Ministerium für Bildung und Jugendpolitik der Tschuwaschischen Republik
Autonome Institution der Tschuwaschischen Republik
"Tsivilsky Agrarian and Technological College"
Richtung - physikalische und mathematische und Informationstechnologie
Forschung:
Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms
Arbeit abgeschlossen:
Schüler im 1. Jahr Gr.14 B
Fachrichtung "Wirtschaft"
Aufsicht:
Eshmeykin
Irina Anatolijewna,
Mathematiklehrer
Ziwilsk 2012
1. Einleitung.
2. Theoretischer Teil
2.1. Die Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms.
2.2. Zehn Regeln für die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms
3. Praktischer Teil
3.1. Beispiele für Problemlösungen
3.2. Die Position der Wurzeln relativ zu einem Punkt.
3.3. Lage der Wurzeln relativ zu zwei oder mehr Punkten.
4. Schlussfolgerung.
5. Benutzte Literatur.
6. Anwendungen
Einführung
Relevanz: In den Aufgaben der GIA (Teil 2) und der USE in Mathematik mit ausführlicher Antwort (Teil C) gibt es Aufgaben mit Parametern, die Schülern oft große Schwierigkeiten bereiten. Außerdem haben Schüler oft psychische Probleme, sie haben Angst vor solchen Aufgaben, weil sie in der Schule und Fachschule nicht viel Probleme lösen, die Parameter enthalten.
Schwierigkeiten bei der Lösung von Problemen mit Parametern sind darauf zurückzuführen, dass das Vorhandensein eines Parameters uns dazu zwingt, das Problem nicht nach einer Vorlage zu lösen, sondern verschiedene Fälle zu betrachten, in denen sich die Lösungsmethoden jeweils erheblich voneinander unterscheiden.
Viele Probleme mit Parametern beschränken sich darauf, die Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms relativ zu einem bestimmten Punkt oder einem bestimmten Intervall (Segment, Intervall, Strahl) zu untersuchen.
Zweck der Arbeit: Untersuchung der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms relativ zu einem bestimmten Punkt oder einem bestimmten Intervall.
Sammeln Sie Material zu diesem Thema Betrachten Sie die Regeln für die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms. Lösen Sie Probleme mit den Regeln für die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms.
Untersuchungsgegenstand: ein quadratisches Trinom und die Lage seiner Nullstellen.
1. Suche - kollektiv.
Praktische Bedeutung: Dieses Material hilft Studenten, die ihre Ausbildung an einer Universität fortsetzen möchten, bei der Vorbereitung auf die Prüfung.
Theoretischer Teil
2.1. Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms
Viele Probleme mit Parametern reduzieren sich auf die Untersuchung der Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms relativ zu einem bestimmten Punkt oder einem bestimmten Intervall:
Bei welchen Werten des Parameters sind die Wurzeln (oder Wurzel) der quadratischen Gleichung größer (weniger, nicht mehr, nicht weniger) als eine bestimmte Zahl; befindet sich zwischen zwei gegebenen Nummern; gehören nicht zu den angegebenen Intervallen usw. usw.
Der Graph der quadratischen Funktion y \u003d ax² + in + c hat die folgenden Positionen relativ zur x-Achse.
https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202"> Quadratische Gleichung x²+px+q=0 oder nicht hat eine Lösung (eine Parabel der Form D) oder hat eine oder zwei positive Wurzeln (C) oder hat eine oder zwei negative Wurzeln (A) oder hat Wurzeln mit unterschiedlichen Vorzeichen (B).
Analysieren wir die Parabel C. Damit die Gleichung Wurzeln hat, ist es notwendig, dass die Diskriminante D ≥ 0 ist. Da beide Wurzeln der Gleichung konstruktionsbedingt positiv sein müssen, ist die Abszisse der Scheitelpunkt der Parabel, der dazwischen liegt die Wurzeln, ist positiv, xb > 0.
Die Ordinate des Scheitelpunkts f(xv) ≤ 0 aufgrund der Tatsache, dass wir die Existenz von Wurzeln gefordert haben.
Wenn die Bedingung f(0) > 0 erforderlich ist, dann gibt es aufgrund der Stetigkeit der untersuchten Funktion einen Punkt x1(0;xb), so dass f(x1) = 0. Offensichtlich ist dies die kleinere Wurzel der Gleichung. Wenn wir also alle Bedingungen zusammenfassen, erhalten wir: Die quadratische Gleichung x² + px + q \u003d 0 hat zwei Wurzeln, die Vielfache x1, x2> sein können
In ähnlicher Weise leiten wir die folgenden Regeln für die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms her.
2.2. Zehn Regeln für die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms
Regel 1 Die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 (a ≠ hat dann keine Lösungen
und erst wenn D< 0.
Regel 2.1. Die quadratische Gleichung (1) hat genau dann zwei verschiedene Wurzeln, wenn
wenn D > 0.
Regel 2.2. Die quadratische Gleichung (1) hat zwei, vielleicht mehrere Wurzeln, dann und
nur wenn D ≥ 0.
Regel 3.1. Die quadratische Gleichung (1) hat zwei Wurzeln x1< М и х2 >M dann und nur
https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> 
nur wenn
Regel 4.1. Die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 für a ≠ 0) hat zwei
verschiedene Nullstellen x1, x2 > M genau dann
wo =
Regel 4.2. Eine quadratische Gleichung hat zwei mögliche Mehrfachwurzeln
x1, x2 > M genau dann, wenn
Regel 4.3. Die quadratische Gleichung hat zwei verschiedene Wurzeln x1, x2 ≥ M dann und
nur wenn
https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">
Regel 4.4. Eine quadratische Gleichung hat 2, kann mehrere Wurzeln haben
x1, x2 ≥ M genau dann, wenn
https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src=">
Regel 5.1. Eine quadratische Gleichung hat 2 verschiedene Wurzeln x1, x2< М тогда и
nur wenn
Regel 6.1. < N < M < х2 тогда и
nur wenn
https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">
Regel 6.2. Die quadratische Gleichung hat Wurzeln x1 = N< М < х2
dann und nur dann, wenn
Regel 6.3. Die quadratische Gleichung hat Wurzeln x1< N < M = х2
dann und nur dann, wenn
Regel 7.1. Die quadratische Gleichung hat Wurzeln x1< m < x2 < M тогда и только
dann wenn
https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48"> 
Regel 7.2. Zu quadratische Gleichung hat Wurzeln N< x1 < M < x2 тогда и только
dann wenn
Regel 8.1. N < x1 < x2 < M (может быть
mehrere Wurzeln von N< x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда
https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98"> 
Regel 8.3. Die quadratische Gleichung (1) hat andere Wurzeln N≤ x1< x2 ≤ M (может
mehrere Wurzeln von N sein< x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда
Regel 8.4. Die quadratische Gleichung (1) hat verschiedene Wurzeln N ≤ x1< x2 ≤ M (может
mehrere Wurzeln N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M sein) genau dann, wenn
https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98">
Regel 9 Die quadratische Gleichung hat eine Wurzel innerhalb des Intervalls (N; M),
und der andere genau dann außerhalb dieses Intervalls liegt
f(N) f(M)< 0.
Regel 10 Die quadratische Gleichung (1) hat eine eindeutige Lösung x1 = x2 > M
(x1 = x2< М) тогда и только тогда, когда
Praktischer Teil
3.1. Beispiele für Problemlösungen.
Beispiel 1. Für welche Werte von a ist die Gleichung x² - 2ax + a² + 2a - 3 = 0
a) hat keine Wurzeln; b) hat Wurzeln verschiedener Zeichen;
c) hat positive Wurzeln; d) hat zwei verschiedene negative Wurzeln?
Lösung: a) Nach Regel 1 gibt es keine Lösungen, wenn die Diskriminante D = - 4(2a-3)< 0, откуда а > 3/2.
b) Nach Regel 3.1 gilt für Ì = 0 f(0)=a² + 2a - 3< 0, откуда а(-3;1).
c) Nach Regel 4.2 für М=0
Woher .
d) Nach Regel 5.1 für М=0
Wo ein< - 3.
3.2. Die Position der Wurzeln relativ zu einem Punkt.
Beispiel 2 Für welche Werte des Parameters a liegen die Wurzeln der Gleichung x² + 2(a + 1) x + a² + a + 1 = 0 auf dem Strahl (-2; + ∞).
Machen wir eine grafische Analyse des Problems. Entsprechend der Bedingung des Problems sind nur die folgenden zwei Fälle der Position des Graphen der Funktion f (x) \u003d x² + 2 (a + 1) x + a² + a + 1 relativ zum Punkt x \u003d -2 sind möglich.
xv \u003d - a - 1
Beide Fälle werden durch die Bedingungen analytisch beschrieben
Dies impliziert, dass 0 ≤ a< .
Beispiel 3 . Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die die Wurzeln des quadratischen Trinoms x² + x + a verschieden und nicht größer als a sind. (Anhang 1)
3.3. Lage der Wurzeln relativ zu zwei oder mehr Punkten.
Beispiel 4. Für welche Werte des Parameters m die Wurzeln der Gleichung x² - 2 mx + m² -1= 0 sind zwischen den Zahlen -2 und 4 eingeschlossen.
Die Diskriminante der Gleichung D = 4m² - 4m² + 4 = 4 ist ein perfektes Quadrat. Finden wir die Wurzeln der Gleichung: x1 = m + 1, x2 = m - 1. Diese Wurzeln erfüllen die gegebene Bedingung if
Antwort: für m(-1;3).
