Anweisung

Additionsmethode.
Sie müssen zwei streng untereinander schreiben:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Fügen Sie in einer willkürlich gewählten (aus dem System) Gleichung die Zahl 11 anstelle des bereits gefundenen „Spiels“ ein und berechnen Sie die zweite Unbekannte:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Die Antwort dieses Gleichungssystems: x=116, y=11.

Grafische Art und Weise.
Es besteht in der praktischen Ermittlung der Koordinaten des Punktes, an dem die Geraden mathematisch in das Gleichungssystem geschrieben werden. Sie sollten Diagramme beider Linien separat im selben Koordinatensystem zeichnen. Gesamtansicht: - y \u003d kx + b. Um eine Gerade zu konstruieren, reicht es aus, die Koordinaten zweier Punkte zu ermitteln, und x wird willkürlich gewählt.
Das System sei gegeben: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Eine gerade Linie wird gemäß der ersten erstellt. Der Einfachheit halber muss sie aufgeschrieben werden: y \u003d 2x-4. Ermitteln Sie (einfachere) Werte für x, setzen Sie sie in die Gleichung ein, lösen Sie sie und finden Sie y. Man erhält zwei Punkte, entlang derer eine Gerade gebaut wird. (siehe Bild.)
x 0 1

y -4 -2
Eine Gerade wird nach der zweiten Gleichung konstruiert: y \u003d -3x + 1.
Bauen Sie auch eine Linie. (siehe Bild.)

1-5
Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier konstruierter Linien im Diagramm (wenn sich die Linien nicht schneiden, dann hat das Gleichungssystem keine - also).

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Wenn dasselbe Gleichungssystem auf drei verschiedene Arten gelöst wird, ist die Antwort dieselbe (sofern die Lösung richtig ist).

Quellen:

• Algebra Klasse 8
• Lösen Sie online eine Gleichung mit zwei Unbekannten
• Beispiele für die Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei

System Gleichungen ist eine Sammlung mathematischer Datensätze, von denen jeder eine bestimmte Anzahl von Variablen enthält. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sie zu lösen.

Du wirst brauchen

• -Lineal und Bleistift;
• -Taschenrechner.

Anweisung

Betrachten Sie die Lösungssequenz des Systems, die aus linearen Gleichungen der Form besteht: a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2. Dabei sind x und y unbekannte Variablen und b,c freie Mitglieder. Bei der Anwendung dieser Methode ist jedes System die Koordinaten der Punkte, die jeder Gleichung entsprechen. Drücken Sie zunächst jeweils eine Variable durch die andere aus. Setzen Sie dann die x-Variable auf eine beliebige Anzahl von Werten. Zwei reichen aus. Setzen Sie die Gleichung ein und finden Sie y. Erstellen Sie ein Koordinatensystem, markieren Sie die erhaltenen Punkte darauf und zeichnen Sie eine gerade Linie durch sie. Ähnliche Berechnungen müssen für andere Teile des Systems durchgeführt werden.

Das System hat eine eindeutige Lösung, wenn sich die konstruierten Linien schneiden und einen gemeinsamen Punkt haben. Es ist inkonsistent, wenn sie parallel zueinander sind. Und es gibt unendlich viele Lösungen, wenn die Linien miteinander verschmelzen.

Diese Methode gilt als sehr übersichtlich. Der Hauptnachteil besteht darin, dass die berechneten Unbekannten Näherungswerte haben. Ein genaueres Ergebnis liefern die sogenannten algebraischen Methoden.

Jede Lösung eines Gleichungssystems ist es wert, überprüft zu werden. Ersetzen Sie dazu die erhaltenen Werte anstelle der Variablen. Sie können die Lösung auch auf verschiedene Arten finden. Wenn die Lösung des Systems richtig ist, sollten alle gleich ausfallen.

Oft gibt es Gleichungen, in denen einer der Terme unbekannt ist. Um eine Gleichung zu lösen, müssen Sie sich eine bestimmte Reihe von Aktionen mit diesen Zahlen merken und diese ausführen.

Du wirst brauchen

• - Blatt Papier;
• - Kugelschreiber oder Bleistift.

Anweisung

Stellen Sie sich vor, Sie haben 8 Kaninchen vor sich und nur 5 Karotten. Denken Sie, Sie müssen mehr Karotten kaufen, damit jedes Kaninchen eine Karotte bekommt.

