Die erste Aussage besagt, dass die Summe der Wurzeln dieser Gleichung gleich dem Wert des Koeffizienten der Variablen x ist (in diesem Fall ist es b), aber mit entgegengesetztem Vorzeichen. Optisch sieht das so aus: x1 + x2 = −b.
Die zweite Aussage ist nicht mehr mit der Summe verbunden, sondern mit dem Produkt derselben zwei Wurzeln. Dieses Produkt wird einem freien Koeffizienten gleichgesetzt, d.h. c. Oder x1 * x2 = c. Beide Beispiele werden im System gelöst.
Der Satz von Vieta vereinfacht die Lösung erheblich, hat aber eine Einschränkung. Eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln mit dieser Technik gefunden werden können, muss reduziert werden. In der obigen Gleichung für den Koeffizienten a ist die Eins vor x2 gleich eins. Jede Gleichung kann auf eine ähnliche Form reduziert werden, indem der Ausdruck durch den ersten Koeffizienten dividiert wird, aber diese Operation ist nicht immer rational.
Beweis des Satzes
Zunächst sollten wir uns daran erinnern, wie es traditionell üblich ist, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu suchen. Die erste und zweite Wurzel werden gefunden, nämlich: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Allgemein durch 2a teilbar, aber wie bereits erwähnt, kann der Satz nur für a = 1 angewendet werden.Aus dem Satz von Vieta ist bekannt, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit einem Minuszeichen ist. Das bedeutet, dass x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Dasselbe gilt für das Produkt unbekannter Wurzeln: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. D = b2-4c (wieder mit a=1). Es stellt sich heraus, dass das Ergebnis ist: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Aus dem obigen einfachen Beweis kann nur eine Schlussfolgerung gezogen werden: Der Satz von Vieta ist vollständig bestätigt.
Zweite Formulierung und Beweis
Der Satz von Vieta hat eine andere Interpretation. Genauer gesagt handelt es sich nicht um eine Interpretation, sondern um eine Formulierung. Tatsache ist, dass, wenn die gleichen Bedingungen wie im ersten Fall erfüllt sind: es gibt zwei verschiedene reelle Wurzeln, dann kann der Satz in einer anderen Formel geschrieben werden.Diese Gleichheit sieht folgendermaßen aus: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Wenn sich die Funktion P(x) an zwei Punkten x1 und x2 schneidet, dann kann sie geschrieben werden als P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Für den Fall, dass P den zweiten Grad hat, und genau so sieht der ursprüngliche Ausdruck aus, dann ist R eine Primzahl, nämlich 1. Diese Aussage gilt deshalb, weil sonst die Gleichheit nicht gilt. Der Koeffizient x2 beim Öffnen von Klammern sollte nicht größer als eins sein, und der Ausdruck sollte quadratisch bleiben.
Der Satz von Vieta wird oft verwendet, um bereits gefundene Wurzeln zu testen. Hat man die Wurzeln gefunden, kann man mit den Formeln \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) die Werte \(p\ ) und \(q\ ). Und wenn sie sich als die gleichen wie in der ursprünglichen Gleichung herausstellen, werden die Wurzeln richtig gefunden.
Verwenden wir zum Beispiel , lösen die Gleichung \(x^2+x-56=0\) und erhalten die Wurzeln: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Lassen Sie uns überprüfen, ob wir beim Lösen einen Fehler gemacht haben. In unserem Fall \(p=1\) und \(q=-56\). Nach dem Satz von Vieta gilt:
\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
Beide Aussagen konvergierten, was bedeutet, dass wir die Gleichung richtig gelöst haben.
Dieser Test kann mündlich durchgeführt werden. Es dauert 5 Sekunden und bewahrt Sie vor dummen Fehlern.
Inverses Vieta-Theorem
Wenn \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), dann sind \(x_1\) und \(x_2\) die Wurzeln der quadratischen Gleichung \ (x^ 2+px+q=0\).
