Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache sind wichtige arithmetische Konzepte, mit denen Sie ganz einfach mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten können. LCM und werden am häufigsten verwendet, um den gemeinsamen Nenner mehrerer Brüche zu finden.

Grundlegendes Konzept

Der Teiler einer ganzen Zahl X ist eine andere ganze Zahl Y, durch die X ohne Rest teilbar ist. Beispielsweise ist der Teiler von 4 2 und 36 ist 4, 6, 9. Ein Vielfaches der ganzen Zahl X ist eine Zahl Y, die ohne Rest durch X teilbar ist. Beispielsweise ist 3 ein Vielfaches von 15 und 6 ein Vielfaches von 12.

Für jedes Zahlenpaar können wir ihre gemeinsamen Teiler und Vielfachen finden. Zum Beispiel ist für 6 und 9 das gemeinsame Vielfache 18 und der gemeinsame Teiler 3. Offensichtlich können Paare mehrere Teiler und Vielfache haben, also werden der größte Teiler des ggT und das kleinste Vielfache des LCM in den Berechnungen verwendet .

Der kleinste Teiler macht keinen Sinn, da er für jede Zahl immer eins ist. Auch das größte Vielfache ist bedeutungslos, da die Folge der Vielfachen gegen unendlich strebt.

GCD finden

Es gibt viele Methoden, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, von denen die bekanntesten sind:

• sequentielle Aufzählung von Teilern, Auswahl gemeinsamer für ein Paar und Suche nach dem größten von ihnen;
• Zerlegung von Zahlen in unteilbare Faktoren;
• Euklids Algorithmus;
• binärer Algorithmus.

Heute sind in Bildungseinrichtungen die beliebtesten Methoden der Zerlegung in Primfaktoren und der Euklidische Algorithmus. Letztere wiederum wird zur Lösung diophantischer Gleichungen verwendet: Die Suche nach ggT ist erforderlich, um die Gleichung auf die Möglichkeit zu prüfen, sie in ganze Zahlen aufzulösen.

Suche nach dem NOC

Auch das kleinste gemeinsame Vielfache wird durch iteratives Aufzählen oder Zerlegen in unteilbare Faktoren exakt bestimmt. Außerdem ist es einfach, das LCM zu finden, wenn der größte Teiler bereits bestimmt wurde. Für die Zahlen X und Y stehen LCM und GCD durch die folgende Beziehung in Beziehung:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Wenn zum Beispiel ggT(15,18) = 3, dann ist LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Die naheliegendste Verwendung von LCM besteht darin, den gemeinsamen Nenner zu finden, der das kleinste gemeinsame Vielfache von ist gegebene Brüche.

Koprime-Zahlen

Wenn ein Zahlenpaar keine gemeinsamen Teiler hat, dann wird ein solches Paar teilerfremd genannt. Das GCM für solche Paare ist immer gleich eins, und basierend auf der Verbindung von Teilern und Vielfachen ist das GCM für Koprime gleich ihrem Produkt. Zum Beispiel sind die Zahlen 25 und 28 Teilerfremde, weil sie keine gemeinsamen Teiler haben, und LCM(25, 28) = 700, was ihrem Produkt entspricht. Zwei beliebige unteilbare Zahlen sind immer teilerfremd.

Gemeinsamer Teiler und Mehrfachrechner

Mit unserem Rechner können Sie GCD und LCM für beliebig viele Zahlen zur Auswahl berechnen. Aufgaben zur Berechnung gemeinsamer Teiler und Vielfacher finden sich in Arithmetik der Klassen 5 und 6, jedoch sind ggT und LCM die Schlüsselbegriffe der Mathematik und werden in der Zahlentheorie, Planimetrie und kommunikativen Algebra verwendet.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

