Primzahlen sind eines der interessantesten mathematischen Phänomene, das seit mehr als zwei Jahrtausenden die Aufmerksamkeit von Wissenschaftlern und einfachen Bürgern auf sich gezogen hat. Trotz der Tatsache, dass wir heute im Zeitalter von Computern und modernsten Informationsprogrammen leben, sind viele Geheimnisse der Primzahlen noch nicht gelöst, es gibt sogar solche, an die Wissenschaftler nicht herankommen können.

Primzahlen sind, wie aus dem Ablauf der Grundrechenarten bekannt, solche, die ohne Rest nur durch eins und sich selbst teilbar sind. Übrigens, wenn eine natürliche Zahl zusätzlich zu den oben aufgeführten durch eine andere Zahl teilbar ist, dann nennt man sie zusammengesetzt. Einer der bekanntesten Sätze besagt, dass jede zusammengesetzte Zahl als das einzig mögliche Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann.

Ein paar interessante Fakten. Erstens ist die Einheit in dem Sinne einzigartig, dass sie tatsächlich weder zu Primzahlen noch zu zusammengesetzten Zahlen gehört. Gleichzeitig ist es in der wissenschaftlichen Gemeinschaft immer noch üblich, es der ersten Gruppe zuzuordnen, da es formal seine Anforderungen vollständig erfüllt.

Zweitens ist die einzige gerade Zahl, die sich in die Gruppe der „Primzahlen“ eingeschlichen hat, natürlich die Zwei. Jede andere gerade Zahl kann einfach nicht hierher kommen, da sie per Definition außer sich selbst und eins auch durch zwei teilbar ist.

Primzahlen, deren Liste, wie oben erwähnt, mit Eins beginnen kann, sind eine unendliche Reihe, so unendlich wie die Reihe der natürlichen Zahlen. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Arithmetik kann man zu dem Schluss kommen, dass Primzahlen niemals unterbrochen werden und niemals enden, da sonst die Reihe der natürlichen Zahlen unweigerlich unterbrochen würde.

Primzahlen treten in der natürlichen Reihe nicht zufällig auf, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag. Nachdem Sie sie sorgfältig analysiert haben, können Sie sofort mehrere Merkmale feststellen, von denen die merkwürdigsten mit den sogenannten "Zwillings" -Nummern verbunden sind. Sie werden so genannt, weil sie auf unverständliche Weise nebeneinander gelandet sind, nur durch ein gerades Trennzeichen getrennt (fünf und sieben, siebzehn und neunzehn).

Wenn Sie genau hinsehen, werden Sie feststellen, dass die Summe dieser Zahlen immer ein Vielfaches von drei ist. Außerdem bleibt beim Teilen durch ein Tripel des linken Gefährten der Rest immer eine Zwei und der rechte - eins. Darüber hinaus kann die Verteilung dieser Zahlen entlang der natürlichen Reihe vorhergesagt werden, wenn diese gesamte Reihe in Form von oszillierenden Sinuskurven dargestellt wird, deren Hauptpunkte gebildet werden, wenn die Zahlen durch drei und zwei geteilt werden.

Primzahlen werden nicht nur von Mathematikern auf der ganzen Welt genau unter die Lupe genommen, sondern werden seit langem erfolgreich zur Erstellung verschiedener Zahlenreihen verwendet, die die Grundlage unter anderem für die Chiffrierung bilden. Gleichzeitig sollte anerkannt werden, dass eine Vielzahl von Geheimnissen im Zusammenhang mit diesen wunderbaren Elementen noch darauf warten, gelöst zu werden, viele Fragen haben nicht nur philosophische, sondern auch praktische Bedeutung.

Definition 1. Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch sich selbst und 1 teilbar ist.

Mit anderen Worten, eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie nur zwei verschiedene natürliche Teiler hat.

Definition 2. Jede natürliche Zahl, die außer sich selbst noch andere Teiler hat und Eins heißt zusammengesetzte Zahl.

Mit anderen Worten, natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind, werden zusammengesetzte Zahlen genannt. Definition 1 impliziert, dass eine zusammengesetzte Zahl mehr als zwei natürliche Teiler hat. Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. hat nur einen Teiler 1 und außerdem gelten viele Sätze über Primzahlen nicht für Eins.

Aus den Definitionen 1 und 2 folgt, dass jede positive ganze Zahl größer als 1 entweder eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist.

