Kartesisches Koordinatensystem: Grundbegriffe und Beispiele. Kartesische Koordinaten ebener Punkte

Ein geordnetes System aus zwei oder drei sich senkrecht zueinander schneidenden Achsen mit einem gemeinsamen Ursprung (Ursprung) und einer gemeinsamen Längeneinheit wird als bezeichnet rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem .

Allgemeines kartesisches Koordinatensystem (affines Koordinatensystem) kann auch nicht notwendigerweise senkrechte Achsen umfassen. Zu Ehren des französischen Mathematikers René Descartes (1596-1662) wird ein solches Koordinatensystem benannt, bei dem auf allen Achsen eine gemeinsame Längeneinheit gezählt wird und die Achsen gerade sind.

Rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem in der Ebene hat zwei Achsen rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem im Raum - drei Achsen. Jeder Punkt auf einer Ebene oder im Raum wird durch einen geordneten Satz von Koordinaten bestimmt - Zahlen in Übereinstimmung mit der Einheitslänge des Koordinatensystems.

Beachten Sie, dass es, wie aus der Definition folgt, ein kartesisches Koordinatensystem auf einer geraden Linie gibt, also in einer Dimension. Die Einführung kartesischer Koordinaten auf einer geraden Linie ist eine der Möglichkeiten, wie jedem Punkt auf einer geraden Linie eine wohldefinierte reelle Zahl, dh eine Koordinate, zugeordnet wird.

Die Koordinatenmethode, die in den Arbeiten von René Descartes entstand, markierte eine revolutionäre Umstrukturierung der gesamten Mathematik. Es wurde möglich, algebraische Gleichungen (oder Ungleichungen) in Form von geometrischen Bildern (Graphen) zu interpretieren und umgekehrt mit analytischen Formeln, Gleichungssystemen, nach einer Lösung geometrischer Probleme zu suchen. Ja, Ungleichheit z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy und um 3 Einheiten über dieser Ebene angeordnet.

Mit Hilfe des kartesischen Koordinatensystems entspricht die Zugehörigkeit eines Punktes zu einer gegebenen Kurve der Tatsache, dass die Zahlen x und j eine Gleichung erfüllen. Also, die Koordinaten eines Punktes eines Kreises, der an einem gegebenen Punkt zentriert ist ( a; b) erfüllen die Gleichung (x - a)² + ( j - b)² = R² .

Rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem in der Ebene

Zwei rechtwinklige Achsen auf einer Ebene mit gemeinsamem Ursprung und gleicher Maßeinheit bilden sich Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene . Eine dieser Achsen wird Achse genannt Ochse, oder x-Achse , der andere - die Achse Ey, oder y-Achse . Diese Achsen werden auch Koordinatenachsen genannt. Bezeichne mit Mx und Mj bzw. die Projektion eines beliebigen Punktes M auf Achse Ochse und Ey. Wie bekommt man Projektionen? Pass durch den Punkt M Ochse. Diese Linie schneidet die Achse Ochse am Punkt Mx. Pass durch den Punkt M Gerade senkrecht zur Achse Ey. Diese Linie schneidet die Achse Ey am Punkt Mj. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

x und j Punkte M wir werden jeweils die Beträge der gerichteten Segmente nennen Omx und Omj. Die Werte dieser Richtungssegmente werden jeweils wie folgt berechnet x = x0 - 0 und j = j0 - 0 . Kartesischen Koordinaten x und j Punkte M Abszisse und Ordinate . Die Tatsache, dass der Punkt M hat Koordinaten x und j, wird wie folgt bezeichnet: M(x, j) .

Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in vier Quadrant , deren Nummerierung in der folgenden Abbildung dargestellt ist. Es gibt auch die Anordnung von Zeichen für die Koordinaten von Punkten an, abhängig von ihrer Position in dem einen oder anderen Quadranten.

Neben kartesischen rechtwinkligen Koordinaten in der Ebene wird häufig auch das Polarkoordinatensystem betrachtet. Über die Methode des Übergangs von einem Koordinatensystem in ein anderes - in der Lektion Polarkoordinatensystem .

Rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem im Raum

Kartesische Koordinaten im Raum werden in völliger Analogie zu kartesischen Koordinaten in einer Ebene eingeführt.

Drei senkrecht zueinander stehende Raumachsen (Koordinatenachsen) mit gemeinsamem Ursprung Ö und die gleiche Skaleneinheitsform Kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem im Raum .

Eine dieser Achsen wird Achse genannt Ochse, oder x-Achse , der andere - die Achse Ey, oder y-Achse , dritte - Achse Unze, oder Achse anwenden . Lassen Mx, Mj Mz- Projektionen eines beliebigen Punktes M Leerzeichen auf der Achse Ochse , Ey und Unze bzw.

Pass durch den Punkt M OchseOchse am Punkt Mx. Pass durch den Punkt M Ebene senkrecht zur Achse Ey. Diese Ebene schneidet die Achse Ey am Punkt Mj. Pass durch den Punkt M Ebene senkrecht zur Achse Unze. Diese Ebene schneidet die Achse Unze am Punkt Mz.

Kartesische rechtwinklige Koordinaten x , j und z Punkte M wir werden jeweils die Beträge der gerichteten Segmente nennen Omx, Omj und Omz. Die Werte dieser Richtungssegmente werden jeweils wie folgt berechnet x = x0 - 0 , j = j0 - 0 und z = z0 - 0 .

Kartesischen Koordinaten x , j und z Punkte M sind entsprechend benannt Abszisse , Ordinate und Applikationen .

Die Koordinatenachsen liegen paarweise in den Koordinatenebenen xOy , yOz und zOx .

Probleme mit Punkten im kartesischen Koordinatensystem

Beispiel 1

EIN(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Finden Sie die Koordinaten der Projektionen dieser Punkte auf der x-Achse.

Entscheidung. Wie aus dem theoretischen Teil dieser Lektion hervorgeht, befindet sich die Projektion eines Punktes auf die x-Achse auf der x-Achse selbst, dh der Achse Ochse, und hat daher eine Abszisse, die gleich der Abszisse des Punktes selbst ist, und eine Ordinate (Koordinate auf der Achse Ey, die die x-Achse im Punkt 0 schneidet), gleich Null. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten dieser Punkte auf der x-Achse:

EINx(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Beispiel 2 Punkte werden im kartesischen Koordinatensystem in der Ebene angegeben

EIN(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Finden Sie die Koordinaten der Projektionen dieser Punkte auf der y-Achse.

Entscheidung. Wie aus dem theoretischen Teil dieser Lektion hervorgeht, befindet sich die Projektion eines Punktes auf die y-Achse auf der y-Achse selbst, dh der Achse Ey, und hat daher eine Ordinate, die gleich der Ordinate des Punktes selbst ist, und eine Abszisse (die Koordinate auf der Achse Ochse, die die y-Achse im Punkt 0 schneidet), gleich Null. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten dieser Punkte auf der y-Achse:

EINj(0; 2);

Bj (0; 1);

Cy(0;-2).

Beispiel 3 Punkte werden im kartesischen Koordinatensystem in der Ebene angegeben

EIN(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Ochse .

