- die Anzahl der Jungen unter 10 Neugeborenen.

Es ist ziemlich klar, dass diese Zahl nicht im Voraus bekannt ist, und in den nächsten zehn geborenen Kindern kann es sein:

Oder Jungs - der eine und einzige der aufgeführten Optionen.

Und um fit zu bleiben, ein bisschen Sportunterricht:

- Weitsprungdistanz (in einigen Einheiten).

Selbst der Meister des Sports kann es nicht vorhersagen :)

Aber was sind Ihre Hypothesen?

2) Kontinuierliche Zufallsvariable - dauert alles numerische Werte aus einem endlichen oder unendlichen Bereich.

Notiz : Abkürzungen DSV und NSV sind in der pädagogischen Literatur beliebt

Lassen Sie uns zuerst eine diskrete Zufallsvariable analysieren, dann - kontinuierlich.

Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen

- Das Konformität zwischen den möglichen Werten dieser Größe und ihren Wahrscheinlichkeiten. Meistens wird das Gesetz in eine Tabelle geschrieben:

Der Begriff ist recht geläufig Reihe Verteilung, aber in manchen Situationen klingt es zweideutig, und deshalb werde ich mich an das "Gesetz" halten.

Und jetzt sehr wichtiger Punkt: da die Zufallsvariable Notwendig wird akzeptieren einer der Werte, dann bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe und die Summe der Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens gleich eins ist:

oder, falls gefaltet geschrieben:

So hat zum Beispiel das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Würfelpunkten folgende Form:

Keine Kommentare.

Sie haben vielleicht den Eindruck, dass eine diskrete Zufallsvariable nur "gute" ganzzahlige Werte annehmen kann. Lassen Sie uns die Illusion zerstreuen - sie können alles sein:

Beispiel 1

Einige Spiele haben das folgende Auszahlungsverteilungsgesetz:

…wahrscheinlich träumen Sie schon lange von solchen Aufgaben :) Lassen Sie mich Ihnen ein Geheimnis verraten – ich auch. Vor allem nach Arbeitsende Feldtheorie.

Entscheidung: Da eine Zufallsvariable nur einen von drei Werten annehmen kann, bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe, was bedeutet, dass die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins ist:

Wir entlarven den "Partisanen":

– die Wahrscheinlichkeit, herkömmliche Einheiten zu gewinnen, beträgt also 0,4.

Kontrolle: Was Sie sicherstellen müssen.

Antworten:

Nicht selten muss das Vertriebsrecht eigenständig erstellt werden. Für diesen Einsatz Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, Multiplikations-/Additionssätze für Ereigniswahrscheinlichkeiten und andere Chips tervera:

Beispiel 2

In der Schachtel befinden sich 50 Lottoscheine, von denen 12 gewinnen, und 2 von ihnen gewinnen jeweils 1000 Rubel und der Rest - jeweils 100 Rubel. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable - die Höhe des Gewinns, wenn ein Ticket zufällig aus der Box gezogen wird.

Entscheidung: Wie Sie bemerkt haben, ist es üblich, die Werte einer Zufallsvariablen einzugeben aufsteigende Reihenfolge. Deshalb beginnen wir mit den kleinsten Gewinnen, nämlich Rubel.

Insgesamt gibt es 50 - 12 = 38 solcher Tickets, und gem klassische Definition:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogenes Los nicht gewinnt.

Die restlichen Fälle sind einfach. Die Wahrscheinlichkeit, Rubel zu gewinnen, beträgt:

Prüfen: - und das ist ein besonders angenehmer Moment bei solchen Aufgaben!

Antworten: das erforderliche Auszahlungsverteilungsgesetz:

Die folgende Aufgabe für eine unabhängige Entscheidung:

Beispiel 3

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, ist . Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable - die Anzahl der Treffer nach 2 Schüssen.

... Ich wusste, dass du ihn vermisst hast :) Wir erinnern uns Multiplikations- und Additionstheoreme. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Das Verteilungsgesetz beschreibt eine Zufallsvariable vollständig, aber in der Praxis ist es nützlich (und manchmal nützlicher), nur einen Teil davon zu kennen. numerische Merkmale .

Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

In einfachen Worten, dies durchschnittlicher Erwartungswert mit wiederholtem Testen. Lassen Sie eine Zufallsvariable Werte mit Wahrscheinlichkeiten annehmen bzw. Dann ist der mathematische Erwartungswert dieser Zufallsvariablen gleich Summe der Werke alle seine Werte durch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

oder in gefalteter Form:

Berechnen wir zum Beispiel die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen - die Anzahl der Punkte, die auf einen Würfel fallen:

Erinnern wir uns nun an unser hypothetisches Spiel:

Es stellt sich die Frage: Ist es überhaupt rentabel, dieses Spiel zu spielen? ... wer hat irgendwelche Eindrücke? „Spontan“ kann man also nicht sagen! Aber diese Frage kann leicht beantwortet werden, indem man im Wesentlichen die mathematische Erwartung berechnet - gewichteter Durchschnitt Gewinnwahrscheinlichkeiten:

So die mathematische Erwartung dieses Spiels verlieren.

Vertrauen Sie keinen Eindrücken - vertrauen Sie Zahlen!

Ja, hier kann man 10 oder sogar 20-30 mal hintereinander gewinnen, aber auf Dauer werden wir unweigerlich ruiniert. Und ich würde dir nicht raten, solche Spiele zu spielen :) Naja, vielleicht nur zum Spass.

Aus alledem folgt, dass die mathematische Erwartung KEIN ZUFÄLLIGER Wert ist.

Kreative Aufgabe zur eigenständigen Recherche:

Beispiel 4

Herr X spielt Europäisches Roulette nach folgendem System: Er setzt ständig 100 Rubel auf Rot. Verfassen Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen - ihre Auszahlung. Berechnen Sie die mathematische Gewinnerwartung und runden Sie sie auf Kopeken auf. Wie viel im mittleren verliert der Spieler für jede hundert Wette?

Referenz : Europäisches Roulette enthält 18 rote, 18 schwarze und 1 grünen Sektor ("Null"). Fällt ein „Rot“ aus, bekommt der Spieler einen doppelten Einsatz ausgezahlt, ansonsten geht es an die Einnahmen des Casinos

Es gibt viele andere Roulette-Systeme, für die Sie Ihre eigenen Wahrscheinlichkeitstabellen erstellen können. Dies ist aber der Fall, wenn wir keine Verteilungsgesetze und -tabellen benötigen, weil feststeht, dass die mathematische Erwartung des Spielers genau dieselbe sein wird. Ändert sich nur von System zu System

Es wird auch Aufgaben für eine eigenständige Lösung geben, zu denen Sie die Antworten sehen können.

Mathematischer Erwartungswert und Varianz sind die am häufigsten verwendeten numerischen Merkmale einer Zufallsvariablen. Sie charakterisieren die wichtigsten Merkmale der Verteilung: ihre Position und ihren Streuungsgrad. Die mathematische Erwartung wird oft einfach als Mittelwert bezeichnet. zufällige Variable. Streuung einer Zufallsvariablen - ein Merkmal der Streuung, Streuung einer Zufallsvariablen um seine mathematische Erwartung.

Bei vielen Problemen der Praxis ist eine vollständige, erschöpfende Beschreibung einer Zufallsvariablen - des Verteilungsgesetzes - entweder nicht zu erhalten oder wird überhaupt nicht benötigt. Sie beschränken sich in diesen Fällen auf die näherungsweise Beschreibung einer Zufallsvariablen durch numerische Merkmale.

Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Kommen wir zum Konzept der mathematischen Erwartung. Die Masse eines Stoffes sei auf die Punkte der x-Achse verteilt x1 , x 2 , ..., x n. Außerdem hat jeder materielle Punkt eine Masse, die ihm mit einer Wahrscheinlichkeit von entspricht p1 , p 2 , ..., p n. Es ist erforderlich, einen Punkt auf der x-Achse auszuwählen, der die Position des gesamten Systems materieller Punkte unter Berücksichtigung ihrer Massen charakterisiert. Es liegt nahe, als solchen Punkt den Schwerpunkt des Systems materieller Punkte zu nehmen. Dies ist der gewichtete Durchschnitt der Zufallsvariablen X, in der die Abszisse jedes Punktes ist xich tritt mit einem "Gewicht" gleich der entsprechenden Wahrscheinlichkeit ein. Der so erhaltene Mittelwert der Zufallsvariablen X wird als mathematischer Erwartungswert bezeichnet.

Der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte:

Beispiel 1 Organisierte eine Win-Win-Lotterie. Es gibt 1000 Gewinne, von denen 400 jeweils 10 Rubel sind. 300 - 20 Rubel pro Stück 200 - 100 Rubel pro Stück. und jeweils 100 - 200 Rubel. Was ist der durchschnittliche Gewinn für eine Person, die ein Ticket kauft?

Entscheidung. Wir finden den durchschnittlichen Gewinn, wenn die Gesamtgewinnsumme, die 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 Rubel entspricht, durch 1000 dividiert wird (die Gesamtgewinnsumme). Dann bekommen wir 50000/1000 = 50 Rubel. Der Ausdruck zur Berechnung des durchschnittlichen Gewinns kann aber auch in folgender Form dargestellt werden:

Andererseits ist die Höhe des Gewinns unter diesen Bedingungen eine Zufallsvariable, die die Werte von 10, 20, 100 und 200 Rubel annehmen kann. mit Wahrscheinlichkeiten von jeweils 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Daher ist die erwartete durchschnittliche Auszahlung gleich der Summe der Produkte aus der Höhe der Auszahlungen und der Wahrscheinlichkeit, sie zu erhalten.

Beispiel 2 Der Verlag beschloss, ein neues Buch zu veröffentlichen. Er wird das Buch für 280 Rubel verkaufen, von denen 200 an ihn, 50 an die Buchhandlung und 30 an den Autor gehen. Die Tabelle gibt Auskunft über die Kosten für die Veröffentlichung eines Buches und die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Exemplaren des Buches zu verkaufen.

Ermitteln Sie den erwarteten Gewinn des Publishers.

Entscheidung. Die Zufallsvariable „Gewinn“ ist gleich der Differenz zwischen dem Erlös aus dem Verkauf und den Kosten der Kosten. Wenn beispielsweise 500 Exemplare eines Buches verkauft werden, betragen die Einnahmen aus dem Verkauf 200 * 500 = 100.000 und die Veröffentlichungskosten 225.000 Rubel. Damit droht dem Verlag ein Verlust von 125.000 Rubel. Die folgende Tabelle fasst die erwarteten Werte der Zufallsvariablen - Gewinn zusammen:

Anzahl	Profitieren xich	Wahrscheinlichkeit pich	xich p ich
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Gesamt:		1,00	25000

Damit erhalten wir die mathematische Erwartung des Verlagsgewinns:

.