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Primzahltabelle

Erklärung 1. Wenn ein p ist eine Primzahl und a jede ganze Zahl, dann entweder a geteilt durch p, oder p und a relativ Primzahlen.

Wirklich. Wenn ein p Primzahl, dann ist sie nur durch sich selbst und 1 teilbar, wenn a nicht teilbar durch p, dann der größte gemeinsame Teiler a und p gleich 1. Dann p und a relativ Primzahlen.

Erklärung 2. Ist das Produkt mehrerer Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , ... ist durch eine Primzahl teilbar p, dann mindestens eine der Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , ... ist teilbar durch p.

Wirklich. Wenn keine der Zahlen durch teilbar ist p, dann die Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , ... wären relativ Primzahlen bzgl p. Aber aus Korollar 3 () folgt, dass ihr Produkt a 1 , a 2 , a 3 , ... ist ebenfalls teilerfremd bezüglich p, was der Bedingung der Behauptung widerspricht. Daher ist mindestens eine der Zahlen durch teilbar p.

Satz 1. Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich immer und noch dazu eindeutig als Produkt einer endlichen Anzahl von Primzahlen darstellen.

Nachweisen. Lassen k zusammengesetzte Zahl, und lassen a 1 ist einer seiner Teiler, der sich von 1 und sich selbst unterscheidet. Wenn ein a 1 zusammengesetzt ist, dann hat es zusätzlich zu 1 und a 1 und ein weiterer Teiler a 2. Wenn ein a 2 ist eine zusammengesetzte Zahl, dann hat sie zusätzlich zu 1 und a 2 und ein weiterer Teiler a 3 . Auf diese Weise argumentieren und die Zahlen berücksichtigen a 1 , a 2 , a 3 , ... abnehmen und diese Reihe endlich viele Terme enthält, werden wir eine Primzahl erreichen p ein . Dann k darstellen kann als

Angenommen, es gibt zwei Erweiterungen einer Zahl k:

Als k=p 1 p 2 p 3 ... ist durch eine Primzahl teilbar q 1 , dann beispielsweise mindestens einer der Faktoren p 1 ist teilbar durch q ein . Aber p 1 ist eine Primzahl und nur durch 1 und sich selbst teilbar. Somit p 1 =q 1 (weil q 1 ≠1)

Dann können wir aus (2) ausschließen p 1 und q 1:

Wir stellen also sicher, dass jede Primzahl, die ein- oder mehrmals als Faktor in die erste Entwicklung eintritt, mindestens genauso oft in die zweite Entwicklung eintritt und umgekehrt, jede Primzahl, die in die zweite Entwicklung als Faktor ein- oder mehrmals eintritt Mal kommt auch die erste Erweiterung mindestens genauso oft vor. Daher geht jede Primzahl als Faktor in beide Entwicklungen gleich oft ein und somit sind diese beiden Entwicklungen gleich

Zerlegung einer zusammengesetzten Zahl k kann in folgender Form geschrieben werden

wo p 1 , p 2 , ... verschiedene Primzahlen, α, β, γ ... ganzzahlige positive Zahlen.

Zerlegung (3) wird aufgerufen Kanonische Zerlegung Zahlen.

Primzahlen in der Reihe der natürlichen Zahlen kommen ungleichmäßig vor. In einigen Teilen der Serie gibt es mehr davon, in anderen weniger. Je weiter wir uns entlang der Zahlenreihe bewegen, desto seltener werden die Primzahlen. Die Frage ist, gibt es eine größte Primzahl? Der antike griechische Mathematiker Euklid bewies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Diesen Beweis stellen wir im Folgenden vor.

Satz 2. Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich.

Nachweisen. Angenommen, es gibt eine endliche Anzahl von Primzahlen, und die größte Primzahl sei p. Betrachten wir alle Zahlen p. Nach Annahme der Aussage müssen diese Zahlen zusammengesetzt und durch mindestens eine der Primzahlen teilbar sein. Wählen wir eine Zahl, die das Produkt all dieser Primzahlen plus 1 ist:

Anzahl z mehr p als 2p schon mehr p. p ist durch keine dieser Primzahlen teilbar, da wenn es durch jeden von ihnen dividiert wird, ergibt es einen Rest von 1. Damit kommen wir zu einem Widerspruch. Daher gibt es unendlich viele Primzahlen.