Ochse Ochse Ochse, wird dieselbe Abszisse wie der gegebene Punkt haben, und die Ordinate hat im absoluten Wert den gleichen Wert wie die Ordinate des gegebenen Punktes und ihr entgegengesetztes Vorzeichen. So erhalten wir die folgenden Koordinaten von Punkten symmetrisch zu diesen Punkten um die Achse Ochse :

EIN"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Lösen Sie selbst Aufgaben auf dem kartesischen Koordinatensystem und schauen Sie sich dann die Lösungen an

Beispiel 4 Bestimmen Sie, in welchen Quadranten (Viertel, Abbildung mit Quadranten - am Ende des Absatzes "Rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem in der Ebene") der Punkt liegen kann M(x; j) , Wenn

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − j = 0 ;

4) x + j = 0 ;

5) x + j > 0 ;

6) x + j < 0 ;

7) x − j > 0 ;

8) x − j < 0 .

Beispiel 5 Punkte werden im kartesischen Koordinatensystem in der Ebene angegeben

EIN(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Finden Sie die Koordinaten von Punkten, die symmetrisch zu diesen Punkten um die Achse sind Ey .

Wir lösen Probleme weiterhin gemeinsam

Beispiel 6 Punkte werden im kartesischen Koordinatensystem in der Ebene angegeben

EIN(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Finden Sie die Koordinaten von Punkten, die symmetrisch zu diesen Punkten um die Achse sind Ey .

Entscheidung. 180 Grad um die Achse drehen Ey gerichtetes Liniensegment von einer Achse Ey Bis hierhin. In der Abbildung, in der die Quadranten der Ebene angegeben sind, sehen wir, dass der Punkt in Bezug auf die Achse symmetrisch zum gegebenen ist Ey, hat die gleiche Ordinate wie der gegebene Punkt und eine Abszisse, die im absoluten Wert gleich der Abszisse des gegebenen Punktes ist und ihr das entgegengesetzte Vorzeichen hat. So erhalten wir die folgenden Koordinaten von Punkten symmetrisch zu diesen Punkten um die Achse Ey :

EIN"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Beispiel 7 Punkte werden im kartesischen Koordinatensystem in der Ebene angegeben

EIN(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Finden Sie die Koordinaten von Punkten, die bezüglich des Ursprungs symmetrisch zu diesen Punkten sind.

Entscheidung. Wir drehen uns um 180 Grad um den Ursprung des gerichteten Segments, das vom Ursprung zum angegebenen Punkt geht. In der Abbildung, in der die Quadranten der Ebene angegeben sind, sehen wir, dass ein Punkt, der in Bezug auf den Koordinatenursprung symmetrisch zu einem gegebenen Punkt ist, eine Abszisse und eine Ordinate hat, die im absoluten Wert gleich der Abszisse und der Ordinate des gegebenen Punktes sind , aber im entgegengesetzten Vorzeichen zu ihnen. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten von Punkten, die bezüglich des Ursprungs symmetrisch zu diesen Punkten sind:

EIN"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Beispiel 8

EIN(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Finden Sie die Koordinaten der Projektionen dieser Punkte:

1) im Flugzeug Oxy ;

2) zum Flugzeug Oxz ;

3) zum Flugzeug Oyz ;

4) auf der Abszissenachse;

5) auf der y-Achse;

6) auf der Applikationsachse.

1) Projektion eines Punktes auf eine Ebene Oxy befindet sich auf dieser Ebene selbst und hat daher eine Abszisse und eine Ordinate, die gleich der Abszisse und der Ordinate des gegebenen Punktes sind, und eine Applikate, die gleich Null ist. So erhalten wir die folgenden Koordinaten der Projektionen dieser Punkte auf Oxy :

EINxy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projektion eines Punktes auf eine Ebene Oxz befindet sich auf dieser Ebene selbst und hat daher eine Abszisse und Applikate, die gleich der Abszisse und Applikate des gegebenen Punktes sind, und eine Ordinate, die gleich Null ist. So erhalten wir die folgenden Koordinaten der Projektionen dieser Punkte auf Oxz :

EINxz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Projektion eines Punktes auf eine Ebene Oyz auf dieser Ebene selbst gelegen und hat daher eine Ordinate und eine Applikate gleich der Ordinate und Applikate eines gegebenen Punktes und eine Abszisse gleich Null. So erhalten wir die folgenden Koordinaten der Projektionen dieser Punkte auf Oyz :

EINyz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Wie aus dem theoretischen Teil dieser Lektion hervorgeht, befindet sich die Projektion eines Punktes auf die x-Achse auf der x-Achse selbst, dh der Achse Ochse, und hat daher eine Abszisse, die gleich der Abszisse des Punktes selbst ist, und die Ordinate und die Anwendungsachse der Projektion sind gleich Null (da die Ordinate und die Anwendungsachse die Abszisse am Punkt 0 schneiden). Wir erhalten die folgenden Koordinaten der Projektionen dieser Punkte auf der x-Achse:

EINx(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Die Projektion eines Punktes auf der y-Achse befindet sich auf der y-Achse selbst, also der Achse Ey und hat daher eine Ordinate, die gleich der Ordinate des Punktes selbst ist, und die Abszisse und die Applikate der Projektion sind gleich Null (da die Abszisse und die Applikate die Ordinatenachse im Punkt 0 schneiden). Wir erhalten die folgenden Koordinaten der Projektionen dieser Punkte auf der y-Achse:

EINy(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Die Projektion eines Punktes auf der Applikatachse befindet sich auf der Applikatachse selbst, also der Achse Unze, und hat daher eine Applikate, die gleich der Applikate des Punktes selbst ist, und die Abszisse und die Ordinate der Projektion sind gleich Null (da die Abszisse und die Ordinatenachse die Applikate am Punkt 0 schneiden). Wir erhalten die folgenden Koordinaten der Projektionen dieser Punkte auf die Anwendungsachse:

EINz(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Beispiel 9 Punkte werden im kartesischen Koordinatensystem im Raum angegeben

EIN(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Finden Sie die Koordinaten von Punkten, die symmetrisch zu diesen Punkten sind in Bezug auf:

1) Flugzeug Oxy ;

2) Flugzeug Oxz ;

3) Flugzeug Oyz ;

4) Abszissenachse;

5) y-Achse;

6) Applikationsachse;

7) der Koordinatenursprung.

