6. krummlinige Bewegung. Winkelverschiebung, Winkelgeschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers. Weg und Verschiebung während der krummlinigen Bewegung des Körpers.

Krummlinige Bewegung- Dies ist eine Bewegung, deren Bahn eine gekrümmte Linie ist (z. B. ein Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel, eine Parabel). Ein Beispiel für eine krummlinige Bewegung ist die Bewegung der Planeten, das Ende des Uhrzeigers auf dem Zifferblatt usw. Im Algemeinen krummlinige GeschwindigkeitÄnderungen in Größe und Richtung.

Krummlinige Bewegung eines materiellen Punktes gilt als gleichförmige Bewegung, wenn das Modul Geschwindigkeit konstant (z. B. gleichmäßige Bewegung im Kreis) und gleichmäßig beschleunigt, wenn der Modul und die Richtung Geschwindigkeit Änderungen (z. B. die Bewegung eines Körpers, der schräg zum Horizont geworfen wird).

Reis. 1.19. Trajektorie und Verschiebungsvektor in krummliniger Bewegung.

Beim Bewegen entlang einer gekrümmten Bahn Verschiebungsvektor entlang der Sehne gerichtet (Abb. 1.19) und l- Länge Flugbahnen . Die Momentangeschwindigkeit des Körpers (d. h. die Geschwindigkeit des Körpers an einem bestimmten Punkt der Bahn) ist tangential zu dem Punkt der Bahn gerichtet, an dem sich der bewegte Körper gerade befindet (Abb. 1.20).

Reis. 1.20. Augenblickliche Geschwindigkeit bei krummliniger Bewegung.

Eine krummlinige Bewegung ist immer eine beschleunigte Bewegung. Also krummlinige Beschleunigung ist immer vorhanden, auch wenn sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert, sondern nur die Richtung der Geschwindigkeit ändert. Die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit ist tangentiale Beschleunigung :

oder

Wo v τ , v 0 sind die momentanen Geschwindigkeiten t 0 + At und t 0 beziehungsweise.

Tangentialbeschleunigung an einem gegebenen Punkt der Bahn fällt die Richtung mit der Richtung der Geschwindigkeit des Körpers zusammen oder ist ihr entgegengesetzt.

Normale Beschleunigung ist die Richtungsänderung pro Zeiteinheit:

Normale Beschleunigung entlang des Krümmungsradius der Flugbahn (in Richtung der Rotationsachse) gerichtet. Die Normalbeschleunigung steht senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung.

Zentripetalbeschleunigung ist die Normalbeschleunigung für eine gleichförmige Kreisbewegung.

Volle Beschleunigung bei ebenso variabler krummliniger Bewegung des Körpers gleich:

Die Bewegung eines Körpers entlang einer krummlinigen Bahn kann näherungsweise als Bewegung entlang einiger Kreisbögen dargestellt werden (Abb. 1.21).

Reis. 1.21. Die Bewegung des Körpers während der krummlinigen Bewegung.

Krummlinige Bewegung

Krummlinige Bewegungen- Bewegungen, deren Trajektorien keine geraden, sondern gekrümmte Linien sind. Planeten und Flusswasser bewegen sich auf krummlinigen Bahnen.

Eine krummlinige Bewegung ist immer eine Bewegung mit Beschleunigung, auch wenn der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist. Eine krummlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung tritt immer in der Ebene auf, in der die Beschleunigungsvektoren und die Anfangsgeschwindigkeiten des Punktes liegen. Bei krummliniger Bewegung mit konstanter Beschleunigung in der Ebene xOy Projektionen v x und v j seine Geschwindigkeit auf der Achse Ochse und Ey und Koordinaten x und j Punkte jederzeit t durch die Formeln bestimmt

Ein Sonderfall der krummlinigen Bewegung ist die Kreisbewegung. Kreisbewegung, auch gleichförmig, ist immer beschleunigte Bewegung: Der Geschwindigkeitsmodul ist immer tangential zur Flugbahn gerichtet und ändert ständig die Richtung, sodass Kreisbewegung immer mit Zentripetalbeschleunigung auftritt r ist der Radius des Kreises.

Der Beschleunigungsvektor bei der Bewegung entlang eines Kreises ist zum Kreismittelpunkt gerichtet und senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor.

Bei krummliniger Bewegung kann die Beschleunigung als Summe der normalen und tangentialen Komponenten dargestellt werden:

Die normale (zentripetale) Beschleunigung ist auf den Krümmungsmittelpunkt der Bahn gerichtet und charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung in der Richtung:

v- momentane Geschwindigkeit, r ist der Krümmungsradius der Bahn an einem gegebenen Punkt.

Die tangentiale (tangentiale) Beschleunigung ist tangential zur Trajektorie gerichtet und charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung modulo.

Die Gesamtbeschleunigung, mit der sich ein materieller Punkt bewegt, ist gleich:

Neben der Zentripetalbeschleunigung sind die wichtigsten Eigenschaften der gleichförmigen Bewegung auf einem Kreis die Periode und Frequenz der Umdrehung.

Zeitraum der Zirkulation ist die Zeit, die der Körper für eine Umdrehung benötigt .

Der Zeitraum wird durch den Buchstaben gekennzeichnet T(c) und wird bestimmt durch die Formel:

wo t- Seitenwechsel P- die Anzahl der während dieser Zeit durchgeführten Umdrehungen.

Umlauffrequenz- Dies ist ein numerischer Wert, der der Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit entspricht.

Die Frequenz wird mit dem griechischen Buchstaben (nu) bezeichnet und ergibt sich aus der Formel:

Die Frequenz wird in 1/s gemessen.