Beispiel 3 Chance, mit einem Schuss zu treffen p= 0,2. Bestimmen Sie den Verbrauch von Granaten, die die mathematische Erwartung einer Trefferzahl von 5 liefern.

Entscheidung. Aus derselben Erwartungsformel, die wir bisher verwendet haben, drücken wir aus x- Verbrauch von Muscheln:

.

Beispiel 4 Bestimmen Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen x Anzahl der Treffer bei drei Schüssen, wenn die Wahrscheinlichkeit, mit jedem Schuss zu treffen p = 0,4 .

Tipp: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit der Werte einer Zufallsvariablen heraus Bernoulli-Formel .

Erwartungseigenschaften

Betrachten Sie die Eigenschaften der mathematischen Erwartung.

Eigentum 1. Die mathematische Erwartung eines konstanten Werts ist gleich dieser Konstante:

Eigenschaft 2. Der konstante Faktor kann aus dem Erwartungszeichen herausgenommen werden:

Eigenschaft 3. Die mathematische Erwartung der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer mathematischen Erwartung:

Eigenschaft 4. Die mathematische Erwartung des Produkts von Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:

Eigenschaft 5. Wenn alle Werte der Zufallsvariablen X um die gleiche Zahl verringern (erhöhen). Mit, dann verringert (erhöht) sich seine mathematische Erwartung um dieselbe Zahl:

Wenn Sie sich nicht nur auf mathematische Erwartungen beschränken können

In den meisten Fällen kann nur die mathematische Erwartung eine Zufallsvariable nicht angemessen charakterisieren.

Lassen Sie Zufallsvariablen X und Y sind durch folgende Verteilungsgesetze gegeben:

Bedeutung X	Wahrscheinlichkeit
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Bedeutung Y	Wahrscheinlichkeit
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Die mathematischen Erwartungen dieser Größen sind die gleichen - gleich Null:

Ihre Verteilung ist jedoch unterschiedlich. Zufallswert X kann nur Werte annehmen, die sich geringfügig von der mathematischen Erwartung und der Zufallsvariablen unterscheiden Y kann Werte annehmen, die deutlich von der mathematischen Erwartung abweichen. Ein ähnliches Beispiel: Der Durchschnittslohn lässt keine Aussage über den Anteil von Hoch- und Niedrigverdienern zu. Mit anderen Worten, durch mathematische Erwartung kann man nicht beurteilen, welche Abweichungen davon zumindest im Durchschnitt möglich sind. Dazu müssen Sie die Varianz einer Zufallsvariablen ermitteln.

Streuung einer diskreten Zufallsvariablen

Streuung diskrete Zufallsvariable X heißt der mathematische Erwartungswert des Quadrats seiner Abweichung vom mathematischen Erwartungswert:

Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X ist der arithmetische Wert der Quadratwurzel seiner Varianz:

.

Beispiel 5 Berechnen Sie Varianzen und Standardabweichungen von Zufallsvariablen X und Y, deren Verteilungsgesetze in den obigen Tabellen angegeben sind.

Entscheidung. Mathematische Erwartungen an Zufallsvariablen X und Y, wie oben festgestellt, gleich Null sind. Nach der Dispersionsformel für E(X)=E(j)=0 erhalten wir:

Dann die Standardabweichungen von Zufallsvariablen X und Y bilden

.

Also bei gleichen mathematischen Erwartungen die Varianz der Zufallsvariablen X sehr klein und willkürlich Y- von Bedeutung. Dies ist eine Folge der unterschiedlichen Verteilung.

Beispiel 6 Der Investor hat 4 alternative Investitionsprojekte. Die Tabelle fasst die Daten zum erwarteten Gewinn in diesen Projekten mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit zusammen.

Projekt 1	Projekt 2	Projekt 3	Projekt 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Finden Sie für jede Alternative den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Entscheidung. Lassen Sie uns zeigen, wie diese Größen für die 3. Alternative berechnet werden:

Die Tabelle fasst die gefundenen Werte für alle Alternativen zusammen.

Alle Alternativen haben die gleiche mathematische Erwartung. Das bedeutet, dass langfristig alle das gleiche Einkommen haben. Die Standardabweichung kann als Risikomaß interpretiert werden – je größer sie ist, desto größer ist das Risiko der Investition. Ein Investor, der kein großes Risiko eingehen möchte, wird Projekt 1 wählen, weil es die kleinste Standardabweichung (0) hat. Wenn der Investor Risiko und hohe Renditen in kurzer Zeit bevorzugt, wählt er das Projekt mit der größten Standardabweichung - Projekt 4.

Dispersionseigenschaften

Lassen Sie uns die Eigenschaften der Dispersion darstellen.

Eigentum 1. Die Streuung eines konstanten Wertes ist Null:

Eigenschaft 2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem Streuungszeichen herausnehmen, indem man ihn quadriert:

.

Eigenschaft 3. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist gleich der mathematischen Erwartung des Quadrats dieses Werts, von der das Quadrat der mathematischen Erwartung des Werts selbst abgezogen wird:

,

wo .

Eigenschaft 4. Die Varianz der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Varianzen:

Beispiel 7 Es ist bekannt, dass eine diskrete Zufallsvariable X nimmt nur zwei Werte an: −3 und 7. Außerdem ist die mathematische Erwartung bekannt: E(X) = 4 . Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen.

Entscheidung. Bezeichne mit p die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable einen Wert annimmt x1 = −3 . Dann die Wahrscheinlichkeit des Wertes x2 = 7 wird 1 − sein p. Lassen Sie uns die Gleichung für die mathematische Erwartung herleiten:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

woher wir die Wahrscheinlichkeiten bekommen: p= 0,3 und 1 − p = 0,7 .

Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Die Varianz dieser Zufallsvariablen berechnen wir mit der Formel aus Eigenschaft 3 der Varianz:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Finden Sie selbst den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen und sehen Sie sich dann die Lösung an

Beispiel 8 Diskrete Zufallsvariable X nimmt nur zwei Werte an. Es nimmt den größeren Wert 3 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 an. Außerdem ist die Varianz der Zufallsvariablen bekannt D(X) = 6 . Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen.

Beispiel 9 Eine Urne enthält 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. 3 Kugeln werden aus der Urne genommen. Die Anzahl der weißen Kugeln unter den gezogenen Kugeln ist eine diskrete Zufallsvariable X. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen.

Entscheidung. Zufallswert X kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Daraus lassen sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten. Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Daher die mathematische Erwartung dieser Zufallsvariablen:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Die Varianz einer gegebenen Zufallsvariablen ist:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Mathematische Erwartung und Streuung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Für eine kontinuierliche Zufallsvariable behält die mechanische Interpretation der mathematischen Erwartung die gleiche Bedeutung: der Massenschwerpunkt für eine Einheitsmasse, die kontinuierlich auf der x-Achse mit Dichte verteilt ist f(x). Im Gegensatz zu einer diskreten Zufallsvariablen, für die das Funktionsargument xichändert sich abrupt, bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ändert sich das Argument kontinuierlich. Aber auch der mathematische Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen hängt mit ihrem Mittelwert zusammen.

Um den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu finden, müssen Sie bestimmte Integrale finden . Ist eine Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen gegeben, so geht sie direkt in den Integranden ein. Wenn eine Wahrscgegeben ist, müssen Sie durch Differenzieren die Dichtefunktion finden.

Das arithmetische Mittel aller möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird als sein bezeichnet mathematische Erwartung, gekennzeichnet durch oder .

Das vollständigste Merkmal einer Zufallsvariablen ist ihr Verteilungsgesetz. Allerdings ist es nicht immer bekannt, und in diesen Fällen muss man sich mit weniger Informationen begnügen. Zu diesen Informationen können gehören: der Schwankungsbereich einer Zufallsvariablen, ihr größter (kleinster) Wert, einige andere Merkmale, die eine Zufallsvariable auf eine zusammenfassende Weise beschreiben. Alle diese Größen werden aufgerufen numerische Merkmale zufällige Variable. Normalerweise sind das einige nicht zufällig Zahlen, die irgendwie eine Zufallsvariable charakterisieren. Der Hauptzweck numerischer Merkmale besteht darin, die wichtigsten Merkmale einer bestimmten Verteilung in prägnanter Form auszudrücken.

Das einfachste numerische Merkmal einer Zufallsvariablen X hab sie angerufen erwarteter Wert:

M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)

Hier x 1, x 2, …, x n sind die möglichen Werte der Zufallsvariablen X, a S. 1, S. 2, …, p n sind ihre Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel 1 Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen, wenn ihr Verteilungsgesetz bekannt ist:

Entscheidung. M(X) = 2 × 0,3 + 3 × 0,1 + 5 × 0,6 = 3,9.

Beispiel 2. Finden Sie die mathematische Erwartung für die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses SONDERN in einem Versuch, wenn die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist R.

Entscheidung. Wenn ein X– Häufigkeit des Ereignisses SONDERN in einem Prozess dann offenbar das Verteilungsrecht X sieht aus wie:

Dann Ü(Õ)=0×(1–ð)+1×ð=ð.

Also: Die mathematische Erwartung der Anzahl der Vorkommen eines Ereignisses in einem Versuch ist gleich seiner Wahrscheinlichkeit.

Probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung

Produzieren lassen n Tests, bei denen die Zufallsvariable X akzeptiert m 1 mal Wert x 1, m2 mal Wert x 2, …, m k mal Wert x k. Dann die Summe aller Werte rein n Tests ist gleich:

x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.

Lassen Sie uns das arithmetische Mittel aller Werte finden, die von der Zufallsvariablen genommen werden:

Werte - relative Häufigkeiten des Auftretens von Werten x ich (i=1, …, k). Wenn ein n groß genug (n®¥), dann sind diese Häufigkeiten ungefähr gleich den Wahrscheinlichkeiten: . Aber dann

=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).

Somit ist die mathematische Erwartung ungefähr gleich (je genauer, desto größer die Anzahl der Versuche) dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen. Dies ist die probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung.

Erwartungseigenschaften

1. Der mathematische Erwartungswert einer Konstante ist gleich der Konstante selbst.

M(S)=S×1=S.

2. Aus dem Erwartungszeichen kann ein konstanter Faktor genommen werden

M(CX)=S×M(X).

Nachweisen. Lassen Sie das Verteilungsgesetz X durch Tabelle gegeben:

Dann die Zufallsvariable Sch nimmt Werte an Dx1, CX2, …, Сх n mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten, d.h. Vertriebsrecht Sch sieht aus wie:

М(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =

\u003d C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d CM (X).

3. Die mathematische Erwartung des Produkts zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:

M(XY)=M(X)×M(Y).

Diese Behauptung wird ohne Beweis gegeben (der Beweis basiert auf der Definition der Erwartung).