1) "Vorrücken" des Punktes auf der anderen Seite der Achse Oxy Oxy, wird eine Abszisse und eine Ordinate haben, die gleich der Abszisse und der Ordinate des gegebenen Punktes sind, und eine Applikate, die in der Größe gleich der Applikate des gegebenen Punktes ist, aber ihr entgegengesetztes Vorzeichen hat. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten von Punkten, die symmetrisch zu den Daten in Bezug auf die Ebene sind Oxy :

EIN"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Vorrücken" des Punktes auf der anderen Seite der Achse Oxz für die gleiche Distanz. Gemäß der Abbildung, die den Koordinatenraum darstellt, sehen wir, dass der Punkt bezüglich der Achse symmetrisch zum gegebenen ist Oxz, hat eine Abszisse und eine Anwendung, die gleich der Abszisse und der Anwendung des gegebenen Punktes ist, und eine Ordinate, die betragsmäßig gleich der Ordinate des gegebenen Punktes ist, aber ihr entgegengesetztes Vorzeichen hat. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten von Punkten, die symmetrisch zu den Daten in Bezug auf die Ebene sind Oxz :

EIN"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Vorrücken" des Punktes auf der anderen Seite der Achse Oyz für die gleiche Distanz. Gemäß der Abbildung, die den Koordinatenraum darstellt, sehen wir, dass der Punkt bezüglich der Achse symmetrisch zum gegebenen ist Oyz, wird eine Ordinate und eine Applikate haben, die gleich der Ordinate und einer Applikate des gegebenen Punktes ist, und eine Abszisse, die betragsmäßig gleich der Abszisse des gegebenen Punktes ist, aber ihr entgegengesetztes Vorzeichen hat. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten von Punkten, die symmetrisch zu den Daten in Bezug auf die Ebene sind Oyz :

EIN"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

In Analogie zu symmetrischen Punkten in der Ebene und Punkten im Raum, die symmetrisch zu Daten in Bezug auf Ebenen sind, stellen wir fest, dass im Fall der Symmetrie um eine Achse des kartesischen Koordinatensystems im Raum die Koordinate auf der Achse, um die die Symmetrie eingestellt ist behält sein Vorzeichen bei, und die Koordinaten auf den anderen beiden Achsen haben den gleichen absoluten Wert wie die Koordinaten des gegebenen Punktes, aber entgegengesetztes Vorzeichen.

4) Die Abszisse behält ihr Vorzeichen, während die Ordinate und die Applikate ihr Vorzeichen ändern. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten von Punkten symmetrisch zu den Daten um die x-Achse:

EIN"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Die Ordinate behält ihr Vorzeichen, während die Abszisse und die Applikate ihr Vorzeichen ändern. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten von Punkten symmetrisch zu den Daten um die y-Achse:

EIN"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Der Applikator behält sein Vorzeichen, und die Abszisse und die Ordinate ändern ihr Vorzeichen. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten von Punkten symmetrisch zu den Daten um die Anwendungsachse:

EIN"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) In Analogie zur Symmetrie im Fall von Punkten auf einer Ebene sind im Fall der Symmetrie um den Koordinatenursprung alle Koordinaten eines zu einem gegebenen Punkt symmetrischen Punktes im Absolutwert gleich den Koordinaten eines gegebenen Punktes, aber im entgegengesetzten Vorzeichen zu ihnen. Wir erhalten also die folgenden Koordinaten von Punkten, die bezüglich des Ursprungs symmetrisch zu den Daten sind.

Gleichung eines Kreises auf der Koordinatenebene

Bestimmung 1 . Numerische Achse ( Zahlenstrahl, Koordinatenstrahl) Ox heißt eine Gerade, auf der der Punkt O gewählt wird Bezugspunkt (Koordinatenursprung)(Abb.1), Richtung

Ö → x

aufgeführt als positive Richtung und ein Segment markiert ist, dessen Länge genommen wird als Längeneinheit.

Bestimmung 2 . Das Segment, dessen Länge als Längeneinheit genommen wird, wird Maßstab genannt.

Jeder Punkt der numerischen Achse hat eine Koordinate , die eine reelle Zahl ist. Die Koordinate des Punktes O ist gleich Null. Die Koordinate eines beliebigen Punktes A, der auf dem Strahl Ox liegt, ist gleich der Länge der Strecke OA. Die Koordinate eines beliebigen Punktes A der Zahlenachse, der nicht auf dem Strahl Ox liegt, ist negativ und im Betrag gleich der Länge der Strecke OA .

Bestimmung 3 . Rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem Oxy in der Ebene rufen die beiden sich gegenseitig an aufrecht numerische Achsen Ox und Oy mit die gleiche Skala und gemeinsamer Ursprung am Punkt O im Übrigen derart, dass die Drehung vom Strahl Ox um einen Winkel von 90° zum Strahl Oy in Richtung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn(Abb. 2).

Anmerkung . Das in Figur 2 dargestellte rechtwinklige kartesische Koordinatensystem Oxy wird genannt rechtes Koordinatensystem, im Gegensatz zu linke Koordinatensysteme, bei dem die Drehung des Balkens Ox um 90° zum Balken Oy im Uhrzeigersinn erfolgt. In diesem Leitfaden werden wir Betrachten Sie nur rechte Koordinatensysteme ohne es besonders zu erwähnen.

Wenn wir ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem Oxy in die Ebene einführen, wird jeder Punkt der Ebene erhalten zwei Koordinaten – Abszisse und Ordinate, die wie folgt berechnet werden. Sei A ein beliebiger Punkt der Ebene. Lassen Sie uns Senkrechte von Punkt A fallen lassen AA 1 und AA 2 zu den Linien Ox bzw. Oy (Abb. 3).

Bestimmung 4 . Die Abszisse von Punkt A ist die Koordinate des Punktes EIN 1 auf der numerischen Achse Ox ist die Ordinate des Punktes A die Koordinate des Punktes EIN 2 auf der numerischen Achse Oy.

Bezeichnung . Koordinaten (Abszisse und Ordinate) eines Punktes A im rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem wird üblicherweise mit Oxy (Fig. 4) bezeichnet EIN(x;j) oder EIN = (x; j).

Anmerkung . Punkt O, genannt Ursprung, hat Koordinaten Ö(0 ; 0) .

Bestimmung 5 . Im rechteckigen kartesischen Koordinatensystem Oxy wird die numerische Achse Ox Abszissenachse und die numerische Achse Oy Ordinatenachse genannt (Abb. 5).

Bestimmung 6 . Jedes rechteckige kartesische Koordinatensystem teilt die Ebene in 4 Viertel (Quadranten), deren Nummerierung in Abbildung 5 dargestellt ist.

Bestimmung 7 . Eine Ebene, auf der ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem gegeben ist, heißt Koordinatenebene.

Anmerkung . Die Abszissenachse ist in der Koordinatenebene durch die Gleichung gegeben j= 0 , ist die y-Achse auf der Koordinatenebene durch die Gleichung gegeben x = 0.

Aussage 1. Abstand zwischen zwei Punkten Koordinatenebene

EIN 1 (x 1 ;j 1) und EIN 2 (x 2 ;j 2)

berechnet laut Formel

Nachweisen . Betrachten Sie Abbildung 6.

|EIN 1 EIN 2 | 2 =
= (x 2 -x 1) 2 + (j 2 -j 1) 2 . 		(1)

Somit,

Q.E.D.

Gleichung eines Kreises auf der Koordinatenebene

Stellen Sie sich auf der Koordinatenebene Oxy (Abb. 7) einen Kreis mit Radius R vor, dessen Mittelpunkt der Punkt ist EIN 0 (x 0 ;j 0) .

Ein rechtwinkliges Koordinatensystem in einer Ebene wird durch zwei senkrecht zueinander stehende Koordinatenachsen X'X und Y'Y gebildet. Die Koordinatenachsen schneiden sich im Punkt O, der als Koordinatenursprung bezeichnet wird, auf jeder Achse wird eine positive Richtung gewählt Die positive Richtung der Achsen (im rechtshändigen Koordinatensystem) wird so gewählt, dass bei der X'X-Achse um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird, fällt seine positive Richtung mit der positiven Richtung der Y'Y-Achse zusammen. Die vier Winkel (I, II, III, IV), die durch die Koordinatenachsen X'X und Y'Y gebildet werden, werden als Koordinatenwinkel bezeichnet (siehe Abb. 1).