Gemeinsamer Nenner von Brüchen

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird verwendet, um den gemeinsamen Nenner mehrerer Brüche zu finden. Angenommen, in einer arithmetischen Aufgabe müssen 5 Brüche summiert werden:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Um Brüche zu addieren, muss der Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, was sich auf das Problem reduziert, das LCM zu finden. Wählen Sie dazu 5 Zahlen im Taschenrechner aus und geben Sie die Nennerwerte in die entsprechenden Zellen ein. Das Programm berechnet LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Jetzt müssen Sie zusätzliche Faktoren für jeden Bruch berechnen, die als Verhältnis von LCM zum Nenner definiert sind. Die zusätzlichen Multiplikatoren würden also folgendermaßen aussehen:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Danach multiplizieren wir alle Brüche mit dem entsprechenden zusätzlichen Faktor und erhalten:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Wir können solche Brüche einfach addieren und erhalten das Ergebnis in Form von 159/360. Wir reduzieren den Bruch um 3 und sehen die endgültige Antwort - 53/120.

Lösung linearer diophantischer Gleichungen

Lineare diophantische Gleichungen sind Ausdrücke der Form ax + by = d. Wenn das Verhältnis d / ggT(a, b) eine ganze Zahl ist, dann ist die Gleichung in ganzen Zahlen lösbar. Lassen Sie uns ein paar Gleichungen auf die Möglichkeit einer ganzzahligen Lösung überprüfen. Überprüfen Sie zuerst die Gleichung 150x + 8y = 37. Mit einem Taschenrechner finden wir ggT (150,8) = 2. Teilen Sie 37/2 = 18,5. Die Zahl ist keine ganze Zahl, daher hat die Gleichung keine ganzzahligen Wurzeln.

Lassen Sie uns die Gleichung 1320x + 1760y = 10120 überprüfen. Verwenden Sie einen Taschenrechner, um ggT(1320, 1760) = 440 zu finden. Teilen Sie 10120/440 = 23. Als Ergebnis erhalten wir eine ganze Zahl, daher ist die diophantische Gleichung in ganzzahligen Koeffizienten lösbar .

Fazit

GCD und LCM spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, und die Konzepte selbst werden in verschiedenen Bereichen der Mathematik häufig verwendet. Verwenden Sie unseren Rechner, um die größten Teiler und kleinsten Vielfachen einer beliebigen Anzahl von Zahlen zu berechnen.

Zweite Nummer: b=

Zifferntrennzeichen Kein Leerzeichen " ´

Ergebnis:

Größter gemeinsamer Teiler ggT( a,b)=6

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von LCM( a,b)=468

Man nennt die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind größter gemeinsamer Teiler(gcd) dieser Zahlen. Bezeichnet ggT(a,b), (a,b), ggT(a,b) oder hcf(a,b).

Kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) zweier ganzer Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die ohne Rest durch a und b teilbar ist. Bezeichnet LCM(a,b) oder lcm(a,b).

Die ganzen Zahlen a und b werden aufgerufen teilerfremd wenn sie außer +1 und −1 keine gemeinsamen Teiler haben.

Größter gemeinsamer Teiler

Gegeben seien zwei positive Zahlen a 1 und a 2 1). Es ist erforderlich, einen gemeinsamen Teiler dieser Zahlen zu finden, d.h. Finde eine solche Nummer λ , die die Zahlen dividiert a 1 und a 2 gleichzeitig. Lassen Sie uns den Algorithmus beschreiben.

1) In diesem Artikel bedeutet das Wort Zahl eine ganze Zahl.

Lassen a 1 ≥ a 2 und lassen

wo m 1 , a 3 sind einige ganze Zahlen, a 3 <a 2 (Rest aus der Teilung a 1 an a 2 sollte weniger sein a 2).