Periode und Frequenz sind zueinander inverse Größen:

Bewegt sich ein Körper mit einer Geschwindigkeit im Kreis v, eine Umdrehung macht, dann kann der von diesem Körper zurückgelegte Weg durch Multiplikation der Geschwindigkeit gefunden werden v für eine Umdrehung:

l = vT. Andererseits ist dieser Weg gleich dem Umfang 2π r. Deshalb

vT= 2π r,

wo w(ab -1) - Winkelgeschwindigkeit.

Bei konstanter Rotationsfrequenz ist die Zentripetalbeschleunigung direkt proportional zum Abstand des sich bewegenden Teilchens zum Rotationszentrum.

Winkelgeschwindigkeit (w) ist ein Wert gleich dem Verhältnis des Rotationswinkels des Radius, auf dem sich der Rotationspunkt befindet, zum Zeitintervall, in dem diese Rotation stattfand:

.

Zusammenhang zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit:

Die Bewegung eines Körpers kann nur dann als bekannt angesehen werden, wenn bekannt ist, wie sich jeder seiner Punkte bewegt. Die einfachste Bewegung starrer Körper ist die Translation. Übersetzung wird die Bewegung eines starren Körpers genannt, bei der sich jede in diesem Körper gezogene gerade Linie parallel zu sich selbst bewegt.

Wir wissen, dass jede krummlinige Bewegung unter der Wirkung einer Kraft auftritt, die in einem Winkel zur Geschwindigkeit gerichtet ist. Bei einer gleichförmigen Bewegung auf einem Kreis wird dieser Winkel richtig sein. Wenn wir beispielsweise einen an einem Seil befestigten Ball drehen, dann ist die Richtung der Geschwindigkeit des Balls zu jedem Zeitpunkt senkrecht zum Seil.

Die Spannkraft des Seils, das die Kugel auf dem Kreis hält, wird entlang des Seils in Richtung des Rotationszentrums geleitet.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz bewirkt diese Kraft, dass der Körper in die gleiche Richtung beschleunigt. Beschleunigung, die entlang des Radius in Richtung des Rotationszentrums gerichtet ist, wird genannt Zentripetalbeschleunigung .

Lassen Sie uns eine Formel zur Bestimmung des Wertes der Zentripetalbeschleunigung herleiten.

Zunächst stellen wir fest, dass die Bewegung im Kreis eine komplexe Bewegung ist. Unter der Wirkung einer Zentripetalkraft bewegt sich der Körper auf das Rotationszentrum zu und bewegt sich gleichzeitig durch Trägheit entlang einer Tangente zum Kreis von diesem Zentrum weg.

Der Körper, der sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit v bewegt, bewege sich in der Zeit t von D nach E. Angenommen, in dem Moment, in dem sich der Körper im Punkt D befinde, würde die Zentripetalkraft aufhören, auf ihn einzuwirken. Dann würde es sich zur Zeit t zu einem Punkt K bewegen, der auf der Tangente DL liegt. Würde der Körper im Anfangsmoment nur von einer Zentripetalkraft beaufschlagt (er würde sich nicht durch Trägheit bewegen), dann würde er sich gleichmäßig beschleunigt in der Zeit t bis zu dem auf der Geraden DC liegenden Punkt F bewegen. Als Ergebnis der Addition dieser beiden Bewegungen in der Zeit t erhält man die resultierende Bewegung entlang des Bogens DE.

Zentripetalkraft

Die Kraft, die einen rotierenden Körper auf einem Kreis hält und auf das Rotationszentrum gerichtet ist, wird als bezeichnet Zentripetalkraft .

Um eine Formel zur Berechnung der Größe der Zentripetalkraft zu erhalten, muss man das zweite Newtonsche Gesetz verwenden, das auf jede krummlinige Bewegung anwendbar ist.

Wenn wir in die Formel F \u003d ma den Wert der Zentripetalbeschleunigung a \u003d v 2 / R einsetzen, erhalten wir die Formel für die Zentripetalkraft:

F = mv 2 / R

Die Größe der Zentripetalkraft ist gleich dem Produkt aus der Masse des Körpers und dem Quadrat der linearen Geschwindigkeit, dividiert durch den Radius.

Wenn die Winkelgeschwindigkeit des Körpers gegeben ist, ist es bequemer, die Zentripetalkraft nach der Formel zu berechnen: F = m? 2R wo? 2 R – Zentripetalbeschleunigung.

Aus der ersten Formel ist ersichtlich, dass bei gleicher Geschwindigkeit die Zentripetalkraft umso größer ist, je kleiner der Radius des Kreises ist. An den Straßenecken sollte also ein sich bewegender Körper (Zug, Auto, Fahrrad) zum Krümmungsmittelpunkt hin wirken, je größer die Kraft, desto steiler die Kurve, d. h. desto kleiner der Krümmungsradius.

Die Zentripetalkraft hängt von der linearen Geschwindigkeit ab: Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt sie zu. Es ist allen Skatern, Skifahrern und Radfahrern bekannt: Je schneller man sich bewegt, desto schwieriger ist es, eine Kurve zu fahren. Autofahrer wissen sehr gut, wie gefährlich es ist, ein Auto bei hoher Geschwindigkeit scharf zu drehen.

Liniengeschwindigkeit

Zentrifugalmechanismen

Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers

Werfen wir einen Körper schräg zum Horizont. Wenn wir seiner Bewegung folgen, werden wir feststellen, dass sich der Körper zuerst erhebt, sich entlang einer Kurve bewegt, und dann auch entlang der Kurve nach unten fällt.