Beispiel 5 Bei welchen Werten des Parameters a hat die Gleichung 2x² + (a-4)x + a + 2 = 0 verschiedene Wurzeln, die die Ungleichung │x-1│>2 erfüllen. (Anhang 2)
Die Lösung quadratischer Gleichungen mit Parametern kann als Schema zur Untersuchung von Problemen im Zusammenhang mit der Position der Wurzeln des quadratischen Trinoms Ax² + Bx + C geschrieben werden.
Untersuchung des Falls A = 0 (sofern es von den Parametern abhängt).
1. Finden der Diskriminante D im Fall A≠0.
2. Wenn D das ganze Quadrat eines Ausdrucks ist, dann finde die Wurzeln x1, x2 und unterordne sie den Bedingungen des Problems.
3. Wenn die Quadratwurzel von D nicht gezogen wird, dann die grafische Analyse des Problems.
4. Analytische Beschreibung geeigneter Fälle für die Lage der Parabel, für die Folgendes berücksichtigt wird:
Ø Vorzeichen (Wert) des Koeffizienten bei x²;
Ø Vorzeichen (Wert) der Diskriminante;
Ø Vorzeichen (Werte) der quadratischen Funktion an den untersuchten Punkten;
Ø die Position der Spitze der Parabel relativ zu den untersuchten Punkten.
4. Kombinieren einiger Ungleichungen (Systeme).
5. Lösung der erhaltenen Systeme.
Ich habe 10 Regeln für die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms gefunden. Probleme bei der Position der Wurzeln relativ zu einem Punkt behoben; Lage der Wurzeln relativ zu zwei oder mehr Punkten.
Der Besitz von Techniken zur Lösung von Problemen mit Parametern kann als Kriterium für die Kenntnis der Hauptbereiche der Mathematik, des Niveaus des mathematischen und logischen Denkens und der mathematischen Kultur angesehen werden.
Verweise
1. Mochalov und Ungleichungen mit Parametern / , .-
Tscheboksary: Chuvash Verlag. Universität, 200er.
2. Kozhukhov, Methoden zur Lösung von Problemen mit Parametern / // Mathematik in der Schule - 1998. - Nr. 6.
3. Wöchentliche pädagogische und methodische Beilage zur Zeitung "Erster September" "Mathematik" Nr. 18, 2002
Anhang 1
Beispiel 3 . Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die die Wurzeln des quadratischen Trinoms x² + x + a verschieden und nicht größer als a sind.
xv = -1/2
Finden Sie die Diskriminante D = 1 - 4a. Da es nicht extrahiert wird, lösen wir das Beispiel grafisch.
Machen wir eine grafische Analyse. Da die Wurzeln x1, x2 der Funktion f(x) = x² + x + a unterschiedlich sind und x1 ≤ a, x2 ≤ a, kann ihr Graph nur die folgenden Orte haben.
Lassen Sie uns diese Graphen analytisch beschreiben.
https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48">
Wir finden heraus, für welche und die Wurzeln der Gleichung unterschiedlich sind, d. h. die Diskriminante D = a²-16a ist positiv, und entweder sind beide kleiner als -1, oder beide sind größer als 3, oder eine davon ist kleiner als -1 , und der andere ist größer als 3. Der Graph der Funktion f( x) \u003d 2x² + (a-4) x + a + 2 hat in diesen Fällen die folgenden Stellen:
Analytisch werden diese Graphen durch die Bedingungen beschrieben
Das mächtigste Werkzeug zur Lösung komplexer Probleme mit Parametern ist der Satz von Vieta. Aber hier müssen Sie sehr auf die Formulierung achten.
Diese beiden Sätze (direkt und invers)
Satz Vieta
Wenn die Gleichung Wurzeln hat und ; dann sind die Gleichheiten erfüllt.
Merkmale des Theorems:
Zuerst
.
Der Satz gilt nur für die Gleichung 
und nicht wahr für
Im letzteren Fall müssen Sie zuerst beide Teile der Gleichung durch einen von Null verschiedenen Koeffizienten a bei x 2 dividieren und dann das Vieta-Theorem anwenden.
Zweite. Um die Ergebnisse des Satzes zu verwenden, ist es notwendig, die Tatsache der Existenz der Wurzeln der Gleichungen zu haben, d.h. Vergessen Sie nicht, die Bedingung D>0 aufzuerlegen
Umkehren
Satz von Vieta
Wenn es willkürliche Zahlen sind, dann sind sie die Wurzeln der Gleichung
Sehr wichtiger Hinweis, Erleichterung der Problemlösung: der Umkehrsatz Garantien die Existenz von Wurzeln in der Gleichung, wodurch Sie nicht mit der Diskriminante herumspielen können. Sie ist in diesem Fall automatisch nichtnegativ.
| Bedingungen für Wurzeln | Äquivalente Bedingung für die Koeffizienten a, b, c und die Diskriminante D | |
| Wurzeln existieren (und sind verschieden) | ||
Wurzeln existieren und sind gleich  |  |
|
| Wurzeln existieren und |  |
|
| Wurzeln existieren und |  |
|
| Wurzeln existieren und sind verschieden |  |
|
| Wurzeln existieren, eine Wurzel ist Null und die andere ist >0 |  |
ein). Stellen Sie bei welchen Werten des Parameters die Gleichung ein
Hat keine Wurzeln.
Wenn die Gleichung keine Wurzeln hat, dann ist es notwendig und ausreichend, dass die Diskriminante
hat verschiedene positive Wurzeln.
Da es Wurzeln gibt, verwenden wir dann, wenn beide positiv sind, die Vieta-Formel für diese Gleichung
⟹
Hat verschiedene negative Wurzeln
Hat Wurzeln unterschiedlichen Vorzeichens
Hat passende Wurzeln
2). Bei welchen Werten des Parameters a beide Wurzeln der quadratischen Gleichung 
wird positiv sein?
Entscheidung.
Da die gegebene Gleichung quadratisch ist, sind beide Wurzeln (gleich oder verschieden) positiv, wenn die Diskriminante nicht negativ ist, und die Summe und das Produkt der Wurzeln sind also positiv
Als, 
und nach dem Satz von Vieta,
Dann erhalten wir ein Ungleichungssystem
3). Finden Sie alle Parameterwerte a 
sind nicht positiv.
Da die gegebene Gleichung quadratisch ist, dann . Beide Wurzeln (gleich oder verschieden) sind negativ oder gleich Null, wenn die Diskriminante nicht negativ ist, die Summe der Wurzeln negativ oder gleich Null ist und das Produkt der Wurzeln nicht negativ ist, das heißt
und durch den Satz von Vieta
dann erhalten wir ein Ungleichungssystem.
wo
4) Bei welchen Werten des Parameters a 
gleich 22,5?
Zuerst werden wir eine „Lösung“ anbieten, die wir mehr als einmal treffen mussten.
soweit 
dann bekommen wir die „Antwort“ allerdings mit dem gefundenen Wert a Die ursprüngliche Gleichung hat keine Wurzeln.
Bei dieser Lösung sind wir auf einen der „beliebtesten“ Fehler im Zusammenhang mit der Anwendung des Vieta-Theorems gestoßen:
über Wurzeln sprechen, ohne vorher herauszufinden, ob es sie gibt oder nicht.
In diesem Beispiel musste also zunächst festgestellt werden, dass dies nur dann der Fall ist, wenn die ursprüngliche Gleichung Wurzeln hat. Erst dann kann man sich den obigen Berechnungen zuwenden.
Antwort: Solche a existiert nicht.
5). Die Wurzeln der Gleichung sind so, dass 
Definieren
Entscheidung. Nach dem Satz von Vieta 
Lassen Sie uns beide Teile der ersten Gleichheit quadrieren. Angenommen, wir erhalten oder Überprüfen zeigt, dass die Werte die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
Antworten:
6) Bei welchem Wert des Parameters a die Summe der Quadrate der Wurzeln der Gleichung 
nimmt den kleinsten Wert an:
Finde die Diskriminante dieser Gleichung. Wir haben Hier ist es wichtig, nicht den falschen Schluss zu ziehen, dass die Gleichung zwei Wurzeln für alle hat a. es hat wirklich zwei Wurzeln für alle, aber zulässig a, d.h. bei bei
Unter Verwendung des Vieta-Theorems schreiben wir
Um eine Antwort zu erhalten, bleibt es also, den kleinsten Wert der quadratischen Funktion zu finden 
am Set 
Seit am 
und bei 
dann nimmt die Funktion in der angegebenen Menge an diesem Punkt den kleinsten Wert an
Aufgaben zur selbstständigen Lösung
ein). Finden Sie alle Parameterwerte a, für die die Wurzeln der quadratischen Gleichung
nicht negativ
2). Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks , wobei die Wurzeln der Gleichung sind 
3). Finden Sie alle Parameterwerte a, für die die Summe der Quadrate der reellen Wurzeln der Gleichung 
mehr als 6.
Antworten: 
4) Bei welchen Werten des Parameters a hat die Gleichung ax 2 -4x + a \u003d 0:
a) positive Wurzeln
b) negative Wurzeln
Die Position der Wurzeln einer quadratischen Funktion relativ zu
gegebene Punkte.
Für solche Probleme ist die folgende Formulierung typisch: Für welche Werte des Parameters sind die Wurzeln (nur eine Wurzel) größer (weniger, nicht mehr, nicht weniger) einer bestimmten Zahl A; die Wurzeln befinden sich zwischen den Zahlen A und B; die Wurzeln gehören nicht zu dem Intervall mit Enden an den Punkten A und B usw.