Dieser Satz ist ein Spezialfall eines allgemeineren Satzes:

Satz 3. Gegeben sei eine arithmetische Progression

Dann irgendeine Primzahl rein n, sollte ebenfalls enthalten sein m, also rein n kann keine anderen Primfaktoren enthalten, die nicht in enthalten sind m und darüber hinaus diese Primfaktoren in n erscheinen nicht öfter als in m.

Das Gegenteil ist auch wahr. Wenn jeder Primfaktor einer Zahl n kommt mindestens genauso oft vor m, dann m geteilt durch n.

Erklärung 3. Lassen a 1 ,a 2 ,a 3 ,... verschiedene Primzahlen, die in vorkommen m so

wo ich=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . beachte das ein ich akzeptiert α +1 Werte, β j akzeptiert β +1 Werte, γ k nimmt γ +1 Werte, ... .

• Übersetzung

Die Eigenschaften von Primzahlen wurden zuerst von den Mathematikern des antiken Griechenlands untersucht. Mathematiker der pythagoräischen Schule (500 - 300 v. Chr.) interessierten sich vor allem für die mystischen und numerologischen Eigenschaften der Primzahlen. Sie waren die ersten, die sich Gedanken über perfekte und freundliche Zahlen machten.

Eine vollkommene Zahl hat ihre eigenen Teiler, die gleich sind. Zum Beispiel sind die richtigen Teiler der Zahl 6: 1, 2 und 3. 1 + 2 + 3 = 6. Die Teiler der Zahl 28 sind 1, 2, 4, 7 und 14. Außerdem 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Zahlen werden freundlich genannt, wenn die Summe der echten Teiler einer Zahl gleich einer anderen ist und umgekehrt - zum Beispiel 220 und 284. Wir können sagen, dass eine perfekte Zahl freundlich zu sich selbst ist.

Zum Zeitpunkt des Erscheinens des Werks von Euklids "Anfängen" im Jahr 300 v. Einige wichtige Tatsachen über Primzahlen wurden bereits bewiesen. In Buch IX der Elemente bewies Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dies ist übrigens eines der ersten Beispiele für die Anwendung des Widerspruchsbeweises. Er beweist auch den Grundsatz der Arithmetik – jede ganze Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

Er zeigte auch, dass, wenn die Zahl 2 n -1 eine Primzahl ist, die Zahl 2 n-1 * (2 n -1) perfekt sein wird. Ein anderer Mathematiker, Euler, konnte 1747 zeigen, dass alle geraden vollkommenen Zahlen in dieser Form geschrieben werden können. Bis heute ist nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt.

Im Jahr 200 v. Der Grieche Eratosthenes entwickelte einen Algorithmus zum Auffinden von Primzahlen, der als Sieb des Eratosthenes bezeichnet wird.

Und dann gab es einen großen Bruch in der Geschichte des Studiums der Primzahlen im Zusammenhang mit dem Mittelalter.

Die folgenden Entdeckungen wurden bereits zu Beginn des 17. Jahrhunderts von dem Mathematiker Fermat gemacht. Er bewies die Vermutung von Albert Girard, dass jede Primzahl der Form 4n+1 eindeutig als Summe von zwei Quadraten geschrieben werden kann, und formulierte auch einen Satz, dass jede Zahl als Summe von vier Quadraten dargestellt werden kann.

Er entwickelte eine neue Faktorisierungsmethode für große Zahlen und demonstrierte sie an der Zahl 2027651281 = 44021 × 46061. Er bewies auch den kleinen Satz von Fermat: Wenn p eine Primzahl ist, dann gilt für jede ganze Zahl a, dass a p = a modulo p gilt .

Diese Aussage beweist die Hälfte dessen, was als „chinesische Hypothese“ bekannt ist und 2000 Jahre früher stammt: Eine ganze Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn 2n-2 durch n teilbar ist. Der zweite Teil der Hypothese stellte sich als falsch heraus - zum Beispiel ist 2341 - 2 durch 341 teilbar, obwohl die Zahl 341 zusammengesetzt ist: 341 = 31 × 11.

Der kleine Satz von Fermat war die Grundlage für viele andere Ergebnisse in der Zahlentheorie und Methoden zum Testen, ob Zahlen Primzahlen sind, von denen viele noch heute verwendet werden.

