(№ 2475) Eine Flasche Shampoo kostet 200 Rubel Was ist die größte Anzahl von Flaschen, die Sie während des Verkaufs für 1000 Rubel kaufen können, wenn der Rabatt 15% beträgt?

(Nr. 2491) Ein Kugelschreiber kostet 20 Rubel. Was ist die größte Anzahl solcher Stifte, die nach einer Preiserhöhung von 15% für 700 Rubel gekauft werden können?

(Nr. 2503) Das Notizbuch kostet 40 Rubel. Was ist die größte Anzahl solcher Notebooks, die für 550 Rubel gekauft werden können, nachdem der Preis um 15% gesenkt wurde?

(Nr. 2513) Der Laden kauft Blumentöpfe zu einem Großhandelspreis von 100 Rubel pro Stück. Die Handelsspanne beträgt 15 %. Was ist die größte Anzahl solcher Töpfe, die Sie in diesem Geschäft für 1300 Rubel kaufen können?

(Nr. 2595) Eine Bahnfahrkarte für einen Erwachsenen kostet 550 Rubel. Der Ticketpreis für einen Studenten beträgt 50 % des Ticketpreises für einen Erwachsenen. Die Gruppe besteht aus 18 Schülern und 4 Erwachsenen. Was kosten Tickets für die ganze Gruppe?

(Nr. 2601) Der Preis für einen Wasserkocher wurde um 21% erhöht und betrug 3.025 Rubel. Wie viel war das Produkt vor der Preiserhöhung wert?

(Nr. 2617) Das T-Shirt kostete 800 Rubel. Nachdem der Preis gesenkt worden war, begann er 680 Rubel zu kosten. Um wie viel Prozent wurde der Preis des T-Shirts reduziert?

(Nr. 6193) Stadt N hat 250.000 Einwohner. 15 % davon sind Kinder und Jugendliche. 35 % der Erwachsenen arbeiten nicht (Rentner, Hausfrauen, Arbeitslose). Wie viele Erwachsene arbeiten?

(Nr. 6235) Der Kunde nahm bei der Bank einen Kredit in Höhe von 3000 Rubel auf. pro Jahr bei 12%. Er muss den Kredit zurückzahlen, indem er jeden Monat den gleichen Geldbetrag bei der Bank einzahlt, so dass er in einem Jahr den gesamten aufgenommenen Kreditbetrag samt Zinsen zurückzahlen kann. Wie viel muss er jeden Monat an die Bank zahlen?

(Nr. 24285) Die Einkommenssteuer beträgt 13 % des Lohns. Nach Abzug der Einkommenssteuer erhielt Maria Konstantinowna 13.050 Rubel. Wie viele Rubel beträgt das Gehalt von Maria Konstantinowna?

(Nr. 24261) Die Einkommenssteuer beträgt 13 % des Lohns. Das Gehalt von Ivan Kuzmich beträgt 14.500 Rubel. Wie viele Rubel erhält er nach Abzug der Einkommensteuer?

(Nr. 2587) Der Großhandelspreis des Lehrbuchs beträgt 170 Rubel. Der Einzelhandelspreis ist 20% höher als der Großhandelspreis. Was ist die größte Anzahl solcher Lehrbücher, die zu einem Verkaufspreis von 7.000 Rubel gekauft werden können?

Das Thema rationale Zahlen ist recht umfangreich. Man kann endlos darüber reden und ganze Werke schreiben, jedes Mal überrascht von neuen Chips.

Um in Zukunft Fehler zu vermeiden, werden wir uns in dieser Lektion ein wenig mit dem Thema rationale Zahlen befassen, daraus die notwendigen Informationen ziehen und weitermachen.

Unterrichtsinhalt

Was ist eine rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch dargestellt werden kann, wobei a - ist der Zähler eines Bruchs b ist der Nenner des Bruchs. Und b darf nicht Null sein, da eine Division durch Null nicht erlaubt ist.

Rationale Zahlen umfassen die folgenden Kategorien von Zahlen:

• Ganzzahlen (zum Beispiel -2, -1, 0 1, 2 usw.)

• Dezimalbrüche (zum Beispiel 0,2 usw.)

• unendliche periodische Brüche (z. B. 0, (3) usw.)

Jede Zahl in dieser Kategorie kann als Bruch dargestellt werden.

Beispiel 1 Die ganze Zahl 2 kann als Bruch dargestellt werden. Die Zahl 2 gilt also nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für rationale.

Beispiel 2 Eine gemischte Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Diesen Bruch erhält man, indem man die gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandelt.

Eine gemischte Zahl ist also eine rationale Zahl.

Beispiel 3 Die Dezimalzahl 0,2 kann als Bruch dargestellt werden. Dieser Bruch wurde durch Umwandeln des Dezimalbruchs 0,2 in einen gewöhnlichen Bruch erhalten. Wenn Sie an dieser Stelle Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie das Thema.

Da der Dezimalbruch 0,2 als Bruch dargestellt werden kann, gilt er auch für rationale Zahlen.

Beispiel 4 Der unendliche periodische Bruch 0, (3) kann als Bruch dargestellt werden. Dieser Bruch wird durch Umwandlung eines reinen periodischen Bruchs in einen gewöhnlichen Bruch erhalten. Wenn Sie an dieser Stelle Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie das Thema.

Da der unendliche periodische Bruch 0, (3) als Bruch dargestellt werden kann, gehört er auch zu den rationalen Zahlen.

In Zukunft werden wir alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, zunehmend als eine Phrase bezeichnen - Rationale Zahlen.

Rationale Zahlen auf der Koordinatenlinie

Wir haben die Koordinatenlinie betrachtet, als wir negative Zahlen untersucht haben. Denken Sie daran, dass dies eine gerade Linie ist, auf der viele Punkte liegen. Folgendermaßen:

Diese Abbildung zeigt einen kleinen Ausschnitt der Koordinatenlinie von –5 bis 5.

Es ist nicht schwierig, ganze Zahlen der Form 2, 0, −3 auf der Koordinatenlinie zu markieren.

Viel interessanter ist es mit den restlichen Zahlen: mit gewöhnlichen Brüchen, gemischten Zahlen, Dezimalbrüchen usw. Diese Zahlen liegen zwischen ganzen Zahlen und es gibt unendlich viele dieser Zahlen.

Lassen Sie uns zum Beispiel eine rationale Zahl auf der Koordinatenlinie markieren. Diese Zahl liegt genau zwischen null und eins.

Versuchen wir zu verstehen, warum der Bruch plötzlich zwischen Null und Eins liegt.

Wie oben erwähnt, liegen zwischen ganzen Zahlen andere Zahlen - gewöhnliche Brüche, Dezimalbrüche, gemischte Zahlen usw. Wenn Sie beispielsweise den Abschnitt der Koordinatenlinie von 0 auf 1 vergrößern, sehen Sie das folgende Bild

Es ist ersichtlich, dass es zwischen den ganzen Zahlen 0 und 1 bereits andere rationale Zahlen gibt, die uns bekannte Dezimalbrüche sind. Hier ist auch unser Bruch sichtbar, der an der gleichen Stelle steht wie der Dezimalbruch 0,5. Eine sorgfältige Untersuchung dieser Figur gibt eine Antwort auf die Frage, warum sich der Bruch genau dort befindet.