Beim Lösen von Problemen im Zusammenhang mit einem quadratischen Trinom
oft haben wir es mit folgenden Standardsituationen zu tun (die wir in Form einer „Frage und Antwort“ formulieren werden).
Frage 1. Lassen Sie sich eine Zahl geben (1) seine beiden Wurzeln und mehr jene. ?
Antworten. Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (7) müssen die Voraussetzungen erfüllen
wo - Abszisse der Spitze der Parabel.
Die Gültigkeit des Gesagten folgt aus Abb. 1, die getrennt die Fälle und darstellt. Beachten Sie, dass zwei Bedingungen und immer noch nicht ausreichen, damit die Wurzeln von und größer werden. 1 Strich zeigt eine Parabel, die diese beiden Bedingungen erfüllt, aber ihre Wurzeln sind kleiner.Wenn wir jedoch zu den angegebenen zwei Bedingungen hinzufügen, dass die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel größer ist, dann werden die Wurzeln größer sein als
Frage 2. Lassen Sie sich eine Zahl geben Unter welchen Bedingungen auf die Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (1) seine Wurzeln und liegen auf gegenüberliegenden Seiten von jene. ?
Antworten. quadratische Trinomialkoeffizienten (1) muss die Bedingung erfüllen
Die Gültigkeit des Gesagten folgt aus Abb. 2, wo die Fälle und getrennt dargestellt werden Beachten Sie, dass die angegebene Bedingung die Existenz von zwei verschiedenen Wurzeln und einem quadratischen Trinom (1) garantiert.
Frage 3. Unter welchen Bedingungen auf die Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (1) seine Wurzeln und unterschiedlich sind und nur einer von ihnen im angegebenen Intervall liegt
Antworten. Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (1) muss die Bedingung erfüllen 
Frage 4. Unter welchen Bedingungen auf die Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (1) die Menge seiner Wurzeln ist nicht leer und alle seine Wurzeln und liegen im angegebenen Intervall jene.
Antworten. Die Koeffizienten des quadratischen Trinoms (1) müssen die Bedingungen erfüllen
Um solche Probleme zu lösen, ist es hilfreich, mit der folgenden Tabelle zu arbeiten.
Polynomiale Wurzeln
.
Absichtserklärung "Sekundarschule Nr. 15"
Mitschurinsk, Oblast Tambow
Algebraunterricht in der 9
"Die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms in Abhängigkeit von den Werten des Parameters"
Entwickelten
Mathematiklehrer der 1. Kategorie
Bortnikova M.B.
Mitschurinsk - Wissenschaftsstadt 2016 Jahr
Der Unterricht dauert 2 Stunden.
Hallo Leute! Das Studium vieler physikalischer und geometrischer Gesetze führt oft zur Lösung von Problemen mit Parametern. Einige Universitäten nehmen auch Gleichungen, Ungleichungen und ihre Systeme in Prüfungstickets auf, die oft sehr komplex sind und einen nicht standardmäßigen Lösungsansatz erfordern. In der Schule wird dieser einer der schwierigsten Abschnitte des Schulunterrichts in Algebra nur in wenigen Wahl- oder Fachkursen berücksichtigt.
Die funktional-grafische Methode ist meiner Meinung nach eine bequeme und schnelle Möglichkeit, Gleichungen mit einem Parameter zu lösen.
Unterrichtsziele: 1. Erweitern Sie die Idee der quadratischen Gleichungen. 2. Lernen Sie, alle Werte des Parameters zu finden, für die die Lösungen der Gleichung jeweils die gegebenen Bedingungen erfüllen. 3. Interesse am Thema entwickeln.
Während des Unterrichts:
1. Was ist der Parameter
Ausdruck der Form Ah 2
+ bx + cIn einem Schulalgebrakurs wird ein quadratisches Trinom in Bezug auf genanntX, wo a, b,c sind reelle Zahlen gegeben, außerdema=/= 0. Die Werte der Variablen x, bei denen der Ausdruck verschwindet, heißen die Wurzeln eines quadratischen Trinoms. Um die Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu finden, ist es notwendig, die quadratische Gleichung zu lösenAh 2
+ bx + c =0.
Erinnern wir uns an die Grundgleichungen:ax + b = 0;
ax2 + bx + c = 0.Bei der Suche nach ihren Wurzeln sind die Werte der Variablena, b, c,in der Gleichung enthalten sind, gelten als fest und gegeben. Die Variablen selbst werden als Parameter bezeichnet.
Definition.Ein Parameter ist eine unabhängige Variable, deren Wert in dem Problem als eine gegebene feste oder willkürliche reelle Zahl oder als eine Zahl angesehen wird, die zu einer vorbestimmten Menge gehört.
2. Haupttypen und Methoden zur Lösung von Problemen mit Parametern
Unter den Tasks mit Parametern können die folgenden Haupttypen von Tasks unterschieden werden.
Gleichungen, die entweder für einen beliebigen Wert des/der Parameter(s) oder für Parameterwerte, die zu einem vorgegebenen Satz gehören, gelöst werden müssen. Zum Beispiel. Gleichungen lösen:Axt = 1 , (a - 2) x = a 2 – 4.
Gleichungen, für die Sie die Anzahl der Lösungen abhängig vom Wert des Parameters (Parameter) bestimmen möchten. Zum Beispiel.
a Die gleichung 4 X 2 – 4 Axt + 1 = 0hat eine einzige Wurzel?
Gleichungen, für die der Lösungssatz für die gewünschten Werte des Parameters die gegebenen Bedingungen im Definitionsbereich erfüllt.
Finden Sie beispielsweise die Parameterwerte, für die die Wurzeln der Gleichung (a - 2)
X 2
–
2
Axt + ein + 3
=
0
positiv.
Die wichtigsten Möglichkeiten, Probleme mit einem Parameter zu lösen: analytisch und grafisch.
Analytisch- Dies ist eine Methode der sogenannten direkten Lösung, bei der die Standardverfahren zum Finden einer Antwort in Problemen ohne Parameter wiederholt werden. Betrachten wir ein Beispiel für eine solche Aufgabe.
Aufgabe 1
Bei welchen Werten des Parameters a die GleichungX 2 – 2 Axt + a 2 – 1 = 0 zwei verschiedene Wurzeln hat, die zum Intervall (1; 5) gehören?
Entscheidung
X 2
–
2
Axt + a 2
–
1 = 0.
Je nach Problemstellung muss die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln haben, und das geht nur unter der Bedingung: D > 0.
Wir haben: D = 4a 2
– 2(a 2
– 1) = 4. Wie Sie sehen können, hängt die Diskriminante nicht von a ab, daher hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln für beliebige Werte des Parameters a. Lassen Sie uns die Wurzeln der Gleichung finden:X 1
=
a + 1,
X 2
=
a – 1
Die Wurzeln der Gleichung müssen zum Intervall (1; 5) gehören, d.h.
Also um 2<
a < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)
Antwort: 2<
a < 4.
Ein solcher Ansatz zur Lösung von Problemen der betrachteten Art ist in Fällen möglich und sinnvoll, in denen die Diskriminante der quadratischen Gleichung „gut“ ist, d. h. das exakte Quadrat einer beliebigen Zahl oder eines beliebigen Ausdrucks ist, oder die Wurzeln der Gleichung können durch das inverse Vieta-Theorem gefunden werden. Dann sind die Wurzeln keine irrationalen Ausdrücke. Ansonsten ist die Lösung derartiger Probleme technisch mit recht komplizierten Verfahren verbunden. Und die Lösung irrationaler Ungleichungen wird neue Erkenntnisse von Ihnen erfordern.
Grafik- Dies ist eine Methode, bei der Graphen in der Koordinatenebene (x; y) oder (x; a) verwendet werden. Die Sichtbarkeit und Schönheit dieser Lösungsmethode hilft, einen schnellen Weg zur Lösung des Problems zu finden. Lassen Sie uns Problem Nummer 1 grafisch lösen.
Wie Sie wissen, sind die Wurzeln einer quadratischen Gleichung (quadratisches Trinom) die Nullstellen der entsprechenden quadratischen Funktion: y =X 2
– 2
Oh +
a 2
– 1. Der Graph der Funktion ist eine Parabel, die Zweige sind nach oben gerichtet (der erste Koeffizient ist gleich 1). Das geometrische Modell, das alle Anforderungen des Problems erfüllt, sieht so aus.
Jetzt bleibt es, die Parabel mit den notwendigen Bedingungen in der gewünschten Position zu „fixieren“.
Da die Parabel zwei Schnittpunkte mit der Achse hatX, dann D > 0.
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt zwischen den senkrechten Linien.X= 1 und X= 5, also die Abszisse des Parabelscheitels xÜber gehört zum Intervall (1; 5), d.h.
1 < XÜber< 5.Das merken wir beim(1) > 0, beim(5) > 0.
Wenn wir also vom geometrischen Modell des Problems zum analytischen übergehen, erhalten wir ein Ungleichungssystem.
Antwort: 2< a < 4.
Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, ist ein graphisches Verfahren zur Lösung von Problemen der betrachteten Art möglich, wenn die Wurzeln "schlecht" sind, d.h. einen Parameter unter dem Wurzelzeichen enthalten (in diesem Fall ist die Diskriminante der Gleichung kein perfektes Quadrat).
Bei der zweiten Lösung haben wir mit den Koeffizienten der Gleichung und dem Wertebereich der Funktion gearbeitetbeim =
X 2
– 2
Oh +
a 2
– 1.