Die Position von Punkt A in der Ebene wird durch zwei Koordinaten x und y bestimmt. Die x-Koordinate ist gleich der Länge des OB-Segments, die y-Koordinate ist die Länge des OC-Segments in den ausgewählten Einheiten. Die Segmente OB und OC werden durch Linien definiert, die von Punkt A parallel zur Y’Y- bzw. X’X-Achse gezogen werden. Die x-Koordinate heißt Abszisse von Punkt A, die y-Koordinate heißt Ordinate von Punkt A. Sie schreiben es so: A (x, y).

Liegt Punkt A im Koordinatenwinkel I, dann hat Punkt A positive Abszisse und Ordinate. Liegt Punkt A im Koordinatenwinkel II, dann hat Punkt A eine negative Abszisse und eine positive Ordinate. Liegt Punkt A im Koordinatenwinkel III, dann hat Punkt A negative Abszisse und Ordinate. Liegt Punkt A im Koordinatenwinkel IV, dann hat Punkt A eine positive Abszisse und eine negative Ordinate.

Rechteckiges Koordinatensystem im Raum wird durch drei senkrecht zueinander stehende Koordinatenachsen OX, OY und OZ gebildet. Die Koordinatenachsen schneiden sich im Punkt O, der als Ursprung bezeichnet wird, auf jeder Achse wird die durch die Pfeile angezeigte positive Richtung und die Maßeinheit der Segmente auf den Achsen gewählt. Die Maßeinheiten sind für alle Achsen gleich. OX – Abszissenachse, OY – Ordinatenachse, OZ – Anwendungsachse. Die positive Richtung der Achsen ist so gewählt, dass bei Drehung der OX-Achse um 90° gegen den Uhrzeigersinn ihre positive Richtung mit der positiven Richtung der OY-Achse zusammenfällt, wenn diese Drehung von der positiven Richtung der OZ-Achse aus betrachtet wird. Ein solches Koordinatensystem heißt rechts. Wenn der Daumen der rechten Hand als X-Richtung, der Zeigefinger als Y-Richtung und der Mittelfinger als Z-Richtung genommen wird, dann wird ein rechtes Koordinatensystem gebildet. Ähnliche Finger der linken Hand bilden das linke Koordinatensystem. Das rechte und das linke Koordinatensystem können nicht so kombiniert werden, dass die entsprechenden Achsen zusammenfallen (siehe Abb. 2).

Die Position des Punktes A im Raum wird durch drei Koordinaten x, y und z bestimmt. Die x-Koordinate ist gleich der Länge des Segments OB, die y-Koordinate ist gleich der Länge des Segments OC, die z-Koordinate ist die Länge des Segments OD in den ausgewählten Einheiten. Die Segmente OB, OC und OD werden durch Ebenen definiert, die vom Punkt A parallel zu den Ebenen YOZ, XOZ bzw. XOY gezogen werden. Die x-Koordinate heißt Abszisse von Punkt A, die y-Koordinate heißt Ordinate von Punkt A, die z-Koordinate heißt Applikate von Punkt A. Sie schreiben es so: A (a, b, c).

Hort

Ein rechtwinkliges Koordinatensystem (beliebiger Dimension) wird auch durch eine Reihe von Orten beschrieben, die gemeinsam mit den Koordinatenachsen ausgerichtet sind. Die Anzahl der Orte entspricht der Dimension des Koordinatensystems, und sie stehen alle senkrecht zueinander.

Im dreidimensionalen Fall werden solche Vektoren üblicherweise bezeichnet ich j k oder e x e j e z. Dabei gelten bei rechtem Koordinatensystem folgende Formeln mit dem Vektorprodukt von Vektoren:

  • [ich j]=k ;
  • [j k]=ich ;
  • [k ich]=j .

Geschichte

René Descartes führte 1637 in seinem Diskurs über die Methode als erster ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein. Daher wird das rechtwinklige Koordinatensystem auch als - Kartesisches Koordinatensystem. Die Koordinatenmethode zur Beschreibung geometrischer Objekte legte den Grundstein für die analytische Geometrie. Pierre Fermat trug auch zur Entwicklung der Koordinatenmethode bei, seine Arbeit wurde jedoch erst nach seinem Tod veröffentlicht. Descartes und Fermat verwendeten die Koordinatenmethode nur in der Ebene.

Die Koordinatenmethode für den dreidimensionalen Raum wurde erstmals von Leonhard Euler bereits im 18. Jahrhundert angewendet.

siehe auch

Verknüpfungen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

  • Kartesisches Koordinatensystem
  • Kartesischer Grad

Sehen Sie, was "kartesische Koordinaten" in anderen Wörterbüchern sind:

    KARSTISCHE KOORDINATEN- (kartesisches Koordinatensystem) ein Koordinatensystem in einer Ebene oder im Raum, meist mit senkrecht zueinander stehenden Achsen und gleichem Maßstab entlang der Achsen, rechtwinklige kartesische Koordinaten. Benannt nach R. Descartes ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

    Kartesischen Koordinaten- Ein Koordinatensystem, das aus zwei senkrecht zueinander stehenden Achsen besteht. Die Position eines Punktes in einem solchen System wird durch zwei Zahlen gebildet, die den Abstand vom Koordinatenmittelpunkt entlang jeder der Achsen bestimmen. Informationsthemen ... ... Handbuch für technische Übersetzer

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    Kartesischen Koordinaten- Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai papratai būna lygūs. atitikmenys: engl. Kartesische Koordinaten vok. kartesische Koordinaten, f … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

    Kartesischen Koordinaten- Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Kartesischen Koordinaten; Gitterkoordinaten vok. kartesische Koordinaten, f rus. Kartesische Koordinaten, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas

    KARSTISCHE KOORDINATEN- ein Verfahren zur Bestimmung der Position von Punkten auf einer Ebene durch ihre Abstände zu zwei festen senkrechten geraden Achsen. Dieses Konzept findet sich bereits vor mehr als zweitausend Jahren bei Archimedes und den Appologia von Perga und sogar bei den alten Ägyptern. Zum ersten Mal dies…… Mathematische Enzyklopädie

    KARSTISCHE KOORDINATEN- Kartesisches Koordinatensystem [benannt nach dem französischen. Philosoph und Mathematiker R. Descartes (R. Descartes; 1596 1650)], ein Koordinatensystem in einer Ebene oder im Raum, meist mit zueinander senkrechten Achsen und gleichem Maßstab entlang der Achsen, rechtwinkliges D ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

    KARSTISCHE KOORDINATEN- (Kartesisches Koordinatensystem), ein Koordinatensystem in der Ebene oder im Raum, meist mit senkrecht zueinander stehenden Achsen und gleichem Maßstab entlang der Achsen, rechtwinklig D. bis Benannt nach R. Descartes ... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