Ein Bruch bedeutet, 1 durch 2 zu teilen. Und wenn wir 1 durch 2 teilen, erhalten wir 0,5

Der Dezimalbruch 0,5 kann als andere Brüche getarnt werden. Aus der grundlegenden Eigenschaft eines Bruchs wissen wir, dass sich der Wert des Bruchs nicht ändert, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden, beispielsweise mit der Zahl 4, erhalten wir einen neuen Bruch, und dieser Bruch ist ebenfalls gleich 0,5

Das bedeutet, dass der Bruch auf der Koordinatenlinie an derselben Stelle platziert werden kann, an der sich der Bruch befand

Beispiel 2 Versuchen wir, eine rationale Zahl auf der Koordinate zu markieren. Diese Zahl befindet sich genau zwischen den Zahlen 1 und 2

Der Bruchwert beträgt 1,5

Wenn wir den Abschnitt der Koordinatenlinie von 1 auf 2 vergrößern, sehen wir folgendes Bild:

Es ist ersichtlich, dass es zwischen den ganzen Zahlen 1 und 2 bereits andere rationale Zahlen gibt, die uns bekannte Dezimalbrüche sind. Hier ist auch unser Bruch sichtbar, der an der gleichen Stelle steht wie der Dezimalbruch 1,5.

Wir haben bestimmte Segmente auf der Koordinatenlinie vergrößert, um den Rest der Zahlen zu sehen, die auf diesem Segment liegen. Als Ergebnis haben wir Dezimalbrüche gefunden, die eine Stelle nach dem Komma hatten.

Aber das waren nicht die einzigen Zahlen, die auf diesen Segmenten lagen. Auf der Koordinatenlinie liegen unendlich viele Zahlen.

Es ist leicht zu erraten, dass zwischen Dezimalbrüchen mit einer Nachkommastelle bereits andere Dezimalbrüche mit zwei Nachkommastellen stehen. Mit anderen Worten, Hundertstel eines Segments.

Versuchen wir beispielsweise, die Zahlen zu sehen, die zwischen den Dezimalbrüchen 0,1 und 0,2 liegen

Ein anderes Beispiel. Dezimalzahlen, die zwei Nachkommastellen haben und zwischen Null und der rationalen Zahl 0,1 liegen, sehen so aus:

Beispiel 3 Wir markieren eine rationale Zahl auf der Koordinatenlinie. Diese rationale Zahl wird sehr nahe bei Null liegen.

Der Wert des Bruchs ist 0,02

Wenn wir das Segment von 0 auf 0,1 vergrößern, sehen wir, wo genau die rationale Zahl liegt

Wie man sieht, steht unsere rationale Zahl an der gleichen Stelle wie der Dezimalbruch 0,02.

Beispiel 4 Markieren wir eine rationale Zahl 0 auf der Koordinatenlinie, (3)

Die rationale Zahl 0, (3) ist ein unendlich periodischer Bruch. Sein Bruchteil endet nie, er ist unendlich

Und da die Zahl 0, (3) einen unendlichen Bruchteil hat, bedeutet dies, dass wir nicht in der Lage sein werden, die genaue Stelle auf der Koordinatenlinie zu finden, an der sich diese Zahl befindet. Wir können diesen Ort nur ungefähr angeben.

Die rationale Zahl 0,33333… wird der üblichen Dezimalzahl 0,3 sehr nahe kommen

Diese Abbildung zeigt nicht die genaue Position der Zahl 0,(3). Dies ist nur eine Veranschaulichung, die zeigt, wie nahe der periodische Bruch 0.(3) an der regulären Dezimalzahl 0.3 liegen kann.

Beispiel 5 Wir markieren eine rationale Zahl auf der Koordinatenlinie. Diese rationale Zahl befindet sich in der Mitte zwischen den Zahlen 2 und 3

Dies ist 2 (zwei ganze Zahlen) und (eine Sekunde). Ein Bruch wird auch als „halb“ bezeichnet. Daher haben wir zwei ganze Segmente und eine weitere Hälfte des Segments auf der Koordinatenlinie markiert.

Wenn wir eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch übersetzen, erhalten wir einen gewöhnlichen Bruch. Dieser Bruch auf der Koordinatenlinie befindet sich an derselben Stelle wie der Bruch

Der Bruchwert beträgt 2,5

Wenn wir den Abschnitt der Koordinatenlinie von 2 auf 3 vergrößern, sehen wir folgendes Bild:

Wie man sieht, steht unsere rationale Zahl an der gleichen Stelle wie der Dezimalbruch 2,5

Minus vor einer rationalen Zahl

In der vorherigen Lektion, die aufgerufen wurde, haben wir gelernt, wie man ganze Zahlen dividiert. Der Dividende und der Divisor können sowohl positive als auch negative Zahlen sein.

Betrachten Sie den einfachsten Ausdruck

(−6) : 2 = −3

In diesem Ausdruck ist der Dividende (−6) eine negative Zahl.

Betrachten Sie nun den zweiten Ausdruck

6: (−2) = −3

Hier ist der Divisor (−2) bereits eine negative Zahl. Aber in beiden Fällen erhalten wir die gleiche Antwort -3.

Da jede Division als Bruch geschrieben werden kann, können wir die oben besprochenen Beispiele auch als Bruch schreiben:

Und da in beiden Fällen der Wert des Bruchs gleich ist, kann man das Minus, das entweder im Zähler oder im Nenner steht, gemeinsam machen, indem man es dem Bruch voranstellt

Daher können Sie zwischen den Ausdrücken und und ein Gleichheitszeichen setzen, da sie den gleichen Wert haben

Wenn wir in Zukunft beim Arbeiten mit Brüchen auf ein Minus im Zähler oder im Nenner stoßen, werden wir dieses Minus gemeinsam machen und es vor den Bruch stellen.

Gegenteilige rationale Zahlen

Wie eine ganze Zahl hat eine rationale Zahl ihre Gegenzahl.

Beispielsweise ist für eine rationale Zahl die Gegenzahl . Es liegt auf der Koordinatenlinie symmetrisch zum Ort relativ zum Ursprung. Mit anderen Worten, diese beiden Zahlen sind gleich weit vom Ursprung entfernt

Wandeln Sie gemischte Zahlen in unechte Brüche um

Wir wissen, dass Sie, um eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, den ganzzahligen Teil mit dem Nenner des Bruchteils multiplizieren und zum Zähler des Bruchteils addieren müssen. Die resultierende Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs, während der Nenner gleich bleibt.

Lassen Sie uns zum Beispiel eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln

Multiplizieren Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner des Bruchteils und addieren Sie den Zähler des Bruchteils:

Lassen Sie uns diesen Ausdruck berechnen:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Die resultierende Zahl 5 ist der Zähler des neuen Bruchs, und der Nenner bleibt gleich:

Der gesamte Prozess ist wie folgt geschrieben:

Um die ursprüngliche gemischte Zahl zurückzugeben, reicht es aus, den ganzzahligen Teil im Bruch auszuwählen

Aber diese Art, eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, ist nur anwendbar, wenn die gemischte Zahl positiv ist. Bei einer negativen Zahl funktioniert diese Methode nicht.

Betrachten wir einen Bruchteil. Nehmen wir den ganzzahligen Teil dieses Bruchs. Erhalten

Um den ursprünglichen Bruch zurückzugeben, musst du die gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln. Aber wenn wir die alte Regel anwenden, nämlich den ganzzahligen Teil mit dem Nenner des Bruchteils multiplizieren und den Zähler des Bruchteils zur resultierenden Zahl addieren, dann erhalten wir folgenden Widerspruch:

Wir haben einen Bruchteil bekommen, aber wir hätten einen Bruchteil bekommen sollen.

Wir schließen daraus, dass die gemischte Zahl falsch in einen unechten Bruch übersetzt wurde:

Um eine negative gemischte Zahl korrekt in einen unechten Bruch zu übersetzen, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner des Bruchteils und aus der resultierenden Zahl multiplizieren subtrahieren gebrochener Zähler. In diesem Fall wird alles zusammenpassen

Eine negative gemischte Zahl ist das Gegenteil einer gemischten Zahl. Wenn die positive gemischte Zahl auf der rechten Seite steht und so aussieht

In diesem Artikel beginnen wir mit dem Studium Rationale Zahlen. Hier geben wir Definitionen von rationalen Zahlen, geben die notwendigen Erklärungen und geben Beispiele für rationale Zahlen. Danach werden wir uns darauf konzentrieren, wie man bestimmt, ob eine gegebene Zahl rational ist oder nicht.