Diese Lösungsmethode kann nicht nur grafisch genannt werden, weil. Hier müssen wir ein System von Ungleichungen lösen. Vielmehr ist diese Methode kombiniert: funktional-grafisch. Von diesen beiden Methoden ist die letztere nicht nur elegant, sondern auch die wichtigste, da sie die Beziehung zwischen allen Arten eines mathematischen Modells aufzeigt: einer verbalen Beschreibung des Problems, einem geometrischen Modell - einem Graphen eines quadratischen Trinoms, an analytisches Modell - eine Beschreibung eines geometrischen Modells durch ein System von Ungleichungen.
Wir haben also ein Problem betrachtet, bei dem die Wurzeln eines quadratischen Trinoms die gegebenen Bedingungen im Definitionsbereich für die gewünschten Werte des Parameters erfüllen.
Und welche anderen möglichen Bedingungen können durch die Wurzeln eines quadratischen Trinoms für die gewünschten Werte des Parameters erfüllt werden?
Beispiele für Problemlösungen
3. Untersuchung der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms in Abhängigkeit von den gewünschten Werten des Parameters a.
Aufgabe Nummer 2.
Bei welchen Werten des Parametersa Wurzeln einer quadratischen Gleichung
x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5) \u003d 0 ist mehr als eins?
Entscheidung.
Betrachten Sie die Funktion: y = x 2 - 4x - (ein - 1) (ein - 5)
Der Graph der Funktion ist eine Parabel. Die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet.
Lassen Sie uns schematisch eine Parabel (ein geometrisches Modell des Problems) darstellen.
Gehen wir nun vom konstruierten geometrischen Modell zum analytischen über, d.h. Beschreiben wir dieses geometrische Modell durch ein ihm adäquates System von Bedingungen.
Es gibt Schnittpunkte (bzw. einen Berührungspunkt) der Parabel mit der x-Achse, also D≥0, d.h. 16+4(a-1)(a-5)≥0.
Wir bemerken, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der rechten Halbebene relativ zur Geraden x=1 liegt, d.h. seine Abszisse ist größer als 1, d.h. 2>1 (durchgeführt für alle Werte des Parameters a).
Beachte, dass y(1)>0, d.h. 1 - 4 - (a - 1) (a - 5)>0
Als Ergebnis kommen wir zu einem System von Ungleichheiten.
; 
Antwort: 2<а<4.
Aufgabe Nummer 3.
X2 + ax - 2 = 0 größer als eins?
Entscheidung.
Betrachten Sie die Funktion: y = -x 2 + ah - 2
Der Graph der Funktion ist eine Parabel. Die Äste der Parabel zeigen nach unten. Lassen Sie uns das geometrische Modell des betrachteten Problems darstellen.
U(1)
Lassen Sie uns ein System von Ungleichheiten erstellen.
, keine Lösungen
Antworten. Es gibt keine solchen Parameterwerte.
Die Bedingungen der Aufgaben Nr. 2 und Nr. 3, bei denen die Wurzeln eines quadratischen Trinoms größer als eine bestimmte Zahl für die gewünschten Werte des Parameters a sind, formulieren wir wie folgt.
Allgemeiner Fall Nr. 1.
Für welche Werte des Parameters a die Wurzeln des quadratischen Trinoms
f(x) = Achse 2 + in + c ist größer als eine Zahl k, d.h. zu<х 1 ≤ x 2 .
Lassen Sie uns das geometrische Modell dieses Problems darstellen und das zugehörige Ungleichungssystem aufschreiben.
Tabelle 1. Modell – Schema.
Aufgabe Nummer 4.
Bei welchen Werten des Parameters a liegen die Wurzeln der quadratischen Gleichung
X2 +(a+1)x–2a(a–1) = 0 kleiner als eins?
Entscheidung.
Betrachten Sie die Funktion: y = x 2 + (a + 1) x–2a (a–1)
Der Graph der Funktion ist eine Parabel. Die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet. Je nach Problemstellung sind die Wurzeln kleiner als 1, also schneidet die Parabel die x-Achse (bzw. berührt die x-Achse links von der Geraden x=1).
Lassen Sie uns schematisch eine Parabel (ein geometrisches Modell des Problems) darstellen.
j(1)
Gehen wir vom geometrischen Modell zum analytischen über.
Da es Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse gibt, ist D≥0.
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt links von der Geraden x=1, d.h. seine Abszisse x 0 <1.
Beachte, dass y(1)>0, d.h. 1+(a+1)-2a(a-1)>0.
Wir kommen zu einem System von Ungleichheiten.
; 
Antwort: -0,5<а<2.
Allgemeiner Fall Nr. 2.
Für welche Werte des Parameters a beide Wurzeln des Trinomsf(x) = Achse 2 + in + c wird kleiner sein als eine Zahl k: x 1 ≤ x 2<к.
Das geometrische Modell und das entsprechende Ungleichungssystem sind in der Tabelle dargestellt. Es ist zu berücksichtigen, dass es Probleme gibt, bei denen der erste Koeffizient des quadratischen Trinoms vom Parameter a abhängt. Und dann können die Zweige der Parabel abhängig von den Werten des Parameters a sowohl nach oben als auch nach unten gerichtet werden. Wir werden diese Tatsache bei der Erstellung eines allgemeinen Schemas berücksichtigen.
Tischnummer 2.
f(k)
Analytisches Modell
(Bedingungssystem).
Analytisches Modell
(Bedingungssystem).
Aufgabe Nummer 5.
Bei welchen Werten des Parameters a 2 -2ax+a=0 gehören zum Intervall (0;3)?
Entscheidung.
Betrachten Sie das quadratische Trinom y(x) = x 2 -2ax + a.
Der Graph ist eine Parabel. Die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet.
Die Abbildung zeigt das geometrische Modell des betrachteten Problems.
Beim
Y(0)
U(3)
0 x 1 x 0 x 1 3 x
Gehen wir vom konstruierten geometrischen Modell zum analytischen über, d.h. wir beschreiben es durch ein System von Ungleichungen.
Es gibt Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse (bzw. einem Berührungspunkt), also D≥0.
Die Spitze der Parabel liegt zwischen den Linien x=0 und x=3, d.h. Abszisse der Parabel x 0 gehört zum Intervall (0;3).
Beachten Sie, dass y(0)>0 und auch y(3)>0.
Wir kommen zum System.
; 
Antwort: a 
Allgemeiner Fall Nr. 3.
Für welche Werte des Parameters a gehören die Wurzeln des quadratischen Trinoms zum Intervall (k; m), d.h. k<х 1 ≤х 2 < m
Tabelle Nr. 3. Modell - Schema.
f(x)
f(k)
f(m)
k x 1 x 0 x 2 mx
f(x)
0kx 1 x 0 x 2 m
f(k)
f(m)
Analytisches Modell des Problems
Analytisches Modell des Problems
AUFGABE #6.
Bei welchen Werten des Parameters a ist nur die kleinere Wurzel der quadratischen Gleichung x 2
+2ax+a=0 gehört zum Intervall X 
(0;3).
Entscheidung.
2 -2ax + a
Der Graph ist eine Parabel. Die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet. Sei x 1 kleinere Wurzel eines quadratischen Trinoms. Je nach Zustand des Problems x 1 gehört zum Intervall (0;3). Lassen Sie uns ein geometrisches Modell des Problems darstellen, das die Bedingungen des Problems erfüllt.
Y(x)
Y(0)
0 x 1 3 x 0 x 2 x
Y(3)
Kommen wir zum System der Ungleichheiten.
1) Beachten Sie, dass y(0)>0 und y(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Daher muss diese Bedingung nicht in das System der Ungleichungen geschrieben werden.
Wir erhalten also folgendes Ungleichungssystem:
Antworten: a >1,8.
Allgemeiner Fall Nr. 4.
Für welche Werte des Parameters a gehört die kleinere Wurzel des quadratischen Trinoms zu dem gegebenen Intervall (k; m), d.h. k<х 1 < m<х 2 .
Tisch Nr. 4 . Modell - Schema.
f(k)kx 1 0 m x 2
f(m)
F(x)
f(m)
kx 1 mx 2x
f(k)
Analytisches Modell
Analytisches Modell
AUFGABE #7.
Bei welchen Werten des Parameters a nur die größere Wurzel der quadratischen Gleichung x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0 gehört zum Intervall [-1;0).
Entscheidung.
Betrachten Sie das quadratische Trinom y(x)=x 2+4x-(a+1)(a+5).
Der Graph ist eine Parabel. Die Äste sind nach oben gerichtet.
Lassen Sie uns das geometrische Modell des Problems darstellen. Sei x 2 ist die größere Wurzel der Gleichung. Aufgrund der Problemstellung gehört nur die größere Wurzel zum Intervall.
j(X)
j(0)
x 1 -1 x 2 0 x
j(-1)
Beachten Sie, dass y(0)>0 und y(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.
Lassen Sie uns ein System von Ungleichheiten erstellen und es lösen.
Antworten: 
Allgemeiner Fall Nr. 5.
Für welche Werte des Parameters a gehört die größere Wurzel des quadratischen Trinoms zu dem gegebenen Intervall (k; m), d.h. x 1< k<х 2 < m.
Tabelle Nr. 5. Modell - Schema.
f(x)
f(m)
0x 1 kx 2 mx
f(k)
f(x)
f(k)
x 1 0kx 2 m
f(m)
Analytisches Modell
Analytisches Modell
W ADACHA Nr. 8.
Bei welchen Werten des Parameters a liegt das Segment [-1; 3] vollständig zwischen den Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 -(2a+1)x+a-11=0?
Entscheidung.