Oder ganz einfach: Wenn Sie eine Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) haben, dann durch Lösen des Systems \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) finden Sie seine Wurzeln.
Dank dieses Satzes können Sie schnell die Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden, besonders wenn diese Wurzeln sind. Diese Fähigkeit ist wichtig, da sie viel Zeit spart.
Beispiel . Lösen Sie die Gleichung \(x^2-5x+6=0\).
Lösung
: Mit dem inversen Satz von Vieta erhalten wir, dass die Wurzeln die Bedingungen erfüllen: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Betrachten Sie die zweite Gleichung des \(x_1 \cdot x_2=6\)-Systems. In welche zwei kann die Zahl \(6\) zerlegt werden? Auf \(2\) und \(3\), \(6\) und \(1\) oder \(-2\) und \(-3\), und \(-6\) und \(- eines\). Und welches Paar zu wählen ist, zeigt die erste Gleichung des Systems: \(x_1+x_2=5\). \(2\) und \(3\) sind ähnlich, weil \(2+3=5\).
Antworten
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Beispiele
. Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung, indem Sie die Umkehrung des Satzes von Vieta verwenden:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).
Lösung
:
a) \(x^2-15x+14=0\) - in welche Faktoren zerfällt \(14\)? \(2\) und \(7\), \(-2\) und \(-7\), \(-1\) und \(-14\), \(1\) und \(14\ ). Welche Zahlenpaare ergeben zusammen \(15\)? Antwort: \(1\) und \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) - in welche Faktoren zerlegt sich \(-4\)? \(-2\) und \(2\), \(4\) und \(-1\), \(1\) und \(-4\). Welche Zahlenpaare ergeben zusammen \(-3\)? Antwort: \(1\) und \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) – in welche Faktoren zerlegt sich \(20\)? \(4\) und \(5\), \(-4\) und \(-5\), \(2\) und \(10\), \(-2\) und \(-10\ ), \(-20\) und \(-1\), \(20\) und \(1\). Welche Zahlenpaare ergeben zusammen \(-9\)? Antwort: \(-4\) und \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) - in welche Faktoren zerlegt \(780\)? \(390\) und \(2\). Ergeben sie zusammen \(88\)? Nein. Welche anderen Multiplikatoren hat \(780\)? \(78\) und \(10\). Ergeben sie zusammen \(88\)? Ja. Antwort: \(78\) und \(10\).
Es ist nicht notwendig, den letzten Term in alle möglichen Faktoren zu zerlegen (wie im letzten Beispiel). Sie können sofort prüfen, ob ihre Summe \(-p\) ergibt.
Wichtig! Der Satz von Vieta und der umgekehrte Satz funktionieren nur mit , also einem, dessen Koeffizient vor \(x^2\) gleich eins ist. Wenn wir zunächst eine nicht reduzierte Gleichung haben, können wir sie reduzieren, indem wir einfach durch den Koeffizienten vor \ (x ^ 2 \) dividieren.
Zum Beispiel, sei die Gleichung \(2x^2-4x-6=0\) gegeben und wir wollen einen Satz von Vieta verwenden. Aber wir können nicht, weil der Koeffizient vor \(x^2\) gleich \(2\) ist. Lassen Sie uns es loswerden, indem wir die ganze Gleichung durch \(2\) dividieren.
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Bereit. Jetzt können wir beide Theoreme verwenden.
Antworten auf häufig gestellte Fragen
Frage:
Mit dem Satz von Vieta können Sie jedes lösen?
Antworten:
Leider gibt es keine. Wenn die Gleichung keine ganzen Zahlen enthält oder die Gleichung überhaupt keine Wurzeln hat, hilft der Satz von Vieta nicht. In diesem Fall müssen Sie verwenden diskriminierend
. Glücklicherweise haben 80 % der Gleichungen im Mathekurs der Schule ganzzahlige Lösungen.