    KARSTISCHE KOORDINATEN- Das System der Lage eines beliebigen gefundenen Knochenpunktes relativ zu zwei Achsen, die sich rechtwinklig schneiden. Dieses von René Descartes entwickelte System wurde zur Grundlage für Standardmethoden zur grafischen Darstellung von Daten. Horizontale Linie… … Erklärendes Wörterbuch der Psychologie

    Koordinaten- Koordinaten. Im Flugzeug (links) und im Weltall (rechts). KOORDINATEN (vom lateinischen co zusammen und ordinatus geordnet), Zahlen, die die Position eines Punktes auf einer geraden Linie, Ebene, Fläche im Raum bestimmen. Koordinaten sind Entfernungen... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

Anweisung

Notieren Sie mathematische Operationen in Textform und geben Sie diese in das Suchfeld auf der Hauptseite der Google-Seite ein, wenn Sie keinen Taschenrechner verwenden können, aber einen Internetzugang haben. Diese Suchmaschine verfügt über einen integrierten multifunktionalen Taschenrechner, der viel einfacher zu bedienen ist als jeder andere. Es gibt keine Oberfläche mit Schaltflächen – alle Daten müssen in Textform in einem einzigen Feld eingegeben werden. Zum Beispiel, falls bekannt Koordinaten Extrempunkte Segment im dreidimensionalen Koordinatensystem A(51,34 17,2 13,02) und A(-11,82 7,46 33,5), dann Koordinaten Mittelpunkt Segment C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Geben Sie (51,34-11,82) / 2 in das Suchfeld ein, dann (17,2 + 7,46) / 2 und (13,02 + 33,5) / 2, können Sie Google verwenden, um zu erhalten Koordinaten C (19,76 12,33 23,26).

Mit der Standardkreisgleichung können Sie einige wichtige Informationen zu dieser Figur ermitteln, z. B. die Koordinaten ihres Mittelpunkts, die Länge des Radius. Bei einigen Problemen ist es dagegen erforderlich, eine Gleichung für die gegebenen Parameter aufzustellen.

Anweisung

Stellen Sie fest, ob Sie Informationen über den Kreis haben, basierend auf der Ihnen gestellten Aufgabe. Denken Sie daran, dass das Endziel darin besteht, die Koordinaten des Mittelpunkts sowie den Durchmesser zu bestimmen. Alle Ihre Handlungen sollten darauf abzielen, dieses bestimmte Ergebnis zu erreichen.

Verwenden Sie die Daten zum Vorhandensein von Schnittpunkten mit Koordinatenlinien oder anderen Linien. Bitte beachten Sie, dass, wenn der Kreis durch die Abszissenachse geht, der zweite die Koordinate 0 hat, und wenn er durch die Ordinatenachse geht, dann der erste. Mit diesen Koordinaten können Sie die Koordinaten des Kreismittelpunkts finden und auch den Radius berechnen.

Vergessen Sie nicht die grundlegenden Eigenschaften von Sekanten und Tangenten. Der nützlichste Satz ist insbesondere, dass am Berührungspunkt der Radius und die Tangente einen rechten Winkel bilden. Beachten Sie jedoch, dass Sie möglicherweise aufgefordert werden, alle im Kurs verwendeten Theoreme zu beweisen.

Lösen Sie die häufigsten Typen, um zu lernen, wie Sie sofort sehen, wie bestimmte Daten für eine Kreisgleichung verwendet werden. Neben den bereits angedeuteten Problemen mit direkt gegebenen Koordinaten und solchen, bei denen Informationen über das Vorhandensein von Schnittpunkten angegeben sind, können Sie zum Aufstellen der Kreisgleichung das Wissen über den Mittelpunkt des Kreises, die Länge des Kreises, verwenden Akkord und auf dem dieser Akkord liegt.

Baue zum Lösen ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis die gegebene Sehne ist und dessen Radien gleiche Seiten sind. Make up, aus dem Sie die notwendigen Daten leicht finden können. Dazu reicht es aus, die Formel zum Ermitteln der Länge eines Segments in einer Ebene zu verwenden.

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Unter einem Kreis versteht man eine Figur, die aus einer Menge von Punkten in einer Ebene besteht, die gleich weit von ihrem Mittelpunkt entfernt ist. Abstand vom Zentrum zu den Punkten Kreise Radius genannt.

Polar Koordinaten

Die Nummer wird angerufen Polarradius Punkte bzw erste Polarkoordinate. Der Abstand kann nicht negativ sein, daher ist der Polarradius eines beliebigen Punktes . Die erste Polarkoordinate wird auch mit dem griechischen Buchstaben ("rho") bezeichnet, aber ich bin an die lateinische Version gewöhnt und werde sie in Zukunft verwenden.

Die Nummer wird angerufen Polarwinkel gegebener Punkt bzw zweite Polarkoordinate. Der Polarwinkel wird standardmäßig innerhalb geändert (der sog Hauptwerte des Winkels). Es ist jedoch durchaus akzeptabel, den Bereich zu verwenden, und in einigen Fällen besteht die direkte Notwendigkeit, alle Winkelwerte von null bis "plus unendlich" zu berücksichtigen. Ich empfehle übrigens, sich an das Bogenmaß des Winkels zu gewöhnen, da es in der höheren Mathematik nicht als comme il faut gilt, mit Graden zu arbeiten.

Das Paar wird gerufen Polar Koordinaten Punkte . Von leicht zu finden und ihre spezifischen Bedeutungen. Die Tangente eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten Schenkel: daher der Winkel selbst: . Nach dem Satz des Pythagoras ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel: also der Polarradius:

Auf diese Weise, .

Ein Pinguin ist gut, aber ein Schwarm ist besser:


Negativ orientierte Ecken nur für den Fall, ich habe es mit Pfeilen markiert, wusste einer der Leser plötzlich noch nichts von dieser Ausrichtung. Auf Wunsch können Sie jeweils 1 Umdrehung (rad. oder 360 Grad) „schrauben“ und sich übrigens bequem machen Tabellenwerte:

Der Nachteil dieser "traditionell" orientierten Ecken ist jedoch, dass sie zu weit (mehr als 180 Grad) gegen den Uhrzeigersinn "verdreht" sind. Ich sehe die Frage voraus: „Warum das Fehlen und warum brauchen wir überhaupt negative Winkel?“ In der Mathematik werden die kürzesten und rationellsten Wege geschätzt. Na ja, aus physikalischer Sicht ist die Drehrichtung oft von grundlegender Bedeutung - jeder von uns hat versucht, die Tür zu öffnen, indem er den Griff in die falsche Richtung gezogen hat =)

Die Reihenfolge und Technik zum Konstruieren von Punkten in Polarkoordinaten

Schöne Bilder sind schön, aber das Bauen in einem Polarkoordinatensystem ist eine ziemlich mühsame Aufgabe. Bei Punkten, deren Polarwinkel gleich sind, treten keine Schwierigkeiten auf , in unserem Beispiel sind das die Punkte ; Werte, die ein Vielfaches von 45 Grad sind, bereiten ebenfalls keine großen Probleme: . Aber wie baut man zum Beispiel einen Punkt richtig und kompetent?