Stellen wir dieses Problem in Form einer Gleichung dar: 5 + x = 8. Ersetzen wir x durch die Zahl 3. Tatsächlich ist 5 + 3 = 8.

Als Sie x durch eine Zahl ersetzten, führten Sie die gleiche Operation durch, als würden Sie 5 von 8 subtrahieren. Also finden Unbekannt Term: Subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Nehmen wir an, Sie haben 20 Kaninchen und nur 5 Karotten. Lasst uns komponieren. Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die nur für bestimmte Werte der darin enthaltenen Buchstaben gilt. Die Buchstaben, deren Werte Sie finden möchten, werden aufgerufen. Schreiben Sie eine Gleichung mit einer Unbekannten und nennen Sie sie x. Bei der Lösung unseres Kaninchenproblems erhält man die folgende Gleichung: 5 + x = 20.

Finden wir die Differenz zwischen 20 und 5. Beim Subtrahieren wird die Zahl, von der subtrahiert wird, reduziert. Die Zahl, die subtrahiert wird, heißt , und das Endergebnis heißt Differenz. Also, x = 20 - 5; x = 15. Sie müssen 15 Karotten für Kaninchen kaufen.

Überprüfen Sie: 5 + 15 = 20. Die Gleichung ist korrekt. Wenn es um so einfache geht, ist die Überprüfung natürlich nicht erforderlich. Wenn es jedoch um Gleichungen mit dreistelligen, vierstelligen usw. geht, ist eine Überprüfung unbedingt erforderlich, um sich über das Ergebnis Ihrer Arbeit absolut sicher zu sein.

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Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, ist es notwendig, die Differenz vom Minuend zu subtrahieren.

Tipp 4: So lösen Sie ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten

Ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten kann trotz einer ausreichenden Anzahl von Gleichungen keine Lösungen haben. Sie können versuchen, es mit der Substitutionsmethode oder der Cramer-Methode zu lösen. Die Methode von Cramer ermöglicht nicht nur die Lösung des Systems, sondern auch die Bewertung, ob das System lösbar ist, bevor die Werte der Unbekannten ermittelt werden.

Anweisung

Die Substitutionsmethode besteht darin, nacheinander eine Unbekannte durch zwei andere zu ersetzen und das erhaltene Ergebnis in die Gleichungen des Systems einzusetzen. Gegeben sei ein System aus drei Gleichungen in allgemeiner Form:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Drücken Sie x aus der ersten Gleichung aus: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - und setzen Sie es in die zweite und dritte Gleichung ein. Drücken Sie dann y aus der zweiten Gleichung aus und setzen Sie es in die dritte ein. Sie erhalten einen linearen Ausdruck für z durch die Koeffizienten der Gleichungen des Systems. Gehen Sie nun „zurück“: Setzen Sie z in die zweite Gleichung ein und finden Sie y, setzen Sie dann z und y in die erste Gleichung ein und finden Sie x. Der Prozess ist im Allgemeinen in der Abbildung dargestellt, bis z gefunden wird. Darüber hinaus wird der Eintrag in allgemeiner Form zu umständlich sein. In der Praxis können Sie durch Ersetzen alle drei Unbekannten recht einfach finden.

Die Methode von Cramer besteht darin, die Matrix des Systems zusammenzustellen und die Determinante dieser Matrix sowie drei weitere Hilfsmatrizen zu berechnen. Die Matrix des Systems besteht aus den Koeffizienten an den unbekannten Termen der Gleichungen. Die Spalte mit den Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen, die Spalte auf der rechten Seite. Es wird nicht im System verwendet, sondern beim Lösen des Systems.

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beachten Sie

Alle Gleichungen im System müssen unabhängig von anderen Gleichungen zusätzliche Informationen liefern. Andernfalls ist das System unterbestimmt und es kann keine eindeutige Lösung gefunden werden.

Hilfreicher Rat

Nachdem Sie das Gleichungssystem gelöst haben, setzen Sie die gefundenen Werte in das ursprüngliche System ein und prüfen Sie, ob sie alle Gleichungen erfüllen.

Von selbst Die gleichung mit drei Unbekannt hat viele Lösungen, daher wird es meistens durch zwei weitere Gleichungen oder Bedingungen ergänzt. Abhängig von den Ausgangsdaten wird der weitere Verlauf der Entscheidung maßgeblich abhängen.

