Um Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen, müssen Sie: 1) das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche finden, es wird der kleinste gemeinsame Nenner sein. 2) Finden Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden der Brüche, für den wir den neuen Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividieren. 3) Multipliziere Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor.
Beispiele. Kürze die folgenden Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
Wir finden das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner: LCM(5; 4) = 20, da 20 die kleinste Zahl ist, die sowohl durch 5 als auch durch 4 teilbar ist. Wir finden für den 1. Bruch einen zusätzlichen Faktor 4 (20 : 5=4). Für den 2. Bruch beträgt der zusätzliche Multiplikator 5 (20 : 4=5). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 1. Bruchs mit 4 und Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 5. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ( 20 ).
Der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche ist 8, da 8 durch 4 und sich selbst teilbar ist. Es gibt keinen zusätzlichen Multiplikator für den 1. Bruch (oder wir können sagen, dass er gleich eins ist), für den 2. Bruch ist der zusätzliche Multiplikator 2 (8 : 4=2). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 2. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ( 8 ).
Diese Brüche sind nicht irreduzibel.
Wir kürzen den 1. Bruch um 4 und den 2. Bruch um 2. ( siehe Beispiele zur Kürzung gewöhnlicher Brüche: Sitemap → 5.4.2. Beispiele für die Kürzung gewöhnlicher Brüche). Finden Sie LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Der zusätzliche Multiplikator für den 1. Bruch ist 5 (80 : 16=5). Der zusätzliche Multiplikator für den 2. Bruch ist 4 (80 : 20=4). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 1. Bruchs mit 5 und Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 4. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ( 80 ).
Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner des NOC(5 ; 6 und 15) = LCM(5 ; 6 und 15)=30. Der zusätzliche Multiplikator zum 1. Bruch ist 6 (30 : 5=6), ist der zusätzliche Multiplikator zum 2. Bruch 5 (30 : 6=5), ist der zusätzliche Multiplikator zum 3. Bruch 2 (30 : 15=2). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 1. Bruchs mit 6, Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 5, Zähler und Nenner des 3. Bruchs mit 2. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ( 30 ).
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Schema der Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner
- Es ist notwendig, das kleinste gemeinsame Vielfache für die Nenner von Brüchen zu bestimmen. Wenn Sie es mit einer gemischten oder ganzen Zahl zu tun haben, müssen Sie diese zuerst in einen Bruch umwandeln und erst dann das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen. Um eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen Sie die Zahl selbst in den Zähler und eins in den Nenner schreiben. Die Zahl 5 als Bruch würde beispielsweise so aussehen: 5/1. Um eine gemischte Zahl in einen Bruch umzuwandeln, musst du die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizieren und den Zähler dazu addieren. Beispiel: 8 ganze Zahlen und 3/5 als Bruch = 8x5+3/5 = 43/5.
- Danach muss ein zusätzlicher Faktor gefunden werden, der durch Teilen der NOZ durch den Nenner jedes Bruchs bestimmt wird.
- Der letzte Schritt besteht darin, den Bruch mit einem zusätzlichen Faktor zu multiplizieren.
Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner nicht nur für die Addition oder Subtraktion erforderlich ist. Um mehrere Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, ist es außerdem notwendig, sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
Um zu verstehen, wie man einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner bringt, ist es notwendig, einige Eigenschaften von Brüchen zu verstehen. Eine wichtige Eigenschaft, die zum Reduzieren auf NOZ verwendet wird, ist die Gleichheit von Brüchen. Mit anderen Worten, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit einer Zahl multipliziert werden, dann ist das Ergebnis ein Bruch gleich dem vorherigen. Nehmen wir das folgende Beispiel als Beispiel. Um die Brüche 5/9 und 5/6 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen, müssen Sie Folgendes tun:
- Finde zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. In diesem Fall ist die NOC für die Nummern 9 und 6 18.
- Wir bestimmen zusätzliche Faktoren für jede der Fraktionen. Dies geschieht auf folgende Weise. Wir teilen das LCM durch den Nenner jedes Bruchs, als Ergebnis erhalten wir 18: 9 \u003d 2 und 18: 6 \u003d 3. Diese Zahlen sind zusätzliche Faktoren.
