Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log a x und protokollieren a j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. Protokoll a x+log a j= anmelden a (x · j);
2. Protokoll a x−log a j= anmelden a (x : j).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, den logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
Log 7 49 6 = 6 Log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

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Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Wir haben:

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Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Lass den Logarithmus loggen a x. Dann für eine beliebige Zahl c so dass c> 0 und c≠ 1 gilt die Gleichheit:

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Insbesondere, wenn wir setzen c = x, wir bekommen:

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Aus der zweiten Formel folgt, dass man die Basis und das Argument des Logarithmus vertauschen kann, aber in diesem Fall wird der ganze Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

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Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

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Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

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Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall die Nummer n wird zum Exponenten des Arguments. Anzahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es wird die grundlegende logarithmische Identität genannt.

In der Tat, was wird passieren, wenn die Nummer b damit an die Macht erheben b insofern ergibt sich eine Zahl a? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

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Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

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Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Prüfungsaufgabe :)

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. Protokoll a a= 1 ist die logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Protokoll a 1 = 0 ist logarithmisch Null. Base a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Weil a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Der Schwerpunkt dieses Artikels liegt Logarithmus. Hier geben wir die Definition des Logarithmus, zeigen die akzeptierte Schreibweise, geben Beispiele für Logarithmen und sprechen über natürliche und dezimale Logarithmen. Betrachten Sie danach die grundlegende logarithmische Identität.

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Definition von Logarithmus

Das Konzept eines Logarithmus entsteht bei der Lösung eines Problems in einem bestimmten Sinne invers, wenn Sie den Exponenten aus einem bekannten Wert des Grades und einer bekannten Basis finden müssen.

Aber genug der Vorrede, es ist Zeit, die Frage „Was ist ein Logarithmus“ zu beantworten? Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Logarithmus von b zur Basis a, wobei a>0 , a≠1 und b>0 der Exponent ist, auf den Sie die Zahl a erhöhen müssen, um als Ergebnis b zu erhalten.

An dieser Stelle stellen wir fest, dass das gesprochene Wort „Logarithmus“ sofort zwei Folgefragen aufwerfen sollte: „welche Zahl“ und „auf welcher Grundlage“. Mit anderen Worten, es gibt einfach keinen Logarithmus, sondern nur den Logarithmus einer Zahl in irgendeiner Basis.

Wir werden sofort vorstellen logarithmische Schreibweise: Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a wird üblicherweise als log a b bezeichnet. Der Logarithmus der Zahl b zur Basis e und der Logarithmus zur Basis 10 haben ihre eigenen speziellen Bezeichnungen lnb bzw. lgb, das heißt, sie schreiben nicht log e b , sondern lnb und nicht log 10 b , sondern lgb .

Jetzt können Sie Folgendes mitbringen: .
Und die Aufzeichnungen machen keinen Sinn, da im ersten eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, im zweiten - eine negative Zahl in der Basis und im dritten - sowohl eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus als auch eine Einheit in der Basis.

Jetzt reden wir darüber Regeln zum Lesen von Logarithmen. Der Eintrag log a b wird gelesen als "Logarithmus von b zur Basis a". Beispielsweise ist log 2 3 der Logarithmus von drei zur Basis 2 und der Logarithmus von zwei ganzen Zahlen zwei Basisdrittel der Quadratwurzel von fünf. Der Logarithmus zur Basis e wird aufgerufen natürlicher Logarithmus, und die Notation lnb wird als "der natürliche Logarithmus von b" gelesen. Zum Beispiel ist ln7 der natürliche Logarithmus von sieben, und wir werden ihn als den natürlichen Logarithmus von Pi lesen. Der Logarithmus zur Basis 10 hat auch einen besonderen Namen - dezimaler Logarithmus, und die Notation lgb wird gelesen als "dezimaler Logarithmus b". Beispielsweise ist lg1 der dezimale Logarithmus von eins und lg2,75 der dezimale Logarithmus von zwei Komma fünfundsiebzig Hundertstel.

Es lohnt sich, gesondert auf die Bedingungen a>0, a≠1 und b>0 einzugehen, unter denen die Definition des Logarithmus gegeben ist. Lassen Sie uns erklären, woher diese Einschränkungen kommen. Dabei hilft uns eine Gleichheit der Form namens , die direkt aus der oben gegebenen Definition des Logarithmus folgt.

Beginnen wir mit a≠1 . Da Eins gleich Eins zu jeder Potenz ist, kann die Gleichheit nur für b=1 wahr sein, aber log 1 1 kann jede reelle Zahl sein. Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, wird a≠1 akzeptiert.