Fermat korrespondierte intensiv mit seinen Zeitgenossen, insbesondere mit einem Mönch namens Marin Mersenne. In einem seiner Briefe vermutete er, dass Zahlen der Form 2 n + 1 immer Primzahlen sind, wenn n eine Zweierpotenz ist. Er testete dies für n = 1, 2, 4, 8 und 16 und war sich sicher, dass, wenn n keine Zweierpotenz ist, die Zahl nicht unbedingt eine Primzahl sein muss. Diese Zahlen werden Fermat-Zahlen genannt, und erst 100 Jahre später zeigte Euler, dass die nächste Zahl, 232 + 1 = 4294967297, durch 641 teilbar und daher keine Primzahl ist.

Auch Zahlen der Form 2 n - 1 waren Gegenstand der Forschung, da man leicht zeigen kann, dass wenn n zusammengesetzt ist, auch die Zahl selbst zusammengesetzt ist. Diese Zahlen werden Mersenne-Zahlen genannt, weil er sie aktiv studiert hat.

Aber nicht alle Zahlen der Form 2 n - 1, wobei n eine Primzahl ist, sind Primzahlen. Zum Beispiel 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Dies wurde erstmals 1536 entdeckt.

Zahlen dieser Art lieferten den Mathematikern viele Jahre lang die größten bekannten Primzahlen. Dass die Zahl M 19 1588 von Cataldi bewiesen wurde und 200 Jahre lang die größte bekannte Primzahl war, bis Euler bewies, dass M 31 auch eine Primzahl ist. Dieser Rekord hielt weitere hundert Jahre, und dann zeigte Lucas, dass M 127 eine Primzahl ist (und das ist bereits eine 39-stellige Zahl), und danach wurde die Forschung mit dem Aufkommen von Computern fortgesetzt.

1952 wurde die Primzahl der Zahlen M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 und M 2281 nachgewiesen.

Bis 2005 wurden 42 Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte von ihnen, M 25964951 , besteht aus 7816230 Ziffern.

Eulers Arbeit hatte einen großen Einfluss auf die Zahlentheorie, einschließlich der Primzahlen. Er erweiterte den kleinen Satz von Fermat und führte die φ-Funktion ein. Zerlegte die 5. Fermat-Zahl 2 32 +1, fand 60 Paare freundlicher Zahlen und formulierte (aber nicht beweisen) das quadratische Gesetz der Reziprozität.

Er führte als erster die Methoden der mathematischen Analyse ein und entwickelte die analytische Zahlentheorie. Er bewies, dass nicht nur die harmonische Reihe ∑ (1/n), sondern auch eine Reihe der Form

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Erhalten durch die Summe von Größen, die zu Primzahlen invers sind, divergiert ebenfalls. Die Summe der n Terme der harmonischen Reihe wächst ungefähr wie log(n), während die zweite Reihe langsamer divergiert, wie log[ log(n) ]. Das bedeutet, dass zum Beispiel die Summe der Kehrwerte aller bisher gefundenen Primzahlen nur 4 ergibt, obwohl die Reihe immer noch divergiert.

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob Primzahlen eher zufällig auf ganze Zahlen verteilt sind. Zum Beispiel gibt es unter den 100 Zahlen unmittelbar vor 10000000 9 Primzahlen und unter den 100 Zahlen unmittelbar nach diesem Wert nur 2. Aber auf großen Segmenten sind Primzahlen ziemlich gleichmäßig verteilt. Legendre und Gauss befassten sich mit ihrer Verbreitung. Gauß hat einmal einem Freund erzählt, dass er in seinen freien 15 Minuten immer die Anzahl der Primzahlen in den nächsten 1000 Zahlen zählt. Am Ende seines Lebens hatte er alle Primzahlen bis 3 Millionen gezählt. Legendre und Gauß berechneten gleichermaßen, dass für große n die Dichte der Primzahlen 1/log(n) ist. Legendre schätzte die Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und n als

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Und Gauß - als logarithmisches Integral

π(n) = / 1/log(t) dt

Mit einem Integrationsintervall von 2 bis n.