- Wir bringen zwei Fraktionen zu NOZ. Wenn du einen Bruch mit einer Zahl multiplizierst, musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner multiplizieren. Der Bruch 5/9 kann mit einem zusätzlichen Faktor von 2 multipliziert werden, was einen Bruch gleich dem angegebenen ergibt - 10/18. Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch: Multiplizieren Sie 5/6 mit 3, was 15/18 ergibt.
Wie Sie dem obigen Beispiel entnehmen können, wurden beide Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gebracht. Um endlich zu verstehen, wie man einen gemeinsamen Nenner findet, müssen Sie eine weitere Eigenschaft von Brüchen beherrschen. Es liegt daran, dass Zähler und Nenner eines Bruchs um dieselbe Zahl, den sogenannten gemeinsamen Teiler, gekürzt werden können. Beispielsweise kann der Bruch 12/30 auf 2/5 reduziert werden, wenn er durch einen gemeinsamen Teiler - die Zahl 6 - geteilt wird.
In dieser Lektion werden wir uns ansehen, wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt und Probleme zu diesem Thema löst. Lassen Sie uns das Konzept eines gemeinsamen Nenners und eines zusätzlichen Faktors definieren, denken Sie an teilerfremde Zahlen. Lassen Sie uns das Konzept des kleinsten gemeinsamen Nenners (LCD) definieren und eine Reihe von Problemen lösen, um es zu finden.
Thema: Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren
Lektion: Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
Wiederholung. Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs.
Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden, erhält man einen gleich großen Bruch.
Zum Beispiel können Zähler und Nenner eines Bruchs durch 2 geteilt werden. Wir erhalten einen Bruch. Diese Operation wird Fraktionsreduktion genannt. Du kannst die Rücktransformation auch durchführen, indem du Zähler und Nenner des Bruchs mit 2 multiplizierst. In diesem Fall sagen wir, dass wir den Bruch auf einen neuen Nenner gekürzt haben. Die Zahl 2 wird als zusätzlicher Faktor bezeichnet.
Fazit. Ein Bruch kann auf jeden Nenner gekürzt werden, der ein Vielfaches des Nenners des gegebenen Bruchs ist. Um einen Bruch auf einen neuen Nenner zu bringen, werden Zähler und Nenner mit einem zusätzlichen Faktor multipliziert.
1. Bringe den Bruch auf den Nenner 35.
Die Zahl 35 ist ein Vielfaches von 7, das heißt, 35 ist ohne Rest durch 7 teilbar. Diese Transformation ist also möglich. Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor finden. Dazu dividieren wir 35 durch 7. Wir erhalten 5. Wir multiplizieren Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit 5.
2. Bringe den Bruch auf den Nenner 18.
Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor finden. Dazu dividieren wir den neuen Nenner durch den ursprünglichen. Wir erhalten 3. Wir multiplizieren Zähler und Nenner dieses Bruchs mit 3.
3. Bringe den Bruch auf den Nenner 60.
Indem wir 60 durch 15 teilen, erhalten wir einen zusätzlichen Multiplikator. Er ist gleich 4. Multiplizieren wir Zähler und Nenner mit 4.
4. Bringe den Bruch auf den Nenner 24
In einfachen Fällen wird im Kopf auf einen neuen Nenner reduziert. Es ist üblich, einen zusätzlichen Faktor nur etwas rechts und oberhalb des ursprünglichen Bruchs hinter der Klammer anzugeben.
Ein Bruch kann auf einen Nenner von 15 gekürzt werden und ein Bruch kann auf einen Nenner von 15 gekürzt werden. Brüche haben einen gemeinsamen Nenner von 15.
Der gemeinsame Nenner von Brüchen kann ein beliebiges gemeinsames Vielfaches ihrer Nenner sein. Der Einfachheit halber werden Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gekürzt. Er ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner der gegebenen Brüche.
Beispiel. Reduziere auf den kleinsten gemeinsamen Nenner des Bruchs und .
Finde zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche. Diese Zahl ist 12. Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten und zweiten Bruch finden. Dazu teilen wir 12 durch 4 und durch 6. Drei ist ein zusätzlicher Faktor für den ersten Bruch, zwei für den zweiten. Wir bringen die Brüche auf den Nenner 12.
Wir haben die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, das heißt, wir haben Brüche gefunden, die ihnen gleich sind und denselben Nenner haben.
Regel. Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen,
Finden Sie zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche, das ihr kleinster gemeinsamer Nenner sein wird;
Zweitens teilen Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner durch die Nenner dieser Brüche, dh finden Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch.