Richtet man einen Wasserstrahl in unterschiedlichen Winkeln auf den Horizont, so sieht man zunächst, dass mit zunehmendem Winkel der Strahl immer weiter auftrifft. Bei einem Winkel von 45° zum Horizont (wenn man den Luftwiderstand nicht berücksichtigt) ist die Reichweite am größten. Je weiter der Winkel zunimmt, desto geringer wird die Reichweite.

Um die Flugbahn eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers zu konstruieren, ziehen wir eine horizontale Linie OA und eine Linie OS in einem bestimmten Winkel dazu.

Auf der OS-Linie auf der ausgewählten Skala zeichnen wir Segmente, die numerisch gleich den in Wurfrichtung zurückgelegten Wegen sind (0–1, 1–2, 2–3, 3–4). Von den Punkten 1, 2, 3 usw. senken wir die Senkrechten zum OA und legen Segmente beiseite, die numerisch gleich den Wegen sind, die von einem frei fallenden Körper für 1 Sekunde (1–I), 2 Sekunden (2–II) durchlaufen werden. 3 Sek. (3–III) usw. Wir verbinden die Punkte 0, I, II, III, IV usw. mit einer glatten Kurve.

Die Flugbahn des Körpers ist symmetrisch in Bezug auf die vertikale Linie, die durch den Punkt IV verläuft.

Der Luftwiderstand verringert sowohl die Flugreichweite als auch die höchste Flughöhe, die Flugbahn wird asymmetrisch. Das sind zum Beispiel die Flugbahnen von Projektilen und Kugeln. In der Figur zeigt die durchgezogene Kurve schematisch die Flugbahn des Projektils in Luft und die gepunktete Kurve zeigt sie im luftleeren Raum. Wie stark der Luftwiderstand die Flugreichweite verändert, lässt sich an folgendem Beispiel ablesen. Ohne Luftwiderstand würde ein 76-mm-Kanonenprojektil, das in einem Winkel von 20 ° zum Horizont abgefeuert wird, 24 km weit fliegen. In der Luft fliegt dieses Projektil etwa 7 km weit.

Newtons drittes Gesetz

Bewegung eines horizontal geworfenen Körpers

Unabhängigkeit der Bewegungen

Jede krummlinige Bewegung ist eine komplexe Bewegung, die aus einer Bewegung durch Trägheit und einer Bewegung unter Einwirkung einer Kraft besteht, die in einem Winkel zur Geschwindigkeit des Körpers gerichtet ist. Dies kann im folgenden Beispiel gezeigt werden.

Gehen Sie davon aus, dass sich der Ball gleichmäßig und geradlinig auf dem Tisch bewegt. Wenn die Kugel vom Tisch rollt, wird ihr Gewicht nicht mehr durch die Druckkraft des Tisches ausgeglichen und durch Trägheit beginnt sie gleichzeitig zu fallen, während sie eine gleichförmige und geradlinige Bewegung beibehält. Als Ergebnis der Addition von Bewegungen - gleichmäßig geradlinig durch Trägheit und gleichmäßig beschleunigt unter der Wirkung der Schwerkraft - bewegt sich die Kugel entlang einer gekrümmten Linie.

Es kann experimentell gezeigt werden, dass diese Bewegungen unabhängig voneinander sind.

Die Abbildung zeigt eine Feder, die durch Biegen unter dem Schlag eines Hammers eine der Kugeln in horizontaler Richtung in Bewegung setzen und gleichzeitig die andere Kugel freigeben kann, so dass sich beide im selben Moment zu bewegen beginnen : der erste entlang einer Kurve, der zweite entlang eines vertikalen Weges nach unten. Beide Bälle treffen gleichzeitig auf den Boden; daher ist die Fallzeit beider Kugeln gleich. Daraus können wir schließen, dass die Bewegung der Kugel unter der Wirkung der Schwerkraft nicht davon abhängt, ob die Kugel im Anfangsmoment ruhte oder sich in horizontaler Richtung bewegte.

Diese Erfahrung veranschaulicht ein sehr wichtiges Prinzip in der Mechanik, das so genannte das Prinzip der Bewegungsfreiheit.

Gleichförmige Kreisbewegung

Eine der einfachsten und häufigsten Arten von krummlinigen Bewegungen ist die gleichförmige Bewegung eines Körpers auf einem Kreis. In einem Kreis bewegen sich beispielsweise Teile von Schwungrädern, Punkte auf der Erdoberfläche während der täglichen Rotation der Erde usw.

Lassen Sie uns Größen einführen, die diese Bewegung charakterisieren. Wenden wir uns der Zeichnung zu. Während der Drehung des Körpers bewege sich einer seiner Punkte in der Zeit t von A nach B. Dreht sich der Radius, der den Punkt A mit dem Kreismittelpunkt verbindet, gleichzeitig um einen Winkel? (griechisch „fi“). Die Rotationsgeschwindigkeit eines Punktes kann durch den Wert des Verhältnisses des Winkels charakterisiert werden? zum Zeitpunkt t, d.h. ? /t.

Winkelgeschwindigkeit

Das Verhältnis des Rotationswinkels des Radius, der den sich bewegenden Punkt mit dem Rotationszentrum verbindet, zum Zeitintervall, in dem diese Rotation auftritt, wird als bezeichnet Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit mit einem griechischen Buchstaben bezeichnen? ("Omega"), können Sie schreiben:

? = ? /t

Die Winkelgeschwindigkeit ist numerisch gleich dem Rotationswinkel pro Zeiteinheit.

Bei gleichförmiger Kreisbewegung ist die Winkelgeschwindigkeit ein konstanter Wert.