Folge. Der mathematische Erwartungswert des Produkts mehrerer voneinander unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungswerte.

Insbesondere für drei unabhängige Zufallsvariablen

M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).

Beispiel. Finden Sie die mathematische Erwartung des Produkts der Anzahl der Punkte, die beim Werfen von zwei Würfeln fallen können.

Entscheidung. Lassen Ich- Anzahl der Punkte ich Knochen. Das können Zahlen sein 1 , 2 , …, 6 mit Wahrscheinlichkeiten. Dann

Ì(Õ i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .

Lassen X \u003d X 1 × X 2. Dann

M (X) \u003d M (X 1) × M (X 2) \u003d \u003d 12,25.

4. Der mathematische Erwartungswert der Summe zweier Zufallsvariablen (unabhängig oder abhängig) ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungswerte der Terme:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Diese Eigenschaft wird auf den Fall einer beliebigen Anzahl von Termen verallgemeinert.

Beispiel. 3 Schüsse werden abgefeuert mit Wahrscheinlichkeiten, das Ziel gleich zu treffen p 1 \u003d 0,4, p 2 \u003d 0,3 und p 3 \u003d 0,6. Finden Sie die mathematische Erwartung der Gesamtzahl der Treffer.

Entscheidung. Lassen Ich- Anzahl der Treffer ich-ter Schuss. Dann

Ì(Õ i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.

Auf diese Weise,

M(X 1 + X 2 + X 3) \u003d \u003d 0,4 + 0,3 + 0,6 \u003d 1,3.

Das Konzept der mathematischen Erwartung kann am Beispiel des Würfelns betrachtet werden. Bei jedem Wurf werden die abgelegten Punkte aufgezeichnet. Um sie auszudrücken, werden natürliche Werte im Bereich von 1 - 6 verwendet.

Nach einer bestimmten Anzahl von Würfen können Sie mit einfachen Berechnungen das arithmetische Mittel der gefallenen Punkte ermitteln.

Dieser Wert wird nicht nur alle Bereichswerte fallen lassen, sondern auch zufällig sein.

Und wenn Sie die Anzahl der Würfe mehrmals erhöhen? Bei einer großen Anzahl von Würfen nähert sich der arithmetische Mittelwert der Punkte einer bestimmten Zahl an, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie als mathematischer Erwartungswert bezeichnet wird.

Der mathematische Erwartungswert wird also als Mittelwert einer Zufallsvariablen verstanden. Dieser Indikator kann auch als gewichtete Summe wahrscheinlicher Werte dargestellt werden.

Dieses Konzept hat mehrere Synonyme:

• mittlere Bedeutung;
• Durchschnittswert;
• zentraler Trendindikator;
• ersten Moment.

Mit anderen Worten, es ist nichts anderes als eine Zahl, um die die Werte einer Zufallsvariablen verteilt sind.

In verschiedenen Bereichen menschlicher Aktivität werden Ansätze zum Verständnis der mathematischen Erwartung etwas unterschiedlich sein.

Es kann angezeigt werden als:

• der durchschnittliche Nutzen aus der Annahme einer Entscheidung, wenn eine solche Entscheidung vom Standpunkt der Theorie der großen Zahlen aus betrachtet wird;
• die mögliche Höhe des Gewinns oder Verlustes (Glücksspieltheorie), berechnet im Durchschnitt für jede der Wetten. Im Slang klingen sie wie „Spielervorteil“ (positiv für den Spieler) oder „Kasinovorteil“ (negativ für den Spieler);
• Prozentsatz des Gewinns aus Gewinnen.

Der mathematische Erwartungswert ist nicht für absolut alle Zufallsvariablen obligatorisch. Es fehlt für diejenigen, die eine Diskrepanz in der entsprechenden Summe oder dem Integral haben.

Erwartungseigenschaften

Wie jeder statistische Parameter hat die mathematische Erwartung die folgenden Eigenschaften:

Grundformeln für mathematische Erwartung

Die Berechnung des mathematischen Erwartungswerts kann sowohl für Zufallsvariablen durchgeführt werden, die sowohl durch Stetigkeit (Formel A) als auch durch Diskretion (Formel B) gekennzeichnet sind:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, wobei xi die Werte der Zufallsvariablen, pi die Wahrscheinlichkeiten sind:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, wobei f(x) eine gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

Beispiele zur Berechnung der mathematischen Erwartung

Beispiel A.

Ist es möglich, die durchschnittliche Größe der Zwerge im Märchen von Schneewittchen herauszufinden? Es ist bekannt, dass jeder der 7 Zwerge eine bestimmte Größe hatte: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 und 0,81 m.

Der Berechnungsalgorithmus ist ganz einfach:

• Finden Sie die Summe aller Werte des Wachstumsindikators (Zufallsvariable):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Der resultierende Betrag wird durch die Anzahl der Gnome geteilt:
  6,31:7=0,90.

So beträgt die durchschnittliche Größe der Gnome in einem Märchen 90 cm, mit anderen Worten, dies ist die mathematische Erwartung für das Wachstum der Gnome.

Arbeitsformel - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Praktische Umsetzung der mathematischen Erwartung

Auf die Berechnung eines statistischen Indikators der mathematischen Erwartung wird in verschiedenen Bereichen der praktischen Tätigkeit zurückgegriffen. Zunächst einmal sprechen wir über den kommerziellen Bereich. Schließlich ist die Einführung dieses Indikators durch Huygens mit der Bestimmung der Chancen verbunden, die für ein Ereignis günstig oder im Gegenteil ungünstig sein können.

Dieser Parameter wird häufig zur Risikobewertung verwendet, insbesondere wenn es um Finanzanlagen geht.
In der Wirtschaft dient die Berechnung der mathematischen Erwartung also als Methode zur Risikobewertung bei der Preiskalkulation.

Dieser Indikator kann auch zur Berechnung der Wirksamkeit bestimmter Maßnahmen, beispielsweise zum Arbeitsschutz, verwendet werden. Dank dessen können Sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses berechnen.

Ein weiterer Anwendungsbereich dieses Parameters ist das Management. Sie kann auch während der Produktqualitätskontrolle berechnet werden. Zum Beispiel mit Matte. Erwartungen, können Sie die mögliche Anzahl fertigungstechnisch fehlerhafter Teile berechnen.

Unverzichtbar ist die mathematische Erwartungshaltung auch bei der statistischen Aufbereitung der im Rahmen wissenschaftlicher Forschung gewonnenen Ergebnisse. Es ermöglicht Ihnen auch, die Wahrscheinlichkeit eines gewünschten oder unerwünschten Ergebnisses eines Experiments oder einer Studie zu berechnen, abhängig vom Grad der Zielerreichung. Schließlich kann sein Erreichen mit Gewinn und Gewinn verbunden sein, und sein Nichterreichen - als Verlust oder Verlust.

Verwenden der mathematischen Erwartung in Forex

Die praktische Anwendung dieses statistischen Parameters ist bei Transaktionen auf dem Devisenmarkt möglich. Es kann verwendet werden, um den Erfolg von Handelstransaktionen zu analysieren. Darüber hinaus deutet eine Erhöhung des Erwartungswerts auf eine Steigerung ihres Erfolgs hin.

Es ist auch wichtig, sich daran zu erinnern, dass die mathematische Erwartung nicht als der einzige statistische Parameter betrachtet werden sollte, der zur Analyse der Leistung eines Händlers verwendet wird. Die Verwendung mehrerer statistischer Parameter zusammen mit dem Mittelwert erhöht zeitweise die Genauigkeit der Analyse.

Dieser Parameter hat sich bei der Überwachung von Handelskonten gut bewährt. Dank ihm wird eine schnelle Bewertung der auf dem Depotkonto durchgeführten Arbeiten durchgeführt. In Fällen, in denen die Tätigkeit des Händlers erfolgreich ist und er Verluste vermeidet, wird es nicht empfohlen, nur die Berechnung der mathematischen Erwartung zu verwenden. In diesen Fällen werden Risiken nicht berücksichtigt, was die Effektivität der Analyse mindert.

Durchgeführte Studien zu den Taktiken der Händler zeigen, dass:

• am effektivsten sind Taktiken, die auf zufälliger Eingabe basieren;
• Am wenigsten effektiv sind Taktiken, die auf strukturierten Eingaben basieren.

Um positive Ergebnisse zu erzielen, ist es ebenso wichtig:

• Geldverwaltungstaktiken;
• Exit-Strategien.

Unter Verwendung eines solchen Indikators wie der mathematischen Erwartung können wir davon ausgehen, wie hoch der Gewinn oder Verlust bei der Investition von 1 Dollar sein wird. Es ist bekannt, dass dieser Indikator, der für alle im Casino praktizierten Spiele berechnet wird, für die Institution spricht. Dies ermöglicht es Ihnen, Geld zu verdienen. Bei einer langen Spielserie steigt die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde Geld verliert, deutlich an.

Die Spiele professioneller Spieler sind auf kleine Zeiträume begrenzt, was die Gewinnchance erhöht und das Verlustrisiko verringert. Das gleiche Muster ist bei der Leistung von Anlageoperationen zu beobachten.

Ein Investor kann mit einer positiven Erwartung und einer großen Anzahl von Transaktionen in kurzer Zeit einen erheblichen Betrag verdienen.

Die Erwartung kann als die Differenz zwischen dem Prozentsatz des Gewinns (PW) mal dem durchschnittlichen Gewinn (AW) und der Verlustwahrscheinlichkeit (PL) mal dem durchschnittlichen Verlust (AL) betrachtet werden.

Betrachten Sie als Beispiel Folgendes: Position - 12,5 Tausend Dollar, Portfolio - 100 Tausend Dollar, Risiko pro Einzahlung - 1%. Die Rentabilität der Transaktionen beträgt 40 % der Fälle mit einem durchschnittlichen Gewinn von 20 %. Im Schadensfall beträgt der durchschnittliche Verlust 5 %. Die Berechnung der mathematischen Erwartung für einen Trade ergibt einen Wert von 625 $.

Die mathematische Erwartung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

Mathematischer Erwartungswert, Definition, mathematischer Erwartungswert von diskreten und stetigen Zufallsvariablen, selektiver, bedingter Erwartungswert, Berechnung, Eigenschaften, Aufgaben, Erwartungsschätzung, Varianz, Verteilungsfunktion, Formeln, Rechenbeispiele

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Die mathematische Erwartung ist die Definition

Eines der wichtigsten Konzepte in der mathematischen Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie, das die Verteilung von Werten oder Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen charakterisiert. Üblicherweise ausgedrückt als gewichteter Durchschnitt aller möglichen Parameter einer Zufallsvariablen. Es ist weit verbreitet in der technischen Analyse, dem Studium von Zahlenreihen, dem Studium kontinuierlicher und langfristiger Prozesse. Es ist wichtig für die Risikobewertung, die Vorhersage von Preisindikatoren beim Handel auf den Finanzmärkten und wird bei der Entwicklung von Strategien und Methoden der Spieltaktik in der Theorie des Glücksspiels verwendet.