Seitennavigation.

Definition und Beispiele rationaler Zahlen

In diesem Unterabschnitt geben wir mehrere Definitionen rationaler Zahlen. Trotz der Unterschiede im Wortlaut haben alle diese Definitionen dieselbe Bedeutung: Rationale Zahlen vereinen ganze und gebrochene Zahlen, so wie ganze Zahlen natürliche Zahlen, ihre Gegenzahlen und die Zahl Null vereinen. Mit anderen Worten, rationale Zahlen verallgemeinern ganze und gebrochene Zahlen.

Lass uns beginnen mit Definitionen rationaler Zahlen die als die natürlichste empfunden wird.

Aus der klingenden Definition folgt, dass eine rationale Zahl ist:

• Jede natürliche Zahl n . Tatsächlich kann jede natürliche Zahl als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden, zum Beispiel 3=3/1.
• Jede ganze Zahl, insbesondere die Zahl Null. Tatsächlich kann jede ganze Zahl entweder als positiver gemeinsamer Bruch, als negativer gemeinsamer Bruch oder als Null geschrieben werden. Beispiel: 26=26/1 , .
• Jeder gewöhnliche Bruch (positiv oder negativ). Dies wird direkt durch die gegebene Definition rationaler Zahlen ausgedrückt.
• Jede gemischte Nummer. Tatsächlich ist es immer möglich, eine gemischte Zahl als unechten gemeinsamen Bruch darzustellen. Zum Beispiel und .
• Jeder endliche Dezimalbruch oder unendliche periodische Bruch. Dies liegt daran, dass die angegebenen Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Zum Beispiel , und 0,(3)=1/3 .

Es ist auch klar, dass jede unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahl KEINE rationale Zahl ist, da sie nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann.

Jetzt können wir leicht bringen Beispiele für rationale Zahlen. Die Zahlen 4, 903, 100,321 sind rationale Zahlen, da sie natürliche Zahlen sind. Auch die ganzen Zahlen 58 , −72 , 0 , −833 333 333 sind Beispiele für rationale Zahlen. Gewöhnliche Brüche 4/9, 99/3 sind auch Beispiele für rationale Zahlen. Rationale Zahlen sind auch Zahlen.

Die obigen Beispiele zeigen, dass es sowohl positive als auch negative rationale Zahlen gibt und die rationale Zahl Null weder positiv noch negativ ist.

Die obige Definition von rationalen Zahlen kann in kürzerer Form formuliert werden.

Definition.

Rationale Zahlen Rufnummern, die als Bruch z/n geschrieben werden können, wobei z eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist.

Lassen Sie uns beweisen, dass diese Definition der rationalen Zahlen mit der vorherigen Definition äquivalent ist. Wir wissen, dass wir den Balken eines Bruchs als Zeichen der Division betrachten können, dann folgen aus den Eigenschaften der Division ganzer Zahlen und den Regeln zur Division ganzer Zahlen die folgenden Gleichheiten und . Das ist also der Beweis.

Wir geben Beispiele für rationale Zahlen, die auf dieser Definition basieren. Die Zahlen −5 , 0 , 3 und sind rationale Zahlen, da sie als Brüche mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner der Form bzw. geschrieben werden können.

Die Definition rationaler Zahlen kann auch in der folgenden Formulierung gegeben werden.

Definition.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch geschrieben werden können.

Diese Definition entspricht auch der ersten Definition, da jeder gewöhnliche Bruch einem endlichen oder periodischen Dezimalbruch entspricht und umgekehrt, und jede ganze Zahl einem Dezimalbruch mit Nullen nach dem Komma zugeordnet werden kann.

Zum Beispiel sind die Zahlen 5 , 0 , −13 Beispiele für rationale Zahlen, weil sie als die folgenden Dezimalzahlen geschrieben werden können 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 und −7,(18) .

Wir beenden die Theorie dieses Abschnitts mit den folgenden Aussagen:

• Ganzzahlen und Bruchzahlen (positiv und negativ) bilden die Menge der rationalen Zahlen;
• jede rationale Zahl kann als Bruch mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner dargestellt werden, und jeder solcher Bruch ist eine rationale Zahl;
• Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden, und jeder solcher Bruch repräsentiert eine rationale Zahl.

Ist diese Zahl rational?

Im vorigen Absatz haben wir herausgefunden, dass jede natürliche Zahl, jede ganze Zahl, jeder gewöhnliche Bruch, jede gemischte Zahl, jeder letzte Dezimalbruch und auch jeder periodische Dezimalbruch eine rationale Zahl ist. Dieses Wissen ermöglicht es uns, rationale Zahlen aus der Menge der geschriebenen Zahlen zu „erkennen“.

Aber was ist, wenn die Zahl als some , oder als , usw. angegeben wird, wie soll man die Frage beantworten, ist die gegebene Zahl rational? In vielen Fällen ist es sehr schwierig, darauf zu antworten. Lassen Sie uns einige Richtungen für den Gedankengang aufzeigen.

Wenn eine Zahl als numerischer Ausdruck angegeben wird, der nur rationale Zahlen und arithmetische Zeichen (+, −, · und:) enthält, dann ist der Wert dieses Ausdrucks eine rationale Zahl. Dies folgt aus der Definition von Operationen mit rationalen Zahlen. Nachdem wir beispielsweise alle Operationen im Ausdruck ausgeführt haben, erhalten wir eine rationale Zahl 18 .

Manchmal wird es nach Vereinfachung von Ausdrücken und einer komplexeren Form möglich, zu bestimmen, ob eine gegebene Zahl rational ist.

Gehen wir weiter. Die Zahl 2 ist eine rationale Zahl, da jede natürliche Zahl rational ist. Was ist mit Nummer? Ist es vernünftig? Es stellt sich heraus, dass es keine rationale Zahl ist, sondern eine irrationale Zahl (der Beweis dieser Tatsache durch Widerspruch wird im Algebra-Lehrbuch der 8. Klasse gegeben, das unten in der Literaturliste aufgeführt ist). Es ist auch bewiesen, dass die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl nur dann eine rationale Zahl ist, wenn unter der Wurzel eine Zahl steht, die das perfekte Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Zum Beispiel sind und rationale Zahlen, da 81=9 2 und 1 024=32 2 , und die Zahlen und sind nicht rational, da die Zahlen 7 und 199 keine Quadratzahlen natürlicher Zahlen sind.

Ist die Zahl rational oder nicht? In diesem Fall ist leicht einzusehen, dass diese Zahl also rational ist. Ist die Zahl rational? Es ist bewiesen, dass die k-te Wurzel einer ganzen Zahl nur dann eine rationale Zahl ist, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen die k-te Potenz einer ganzen Zahl ist. Daher ist es keine rationale Zahl, da es keine ganze Zahl gibt, deren fünfte Potenz 121 ist.

Mit der Widerspruchsmethode können wir beweisen, dass die Logarithmen einiger Zahlen aus irgendeinem Grund keine rationalen Zahlen sind. Lassen Sie uns zum Beispiel beweisen, dass - keine rationale Zahl ist.

Nehmen Sie das Gegenteil an, d. h. angenommen, das ist eine rationale Zahl und kann als gewöhnlicher Bruch m/n geschrieben werden. Geben Sie dann die folgenden Gleichungen an: . Die letzte Gleichheit ist unmöglich, da es auf der linken Seite gibt ungerade Zahl 5 n , und auf der rechten Seite steht eine gerade Zahl 2 m . Daher ist unsere Annahme falsch, also keine rationale Zahl.