Bei der Berechnung der Winkelgeschwindigkeit wird der Drehwinkel üblicherweise im Bogenmaß gemessen. Ein Bogenmaß ist ein zentraler Winkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius dieses Bogens ist.

Die Bewegung von Körpern unter Einwirkung einer schräg zur Geschwindigkeit gerichteten Kraft

Bei der Betrachtung der geradlinigen Bewegung wurde bekannt, dass, wenn eine Kraft auf einen Körper in Bewegungsrichtung wirkt, die Bewegung des Körpers geradlinig bleibt. Lediglich die Geschwindigkeit ändert sich. Wenn außerdem die Richtung der Kraft mit der Richtung der Geschwindigkeit zusammenfällt, ist die Bewegung geradlinig und beschleunigt. Bei entgegengesetzter Kraftrichtung ist die Bewegung geradlinig und langsam. Das sind zum Beispiel die Bewegung eines senkrecht nach unten geworfenen Körpers und die Bewegung eines senkrecht nach oben geworfenen Körpers.

Betrachten wir nun, wie sich der Körper unter der Wirkung einer Kraft bewegt, die in einem Winkel zur Geschwindigkeitsrichtung gerichtet ist.

Schauen wir uns zuerst die Erfahrung an. Lassen Sie uns eine Flugbahn der Stahlkugel um den Magneten erstellen. Wir bemerken sofort, dass sich der Ball vom Magneten weg in einer geraden Linie bewegte, während er sich dem Magneten näherte, war die Flugbahn des Balls gekrümmt und der Ball bewegte sich entlang einer Kurve. Die Richtung seiner Geschwindigkeit änderte sich ständig. Der Grund dafür war die Wirkung des Magneten auf den Ball.

Wir können einen Körper, der sich geradlinig bewegt, dazu bringen, sich entlang einer Kurve zu bewegen, indem wir ihn schieben, an dem daran befestigten Faden ziehen und so weiter, solange die Kraft in einem Winkel zur Geschwindigkeit des Körpers gerichtet ist.

Die krummlinige Bewegung des Körpers tritt also unter der Wirkung einer Kraft auf, die in einem Winkel zur Richtung der Geschwindigkeit des Körpers gerichtet ist.

Je nach Richtung und Größe der auf den Körper einwirkenden Kraft können krummlinige Bewegungen sehr unterschiedlich sein. Die einfachsten Arten von krummlinigen Bewegungen sind Kreis-, Parabel- und Ellipsenbewegungen.

Beispiele für die Wirkung der Zentripetalkraft

In einigen Fällen ist die Zentripetalkraft die Resultierende zweier Kräfte, die auf einen Körper wirken, der sich auf einer Kreisbahn bewegt.

Schauen wir uns ein paar solcher Beispiele an.

1. Ein Auto bewegt sich mit der Geschwindigkeit v über eine konkave Brücke, die Masse des Autos ist m, der Krümmungsradius der Brücke ist R. Welche Druckkraft erzeugt das Auto an seinem tiefsten Punkt auf der Brücke?

Stellen wir zunächst fest, welche Kräfte auf das Auto einwirken. Es gibt zwei solche Kräfte: das Gewicht des Autos und die Druckkraft der Brücke auf das Auto. (Die Reibungskraft schließen wir bei diesem und allen nachfolgenden Preisträgern aus).

Wenn das Auto steht, gleichen sich diese Kräfte aus, da sie gleich groß und in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind.

Wenn sich das Auto entlang der Brücke bewegt, wird es wie jeder Körper, der sich im Kreis bewegt, von einer Zentripetalkraft beeinflusst. Was ist die Quelle dieser Kraft? Die Quelle dieser Kraft kann nur die Wirkung der Brücke auf das Auto sein. Die Kraft Q, mit der die Brücke auf ein fahrendes Auto drückt, muss nicht nur das Gewicht des Autos P ausgleichen, sondern es auch zu einer Kreisbewegung zwingen, wodurch die dafür notwendige Zentripetalkraft F entsteht. Die Kraft F kann nur sein die Resultierende der Kräfte P und Q, da sie das Ergebnis der Wechselwirkung eines fahrenden Autos mit einer Brücke ist.

Mit Hilfe dieser Lektion können Sie sich selbstständig mit dem Thema „Geradlinige und krummlinige Bewegung“ befassen. Die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn mit konstanter Modulo-Geschwindigkeit. Zunächst charakterisieren wir geradlinige und krummlinige Bewegungen, indem wir betrachten, wie bei diesen Bewegungsarten der Geschwindigkeitsvektor und die auf den Körper ausgeübte Kraft zusammenhängen. Als nächstes betrachten wir einen Spezialfall, wenn sich der Körper mit konstanter Modulo-Geschwindigkeit auf einem Kreis bewegt.

In der vorherigen Lektion haben wir uns mit Fragen beschäftigt, die mit dem Gesetz der universellen Gravitation zusammenhängen. Das Thema der heutigen Lektion ist eng mit diesem Gesetz verbunden, wir wenden uns der gleichförmigen Bewegung eines Körpers im Kreis zu.

Das haben wir vorhin gesagt Verkehr - dies ist eine Änderung der Position eines Körpers im Raum relativ zu anderen Körpern im Laufe der Zeit. Bewegung und Bewegungsrichtung sind unter anderem durch Geschwindigkeit gekennzeichnet. Die Geschwindigkeitsänderung und die Art der Bewegung selbst sind mit einer Krafteinwirkung verbunden. Wirkt auf einen Körper eine Kraft, so ändert der Körper seine Geschwindigkeit.

Wenn die Kraft parallel zur Bewegung des Körpers gerichtet ist, wird eine solche Bewegung sein einfach(Abb. 1).