Du wirst brauchen

• - ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Anweisung

Wenn zwei der drei Systeme nur zwei der drei Unbekannten haben, versuchen Sie, einige Variablen durch die anderen auszudrücken und sie einzubinden Die gleichung mit drei Unbekannt. Ihr Ziel dabei ist es, daraus etwas Normales zu machen Die gleichung mit dem Unbekannten. Wenn dies der Fall ist, ist die weitere Lösung ganz einfach: Setzen Sie den gefundenen Wert in andere Gleichungen ein und finden Sie alle anderen Unbekannten.

Einige Gleichungssysteme können von einer Gleichung durch eine andere subtrahiert werden. Prüfen Sie, ob es möglich ist, eine davon mit oder einer Variablen zu multiplizieren, sodass zwei Unbekannte gleichzeitig reduziert werden. Wenn es eine solche Gelegenheit gibt, nutzen Sie sie höchstwahrscheinlich, die spätere Entscheidung wird Ihnen nicht schwer fallen. Vergessen Sie nicht, dass Sie beim Multiplizieren mit einer Zahl sowohl die linke als auch die rechte Seite multiplizieren müssen. Denken Sie auch beim Subtrahieren von Gleichungen daran, dass auch die rechte Seite subtrahiert werden muss.

Wenn die vorherigen Methoden nicht geholfen haben, verwenden Sie die allgemeine Methode zum Lösen von Gleichungen mit drei Unbekannt. Schreiben Sie dazu die Gleichungen in der Form a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 um. Erstellen Sie nun eine Matrix aus Koeffizienten bei x (A), eine Matrix aus Unbekannten (X) und eine Matrix aus freien Einsen (B). Beachten Sie, dass Sie durch Multiplizieren der Koeffizientenmatrix mit der Unbekanntenmatrix eine Matrix erhalten, eine Matrix freier Elemente, d. h. A * X \u003d B.

Finden Sie die Matrix A hoch (-1), nachdem Sie gefunden haben. Beachten Sie, dass sie nicht gleich Null sein sollte. Anschließend multiplizieren Sie die resultierende Matrix mit der Matrix B. Als Ergebnis erhalten Sie die gewünschte Matrix X, die alle Werte angibt.

Mit der Cramer-Methode können Sie auch eine Lösung für ein System aus drei Gleichungen finden. Finden Sie dazu die Determinante ∆ dritter Ordnung, die der Matrix des Systems entspricht. Finden Sie dann nacheinander drei weitere Determinanten ∆1, ∆2 und ∆3 und ersetzen Sie die Werte der freien Terme anstelle der Werte der entsprechenden Spalten. Finden Sie nun x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Quellen:

• Lösungen von Gleichungen mit drei Unbekannten

Beginnen Sie mit der Lösung eines Gleichungssystems und finden Sie heraus, was diese Gleichungen sind. Die Methoden zur Lösung linearer Gleichungen sind gut untersucht. Nichtlineare Gleichungen werden meist nicht gelöst. Es gibt nur einen Sonderfall, der praktisch jeweils individuell ist. Daher sollte das Studium der Lösungsmethoden mit linearen Gleichungen beginnen. Solche Gleichungen können sogar rein algorithmisch gelöst werden.

Anweisung

Beginnen Sie den Lernprozess, indem Sie lernen, wie man ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten X und Y durch Eliminierung löst. a11*X+a12*Y=b1(1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Die Koeffizienten der Gleichungen werden durch Indizes angegeben, die ihre Position angeben. Der Koeffizient a21 unterstreicht also die Tatsache, dass er überhaupt in der zweiten Gleichung steht. In der allgemein anerkannten Schreibweise wird das System durch untereinander stehende Gleichungen geschrieben, die gemeinsam durch eine geschweifte Klammer rechts oder links gekennzeichnet sind (nähere Einzelheiten siehe Abb. 1a).