Bevor wir zum Satz von Vieta übergehen, führen wir eine Definition ein. Quadratische Gleichung der Form x² + px + q= 0 heißt reduziert. In dieser Gleichung ist der führende Koeffizient gleich eins. Zum Beispiel die Gleichung x² - 3 x- 4 = 0 wird reduziert. Jede quadratische Gleichung der Form Axt² + b x + c= 0 kann reduziert werden, dazu dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch a≠ 0. Zum Beispiel Gleichung 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 geteilt durch 4 wird auf die Form reduziert: x² + x- 3/4 = 0. Wir leiten die Formel für die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung her, dazu verwenden wir die Formel für die Wurzeln einer allgemeinen quadratischen Gleichung: Axt² + bx + c = 0
Reduzierte Gleichung x² + px + q= 0 stimmt mit einer allgemeinen Gleichung überein, in der a = 1, b = p, c = q. Daher hat die Formel für die gegebene quadratische Gleichung die Form: 
Der letzte Ausdruck wird als Formel der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung bezeichnet. Es ist besonders praktisch, diese Formel zu verwenden, wenn R- gerade Zahl. Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichung lösen x² - 14 x — 15 = 0
Als Antwort schreiben wir, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat.
Für eine reduzierte quadratische Gleichung mit positivem Wert gilt der folgende Satz.
Satz von Vieta
Wenn ein x 1 und x 2 - Wurzeln der Gleichung x² + px + q= 0, dann gelten die Formeln:
x 1 + x 2 = — R
x 1 * x 2 \u003d q, das heißt, die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.
Basierend auf der Formel der Wurzeln der obigen quadratischen Gleichung haben wir:
Addieren wir diese Gleichheiten, erhalten wir: x 1 + x 2 = —R.
Durch Multiplizieren dieser Gleichheiten mit der Differenz der Quadrate-Formel erhalten wir:
Beachten Sie, dass der Satz von Vieta auch gültig ist, wenn die Diskriminante Null ist, wenn wir annehmen, dass in diesem Fall die quadratische Gleichung zwei identische Wurzeln hat: x 1 = x 2 = — R/2.
Gleichungen nicht lösen x² - 13 x+ 30 = 0 Finden Sie die Summe und das Produkt seiner Wurzeln x 1 und x 2. diese Gleichung D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, sodass Sie das Vieta-Theorem anwenden können: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Betrachten Sie einige weitere Beispiele. Eine der Wurzeln der Gleichung x² — px- 12 = 0 ist x 1 = 4. Koeffizient finden R und zweite Wurzel x 2 dieser Gleichung. Nach dem Satz von Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Als x 1 = 4 dann 4 x 2 = - 12, woher x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Als Antwort schreiben wir die zweite Wurzel auf x 2 = - 3, Koeffizient p = - 1.
Gleichungen nicht lösen x² + 2 x- 4 = 0 Finden Sie die Summe der Quadrate seiner Wurzeln. Lassen x 1 und x 2 sind die Wurzeln der Gleichung. Nach dem Satz von Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Als x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 dann x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.
Finden Sie die Summe und das Produkt der Wurzeln von Gleichung 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Diese Gleichung hat seit der Diskriminante zwei verschiedene Wurzeln D= 16 + 4*3*5 > 0. Um die Gleichung zu lösen, verwenden wir das Vieta-Theorem. Dieser Satz wurde für die reduzierte quadratische Gleichung bewiesen. Also teilen wir diese Gleichung durch 3.
Daher ist die Summe der Wurzeln -4/3 und ihr Produkt ist -5/3.