Reis. 1. Geradlinige Bewegung

krummlinig Eine solche Bewegung tritt auf, wenn die Geschwindigkeit des Körpers und die auf diesen Körper ausgeübte Kraft in einem bestimmten Winkel zueinander gerichtet sind (Abb. 2). In diesem Fall ändert die Geschwindigkeit ihre Richtung.

Reis. 2. Krummlinige Bewegung

Also bei geradlinige Bewegung Der Geschwindigkeitsvektor ist in die gleiche Richtung gerichtet wie die auf den Körper ausgeübte Kraft. ABER krummlinige Bewegung ist eine solche Bewegung, wenn der Geschwindigkeitsvektor und die auf den Körper ausgeübte Kraft in einem bestimmten Winkel zueinander stehen.

Betrachten Sie einen Spezialfall einer krummlinigen Bewegung, wenn sich der Körper mit konstanter absoluter Geschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis, ändert sich nur die Richtung der Geschwindigkeit. Modulo bleibt konstant, aber die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich. Eine solche Geschwindigkeitsänderung führt zu einer Beschleunigung im Körper, die als bezeichnet wird zentripetal.

Reis. 6. Bewegung entlang einer gekrümmten Bahn

Wenn die Bewegungsbahn des Körpers eine Kurve ist, dann kann sie als eine Reihe von Bewegungen entlang Kreisbögen dargestellt werden, wie in Abb. 6.

Auf Abb. 7 zeigt, wie sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert. Die Geschwindigkeit während einer solchen Bewegung ist tangential zu dem Kreis gerichtet, auf dessen Bogen sich der Körper bewegt. Daher ändert sich seine Richtung ständig. Auch wenn die Modulo-Geschwindigkeit konstant bleibt, führt eine Geschwindigkeitsänderung zu einer Beschleunigung:

In diesem Fall Beschleunigung wird auf die Mitte des Kreises gerichtet. Deshalb heißt es zentripetal.

Warum ist die Zentripetalbeschleunigung zum Zentrum gerichtet?

Denken Sie daran, dass, wenn sich ein Körper entlang einer gekrümmten Bahn bewegt, seine Geschwindigkeit tangential ist. Die Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße. Ein Vektor hat einen Zahlenwert und eine Richtung. Die Geschwindigkeit, mit der sich der Körper bewegt, ändert ständig seine Richtung. Das heißt, die Geschwindigkeitsdifferenz zu verschiedenen Zeitpunkten ist im Gegensatz zu einer geradlinigen gleichförmigen Bewegung nicht gleich Null ().

Wir haben also eine Geschwindigkeitsänderung über einen bestimmten Zeitraum. Beziehung zu ist Beschleunigung. Wir kommen zu dem Schluss, dass, auch wenn sich die Geschwindigkeit im Betrag nicht ändert, ein Körper, der sich gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt, eine Beschleunigung hat.

Wohin richtet sich diese Beschleunigung? Betrachten Sie Abb. 3. Einige Körper bewegen sich krummlinig (in einem Bogen). Die Geschwindigkeit des Körpers an den Punkten 1 und 2 ist tangential. Der Körper bewegt sich gleichförmig, das heißt, die Module der Geschwindigkeiten sind gleich: , aber die Richtungen der Geschwindigkeiten stimmen nicht überein.

Reis. 3. Bewegung des Körpers im Kreis

Subtrahiere die Geschwindigkeit von und erhalte den Vektor . Dazu müssen Sie die Anfänge beider Vektoren verbinden. Parallel verschieben wir den Vektor an den Anfang des Vektors . Wir bauen zu einem Dreieck auf. Die dritte Seite des Dreiecks ist der Geschwindigkeitsdifferenzvektor (Abb. 4).

Reis. 4. Geschwindigkeitsdifferenzvektor

Der Vektor ist auf den Kreis gerichtet.

Betrachten Sie ein Dreieck, das durch die Geschwindigkeitsvektoren und den Differenzvektor gebildet wird (Abb. 5).

Reis. 5. Dreieck aus Geschwindigkeitsvektoren

Dieses Dreieck ist gleichschenklig (Geschwindigkeitsmodule sind gleich). Die Winkel an der Basis sind also gleich. Schreiben wir die Gleichung für die Summe der Winkel eines Dreiecks:

Finden Sie heraus, wohin die Beschleunigung an einem bestimmten Punkt der Bahn gerichtet ist. Dazu fangen wir an, Punkt 2 näher an Punkt 1 zu bringen. Mit einer solchen unbegrenzten Sorgfalt tendiert der Winkel zu 0 und der Winkel zu -. Der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsänderungsvektor und dem Geschwindigkeitsvektor selbst ist . Die Geschwindigkeit ist tangential gerichtet, und der Geschwindigkeitsänderungsvektor ist zum Mittelpunkt des Kreises gerichtet. Das bedeutet, dass die Beschleunigung auch zum Kreismittelpunkt gerichtet ist. Deshalb heißt diese Beschleunigung zentripetal.

Wie findet man die Zentripetalbeschleunigung?

Betrachten Sie die Bahn, entlang der sich der Körper bewegt. In diesem Fall ist dies ein Kreisbogen (Abb. 8).