Betrachten Sie das quadratische Trinom y(x)=x 2 - (2a + 1) x + a-11
Der Graph ist eine Parabel.
Das geometrische Modell dieses Problems ist in der Abbildung dargestellt.
Y(x)
X 1 -1 0 3 x 2 x
Y(-1)
Y(3)
Unter diesen Bedingungen ist D > 0, da die Äste der Parabel nach oben gerichtet sind.
Antwort: a 
Allgemeiner Fall Nr. 6.
Für welche Werte des Parameters a liegen die Wurzeln des quadratischen Trinoms außerhalb des angegebenen Intervalls (k; m), d.h. x 1< k < m<х 2 .
x 2 -(2a + 1) x + 4-a \u003d 0 liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Zahl von der Zahl 3?
Entscheidung.
Betrachten Sie das quadratische Trinom y(x)=x 2 - (2a + 1) x + 4-a.
Der Graph ist eine Parabel, die Zweige sind nach oben gerichtet (der erste Koeffizient ist 1). Lassen Sie uns das geometrische Modell des Problems darstellen.
X 1 3 x 2 x
Y(3)
Gehen wir von einem geometrischen Modell zu einem analytischen über.
Wir bemerken, dass y(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 automatisch.+in+c ist kleiner als eine Zahl k: x 1 ≤ x 2 <к
3. Für welche Werte des Parameters a Wurzeln der quadratischen Trinomaxt 2 +in+c gehören zum Intervall (k, t) dazu<х 1 ≤x 2 <т
4. Für welche Werte des Parameters a nur die kleinere Wurzel der quadratischen Trinomaxt 2 +in+c gehört zum gegebenen Intervall (k, t), also k<х 1 <т<х 2
1. Stellen Sie das geometrische Modell dieses Problems dar.
2. Schreiben Sie das Bedingungssystem auf, auf das sich die Lösung dieses Problems reduziert
1. Stellen Sie das geometrische Modell dieses Problems dar.
2. Schreiben Sie das Bedingungssystem auf, auf das sich die Lösung dieses Problems reduziert
1. Stellen Sie das geometrische Modell dieses Problems dar.
2. Schreiben Sie das Bedingungssystem auf, auf das sich die Lösung dieses Problems reduziert
Die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 -4x-(a-1)(a-5)=0, größer als 1.
Antwort: 2<а<4
Die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 +(a+1)x-2a(a-1)=0, kleiner als 1.
Antworten:
-0,5<а<2
Die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 -2ax+a=0, gehören zum Intervall (0;3).
Antwort: 1≤a< 9 / 5
Nur die kleinere Wurzel der Gleichung x 2 -2ax+a=0, gehört zum Intervall (0;3).
Antwort: 1≤a< 9 / 5
1. Stellen Sie das geometrische Modell dieses Problems dar.2. Schreiben Sie das Bedingungssystem auf, auf das sich die Lösung dieses Problems reduziert
1. Stellen Sie das geometrische Modell dieses Problems dar.
2. Schreiben Sie das Bedingungssystem auf, auf das sich die Lösung dieses Problems reduziert
1. Stellen Sie das geometrische Modell dieses Problems dar.
2. Schreiben Sie das Bedingungssystem auf, auf das sich die Lösung dieses Problems reduziert
Nur die größte Wurzel der Gleichung x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0, gehört zum Intervall [-1;0).
Antwort:(-5;-4]U[-2;-1)
Das Segment [-1; 3] liegt vollständig zwischen den Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 -(2a+1)x+a-11=0.
Antwort 1<а<3
Die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 -2 (a + 1) x + 4-a \u003d 0, liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Zahl 3.
Antworten( 10 / 7 ;∞)
Danke für die Lektion Jungs!
Das quadratische Trinom ist die Hauptfunktion der Schulmathematik - übrigens nicht die primitivste. Die Fähigkeit, die von ihm zur Verfügung gestellten Ressourcen weitgehend zur Lösung von Problemen einzusetzen, kennzeichnet das mathematische Denkniveau eines Schülers der Schulalgebra. In diesem Beitrag untermauern wir diese These und geben Beispiele für eine konkrete Anwendung der Eigenschaften einer quadratischen Funktion. Der anregende Faktor ist die Tatsache, dass es bei der Lösung eines Problems mit Parametern früher oder später notwendig (und erfolgreich) ist, das Problem in Form eines quadratischen Trinoms umzuformulieren und es unter Verwendung der Eigenschaften dieser universellen Funktion zu lösen.
Studium des quadratischen Trinoms
Definition. Das quadratische Trinom bezüglich x ist ein Ausdruck der Form f(x) = ax 2 + bx + c (1), wobei a, b, cR, a0.
Ein quadratisches Trinom ist ein gewöhnliches Polynom 2. Grades. Die Palette der Fragen, die in Bezug auf ein quadratisches Trinom formuliert werden, ist unerwarteterweise extrem groß. Da die Aufgaben, die mit dem Studium eines Quadrattrinoms verbunden sind, traditionell einen ehrenvollen und prominenten Platz in den schriftlichen Abitur- und Hochschulaufnahmeprüfungen einnehmen, ist es sehr wichtig, dem Schüler (zukünftigen Bewerber) einen informellen (dh kreativen) Besitz von zu vermitteln eine Vielzahl von Techniken und Methoden solcher Forschung. In dieser methodischen Entwicklung werden die Hauptaussagen über das quadratische Trinom (Satz von Vieta, die Lage der Wurzeln relativ zu den gegebenen Punkten der Zahlenachse, die Technik des Umgangs mit der Diskriminante) fixiert, Probleme verschiedener Art und unterschiedlicher Komplexität sind gelöst. Die wichtigste ideologische Schlussfolgerung ist, dass es in der Schulmathematik inhaltsreiche Fragmente gibt, die dem Schüler zugänglich sind und keine Verwendung mathematischer Analysen und anderer Abschnitte der sogenannten „höheren Mathematik“ erfordern.
Der Graph des Trinoms (1) ist eine Parabel; für eine 0 - auf. Die Lage der Parabel relativ zur Ox-Achse hängt vom Wert der Diskriminante D = b 2 - 4ac ab: Für D>0 gibt es zwei Schnittpunkte der Parabel mit der Ox-Achse (zwei verschiedene reelle Wurzeln des Trinoms) ; bei D = 0 - ein Punkt (doppelte reelle Wurzel); bei D 0 - über der Ochsenachse). Der Standardtrick ist die folgende Darstellung des Trinoms (mit vollständiger Quadratextraktion):
f(x) = ax2 + bx + c = 
=
. Diese Darstellung macht es einfach, einen Graphen durch lineare Transformationen des Graphen der Funktion y=x 2 zu erstellen; Scheitelkoordinaten der Parabel: 
.
Dieselbe Transformation ermöglicht es, das einfachste Extremumsproblem sofort zu lösen: den größten (für 0) Wert der Funktion (1) zu finden; der Extremwert wird an dem Punkt erreicht und ist gleich 
.
Eines der Haupturteile über das quadratische Trinom -
Satz 1 (Vieta). Wenn x 1, x 2 die Wurzeln des Trinoms (1) sind, dann
(Vieta-Formeln).
Mit Hilfe des Satzes von Vieta lassen sich viele Probleme lösen, insbesondere solche, bei denen Bedingungen formuliert werden müssen, die die Vorzeichen der Wurzeln bestimmen. Die folgenden zwei Theoreme sind direkte Konsequenzen des Vieta-Theorems.
Satz 2. Damit die Wurzeln des quadratischen Trinoms (1) reell sind und die gleichen Vorzeichen haben, ist es notwendig und ausreichend, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
D \u003d b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 \u003d\u003e 0,
beide Wurzeln sind positiv für x 1 + x 2 = > 0,
und beide Wurzeln sind bei x 1 + x 2 = negativ
Satz 3. Damit die Wurzeln des Quadrattrinoms (1) reell sind und unterschiedliche Vorzeichen haben, ist es notwendig und ausreichend, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
D=b 2 - 4ac > 0, x 1 x 2 =
in diesem Fall hat die positive Wurzel einen größeren Modul bei x 1 + x 2 \u003d\u003e 0,
und die negative Wurzel hat einen größeren Modul bei x 1 + x 2 =
Die unten bewiesenen Theoreme und Folgerungen können (und müssen daher) effektiv bei der Lösung von Problemen mit Parametern angewendet werden.
Satz 4. Damit beide Wurzeln des quadratischen Trinoms (1) kleiner als die Zahl M sind, d. h. auf der reellen Geraden die Wurzeln links vom Punkt M liegen, ist es notwendig und ausreichend, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind :
, oder, durch Kombination der Bedingungen,
(Abb. 1a und 1b).
Nachweisen.
Brauchen. Wenn das Trinom (1) reelle Wurzeln x 1 und x 2 hat (vielleicht gleich), x 1 x 2 und x 1, (x 1 - M) (x 2 - M) > 0, x 1 + x 2 0, M > (x 1 + x 2)/2. Nach Vietas Formeln 
, also , oder , usw.
Angemessenheit
- ein Widerspruch mit der Bedingung. Wenn , dann (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, woher 
, af(M) 0 - wieder ein Widerspruch zur Bedingung; es bleibt nur die Möglichkeit x 1
Satz 5. Damit eine der Wurzeln des quadratischen Trinoms (1) kleiner als die Zahl M und die andere größer als die Zahl M ist, dh der Punkt M im Intervall zwischen den Wurzeln liegen würde, ist es notwendig und ausreichend, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
, oder Bedingungen kombinieren, af(M)
(Abb. 2a und 2b).