Die Nummerierung der Gleichungen ist willkürlich. Wählen Sie die einfachste Variante, beispielsweise eine, bei der einer der Variablen ein Faktor 1 oder zumindest eine ganze Zahl vorangestellt ist. Wenn dies Gleichung (1) ist, dann drücken Sie beispielsweise das unbekannte Y durch X aus (der Fall der Eliminierung von Y). Um dies zu tun, transformieren Sie (1) in die Form a12*Y=b1-a11*X (oder a11*X=b1-a12*Y, wenn X ausgeschlossen ist)) und dann Y=(b1-a11*X)/a12 . Setzen Sie Letzteres in Gleichung (2) ein und schreiben Sie a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Lösen Sie diese Gleichung nach X auf.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12*b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) oder X=(a22*b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Unter Verwendung der gefundenen Beziehung zwischen Y und

Wenn das System mit spezifischen numerischen Koeffizienten versehen wäre, wären die Berechnungen weniger umständlich. Andererseits ermöglicht die allgemeine Lösung die Berücksichtigung der Tatsache, dass die gefundenen Unbekannten genau gleich sind. Ja, und in den Zählern sind einige Muster ihrer Konstruktion sichtbar. Wenn die Dimension des Gleichungssystems größer als zwei wäre, würde die Eliminationsmethode zu sehr umständlichen Berechnungen führen. Um sie zu vermeiden, wurden rein algorithmische Lösungen entwickelt. Der einfachste davon ist der Cramer-Algorithmus (Cramer-Formeln). Denn soll das allgemeine Gleichungssystem von n Gleichungen lernen.

Das System aus n linearen algebraischen Gleichungen mit n Unbekannten hat die Form (siehe Abb. 1a). Darin sind aij die Koeffizienten des Systems,
хj – Unbekannte, bi – freie Mitglieder (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Ein solches System kann kompakt in der Matrixform AX=B geschrieben werden. Dabei ist A die Koeffizientenmatrix des Systems, X die Spaltenmatrix der Unbekannten und B die Spaltenmatrix der freien Terme (siehe Abb. 1b). Nach der Methode von Cramer ist jedes Unbekannte xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Die Determinante ∆ der Koeffizientenmatrix wird als Hauptdeterminante und ∆i als Hilfsdeterminante bezeichnet. Für jede Unbekannte wird eine Hilfsdeterminante gefunden, indem die i-te Spalte der Hauptdeterminante durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt wird. Cramers Methode für den Fall von Systemen zweiter und dritter Ordnung ist in Abb. detailliert dargestellt. 2.

Ein System ist eine Vereinigung von zwei oder mehr Gleichheiten, von denen jede zwei oder mehr Unbekannte hat. Es gibt zwei Hauptmethoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, die im Lehrplan der Schule verwendet werden. Eine davon wird als Methode bezeichnet, die andere als Additionsmethode.

Standardform eines Systems aus zwei Gleichungen

In der Standardform lautet die erste Gleichung a1*x+b1*y=c1, die zweite Gleichung lautet a2*x+b2*y=c2 und so weiter. Beispielsweise sind im Fall von zwei Teilen des Systems in beiden gegebenen a1, a2, b1, b2, c1, c2 einige numerische Koeffizienten in spezifischen Gleichungen dargestellt. x und y wiederum sind Unbekannte, deren Werte bestimmt werden müssen. Die gewünschten Werte verwandeln beide Gleichungen gleichzeitig in echte Gleichheiten.

Lösung des Systems durch die Additionsmethode

Um das System zu lösen, also die Werte von x und y zu finden, die sie in echte Gleichheiten umwandeln, müssen Sie ein paar einfache Schritte unternehmen. Die erste davon besteht darin, eine der Gleichungen so umzuwandeln, dass die numerischen Koeffizienten für die Variable x oder y in beiden Gleichungen im Absolutwert übereinstimmen, sich jedoch im Vorzeichen unterscheiden.

Gegeben sei beispielsweise ein System bestehend aus zwei Gleichungen. Der erste davon hat die Form 2x+4y=8, der zweite die Form 6x+2y=6. Eine Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen, besteht darin, die zweite Gleichung mit dem Faktor -2 zu multiplizieren, was zu der Form -12x-4y=-12 führt. Die richtige Wahl des Koeffizienten ist eine der Schlüsselaufgaben bei der Lösung des Systems nach der Additionsmethode, da sie den gesamten weiteren Ablauf des Verfahrens zum Auffinden von Unbekannten bestimmt.

Nun müssen die beiden Gleichungen des Systems addiert werden. Offensichtlich führt die gegenseitige Zerstörung von Variablen mit gleichem Wert, aber entgegengesetzten Vorzeichenkoeffizienten zu der Form -10x=-4. Danach muss diese einfache Gleichung gelöst werden, aus der eindeutig folgt, dass x=0,4.