Reis. 8. Bewegung des Körpers im Kreis

Die Abbildung zeigt zwei Dreiecke: ein Dreieck, das durch die Geschwindigkeiten gebildet wird, und ein Dreieck, das durch die Radien und den Verschiebungsvektor gebildet wird. Wenn die Punkte 1 und 2 sehr nahe beieinander liegen, ist der Verschiebungsvektor derselbe wie der Pfadvektor. Beide Dreiecke sind gleichschenklig mit gleichen Eckwinkeln. Die Dreiecke sind also ähnlich. Das bedeutet, dass die entsprechenden Seiten der Dreiecke im gleichen Verhältnis stehen:

Die Verschiebung ist gleich dem Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit: . Wenn Sie diese Formel einsetzen, erhalten Sie den folgenden Ausdruck für die Zentripetalbeschleunigung:

Winkelgeschwindigkeit mit dem griechischen Buchstaben Omega (ω) bezeichnet, gibt er an, um welchen Winkel sich der Körper pro Zeiteinheit dreht (Abb. 9). Dies ist die Größe des Bogens in Grad, den der Körper in einer bestimmten Zeit durchquert.

Reis. 9. Winkelgeschwindigkeit

Beachten Sie, dass, wenn sich ein starrer Körper dreht, die Winkelgeschwindigkeit für alle Punkte auf diesem Körper ein konstanter Wert ist. Der Punkt liegt näher am Rotationszentrum oder weiter entfernt - es spielt keine Rolle, das heißt, es hängt nicht vom Radius ab.

Die Maßeinheit ist in diesem Fall entweder Grad pro Sekunde () oder Radiant pro Sekunde (). Oft wird das Wort "Radiant" nicht geschrieben, sondern einfach geschrieben. Lassen Sie uns zum Beispiel herausfinden, wie groß die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist. Die Erde macht eine volle Umdrehung in einer Stunde, und in diesem Fall können wir sagen, dass die Winkelgeschwindigkeit gleich ist:

Beachten Sie auch den Zusammenhang zwischen Winkel- und Lineargeschwindigkeit:

Die lineare Geschwindigkeit ist direkt proportional zum Radius. Je größer der Radius, desto größer die Lineargeschwindigkeit. Wenn wir uns also vom Rotationszentrum entfernen, erhöhen wir unsere lineare Geschwindigkeit.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Bewegung auf einem Kreis mit konstanter Geschwindigkeit ein Sonderfall der Bewegung ist. Kreisbewegungen können jedoch auch ungleichmäßig sein. Die Geschwindigkeit kann sich nicht nur in Richtung ändern und betragsmäßig gleich bleiben, sondern sich auch in ihrem Wert ändern, d.h. neben der Richtungsänderung findet auch eine Änderung des Geschwindigkeitsmoduls statt. Wir sprechen in diesem Fall von der sogenannten beschleunigten Kreisbewegung.

Was ist ein Radiant?

Es gibt zwei Einheiten zum Messen von Winkeln: Grad und Bogenmaß. In der Physik ist in der Regel das Bogenmaß eines Winkels das wichtigste.

Lassen Sie uns einen zentralen Winkel konstruieren, der auf einem Bogen der Länge beruht.

Mit der geradlinigen Bewegung haben wir in früheren Lektionen mehr oder weniger gelernt, wie man arbeitet, nämlich das Hauptproblem der Mechanik für diese Art von Bewegung zu lösen.

Es ist jedoch klar, dass wir es in der realen Welt am häufigsten mit krummliniger Bewegung zu tun haben, wenn die Trajektorie eine gekrümmte Linie ist. Beispiele für solche Bewegungen sind die Flugbahn eines Körpers, der schräg zum Horizont geworfen wird, die Bewegung der Erde um die Sonne und sogar die Flugbahn Ihrer Augen, die jetzt diesem Abstrakten folgen.

Diese Lektion widmet sich der Frage, wie das Hauptproblem der Mechanik bei krummliniger Bewegung gelöst wird.

Lassen Sie uns zunächst feststellen, welche grundlegenden Unterschiede die krummlinige Bewegung (Abb. 1) gegenüber der geradlinigen aufweist und wozu diese Unterschiede führen.

Reis. 1. Trajektorie der krummlinigen Bewegung

Lassen Sie uns darüber sprechen, wie bequem es ist, die Bewegung eines Körpers während einer krummlinigen Bewegung zu beschreiben.

Sie können die Bewegung in separate Abschnitte unterteilen, auf denen die Bewegung jeweils als geradlinig betrachtet werden kann (Abb. 2).

Reis. 2. Aufteilung der krummlinigen Bewegung in Translationsbewegungen

Der folgende Ansatz ist jedoch bequemer. Wir stellen diese Bewegung als eine Reihe mehrerer Bewegungen entlang von Kreisbögen dar (siehe Abb. 3.). Beachten Sie, dass es weniger solche Partitionen gibt als im vorherigen Fall, außerdem ist die Bewegung entlang des Kreises krummlinig. Darüber hinaus sind Beispiele für Kreisbewegungen in der Natur sehr verbreitet. Daraus können wir schließen:

Um eine krummlinige Bewegung zu beschreiben, muss man lernen, eine Bewegung entlang eines Kreises zu beschreiben, und dann eine willkürliche Bewegung als einen Satz von Bewegungen entlang von Kreisbögen darstellen.

Reis. 3. Aufteilung einer krummlinigen Bewegung in Bewegungen entlang Kreisbögen

Beginnen wir also das Studium der krummlinigen Bewegung mit dem Studium der gleichförmigen Bewegung in einem Kreis. Mal sehen, was die grundlegenden Unterschiede zwischen krummliniger und geradliniger Bewegung sind. Denken Sie zunächst daran, dass wir in der neunten Klasse die Tatsache untersucht haben, dass die Geschwindigkeit eines Körpers, wenn er sich entlang eines Kreises bewegt, tangential zur Bahn gerichtet ist. Übrigens können Sie diese Tatsache in der Praxis beobachten, wenn Sie sich ansehen, wie sich Funken bewegen, wenn Sie einen Schleifstein verwenden.