Abschließend ist zu betonen, dass man bei der Klärung der Rationalität oder Irrationalität von Zahlen auf plötzliche Schlussfolgerungen verzichten sollte.

Man sollte zum Beispiel nicht gleich behaupten, dass das Produkt der irrationalen Zahlen π und e eine irrationale Zahl ist, das ist „wie selbstverständlich“, aber nicht bewiesen. Dies wirft die Frage auf: „Warum sollte das Produkt eine rationale Zahl sein“? Und warum nicht, denn Sie können ein Beispiel für irrationale Zahlen geben, deren Produkt eine rationale Zahl ergibt:.

Es ist auch unbekannt, ob die Zahlen und viele andere Zahlen rational sind oder nicht. Beispielsweise gibt es irrationale Zahlen, deren irrationale Potenz eine rationale Zahl ist. Zur Veranschaulichung präsentieren wir den Grad der Form , die Basis dieses Grades und der Exponent sind keine rationalen Zahlen, sondern , und 3 ist eine rationale Zahl.

Referenzliste.

• Mathe. Klasse 6: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [N. Ya. Vilenkin und andere]. - 22. Aufl., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Vorlesung: Brüche, Prozentsätze, rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind diejenigen, die als Bruch ausgedrückt werden können.

Was sind denn überhaupt Brüche?

Fraktion- eine Zahl, die eine bestimmte Anzahl von Teilen eines Ganzen, dh Einheiten, anzeigt.

Brüche können dezimal und gewöhnlich sein. Als mathematische Operation Fraktion- das ist nichts als Teilung. Jeder Bruchteil besteht aus Zähler(teilbar), was oben steht, Nenner(Teiler), der sich ganz unten befindet, und der Strich eines Bruchs, der direkt die Divisionsfunktion ausführt. Der Nenner eines Bruchs gibt an, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes geteilt wird. Der Zähler zeigt an, wie viele gleiche Teile des Ganzen genommen wurden.

Ein Bruch kann gemischt werden, das heißt, er kann sowohl einen gebrochenen als auch einen ganzzahligen Teil haben.

Zum Beispiel, 1; 5,03.

Ein gewöhnlicher Bruch kann einen beliebigen Zähler und Nenner haben.

Zum Beispiel, 1/5, 4/7, 7/11 usw.

Die Dezimalstelle im Nenner hat immer die Zahlen 10, 100, 1000, 10000 usw.

Zum Beispiel, 1/10 = 0,1; 6/100 = 0,06 usw.

Sie können die gleichen mathematischen Operationen mit Brüchen wie mit ganzen Zahlen durchführen:

1. Addition und Subtraktion von Brüchen

Bei diesen Brüchen ist die kleinste durch eins teilbare Zahl und der zweite Nenner die Zahl 30.

Um beide Brüche auf einen Nenner von 30 zu bringen, musst du einen zusätzlichen Faktor finden. Um den Nenner 30 im ersten Bruch zu erhalten, sollte er mit 6 multipliziert werden. Um den Nenner 30 im zweiten Bruch zu erhalten, sollte er mit 5 multipliziert werden. Damit sich der Wert des Bruchs nicht ändert, multiplizieren wir beide den Zähler und der Nenner durch diese Zahlen. Als Ergebnis erhalten wir:

Um Zahlen mit gleichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, belassen Sie den Nenner bei 30 und addieren Sie die Zähler:

2. Multiplikation von Brüchen

Wenn Sie zwei Brüche multiplizieren, multiplizieren Sie ihre Zähler, multiplizieren Sie dann die Nenner und schreiben Sie das Ergebnis:

3. Division von Brüchen

Wenn Sie zwei Brüche dividieren, müssen Sie den zweiten Bruch umdrehen und die Multiplikationsaktion ausführen:

4. Brüche kürzen

Wenn Zähler und Nenner ein Vielfaches einer identischen Zahl sind, dann kann ein solcher Bruch gekürzt werden, indem sowohl Zähler als auch Nenner durch eine gegebene Zahl dividiert werden.

Im ursprünglichen Bruch sind sowohl Zähler als auch Nenner durch 3 teilbar, sodass der ganze Bruch um diese Zahl gekürzt werden kann.

5. Vergleich von Brüchen

Beim Vergleichen von Brüchen müssen Sie mehrere Regeln anwenden:

- Wenn es einen Vergleich von Brüchen gibt, die denselben Nenner, aber einen unterschiedlichen Zähler haben, dann wird der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Das heißt, dieser Vergleich wird auf einen Vergleich von Zählern reduziert.

- Wenn Brüche denselben Zähler, aber unterschiedliche Nenner haben, müssen die Nenner verglichen werden. Jener Bruch wird größer sein, dessen Nenner kleiner ist.

- Wenn Brüche unterschiedliche Zähler und Nenner haben, müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.

Der gemeinsame Nenner ist 42, daher ist der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch 7 und der zusätzliche Faktor für den zweiten Bruch 6. Wir erhalten:

Jetzt läuft der Vergleich auf die erste Regel hinaus. Der größere Bruch ist derjenige mit dem größeren Nenner:

Interesse

Jede Zahl, die ein Hundertstel einer ganzen Zahl ist, wird Eins genannt. Prozent.

1% = 1/100 = 0,01.

Um einen Bruch in eine Prozentschreibweise umzuwandeln, sollte er in einen Dezimalbruch umgewandelt und dann mit 100 % multipliziert werden.

Zum Beispiel,

Zinsen werden in drei Hauptfällen verwendet:

1. Wenn Sie einen Prozentsatz einer Zahl finden müssen. Stellen Sie sich vor, Sie erhalten jeden Monat 10 % des Gehalts Ihrer Eltern. Wenn Sie die Mathematik nicht beherrschen, können Sie jedoch nicht berechnen, wie hoch Ihr monatliches Einkommen sein wird. Das ist also ganz einfach.

Stellen Sie sich vor, Ihre Eltern erhalten 100.000 Rubel im Monat. Um den Betrag zu ermitteln, den Sie monatlich erhalten sollten, müssen Sie das Einkommen Ihrer Eltern durch 100 teilen und mit 10 % multiplizieren, was Sie erhalten sollten:

100000: 100 * 10 = 10000 (Rubel).

2. Wenn Sie herausfinden müssen, wie viel Ihre Eltern jeden Monat erhalten, wenn Sie wissen, dass sie Ihnen 6.000 Rubel geben, und dies wiederum 3% sind, wird diese Aktion mit Interesse als prozentuale Ermittlung einer Zahl bezeichnet. Dazu müssen Sie den erhaltenen Betrag mit 100 multiplizieren und durch Ihren Prozentsatz dividieren:

6000 * 100: 3 = 200000 (Rubel).

3. Wenn Sie tagsüber 1 Liter Wasser trinken und Sie beispielsweise 2 Liter Wasser trinken müssen, können Sie den Wert des prozentualen Anteils an Wasser, den Sie trinken, leicht ermitteln. Teilen Sie dazu 1 Liter durch 2 Liter und multiplizieren Sie mit 100 %.

1: 2 * 100% = 50%.