Sie benötigen ein kariertes Blatt Papier, einen Bleistift und folgende Zeichenwerkzeuge: Lineal, Zirkel, Winkelmesser. Im Extremfall kommt man mit einem Lineal aus, oder sogar ... ganz ohne! Lesen Sie weiter und Sie werden einen weiteren Beweis dafür bekommen, dass dieses Land unbesiegbar ist =)

Beispiel 1

Konstruieren Sie einen Punkt im Polarkoordinatensystem.

Zuerst müssen Sie das Gradmaß des Winkels herausfinden. Wenn der Winkel ungewohnt ist oder Sie Zweifel haben, ist es immer besser, ihn zu verwenden Tisch oder die allgemeine Formel zur Umrechnung von Bogenmaß in Grad. Unser Winkel ist also (oder ).

Lassen Sie uns ein Polarkoordinatensystem zeichnen (siehe Anfang der Lektion) und einen Winkelmesser nehmen. Für Besitzer eines runden Instruments wird es nicht schwierig sein, 240 Grad zu markieren, aber mit hoher Wahrscheinlichkeit haben Sie eine halbkreisförmige Version des Geräts an Ihren Händen. Das Problem des völligen Fehlens eines Winkelmessers bei Vorhandensein eines Druckers und einer Schere durch Handarbeit gelöst.

Es gibt zwei Möglichkeiten: Drehen Sie das Blatt um und markieren Sie 120 Grad, oder „schrauben Sie“ eine halbe Umdrehung und betrachten Sie den entgegengesetzten Winkel. Wählen wir die Erwachsenenmethode und markieren Sie 60 Grad:


Entweder ein winziger Winkelmesser oder ein riesiger Käfig =) Um den Winkel zu messen, ist die Skala jedoch nicht wichtig.

Wir zeichnen mit einem Bleistift eine dünne gerade Linie, die durch die Stange und die Markierung verläuft:


Wir haben den Winkel herausgefunden, der nächste Schritt ist der Polarradius. Wir nehmen einen Kompass und durch Herrscher Wir setzen seine Lösung auf 3 Einheiten, meistens sind dies natürlich Zentimeter:

Jetzt setzen wir die Nadel vorsichtig auf die Stange und machen mit einer Drehbewegung eine kleine Kerbe (rot). Der gewünschte Punkt wird gebaut:


Auf einen Zirkel können Sie verzichten, indem Sie ein Lineal direkt an der konstruierten Linie anbringen und 3 Zentimeter messen. Aber wie wir später sehen werden, bei Aufgaben zur Konstruktion im Polarkoordinatensystem Eine typische Situation ist, wenn Sie zwei oder mehr Punkte mit demselben Polarradius markieren müssen, damit das Metall effizienter gehärtet werden kann. Insbesondere in unserer Zeichnung ist es einfach, durch Drehen des Kompassbeins um 180 Grad eine zweite Kerbe zu machen und einen Punkt symmetrisch in Bezug auf den Pol zu bauen. Lassen Sie uns darauf das Material des nächsten Absatzes erarbeiten:

Die Beziehung von rechtwinkligen und polaren Koordinatensystemen

Offensichtlich beitreten in das Polarkoordinatensystem des "normalen" Koordinatengitters und zeichnen Sie einen Punkt auf der Zeichnung:

Diese Verbindung ist beim Einzeichnen von Polarkoordinaten immer im Hinterkopf zu behalten. Obwohl es sich wohl oder übel ohne allzu viele Andeutungen anbietet.

Stellen wir den Zusammenhang zwischen polaren und kartesischen Koordinaten am Beispiel eines bestimmten Punktes her. Stellen Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck vor, in dem die Hypotenuse gleich dem Polarradius ist: , und die Schenkel sind die „x“- und „Spiel“-Koordinaten des Punktes im kartesischen Koordinatensystem: .

Der Sinus eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse:

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse:

Gleichzeitig wiederholten sie die Definitionen von Sinus, Cosinus (und etwas früher Tangens) aus dem Programm der 9. Klasse einer Gesamtschule.

Bitte fügen Sie Ihrem Nachschlagewerk Arbeitsformeln hinzu, die die kartesischen Koordinaten eines Punktes in seinen Polarkoordinaten ausdrücken - wir werden uns mehr als einmal damit befassen müssen, und das nächste Mal gleich =)

Finden wir die Koordinaten eines Punktes in einem rechtwinkligen Koordinatensystem:

Auf diese Weise:

Die resultierenden Formeln öffnen eine weitere Lücke im Konstruktionsproblem, wenn man auf einen Winkelmesser überhaupt verzichten kann: Zuerst finden wir die kartesischen Koordinaten des Punktes (natürlich auf dem Entwurf), dann finden wir gedanklich die richtige Stelle auf der Zeichnung und markiere diesen Punkt. In der letzten Phase zeichnen wir eine dünne gerade Linie, die durch den konstruierten Punkt und die Stange verläuft. Als Ergebnis stellt sich heraus, dass der Winkel angeblich mit einem Winkelmesser gemessen wurde.

Komischerweise können absolut verzweifelte Schüler sogar auf ein Lineal verzichten und stattdessen die glatte Kante eines Lehrbuchs, Notizbuchs oder Notenbuchs verwenden - schließlich haben sich die Hersteller von Notizbüchern um die Metrik gekümmert, 1 Zelle = 5 Millimeter.

All dies erinnerte mich an eine bekannte Anekdote, in der findige Piloten einen Kurs entlang des Belomor-Rudels planten \u003d) Obwohl Witze Witze sind und die Anekdote nicht so weit von der Realität entfernt ist, erinnere ich mich an einen der Inlandsflüge darüber In der Russischen Föderation fielen alle Navigationsgeräte im Liner aus, und die Besatzung landete das Brett erfolgreich mit einem gewöhnlichen Wasserglas, das den Neigungswinkel des Flugzeugs relativ zum Boden anzeigte. Und die Landebahn - hier ist sie, sichtbar von der Windschutzscheibe.

Mit dem zu Beginn der Lektion zitierten Satz des Pythagoras erhält man leicht Umkehrformeln: , also:

Der Winkel „phi“ selbst wird standardmäßig durch den Arcustangens ausgedrückt – genau so wie Argument für komplexe Zahlen mit all seinen Macken.

Es ist auch ratsam, die zweite Gruppe von Formeln in Ihr Referenzgepäck zu legen.

Kommen wir nach einer ausführlichen Analyse von Flügen mit Einzelpunkten zur natürlichen Fortsetzung des Themas:

Liniengleichung in Polarkoordinaten

Im Wesentlichen ist die Gleichung eine Gerade in einem Polarkoordinatensystem Polarradiusfunktion des Polarwinkels (Argument). Dabei wird der Polarwinkel berücksichtigt im Bogenmaß(!) und ständig nimmt Werte von bis an (Manchmal sollte es ad infinitum betrachtet werden, oder in einer Reihe von Problemen der Einfachheit halber von bis ). Jeder Wert des Winkels "phi", der in enthalten ist Domain Funktion, entspricht einem einzelnen Wert des Polarradius.

Die Polarfunktion kann mit einer Art Radar verglichen werden – wenn ein vom Pol ausgehender Lichtstrahl gegen den Uhrzeigersinn rotiert und eine Linie „erkennt“ (zeichnet).