Betrachten Sie die Bewegung eines Körpers im Kreis (Abb. 4).

Reis. 4. Die Geschwindigkeit des Körpers, wenn er sich im Kreis bewegt

Bitte beachten Sie, dass in diesem Fall der Geschwindigkeitsmodul des Körpers am Punkt A gleich dem Geschwindigkeitsmodul des Körpers am Punkt B ist.

Der Vektor ist jedoch nicht gleich dem Vektor . Wir haben also einen Geschwindigkeitsdifferenzvektor (siehe Abb. 5).

Reis. 5. Geschwindigkeitsunterschied an den Punkten A und B.

Außerdem trat die Geschwindigkeitsänderung nach einer Weile auf. So erhalten wir die bekannte Kombination:

,

es ist nichts anderes als eine zeitliche Änderung der Geschwindigkeit oder die Beschleunigung eines Körpers. Wir können eine sehr wichtige Schlussfolgerung ziehen:

Die Bewegung entlang einer gekrümmten Bahn wird beschleunigt. Die Natur dieser Beschleunigung ist eine kontinuierliche Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors.

Wir stellen noch einmal fest, dass selbst wenn gesagt wird, dass sich der Körper gleichmäßig auf einem Kreis bewegt, dies bedeutet, dass sich der Geschwindigkeitsmodul des Körpers nicht ändert, aber eine solche Bewegung immer beschleunigt wird, da sich die Richtung der Geschwindigkeit ändert.

In der neunten Klasse haben Sie studiert, was diese Beschleunigung ist und wie sie gerichtet ist (siehe Abbildung 6). Die Zentripetalbeschleunigung ist immer auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet, auf dem sich der Körper bewegt.

Reis. 6. Zentripetalbeschleunigung

Der Modul der Zentripetalbeschleunigung kann durch die Formel berechnet werden

Wir wenden uns der Beschreibung der gleichförmigen Bewegung des Körpers im Kreis zu. Lassen Sie uns vereinbaren, dass die Geschwindigkeit, die Sie bei der Beschreibung der Translationsbewegung verwendet haben, jetzt als lineare Geschwindigkeit bezeichnet wird. Und unter linearer Geschwindigkeit verstehen wir die momentane Geschwindigkeit am Punkt der Flugbahn eines rotierenden Körpers.

Reis. 7. Bewegung der Scheibenpunkte

Stellen Sie sich eine Scheibe vor, die sich zur Sicherheit im Uhrzeigersinn dreht. Auf seinem Radius markieren wir zwei Punkte A und B. Und betrachten ihre Bewegung. Nach einiger Zeit bewegen sich diese Punkte entlang der Kreisbögen und werden zu den Punkten A’ und B’. Offensichtlich hat sich Punkt A mehr bewegt als Punkt B. Daraus können wir schließen, dass je weiter der Punkt von der Rotationsachse entfernt ist, desto größer ist die lineare Geschwindigkeit, mit der er sich bewegt.

Sieht man sich aber die Punkte A und B genau an, so kann man sagen, dass der Winkel, um den sie sich relativ zur Rotationsachse O drehten, unverändert geblieben ist – es sind die Winkeleigenschaften, mit denen wir die Bewegung auf einem Kreis beschreiben werden. Beachten Sie, dass Sie verwenden können, um die Bewegung in einem Kreis zu beschreiben Ecke Eigenschaften. Zunächst erinnern wir uns an das Konzept des Winkelmaßes im Bogenmaß.

Ein Winkel von 1 Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

So ist beispielsweise leicht zu erkennen, dass der Winkel bei gleich dem Bogenmaß ist. Und dementsprechend können Sie jeden in Grad angegebenen Winkel in Radiant umwandeln, indem Sie ihn mit multiplizieren und durch dividieren. Der Rotationswinkel bei einer Rotationsbewegung ist ähnlich wie bei einer Translationsbewegung. Beachten Sie, dass das Bogenmaß eine dimensionslose Größe ist:

daher wird die Bezeichnung "rad" oft weggelassen.

Beginnen wir die Betrachtung der Bewegung im Kreis mit dem einfachsten Fall – der gleichförmigen Bewegung im Kreis. Denken Sie daran, dass eine gleichförmige Translationsbewegung eine Bewegung ist, bei der der Körper die gleichen Verschiebungen für alle gleichen Zeitintervalle ausführt. Ebenfalls,

Eine gleichförmige Bewegung auf einem Kreis ist eine Bewegung, bei der sich der Körper für beliebige gleiche Zeitintervalle um dieselben Winkel dreht.

Ähnlich wie das Konzept der Lineargeschwindigkeit wird das Konzept der Winkelgeschwindigkeit eingeführt.

Die Winkelgeschwindigkeit ist eine physikalische Größe, die dem Verhältnis des Winkels entspricht, um den sich der Körper drehte, zu der Zeit, während der diese Drehung stattfand.

Die Winkelgeschwindigkeit wird in Radianten pro Sekunde oder einfach in reziproken Sekunden gemessen.

Finden wir die Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit eines Punktes und der linearen Geschwindigkeit dieses Punktes.

Reis. 9. Zusammenhang zwischen Winkel- und Lineargeschwindigkeit

Punkt A dreht sich um einen Bogen der Länge S und dreht sich gleichzeitig um einen Winkel φ. Aus der Definition des Bogenmaßes eines Winkels können wir das schreiben

Wir teilen den linken und rechten Teil der Gleichung durch das Zeitintervall , für das die Bewegung gemacht wurde, dann verwenden wir die Definition von Winkel- und Lineargeschwindigkeiten

.

