitgliedern besteht: Wir müssen die Summe der gegebenen Mitglieder der arithmetischen Folge finden. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn wir die Summe ihrer Terme in der Aufgabe finden müssen, wie Gauß es gesucht hat?

Lassen Sie uns die uns gegebene Progression darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genau an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen damit durchzuführen.


Versucht? Was haben Sie bemerkt? Korrekt! Ihre Summen sind gleich

Nun antworte, wie viele solcher Paare wird es in der uns gegebenen Progression geben? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen, also.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Mitglieder einer arithmetischen Folge gleich ist, und ähnlicher gleicher Paare, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Progressionsunterschied. Versuchen Sie, in der Summenformel die Formel des th-Gliedes einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut erledigt! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauß gegeben wurde: Berechnen Sie selbst, was die Summe der Zahlen ist, die mit dem -ten beginnen, und die Summe der Zahlen, die mit dem -ten beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte sich heraus, dass die Summe der Terme gleich ist, und die Summe der Terme. Hast du dich so entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert vom antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen, und während dieser ganzen Zeit nutzten geistreiche Menschen die Eigenschaften einer arithmetischen Folge mit Macht und Kraft.
Stellen Sie sich zum Beispiel das alte Ägypten und die größte Baustelle dieser Zeit vor - den Bau einer Pyramide ... Die Abbildung zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagst du? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.


Warum nicht eine arithmetische Progression? Zählen Sie, wie viele Blöcke benötigt werden, um eine Mauer zu bauen, wenn Blocksteine ​​​​in die Basis gelegt werden. Ich hoffe, Sie werden nicht zählen, indem Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über arithmetische Progression gesagt haben?

In diesem Fall sieht der Verlauf so aus:
Arithmetische Progressionsdifferenz.
Die Anzahl der Mitglieder einer arithmetischen Folge.
Lassen Sie uns unsere Daten in die letzten Formeln einsetzen (wir zählen die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie auch am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Hat es zugestimmt? Gut gemacht, Sie haben die Summe der Terme einer arithmetischen Folge gemeistert.
Natürlich kann man aus den Blöcken an der Basis keine Pyramide bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandziegel benötigt werden, um eine Mauer mit dieser Bedingung zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Trainieren

Aufgaben:

1. Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag steigert sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Masha in Wochen Kniebeugen machen, wenn sie beim ersten Training Kniebeugen gemacht hat?
2. Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
3. Beim Lagern von Stämmen stapeln Holzfäller sie so, dass jede oberste Schicht einen Stamm weniger enthält als die vorherige. Wie viele Baumstämme befinden sich in einem Mauerwerk, wenn die Basis des Mauerwerks Baumstämme sind.

Antworten:

1. Lassen Sie uns die Parameter der arithmetischen Folge definieren. In diesem Fall
   (Wochen = Tage).

   Antworten: In zwei Wochen soll Mascha einmal täglich in die Hocke gehen.

2. Erste ungerade Zahl, letzte Zahl.
   Arithmetische Progressionsdifferenz.
   Die Anzahl der ungeraden Zahlen in - halbieren Sie diese Tatsache jedoch mit der Formel zum Auffinden des -ten Gliedes einer arithmetischen Folge:

   Die Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
   Wir setzen die verfügbaren Daten in die Formel ein:

   Antworten: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.

3. Erinnern Sie sich an das Problem mit den Pyramiden. Da in unserem Fall a jede obere Ebene um einen Balken reduziert wird, gibt es nur eine Reihe von Ebenen.
   Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

   Antworten: Es gibt Baumstämme im Mauerwerk.

Zusammenfassen

1. - eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es nimmt zu und ab.
2. Formel finden Glied einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge ist.
3. Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge- - wo - die Anzahl der Zahlen in der Progression.
4. Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:
   
   , wobei die Anzahl der Werte ist.

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. MITTELSTUFE

Numerische Folge

Setzen wir uns hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber Sie können immer sagen, welcher von ihnen der erste ist, welcher der zweite ist und so weiter, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Numerische Folge ist eine Reihe von Nummern, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugeordnet werden kann.

Mit anderen Worten, jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar nur einer. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuweisen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

Es ist sehr praktisch, wenn das -te Glied der Sequenz durch irgendeine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Sequenz:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (der erste Term ist hier gleich und die Differenz). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen eine wiederkehrende Formel eine solche Formel, bei der Sie, um den -ten Term herauszufinden, den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um beispielsweise den ten Term der Progression mit einer solchen Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lassen Sie zum Beispiel. Dann:

Nun, jetzt ist klar, was die Formel ist?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Für was? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Viel bequemer jetzt, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und finden Sie den hundertsten Term.