Der letzte Schritt im Lösungsprozess ist das Ersetzen des gefundenen Werts einer der Variablen durch eine der im System verfügbaren Anfangsgleichungen. Wenn Sie beispielsweise x=0,4 in die erste Gleichung einsetzen, erhalten Sie den Ausdruck 2*0,4+4y=8, woraus y=1,8 resultiert. Somit sind x=0,4 und y=1,8 die Wurzeln des im Beispiel gezeigten Systems.

Um sicherzustellen, dass die Wurzeln korrekt gefunden wurden, ist es sinnvoll, die gefundenen Werte durch Einsetzen in die zweite Gleichung des Systems zu überprüfen. In diesem Fall erhält man beispielsweise eine Gleichheit der Form 0,4 * 6 + 1,8 * 2 = 6, was korrekt ist.

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Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat die allgemeine Form ax + by + c = 0. Darin sind a, b und c Koeffizienten – einige Zahlen; und x und y sind Variablen – unbekannte Zahlen, die gefunden werden müssen.

Die Lösung einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ist ein Zahlenpaar x und y, für das ax + by + c = 0 eine echte Gleichheit ist.

Eine bestimmte lineare Gleichung mit zwei Variablen (z. B. 3x + 2y - 1 = 0) hat eine Menge von Lösungen, also eine Menge von Zahlenpaaren, für die die Gleichung wahr ist. Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen wird in eine lineare Funktion der Form y = kx + m umgewandelt, die eine Gerade auf der Koordinatenebene ist. Die Koordinaten aller auf dieser Geraden liegenden Punkte sind Lösungen einer linearen Gleichung in zwei Variablen.

Wenn zwei lineare Gleichungen der Form ax + by + c = 0 gegeben sind und es erforderlich ist, solche Werte von x und y zu finden, für die beide Lösungen haben, dann sagen sie, dass dies notwendig ist Lösen Sie das Gleichungssystem. Das Gleichungssystem steht in einer geschweiften Klammer. Beispiel:

Ein Gleichungssystem kann keine Lösung haben, wenn die Geraden, die die Graphen der entsprechenden linearen Funktionen darstellen, sich nicht schneiden (d. h. sie sind parallel zueinander). Um zu dem Schluss zu kommen, dass es keine Lösung gibt, genügt es, beide linearen Gleichungen mit zwei Variablen in die Form y = kx + m umzuwandeln. Wenn k in beiden Gleichungen die gleiche Zahl ist, dann hat das System keine Lösungen.

Wenn sich herausstellt, dass ein Gleichungssystem aus zwei identischen Gleichungen besteht (was möglicherweise nicht sofort, aber nach Transformationen offensichtlich ist), dann hat es unendlich viele Lösungen. In diesem Fall sprechen wir von Unsicherheit.

In allen anderen Fällen bietet das System eine Lösung. Diese Schlussfolgerung lässt sich aus der Tatsache ziehen, dass sich zwei beliebige nichtparallele Geraden nur in einem Punkt schneiden können. In diesem Schnittpunkt liegen sowohl die erste als auch die zweite Gerade, das heißt, er ist die Lösung sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung. Also eine Lösung für ein Gleichungssystem sein. Es ist jedoch notwendig, die Situationen festzulegen, in denen den Werten von x und y bestimmte Einschränkungen auferlegt werden (normalerweise durch die Bedingung des Problems). Zum Beispiel x > 0, y > 0. In diesem Fall wird daraus geschlossen, dass das Gleichungssystem unter den gegebenen Bedingungen keine Lösungen hat, selbst wenn das Gleichungssystem eine Lösung hat, diese aber die Bedingung nicht erfüllt.

Es gibt drei Möglichkeiten, ein Gleichungssystem zu lösen:

1. Auswahlmethode. Meistens ist dies sehr schwierig.
2. Grafische Methode. Wenn zwei Linien auf der Koordinatenebene gezeichnet werden (Diagramme der Funktionen der entsprechenden Gleichungen) und ihr Schnittpunkt gefunden wird. Diese Methode kann zu ungenauen Ergebnissen führen, wenn die Koordinaten des Schnittpunkts Bruchzahlen sind.
3. Algebraische Methoden. Sie sind vielseitig und zuverlässig.