Die mathematische Erwartung ist Mittelwert einer Zufallsvariablen, die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet.

Die mathematische Erwartung ist Maß für den Mittelwert einer Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen x bezeichnet M(x).

Die mathematische Erwartung ist

Die mathematische Erwartung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte, die diese Zufallsvariable annehmen kann.

Die mathematische Erwartung ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen durch die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.

Die mathematische Erwartung ist der durchschnittliche Nutzen aus einer bestimmten Entscheidung, sofern eine solche Entscheidung im Rahmen der Theorie der großen Zahl und der großen Entfernung betrachtet werden kann.

Die mathematische Erwartung ist In der Glücksspieltheorie die Höhe der Gewinne, die ein Spieler im Durchschnitt für jede Wette verdienen oder verlieren kann. In der Sprache der Spieler wird dies manchmal als „Spielervorteil“ (wenn er für den Spieler positiv ist) oder „Hausvorteil“ (wenn er für den Spieler negativ ist) bezeichnet.

Die mathematische Erwartung ist Prozentsatz des Gewinns pro Gewinn multipliziert mit dem durchschnittlichen Gewinn minus der Verlustwahrscheinlichkeit multipliziert mit dem durchschnittlichen Verlust.

Mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen in der mathematischen Theorie

Eine der wichtigen numerischen Eigenschaften einer Zufallsvariablen ist die mathematische Erwartung. Lassen Sie uns das Konzept eines Systems von Zufallsvariablen einführen. Stellen Sie sich eine Reihe von Zufallsvariablen vor, die die Ergebnisse desselben Zufallsexperiments sind. Wenn einer der möglichen Werte des Systems ist, dann entspricht das Ereignis einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, die die Kolmogorov-Axiome erfüllt. Eine Funktion, die für beliebige mögliche Werte von Zufallsvariablen definiert ist, wird als gemeinsames Verteilungsgesetz bezeichnet. Mit dieser Funktion können Sie die Wahrscheinlichkeiten beliebiger Ereignisse berechnen. Insbesondere das gemeinsame Verteilungsgesetz von Zufallsvariablen und, die Werte aus der Menge nehmen und, ist durch Wahrscheinlichkeiten gegeben.

Der Begriff „Erwartung“ wurde von Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) eingeführt und entstand aus dem Konzept des „erwarteten Werts der Auszahlung“, das erstmals im 17. Jahrhundert in der Theorie des Glücksspiels in den Werken von Blaise Pascal und Christian Huygens auftauchte . Das erste vollständige theoretische Verständnis und die Bewertung dieses Konzepts wurde jedoch von Pafnuty Lvovich Chebyshev (Mitte des 19. Jahrhunderts) gegeben.

Das Verteilungsgesetz numerischer Zufallsvariablen (die Verteilungsfunktion und die Verteilungsreihe oder Wahrscheinlichkeitsdichte) beschreiben vollständig das Verhalten einer Zufallsvariablen. Bei einer Reihe von Problemen reicht es jedoch aus, einige numerische Eigenschaften der untersuchten Größe zu kennen (z. B. ihren Durchschnittswert und mögliche Abweichungen davon), um die gestellte Frage zu beantworten. Die wichtigsten numerischen Merkmale von Zufallsvariablen sind der mathematische Erwartungswert, die Varianz, der Modus und der Median.

Die mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte ihrer möglichen Werte und ihrer entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Manchmal wird die mathematische Erwartung als gewichteter Durchschnitt bezeichnet, da sie ungefähr gleich dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen über eine große Anzahl von Experimenten ist. Aus der Definition der mathematischen Erwartung folgt, dass ihr Wert nicht kleiner als der kleinstmögliche Wert einer Zufallsvariablen und nicht größer als der größte ist. Die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen ist eine nicht zufällige (konstante) Variable.

Die mathematische Erwartung hat eine einfache physikalische Bedeutung: Wenn eine Einheitsmasse auf einer geraden Linie platziert wird, etwas Masse an einigen Punkten platziert (für eine diskrete Verteilung) oder sie mit einer bestimmten Dichte „verschmiert“ wird (für eine absolut kontinuierliche Verteilung), dann ist der Punkt, der der mathematischen Erwartung entspricht, die Koordinate "Schwerpunkt" gerade.

Der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ist eine bestimmte Zahl, die sozusagen ihr „Repräsentant“ ist und sie bei groben Näherungsrechnungen ersetzt. Wenn wir sagen: „Die durchschnittliche Lampenbetriebszeit beträgt 100 Stunden“ oder „Der durchschnittliche Auftreffpunkt ist relativ zum Ziel um 2 m nach rechts verschoben“, bezeichnen wir damit eine bestimmte numerische Eigenschaft einer Zufallsgröße, die dessen beschreibt Lage auf der numerischen Achse, d.h. Positionsbeschreibung.

Von den Eigenschaften einer Position in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielt die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen die wichtigste Rolle, die manchmal einfach als Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bezeichnet wird.

Betrachten Sie eine Zufallsvariable X, die mögliche Werte hat x1, x2, …, xn mit Wahrscheinlichkeiten p1, p2, …, pn. Wir müssen die Position der Werte der Zufallsvariablen auf der x-Achse durch eine Zahl charakterisieren, wobei zu berücksichtigen ist, dass diese Werte unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben. Dazu ist es selbstverständlich, den sogenannten „gewichteten Durchschnitt“ der Werte zu verwenden xi, und jeder Wert xi sollte bei der Mittelwertbildung mit einem „Gewicht“ berücksichtigt werden, das proportional zur Wahrscheinlichkeit dieses Werts ist. Daher berechnen wir den Mittelwert der Zufallsvariablen X, die wir bezeichnen werden M|X|:

Dieser gewichtete Durchschnitt wird als mathematische Erwartung der Zufallsvariablen bezeichnet. So haben wir eines der wichtigsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie in Betracht gezogen - das Konzept der mathematischen Erwartung. Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.

X aufgrund einer besonderen Abhängigkeit mit dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen bei einer großen Anzahl von Experimenten. Diese Abhängigkeit ist von der gleichen Art wie die Abhängigkeit zwischen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit, nämlich: Bei einer großen Anzahl von Experimenten nähert sich (konvergiert in der Wahrscheinlichkeit) das arithmetische Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen ihrer mathematischen Erwartung. Aus dem Vorhandensein einer Beziehung zwischen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit kann man als Konsequenz auf die Existenz einer ähnlichen Beziehung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem mathematischen Erwartungswert schließen. Betrachten Sie in der Tat eine Zufallsvariable X, gekennzeichnet durch eine Reihe von Verteilungen:

Lass es produzieren N unabhängige Experimente, in denen jeweils der Wert X nimmt einen bestimmten Wert an. Angenommen, der Wert x1 erschien m1 Zeiten, Wert x2 erschien m2 Zeiten, allgemeine Bedeutung xi erschien mi mal. Berechnen wir das arithmetische Mittel der beobachteten Werte von X, was im Gegensatz zur mathematischen Erwartung steht M|X| wir werden bezeichnen M*|X|:

Mit einer Zunahme der Anzahl von Experimenten N Frequenzen Pi wird sich den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten annähern (in der Wahrscheinlichkeit konvergieren). Daher das arithmetische Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen M|X| Mit zunehmender Anzahl von Experimenten nähert es sich seiner mathematischen Erwartung an (wahrscheinlich konvergiert es). Der Zusammenhang zwischen dem arithmetischen Mittel und der oben formulierten mathematischen Erwartung bildet den Inhalt einer der Formen des Gesetzes der großen Zahlen.

Wir wissen bereits, dass alle Formen des Gesetzes der großen Zahlen die Tatsache aussagen, dass bestimmte Mittelwerte über eine große Anzahl von Experimenten stabil sind. Hier sprechen wir über die Stabilität des arithmetischen Mittels aus einer Reihe von Beobachtungen mit gleichem Wert. Bei einer kleinen Anzahl von Experimenten ist das arithmetische Mittel ihrer Ergebnisse zufällig; bei ausreichender Erhöhung der Anzahl der Experimente wird es "fast nicht zufällig" und nähert sich stabilisierend einem konstanten Wert - der mathematischen Erwartung.

Die Eigenschaft der Stabilität von Mittelwerten für eine große Anzahl von Experimenten ist experimentell leicht zu verifizieren. Wenn wir zum Beispiel irgendeinen Körper im Labor auf genauen Waagen wiegen, erhalten wir als Ergebnis des Wiegens jedes Mal einen neuen Wert; Um den Beobachtungsfehler zu reduzieren, wiegen wir den Körper mehrmals und verwenden das arithmetische Mittel der erhaltenen Werte. Es ist leicht einzusehen, dass bei weiterer Erhöhung der Versuchszahl (Wägungen) das arithmetische Mittel immer weniger auf diese Erhöhung reagiert und sich bei hinreichend großer Versuchszahl praktisch nicht mehr ändert.

Zu beachten ist, dass das wichtigste Merkmal der Position einer Zufallsvariablen – der mathematische Erwartungswert – nicht für alle Zufallsvariablen existiert. Es ist möglich, Beispiele für solche Zufallsvariablen zu nennen, für die die mathematische Erwartung nicht existiert, da die entsprechende Summe oder das Integral divergiert. Für die Praxis sind solche Fälle jedoch nicht von großem Interesse. Normalerweise haben die Zufallsvariablen, mit denen wir es zu tun haben, einen begrenzten Bereich möglicher Werte und natürlich einen Erwartungswert.

Neben den wichtigsten Merkmalen der Position einer Zufallsvariablen, dem mathematischen Erwartungswert, werden in der Praxis manchmal auch andere Positionsmerkmale verwendet, insbesondere der Modus und der Median der Zufallsvariablen.

Der Modus einer Zufallsvariablen ist ihr wahrscheinlichster Wert. Der Begriff „wahrscheinlichster Wert“ bezieht sich streng genommen nur auf diskontinuierliche Mengen; für eine kontinuierliche Größe ist der Modus der Wert, bei dem die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist. Die Abbildungen zeigen den Modus für diskontinuierliche bzw. kontinuierliche Zufallsvariablen.

Weist das Verteilungspolygon (Verteilungskurve) mehr als ein Maximum auf, spricht man von einer „polymodalen“ Verteilung.

Manchmal gibt es Verteilungen, die in der Mitte kein Maximum, sondern ein Minimum haben. Solche Verteilungen werden "antimodal" genannt.