Nachweisen.
Brauchen. Wenn das Trinom (1) reelle Wurzeln x 1 und x 2 , x 1 M hat, dann (x 1 - M)(x 2 - M), also 
, oder af(M)
Angemessenheit. Sei af(M) , oder , dann (x 1 - M)(x 2 - M)0,
x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, woher 
, af(M)0 - Widerspruch zur Bedingung; es bleibt nur die Möglichkeit, die zu beweisen ist. Der Satz ist bewiesen.
Satz 6. Damit beide Wurzeln des Quadrattrinoms (1) größer als die Zahl M sind, also auf der reellen Geraden die Wurzeln rechts vom Punkt M liegen, ist es notwendig und ausreichend, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind :
, oder, durch Kombination der Bedingungen,
(Abb. 3a und 3b).
Nachweisen. Brauchen. Wenn das Trinom (1) reelle Wurzeln x 1 und x 2 hat (möglicherweise übereinstimmend), x 1 x 2 und x 1 > M, x 2 > M, dann ist (x 1 - M)(x 2 - M) > 0 , x1 + x2 > 2M; sonst x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 > 0, M , also , oder , usw.
Angemessenheit. Lassen . Wir argumentieren dagegen. Angenommen, dann 
- ein Widerspruch mit der Bedingung. Wenn , dann (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, woher , af(M) 0 - wieder ein Widerspruch zur Bedingung; es bleibt nur die zu beweisende Möglichkeit x 1 > M, x 2 > M. Der Satz ist bewiesen.
Folge 1. Damit beide Wurzeln des quadratischen Trinoms (1) größer als die Zahl M, aber kleiner als die Zahl N (M
, oder, durch Kombination der Bedingungen, 
(Abb. 4a und 4b).
Folge 2. Damit nur die größte Wurzel des quadratischen Trinoms (1) zum Intervall (M,N) gehört, wobei M
, oder, durch Kombination der Bedingungen,
die kleinere Wurzel liegt außerhalb des Segments
(Abb. 5a und 5b).
Folge 3. Damit nur die kleinere Wurzel des quadratischen Trinoms (1) zum Intervall (M,N) gehört, wobei M
, oder, Kombinieren der Bedingungen, ;
die größere Wurzel liegt außerhalb des Segments
(Abb. 6a und 6b).
Folge 4. Damit eine der Wurzeln des quadratischen Trinoms (1) kleiner als M und die andere größer als N ist (M
, oder, durch Kombination der Bedingungen,
(Abb. 7, a und 7, b).
Natürlich sind die analytischen und geometrischen Interpretationen der Ergebnisse der Sätze 4–6 und der Folgerungen 1–4 gleichwertig, und das strategische Ziel besteht darin, Fähigkeiten für eine genaue Übersetzung von einer Sprache in eine andere zu entwickeln. Besonders wichtig ist es zu demonstrieren, wie die „Visualisierung“ („grafische Ansicht“) hilft, die formalen Bedingungen, die zur Erfüllung der Aufgabenstellung notwendig und ausreichend sind, genau festzuhalten.
Wir zeigen typische Probleme auf, die mit Hilfe bewährter Theoreme gelöst werden können (allgemeiner solche, die auf der Grundlage der Eigenschaften eines quadratischen Trinoms gelöst werden können).
Aufgabe 1. Finde alle Werte von a, für die die Gleichungen x 2 +ax+1=0 und x 2 +x+a=0 mindestens eine gemeinsame Wurzel haben.
Entscheidung. Beide Gleichungen haben genau dann genau die gleichen Wurzeln, wenn die Koeffizienten der entsprechenden quadratischen Trinome gleich sind (ein Polynom zweiten Grades ist vollständig durch seine beiden Wurzeln bestimmt und die entsprechenden Koeffizienten dieser Polynome sind gleich), daher erhalten wir a= 1. Berücksichtigt man jedoch nur reelle Wurzeln, so gibt es für a=1 keine (die Diskriminante des entsprechenden Trinoms ist negativ). Für a1 argumentieren wir wie folgt: Wenn x 0 die Wurzel der beiden Gleichungen f(x)=0 und g(x)=0 ist, dann ist x 0 die Wurzel der Gleichung f(x)-g(x) =0 (dies ist nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Existenz einer gemeinsamen Wurzel der beiden Gleichungen f(x)=0 und g(x)=0, da die Gleichung f(x) - g(x) =0 ist ihr Folge); Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung und erhalte
(x 2 + ax + 1) – (x 2 + x + a) = 0, x(a – 1) – (a – 1) = 0, daher, da a1, x = 1. Auf diese Weise, Wenn gegeben Gleichungen eine gemeinsame Wurzel haben, dann ist sie gleich 1. Setze x = 1 in die erste Gleichung ein: 1 + a + 1 = 0 und a = -2.
Antworten. a = -2.
Aufgabe 2. Bei welchem a wird die Summe der Quadrate der Wurzeln der Gleichung x 2 - ax + a - 1 = 0 am kleinsten sein?
Entscheidung. Von Satz von Vieta, x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. Wir haben:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2(a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 und = 1 für a=1.
Antworten. a = 1.
Aufgabe 3. Gibt es eine solche, dass die Wurzeln des Polynoms f(x)=x 2 +2x+a reell und verschieden sind und beide zwischen -1 und 1 liegen?
Entscheidung. Damit beide Wurzeln x 1 und x 2 des Trinoms f (x) zwischen -1 und 1 eingeschlossen sind, muss das arithmetische Mittel dieser Wurzeln zwischen -1 und 1 eingeschlossen sein: 
; aber weiter Satz von Vieta,
, Deshalb
Antworten. Nein.
Aufgabe 4. Für welche Werte des Parameters a sind beide Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 + (2a + 6)x + 4a + 12 = 0 reell und beide größer als -1?
Entscheidung. Satz 6 gibt:
,
,
,
.
Antworten. .
Aufgabe 5. Für welche Werte des Parameters a sind beide Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 reell und beide kleiner als -1?
Entscheidung. Satz 4 gibt:
,
,
, a>1.
Antworten. a > 1.
Aufgabe 6. Für welche Werte des Parameters a ist eine Wurzel der quadratischen Gleichung f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 größer als 3 und die andere kleiner als 2 ?
Entscheidung. Beachten Sie sofort, dass a2 (sonst hätte die Gleichung nur eine Wurzel). Zutreffend Folge 4(hier M=2, N=3):
,
,
,
2
. Beide Wurzeln sind positiv 
(Satz 6), wo
und 
;
(Satz 4) - dieses Lösungssystem hat keine; Wurzeln haben unterschiedliche Vorzeichen bei (a-1)(a+5) Satz 5), also -5 
,
, wenn 1-p+q=0. Die zweite Wurzel ist gleich x 2 = 1-p; daher, wenn , dann hat die Gleichung sin 2 t + psint + q = 0 (4) zusätzlich zu den angegebenen Wurzeln (für p = 2 fallen beide Reihen von Wurzeln zusammen).
, Wenn
, dann 
, während es für p2 keine Wurzeln gibt. Wenn p=2, dann q=1, x 2 +2x+1=0, x=-1, t=, und wenn p=-2, dann x=1, t=.
.
.
.4. Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms in Abhängigkeit vom Parameter
Oft gibt es Probleme mit Parametern, bei denen die Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms auf der reellen Achse bestimmt werden muss. Betrachten Sie basierend auf den Hauptbestimmungen und der Notation des vorherigen Absatzes die folgenden Fälle:
1. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wo 
und Punkt m auf Achse Ochse. Dann beide Pferde 
quadratisches Trinom 
wird streng weniger sein m
oder 
Die geometrische Darstellung ist in den Abbildungen 3.1 und 3.2 dargestellt.
2. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wo und ein Punkt m auf Achse Ochse. Ungleichheit 
gilt nur genau dann, wenn die Zahlen
a und 
haben unterschiedliche Vorzeichen, das heißt 
(Abb. 4.1 und 4.2.)
3. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wo und der Punkt m auf Achse Ochse. Dann beide Pferde 
quadratisches Trinom wird streng größer sein m wenn und nur wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
oder 
Eine geometrische Darstellung ist in den Abbildungen 5.1 und 5.2 dargestellt.
4. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wo und das Intervall (m, M) Dann gehören beide Wurzeln des quadratischen Trinoms genau dann zum angegebenen Intervall, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
oder 
Die geometrische Darstellung ist in den Abbildungen 6.1 und 6.2 dargestellt.
5. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wobei , seine Wurzeln und sein Segment sind 
.
Das Segment liegt im Intervall 
wenn und nur wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Die geometrische Darstellung ist in den Abbildungen 7.1 und 7.2 dargestellt.
Beispiel.Finden Sie alle Parameterwertea, für die jeweils beide Wurzeln der Gleichung 
mehr als -2.
Entscheidung. Es wird in der Bedingung der Aufgabe angegeben. Dass die Gleichung zwei Wurzeln hat, also . Die betrachtete Situation wird durch Fall 3 beschrieben und ist in Abbildung 5.1 dargestellt. und 5.2.
Lass uns finden, 
,
In Anbetracht dessen schreiben wir die Menge von zwei Systemen:
oder 
Wenn wir diese beiden Systeme lösen, erhalten wir .
Antworten. Für jeden Parameterwert a aus der Lücke sind beide Wurzeln der Gleichung größer als -2.
Beispiel.Bei welchen Werten des ParametersaUngleichheit 
für jeden durchgeführt 
?