Untermauern wir die Zweckmäßigkeit der Bedingung a>0 . Mit a=0 hätten wir nach Definition des Logarithmus Gleichheit, was nur mit b=0 möglich ist. Aber dann kann log 0 0 jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null hoch jede Potenz ungleich Null gleich Null ist. Diese Mehrdeutigkeit kann durch die Bedingung a≠0 vermieden werden. Und für ein<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Schließlich folgt aus der Ungleichung a>0 die Bedingung b>0, da , und der Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv ist.

Zum Abschluss dieses Absatzes sagen wir, dass die stimmhafte Definition des Logarithmus es Ihnen ermöglicht, den Wert des Logarithmus sofort anzugeben, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus einen bestimmten Basisgrad hat. Tatsächlich erlaubt uns die Definition des Logarithmus zu behaupten, dass wenn b=a p , der Logarithmus der Zahl b zur Basis a gleich p ist. Das heißt, das Gleichheitslog a a p = p ist wahr. Wir wissen zum Beispiel, dass 2 3 =8 , dann log 2 8=3 . Wir werden im Artikel mehr darüber sprechen.

Eines der Elemente der primitiven Algebra ist der Logarithmus. Der Name kommt aus der griechischen Sprache von dem Wort „Zahl“ oder „Grad“ und bedeutet den Grad, um den es notwendig ist, die Zahl an der Basis zu erhöhen, um die endgültige Zahl zu finden.

Arten von Logarithmen

• log a b ist der Logarithmus der Zahl b zur Basis a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - dezimaler Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10, a = 10);
• ln b - natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis e, a = e).

Wie löst man Logarithmen?

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist ein Exponent, der erfordert, dass die Basis a zur Zahl b erhoben wird. Das Ergebnis wird so ausgesprochen: „Logarithmus von b zur Basis von a“. Die Lösung für logarithmische Probleme besteht darin, dass Sie den angegebenen Grad durch die Zahlen durch die angegebenen Zahlen bestimmen müssen. Es gibt einige Grundregeln, um den Logarithmus zu bestimmen oder zu lösen, sowie die Notation selbst umzuwandeln. Mit ihnen werden logarithmische Gleichungen gelöst, Ableitungen gefunden, Integrale gelöst und viele andere Operationen durchgeführt. Grundsätzlich ist die Lösung des Logarithmus selbst seine vereinfachte Schreibweise. Nachfolgend sind die wichtigsten Formeln und Eigenschaften aufgeführt:

Für ein ; a > 0; a ≠ 1 und für jedes x ; y > 0.

• a log a b = b ist die grundlegende logarithmische Identität
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , für k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - Formel für den Übergang zu einer neuen Basis
• log a x = 1/log x a

Logarithmen lösen - Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Lösen

• Schreiben Sie zuerst die benötigte Gleichung auf.

Bitte beachten Sie: Wenn der Basislogarithmus 10 ist, wird der Datensatz gekürzt, es wird ein Dezimallogarithmus erhalten. Wenn es eine natürliche Zahl e gibt, schreiben wir sie auf und reduzieren sie auf einen natürlichen Logarithmus. Das bedeutet, dass das Ergebnis aller Logarithmen die Potenz ist, mit der die Basiszahl potenziert wird, um die Zahl b zu erhalten.

Die Lösung liegt direkt in der Berechnung dieses Grades. Bevor ein Ausdruck mit einem Logarithmus gelöst wird, muss er gemäß der Regel vereinfacht werden, dh mit Formeln. Sie können die wichtigsten Identitäten finden, indem Sie im Artikel ein wenig zurückgehen.

Ersetzen Sie beim Addieren und Subtrahieren von Logarithmen mit zwei verschiedenen Zahlen, aber mit derselben Basis, durch einen einzelnen Logarithmus mit dem Produkt oder der Division der Zahlen b bzw. c. In diesem Fall können Sie die Übergangsformel auf eine andere Basis anwenden (siehe oben).

Wenn Sie Ausdrücke verwenden, um den Logarithmus zu vereinfachen, müssen Sie einige Einschränkungen beachten. Und das heißt: Die Basis des Logarithmus a ist nur eine positive Zahl, aber nicht gleich eins. Die Zahl b muss wie a größer als Null sein.

Es gibt Fälle, in denen Sie nach Vereinfachung des Ausdrucks den Logarithmus nicht in numerischer Form berechnen können. Es kommt vor, dass ein solcher Ausdruck keinen Sinn ergibt, weil viele Grade irrationale Zahlen sind. Belassen Sie unter dieser Bedingung die Potenz der Zahl als Logarithmus.