Entscheidung:

Der erste Term ist gleich. Und was ist der Unterschied? Und hier ist was:

(Schließlich wird sie Differenz genannt, weil sie gleich der Differenz aufeinanderfolgender Glieder der Progression ist).

Die Formel lautet also:

Dann ist der hundertste Term:

Was ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach berechnete der große Mathematiker Carl Gauß als 9-jähriger Junge diesen Betrag in wenigen Minuten. Er bemerkte, dass die Summe der ersten und der letzten Zahl gleich ist, die Summe der zweiten und der vorletzten Zahl gleich ist, die Summe der dritten und der 3. vom Ende gleich ist und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es? Richtig, genau die Hälfte aller Zahlen also. So,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finde die Summe aller zweistelligen Vielfachen.

Entscheidung:

Die erste solche Zahl ist diese. Jede nächste wird durch Hinzufügen einer Zahl zur vorherigen erhalten. Die uns interessierenden Zahlen bilden also mit dem ersten Glied und der Differenz eine arithmetische Folge.

Die Formel für das te Glied dieser Progression lautet:

Wie viele Begriffe sind in der Reihe, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Das letzte Glied der Progression ist gleich. Dann die Summe:

Antworten: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Jeden Tag läuft der Athlet 1m mehr als am Vortag. Wie viele Kilometer wird er in Wochen laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
2. Ein Radfahrer fährt jeden Tag mehr Kilometer als der vorherige. Am ersten Tag reiste er km. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer legt er am letzten Tag seiner Reise zurück?
3. Der Preis eines Kühlschranks im Geschäft wird jedes Jahr um denselben Betrag reduziert. Bestimmen Sie, um wie viel der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel zum Verkauf angeboten wurde.

Antworten:

1. Das Wichtigste dabei ist, die arithmetische Progression zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
   .
   Antworten:
2. Hier ist es gegeben:, man muss finden.
   Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie in der vorherigen Aufgabe verwenden:
   .
   Ersetzen Sie die Werte:

   Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also die Antwort.
   Berechnen wir die am letzten Tag zurückgelegte Strecke mit der Formel des -ten Terms:
   (km).
   Antworten:

3. Gegeben: . Finden: .
   Einfacher geht es nicht:
   (reiben).
   Antworten:

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Die arithmetische Progression nimmt zu () und ab ().

Zum Beispiel:

Die Formel zum Auffinden des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge

wird als Formel geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Progression ist.

Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge

Es macht es einfach, ein Mitglied der Progression zu finden, wenn seine benachbarten Mitglieder bekannt sind - wo ist die Anzahl der Zahlen in der Progression.

Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Summe zu finden:

Wo ist die Anzahl der Werte.

Wo ist die Anzahl der Werte.

Das Konzept einer Zahlenfolge impliziert, dass jede natürliche Zahl einem realen Wert entspricht. Eine solche Zahlenreihe kann sowohl beliebig sein als auch bestimmte Eigenschaften haben – eine Progression. Im letzteren Fall kann jedes nachfolgende Element (Member) der Folge mit dem vorherigen berechnet werden.

Eine arithmetische Progression ist eine Folge von Zahlenwerten, bei der sich ihre benachbarten Glieder um die gleiche Zahl voneinander unterscheiden (alle Elemente der Reihe, beginnend mit dem 2., haben eine ähnliche Eigenschaft). Diese Zahl – die Differenz zwischen dem vorherigen und dem nachfolgenden Mitglied – ist konstant und wird als Progressionsdifferenz bezeichnet.

Progressionsunterschied: Definition

Betrachten wir eine Folge bestehend aus j Werten A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j gehört zur Menge der natürlichen Zahlen N. Eine arithmetische Folge, ist seiner Definition nach eine Folge , in der a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Der Wert von d ist die gewünschte Differenz dieser Progression.

d = a(j) - a(j-1).

Zuordnen:

• Eine zunehmende Progression, dann ist d > 0. Beispiel: 4, 8, 12, 16, 20, …
• abnehmende Progression, dann d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progressionsdifferenz und ihre willkürlichen Elemente

Wenn 2 beliebige Glieder der Progression (i-te, k-te) bekannt sind, kann die Differenz für diese Sequenz anhand der Beziehung ermittelt werden:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, also d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Die Progressionsdifferenz und ihr erster Term

Dieser Ausdruck hilft nur dann, den unbekannten Wert zu bestimmen, wenn die Nummer des Sequenzelements bekannt ist.

Progressionsdifferenz und ihre Summe

Die Summe einer Progression ist die Summe ihrer Mitglieder. Um den Gesamtwert der ersten j Elemente zu berechnen, verwenden Sie die entsprechende Formel:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, aber da a(j) = a(1) + d(j – 1), dann S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.