Entscheidung. Wenn der Satz X die Lösung dieser Ungleichung ist, dann bedeutet die Bedingung des Problems, dass das Intervall 
muss innerhalb des Satzes liegen X, also
.
Berücksichtigen Sie alle möglichen Werte des Parameters a.
1.Wenn a=0, dann nimmt die Ungleichung die Form an 
, und seine Lösung wird das Intervall sein 
. In diesem Fall ist die Bedingung erfüllt und a=0 ist die Lösung des Problems.
2.Wenn 
, dann ist der Graph der rechten Seite der Ungleichung ein quadratisches Trinom, dessen Äste nach oben gerichtet sind. Die Lösung der Ungleichung hängt vom Vorzeichen von ab.
Betrachten Sie den Fall, wenn 
. Damit die Ungleichung für alle gilt, müssen die Wurzeln des quadratischen Trinoms kleiner als -1 sein, d.h.:
oder 
Wenn wir dieses System lösen, bekommen wir 
.
Wenn ein 
, dann liegt die Parabel über der Achse Öx, und die Lösung der Ungleichung ist eine beliebige Zahl aus der Menge der reellen Zahlen, einschließlich des Intervalls . Lassen Sie uns solche finden a aus dem Zustand:
oder 
Wenn wir dieses System lösen, bekommen wir 
.
3.Wenn 
, dann bei 
die Lösung der Ungleichung ist das Intervall , das das Intervall , und if nicht enthalten kann 
diese Ungleichung hat keine Lösungen.
Kombinieren aller gefundenen Werte a, wir bekommen die Antwort.
Antworten. Für jeden Parameterwert aus dem Intervall 
die Ungleichung gilt für alle .
Beispiel.Für welche Werte des Parameters a enthält der Satz von Funktionswerten das Segment 
?
Entscheidung. 1. Wenn 
, dann
a) bei ein = 1 Funktion nimmt die Form an j = 2, und die Menge seiner Werte besteht aus einem einzigen Punkt 2 und enthält nicht das Segment ;
b) wann ein =-1 Funktion nimmt die Form an j = -2
x+2
. Sein Satz von Bedeutungen 
enthält ein Segment, also ein =-1 ist die Lösung des Problems.
2.Wenn 
, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, die Funktion nimmt am Scheitelpunkt der Parabel den kleinsten Wert an 
:
, 
.
Die Menge der Funktionswerte ist ein Intervall 
, die das Segment enthält 
wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
.
3. Wenn 
, dann sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet, die Funktion nimmt am Scheitelpunkt der Parabel den größten Wert an 
. Die Menge der Funktionswerte ist ein Intervall 
, die das Segment enthält, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 
Wenn wir dieses Ungleichungssystem lösen, erhalten wir 
.
Wenn wir die Lösungen kombinieren, erhalten wir 
.
Antworten. Beim 
Die Menge der Funktionswerte enthält das Segment .
Aufgaben zur selbstständigen Lösung
1. Ohne Berechnung der Wurzeln der quadratischen Gleichung 
, finden
a) 
, b) 
, in) 
2. Finden Sie den Satz von Funktionswerten
a) 
, b) 
, in) 
, G) 
3. Lösen Sie Gleichungen
a) 
, b) 
4. Bei welchen Werten des Parameters a beide Wurzeln der Gleichung 
liegen auf dem Intervall (-5, 4)?
5. Bei welchen Werten des Parameters a die Ungleichung gilt für alle Werte x?
6. Bei welchen Werten des Parameters a kleinster Funktionswert
Auf dem Segment 
ist -1?
7. Bei welchen Werten des Parameters a Die gleichung 
hat Wurzeln?
Karpova Irina Wiktorowna
PROGRAMM UND LEHRMATERIALIEN DES WAHLKURS Mathematik für Schüler der Klassen 8-9 „Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik“
Erläuterungen
Gegenwärtig wird die Universalität probabilistisch-statistischer Gesetze offensichtlich, sie sind zur Grundlage für die Beschreibung des wissenschaftlichen Weltbildes geworden. Die moderne Physik, Chemie, Biologie, Demographie, Linguistik, Philosophie, der ganze Komplex der sozioökonomischen Wissenschaften entwickelt sich auf probabilistisch-statistischer Basis.
Ein Kind trifft in seinem Leben täglich auf Wahrscheinlichkeitssituationen. Das Spektrum der Probleme im Zusammenhang mit dem Verständnis der Beziehung zwischen den Begriffen Wahrscheinlichkeit und Zuverlässigkeit, das Problem der Auswahl der besten aus mehreren Lösungen, die Bewertung des Risikograds und der Erfolgsaussichten - all dies liegt im Bereich der tatsächlichen Interessen der Formation und Selbstentfaltung des Individuums.
All dies macht es notwendig, das Kind mit probabilistisch-statistischen Mustern vertraut zu machen.
Kursziel: die Studierenden mit einigen theoretischen und probabilistischen Regelmäßigkeiten und statistischen Methoden der Datenverarbeitung vertraut zu machen.
Kursziele
Die Studierenden mit dem grundlegenden konzeptionellen Apparat der Wahrscheinlichkeitstheorie vertraut machen.
Lernen Sie die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen im klassischen Testschema zu bestimmen.
Kennenlernen der Methoden der primären Verarbeitung statistischer Daten.
Anforderungen an das Niveau der Beherrschung der Kursinhalte
Als Ergebnis der Beherrschung des Kursprogramms sollten die Studierenden wissen:
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie: Test, Testergebnis, elementarer Ereignisraum, zufällige, sichere, unmögliche Ereignisse, gemeinsame und unvereinbare Ereignisse;
Bedingungen des klassischen Testschemas und Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im klassischen Testschema;
Bestimmen der relativen Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses und der statistischen Wahrscheinlichkeit;
Bestimmung der Variationsreihe und ihrer wichtigsten numerischen Merkmale.
Während des Studiums müssen die Studierenden erwerben Fähigkeiten:
Bestimmen Sie alle möglichen Ergebnisse des Tests, die Kompatibilität und Inkompatibilität von Ereignissen;
theoretische und probabilistische Probleme zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit im klassischen Testschema lösen;
die relative Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses berechnen;
Erstellen Sie eine statistische Verteilung der Stichprobe und berechnen Sie ihre numerischen Eigenschaften.
Das Programm beinhaltet die Entwicklung von Studenten Fähigkeiten:
Nutzung bestehender Algorithmen und ggf. deren kreative Verarbeitung in den konkreten Problembedingungen;
selbstständige Problemlösung;
Verwendung bei der Lösung von Problemen verallgemeinerter Schemata, die grundlegende Definitionen und Formeln enthalten.
Kursumfang: Der angebotene Kurs umfasst 20 Stunden
Thematische Planung
Unterrichtsthemen | Anzahl der Stunden |
|
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. | ||
Klassisches Testschema. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit im klassischen Testschema. | ||
Die Häufigkeit ist absolut und relativ. | ||
Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit. | ||
Allgemeine und Stichprobenpopulationen. | ||
Statistische Verteilung der Stichprobe. | ||
Numerische Merkmale der statistischen Verteilung. | ||
Statistische Schätzung und Prognose. | ||
Manueller Text
Viele Menschen lieben die Mathematik wegen ihrer ewigen Wahrheiten: Zweimal zwei ist immer vier, die Summe gerader Zahlen ist gerade und die Fläche eines Rechtecks ist gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten. Bei jeder Aufgabe, die Sie im Mathematikunterricht gelöst haben, bekamen alle die gleiche Antwort – Sie durften nur keine Fehler bei der Lösung machen.
Das wirkliche Leben ist nicht so einfach und eindeutig. Es ist unmöglich, die Ergebnisse vieler Phänomene im Voraus vorherzusagen, egal wie vollständig die Informationen sind, die wir darüber haben. So lässt sich beispielsweise nicht genau sagen, auf welcher Seite eine geworfene Münze landen wird, wann der erste Schnee im nächsten Jahr fallen wird oder wie viele Menschen in der Stadt in der nächsten Stunde telefonieren wollen. Solche unvorhersehbaren Ereignisse werden genannt zufällig.
Der Fall hat jedoch auch seine eigenen Gesetze, die sich bei wiederholter Wiederholung zufälliger Phänomene zu manifestieren beginnen. Wenn Sie eine Münze 1000 Mal werfen, fällt der „Adler“ in etwa der Hälfte der Fälle heraus, was bei zwei oder gar zehn Würfen nicht der Fall ist. Beachten Sie das Wort "ungefähr" - das Gesetz besagt nicht, dass die Anzahl der "Adler" genau 500 beträgt oder zwischen 490 und 510 liegt. Es sagt überhaupt nichts Bestimmtes aus, sondern gibt ein gewisses Maß an Gewissheit, dass einige zufällig sind Ereignis wird stattfinden. . Solche Regelmäßigkeiten werden von einem speziellen Zweig der Mathematik untersucht - Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist untrennbar mit unserem täglichen Leben verbunden. Dies bietet eine bemerkenswerte Gelegenheit, viele Wahrscheinlichkeitsgesetze empirisch zu etablieren, indem Zufallsexperimente wiederholt wiederholt werden. Die Materialien für diese Experimente sind meistens eine gewöhnliche Münze, ein Würfel, ein Satz Dominosteine, ein Rouletterad und sogar ein Kartenspiel. Jeder dieser Gegenstände ist auf die eine oder andere Weise mit Spielen verbunden. Tatsache ist, dass der Fall hier in seiner reinsten Form erscheint und die ersten probabilistischen Probleme damit verbunden waren, die Gewinnchancen der Spieler einzuschätzen.