Die Aussage über die Dichte der Primzahlen 1/log(n) ist als Primzahlsatz bekannt. Sie versuchten das ganze 19. Jahrhundert hindurch, dies zu beweisen, und Chebyshev und Riemann machten Fortschritte. Sie verbanden sie mit der Riemann-Hypothese, einer bisher unbewiesenen Vermutung über die Verteilung der Nullstellen der Riemann-Zeta-Funktion. Die Dichte der Primzahlen wurde 1896 gleichzeitig von Hadamard und de la Vallée-Poussin bewiesen.

In der Theorie der Primzahlen gibt es noch viele ungelöste Fragen, von denen einige viele hundert Jahre alt sind:

• Primzahlzwillingshypothese - über eine unendliche Anzahl von Paaren von Primzahlen, die sich um 2 voneinander unterscheiden
• Goldbachs Vermutung: Jede gerade Zahl ab 4 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen
• Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n 2 + 1 ?
• ist es immer möglich, eine Primzahl zwischen n 2 und (n + 1) 2 zu finden? (dass es zwischen n und 2n immer eine Primzahl gibt, wurde von Chebyshev bewiesen)
• Gibt es unendlich viele Fermat-Primzahlen? Gibt es Fermat-Primzahlen nach dem 4.?
• Gibt es eine arithmetische Folge aufeinanderfolgender Primzahlen für eine bestimmte Länge? zum Beispiel für Länge 4: 251, 257, 263, 269. Die maximal gefundene Länge ist 26 .
• Gibt es in einer arithmetischen Folge unendlich viele Mengen von drei aufeinanderfolgenden Primzahlen?
• n 2 - n + 41 ist eine Primzahl für 0 ≤ n ≤ 40. Gibt es unendlich viele solcher Primzahlen? Die gleiche Frage für die Formel n 2 - 79 n + 1601. Diese Zahlen sind Primzahlen für 0 ≤ n ≤ 79.
• Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n# + 1? (n# ist das Ergebnis der Multiplikation aller Primzahlen kleiner als n)
• Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n# -1 ?
• Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n! +1?
• Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n! - ein?
• wenn p eine Primzahl ist, gehört 2 p -1 immer nicht zu den Faktoren von quadrierten Primzahlen?
• Enthält die Fibonacci-Folge unendlich viele Primzahlen?

Die größten Primzahlzwillinge sind 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sie bestehen aus 58711 Ziffern und wurden 2007 gefunden.

Die größte Fakultätsprimzahl (von der Form n! ± 1) ist 147855! - 1. Es besteht aus 142891 Ziffern und wurde 2002 gefunden.

Die größte Primzahl (eine Zahl der Form n# ± 1) ist 1098133# + 1.

Liste der Teiler. Per Definition die Zahl n ist nur dann eine Primzahl, wenn sie nicht durch 2 und andere ganze Zahlen außer 1 und sich selbst teilbar ist. Die obige Formel entfernt unnötige Schritte und spart Zeit: Nachdem Sie beispielsweise überprüft haben, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, müssen Sie nicht prüfen, ob sie durch 9 teilbar ist.

• Die Funktion floor(x) rundet x auf die nächste Ganzzahl kleiner oder gleich x.

Erfahren Sie mehr über modulare Arithmetik. Die Operation „x mod y“ (mod ist die Abkürzung für das lateinische Wort „modulo“, was „Modul“ bedeutet) bedeutet „dividiere x durch y und finde den Rest“. Mit anderen Worten, in der modularen Arithmetik wird beim Erreichen eines bestimmten Werts aufgerufen Modul, "drehen" sich die Zahlen zurück auf Null. Zum Beispiel misst eine Uhr die Zeit in Modulus 12: Sie zeigt 10, 11 und 12 Uhr an und kehrt dann zu 1 zurück.

• Viele Taschenrechner haben eine Mod-Taste. Am Ende dieses Abschnitts wird gezeigt, wie diese Funktion für große Zahlen manuell berechnet wird.

Zahlen sind verschieden: natürlich, natürlich, rational, ganzzahlig und gebrochen, positiv und negativ, komplex und prim, ungerade und gerade, reell usw. In diesem Artikel erfährst du, was Primzahlen sind.

Welche Zahlen nennt man das englische Wort „simple“?