Wir kennen bereits das Konzept einer linearen Gleichung in zwei Unbekannten. Gleichungen können in einem Problem sowohl einzeln als auch in mehreren Gleichungen gleichzeitig vorhanden sein. In solchen Fällen werden die Gleichungen zu einem Gleichungssystem zusammengefasst.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Gleichungssystem sind zwei oder mehr Gleichungen, für die es notwendig ist, alle gemeinsamen Lösungen zu finden. Um ein Gleichungssystem zu schreiben, werden diese normalerweise in eine Spalte geschrieben und mit einer gemeinsamen geschweiften Klammer versehen. Das System der linearen Gleichungen ist unten beschrieben.

(4x + 3y = 6
( 2x + y = 4

Dieser Datensatz bedeutet, dass ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen vorliegt. Wenn es drei Gleichungen im System gäbe, dann wäre es ein System aus drei Gleichungen. Und das gilt für beliebig viele Gleichungen.

Wenn alle im System vorhandenen Gleichungen linear sind, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Im obigen Beispiel wird gerade ein System aus zwei linearen Gleichungen dargestellt. Wie oben erwähnt, kann das System allgemeine Lösungen haben. Auf den Begriff „allgemeine Lösung“ gehen wir weiter unten ein.

Was ist die Lösung?

Eine Lösung für ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ist ein Zahlenpaar (x, y), sodass, wenn diese Zahlen in die Gleichungen des Systems eingesetzt werden, jede der Gleichungen des Systems zu einer echten Gleichheit wird.

Wir haben zum Beispiel ein System aus zwei linearen Gleichungen. Die Lösung der ersten Gleichung sind alle Zahlenpaare, die diese Gleichung erfüllen.

Für die zweite Gleichung besteht die Lösung aus Zahlenpaaren, die diese Gleichung erfüllen. Wenn es ein solches Zahlenpaar gibt, das sowohl die erste als auch die zweite Gleichung erfüllt, dann ist dieses Zahlenpaar die Lösung des Systems zweier linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Grafische Lösung

Grafisch gesehen besteht die Lösung einer linearen Gleichung aus allen Punkten einer Geraden auf der Ebene.

Für ein lineares Gleichungssystem haben wir mehrere Geraden (je nach Anzahl der Gleichungen). Und die Lösung des Gleichungssystems wird der Punkt sein, an dem sich ALLE Geraden schneiden. Wenn es keinen solchen Punkt gibt, wird das System keine Lösungen haben. Der Punkt, an dem sich alle Geraden schneiden, gehört zu jeder dieser Geraden, daher heißt die Lösung allgemein.

Das Aufzeichnen der Gleichungen des Systems und das Finden ihres gemeinsamen Punktes ist übrigens eine der Möglichkeiten, das Gleichungssystem zu lösen. Diese Methode wird als Grafik bezeichnet.

Andere Möglichkeiten zur Lösung linearer Gleichungen

Es gibt andere Möglichkeiten, lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen zu lösen. Grundlegende Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.

Wir werden zwei Arten der Lösung von Gleichungssystemen analysieren:

1. Lösung des Systems durch die Substitutionsmethode.
2. Lösung des Systems durch termweise Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems.

Um das Gleichungssystem zu lösen Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Wir drücken aus. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir ersetzen in einer anderen Gleichung anstelle der ausgedrückten Variablen den resultierenden Wert.
3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) müssen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir die gleichen Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren die Gleichungen, als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen.
3. Wir lösen die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Graphen der Funktion.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lassen Sie uns mit der Substitutionsmethode lösen

Lösen des Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. Express
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, daher stellt sich heraus, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nach dem Ausdrücken ersetzen wir in der ersten Gleichung 3 + 10y anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (offene Klammern)
6+20J+5J=1
25 Jahre = 1–6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, deshalb müssen wir x und y finden, weil der Schnittpunkt aus x und y besteht. Suchen wir x, im ersten Absatz, in dem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir dort y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, an erster Stelle Punkte zu schreiben, wir schreiben die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems mit der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wählen Sie eine Variable aus, sagen wir, wir wählen x aus. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahieren Sie von der ersten Gleichung die zweite, um die Variable x zu entfernen. Lösen Sie die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir ersetzen das gefundene y in einer der Gleichungen, sagen wir in der ersten Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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Zuverlässiger als die im vorherigen Absatz besprochene grafische Methode.