Im allgemeinen Fall stimmen Modus und mathematischer Erwartungswert einer Zufallsvariablen nicht überein. In einem bestimmten Fall, wenn die Verteilung symmetrisch und modal ist (d. h. einen Modus hat) und es eine mathematische Erwartung gibt, dann stimmt sie mit dem Modus und dem Symmetriezentrum der Verteilung überein.

Häufig wird noch ein weiteres Merkmal der Position verwendet – der sogenannte Median einer Zufallsvariablen. Dieses Merkmal wird normalerweise nur für kontinuierliche Zufallsvariablen verwendet, obwohl es auch für eine diskontinuierliche Variable formal definiert werden kann. Geometrisch ist der Median die Abszisse des Punktes, an dem die von der Verteilungskurve begrenzte Fläche halbiert wird.

Bei einer symmetrischen Modalverteilung fällt der Median mit dem Mittelwert und dem Modus zusammen.

Mathematische Erwartung ist der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen - ein numerisches Merkmal der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen. Ganz allgemein die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen X(w) ist als Lebesgue-Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert R im ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsraum:

Der mathematische Erwartungswert kann auch als Lebesgue-Integral von berechnet werden X nach Wahrscheinlichkeitsverteilung px Mengen X:

Auf natürliche Weise kann man das Konzept einer Zufallsvariablen mit unendlicher mathematischer Erwartung definieren. Ein typisches Beispiel sind die Rückkehrzeiten bei einigen Random Walks.

Mit Hilfe des mathematischen Erwartungswerts werden viele numerische und funktionale Eigenschaften der Verteilung bestimmt (als mathematischer Erwartungswert der entsprechenden Funktionen einer Zufallsvariablen), zum Beispiel erzeugende Funktion, charakteristische Funktion, Momente beliebiger Ordnung, insbesondere Varianz , Kovarianz.

Die mathematische Erwartung ist ein Merkmal der Position der Werte einer Zufallsvariablen (der Durchschnittswert ihrer Verteilung). In dieser Funktion dient der mathematische Erwartungswert als ein "typischer" Verteilungsparameter und seine Rolle ähnelt der Rolle des statischen Moments - der Koordinate des Schwerpunkts der Massenverteilung - in der Mechanik. Von anderen Merkmalen des Ortes, mit deren Hilfe die Verteilung allgemein beschrieben wird – Mediane, Modi – unterscheidet sich die mathematische Erwartung durch den größeren Stellenwert, den sie und das entsprechende Streumerkmal – Dispersion – in den Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie haben . Die Bedeutung der mathematischen Erwartung wird mit größter Vollständigkeit durch das Gesetz der großen Zahlen (Chebyshev-Ungleichung) und das verstärkte Gesetz der großen Zahlen offenbart.

Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Angenommen, es gibt eine Zufallsvariable, die einen von mehreren numerischen Werten annehmen kann (z. B. kann die Anzahl der Punkte in einem Würfelwurf 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein). Oft stellt sich in der Praxis bei einem solchen Wert die Frage: Welchen Wert nimmt er „im Durchschnitt“ bei einer großen Anzahl von Tests an? Wie hoch wird unsere durchschnittliche Rendite (oder unser Verlust) aus jeder der riskanten Transaktionen sein?

Nehmen wir an, es gibt eine Art Lotterie. Wir möchten verstehen, ob es rentabel ist oder nicht, daran teilzunehmen (oder sogar wiederholt und regelmäßig teilzunehmen). Nehmen wir an, dass jedes vierte Los gewinnt, der Preis 300 Rubel beträgt und der Preis für jedes Los 100 Rubel beträgt. Bei unendlich vielen Beteiligungen passiert genau das. In drei Viertel der Fälle werden wir verlieren, alle drei Verluste kosten 300 Rubel. In jedem vierten Fall gewinnen wir 200 Rubel. (Preis minus Kosten), das heißt, bei vier Teilnahmen verlieren wir durchschnittlich 100 Rubel, bei einer - durchschnittlich 25 Rubel. Insgesamt beträgt der Durchschnittspreis unserer Ruine 25 Rubel pro Ticket.

Wir würfeln. Wenn es kein Schummeln ist (ohne den Schwerpunkt zu verschieben usw.), wie viele Punkte haben wir dann im Durchschnitt auf einmal? Da jede Option gleich wahrscheinlich ist, nehmen wir das blöde arithmetische Mittel und erhalten 3,5. Da dies DURCHSCHNITTLICH ist, brauchen Sie sich nicht zu empören, dass kein bestimmter Wurf 3,5 Punkte ergibt - nun, dieser Würfel hat kein Gesicht mit einer solchen Zahl!

Fassen wir nun unsere Beispiele zusammen:

Werfen wir einen Blick auf das Bild oben. Links ist eine Tabelle der Verteilung einer Zufallsvariablen. Der Wert von X kann einen von n möglichen Werten annehmen (in der obersten Zeile angegeben). Es kann keine anderen Werte geben. Unter jedem möglichen Wert ist seine Wahrscheinlichkeit unten signiert. Rechts ist eine Formel, wobei M(X) der mathematische Erwartungswert genannt wird. Die Bedeutung dieses Werts ist, dass bei einer großen Anzahl von Versuchen (mit einer großen Stichprobe) der Durchschnittswert zu dieser sehr mathematischen Erwartung tendiert.

Gehen wir zurück zu demselben Spielwürfel. Die mathematische Erwartung der Punktzahl bei einem Wurf beträgt 3,5 (rechnen Sie selbst mit der Formel nach, wenn Sie es nicht glauben). Nehmen wir an, Sie haben es ein paar Mal geworfen. 4 und 6 fielen aus, im Durchschnitt waren es 5, also weit entfernt von 3,5. Sie warfen es erneut, 3 fielen heraus, dh im Durchschnitt (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Irgendwie weit von der mathematischen Erwartung entfernt. Machen Sie jetzt ein verrücktes Experiment - rollen Sie den Würfel 1000 Mal! Und wenn der Durchschnitt nicht genau 3,5 beträgt, dann wird er nahe daran liegen.

Lassen Sie uns den mathematischen Erwartungswert für die oben beschriebene Lotterie berechnen. Die Tabelle wird wie folgt aussehen:

Dann ist die mathematische Erwartung, wie wir oben festgestellt haben.:

Eine andere Sache ist, dass es auch "an den Fingern" liegt, ohne Formel wäre es schwierig, wenn es mehr Optionen gäbe. Nehmen wir an, es gab 75 % verlorene Tickets, 20 % gewonnene Tickets und 5 % gewonnene Tickets.

Nun einige Eigenschaften der mathematischen Erwartung.

Es ist leicht zu beweisen:

Aus dem Erwartungszeichen kann ein konstanter Multiplikator entnommen werden, das heißt:

Dies ist ein Sonderfall der Linearitätseigenschaft der mathematischen Erwartung.

Eine weitere Folge der Linearität der mathematischen Erwartung:

Das heißt, die mathematische Erwartung der Summe der Zufallsvariablen ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungen der Zufallsvariablen.

Seien X, Y unabhängige Zufallsvariablen, dann:

Dies ist auch leicht zu beweisen) XY selbst ist eine Zufallsvariable, während wenn die Anfangswerte annehmen könnten n und m Werte bzw. dann XY kann nm-Werte annehmen. Die Wahrscheinlichkeit jedes der Werte wird basierend auf der Tatsache berechnet, dass die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse multipliziert werden. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

Mathematische Erwartung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Kontinuierliche Zufallsvariablen haben eine solche Eigenschaft wie die Verteilungsdichte (Wahrscheinlichkeitsdichte). Tatsächlich kennzeichnet es die Situation, dass eine Zufallsvariable einige Werte aus der Menge der reellen Zahlen häufiger annimmt, andere - seltener. Betrachten Sie zum Beispiel dieses Diagramm:

Hier X- eigentlich eine Zufallsvariable, f(x)- Verteilungsdichte. Nach dieser Grafik zu urteilen, während der Experimente, der Wert X wird oft eine Zahl nahe Null sein. Chancen zu übertreffen 3 oder weniger sein -3 eher rein theoretisch.

Angenommen, es gibt eine Gleichverteilung:

Dies steht ganz im Einklang mit dem intuitiven Verständnis. Nehmen wir an, wenn wir viele zufällige reelle Zahlen mit einer gleichmäßigen Verteilung erhalten, jedes Segment |0; 1| , dann sollte das arithmetische Mittel etwa 0,5 betragen.

Die für diskrete Zufallsvariablen anwendbaren Eigenschaften der mathematischen Erwartung – Linearität usw. – gelten auch hier.

Die Beziehung der mathematischen Erwartung zu anderen statistischen Indikatoren

In der statistischen Analyse gibt es neben der mathematischen Erwartung ein System voneinander abhängiger Indikatoren, die die Homogenität von Phänomenen und die Stabilität von Prozessen widerspiegeln. Variationsindikatoren haben oft keine eigenständige Bedeutung und werden für die weitere Datenanalyse verwendet. Die Ausnahme bildet der Variationskoeffizient, der die Homogenität der Daten charakterisiert, was ein wertvolles statistisches Merkmal ist.

Der Grad der Variabilität oder Stabilität von Prozessen in der statistischen Wissenschaft kann anhand mehrerer Indikatoren gemessen werden.

Der wichtigste Indikator, der die Variabilität einer Zufallsvariablen charakterisiert, ist Streuung, die am engsten und direktsten mit der mathematischen Erwartung zusammenhängt. Dieser Parameter wird aktiv in anderen Arten statistischer Analysen (Hypothesentests, Analyse von Ursache-Wirkungs-Beziehungen usw.) verwendet. Wie die mittlere lineare Abweichung spiegelt auch die Varianz die Streuung der Daten um den Mittelwert wider.

Es ist sinnvoll, die Zeichensprache in die Wortsprache zu übersetzen. Es stellt sich heraus, dass die Varianz das durchschnittliche Quadrat der Abweichungen ist. Das heißt, zuerst wird der Durchschnittswert berechnet, dann wird die Differenz zwischen jedem Original- und Durchschnittswert genommen, quadriert, aufsummiert und dann durch die Anzahl der Werte in dieser Grundgesamtheit dividiert. Die Differenz zwischen Einzelwert und Mittelwert gibt das Maß der Abweichung wieder. Es wird quadriert, um sicherzustellen, dass alle Abweichungen ausschließlich positive Zahlen werden, und um eine gegenseitige Aufhebung positiver und negativer Abweichungen zu vermeiden, wenn sie summiert werden. Dann berechnen wir angesichts der quadrierten Abweichungen einfach das arithmetische Mittel. Durchschnitt - Quadrat - Abweichungen. Abweichungen werden quadriert und der Durchschnitt berücksichtigt. Die Antwort auf das Zauberwort „Dispersion“ sind nur drei Worte.