Ein gängiges Beispiel für eine Polarkurve ist Archimedische Spirale. Die folgende Abbildung zeigt sie erste Runde– wenn der Polarradius nach dem Polarwinkel Werte von 0 bis annimmt:

Beim Kreuzen der Polachse am Punkt wird sich die Spirale weiter abwickeln, unendlich weit vom Pol entfernt. Aber solche Fälle sind in der Praxis ziemlich selten; eine typischere Situation, wenn wir bei allen nachfolgenden Umdrehungen „auf derselben Linie gehen“, die im Bereich erhalten wird.

Im ersten Beispiel begegnen wir auch dem Begriff Domänen Polarfunktion: Da der Polarradius nicht negativ ist, können negative Winkel hier nicht berücksichtigt werden.

! Notiz : In einigen Fällen ist es üblich zu verwenden verallgemeinerte Polarkoordinaten, wobei der Radius negativ sein kann, und wir werden diesen Ansatz etwas später kurz untersuchen

Neben der Archimedes-Spirale gibt es viele andere bekannte Kurven, aber wie sie sagen, Sie werden nicht voller Kunst sein, also habe ich Beispiele herausgegriffen, die in realen praktischen Aufgaben sehr häufig vorkommen.

Zuerst die einfachsten Gleichungen und die einfachsten Linien:

Eine Gleichung der Form gibt den vom Pol ausgehenden an Strahl. Denken Sie in der Tat darüber nach, ob der Wert des Winkels stets(was auch immer "er" ist) ständig, was ist dann die Zeile?

Notiz : Im verallgemeinerten Polarkoordinatensystem definiert diese Gleichung eine gerade Linie, die durch den Pol verläuft

Die Gleichung der Form bestimmt ... erraten Sie das erste Mal - wenn für jeden Eckenradius "phi" bleibt konstant? In der Tat, diese Definition Kreise zentriert am Pol des Radius .

Zum Beispiel, . Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die Gleichung dieser Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem finden. Unter Verwendung der im vorherigen Absatz erhaltenen Formel führen wir die Ersetzung durch:

Lassen Sie uns beide Seiten quadrieren:

– Kreisgleichung zentriert am Koordinatenursprung des Radius 2, der verifiziert werden sollte.

Seit der Erstellung und Veröffentlichung des Artikels über lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren Ich habe mehrere Briefe von Website-Besuchern erhalten, die eine Frage im Geiste gestellt haben: „Hier ist ein einfaches und praktisches rechtwinkliges Koordinatensystem, warum brauchen wir einen anderen schiefen affinen Fall?“. Die Antwort ist einfach: Die Mathematik will alles und jeden umfassen! Darüber hinaus ist in dieser oder jener Situation die Bequemlichkeit wichtig - wie Sie sehen, ist es aufgrund der extremen Einfachheit der Gleichung viel rentabler, mit einem Kreis in Polarkoordinaten zu arbeiten.

Und manchmal nimmt ein mathematisches Modell wissenschaftliche Entdeckungen vorweg. So war einst der Rektor der Kasaner Universität N.I. Lobatschewski streng bewiesen, durch einen beliebigen Punkt der Ebene kann gezeichnet werden unendlich viele Zeilen parallel zum gegebenen. Infolgedessen wurde er von der gesamten wissenschaftlichen Welt diffamiert, aber ... niemand konnte diese Tatsache widerlegen. Erst nach gut einem Jahrhundert fanden Astronomen heraus, dass sich Licht im Weltraum auf gekrümmten Bahnen ausbreitet, wo die von ihm lange vor dieser Entdeckung formal entwickelte nicht-euklidische Geometrie von Lobatschewski zu wirken beginnt. Es wird angenommen, dass dies eine Eigenschaft des Raumes selbst ist, dessen Krümmung für uns aufgrund geringer (nach astronomischen Maßstäben) Entfernungen unsichtbar ist.

Betrachten Sie sinnvollere Bauaufgaben:

Beispiel 2

eine Linie bauen

Entscheidung: zuerst finden Domain. Da der Polarradius nicht negativ ist, muss die Ungleichung gelten. Sie können sich an die Schulregeln zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen erinnern, aber in einfachen Fällen wie diesem rate ich zu einer schnelleren und visuelleren Lösungsmethode:

Stellen Sie sich ein Kosinusdiagramm vor. Wenn er es noch nicht geschafft hat, in Erinnerung zu bleiben, dann finden Sie ihn auf der Seite Graphen elementarer Funktionen. Was sagt uns Ungleichheit? Es sagt uns, dass der Kosinusgraph lokalisiert werden sollte nicht weniger Abszissenachse. Und dies geschieht auf einem Segment. Und dementsprechend passt das Intervall nicht.

Der Definitionsbereich unserer Funktion ist also: , das heißt, der Graph befindet sich rechts vom Pol (nach der Terminologie des kartesischen Systems in der rechten Halbebene).

In Polarkoordinaten gibt es oft eine vage Vorstellung davon, welche Linie diese oder jene Gleichung definiert. Um sie zu erstellen, müssen Sie also die zugehörigen Punkte finden - und je mehr, desto besser. Normalerweise auf ein Dutzend oder zwei (oder sogar weniger) begrenzt. Der einfachste Weg ist natürlich zu nehmen tabellarische Winkelwerte. Zur besseren Übersichtlichkeit „befestige“ ich eine Wendung an negativen Werten:

Aufgrund der Parität des Kosinus die entsprechenden positiven Werte können wieder weggelassen werden:

Lassen Sie uns das Polarkoordinatensystem darstellen und die gefundenen Punkte beiseite legen, während es bequem ist, die gleichen Werte von "er" auf einmal beiseite zu legen, indem Sie gepaarte Serifen mit einem Kompass gemäß der oben beschriebenen Technologie erstellen:

Im Prinzip ist die Linie klar gezeichnet, aber um die Vermutung absolut zu bestätigen, suchen wir ihre Gleichung im kartesischen Koordinatensystem. Sie können neu abgeleitete Formeln anwenden , aber ich verrate dir einen kniffligeren Trick. Wir multiplizieren beide Gleichungsteile künstlich mit "er": und verwenden kompaktere Übergangsformeln:

Wenn wir das volle Quadrat auswählen, bringen wir die Gleichung der Linie in eine erkennbare Form:

– Kreisgleichung zentriert am Punkt , Radius 2.

Da es laut Bedingung einfach notwendig war, die Konstruktion zu vervollständigen und das war's, verbinden wir die gefundenen Punkte fließend mit einer Linie:

Bereit. Es ist okay, wenn es etwas uneben wird, man musste nicht wissen, dass es ein Kreis war ;-)

Warum haben wir Winkelwerte außerhalb des Intervalls nicht berücksichtigt? Die Antwort ist einfach: Es macht keinen Sinn. Angesichts der Periodizität der Funktion warten wir auf einen endlosen Lauf entlang des konstruierten Kreises.

Es ist leicht, eine einfache Analyse durchzuführen und zu dem Schluss zu kommen, dass die Gleichung der Form einen Durchmesserkreis mit einem Mittelpunkt im Punkt definiert. Bildlich gesprochen „sitzen“ alle diese Kreise auf der Polachse und gehen zwangsläufig durch den Pol. Wenn , dann wird die fröhliche Gesellschaft nach links wandern - zur Fortsetzung der Polarachse (denken Sie warum).