Substitutionsmethode

Wir haben diese Methode in der 7. Klasse verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Der in der 7. Klasse entwickelte Algorithmus eignet sich gut zum Lösen von Systemen aus zwei beliebigen Gleichungen (nicht unbedingt linear) mit zwei Variablen x und y (natürlich können die Variablen auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden, was keine Rolle spielt). Tatsächlich haben wir diesen Algorithmus im vorherigen Absatz verwendet, als das Problem einer zweistelligen Zahl zu einem mathematischen Modell führte, bei dem es sich um ein Gleichungssystem handelt. Dieses Gleichungssystem haben wir oben mit der Substitutionsmethode gelöst (siehe Beispiel 1 aus § 4).

Algorithmus zur Verwendung der Substitutionsmethode beim Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen x, y.

1. Drücken Sie y durch x aus einer Gleichung des Systems aus.
2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle von y in eine andere Gleichung des Systems ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung nach x auf.
4. Ersetzen Sie nacheinander jede der im dritten Schritt gefundenen Wurzeln der Gleichung anstelle von x in den im ersten Schritt erhaltenen Ausdruck y bis x.
5. Schreiben Sie die Antwort in Form von Wertepaaren (x; y) auf, die im dritten bzw. vierten Schritt gefunden wurden.

4) Ersetzen Sie nacheinander jeden der gefundenen Werte von y in der Formel x \u003d 5 - Zy. Wenn, dann
5) Paare (2; 1) und Lösungen eines gegebenen Gleichungssystems.

Antwort: (2; 1);

Algebraische Additionsmethode

Diese Methode ist Ihnen, ebenso wie die Substitutionsmethode, aus dem Algebrakurs der 7. Klasse bekannt, wo sie zur Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt wurde. Wir erinnern uns an das Wesentliche der Methode im folgenden Beispiel.

Beispiel 2 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Wir multiplizieren alle Terme der ersten Gleichung des Systems mit 3 und lassen die zweite Gleichung unverändert:
Subtrahieren Sie die zweite Gleichung des Systems von seiner ersten Gleichung:

Als Ergebnis der algebraischen Addition zweier Gleichungen des ursprünglichen Systems wurde eine Gleichung erhalten, die einfacher ist als die erste und zweite Gleichung des gegebenen Systems. Mit dieser einfacheren Gleichung haben wir das Recht, jede beliebige Gleichung eines bestimmten Systems zu ersetzen, beispielsweise die zweite. Dann wird das gegebene Gleichungssystem durch ein einfacheres System ersetzt:

Dieses System kann durch die Substitutionsmethode gelöst werden. Aus der zweiten Gleichung finden wir: Wenn wir diesen Ausdruck anstelle von y in die erste Gleichung des Systems einsetzen, erhalten wir

Es bleibt übrig, die gefundenen Werte von x in die Formel einzusetzen

Wenn x = 2 dann

Somit haben wir zwei Lösungen für das System gefunden:

Methode zur Einführung neuer Variablen

Die Methode zur Einführung einer neuen Variablen beim Lösen rationaler Gleichungen mit einer Variablen haben Sie im Algebrakurs der 8. Klasse kennengelernt. Der Kern dieser Methode zur Lösung von Gleichungssystemen ist derselbe, aus technischer Sicht gibt es jedoch einige Besonderheiten, die wir in den folgenden Beispielen diskutieren werden.

Beispiel 3 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen. Dann kann die erste Gleichung des Systems in eine einfachere Form umgeschrieben werden: Lösen wir diese Gleichung in Bezug auf die Variable t:

Beide Werte erfüllen die Bedingung und sind daher die Wurzeln einer rationalen Gleichung mit der Variablen t. Aber das bedeutet entweder, wo wir finden, dass x = 2y ist, oder
Mit der Methode der Einführung einer neuen Variablen ist es uns also gelungen, die erste Gleichung des scheinbar recht komplexen Systems sozusagen in zwei einfachere Gleichungen zu „schichten“:

x = 2 y; y - 2x.

