Unterricht und Präsentation zum Thema: "Exponentialgleichungen und exponentielle Ungleichungen"

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Definition von Exponentialgleichungen

Leute, wir haben Exponentialfunktionen untersucht, ihre Eigenschaften gelernt und Diagramme erstellt, Beispiele von Gleichungen analysiert, in denen Exponentialfunktionen aufgetreten sind. Heute werden wir Exponentialgleichungen und Ungleichungen untersuchen.

Definition. Gleichungen der Form: $a^(f(x))=a^(g(x))$, wobei $a>0$, $a≠1$ heißen Exponentialgleichungen.

In Erinnerung an die Sätze, die wir im Thema „Exponentialfunktion“ studiert haben, können wir einen neuen Satz einführen:
Satz. Die Exponentialgleichung $a^(f(x))=a^(g(x))$, wobei $a>0$, $a≠1$ der Gleichung $f(x)=g(x) entspricht $.

Beispiele für Exponentialgleichungen

Beispiel.
Gleichungen lösen:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Lösung.
a) Wir wissen gut, dass $27=3^3$.
Schreiben wir unsere Gleichung um: $3^(3x-3)=3^3$.
Unter Verwendung des obigen Theorems erhalten wir, dass sich unsere Gleichung auf die Gleichung $3x-3=3$ reduziert, wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir $x=2$.
Antwort: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Dann kann unsere Gleichung umgeschrieben werden: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Antwort: $x=0$.

C) Die ursprüngliche Gleichung entspricht der Gleichung: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ und $x_2=-3$.
Antwort: $x_1=6$ und $x_2=-3$.

Beispiel.
Lösen Sie die Gleichung: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Lösung:
Wir werden nacheinander eine Reihe von Aktionen ausführen und beide Teile unserer Gleichung auf die gleiche Basis bringen.
Lassen Sie uns eine Reihe von Operationen auf der linken Seite ausführen:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Kommen wir zur rechten Seite:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Die ursprüngliche Gleichung ist äquivalent zu der Gleichung:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Antwort: $x=0$.

Beispiel.
Lösen Sie die Gleichung: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Lösung:
Schreiben wir unsere Gleichung um: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Nehmen wir eine Änderung der Variablen vor, sei $a=3^x$.
In den neuen Variablen hat die Gleichung folgende Form: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ und $a_2=3$.
Lassen Sie uns die umgekehrte Änderung der Variablen durchführen: $3^x=-12$ und $3^x=3$.
In der letzten Lektion haben wir gelernt, dass Exponentialausdrücke nur positive Werte annehmen können, erinnern Sie sich an den Graphen. Das heißt, die erste Gleichung hat keine Lösungen, die zweite Gleichung hat eine Lösung: $x=1$.
Antwort: $x=1$.

Lassen Sie uns ein Memo über Möglichkeiten zum Lösen von Exponentialgleichungen machen:
1. Grafische Methode. Wir stellen beide Teile der Gleichung als Funktionen dar und bauen ihre Graphen auf, finden die Schnittpunkte der Graphen. (Wir haben diese Methode in der letzten Lektion verwendet).
2. Das Prinzip der Gleichheit der Indikatoren. Das Prinzip beruht darauf, dass zwei Ausdrücke mit gleichen Basen genau dann gleich sind, wenn die Grade (Exponenten) dieser Basen gleich sind. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Methode der Variablenänderung. Diese Methode sollte verwendet werden, wenn die Gleichung beim Ändern von Variablen ihre Form vereinfacht und viel einfacher zu lösen ist.

Beispiel.
Lösen Sie das Gleichungssystem: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cases)$.
Lösung.
Betrachten Sie beide Gleichungen des Systems getrennt:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Betrachten Sie die zweite Gleichung:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Lassen Sie uns die Methode der Variablenänderung verwenden, sei $y=2^(x+y)$.
Dann nimmt die Gleichung die Form an:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ und $y_2=-3$.
Kommen wir zu den Anfangsvariablen, aus der ersten Gleichung erhalten wir $x+y=2$. Die zweite Gleichung hat keine Lösungen. Dann ist unser anfängliches Gleichungssystem äquivalent zu dem System: $\begin (Fälle) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cases)$.
Subtrahieren Sie die zweite Gleichung von der ersten Gleichung, erhalten wir: $\begin (Fälle) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cases)$.
$\begin (Fälle) y=-1, \\ x=3. \end(cases)$.
Antwort: $(3;-1)$.

exponentielle Ungleichungen

Kommen wir zu den Ungleichheiten. Bei der Lösung von Ungleichheiten muss auf die Basis des Abschlusses geachtet werden. Es gibt zwei mögliche Szenarien für die Entwicklung von Ereignissen beim Lösen von Ungleichungen.

Satz. Wenn $a>1$, dann ist die exponentielle Ungleichung $a^(f(x))>a^(g(x))$ äquivalent zur Ungleichung $f(x)>g(x)$.
Wenn $0 a^(g(x))$ entspricht $f(x)

Beispiel.
Ungleichungen lösen:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Lösung.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Unsere Ungleichung ist äquivalent zu der Ungleichung:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) In unserer Gleichung ist die Basis um eine Stufe kleiner als 1, dann muss beim Ersetzen einer Ungleichung durch eine äquivalente das Vorzeichen geändert werden.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Unsere Ungleichung ist äquivalent zur Ungleichung:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Lassen Sie uns die Intervalllösungsmethode verwenden:
Antwort: $(-∞;-5]U \ \

Antworten: $(-4,6)$.

Beispiel 2

Lösen Sie ein Gleichungssystem

Figur 3

Lösung.

Dieses System entspricht dem System

Figur 4

Wir wenden die vierte Methode zum Lösen von Gleichungen an. Seien $2^x=u\ (u >0)$ und $3^y=v\ (v >0)$, wir erhalten:

Abbildung 5

Wir lösen das resultierende System mit der Additionsmethode. Fügen wir die Gleichungen hinzu:

\ \

Dann bekommen wir das aus der zweiten Gleichung

Als ich zum Ersatz zurückkehrte, erhielt ich ein neues System von Exponentialgleichungen:

Abbildung 6

Wir bekommen:

Abbildung 7

Antworten: $(0,1)$.

Systeme exponentieller Ungleichungen

Bestimmung 2

Systeme von Ungleichungen, die aus Exponentialgleichungen bestehen, werden als System von Exponentialungleichungen bezeichnet.

Wir betrachten die Lösung von Systemen exponentieller Ungleichungen anhand von Beispielen.

Beispiel 3

Lösen Sie das System der Ungleichungen

Abbildung 8

Lösung:

Dieses System der Ungleichheiten entspricht dem System

Abbildung 9

Um die erste Ungleichung zu lösen, erinnern Sie sich an den folgenden Äquivalenzsatz für exponentielle Ungleichungen:

Satz 1. Die Ungleichung $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, wobei $a >0,a\ne 1$ ist, entspricht der Menge zweier Systeme

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