In ihrer reinen Form, wie beispielsweise dem arithmetischen Mittel oder Index, wird die Streuung jedoch nicht verwendet. Es ist vielmehr ein Hilfs- und Zwischenindikator, der für andere Arten statistischer Analysen verwendet wird. Sie hat nicht einmal eine normale Maßeinheit. Nach der Formel zu urteilen, ist dies das Quadrat der ursprünglichen Dateneinheit.

Lassen Sie uns eine Zufallsvariable messen N Mal messen wir zum Beispiel zehn Mal die Windgeschwindigkeit und wollen den Mittelwert finden. Wie hängt der Mittelwert mit der Verteilungsfunktion zusammen?

Oder wir würfeln viele Male. Die Anzahl der Punkte, die bei jedem Wurf auf den Würfel fallen, ist eine Zufallsvariable und kann beliebige natürliche Werte von 1 bis 6 annehmen. N es tendiert zu einer ganz bestimmten Zahl – der mathematischen Erwartung Mx. In diesem Fall ist Mx = 3,5.

Wie kam es zu diesem Wert? Hereinlassen N Versuche n1 sobald 1 Punkt abgezogen wird, n2 mal - 2 Punkte und so weiter. Dann die Anzahl der Ergebnisse, bei denen ein Punkt gefallen ist:

Ähnlich für die Ergebnisse, wenn 2, 3, 4, 5 und 6 Punkte herausfielen.

Nehmen wir nun an, dass wir das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen x kennen, d.h. wir wissen, dass die Zufallsvariable x die Werte x1, x2, ..., xk mit Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ... annehmen kann. , pk.

Der mathematische Erwartungswert Mx einer Zufallsvariablen x ist:

Die mathematische Erwartung ist nicht immer eine vernünftige Schätzung einer Zufallsvariablen. Um den Durchschnittslohn zu schätzen, ist es daher sinnvoller, das Konzept des Medians zu verwenden, dh einen Wert, bei dem die Anzahl der Personen, die weniger als das Mediangehalt und mehr erhalten, gleich ist.

Die Wahrscheinlichkeit p1, dass die Zufallsvariable x kleiner als x1/2 ist, und die Wahrscheinlichkeit p2, dass die Zufallsvariable x größer als x1/2 ist, sind gleich und gleich 1/2. Der Median ist nicht für alle Verteilungen eindeutig bestimmt.

Standard oder Standardabweichung in der Statistik wird der Grad der Abweichung von Beobachtungsdaten oder Sätzen vom MITTELWERT bezeichnet. Gekennzeichnet durch die Buchstaben s oder s. Eine kleine Standardabweichung zeigt an, dass die Daten um den Mittelwert gruppiert sind, und eine große Standardabweichung zeigt an, dass die Anfangsdaten weit davon entfernt sind. Die Standardabweichung ist gleich der Quadratwurzel einer Größe, die als Varianz bezeichnet wird. Er ist der Durchschnitt der Summe der quadrierten Differenzen der Ausgangsdaten, die vom Mittelwert abweichen. Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen ist die Quadratwurzel der Varianz:

Beispiel. Berechnen Sie unter Testbedingungen beim Schießen auf eine Zielscheibe die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsvariablen:

Variation- Fluktuation, Variabilität des Wertes des Attributs in Einheiten der Bevölkerung. Separate numerische Werte eines Merkmals, die in der untersuchten Population vorkommen, werden als Wertevarianten bezeichnet. Die Unzulänglichkeit des Durchschnittswerts für eine vollständige Charakterisierung der Population macht es erforderlich, die Durchschnittswerte durch Indikatoren zu ergänzen, die es ermöglichen, die Typizität dieser Durchschnittswerte zu beurteilen, indem die Fluktuation (Variation) des untersuchten Merkmals gemessen wird. Der Variationskoeffizient wird nach folgender Formel berechnet:

Span-Variation(R) ist die Differenz zwischen den Höchst- und Mindestwerten des Merkmals in der untersuchten Population. Dieser Indikator gibt die allgemeinste Vorstellung von der Fluktuation des untersuchten Merkmals, da er nur den Unterschied zwischen den Extremwerten der Optionen anzeigt. Die Abhängigkeit von den Extremwerten des Attributs verleiht der Variationsbreite einen instabilen, zufälligen Charakter.

Durchschnittliche lineare Abweichung ist das arithmetische Mittel der absoluten (modulo) Abweichungen aller Werte der analysierten Grundgesamtheit von ihrem Mittelwert:

Mathematische Erwartung in der Glücksspieltheorie

Die mathematische Erwartung ist der durchschnittliche Geldbetrag, den ein Spieler bei einer bestimmten Wette gewinnen oder verlieren kann. Dies ist ein sehr wichtiges Konzept für einen Spieler, da es für die Beurteilung der meisten Spielsituationen von grundlegender Bedeutung ist. Die mathematische Erwartung ist auch das beste Werkzeug, um grundlegende Kartenlayouts und Spielsituationen zu analysieren.

Nehmen wir an, Sie spielen mit einem Freund um Münzen und setzen jedes Mal den gleichen Betrag von 1 $, egal was passiert. Zahl – Sie gewinnen, Kopf – Sie verlieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl kommt, ist eins zu eins und Sie setzen $1 zu $1. Ihre mathematische Erwartung ist also null, weil Mathematisch gesehen können Sie nicht wissen, ob Sie nach zwei Würfen oder nach 200 führen oder verlieren.

Ihr Stundengewinn ist null. Die stündliche Auszahlung ist der Geldbetrag, den Sie in einer Stunde zu gewinnen erwarten. Sie können innerhalb einer Stunde 500 Mal eine Münze werfen, aber Sie werden nicht gewinnen oder verlieren, weil Ihre Chancen sind weder positiv noch negativ. Aus der Sicht eines ernsthaften Spielers ist ein solches Wettsystem nicht schlecht. Aber es ist nur Zeitverschwendung.

Aber nehmen Sie an, jemand möchte im selben Spiel 2 $ gegen Ihren 1 $ setzen. Dann haben Sie sofort eine positive Erwartung von 50 Cent von jeder Wette. Warum 50 Cent? Im Durchschnitt gewinnt man eine Wette und verliert die zweite. Setzen Sie den ersten Dollar und verlieren Sie 1 Dollar, setzen Sie den zweiten und gewinnen Sie 2 Dollar. Sie haben zweimal $1 gesetzt und liegen mit $1 vorne. Jede Ihrer Ein-Dollar-Wetten brachte Ihnen also 50 Cent ein.

Wenn die Münze in einer Stunde 500 Mal fällt, beträgt Ihr Stundengewinn bereits 250 $, denn. Im Durchschnitt haben Sie 1.250 $ verloren und 2.250 $ gewonnen. 500 $ minus 250 $ ergibt 250 $, was der Gesamtgewinn ist. Beachten Sie, dass der erwartete Wert, also der Betrag, den Sie durchschnittlich bei einer Einzelwette gewinnen, 50 Cent beträgt. Sie haben 250 $ gewonnen, indem Sie 500 Mal einen Dollar gesetzt haben, was 50 Cent Ihres Einsatzes entspricht.

Mathematische Erwartung hat nichts mit kurzfristigen Ergebnissen zu tun. Ihr Gegner, der sich entschieden hat, 2 $ gegen Sie zu setzen, könnte Sie bei den ersten zehn Würfen in Folge schlagen, aber Sie, mit einem 2-zu-1-Wettvorteil, wenn alles andere gleich ist, machen 50 Cent auf jeden 1 $-Einsatz unter allen Umstände. Es spielt keine Rolle, ob Sie eine Wette oder mehrere Wetten gewinnen oder verlieren, sondern nur unter der Bedingung, dass Sie über genügend Bargeld verfügen, um die Kosten problemlos zu kompensieren. Setzt man so weiter, dann werden sich die Gewinne über einen längeren Zeitraum auf die Summe der Erwartungswerte in einzelnen Würfen belaufen.

Jedes Mal, wenn Sie eine beste Wette machen (eine Wette, die auf lange Sicht profitabel sein kann), wenn die Chancen zu Ihren Gunsten stehen, werden Sie zwangsläufig etwas gewinnen, unabhängig davon, ob Sie sie in einer bestimmten Hand verlieren oder nicht. Umgekehrt, wenn Sie eine schlechtere Wette gemacht haben (eine Wette, die auf lange Sicht unrentabel ist), wenn die Chancen nicht zu Ihren Gunsten stehen, verlieren Sie etwas, egal ob Sie die Hand gewinnen oder verlieren.

Sie wetten mit dem besten Ergebnis, wenn Ihre Erwartung positiv ist, und es ist positiv, wenn die Quoten zu Ihren Gunsten stehen. Wenn Sie mit dem schlechtesten Ergebnis wetten, haben Sie eine negative Erwartung, die eintritt, wenn die Chancen gegen Sie stehen. Ernsthafte Spieler setzen nur auf das beste Ergebnis, auf das schlechteste - sie folden. Was bedeuten die Chancen zu Ihren Gunsten? Sie können am Ende mehr gewinnen, als die tatsächlichen Quoten bringen. Die realen Chancen, Zahl zu treffen, sind 1 zu 1, aber aufgrund des Einsatzverhältnisses erhalten Sie 2 zu 1. In diesem Fall stehen die Chancen zu Ihren Gunsten. Das beste Ergebnis erzielen Sie definitiv mit einer positiven Erwartung von 50 Cent pro Wette.

Hier ist ein komplexeres Beispiel für mathematische Erwartung. Der Freund schreibt die Zahlen von eins bis fünf auf und wettet $5 gegen Ihre $1, dass Sie die Zahl nicht auswählen. Stimmen Sie einer solchen Wette zu? Was ist hier die Erwartung?

Im Durchschnitt liegen Sie viermal falsch. Auf dieser Grundlage stehen die Chancen dagegen, dass Sie die Zahl erraten, 4 zu 1. Die Chancen stehen gut, dass Sie bei einem Versuch einen Dollar verlieren. Sie gewinnen jedoch 5 zu 1, mit der Möglichkeit, 4 zu 1 zu verlieren. Daher stehen die Chancen zu Ihren Gunsten, Sie können die Wette annehmen und auf das beste Ergebnis hoffen. Wenn Sie diese Wette fünfmal machen, verlieren Sie im Durchschnitt viermal 1 $ und gewinnen einmal 5 $. Auf dieser Grundlage verdienen Sie für alle fünf Versuche 1 $ mit einer positiven mathematischen Erwartung von 20 Cent pro Wette.

Ein Spieler, der mehr gewinnen wird, als er setzt, wie im obigen Beispiel, fängt die Chancen ein. Umgekehrt ruiniert er die Chancen, wenn er erwartet, weniger zu gewinnen, als er setzt. Der Wetter kann entweder positive oder negative Erwartung haben, je nachdem, ob er die Quoten fängt oder ruiniert.