Abschrift

2 MAIN WAVE 2013 CENTER URAL SIBIRIA OSTEN: Brüche Prozent rationale Zahlen Theorie: Die Menge der rationalen Zahlen 1 1 ~ HOD ge N Z Haupteigenschaft 0 0. Proportion ist die Gleichheit zweier Verhältnisse. Property: Consequences Schema der direkt proportionalen Abhängigkeit. Haupteigenschaften 1. Ordnung: 0 ; 0; Additionsoperation: ; HOK 3. Operation der Multiplikation und Division: 4. Transitivität der Ordnungsrelation: 5. Kommutativität: 6. Assoziativität: 7. Distributivität: 8. Anwesenheit von Null: Anwesenheit von Gegenzahlen: Anwesenheit von Eins: Anwesenheit von Reziprokzahlen: R R. 12. Beziehung der Ordnungsbeziehung zur Additionsoperation. Dieselbe rationale Zahl kann zur linken und rechten Seite einer rationalen Ungleichung addiert werden. 2B1

3 13. Zusammenhang der Ordnungsbeziehung mit der Multiplikationsoperation. Die linke und die rechte Seite einer rationalen Ungleichung können mit demselben positiven rationalen Zahlenaxiom von Archimedes multipliziert werden. Unabhängig von der rationalen Zahl können Sie so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe a übersteigt. N k Rationale Ungleichungen gleichen Vorzeichens können Term für Term addiert werden. Jeder rationale Bruch kann in eine ihm gleiche Dezimalzahl umgewandelt werden, indem der Zähler durch den Nenner in einer Spalte dividiert wird. 1 Rest kann gleich Null sein und der Quotient wird als endlicher Dezimalbruch ausgedrückt, zum Beispiel 3: 4 = Null im Rest wird niemals funktionieren, da sich der Rest unendlich wiederholt und der Quotient als unendlich periodisch ausgedrückt wird Dezimalbruch. Zum Beispiel 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 = ? Interesse. Das Hundertstel einer Zahl wird als Prozentsatz bezeichnet. Drei Arten von Aufgaben für Prozentsätze A 100% 1. Ermitteln von Prozentsätzen einer gegebenen Zahl A p% x. x p% 100% Um p% der Zahl "A" zu finden, musst du 1% von "A" A: 100% finden und mit p% multiplizieren. 2. Finden einer Zahl durch eine andere Zahl und ihren Wert als Prozentsatz der gewünschten Zahl. x 100 % 100 % x. p% p% Um eine Zahl für einen gegebenen Wert "a" zu finden, müssen Sie 1% der gesuchten Zahl finden, indem Sie den gegebenen Wert "a" durch p% dividieren und das Ergebnis mit 100% multiplizieren A 100% 3 Den Prozentsatz von Zahlen finden. 100 % x % x % A Wir müssen das Verhältnis der Zahl „a“ zur Zahl „A“ finden und mit 100 % multiplizieren. 3

4 MITTE Option 1;8. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 70 mg und enthält 4% des Wirkstoffs. Bei einem Kind unter 6 Monaten verschreibt der Arzt 105 mg des Wirkstoffs für jedes Alter von 5 Monaten und einem Tagesgewicht von 8 kg? Option 2. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 20 mg und enthält 5% des Wirkstoffs. Für ein Kind unter 6 Monaten verschreibt der Arzt 04 mg des Wirkstoffs für jedes Alter von drei Monaten und einem Tagesgewicht von 5 kg? Option 3. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 20 mg und enthält 5% des Wirkstoffs. Bei einem Kind unter 6 Monaten verschreibt der Arzt 1 mg des Wirkstoffs für jedes Alter von 4 Monaten und einem Tagesgewicht von 7 kg? Möglichkeit 4;5. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 20 mg und enthält 9% des Wirkstoffs. Bei einem Kind unter 6 Monaten verschreibt der Arzt 135 mg des Wirkstoffs für jedes Alter von 4 Monaten und einem Tagesgewicht von 8 kg? Option 6. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 30 mg und enthält 5% des Wirkstoffs. Bei einem Kind unter 6 Monaten verschreibt der Arzt 075 mg des Wirkstoffs für jedes Alter von 5 Monaten und einem Tagesgewicht von 8 kg? Option 7. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 40 mg und enthält 5% des Wirkstoffs. Bei einem Kind unter 6 Monaten verschreibt der Arzt 125 mg des Wirkstoffs für jedes Alter von drei Monaten und einem Tagesgewicht von 8 kg? Beachten Sie, dass acht Optionen aus sechs Aufgaben mit unterschiedlichen numerischen Daten, aber demselben Inhalt bestehen. Die notwendigen Informationen für die Berechnung wurden in die Tabelle geschrieben: Gewicht von einem Prozent Optionen Rezept mg Gewicht eines Kindes kg Tabletten mg Wirkstoff % 1 und und Lösung von Option 1. Idee: Der prozentuale Anteil des Wirkstoffs in einer Tablette bekannt ist, d. h. Sie finden die entsprechende Stoffmenge in mg. Wenn Sie das Gewicht des Kindes und die Dosierung des Wirkstoffs pro 1 kg Gewicht kennen, können Sie die Tagesrate des Wirkstoffs ermitteln. Dann ist die Anzahl der Tabletten der Quotient aus der täglichen Norm des Wirkstoffs durch die Menge des Wirkstoffs in einer Tablette. Aktionen: 1. Bestimmen Sie die Menge an Wirkstoff in einer Tablette. Wir bilden das Verhältnis: Wir nehmen das Gewicht einer Tablette mit 70 mg als 100 % und 4 % dieses Gewichts sind x mg der Wirkstoffmenge in einer Tablette. Schreiben wir diesen Anteil schematisch auf. Von hier aus finden wir den unbekannten Term des Anteils. Multiplizieren Sie dazu x 4 % der bekannten Elemente der einen Diagonale und dividieren Sie es durch das bekannte Element der anderen Diagonale: 70 4 % x 28 mg. 100 % 4

5 2. Bestimmen Sie die Menge des vom Arzt verschriebenen Wirkstoffs gemäß der Verordnung unter Berücksichtigung des Gewichts des Kindes. Die Dosis der Substanz muss mit dem Gewicht des Kindes multipliziert werden: mg. Das Kind muss also täglich 84 mg des Wirkstoffs einnehmen. Bestimmen Sie die Anzahl der Tabletten, die 84 mg des Wirkstoffs enthalten. 3 Registerkarte. 28 Antwort 3. Andere Optionen werden ähnlich gelöst. IN URAL Option 1;5. In der Wohnung, in der Anastasia lebt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. September zeigte der Zähler einen Verbrauch von 122 Kubikmeter Wasser an, am 1. Oktober 142 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Anastasia im September für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 9 Rubel 90 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 2. In der Wohnung, in der Maxim wohnt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. Februar zeigte der Zähler einen Verbrauch von 129 Kubikmeter Wasser an, am 1. März 140 Kubikmeter. Wie viel sollte Maxim im Februar für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 10 Rubel 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 3. In der Wohnung, in der Alex wohnt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. Juni zeigte der Zähler einen Verbrauch von 151 Kubikmeter Wasser an, am 1. Juli 165 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Alexey im März für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 20 Rubel 80 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 4. In der Wohnung, in der Asya lebt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. Mai zeigte der Zähler einen Verbrauch von 84 Kubikmeter Wasser an, am 1. Juni 965 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Anastasia im Januar für Warmwasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 72 Rubel 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Möglichkeit 6;8. In der Wohnung, in der Anfisa wohnt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. September zeigte der Zähler einen Verbrauch von 239 Kubikmeter Wasser an, am 1. Oktober 349 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Anfisa für Warmwasser im September zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 78 Rubel 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 7. In der Wohnung, in der Alla lebt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. Juli zeigte der Zähler einen Verbrauch von 772 Kubikmeter Wasser an, am 1. August 797 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Alla im Juli für Warmwasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 144 Rubel 80 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Die URAL-Region hat das Problem der Abrechnung des Wasserverbrauchs nach Zähler gelöst. Numerische Daten für die Berechnung nach Optionen wurden in die Tabelle eingetragen: Vari Zählerstände am Anfang Zählerstände am Anfang Preis von 1 Kubikmeter des Kalendermonats Kubikmeter des nächsten Kalendermonats Kubikmeter 1 und Rubel 90 Kopeken Rubel 60 Kopeken Rubel 80 Kopeken Rubel 60 Kopeken 6 Rubel und 60 Kopeken Rubel 80 Kopeken Lösung von Option 1. Idee: Die Zählerstände sind zu Beginn des Kubikmeter-Kalendermonats und zu Beginn des nächsten Kubikmeter-Kalendermonats bekannt. So können Sie den zu zahlenden Wasserverbrauch für den Monat ermitteln. Wenn Sie die Anzahl der verbrauchten Kubikmeter Wasser und den Preis für einen Kubikmeter Wasser kennen, können Sie den Betrag ermitteln, der für dieses Wasser bezahlt werden muss. 5