Im Allgemeinen die Wurzeln der Gleichung Axt² + b x + c= 0 hängen durch die folgenden Gleichungen zusammen: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Um diese Formeln zu erhalten, genügt es, beide Seiten dieser quadratischen Gleichung durch zu dividieren a ≠ 0 und wende den Satz von Vieta auf die resultierende reduzierte quadratische Gleichung an. Betrachten Sie ein Beispiel, Sie müssen eine gegebene quadratische Gleichung zusammenstellen, deren Wurzeln x 1 = 3, x 2 = 4. Als x 1 = 3, x 2 = 4 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung x² + px + q= 0, dann nach dem Satz von Vieta R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Als Antwort schreiben wir x² - 7 x+ 12 = 0. Der folgende Satz wird zur Lösung einiger Probleme verwendet.
Satz invers zum Satz von Vieta
Wenn Zahlen R, q, x 1 , x 2 sind so, dass x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, dann x 1 und x2 sind die Wurzeln der Gleichung x² + px + q= 0. Ersatz auf der linken Seite x² + px + q Anstatt von R Ausdruck - ( x 1 + x 2), sondern stattdessen q- Arbeit x 1 * x 2 . Wir bekommen: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Also, wenn die Zahlen R, q, x 1 und x 2 sind durch diese Beziehungen verwandt, dann für alle X Gleichberechtigung x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), woraus folgt x 1 und x 2 - Wurzeln der Gleichung x² + px + q= 0. Unter Verwendung des Satzes, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist, ist es manchmal möglich, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch Auswahl zu finden. Betrachten Sie ein Beispiel, x² - 5 x+ 6 = 0. Hier R = — 5, q= 6. Wähle zwei Zahlen x 1 und x 2 damit x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Wenn wir feststellen, dass 6 = 2 * 3 und 2 + 3 = 5, erhalten wir dies durch den Satz, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist x 1 = 2, x 2 = 3 - Wurzeln der Gleichung x² - 5 x + 6 = 0.
Zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten der quadratischen Gleichung gibt es zusätzlich zu den Wurzelformeln andere nützliche Beziehungen, die durch gegeben sind Satz von Vieta. In diesem Artikel geben wir eine Formulierung und einen Beweis des Satzes von Vieta für eine quadratische Gleichung. Als nächstes betrachten wir einen Satz, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist. Danach werden wir die Lösungen der charakteristischsten Beispiele analysieren. Schließlich schreiben wir die Vieta-Formeln auf, die die Verbindung zwischen den echten Wurzeln definieren algebraische Gleichung Grad n und seine Koeffizienten.
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Satz von Vieta, Formulierung, Beweis
Aus den Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung a x 2 +b x+c=0 der Form , wobei D=b 2 −4 a c , sind die Beziehungen x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Diese Ergebnisse werden bestätigt Satz von Vieta:
Satz.
Wenn ein x 1 und x 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung a x 2 +b x+c=0 sind, dann ist die Summe der Wurzeln gleich dem Verhältnis der Koeffizienten b und a, genommen mit entgegengesetztem Vorzeichen, und dem Produkt von die Wurzeln sind gleich dem Verhältnis der Koeffizienten c und a, also .
Nachweisen.
Wir werden den Satz von Vieta nach folgendem Schema beweisen: Wir werden die Summe und das Produkt der Wurzeln der quadratischen Gleichung unter Verwendung der bekannten Wurzelformeln bilden, dann werden wir die resultierenden Ausdrücke transformieren und sicherstellen, dass sie gleich −b sind /a bzw. c/a.
Beginnen wir mit der Summe der Wurzeln, komponieren Sie sie. Jetzt bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, wir haben. Im Zähler des resultierenden Bruchs, nach dem: . Schließlich erhalten wir nach 2 . Dies beweist die erste Beziehung des Satzes von Vieta für die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Kommen wir zum zweiten.