Die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie hat sich so weit von Glücksspielen entfernt wie die Geometrie von Problemen der Landbewirtschaftung, aber ihre Requisiten sind immer noch die einfachste und zuverlässigste Quelle des Zufalls. Indem Sie mit einem Rouletterad und einem Würfel üben, lernen Sie, wie Sie die Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse in realen Situationen berechnen, wodurch Sie Ihre Erfolgschancen einschätzen, Hypothesen testen und Entscheidungen nicht nur in Spielen und Lotterien treffen können.
Die mathematische Statistik ist ein Zweig der Mathematik, der Methoden zum Sammeln, Systematisieren und Verarbeiten der Ergebnisse von Beobachtungen von Massenzufallsphänomenen untersucht, um vorhandene Muster zu identifizieren.
In gewissem Sinne sind die Probleme der mathematischen Statistik den Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie entgegengesetzt: Die Statistik befasst sich nur mit experimentell gewonnenen Werten von Zufallsvariablen und zielt darauf ab, Hypothesen über die Verteilung dieser Zufallsvariablen aufzustellen und zu testen und die Parameter zu bewerten ihre Verbreitung.
1. Zufällige Ereignisse. Wie vergleiche ich Ereignisse?
Wie jeder andere Zweig der Mathematik hat die Wahrscheinlichkeitstheorie ihren eigenen Begriffsapparat, der zum Formulieren von Definitionen, Beweisen von Theoremen und Ableiten von Formeln verwendet wird. Betrachten wir die Konzepte, die wir in der weiteren Darlegung der Theorie verwenden werden.
Studie- Umsetzung einer Reihe von Bedingungen.
Ergebnis der Prüfung (Grundveranstaltung)– jedes Ergebnis, das während des Tests auftreten kann.
Beispiele.
1) Studie:
Testergebnisse:ω 1 - ein Punkt ist auf der oberen Fläche des Würfels erschienen;
ω 2 – zwei Punkte erschienen auf der Oberseite des Würfels;
ω 3 – drei Punkte erschienen auf der Oberseite des Würfels;
ω 4 – vier Punkte erschienen auf der Oberseite des Würfels;
ω 5 – fünf Punkte erschienen auf der Oberseite des Würfels;
ω 6 – sechs Punkte erschienen auf der oberen Fläche des Würfels.
Insgesamt sind 6 Testergebnisse (bzw. 6 Elementarereignisse) möglich.
2) Studie: der Student legt die Prüfung ab.
Testergebnisse:ω 1 - der Schüler hat eine Zwei erhalten;
ω 2 - der Student hat eine Drei erhalten;
ω 3 - der Student erhielt eine Vier;
ω 4 - der Student hat eine Fünf bekommen.
Insgesamt sind 4 Testergebnisse (bzw. 4 elementare Ereignisse) möglich.
Kommentar. Die Notation ω ist die Standardnotation für ein Elementarereignis, im Folgenden werden wir diese Notation verwenden.
Wir nennen die Ergebnisse dieses Tests gleichermaßen möglich wenn die Studienergebnisse die gleiche Chance haben, zu erscheinen.
Raum elementarer Ereignisse- die Menge aller elementaren Ereignisse (Testergebnisse), die während des Tests auftreten können.
In den oben betrachteten Beispielen wurden die Räume elementarer Ereignisse dieser Tests tatsächlich beschrieben.
Kommentar. Die Anzahl der Punkte im Raum elementarer Ereignisse (PES), d.h. die Anzahl der elementaren Ereignisse wird mit dem Buchstaben bezeichnet n.
Betrachten wir das Hauptkonzept, das wir im Folgenden verwenden werden.
Definition 1.1.Ein Event ist eine Sammlung einer bestimmten Anzahl von TEC-Punkten.
Künftig werden wir Ereignisse in lateinischen Großbuchstaben bezeichnen: A, B, C.
Definition 1.2.Ein Ereignis, das während eines Tests auftreten kann oder nicht, wird als Zufallsereignis bezeichnet.
Durch den Kauf eines Lottoscheins können wir gewinnen oder auch nicht; bei den nächsten Wahlen kann die Regierungspartei gewinnen oder nicht; im Unterricht kann man an die Tafel gerufen werden, oder sie dürfen nicht gerufen werden usw. Dies sind alles Beispiele für zufällige Ereignisse, die unter den gleichen Bedingungen während eines Tests auftreten können oder nicht.
Kommentar. Jedes elementare Ereignis ist auch ein zufälliges Ereignis.
Definition 1.3.Ein Ereignis, das für irgendein Ergebnis einer Studie eintritt, wird als bestimmtes Ereignis bezeichnet.
Definition 1.4.Ein Ereignis, das bei keinem Ergebnis des Tests eintreten kann, wird als unmögliches Ereignis bezeichnet.
Beispiel.
1) Studie: ein Würfel wird geworfen.
Ereignis A: eine gerade Anzahl von Punkten fiel auf die Oberseite des Würfels;
Ereignis B: auf der Oberseite des Würfels fiel eine Anzahl von Punkten heraus, ein Vielfaches von 3;
Ereignis C: 7 Punkte fielen auf die Oberseite des Würfels;
Ereignis D: Die Anzahl der Punkte unter 7 fiel auf die Oberseite des Würfels.
Veranstaltungen SONDERN und BEIM während des Tests auftreten können oder auch nicht, daher handelt es sich um zufällige Ereignisse.
Vorfall Mit kann niemals passieren, also ist es ein unmögliches Ereignis.
Vorfall D bei jedem Ergebnis des Tests auftritt, dann ist dies ein zuverlässiges Ereignis.
Wir haben gesagt, dass zufällige Ereignisse unter den gleichen Bedingungen auftreten können oder auch nicht. Gleichzeitig haben einige zufällige Ereignisse eine höhere Wahrscheinlichkeit, dass sie eintreten (was bedeutet, dass sie wahrscheinlicher sind – näher an der Zuverlässigkeit), während andere weniger Chancen haben (sie sind weniger wahrscheinlich – näher an der Unmöglichkeit). Daher ist es in erster Näherung möglich, die Wahrscheinlichkeit als Grad der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu definieren.
Es ist klar, dass wahrscheinlichere Ereignisse häufiger eintreten als weniger wahrscheinliche. So können Sie Wahrscheinlichkeiten anhand der Häufigkeit vergleichen, mit der Ereignisse auftreten.
Versuchen wir, die folgenden Ereignisse auf einer speziellen Wahrscheinlichkeitsskala in der Reihenfolge der zunehmenden Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens zu platzieren.
Ereignis A: nächstes Jahr wird der erste Schnee in Chabarowsk am Sonntag fallen;
Ereignis B: das Sandwich, das vom Tisch fiel, fiel mit der Butterseite nach unten;
Ereignis C: beim Würfeln fallen 6 Punkte heraus;
Ereignis D: beim Würfeln fällt eine gerade Anzahl von Punkten heraus;
Ereignis E: beim Würfeln fielen 7 Punkte heraus;
Ereignis F: Wenn ein Würfel geworfen wird, wird eine Anzahl von Punkten kleiner als 7 herauskommen.
Wir werden also am Anfang unserer Skala unmögliche Ereignisse platzieren, da der Wahrscheinlichkeitsgrad ihres Eintretens (Wahrscheinlichkeit) fast gleich 0 ist. Dies wird also ein Ereignis sein E. Am Endpunkt unserer Skala platzieren wir verlässliche Ereignisse - F. Alle anderen Ereignisse sind zufällig, versuchen wir, sie auf der Skala in der Reihenfolge ihres zunehmenden Auftretens anzuordnen. Dazu müssen wir herausfinden, welche davon weniger wahrscheinlich und welche wahrscheinlicher sind. Beginnen wir mit der Veranstaltung D: Wenn wir würfeln, hat jede der 6 Seiten die gleiche Chance, oben zu liegen. Eine gerade Anzahl von Punkten - auf drei Seiten des Würfels, auf den anderen drei - ungerade. Also genau die halbe Chance (3 von 6), dass das Event D wird passieren. Daher platzieren wir die Veranstaltung D in der Mitte unserer Skala.
Beim Event Mit nur eine Chance von 6, während das Ereignis hat D- drei von 6 Chancen (wie wir herausgefunden haben). So Mit weniger wahrscheinlich und befindet sich auf der Skala links neben dem Ereignis D.
Vorfall SONDERN noch weniger wahrscheinlich als Mit, weil es 7 Tage in Wochen gibt und in jedem von ihnen kann der erste Schnee mit gleicher Wahrscheinlichkeit fallen, so hat das Ereignis SONDERN eine Chance im 7. Event SONDERN, also noch weiter links als das Ereignis Mit.
Das Schwierigste, was auf der Skala einzuordnen ist, ist ein Ereignis BEIM. Hier ist es unmöglich, die Chancen genau zu berechnen, aber Sie können auf Lebenserfahrung zurückgreifen: Viel öfter fällt ein Sandwich mit Butter auf den Boden (es gibt sogar ein „Sandwich-Gesetz“), so die Veranstaltung BEIM viel wahrscheinlicher als D, also platzieren wir es auf der Skala rechts als D. Damit erhalten wir die Skala:
E A C D B F
unmöglich zufällig sicher
Die konstruierte Wahrscheinlichkeitsskala ist nicht ganz real - sie hat keine numerischen Markierungen, Unterteilungen. Wir stehen vor der Aufgabe zu lernen, wie man den Wahrscheinlichkeitsgrad des Eintretens (Wahrscheinlichkeit) eines Ereignisses berechnet.