Drittens multipliziere Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor.
a) Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner kürzen.
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 12. Der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch ist 4, für den zweiten - 3. Wir bringen die Brüche auf den Nenner 24.
b) Bringen Sie die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner.
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 45. Wenn wir 45 durch 9 durch 15 teilen, erhalten wir 5 bzw. 3. Wir bringen die Brüche auf den Nenner 45.
c) Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner kürzen.
Der gemeinsame Nenner ist 24. Die zusätzlichen Faktoren sind 2 bzw. 3.
Manchmal ist es schwierig, verbal das kleinste gemeinsame Vielfache für die Nenner gegebener Brüche zu finden. Dann werden der gemeinsame Nenner und zusätzliche Faktoren durch Faktorisieren in Primfaktoren gefunden.
Reduzieren Sie den Bruch und auf einen gemeinsamen Nenner.
Zerlegen wir die Zahlen 60 und 168 in Primfaktoren. Schreiben wir die Erweiterung der Zahl 60 aus und ergänzen die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der zweiten Erweiterung. Multiplizieren Sie 60 mit 14 und erhalten Sie einen gemeinsamen Nenner von 840. Der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch ist 14. Der zusätzliche Faktor für den zweiten Bruch ist 5. Lassen Sie uns die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner von 840 bringen.
Referenzliste
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ua Mathematik 6. - M.: Mnemozina, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematik Klasse 6. - Gymnasium, 2006.
3. Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. - Aufklärung, 1989.
4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Aufgaben für den Kurs Mathematik Klasse 5-6. - ZSH MEPHI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Mathematik 5-6. Ein Handbuch für Schüler der 6. Klasse der Fernschule MEPhI. - ZSH MEPHI, 2011.
6. Shevrin L. N., Gein A. G., Koryakov I. O. und andere Mathematik: Ein Lehrbuch-Gesprächspartner für die Klassen 5-6 der High School. Bibliothek des Mathematiklehrers. - Aufklärung, 1989.
Sie können die in Ziffer 1.2 genannten Bücher herunterladen. diese Lektion.
Hausaufgaben
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ua Mathematik 6. - M.: Mnemozina, 2012. (siehe Link 1.2)
Hausaufgaben: Nr. 297, Nr. 298, Nr. 300.
Andere Aufgaben: #270, #290
Dieser Artikel erklärt, wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt und wie man den kleinsten gemeinsamen Nenner findet. Es werden Definitionen gegeben, eine Regel zum Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner gegeben und praktische Beispiele betrachtet.
Was bringt einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner?
Gewöhnliche Brüche bestehen aus einem Zähler - dem oberen Teil - und einem Nenner - dem unteren Teil. Wenn Brüche den gleichen Nenner haben, nennt man sie einen gemeinsamen Nenner. Beispielsweise haben die Brüche 11 14 , 17 14 , 9 14 denselben Nenner 14 . Mit anderen Worten, sie werden auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.
Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, dann lassen sie sich mit einfachen Handgriffen immer auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dazu müssen Sie Zähler und Nenner mit bestimmten zusätzlichen Faktoren multiplizieren.
Offensichtlich werden die Brüche 4 5 und 3 4 nicht auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Dazu müssen Sie die zusätzlichen Faktoren 5 und 4 verwenden, um sie auf einen Nenner von 20 zu bringen. Wie genau geht das? Multipliziere Zähler und Nenner von 45 mit 4 und Zähler und Nenner von 34 mit 5. Anstelle der Brüche 4 5 und 3 4 erhalten wir 16 20 bzw. 15 20.
Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
Das Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner ist das Multiplizieren der Zähler und Nenner von Brüchen mit Faktoren, sodass das Ergebnis identische Brüche mit demselben Nenner sind.
Gemeinsamer Nenner: Definition, Beispiele
Was ist ein gemeinsamer Nenner?
Gemeinsamer Nenner
Der gemeinsame Nenner eines Bruchs ist jede positive Zahl, die ein gemeinsames Vielfaches aller gegebenen Brüche ist.
Mit anderen Worten, der gemeinsame Nenner einiger Brüche ist eine solche natürliche Zahl, die durch alle Nenner dieser Brüche ohne Rest teilbar ist.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, und daher hat jede Menge gemeinsamer Brüche per Definition unendlich viele gemeinsame Nenner. Mit anderen Worten, es gibt unendlich viele gemeinsame Vielfache für alle Nenner des ursprünglichen Satzes von Brüchen.
Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche lässt sich leicht anhand der Definition finden. Es seien die Brüche 1 6 und 3 5 . Der gemeinsame Nenner der Brüche ist ein beliebiges positives gemeinsames Vielfaches der Zahlen 6 und 5. Solche positiven gemeinsamen Vielfachen sind 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 und so weiter.
Betrachten Sie ein Beispiel.
Beispiel 1. Gemeinsamer Nenner
Können di Brüche 1 3, 21 6, 5 12 auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, der gleich 150 ist?
Um herauszufinden, ob dies der Fall ist, müssen Sie überprüfen, ob 150 ein gemeinsames Vielfaches der Nenner der Brüche ist, also für die Zahlen 3, 6, 12. Das heißt, die Zahl 150 muss ohne Rest durch 3, 6, 12 teilbar sein. Lass uns das Prüfen:
150 ÷ 3 = 50 , 150 ÷ 6 = 25 , 150 ÷ 12 = 12 , 5
Das bedeutet, dass 150 kein gemeinsamer Nenner der angegebenen Brüche ist.
Kleinster gemeinsamer Nenner
Die kleinste natürliche Zahl aus der Menge der gemeinsamen Nenner einiger Brüche wird als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet.
Kleinster gemeinsamer Nenner
Der kleinste gemeinsame Nenner von Brüchen ist die kleinste Zahl unter allen gemeinsamen Nennern dieser Brüche.
Der kleinste gemeinsame Teiler einer gegebenen Zahlenmenge ist das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM). Das LCM aller Nenner von Brüchen ist der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche.
Wie findet man den kleinsten gemeinsamen Nenner? Um es zu finden, kommt es darauf an, das kleinste gemeinsame Vielfache von Brüchen zu finden. Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel 2: Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner
Wir müssen den kleinsten gemeinsamen Nenner für die Brüche 1 10 und 127 28 finden.
Wir suchen das LCM der Nummern 10 und 28. Wir zerlegen sie in einfache Faktoren und erhalten:
10 \u003d 2 5 28 \u003d 2 2 7 N O K (15, 28) \u003d 2 2 5 7 \u003d 140
Wie man Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringt
Es gibt eine Regel, die erklärt, wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Die Regel besteht aus drei Punkten.
Die Regel zum Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner
- Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen.
- Finde für jeden Bruchteil einen zusätzlichen Faktor. Um den Multiplikator zu finden, musst du den kleinsten gemeinsamen Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividieren.
- Multipliziere Zähler und Nenner mit dem gefundenen zusätzlichen Faktor.
Betrachten Sie die Anwendung dieser Regel auf ein bestimmtes Beispiel.
Beispiel 3. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
Es gibt die Brüche 3 14 und 5 18. Bringen wir sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
In der Regel finden wir zuerst das kgV der Nenner der Brüche.
14 \u003d 2 7 18 \u003d 2 3 3 N O K (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126
Wir berechnen zusätzliche Faktoren für jede Fraktion. Für 3 14 ist der zusätzliche Faktor 126 ÷ 14 = 9 und für den Bruch 5 18 ist der zusätzliche Faktor 126 ÷ 18 = 7 .
Wir multiplizieren Zähler und Nenner von Brüchen mit weiteren Faktoren und erhalten:
3 9 14 9 \u003d 27 126, 5 7 18 7 \u003d 35 126.
Mehrere Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen
Nach der betrachteten Regel können nicht nur Bruchpaare, sondern auch mehrere auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.
Nehmen wir ein anderes Beispiel.
Beispiel 4. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
Bringe die Brüche 3 2 , 5 6 , 3 8 und 17 18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
Berechnen Sie das LCM der Nenner. Finden Sie das LCM von drei oder mehr Zahlen:
NO C (2, 6) = 6 NO C (6, 8) = 24 NO C (24, 18) = 72 NO C (2, 6, 8, 18) = 72
Für 3 2 ist der Zusatzfaktor 72 ÷ 2 = 36 , für 5 6 ist der Zusatzfaktor 72 ÷ 6 = 12 , für 3 8 ist der Zusatzfaktor 72 ÷ 8 = 9 , schließlich ist für 17 18 der Zusatzfaktor 72 ÷ 18 = 4 .
Wir multiplizieren die Brüche mit weiteren Faktoren und gehen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner:
3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72
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