6 Aktionen: Wasserverbrauch des Monats ermitteln Zahlungsbetrag für das verbrauchte Wasser des Monats ermitteln p Lösung 198. Andere Optionen werden ähnlich gelöst. NACH SIBIRIEN Option 1. 1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 40 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. Juni Kilowattstunden und am 1. Juli Kilowattstunden an. Wie viel müssen Sie im Juni für Strom bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 2. 1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 20 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. November 669 Kilowattstunden und am 1. Dezember 846 Kilowattstunden an. Wie viel müssen Sie im November für Strom bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 3. 1 Kilowattstunde Strom kostet 2 Rubel 40 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. Oktober Kilowattstunden und am 1. November Kilowattstunden an. Wie viel müssen Sie im Oktober für Strom bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Möglichkeit 4;5. 1 Kilowattstunde Strom kostet 2 Rubel 50 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. Januar Kilowattstunden und am 1. Februar Kilowattstunden an. Wie viel müssen Sie im Januar für Strom bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 6. 1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 30 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. September Kilowattstunden und am 1. Oktober Kilowattstunden an. Wie viel müssen Sie im September für Strom bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Möglichkeit 7;8. 1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 70 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. April Kilowattstunden und am 1. Mai Kilowattstunden an. Wie viel müssen Sie im April für Strom bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Die Region SIBIRIEN hat das Problem der Abrechnung des Stromverbrauchs per Zähler gelöst. Numerische Daten für die Berechnung nach Optionen wurden in die Tabelle eingetragen: Optionen Zählerstände am Anfang des Kalendermonats kWh Zählerstände am Anfang des nächsten Kalendermonats kWh 7 Kopeken und 70 Kopeken Rubel Lösung 1. Idee: Bekannte Zählerstände am Beginn des Kilowattstunden-Kalendermonats und zu Beginn des nächsten Kilowattstunden-Kalendermonats. So können Sie den zu zahlenden Stromverbrauch für den Monat ermitteln. Wenn Sie die Anzahl der verbrauchten Kilowattstunden Strom und den Preis für eine Kilowattstunde kennen, können Sie den Betrag ermitteln, der für diesen Strom bezahlt werden muss. Aktionen: Ermitteln Sie den Stromverbrauch für den Monat. Ermitteln Sie den zu zahlenden Betrag für den verbrauchten Strom für den Monat. 6

7 p Antwort Die restlichen Optionen werden auf ähnliche Weise gelöst. NACH OSTEN Option 1; 5; 8. In der Wohnung, in der Ekaterina lebt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. September zeigte der Zähler einen Verbrauch von 189 Kubikmeter Wasser an, am 1. Oktober 204 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Catherine im September für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 16 Rubel 90 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 2. In der Wohnung, in der Valery lebt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. März zeigte der Zähler einen Verbrauch von 182 Kubikmeter Wasser an, am 1. April 192 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Valery im März für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 23 Rubel 10 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 3. In der Wohnung, in der Marina lebt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. Juli zeigte der Zähler einen Verbrauch von 120 Kubikmeter Wasser an, am 1. August 131 Kubikmeter. Wie viel sollte Marina im Juli für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 20 Rubel 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 4. In der Wohnung, in der Yegor lebt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. November zeigte der Zähler einen Verbrauch von 879 Kubikmeter Wasser an, am 1. Dezember 969 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Jegor im November für Warmwasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 108 Rubel 20 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 6. In der Wohnung, in der Mikhail lebt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. März zeigte der Zähler einen Verbrauch von 708 Kubikmeter Wasser an, am 1. April 828 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Mikhail für Warmwasser im März bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 72 Rubel 20 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 7. In der Wohnung, in der Anastasia lebt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. Januar zeigte der Zähler einen Verbrauch von 894 Kubikmeter Wasser an, am 1. Februar 919 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Anastasia im Januar für Warmwasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 103 Rubel 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Die Aufgaben der Region "VOSTOK" fielen mit den Aufgaben der Region "URAL" mit einem Unterschied in den numerischen Daten zusammen. Optionen Zählerstände zu Beginn des Kalendermonats Kubikmeter Zählerstände zu Beginn des nächsten Kalendermonats Kubikmeter Preis von 1 Kubikmeter 1 und 5 Rubel 90 Kopeken Rubel 10 Kopeken Rubel 60 Kopeken Rubel 20 Kopeken Rubel 20 Kopeken Rubel 60 Kopeken Daher wird die Idee einer Lösung und Maßnahmen denen ähneln, die zuvor für die URAL-Region in Betracht gezogen wurden. BEI

Abschnitt Operationen mit Brüchen Abschnitt Umrechnung von Dezimalbrüchen und umgekehrt Abschnitt Prozentzahlen (Prozentsatz einer Zahl, Prozentsatz von Zahlen, prozentuale Änderung) Abschnitt Einzahlungen, einfach und komplex

Test zum Thema "GCD und NOC" Nachname, Vorname. Natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn: a) sie mehr als zwei Teiler haben; b) ihr ggT gleich ist; c) sie haben einen Teiler .. Der größte gemeinsame Teiler von Zahlen a

Fragen zur Überprüfung der Kenntnisse in Mathematik. 5-6 Klasse. 1. Definition natürlicher, ganzzahliger, rationaler Zahlen. 2. Teilbarkeitszeichen durch 10, 5, 2. 3. Teilbarkeitszeichen durch 9, 3. 4. Haupteigenschaft

Thema. Entwicklung des Zahlenbegriffs. Arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen. Zusatz. Die Summe von Brüchen mit demselben Nenner ist der Bruch mit demselben Nenner, und der Zähler ist die Summe

4 Wiederholungsfragen I. Natürliche Zahlen. Natürliche Serie.. Zahlen und Abbildungen. Dezimalzahlensystem. 3. Ränge und Klassen. Darstellung einer Zahl als Summe von Bittermen. 4. Vergleich von natürlichen

Lineare Gleichungen mit einer Variablen Einführung Nikita Sarukhanov Klasse 7 Algebra entstand im Zusammenhang mit der Lösung verschiedener Probleme mit Hilfe von Gleichungen. Normalerweise ist es bei Aufgaben erforderlich, einen oder mehrere zu finden

1. Ermitteln des Prozentsatzes einer Zahl Hilfe B1 Zinsen 1% - das ist ein Hundertstel von etwas, dh 1% \u003d 0,01 \u003d. Dementsprechend sind 2 % = 0,02 =, 5 % = 0,05 =, 10 % = 0,10 = 0,1 ==. Finden Sie zum Beispiel 25%

Thema Mathematik Klasse 6. Teilbarkeit von Zahlen. Grundlegendes Konzept. Teiler einer natürlichen Zahl a ist eine natürliche Zahl, durch die a ohne Rest teilbar ist. Zum Beispiel, ; 2; 5; 0 ist ein Teiler von 0. Die Zahl 3 ist ein Teiler

INHALT EINFÜHRUNG... 4 ALGEBRA... 5 Zahlen, Wurzeln und Potenzen... 5 Grundlagen der Trigonometrie... 20 Logarithmen... 0 Umrechnen von Ausdrücken... 5 GLEICHUNGEN UND UNGLEICHHEITEN... 57 Gleichungen... 57 Ungleichheiten ... 91