Beachten Sie, dass je weiter der Punkt von der Rotationsachse entfernt ist, desto höher ist seine Winkel- und Lineargeschwindigkeit. Und die Punkte, die sich auf der Rotationsachse selbst befinden, sind fixiert. Ein Beispiel hierfür ist ein Karussell: Je näher Sie der Mitte des Karussells sind, desto einfacher können Sie darauf bleiben.

Erinnern Sie sich daran, dass wir früher die Konzepte der Rotationsperiode und -frequenz eingeführt haben.

Die Rotationsdauer ist die Zeit einer vollständigen Umdrehung. Die Rotationsdauer ist durch einen Buchstaben gekennzeichnet und wird im SI-System in Sekunden gemessen:

Rotationsfrequenz - die Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit. Die Frequenz wird durch einen Buchstaben angegeben und in reziproken Sekunden gemessen:

Sie sind verwandt durch:

Es besteht eine Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Rotationsfrequenz des Körpers. Wenn wir uns daran erinnern, dass eine volle Umdrehung ist, ist es leicht zu sehen, dass die Winkelgeschwindigkeit ist:

Wenn wir uns außerdem daran erinnern, wie wir den Begriff des Bogenmaßes definiert haben, wird klar, wie man die lineare Geschwindigkeit eines Körpers mit der Winkelgeschwindigkeit in Beziehung setzt:

.

Schreiben wir auch die Beziehung zwischen der Zentripetalbeschleunigung und diesen Größen auf:

.

Somit kennen wir die Beziehung zwischen allen Eigenschaften der gleichförmigen Bewegung im Kreis.

Fassen wir zusammen. In dieser Lektion haben wir damit begonnen, krummlinige Bewegungen zu beschreiben. Wir haben verstanden, wie man eine krummlinige Bewegung mit einer kreisförmigen Bewegung in Beziehung setzt. Die Kreisbewegung wird immer beschleunigt, und das Vorhandensein von Beschleunigung bewirkt, dass die Geschwindigkeit immer ihre Richtung ändert. Eine solche Beschleunigung wird zentripetal genannt. Schließlich erinnerten wir uns an einige Eigenschaften der Kreisbewegung (Lineargeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Periode und Rotationsfrequenz) und fanden die Beziehung zwischen ihnen.

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1. Enzyklopädie ().
2. Ayp.ru ().
3. Wikipedia ().

Hausaufgaben:

Durch das Lösen der Aufgaben dieser Lektion bereiten Sie sich auf die Fragen 1 des GIA und die Fragen A1, A2 des Einheitlichen Staatsexamens vor.

1. Aufgaben 92, 94, 98, 106, 110 sb. Probleme A. P. Rymkevich ed. zehn ()
2. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Minuten-, Sekunden- und Stundenzeiger der Uhr. Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung, die auf die Spitzen dieser Pfeile wirkt, wenn der Radius jedes Pfeils einen Meter beträgt.
3. Betrachten Sie die folgenden Fragen und ihre Antworten:

Frage: Gibt es Punkte auf der Erdoberfläche, an denen die mit der täglichen Rotation der Erde verbundene Winkelgeschwindigkeit Null ist?

Antworten: Es gibt. Diese Punkte sind die geografischen Pole der Erde. Die Geschwindigkeit an diesen Punkten ist Null, da Sie sich an diesen Punkten auf der Rotationsachse befinden.

Abhängig von der Form der Flugbahn wird die Bewegung in geradlinig und krummlinig unterteilt. In der realen Welt haben wir es meistens mit krummliniger Bewegung zu tun, wenn die Flugbahn eine gekrümmte Linie ist. Beispiele für solche Bewegungen sind die Flugbahn eines Körpers, der schräg zum Horizont geworfen wird, die Bewegung der Erde um die Sonne, die Bewegung der Planeten, das Ende des Uhrzeigers auf dem Zifferblatt usw.

Abbildung 1. Trajektorie und Verschiebung in krummliniger Bewegung

Definition

Eine krummlinige Bewegung ist eine Bewegung, deren Trajektorie eine gekrümmte Linie ist (z. B. ein Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel, eine Parabel). Bei der Bewegung entlang einer krummlinigen Trajektorie ist der Verschiebungsvektor $\overrightarrow(s)$ entlang der Sehne gerichtet (Abb. 1), und l ist die Länge der Trajektorie. Die Momentangeschwindigkeit des Körpers (d. h. die Geschwindigkeit des Körpers an einem bestimmten Punkt der Bahn) ist tangential zu dem Punkt der Bahn gerichtet, an dem sich der bewegte Körper gerade befindet (Abb. 2).

Abbildung 2. Momentane Geschwindigkeit während einer krummlinigen Bewegung

Der folgende Ansatz ist jedoch bequemer. Diese Bewegung kann man sich als Kombination mehrerer Bewegungen entlang der Kreisbögen vorstellen (siehe Abb. 4.). Es gibt weniger solcher Partitionen als im vorherigen Fall, außerdem ist die Bewegung entlang des Kreises selbst krummlinig.

Abbildung 4. Aufteilung einer krummlinigen Bewegung in Bewegungen entlang von Kreisbögen

Fazit

Um eine krummlinige Bewegung zu beschreiben, muss man lernen, eine Bewegung entlang eines Kreises zu beschreiben, und dann eine willkürliche Bewegung als einen Satz von Bewegungen entlang von Kreisbögen darstellen.

Die Aufgabe bei der Untersuchung der krummlinigen Bewegung eines materiellen Punktes besteht darin, eine kinematische Gleichung aufzustellen, die diese Bewegung beschreibt und es erlaubt, unter gegebenen Anfangsbedingungen alle Eigenschaften dieser Bewegung zu bestimmen.