Sehr oft wissen Schulkinder nicht, wie sie eine der scheinbar einfachsten Fragen der Mathematik beantworten sollen, was eine Primzahl ist. Sie verwechseln oft Primzahlen mit natürlichen Zahlen (dh den Zahlen, die Menschen beim Zählen von Objekten verwenden, während sie in einigen Quellen bei Null und in anderen bei Eins beginnen). Aber das sind zwei völlig unterschiedliche Konzepte. Primzahlen sind natürliche Zahlen, also ganze und positive Zahlen, die größer als eins sind und nur 2 natürliche Teiler haben. In diesem Fall ist einer dieser Teiler eine bestimmte Zahl und der zweite eine Einheit. Zum Beispiel ist drei eine Primzahl, weil sie durch keine andere Zahl als sich selbst und eins teilbar ist.

Zusammengesetzte Zahlen

Das Gegenteil von Primzahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Sie sind auch natürlich, auch größer als eins, haben aber nicht zwei, sondern mehr Teiler. So sind zum Beispiel die Zahlen 4, 6, 8, 9 usw. natürliche, zusammengesetzte, aber keine Primzahlen. Wie Sie sehen können, sind dies meistens gerade Zahlen, aber nicht alle. Aber die „Zwei“ ist eine gerade Zahl und die „erste Zahl“ in einer Reihe von Primzahlen.

Folge

Um eine Reihe von Primzahlen zu bilden, müssen Sie unter Berücksichtigung ihrer Definition eine Auswahl aus allen natürlichen Zahlen treffen, dh Sie müssen durch Widerspruch handeln. Es ist notwendig, bei jeder der natürlichen positiven Zahlen darauf zu achten, ob sie mehr als zwei Teiler hat. Versuchen wir, eine Reihe (Folge) zu bilden, die aus Primzahlen besteht. Die Liste beginnt mit zwei, dann kommt drei, da sie nur durch sich selbst und eins teilbar ist. Betrachten Sie die Nummer vier. Hat es andere Teiler als vier und eins? Ja, diese Zahl ist 2. Vier ist also keine Primzahl. Fünf ist auch eine Primzahl (außer 1 und 5 ist sie durch keine andere Zahl teilbar), aber sechs ist teilbar. Und im Allgemeinen, wenn Sie alle geraden Zahlen verfolgen, werden Sie feststellen, dass außer „zwei“ keine von ihnen eine Primzahl ist. Daraus schließen wir, dass gerade Zahlen, außer zwei, keine Primzahlen sind. Eine weitere Entdeckung: Alle Zahlen, die durch drei teilbar sind, außer dem Tripel selbst, ob gerade oder ungerade, sind auch keine Primzahlen (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 usw.). Dasselbe gilt für Zahlen, die durch fünf und sieben teilbar sind. Ihr ganzes Set ist auch nicht einfach. Fassen wir zusammen. Alle ungeraden Zahlen außer Eins und Neun gehören also zu einfachen einstelligen Zahlen und nur „Zwei“ zu geraden. Die Zehner selbst (10, 20, ... 40 usw.) sind keine Primzahlen. Zweistellige, dreistellige usw. Primzahlen können nach den oben genannten Prinzipien definiert werden: wenn sie keine anderen Teiler als sich selbst und Eins haben.

Theorien über die Eigenschaften von Primzahlen

Es gibt eine Wissenschaft, die die Eigenschaften von ganzen Zahlen, einschließlich Primzahlen, untersucht. Dies ist ein Zweig der Mathematik, der als höher bezeichnet wird. Neben den Eigenschaften ganzer Zahlen beschäftigt sie sich auch mit algebraischen, transzendenten Zahlen, sowie mit der Arithmetik dieser Zahlen zusammenhängenden Funktionen unterschiedlicher Herkunft. In diesen Studien werden neben elementaren und algebraischen Methoden auch analytische und geometrische verwendet. Insbesondere befasst sich das Studium der Primzahlen mit "Zahlentheorie".

Primzahlen sind die „Bausteine“ der natürlichen Zahlen

In der Arithmetik gibt es einen Satz, der Hauptsatz genannt wird. Demnach kann jede natürliche Zahl außer Eins als Produkt dargestellt werden, dessen Faktoren Primzahlen sind und die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist, was bedeutet, dass die Darstellungsmethode eindeutig ist. Man nennt es die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Primfaktoren. Es gibt einen anderen Namen für diesen Prozess - Faktorisierung von Zahlen. Davon ausgehend kann man Primzahlen „Baustoff“, „Klötzchen“ zum Bau natürlicher Zahlen nennen.