Haus des Lehrers des Uraler Föderationskreises XI. Internationale Olympiade der Grundwissenschaften Zweite Etappe. Erste Liga. Wissenschaftliche Betreuerin des Fachprojekts: Grivkova Elena Lvovna, Lehrerin für höhere Mathematik

Antworten zu Prüfungsscheinen in Mathematik 6. Klasse dnr >>> Antworten zu Prüfungsscheinen in Mathematik 6. Klasse dnr Antworten zu Prüfungsscheinen in Mathematik 6. Klasse dnr Addition Subtraktion gemischt

Nachschlagewerk "Mathematik Klasse 5" Natürliche Zahlen Die beim Zählen verwendeten Zahlen werden als natürliche Zahlen bezeichnet. Sie werden mit dem lateinischen Buchstaben N bezeichnet. Die Zahl 0 ist nicht natürlich! Aufzeichnungsmethode

MATHE. ALLES FÜR DEN LEHRER! DEZIMALBRÜCHE UND AKTIONEN DARAUF DIDAKTIK UND DATENBIBLIOTHEK BLIO IOTE Wir bieten didaktisches Material zum Thema "Dezimalbrüche": Karten für Einzelpersonen

Algorithmus zum Finden des Bereichs zulässiger Werte eines algebraischen Bruchs. Beispiel. Ermitteln Sie den Bereich akzeptabler Werte: x 25 (x 5) (2x + 4). 1. Schreiben Sie den Nenner eines algebraischen Bruchs auf; 2. Gleichen Sie die ausgestellten

Thema 3. „Beziehungen. Proportionen. Prozent" Das Verhältnis zweier Zahlen ist der Quotient aus der Division der einen durch die andere. Das Verhältnis zeigt, wie oft die erste Zahl größer ist als die zweite bzw. welcher Teil der ersten Zahl ist

Zahlen finden Beispiel 1. Die Zähler von drei Brüchen sind proportional zu den Zahlen 1, 2, 5 bzw. die Nenner zu den Zahlen 1, 3, 7. Das arithmetische Mittel der Brüche ist gleich. Finde diese Brüche. Lösung. Nach Zustand

Viertel 1 Welche Zahlen sind natürlich? Wie liest man eine Zahl? Wie schreibt man eine Zahl in Zahlen? Beziehungen zwischen Einheiten Wie zeichnet man einen Koordinatenstrahl und markiert Punkte auf diesem Strahl? Formeln für Zahlen

Lektionsnummer Lektionsthema KALENDER - THEMATISCHE PLANUNG Klasse 6 Anzahl der Stunden Kapitel 1. Gewöhnliche Brüche. 1. Teilbarkeit von Zahlen 24 Stunden 1-3 Teiler und Vielfache 3 Teiler, Vielfache, kleinste Vielfache von natürlichen

Thema. Entwicklung des Zahlenbegriffs Zusammenfassung: Das Lehrbuch wurde gemäß dem Arbeitsprogramm des allgemeinbildenden Fachs ODP.0 Mathematik entwickelt. Der Studienführer enthält: theoretisch

„Einverstanden“ „Genehmigt“ Stellvertretender Direktor für OWRM Direktor der Schule, 6. Klasse Kalender-Themenplanung in Mathematik (Korrespondenzform des Unterrichts) Schuljahr 2018-2019 Lehrbuch: Vilenkin N.Ya., Zhokhov

Bruchrationale Ausdrücke Ausdrücke, die eine Division durch einen Ausdruck mit Variablen enthalten, werden als gebrochene (bruchrationale) Ausdrücke bezeichnet. Bruchausdrücke für einige Werte von Variablen haben keine

Thema 1 „Numerische Ausdrücke. Verfahren. Vergleich von Zahlen. Ein numerischer Ausdruck ist ein oder mehrere numerische Werte (Zahlen), die durch Vorzeichen von Rechenoperationen miteinander verbunden sind: Addition,

Kalenderthematische Planung Mathematik Klasse 6 (5 Wochenstunden, insgesamt 170 Stunden) des Unterrichts Unterrichtsthema 1-3 Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner, Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen

Kapitel 1 Grundlagen der Algebra Zahlenmengen Betrachten Sie die grundlegenden Zahlenmengen. Die Menge der natürlichen Zahlen N umfasst Zahlen der Form 1, 2, 3 usw., die zum Zählen von Objekten verwendet werden. Viele

RATIONALE ZAHLEN Gewöhnliche Brüche Definition Brüche der Form, die gewöhnliche Brüche genannt werden Gewöhnliche Brüche, reguläre und unechte Definition Ein Bruch, eigentlich wenn< при, где Z, N Z, N Z,

1 IRRATIONALE UND REALE ZAHLEN Irrationale Zahlen Das einfachste Beispiel zur Messung der Länge der Diagonalen eines Einheitsquadrats zeigt, dass die Operation, die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl zu ziehen

26. Aufgaben für ganze Zahlen Finde den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen (1 8): 1. 247 und 221. 2. 437 und 323. 3. 357 und 391. 4. 253 und 319. 5. 42 4 und 54 3. 6 78 4 und 65 2. 7. 77 3 und 242 2. 8. 51 3 und 119 2. 9. Summe

Inhalt: 1. Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen. Vergleich der natürlichen Zahlen. 2. Numerische und alphabetische Ausdrücke. Die gleichung. 3. Multiplikation natürlicher Zahlen. 4. Division natürlicher Zahlen

VORTRAG 6 LINEARE KOMBINATIONEN UND LINEARE ABHÄNGIGKEIT HAUPT-LEMMA ÜBER LINEARE ABHÄNGIGKEIT BASIS UND DIMENSION EINES LINEAREN RAUMS RANG EINES SYSTEMS VON VEKTOREN 1 LINEARE KOMBINATIONEN UND LINEARE ABHÄNGIGKEIT

Die Haupteigenschaft eines Bruchs REGELN UND LO AUFGABENBEISPIELE UND I Bringen Sie den Bruch auf einen neuen Nenner: 1) Multiplizieren (oder dividieren) Sie den Nenner des Bruchs mit der Zahl. 2) Multiplizieren (oder dividieren) Sie den Zähler des Bruchs mit derselben Zahl.

I Option 8B Klasse, 4. Oktober 007 1 Fügen Sie die fehlenden Wörter ein: Definition 1 Die arithmetische Quadratwurzel der Zahl, die gleich a aus der Zahl a (a 0) ist, wird wie folgt angegeben: durch den Ausdruck Die Aktion des Findens

Frage Was sind natürliche Zahlen? Antwort Natürliche Zahlen nennt man Zahlen, die beim Zählen verwendet werden Was sind Klassen und Ziffern beim Schreiben von Zahlen? Wie werden Zahlen genannt, wenn sie hinzugefügt werden? Formulieren Sie einen Assoziativ

Für ausländische Studierende der Vorbereitungsabteilung AUTOR: Starovoitova Natalya Alexandrovna Abteilung für voruniversitäre Ausbildung und Berufsberatung 1 2 3 8 4 Nummern; ; ; ; 2 3 7 5 4 - gewöhnliche Brüche.

ARITHMETIK Aktionen mit natürlichen Zahlen und gewöhnlichen Brüchen. Verfahren) Wenn keine Klammern vorhanden sind, werden zuerst die Aktionen des th-Grades (Erhöhen auf eine natürliche Potenz) ausgeführt, dann des th-Grades (Multiplikation

INHALT Mathematische Symbole ... 3 Vergleich von Zahlen ... 4 Addition ... 5 Zusammenhang zwischen den Komponenten der Addition ... 5 Kommutatives Additionsgesetz ... 6 Assoziatives Additionsgesetz ... 6 Verfahren ...