Stellen wir uns das vor λ teilt a 1 und a 2 dann λ teilt m 1 a 2 und λ teilt a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Behauptung 2 des Artikels "Teilbarkeit von Zahlen. Zeichen der Teilbarkeit"). Daraus folgt, dass jeder gemeinsame Teiler a 1 und a 2 ist ein gemeinsamer Teiler a 2 und a 3 . Die Umkehrung gilt auch, wenn λ gemeinsamer Teiler a 2 und a 3 dann m 1 a 2 und a 1 =m 1 a 2 +a 3 sind auch unterteilt in λ . Daher der gemeinsame Teiler a 2 und a 3 ist auch ein gemeinsamer Teiler a 1 und a 2. Als a 3 <a 2 ≤a 1 , dann können wir sagen, dass die Lösung des Problems, einen gemeinsamen Teiler von Zahlen zu finden a 1 und a 2 reduziert auf ein einfacheres Problem, einen gemeinsamen Teiler von Zahlen zu finden a 2 und a 3 .

Wenn ein a 3 ≠ 0, dann können wir dividieren a 2 weiter a 3 . Dann

,

wo m 1 und a 4 sind einige ganze Zahlen, ( a 4 Rest der Division a 2 weiter a 3 (a 4 <a 3)). Durch ähnliche Überlegungen kommen wir zu dem Schluss, dass die gemeinsamen Teiler von Zahlen a 3 und a 4 ist dasselbe wie gemeinsame Teiler von Zahlen a 2 und a 3 , und auch mit gemeinsamen Teilern a 1 und a 2. Als a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... Zahlen, die ständig kleiner werden, und da dazwischen endlich viele ganze Zahlen liegen a 2 und 0, dann irgendwann n, Rest der Division a n an a n+1 wird gleich Null sein ( a n+2=0).

.

Jeder gemeinsame Teiler λ Zahlen a 1 und a 2 ist auch ein Teiler von Zahlen a 2 und a 3 , a 3 und a 4 , .... a n und a n+1 . Das Gegenteil ist auch wahr, gemeinsame Teiler von Zahlen a n und a n+1 sind auch Teiler von Zahlen a n−1 und a n , .... , a 2 und a 3 , a 1 und a 2. Sondern der gemeinsame Teiler a n und a n+1 ist eine Zahl a n+1 , weil a n und a n+1 sind teilbar durch a n+1 (erinnern Sie sich daran a n+2=0). Folglich a n+1 ist auch ein Teiler von Zahlen a 1 und a 2 .

Beachten Sie, dass die Nummer a n+1 ist der größte Zahlenteiler a n und a n+1 , da der größte Teiler a n+1 ist es selbst a n+1 . Wenn ein a n + 1 kann als Produkt ganzer Zahlen dargestellt werden, dann sind diese Zahlen auch gemeinsame Teiler von Zahlen a 1 und a 2. Nummer a n+1 werden aufgerufen größter gemeinsamer Teiler Zahlen a 1 und a 2 .

Zahlen a 1 und a 2 kann sowohl positive als auch negative Zahlen sein. Wenn eine der Zahlen gleich Null ist, dann ist der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen gleich dem absoluten Wert der anderen Zahl. Der größte gemeinsame Teiler von Nullzahlen ist nicht definiert.

Der obige Algorithmus wird aufgerufen Euklids Algorithmus um den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen zu finden.

Ein Beispiel für das Finden des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen

Finde den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen 630 und 434.

• Schritt 1. Teilen Sie die Zahl 630 durch 434. Der Rest ist 196.
• Schritt 2. Teilen Sie die Zahl 434 durch 196. Der Rest ist 42.
• Schritt 3. Teilen Sie die Zahl 196 durch 42. Der Rest ist 28.
• Schritt 4. Teilen Sie die Zahl 42 durch 28. Der Rest ist 14.
• Schritt 5. Teilen Sie die Zahl 28 durch 14. Der Rest ist 0.

Bei Schritt 5 ist der Rest der Division 0. Daher ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 630 und 434 14. Beachten Sie, dass die Zahlen 2 und 7 auch Teiler der Zahlen 630 und 434 sind.

Koprime-Zahlen

Definition 1. Lassen Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen a 1 und a 2 ist gleich eins. Dann werden diese Nummern angerufen teilerfremde Zahlen die keinen gemeinsamen Teiler haben.