Ein ähnliches Problem für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 3

Zeichne eine Linie und finde ihre Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

Wir systematisieren das Verfahren zur Lösung des Problems:

Zuerst finden wir den Definitionsbereich der Funktion, dafür ist es bequem, ihn sich anzusehen sinusförmig um sofort zu verstehen, wo der Sinus nicht negativ ist.

Im zweiten Schritt berechnen wir die Polarkoordinaten der Punkte mit Tabellenwerte der Winkel; analysieren, ob es möglich ist, die Anzahl der Berechnungen zu reduzieren?

Im dritten Schritt legen wir die Punkte im Polarkoordinatensystem beiseite und verbinden sie vorsichtig mit einer Linie.

Und schließlich finden wir die Geradengleichung im kartesischen Koordinatensystem.

Musterlösung am Ende der Lektion.

Wir erläutern den allgemeinen Algorithmus und die Technik zum Konstruieren in Polarkoordinaten
und deutlich beschleunigen im zweiten Teil der Vorlesung, aber machen wir uns vorher mit einer weiteren gemeinsamen Linie vertraut:

Polarrose

Ganz richtig, wir sprechen von einer Blume mit Blütenblättern:

Beispiel 4

Zeichnen Sie Linien, die durch Gleichungen in Polarkoordinaten gegeben sind

Es gibt zwei Ansätze, um eine Polarrose zu konstruieren. Gehen wir zunächst die Rändelspur entlang, wobei wir davon ausgehen, dass der Polarradius nicht negativ sein kann:

Entscheidung:

a) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion:

Eine solche trigonometrische Ungleichung ist auch grafisch leicht zu lösen: aus den Materialien des Artikels Geometrische Diagrammtransformationen Es ist bekannt, dass, wenn das Funktionsargument verdoppelt wird, sein Diagramm um das Zweifache auf die y-Achse schrumpft. Den Graphen der Funktion finden Sie im ersten Beispiel der angegebenen Lektion. Wo befindet sich diese Sinuskurve über der x-Achse? In Intervallen . Daher erfüllen die entsprechenden Segmente die Ungleichung und Domain unsere Funktion: .

Im Allgemeinen ist die Lösung der betrachteten Ungleichungen die Vereinigung unendlich vieler Segmente, aber auch hier interessiert uns nur eine Periode.

Vielleicht fällt einigen Lesern die analytische Methode zum Auffinden des Definitionsbereichs leichter, ich nenne es bedingt „einen runden Kuchen schneiden“. Wir werden schneiden in gleiche Teile und finden Sie zuerst die Grenzen des ersten Stücks. Wir argumentieren wie folgt: Sinus ist nicht negativ, Wenn seine Argumentation reicht von 0 bis rad. inklusive. In unserem Beispiel: . Teilen wir alle Teile der doppelten Ungleichung durch 2, erhalten wir das benötigte Intervall:

Jetzt beginnen wir nacheinander „gleiche Stücke von 90 Grad schneiden“ gegen den Uhrzeigersinn:

- das gefundene Segment wird natürlich in den Definitionsbereich aufgenommen;

– nächstes Intervall – nicht enthalten;

- das nächste Segment - tritt ein;

- und schließlich das Intervall - ist nicht enthalten.

Genau wie eine Kamille - "liebt, liebt nicht, liebt, liebt nicht" =) Mit dem Unterschied, dass dies keine Wahrsagerei ist. Ja, nur eine Art Liebe auf Chinesisch stellt sich heraus ....

So, und die Linie stellt eine Rose mit zwei identischen Blütenblättern dar. Es ist durchaus möglich, eine Zeichnung schematisch zu zeichnen, aber es ist sehr wünschenswert, sie richtig zu finden und zu markieren die Spitzen der Blütenblätter. Die Eckpunkte stimmen überein Mittelpunkte von Segmenten des Definitionsbereichs, die in diesem Beispiel offensichtliche Winkelkoordinaten haben . Dabei Blütenblattlänge sind:

Hier ist das natürliche Ergebnis eines fürsorglichen Gärtners:

Es ist zu beachten, dass die Länge des Blütenblatts aus der Gleichung leicht ersichtlich ist - da der Sinus begrenzt ist: , wird der maximale Wert von "er" sicherlich zwei nicht überschreiten.

b) Konstruieren wir die durch die Gleichung gegebene Gerade. Offensichtlich ist die Länge des Blütenblatts dieser Rose ebenfalls zwei, aber zuallererst interessiert uns der Definitionsbereich. Wir wenden die analytische Methode des „Slicing“ an: Sinus ist nicht negativ, wenn sein Argument liegt im Bereich von Null bis einschließlich "pi", in diesem Fall: . Wir teilen alle Teile der Ungleichung durch 3 und erhalten das erste Intervall:

Als nächstes beginnen wir gemäß dem Rad, „den Kuchen in Stücke zu schneiden“. (60 Grad):
– das Segment tritt in den Definitionsbereich ein;
– Intervall – tritt nicht ein;
- Segment - tritt ein;
– Intervall – tritt nicht ein;
- Segment - tritt ein;
- Intervall - wird nicht eingegeben.

Der Prozess wurde erfolgreich an der 360-Grad-Marke abgeschlossen.

Der Geltungsbereich ist also: .

Die ausgeführten Handlungen ganz oder teilweise sind mental leicht durchführbar.

Konstruktion. Wenn im vorigen Absatz mit rechten Winkeln und 45-Grad-Winkeln alles geklappt hat, dann müssen Sie hier ein wenig basteln. Lass uns finden die Spitzen der Blütenblätter. Ihre Länge war von Anfang an sichtbar, es bleibt die Berechnung der Winkelkoordinaten, die den Mittelpunkten der Segmente des Definitionsbereichs entsprechen:

Bitte beachten Sie, dass Sie zwischen den Spitzen der Blütenblätter unbedingt gleiche Lücken haben müssen, in diesem Fall 120 Grad.

Es ist wünschenswert, die Zeichnung in 60-Grad-Sektoren (durch grüne Linien begrenzt) zu markieren und die Richtungen der Spitzen der Blütenblätter (graue Linien) zu zeichnen. Es ist praktisch, die Scheitelpunkte selbst mit Hilfe eines Kompasses zu markieren - messen Sie einmal den Abstand von 2 Einheiten und bringen Sie drei Kerben in den gezeichneten Richtungen bei 30, 150 und 270 Grad an:

Bereit. Ich verstehe, dass die Aufgabe mühsam ist, aber wenn Sie alles auf intelligente Weise arrangieren möchten, müssen Sie Zeit aufwenden.

Wir formulieren die allgemeine Formel: eine Gleichung der Form , ist eine natürliche Zahl), definiert eine Polar-Blütenblatt-Rose, deren Blütenblattlänge .

Zum Beispiel gibt die Gleichung ein Vierpass mit einer Blütenblattlänge von 5 Einheiten an, die Gleichung - eine 5-blättrige Rose mit einer Blütenblattlänge von 3 Einheiten. usw.

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