REFERENZMATERIAL ZUR VORBEREITUNG DER BEANTWORTUNG DER THEORETISCHEN FRAGE DER MATHEMATIK-ÜBERGANGSPRÜFUNG IN DER 6. KLASSE (Im Referenzmaterial sind Hyperlinks zu Internetquellen blau hervorgehoben) TICKET

Typische Variante „Komplexe Zahlen Polynome und rationale Brüche“ Aufgabe Gegeben sind zwei komplexe Zahlen und cos sn Finde und schreibe das Ergebnis in algebraischer Form Schreibe das Ergebnis in trigonometrischer Form

Kapitel EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA .. QUADRAT DREIGLIED ... Das babylonische Problem, zwei Zahlen durch ihre Summe und ihr Produkt zu finden. Eines der ältesten Probleme in der Algebra wurde in Babylon vorgeschlagen, wo

Thema 1. Zählrichtung Analyse der Problemlösung nach Themen Kapitel 1 „Negative Zahlen“ Die Aufgaben zu diesem Thema sind praktischer Natur, wichtig für das Verständnis der Verwendung von „+“-Zeichen und für die Entwicklung von Fähigkeiten

ADDITION Zu einer Zahl 1 addieren bedeutet, die folgende Zahl zu erhalten: 4+1=5, 1+1=14 usw. Die Zahlen 5 zu addieren bedeutet, 1 bis 5 dreimal zu addieren: 5+1+1+1=5+=8. SUBTRAHIEREN Subtrahieren Sie 1 von einer Zahl bedeutet

2. Allgemeine lineare und euklidische Räume Eine Menge X ist ein linearer Raum über dem Körper der reellen Zahlen oder einfach ein reeller linearer Raum, wenn es irgendwelche Elemente gibt

VORTRAG Das Konzept einer Matrix und ihre Eigenschaften Aktionen auf Matrizen Das Konzept einer Matrix Eine Ordnungsmatrix (Dimension) ist eine rechteckige Tabelle mit Zahlen oder wörtlichen Ausdrücken, die Spalten enthält: () i Zeilen

Arithmetik - Klasse ANTWORTEN: Thema Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen)) 00.0 Thema Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern)) Thema Division von gewöhnlichen Brüchen))) und Thema Proportionen) Thema

3 Liebe Leserin, lieber Leser! In Ihren Händen halten Sie ein modernes Nachschlagewerk, das Sie in den Klassen 5-11 im Studium unterstützt, Sie bei der Prüfungsvorbereitung unterstützt und Ihnen den Studieneinstieg erleichtert. Im Verzeichnis

Lektion Thema Hinweis Teilbarkeit von Zahlen 16 h.

Thema 1. Sätze. Numerische Mengen N, Z, Q, R 1. Mengen. Operationen an Sets. 2. Die Menge der natürlichen Zahlen N. 3. Die Menge der ganzen Zahlen Z. Teilbarkeit der ganzen Zahlen. Teilbarkeitszeichen. 4. Vernünftig

Moskau: AST-Verlag: Astrel, 2016. 284, p. (Akademie für Grundschulbildung). 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 Inhalt Liebe Erwachsene!... 6 Zahlen

Website der Elementarmathematik von Dmitry Gushchin wwwthetspru Gushchin D D REFERENZMATERIALIEN ZUR VORBEREITUNG AUF DEN GEBRAUCH IN DER MATHEMATIK AUFGABE B7: BERECHNUNGEN UND TRANSFORMATIONEN Zu prüfende Inhaltselemente und Typen

Inhaltsgleichung.................................. Integer-Ausdrücke.. ......... .......................... Ausdrücke mit Potenzen......... ........ ......... 3 Monom .......................... ........ ......

VV Rasin ECHTE ZAHLEN Ekaterinburg 2005 Bundesamt für Bildung Staatliche Uraluniversität. A. M. Gorki V. V. Rasin ECHTE ZAHLEN Jekaterinburg 2005 UDC 517.13(075.3)

Gleichungen In der Algebra werden zwei Arten von Gleichheiten betrachtet - Identitäten und Gleichungen. Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Buchstaben gilt. Für Identitäten werden Zeichen verwendet

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Sammlung für

VORBEREITUNG AUF DIE OGE Referenzmaterialien für Schüler der 9. Klasse Algebra Natürliche Zahlen und Aktionen auf ihnen Der Begriff einer natürlichen Zahl bezieht sich auf die einfachsten, anfänglichen Konzepte der Mathematik und ist nicht definiert

Betrachten Sie die erste Möglichkeit, den SLE nach der Cramerschen Regel für ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen: Die Antwort wird mit den Cramerschen Formeln berechnet: D, D1, D2, D3 sind Determinanten

Gleichungssysteme Gegeben seien zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten f(x, y)=0 und g(x, y)=0, wobei f(x, y), g(x, y) einige Ausdrücke mit Variablen x und sind j. Wenn die Aufgabe darin besteht, alle gängigen Lösungen der Daten zu finden

Mathe-Klasse. Lehrerin Demidova Elena Nikolaevna Viertel .. Teilbarkeit von ZAHLEN Teiler und Vielfache. Tests auf Teilbarkeit durch 0, und. Zeichen der Teilbarkeit durch und durch 9. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. Zerlegung in einfach

Klasse 6 (FGOS LLC) des Unterrichts Haupttyp Inhalt (Abschnitt, Themen) der Bildungsaktivität Wiederholung des Mathematikkurses Klasse 5 (Stunden) Anzahl der Stunden Lehrbuchmaterial Korrektur Wiederholung des Mathematikkurses.

Beruf. Grad mit beliebigem reellen Exponenten, seine Eigenschaften. Potenzfunktion, ihre Eigenschaften, Grafiken .. Erinnern Sie sich an die Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten. a a a a a für natürliche Zeiten

Vorlesung 2 Lineare Gleichungssysteme lösen. 1. Lösung von Systemen aus 3 linearen Gleichungen nach der Methode von Cramer. Definition. Ein System aus 3 linearen Gleichungen ist ein System der Form In diesem System sind die erforderlichen Größen,

Lektion 16 Beziehungen. Proportionen. Prozent Quotient 12: 6 = 2 ist das Verhältnis der Zahlen 12 und 6. Das Verhältnis der Zahlen 12 und 6 ist gleich der Zahl 2. Zahl 2. Quotient 2: = 2 ist das Verhältnis der Zahlen 2 und. Das Verhältnis der Zahlen 2 und gleich

Aufgabe 1 Einheitliches Staatsexamen -2015 (Grundlagen) Wenn Sie nur eine Antwort benötigen, das erste Beispiel ist 2,65 - das zweite Beispiel ist 3,2 - das dritte Beispiel ist -1,1 Dies ist eine Aufgabe für Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen. Hier ist eine kleine Theorie für diejenigen, die leicht sind

Kapitel I. Elemente der linearen Algebra Die lineare Algebra ist ein Teil der Algebra, der lineare Räume und Unterräume, lineare Operatoren, lineare, bilineare und quadratische Funktionen auf linearen Räumen untersucht.

Progressionen Eine Folge stellt eine Funktion eines natürlichen Arguments dar. Eine Folge durch eine allgemeine Begriffsformel spezifizieren: a n = f(n), n N, zum Beispiel a n = n + n + 4, a = 43, a = 47, a 3 = 3,. Sequenzierung

Thema 1.4. Lösung von Systemen aus zwei (drei) linearen Gleichungen der Cramerschen Formel Gabriel Cramer (1704 1752) Schweizer Mathematiker. Diese Methode ist nur bei linearen Gleichungssystemen anwendbar, bei denen die Anzahl der Variablen

Mathematik Klasse 6 LERNINHALTE Arithmetik Natürliche Zahlen. Teilbarkeit natürlicher Zahlen. Zeichen der Teilbarkeit durch 5, 9, 0. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. Zerlegung einer natürlichen Zahl in Primfaktoren.