Satz 1. Wenn ein a 1 und a 2 relativ Primzahlen und λ irgendeine Zahl, dann irgendein gemeinsamer Teiler von Zahlen λa 1 und a 2 ist auch ein gemeinsamer Teiler von Zahlen λ und a 2 .

Nachweisen. Betrachten Sie Euklids Algorithmus zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers von Zahlen a 1 und a 2 (siehe oben).

.

Aus den Bedingungen des Satzes folgt, dass der größte gemeinsame Teiler von Zahlen a 1 und a 2 und daher a n und a n+1 ist 1. D.h. a n+1=1.

Lassen Sie uns alle diese Gleichheiten mit multiplizieren λ , dann

.

Lassen Sie den gemeinsamen Teiler a 1 λ und a 2 ist δ . Dann δ geht als Faktor ein a 1 λ , m 1 a 2 λ und in a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Siehe „Teilbarkeit von Zahlen“, Aussage 2). Des Weiteren δ geht als Faktor ein a 2 λ und m 2 a 3 λ , und geht somit als Faktor in ein a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Indem wir auf diese Weise argumentieren, sind wir davon überzeugt δ geht als Faktor ein a n-1 λ und m n-1 a n λ , und damit hinein a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Als a n+1 = 1, dann δ geht als Faktor ein λ . Daher die Nummer δ ist ein gemeinsamer Teiler von Zahlen λ und a 2 .

Betrachten Sie Spezialfälle von Theorem 1.

Folge 1. Lassen a und c Primzahlen sind relativ b. Dann ihr Produkt ac ist eine Primzahl bzgl b.

Wirklich. Aus Satz 1 ac und b haben die gleichen gemeinsamen Teiler wie c und b. Aber die Zahlen c und b teilerfremd, d.h. einen einzigen gemeinsamen Teiler 1 haben. Dann ac und b haben auch einen einzigen gemeinsamen Teiler 1. Daher ac und b gegenseitig einfach.

Folge 2. Lassen a und b teilerfremde Zahlen und let b teilt ja. Dann b teilt und k.

Wirklich. Aus der Behauptungsbedingung ja und b einen gemeinsamen Teiler haben b. Aufgrund von Satz 1 gilt b muss ein gemeinsamer Teiler sein b und k. Folglich b teilt k.

Korollar 1 kann verallgemeinert werden.

Folge 3. 1. Lassen Sie die Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m sind Primzahlen relativ zur Zahl b. Dann a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , das Produkt dieser Zahlen ist eine Primzahl in Bezug auf die Zahl b.

2. Angenommen, wir haben zwei Zahlenreihen

so dass jede Zahl in der ersten Reihe in Bezug auf jede Zahl in der zweiten Reihe eine Primzahl ist. Dann das Produkt

Es ist erforderlich, solche Zahlen zu finden, die durch jede dieser Zahlen teilbar sind.

Wenn die Zahl durch teilbar ist a 1 , dann sieht es so aus sa 1, wo s irgendeine Zahl. Wenn ein q ist der größte gemeinsame Teiler von Zahlen a 1 und a 2 dann

wo s 1 ist eine ganze Zahl. Dann

ist kleinstes gemeinsames Vielfaches von Zahlen a 1 und a 2 .

a 1 und a 2 teilerfremd, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a 1 und a 2:

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Daraus folgt, dass jedes Vielfache der Zahlen a 1 , a 2 , a 3 muss ein Vielfaches von Zahlen sein ε und a 3 und umgekehrt. Lassen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ε und a 3 ist ε eines . Ferner ein Vielfaches von Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , a 4 muss ein Vielfaches von Zahlen sein ε 1 und a vier . Lassen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ε 1 und a 4 ist ε 2. So haben wir herausgefunden, dass alle Vielfachen von Zahlen sind a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m stimmen mit Vielfachen einer bestimmten Zahl überein ε n , das das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen genannt wird.