Wir bilden das Produkt der Wurzeln der quadratischen Gleichung:. Nach der Regel der Multiplikation von Brüchen kann das letzte Produkt geschrieben werden als. Jetzt multiplizieren wir die Klammer mit der Klammer im Zähler, aber es ist schneller, dieses Produkt zu reduzieren Differenz der Quadrate Formel, So . Dann erinnern wir uns an und führen den nächsten Übergang durch. Und da die Formel D=b 2 −4 a·c der Diskriminante der quadratischen Gleichung entspricht, dann kann b 2 −4·a·c anstelle von D in den letzten Bruch eingesetzt werden, wir erhalten . Nachdem wir die Klammern geöffnet und gleiche Terme gekürzt haben, gelangen wir zum Bruch , und seine Kürzung um 4·a ergibt . Dies beweist die zweite Beziehung des Satzes von Vieta für das Produkt von Wurzeln.
Wenn wir die Erläuterungen weglassen, wird der Beweis des Vieta-Theorems eine knappe Form annehmen:
,
.
Es bleibt nur zu beachten, dass die quadratische Gleichung eine Wurzel hat, wenn die Diskriminante gleich Null ist. Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass die Gleichung in diesem Fall zwei identische Wurzeln hat, dann gelten auch die Gleichungen aus dem Satz von Vieta. Tatsächlich ist für D=0 die Wurzel der quadratischen Gleichung , dann und , und da D=0 , das heißt, b 2 −4·a·c=0 , womit b 2 =4·a·c , dann .
In der Praxis wird der Satz von Vieta am häufigsten in Bezug auf die reduzierte quadratische Gleichung (mit dem höchsten Koeffizienten a gleich 1) der Form x 2 +p·x+q=0 verwendet. Manchmal wird sie nur für quadratische Gleichungen dieser Art formuliert, was die Allgemeinheit nicht einschränkt, da jede quadratische Gleichung durch eine äquivalente Gleichung ersetzt werden kann, indem man ihre beiden Teile durch eine Zahl a ungleich Null dividiert. Hier ist die entsprechende Formulierung des Satzes von Vieta:
Satz.
Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 + p x + q \u003d 0 ist gleich dem Koeffizienten bei x mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist der freie Term, dh x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q .
Satz invers zum Satz von Vieta
Die zweite Formulierung des Satzes von Vieta, die im vorherigen Absatz gegeben wurde, zeigt, dass, wenn x 1 und x 2 die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +p x+q=0 sind, die Beziehungen x 1 +x 2 = − sind p , x 1 x 2 = q. Andererseits folgt aus den geschriebenen Beziehungen x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, dass x 1 und x 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 +p x+q=0 sind. Mit anderen Worten, die Behauptung, die dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist, ist wahr. Wir formulieren es in Form eines Satzes und beweisen es.
Satz.
Wenn die Zahlen x 1 und x 2 so sind, dass x 1 + x 2 = –p und x 1 x 2 = q, dann sind x 1 und x 2 die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 .
Nachweisen.
Nach dem Ersetzen der Koeffizienten p und q in der Gleichung x 2 +p x+q = 0 ihres Ausdrucks durch x 1 und x 2 wird diese in eine äquivalente Gleichung umgewandelt.
Wir setzen die Zahl x 1 anstelle von x in die resultierende Gleichung ein, wir haben die Gleichheit x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0, was für jedes x 1 und x 2 die korrekte numerische Gleichheit 0=0 ist, da x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 - x 1 2 - x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Daher ist x 1 die Wurzel der Gleichung x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, was bedeutet, dass x 1 die Wurzel der äquivalenten Gleichung x 2 +p x+q=0 ist.
Wenn in der Gleichung x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 ersetzen Sie die Zahl x 2 anstelle von x, dann erhalten wir die Gleichheit x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Dies ist die richtige Gleichung, weil x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 - x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Daher ist x 2 auch die Wurzel der Gleichung x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, und damit die Gleichungen x 2 +p x+q=0 .
Damit ist der Beweis des gegenteiligen Satzes zum Satz von Vieta abgeschlossen.