Wenn Sie 50 $ setzen, um 10 $ zu gewinnen, mit einer Gewinnchance von 4 zu 1, erhalten Sie eine negative Erwartung von 2 $, weil Im Durchschnitt gewinnen Sie viermal 10 $ und verlieren einmal 50 $, was zeigt, dass der Verlust pro Wette 10 $ beträgt. Aber wenn Sie 30 $ setzen, um 10 $ zu gewinnen, mit den gleichen Gewinnchancen von 4 zu 1, dann haben Sie in diesem Fall eine positive Erwartung von 2 $, weil Sie gewinnen wieder viermal 10 $ und verlieren einmal 30 $, für einen Gewinn von 10 $. Diese Beispiele zeigen, dass die erste Wette schlecht und die zweite gut ist.

Mathematische Erwartung ist das Zentrum jeder Spielsituation. Wenn ein Buchmacher Fußballfans ermutigt, 11 $ zu setzen, um 10 $ zu gewinnen, haben sie eine positive Erwartung von 50 Cent pro 10 $. Wenn das Casino gleichmäßiges Geld von der Craps-Passlinie auszahlt, dann liegt die positive Erwartung des Hauses bei etwa 1,40 $ pro 100 $; Dieses Spiel ist so strukturiert, dass jeder, der auf diese Linie setzt, im Durchschnitt 50,7 % verliert und in 49,3 % der Fälle gewinnt. Zweifellos ist es diese scheinbar minimale positive Erwartung, die Kasinobesitzern auf der ganzen Welt riesige Gewinne einbringt. Wie Bob Stupak, Inhaber des Casinos Vegas World, bemerkte: „Eine negative Wahrscheinlichkeit von einem Tausendstel Prozent über eine ausreichend lange Distanz wird den reichsten Mann der Welt in den Bankrott treiben.“

Mathematische Erwartung beim Pokerspielen

Das Pokerspiel ist das anschaulichste und anschaulichste Beispiel in Bezug auf die Verwendung der Theorie und Eigenschaften der mathematischen Erwartung.

Der Erwartungswert beim Poker ist der durchschnittliche Gewinn aus einer bestimmten Entscheidung, sofern eine solche Entscheidung im Rahmen der Theorie der großen Zahlen und der großen Entfernung betrachtet werden kann. Beim erfolgreichen Pokern geht es darum, Züge immer mit einer positiven mathematischen Erwartung zu akzeptieren.

Die mathematische Bedeutung der mathematischen Erwartung beim Pokern ist, dass wir beim Treffen einer Entscheidung oft auf Zufallsvariablen stoßen (wir wissen nicht, welche Karten in der Hand des Gegners sind, welche Karten in nachfolgenden Setzrunden kommen werden). Wir müssen jede der Lösungen unter dem Gesichtspunkt der Theorie der großen Zahlen betrachten, die besagt, dass bei einer ausreichend großen Stichprobe der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ihrem mathematischen Erwartungswert entspricht.

Unter den speziellen Formeln zur Berechnung des mathematischen Erwartungswerts ist die folgende beim Poker am besten anwendbar:

Beim Pokern kann die mathematische Erwartung sowohl für Wetten als auch für Calls berechnet werden. Im ersten Fall sollte die Foldequity berücksichtigt werden, im zweiten Fall die eigenen Odds des Pots. Bei der Bewertung der mathematischen Erwartung einer bestimmten Bewegung sollte daran erinnert werden, dass ein Fold immer eine mathematische Erwartung von null hat. Daher ist das Ablegen von Karten immer eine profitablere Entscheidung als jeder negative Zug.

Die Erwartung sagt Ihnen, was Sie für jeden Dollar, den Sie riskieren, erwarten können (Gewinn oder Verlust). Casinos verdienen Geld, weil die mathematische Erwartung aller Spiele, die in ihnen praktiziert werden, zugunsten des Casinos ist. Bei einer ausreichend langen Spielserie ist damit zu rechnen, dass der Kunde sein Geld verliert, da die „Wahrscheinlichkeit“ zugunsten des Casinos spricht. Professionelle Casinospieler beschränken ihre Spiele jedoch auf kurze Zeiträume und erhöhen dadurch die Gewinnchancen zu ihren Gunsten. Dasselbe gilt für Investitionen. Wenn Ihre Erwartung positiv ist, können Sie mehr Geld verdienen, indem Sie in kurzer Zeit viele Trades tätigen. Die Erwartung ist Ihr Prozentsatz des Gewinns pro Gewinn mal Ihrem durchschnittlichen Gewinn minus Ihrer Verlustwahrscheinlichkeit mal Ihrem durchschnittlichen Verlust.

Poker kann auch im Hinblick auf die mathematische Erwartung betrachtet werden. Sie können davon ausgehen, dass ein bestimmter Zug profitabel ist, aber in einigen Fällen ist es möglicherweise nicht der beste, weil ein anderer Zug profitabler ist. Nehmen wir an, Sie haben beim Five Card Draw Poker ein Full House getroffen. Dein Gegner setzt. Du weißt, dass er callen wird, wenn du den Einsatz erhöhst. Erhöhen scheint also die beste Taktik zu sein. Aber wenn Sie erhöhen, werden die verbleibenden zwei Spieler sicher folden. Aber wenn Sie die Wette callen, sind Sie absolut sicher, dass die anderen beiden Spieler nach Ihnen dasselbe tun werden. Wenn Sie den Einsatz erhöhen, erhalten Sie eine Einheit, und wenn Sie einfach mitgehen, erhalten Sie zwei. Mitgehen gibt Ihnen also einen höheren positiven Erwartungswert und ist die beste Taktik.

Die mathematische Erwartung kann auch eine Vorstellung davon geben, welche Pokertaktiken weniger rentabel und welche profitabler sind. Wenn Sie zum Beispiel eine bestimmte Hand spielen und denken, dass Ihr durchschnittlicher Verlust einschließlich der Antes 75 Cent beträgt, dann sollten Sie diese Hand spielen, weil das ist besser als zu folden, wenn der Einsatz $1 beträgt.

Ein weiterer wichtiger Grund für das Verständnis des Erwartungswerts ist, dass es Ihnen ein Gefühl der Sicherheit gibt, ob Sie eine Wette gewinnen oder nicht: Wenn Sie eine gute Wette gemacht oder rechtzeitig gefoldet haben, wissen Sie, dass Sie einen bestimmten Betrag verdient oder gespart haben Geld, das ein schwächerer Spieler nicht sparen könnte. Es ist viel schwieriger zu folden, wenn Sie frustriert sind, dass Ihr Gegner beim Draw eine bessere Hand hat. Das Geld, das Sie sparen, indem Sie nicht spielen, anstatt zu wetten, wird zu Ihren Übernacht- oder Monatsgewinnen hinzugefügt.

Denken Sie daran, dass Ihr Gegner Sie callen würde, wenn Sie die Hand wechseln würden, und wie Sie im Artikel über das Fundamental Theorem of Poker sehen werden, ist dies nur einer Ihrer Vorteile. Sie sollten sich freuen, wenn dies geschieht. Sie können sogar lernen, es zu genießen, eine Hand zu verlieren, weil Sie wissen, dass andere Spieler in Ihrer Haut viel mehr verlieren würden.

Wie im Beispiel des Münzspiels zu Beginn besprochen, hängt die stündliche Rendite mit der mathematischen Erwartung zusammen, und dieses Konzept ist besonders wichtig für professionelle Spieler. Wenn Sie Poker spielen wollen, müssen Sie im Kopf abschätzen, wie viel Sie in einer Spielstunde gewinnen können. In den meisten Fällen müssen Sie sich auf Ihre Intuition und Erfahrung verlassen, aber Sie können auch einige mathematische Berechnungen verwenden. Wenn Sie zum Beispiel Draw Lowball spielen und sehen, wie drei Spieler 10 $ setzen und dann zwei Karten ziehen, was eine sehr schlechte Taktik ist, können Sie selbst ausrechnen, dass sie jedes Mal, wenn sie 10 $ setzen, etwa 2 $ verlieren. Jeder von ihnen macht das achtmal pro Stunde, was bedeutet, dass alle drei etwa 48 Dollar pro Stunde verlieren. Sie sind einer der verbleibenden vier Spieler, die ungefähr gleich sind, also müssen sich diese vier Spieler (und Sie unter ihnen) 48 $ teilen, und jeder macht einen Gewinn von 12 $ pro Stunde. Ihr Stundensatz ist in diesem Fall einfach Ihr Anteil an dem Geldbetrag, den drei schlechte Spieler pro Stunde verlieren.

Über einen langen Zeitraum ist der Gesamtgewinn des Spielers die Summe seiner mathematischen Erwartungen in getrennten Verteilungen. Je mehr Sie mit positiver Erwartung spielen, desto mehr gewinnen Sie, und umgekehrt, je mehr Hände Sie mit negativer Erwartung spielen, desto mehr verlieren Sie. Daher sollten Sie ein Spiel priorisieren, das Ihre positive Erwartung maximieren oder Ihre negative negieren kann, damit Sie Ihren stündlichen Gewinn maximieren können.

Positive mathematische Erwartung in der Spielstrategie

Wenn Sie wissen, wie man Karten zählt, haben Sie möglicherweise einen Vorteil gegenüber dem Casino, wenn sie es nicht bemerken und Sie rausschmeißen. Casinos lieben betrunkene Spieler und können es nicht ertragen, Karten zu zählen. Der Vorteil ermöglicht es Ihnen, im Laufe der Zeit öfter zu gewinnen als zu verlieren. Gutes Geldmanagement mit Erwartungsberechnungen kann Ihnen helfen, Ihren Vorteil zu nutzen und Ihre Verluste zu begrenzen. Ohne einen Vorteil ist es besser, das Geld für wohltätige Zwecke zu spenden. Beim Spiel an der Börse ist der Vorteil durch das System des Spiels gegeben, das mehr Gewinn als Verluste, Preisunterschiede und Provisionen schafft. Kein Geldmanagement wird ein schlechtes Spielsystem retten.

Eine positive Erwartung wird durch einen Wert größer Null definiert. Je größer diese Zahl, desto stärker die statistische Erwartung. Wenn der Wert kleiner als Null ist, dann ist auch die mathematische Erwartung negativ. Je größer der Modul eines negativen Werts ist, desto schlechter ist die Situation. Wenn das Ergebnis Null ist, dann ist die Erwartung ausgeglichen. Sie können nur gewinnen, wenn Sie eine positive mathematische Erwartung haben, ein vernünftiges Spielsystem. Mit der Intuition zu spielen, führt zur Katastrophe.