Im besonderen Fall, wenn die Zahlen a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m teilerfremd, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a 1 , a 2 hat wie oben gezeigt die Form (3). Weiter seit a 3 prime in Bezug auf Zahlen a 1 , a 2 dann a 3 ist eine relative Primzahl a eines · a 2 (Ergänzung 1). Also das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a 1 ,a 2 ,a 3 ist eine Zahl a eines · a 2 · a 3 . In ähnlicher Weise argumentierend, kommen wir zu folgenden Behauptungen.

Aussage 1. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von teilerfremden Zahlen a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ist gleich ihrem Produkt a eines · a 2 · a 3 ··· a m .

Aussage 2. Jede Zahl, die durch jede der teilerfremden Zahlen teilbar ist a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ist auch durch ihr Produkt teilbar a eines · a 2 · a 3 ··· a m .

Mit dem Online-Rechner können Sie schnell den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder einer beliebigen anderen Anzahl von Zahlen finden.

Rechner zum Finden von GCD und NOC

Finden Sie GCD und NOC

GCD und NOC gefunden: 5806

So verwenden Sie den Rechner

• Geben Sie Zahlen in das Eingabefeld ein
• Bei Eingabe falscher Zeichen wird das Eingabefeld rot hinterlegt
• Drücken Sie die Schaltfläche "Find GCD and NOC"

So geben Sie Zahlen ein

• Zahlen werden durch Leerzeichen, Punkte oder Kommas getrennt eingegeben
• Die Länge der eingegebenen Nummern ist nicht begrenzt, also wird es nicht schwierig sein, ggT und LCM von langen Zahlen zu finden

Was ist NOD und NOK?

Größter gemeinsamer Teiler aus mehreren Zahlen ist die größte natürliche ganze Zahl, durch die alle ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Der größte gemeinsame Teiler wird mit abgekürzt GCD.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches mehrere Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch jede der ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache wird mit abgekürzt NOC.

Wie überprüfe ich, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl teilbar ist?

Um herauszufinden, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere teilbar ist, können Sie einige Eigenschaften der Teilbarkeit von Zahlen verwenden. Indem man sie dann kombiniert, kann man die Teilbarkeit durch einige von ihnen und ihre Kombinationen überprüfen.

Einige Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen

1. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 2
Um festzustellen, ob eine Zahl durch zwei teilbar ist (ob sie gerade ist), reicht es aus, die letzte Ziffer dieser Zahl zu betrachten: Wenn sie gleich 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, dann ist die Zahl gerade, was bedeutet, dass es durch 2 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 2 teilbar ist.
Lösung: Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: 8 bedeutet, dass die Zahl durch zwei teilbar ist.

2. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 3
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Um also festzustellen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, müssen Sie die Summe der Ziffern berechnen und prüfen, ob sie durch 3 teilbar ist. Auch wenn sich herausstellt, dass die Summe der Ziffern sehr groß ist, können Sie denselben Vorgang wiederholen wieder.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 3 teilbar ist.
Lösung: wir zählen die Summe der Ziffern: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 3 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch drei teilbar ist.

3. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 5
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine Null oder eine Fünf ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 5 teilbar ist.
Lösung: Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: 8 bedeutet, dass die Zahl NICHT durch fünf teilbar ist.

4. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 9
Dieses Zeichen ist dem Zeichen der Teilbarkeit durch drei sehr ähnlich: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 9 teilbar ist.
Lösung: wir berechnen die Quersumme: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 9 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch neun teilbar ist.

So finden Sie GCD und LCM von zwei Zahlen

So finden Sie den ggT zweier Zahlen

Der einfachste Weg, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu berechnen, besteht darin, alle möglichen Teiler dieser Zahlen zu finden und den größten davon auszuwählen.

Betrachten Sie diese Methode am Beispiel des Auffindens von GCD(28, 36) :

1. Wir faktorisieren beide Zahlen: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Wir finden gemeinsame Teiler, also solche, die beide Zahlen haben: 1, 2 und 2.
3. Wir berechnen das Produkt dieser Faktoren: 1 2 2 \u003d 4 - das ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 28 und 36.