Beispiele für die Verwendung des Satzes von Vieta
Es ist an der Zeit, über die praktische Anwendung des Satzes von Vieta und seines Umkehrsatzes zu sprechen. In diesem Unterabschnitt werden wir die Lösungen einiger der typischsten Beispiele analysieren.
Wir beginnen mit der Anwendung eines umgekehrten Satzes zum Satz von Vieta. Es ist bequem, es zu verwenden, um zu überprüfen, ob die gegebenen zwei Zahlen die Wurzeln einer gegebenen quadratischen Gleichung sind. In diesem Fall werden ihre Summe und Differenz berechnet, wonach die Gültigkeit der Beziehungen überprüft wird. Wenn diese beiden Beziehungen erfüllt sind, wird aufgrund des Satzes, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist, geschlussfolgert, dass diese Zahlen die Wurzeln der Gleichung sind. Wenn mindestens eine der Beziehungen nicht erfüllt ist, sind diese Zahlen nicht die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Dieser Ansatz kann beim Lösen quadratischer Gleichungen verwendet werden, um die gefundenen Wurzeln zu überprüfen.
Beispiel.
Welches der Zahlenpaare 1) x 1 =−5, x 2 =3 oder 2) oder 3) ist ein Wurzelpaar der quadratischen Gleichung 4 x 2 −16 x+9=0?
Lösung.
Die Koeffizienten der gegebenen quadratischen Gleichung 4 x 2 −16 x+9=0 sind a=4 , b=−16 , c=9 . Nach dem Satz von Vieta muss die Summe der Wurzeln der quadratischen Gleichung gleich −b/a sein, also 16/4=4, und das Produkt der Wurzeln muss gleich c/a sein, also 9 /4.
Lassen Sie uns nun die Summe und das Produkt der Zahlen in jedem der drei angegebenen Paare berechnen und sie mit den gerade erhaltenen Werten vergleichen.
Im ersten Fall haben wir x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Der resultierende Wert unterscheidet sich von 4, daher kann keine weitere Überprüfung durchgeführt werden, aber aus dem Satz, der Umkehrung des Satzes von Vieta, können wir sofort schließen, dass das erste Zahlenpaar kein Paar Wurzeln einer gegebenen quadratischen Gleichung ist .
Kommen wir zum zweiten Fall. Hier ist also die erste Bedingung erfüllt. Wir prüfen die zweite Bedingung: , der resultierende Wert unterscheidet sich von 9/4 . Daher ist das zweite Zahlenpaar kein Wurzelpaar einer quadratischen Gleichung.
Der letzte Fall bleibt. Hier und . Beide Bedingungen sind erfüllt, also sind diese Zahlen x 1 und x 2 die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung.
Antworten:
Der Satz, die Umkehrung des Satzes von Vieta, kann in der Praxis verwendet werden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung auszuwählen. Normalerweise werden ganzzahlige Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten ausgewählt, da dies in anderen Fällen ziemlich schwierig ist. Gleichzeitig nutzen sie die Tatsache, dass, wenn die Summe zweier Zahlen gleich dem zweiten Koeffizienten der quadratischen Gleichung ist, genommen mit einem Minuszeichen, und das Produkt dieser Zahlen gleich dem freien Term ist, dann sind diese Zahlen die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung. Lassen Sie uns dies an einem Beispiel behandeln.
Nehmen wir die quadratische Gleichung x 2 −5 x+6=0 . Damit die Zahlen x 1 und x 2 die Wurzeln dieser Gleichung sind, müssen zwei Gleichungen x 1 + x 2 \u003d 5 und x 1 x 2 \u003d 6 erfüllt sein. Es bleibt, solche Zahlen zu wählen. In diesem Fall ist das ganz einfach: Solche Zahlen sind 2 und 3, da 2+3=5 und 2 3=6 . Somit sind 2 und 3 die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung.