Suche nach Primzahlen. Einfachheitstests

Viele Wissenschaftler verschiedener Zeiten versuchten, einige Prinzipien (Systeme) zum Auffinden einer Liste von Primzahlen zu finden. Die Wissenschaft kennt Systeme, die Atkin-Sieb, Sundartam-Sieb, Eratosthenes-Sieb genannt werden. Sie liefern jedoch keine signifikanten Ergebnisse, und es wird ein einfacher Test verwendet, um Primzahlen zu finden. Algorithmen wurden auch von Mathematikern entwickelt. Sie werden Primzahltests genannt. Beispielsweise gibt es einen von Rabin und Miller entwickelten Test. Es wird von Kryptographen verwendet. Es gibt auch einen Kayala-Agrawala-Saskena-Test. Sie ist jedoch trotz ausreichender Genauigkeit sehr schwer zu berechnen, was ihren praktischen Wert mindert.

Hat die Menge der Primzahlen eine Grenze?

Die Tatsache, dass die Menge der Primzahlen unendlich ist, wurde in dem Buch „Anfänge“ des antiken griechischen Wissenschaftlers Euklid geschrieben. Er sagte Folgendes: „Stellen wir uns für einen Moment vor, dass Primzahlen eine Grenze haben. Dann multiplizieren wir sie miteinander und addieren eins zum Produkt. Die als Ergebnis dieser einfachen Operationen erhaltene Zahl kann durch keine der Reihen von Primzahlen teilbar sein, da der Rest immer eins sein wird. Und das bedeutet, dass es noch eine andere Zahl gibt, die noch nicht in der Liste der Primzahlen enthalten ist. Daher ist unsere Annahme nicht wahr, und diese Menge kann keine Grenze haben. Zusätzlich zu Euklids Beweis gibt es eine modernere Formel des Schweizer Mathematikers Leonhard Euler aus dem 18. Jahrhundert. Nach ihm wächst die Summe, der Kehrwert der Summe der ersten n Zahlen, mit dem Wachstum der Zahl n ins Unendliche. Und hier ist die Formel des Satzes zur Verteilung der Primzahlen: (n) wächst wie n / ln (n).

Was ist die größte Primzahl?

Immerhin gelang es Leonard Euler, die größte Primzahl seiner Zeit zu finden. Dies ist 2 31 - 1 = 2147483647. Bis 2013 wurde jedoch eine weitere genaueste größte in der Liste der Primzahlen berechnet - 2 57885161 - 1. Sie wird Mersenne-Zahl genannt. Es enthält etwa 17 Millionen Dezimalstellen. Wie Sie sehen können, ist die Zahl, die ein Wissenschaftler aus dem 18. Jahrhundert gefunden hat, um ein Vielfaches kleiner. Es hätte so sein müssen, denn Euler hat diese Berechnung manuell durchgeführt, aber unserem Zeitgenossen wurde wahrscheinlich von einem Computer geholfen. Außerdem wurde diese Nummer an der Fakultät für Mathematik in einer der amerikanischen Fakultäten erhalten. Zahlen, die nach diesem Wissenschaftler benannt sind, bestehen den Luc-Lehmer-Primzahltest. Dabei will die Wissenschaft aber nicht stehen bleiben. Die Electronic Frontier Foundation, die 1990 in den Vereinigten Staaten von Amerika (EFF) gegründet wurde, hat eine finanzielle Belohnung für das Auffinden großer Primzahlen ausgesetzt. Und wenn der Preis bis 2013 jenen Wissenschaftlern verliehen wurde, die sie zwischen 1 und 10 Millionen Dezimalzahlen finden, hat diese Zahl heute 100 Millionen bis 1 Milliarde erreicht. Die Preise reichen von 150 bis 250.000 US-Dollar.

Namen spezieller Primzahlen

Diese Zahlen, die dank Algorithmen bestimmter Wissenschaftler gefunden wurden und den Einfachheitstest bestanden haben, werden als speziell bezeichnet. Hier sind einige davon:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Die Einfachheit dieser nach den oben genannten Wissenschaftlern benannten Zahlen wird mit folgenden Tests festgestellt:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart – Lehmer – Selfridge und andere.

Die moderne Wissenschaft hört hier nicht auf, und wahrscheinlich wird die Welt in naher Zukunft die Namen derjenigen kennen, die durch das Finden der größten Primzahl einen Preis von 250.000 Dollar gewinnen konnten.