So finden Sie das LCM von zwei Zahlen

Es gibt zwei gängige Methoden, um das kleinste Vielfache von zwei Zahlen zu finden. Die erste Möglichkeit besteht darin, dass Sie die ersten Vielfachen zweier Zahlen aufschreiben und dann eine solche Zahl auswählen können, die beiden Zahlen gemeinsam und gleichzeitig die kleinste ist. Und die zweite besteht darin, den ggT dieser Zahlen zu finden. Betrachten wir es einfach.

Um das LCM zu berechnen, müssen Sie das Produkt der ursprünglichen Zahlen berechnen und es dann durch den zuvor gefundenen ggT dividieren. Lassen Sie uns das LCM für die gleichen Zahlen 28 und 36 finden:

1. Finden Sie das Produkt der Zahlen 28 und 36: 28 36 = 1008
2. ggT(28, 36) ist bereits als 4 bekannt
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Finden von GCD und LCM für mehrere Zahlen

Den größten gemeinsamen Teiler findet man für mehrere Zahlen, nicht nur für zwei. Dazu werden die nach dem größten gemeinsamen Teiler zu suchenden Zahlen in Primfaktoren zerlegt, dann wird das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Zahlen gefunden. Um den ggT mehrerer Zahlen zu finden, können Sie auch die folgende Beziehung verwenden: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c).

Eine ähnliche Beziehung gilt auch für das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Beispiel: Finden Sie GCD und LCM für die Zahlen 12, 32 und 36.

1. Zuerst faktorisieren wir die Zahlen: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Lassen Sie uns gemeinsame Faktoren finden: 1, 2 und 2 .
3. Ihr Produkt ergibt ggT: 1 2 2 = 4
4. Nun suchen wir das LCM: Dazu finden wir zuerst das LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Um das LCM aller drei Zahlen zu finden, müssen Sie den ggT (96, 36) finden: 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , ggT = 1 2 , 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen steht in direktem Zusammenhang mit dem größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. Dies Verbindung zwischen GCD und NOC ist durch den folgenden Satz definiert.

Satz.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver ganzer Zahlen a und b ist gleich dem Produkt der Zahlen a und b dividiert durch den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b , d. h. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Nachweisen.

Lassen M ist ein Vielfaches der Zahlen a und b. Das heißt, M ist durch a teilbar, und gemäß der Definition der Teilbarkeit gibt es eine ganze Zahl k, so dass die Gleichheit M = a·k wahr ist. Aber M ist auch durch b teilbar, dann ist a k durch b teilbar.

Bezeichne ggT(a, b) als d . Dann können wir die Gleichungen a=a 1 ·d und b=b 1 ·d aufschreiben, und a 1 =a:d und b 1 =b:d werden teilerfremde Zahlen sein. Daher kann die im vorigen Absatz erhaltene Bedingung, dass a k durch b teilbar ist, wie folgt umformuliert werden: a 1 d k ist durch b 1 d teilbar, und dies ist aufgrund der Teilbarkeitseigenschaften äquivalent zu der Bedingung, dass a 1 k durch b eins teilbar ist.

Wir müssen auch zwei wichtige Folgerungen aus dem betrachteten Theorem aufschreiben.

Gemeinsame Vielfache zweier Zahlen sind gleich Vielfache ihres kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

Dies ist wahr, da jedes gemeinsame Vielfache von M Zahlen a und b durch die Gleichheit M=LCM(a, b) t für einen ganzzahligen Wert t definiert ist.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der teilerfremden positiven Zahlen a und b ist gleich ihrem Produkt.