Mathematische Erwartung und Aktienhandel

Die mathematische Erwartung ist ein ziemlich weit verbreiteter und beliebter statistischer Indikator im Börsenhandel auf den Finanzmärkten. Zunächst dient dieser Parameter dazu, den Handelserfolg zu analysieren. Es ist nicht schwer zu erraten, dass je größer dieser Wert ist, desto mehr Grund gibt es, den untersuchten Handel als erfolgreich zu betrachten. Die Analyse der Arbeit eines Händlers kann natürlich nicht nur mit Hilfe dieses Parameters durchgeführt werden. Der errechnete Wert kann jedoch in Kombination mit anderen Methoden zur Beurteilung der Arbeitsqualität die Genauigkeit der Analyse deutlich erhöhen.

Die mathematische Erwartung wird häufig in Überwachungsdiensten für Handelskonten berechnet, wodurch Sie die an der Einzahlung geleistete Arbeit schnell bewerten können. Als Ausnahmen können wir Strategien anführen, die das „Overstaying“ von Verlusttrades nutzen. Ein Händler kann für einige Zeit Glück haben, und daher gibt es bei seiner Arbeit möglicherweise überhaupt keine Verluste. In diesem Fall ist es nicht möglich, nur anhand der Erwartung zu navigieren, da die bei der Arbeit verwendeten Risiken nicht berücksichtigt werden.

Beim Handel auf dem Markt wird die mathematische Erwartung am häufigsten verwendet, wenn die Rentabilität einer Handelsstrategie vorhergesagt wird oder wenn das Einkommen eines Händlers auf der Grundlage der Statistiken seiner früheren Geschäfte vorhergesagt wird.

In Bezug auf das Money-Management ist es sehr wichtig zu verstehen, dass es beim Traden mit negativer Erwartung kein Money-Management-System gibt, das definitiv hohe Gewinne bringen kann. Wenn Sie die Börse unter diesen Bedingungen weiterspielen, dann verlieren Sie unabhängig davon, wie Sie Ihr Geld verwalten, Ihr gesamtes Konto, egal wie groß es am Anfang war.

Dieses Axiom gilt nicht nur für Spiele oder Trades mit negativer Erwartung, sondern auch für Spiele mit geraden Quoten. Der einzige Fall, in dem Sie langfristig eine Chance haben, zu profitieren, ist daher, Geschäfte mit einer positiven mathematischen Erwartung abzuschließen.

Der Unterschied zwischen negativer Erwartung und positiver Erwartung ist der Unterschied zwischen Leben und Tod. Es spielt keine Rolle, wie positiv oder negativ die Erwartung ist; Entscheidend ist, ob es positiv oder negativ ist. Bevor Sie also Geldmanagement in Betracht ziehen, müssen Sie ein Spiel mit einer positiven Erwartung finden.

Wenn Sie dieses Spiel nicht haben, dann wird Sie kein Geldmanagement der Welt retten. Wenn Sie andererseits eine positive Erwartung haben, ist es möglich, sie durch richtiges Geldmanagement in eine exponentielle Wachstumsfunktion umzuwandeln. Es spielt keine Rolle, wie klein die positive Erwartung ist! Mit anderen Worten, es spielt keine Rolle, wie profitabel ein Handelssystem ist, das auf einem Kontrakt basiert. Wenn Sie ein System haben, das bei einem einzelnen Trade 10 $ pro Kontrakt gewinnt (nach Gebühren und Slippage), können Sie Geldverwaltungstechniken verwenden, um es profitabler zu machen als ein System, das einen durchschnittlichen Gewinn von 1.000 $ pro Trade (nach Abzug von Provisionen und Schlupf).

Entscheidend ist nicht, wie profitabel das System war, sondern wie sicher gesagt werden kann, dass das System in Zukunft zumindest einen minimalen Gewinn aufweisen wird. Daher ist die wichtigste Vorbereitung, die ein Händler treffen kann, sicherzustellen, dass das System in Zukunft einen positiven Erwartungswert anzeigt.

Um in Zukunft einen positiven Erwartungswert zu haben, ist es sehr wichtig, die Freiheitsgrade Ihres Systems nicht einzuschränken. Dies wird nicht nur dadurch erreicht, dass die Anzahl der zu optimierenden Parameter eliminiert oder reduziert wird, sondern auch, indem so viele Systemregeln wie möglich reduziert werden. Jeder Parameter, den Sie hinzufügen, jede Regel, die Sie erstellen, jede winzige Änderung, die Sie am System vornehmen, verringert die Anzahl der Freiheitsgrade. Idealerweise möchten Sie ein ziemlich primitives und einfaches System aufbauen, das in fast jedem Markt konstant einen kleinen Gewinn bringt. Auch hier ist es wichtig, dass Sie verstehen, dass es keine Rolle spielt, wie profitabel ein System ist, solange es profitabel ist. Das Geld, das Sie beim Trading verdienen, wird durch effektives Geldmanagement verdient.

Ein Handelssystem ist einfach ein Werkzeug, das Ihnen eine positive mathematische Erwartung gibt, damit Geldmanagement verwendet werden kann. Systeme, die nur in einem oder wenigen Märkten funktionieren (mindestens einen minimalen Gewinn zeigen) oder unterschiedliche Regeln oder Parameter für verschiedene Märkte haben, werden höchstwahrscheinlich nicht lange in Echtzeit funktionieren. Das Problem bei den meisten technischen Händlern ist, dass sie zu viel Zeit und Mühe aufwenden, um die verschiedenen Regeln und Parameter eines Handelssystems zu optimieren. Dies führt zu völlig gegensätzlichen Ergebnissen. Anstatt Energie und Computerzeit für die Steigerung der Gewinne des Handelssystems zu verschwenden, lenken Sie Ihre Energie darauf, das Maß an Zuverlässigkeit bei der Erzielung eines Mindestgewinns zu erhöhen.

In dem Wissen, dass Geldmanagement nur ein Zahlenspiel ist, das den Einsatz positiver Erwartungen erfordert, kann ein Trader aufhören, nach dem „heiligen Gral“ des Aktienhandels zu suchen. Stattdessen kann er damit beginnen, seine Handelsmethode zu testen, herauszufinden, wie logisch diese Methode ist, ob sie positive Erwartungen weckt. Richtige Money-Management-Methoden, die auf alle, sogar sehr mittelmäßigen Handelsmethoden angewendet werden, werden den Rest der Arbeit erledigen.

Jeder Trader muss für den Erfolg seiner Arbeit die drei wichtigsten Aufgaben lösen: . Um sicherzustellen, dass die Anzahl erfolgreicher Transaktionen die unvermeidlichen Fehler und Fehlkalkulationen übersteigt; Richten Sie Ihr Handelssystem so ein, dass die Möglichkeit, Geld zu verdienen, so oft wie möglich besteht; Erzielen Sie ein stabiles positives Betriebsergebnis.

Und hier kann für uns arbeitende Trader die mathematische Erwartung eine gute Hilfe sein. Dieser Begriff in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist einer der Schlüssel. Damit können Sie eine durchschnittliche Schätzung eines zufälligen Werts abgeben. Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist wie der Schwerpunkt, wenn wir uns alle möglichen Wahrscheinlichkeiten als Punkte mit unterschiedlichen Massen vorstellen.

In Bezug auf eine Handelsstrategie wird zur Bewertung ihrer Effektivität am häufigsten die mathematische Gewinn- (oder Verlust-)Erwartung verwendet. Dieser Parameter ist definiert als die Summe der Produkte aus gegebener Gewinn- und Verlusthöhe und der Eintrittswahrscheinlichkeit. Beispielsweise geht die entwickelte Handelsstrategie davon aus, dass 37 % aller Operationen Gewinn bringen und der verbleibende Teil – 63 % – unrentabel sein wird. Gleichzeitig beträgt das durchschnittliche Einkommen aus einer erfolgreichen Transaktion 7 USD und der durchschnittliche Verlust 1,4 USD. Lassen Sie uns die mathematische Erwartung des Handels mit dem folgenden System berechnen:

Was bedeutet diese Zahl? Es besagt, dass wir nach den Regeln dieses Systems im Durchschnitt 1.708 Dollar von jeder abgeschlossenen Transaktion erhalten. Da der resultierende Effizienzwert größer als Null ist, kann ein solches System für echte Arbeiten verwendet werden. Fällt die mathematische Erwartung im Ergebnis der Berechnung negativ aus, deutet dies bereits auf einen durchschnittlichen Verlust hin und ein solcher Handel führt in den Ruin.

Die Höhe des Gewinns pro Trade kann auch als relativer Wert in Form von % ausgedrückt werden. Zum Beispiel:

– Prozentsatz des Einkommens pro 1 Transaktion - 5%;

– Prozentsatz erfolgreicher Handelsgeschäfte - 62%;

– Verlustprozentsatz pro 1 Handel - 3%;

- der Prozentsatz erfolgloser Transaktionen - 38%;

Das heißt, die durchschnittliche Transaktion bringt 1,96 %.

Es ist möglich, ein System zu entwickeln, das trotz der Dominanz von Verlusttrades ein positives Ergebnis liefert, da sein MO > 0 ist.

Abwarten allein reicht jedoch nicht. Es ist schwierig, Geld zu verdienen, wenn das System nur sehr wenige Handelssignale liefert. In diesem Fall ist seine Rentabilität mit Bankzinsen vergleichbar. Lassen Sie jede Operation im Durchschnitt nur 0,5 Dollar einbringen, aber was ist, wenn das System von 1000 Transaktionen pro Jahr ausgeht? Dies wird in relativ kurzer Zeit eine sehr ernste Menge sein. Daraus folgt logischerweise, dass als weiteres Kennzeichen eines guten Handelssystems eine kurze Haltedauer angesehen werden kann.

Quellen und Links

dic.academic.ru - akademisches Online-Wörterbuch

mathematik.ru - Bildungsseite für Mathematik

nsu.ru – Bildungswebsite der Staatlichen Universität Nowosibirsk

webmath.ru ist ein Bildungsportal für Studenten, Bewerber und Schüler.

exponenta.ru mathematische Bildungsseite

ru.tradimo.com - kostenlose Online-Handelsschule

crypto.hut2.ru - multidisziplinäre Informationsquelle

poker-wiki.ru - kostenlose Poker-Enzyklopädie

sernam.ru - Wissenschaftliche Bibliothek ausgewählter naturwissenschaftlicher Publikationen

reshim.su - Website SOLVE Aufgaben steuern Kursarbeit

unfx.ru – Forex auf UNFX: Bildung, Handelssignale, Vertrauensverwaltung

slovopedia.com - Großes enzyklopädisches Wörterbuch

pokermansion.3dn.ru - Ihr Führer in die Welt des Pokers

statanaliz.info - Informationsblog "Statistische Datenanalyse"

forex-trader.rf - Portal Forex-Händler

megafx.ru - aktuelle Forex-Analysen

fx-by.com - alles für einen Trader