Der Satz, die Umkehrung des Satzes von Vieta, lässt sich besonders bequem anwenden, um die zweite Wurzel der reduzierten quadratischen Gleichung zu finden, wenn eine der Wurzeln bereits bekannt oder offensichtlich ist. In diesem Fall wird die zweite Wurzel aus einer der Relationen gefunden.
Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Gleichung 512 x 2 −509 x−3=0 . Hier ist leicht zu erkennen, dass die Einheit die Wurzel der Gleichung ist, da die Summe der Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung Null ist. Also x 1 = 1 . Die zweite Wurzel x 2 ergibt sich beispielsweise aus der Beziehung x 1 x 2 = c/a. Wir haben 1 x 2 =−3/512 , also x 2 =−3/512 . Wir haben also beide Wurzeln der quadratischen Gleichung definiert: 1 und −3/512.
Es ist klar, dass die Wahl der Wurzeln nur in den einfachsten Fällen sinnvoll ist. In anderen Fällen können Sie, um die Wurzeln zu finden, die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung durch die Diskriminante anwenden.
Eine weitere praktische Anwendung des Satzes, der Umkehrung des Satzes von Vieta, ist die Erstellung quadratischer Gleichungen für gegebene Wurzeln x 1 und x 2. Dazu reicht es aus, die Summe der Wurzeln zu berechnen, die den Koeffizienten von x mit dem entgegengesetzten Vorzeichen der gegebenen quadratischen Gleichung ergibt, und das Produkt der Wurzeln, das den freien Term ergibt.
Beispiel.
Schreiben Sie eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln die Zahlen −11 und 23 sind.
Lösung.
Bezeichne x 1 =−11 und x 2 =23 . Wir berechnen die Summe und das Produkt dieser Zahlen: x 1 + x 2 \u003d 12 und x 1 x 2 \u003d −253. Daher sind diese Zahlen die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten -12 und dem freien Term -253. Das heißt, x 2 – 12·x – 253 = 0 ist die gewünschte Gleichung.
Antworten:
x 2 −12 x−253=0 .
Der Satz von Vieta wird sehr oft bei der Lösung von Aufgaben im Zusammenhang mit den Vorzeichen der Wurzeln quadratischer Gleichungen verwendet. Wie hängt der Satz von Vieta mit den Vorzeichen der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +p x+q=0 zusammen? Hier sind zwei relevante Aussagen:
- Wenn der Achsenabschnitt q eine positive Zahl ist und die quadratische Gleichung reelle Wurzeln hat, dann sind entweder beide positiv oder beide negativ.
- Wenn der freie Term q eine negative Zahl ist und die quadratische Gleichung reelle Wurzeln hat, dann haben sie unterschiedliche Vorzeichen, d. h. eine Wurzel ist positiv und die andere negativ.
Diese Aussagen folgen aus der Formel x 1 x 2 =q, sowie den Regeln zur Multiplikation positiver, negativer Zahlen und Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Betrachten Sie Beispiele für ihre Anwendung.
Beispiel.
R ist positiv. Gemäß der Diskriminanzformel finden wir D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , den Wert des Ausdrucks r 2 +8 ist positiv für jedes reelle r , also D>0 für jedes reelle r . Daher hat die ursprüngliche quadratische Gleichung zwei Wurzeln für alle reellen Werte des Parameters r.
Lassen Sie uns nun herausfinden, wann die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben. Wenn die Vorzeichen der Wurzeln unterschiedlich sind, ist ihr Produkt negativ, und nach dem Satz von Vieta ist das Produkt der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung gleich dem freien Term. Daher interessieren uns diejenigen Werte von r, für die der freie Term r−1 negativ ist. Um die für uns interessanten Werte von r zu finden, müssen wir also Löse eine lineare Ungleichung r−1<0 , откуда находим r<1 .
Antworten:
bei r<1 .