Der Grund für diese Tatsache ist ziemlich offensichtlich. Da a und b teilerfremd sind, ist ggT(a, b)=1 , also LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von drei oder mehr Zahlen

Das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von drei oder mehr Zahlen kann auf das sukzessive Finden des LCM von zwei Zahlen reduziert werden. Wie das geht, zeigt der folgende Satz: a 1 , a 2 , …, a k stimmen mit gemeinsamen Vielfachen der Zahlen m k-1 überein und a k stimmen also mit Vielfachen von m k überein. Und da das kleinste positive Vielfache der Zahl m k die Zahl m k selbst ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a 1 , a 2 , …, a k m k .

Referenzliste.

• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Winogradov I. M. Grundlagen der Zahlentheorie.
• Michelowitsch Sh.Kh. Zahlentheorie.
• Kulikov L. Ya. ua Aufgabensammlung der Algebra und Zahlentheorie: Lehrbuch für Studierende der fiz.-mat. Spezialgebiete pädagogischer Institute.

Um zu verstehen, wie das LCM berechnet wird, sollten Sie zunächst die Bedeutung des Begriffs "Multiple" bestimmen.

Ein Vielfaches von A ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist, also können 15, 20, 25 usw. als Vielfache von 5 betrachtet werden.

Es kann eine begrenzte Anzahl von Teilern einer bestimmten Zahl geben, aber es gibt unendlich viele Vielfache.

Ein gemeinsames Vielfaches natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die ohne Rest durch sie teilbar ist.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von Zahlen (zwei, drei oder mehr) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle diese Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Um das NOC zu finden, können Sie mehrere Methoden verwenden.

Bei kleinen Zahlen ist es praktisch, alle Vielfachen dieser Zahlen in einer Zeile aufzuschreiben, bis es unter ihnen ein gemeinsames gibt. Vielfache werden im Protokoll mit einem Großbuchstaben K gekennzeichnet.

Vielfache von 4 können beispielsweise so geschrieben werden:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Sie können also sehen, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 6 die Zahl 24 ist. Diese Eingabe wird wie folgt durchgeführt:

LCM(4, 6) = 24

Wenn die Zahlen groß sind, finden Sie das gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen, dann ist es besser, eine andere Methode zur Berechnung des LCM zu verwenden.

Um die Aufgabe abzuschließen, ist es notwendig, die vorgeschlagenen Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Zuerst müssen Sie die Erweiterung der größten Zahl in einer Zeile und darunter den Rest aufschreiben.

Bei der Erweiterung jeder Zahl kann es eine unterschiedliche Anzahl von Faktoren geben.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahlen 50 und 20 in Primfaktoren zerlegen.

Bei der Entwicklung der kleineren Zahl sollte man die Faktoren, die bei der Entwicklung der ersten größten Zahl fehlen, unterstreichen und dann ergänzen. Im vorgestellten Beispiel fehlt eine Zwei.

Jetzt können wir das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 50 berechnen.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Somit ist das Produkt der Primfaktoren der größeren Zahl und der Faktoren der zweiten Zahl, die nicht in die Zerlegung der größeren Zahl einbezogen werden, das kleinste gemeinsame Vielfache.

Um das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, sollten alle wie im vorherigen Fall in Primfaktoren zerlegt werden.

Als Beispiel kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 16, 24, 36 finden.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Somit wurden nur zwei Zweien aus der Zerlegung von sechzehn nicht in die Faktorisierung einer größeren Zahl einbezogen (eine ist in der Zerlegung von vierundzwanzig).

Daher müssen sie zur Zerlegung einer größeren Zahl hinzugefügt werden.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Es gibt Sonderfälle bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Wenn also eine der Zahlen ohne Rest durch eine andere teilbar ist, dann ist die größere dieser Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache.

Zum Beispiel wären NOCs von zwölf und vierundzwanzig vierundzwanzig.

Wenn es notwendig ist, das kleinste gemeinsame Vielfache von teilerfremden Zahlen zu finden, die nicht dieselben Teiler haben, dann ist ihr LCM gleich ihrem Produkt.

Beispiel: LCM(10, 11) = 110.