Vieta-Formeln
Oben haben wir über den Satz von Vieta für eine quadratische Gleichung gesprochen und die Beziehungen analysiert, die er behauptet. Aber es gibt Formeln, die die reellen Wurzeln und Koeffizienten nicht nur von quadratischen Gleichungen, sondern auch von kubischen Gleichungen, Quadrupelgleichungen und im Allgemeinen verbinden. algebraische Gleichungen Grad n. Sie heißen Vieta-Formeln.
Wir schreiben die Vieta-Formeln für eine algebraische Gleichung vom Grad n der Form, wobei wir davon ausgehen, dass sie n reelle Wurzeln x 1, x 2, ..., x n hat (darunter können dieselben sein): 
Holen Sie sich Vieta Formeln ermöglicht Polynomialer Faktorisierungssatz, sowie die Definition gleicher Polynome durch die Gleichheit aller ihrer zugehörigen Koeffizienten. Also sind das Polynom und seine Erweiterung in lineare Faktoren der Form gleich. Durch Öffnen der Klammern im letzten Produkt und Gleichsetzen der entsprechenden Koeffizienten erhalten wir die Vieta-Formeln.
Insbesondere für n=2 haben wir bereits bekannte Vieta-Formeln für die quadratische Gleichung .
Für eine kubische Gleichung haben die Vieta-Formeln die Form 
Es bleibt nur noch anzumerken, dass auf der linken Seite der Vieta-Formeln die sogenannten Elementarformeln stehen Symmetrische Polynome.
Referenzliste.
- Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 10: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. Aufl. - M.: Aufklärung, 2010.- 368 S. : krank. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Eine der Methoden zum Lösen einer quadratischen Gleichung ist die Anwendung VIETA-Formeln, die nach FRANCOIS VIETE benannt wurde.
Er war ein berühmter Anwalt und diente im 16. Jahrhundert beim französischen König. In seiner Freizeit studierte er Astronomie und Mathematik. Er stellte eine Verbindung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung her.
Vorteile der Formel:
1 . Durch Anwendung der Formel finden Sie schnell die Lösung. Weil Sie den zweiten Koeffizienten nicht in das Quadrat eingeben müssen, dann 4ac davon subtrahieren, die Diskriminante finden und ihren Wert in die Formel zum Finden der Wurzeln einsetzen.
2 . Ohne Lösung können Sie die Vorzeichen der Wurzeln bestimmen und die Werte der Wurzeln aufgreifen.
3 . Nachdem das System der zwei Aufzeichnungen gelöst wurde, ist es nicht schwierig, die Wurzeln selbst zu finden. In der obigen quadratischen Gleichung ist die Summe der Wurzeln gleich dem Wert des zweiten Koeffizienten mit einem Minuszeichen. Das Produkt der Wurzeln in der obigen quadratischen Gleichung ist gleich dem Wert des dritten Koeffizienten.
4 . Schreiben Sie gemäß den gegebenen Wurzeln eine quadratische Gleichung, dh lösen Sie das inverse Problem. Diese Methode wird beispielsweise zur Lösung von Problemen in der theoretischen Mechanik verwendet.
5 . Es ist bequem, die Formel anzuwenden, wenn der führende Koeffizient gleich eins ist.
Mängel:
1
. Die Formel ist nicht universell.
Satz von Vieta Grad 8
Formel
Wenn x 1 und x 2 die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung x 2 + px + q \u003d 0 sind, dann:
Beispiele
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - die Wurzeln der Gleichung x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Umkehrsatz
Formel
Wenn die Zahlen x 1 , x 2 , p, q durch die Bedingungen verbunden sind:
Dann sind x 1 und x 2 die Wurzeln der Gleichung x 2 + px + q = 0.
Beispiel
Lassen Sie uns eine quadratische Gleichung durch ihre Wurzeln erstellen:
X 1 \u003d 2 -? 3 und x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
Die gesuchte Gleichung hat die Form: x 2 - 4x + 1 = 0.