Was kommt als nächstes? Und dann muss jede der beiden erhaltenen einfachen Gleichungen der Reihe nach in einem System mit der Gleichung x 2 - y 2 \u003d 3 betrachtet werden, an die wir uns noch nicht erinnert haben. Mit anderen Worten, das Problem reduziert sich auf die Lösung zweier Gleichungssysteme:

Es gilt, Lösungen für das erste System, das zweite System zu finden und alle resultierenden Wertepaare in die Antwort einzubeziehen. Lösen wir das erste Gleichungssystem:

Nutzen wir die Substitutionsmethode, zumal hier alles dafür bereit ist: Wir setzen den Ausdruck 2y statt x in die zweite Gleichung des Systems ein. Erhalten

Da x \u003d 2y ist, finden wir x 1 \u003d 2 bzw. x 2 \u003d 2. Somit werden zwei Lösungen für das gegebene System erhalten: (2; 1) und (-2; -1). Lösen wir das zweite Gleichungssystem:

Wenden wir erneut die Substitutionsmethode an: Wir ersetzen den Ausdruck 2x anstelle von y in der zweiten Gleichung des Systems. Erhalten

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat. Daher sollten nur die Lösungen des ersten Systems in die Antwort einbezogen werden.

Antwort: (2; 1); (-2;-1).

Die Methode zur Einführung neuer Variablen bei der Lösung von Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen wird in zwei Versionen verwendet. Erste Option: Eine neue Variable wird eingeführt und in nur einer Gleichung des Systems verwendet. Genau das ist in Beispiel 3 passiert. Die zweite Möglichkeit: Zwei neue Variablen werden eingeführt und gleichzeitig in beiden Gleichungen des Systems verwendet. Dies wird in Beispiel 4 der Fall sein.

Beispiel 4 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lassen Sie uns zwei neue Variablen einführen:

Das lernen wir dann

Dies wird es uns ermöglichen, das gegebene System in einer viel einfacheren Form umzuschreiben, jedoch unter Berücksichtigung der neuen Variablen a und b:

Da a \u003d 1 ist, ergibt sich aus der Gleichung a + 6 \u003d 2: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Somit haben wir für die Variablen a und b eine Lösung:

Kehren wir zu den Variablen x und y zurück, erhalten wir das Gleichungssystem

Wir wenden die algebraische Additionsmethode an, um dieses System zu lösen:

Seitdem ergibt sich aus der Gleichung 2x + y = 3:
Somit haben wir für die Variablen x und y eine Lösung:

Lassen Sie uns diesen Abschnitt mit einer kurzen, aber eher ernsthaften theoretischen Diskussion abschließen. Sie haben bereits einige Erfahrungen im Lösen verschiedener Gleichungen gesammelt: lineare, quadratische, rationale, irrationale. Sie wissen, dass die Hauptidee beim Lösen einer Gleichung darin besteht, schrittweise von einer Gleichung zu einer anderen überzugehen, die einfacher, aber der gegebenen gleichwertig ist. Im vorherigen Abschnitt haben wir den Begriff der Äquivalenz für Gleichungen mit zwei Variablen eingeführt. Dieses Konzept wird auch für Gleichungssysteme verwendet.

Definition.

Zwei Gleichungssysteme mit den Variablen x und y heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben oder wenn beide Systeme keine Lösungen haben.

Alle drei Methoden (Substitution, algebraische Addition und Einführung neuer Variablen), die wir in diesem Abschnitt besprochen haben, sind unter dem Gesichtspunkt der Äquivalenz absolut korrekt. Mit anderen Worten: Mit diesen Methoden ersetzen wir ein Gleichungssystem durch ein anderes, einfacheres, aber dem ursprünglichen System äquivalentes System.

Grafische Methode zur Lösung von Gleichungssystemen

Wir haben bereits gelernt, wie man Gleichungssysteme auf so gängige und zuverlässige Weise wie die Methode der Substitution, der algebraischen Addition und der Einführung neuer Variablen löst. Erinnern wir uns nun an die Methode, die Sie bereits in der vorherigen Lektion gelernt haben. Das heißt, wiederholen wir, was Sie über die grafische Lösungsmethode wissen.

Die Methode zur grafischen Lösung von Gleichungssystemen besteht darin, einen Graphen für jede der spezifischen Gleichungen zu erstellen, die in diesem System enthalten sind und in derselben Koordinatenebene liegen, und auch dort, wo es erforderlich ist, den Schnittpunkt der Punkte dieser Graphen zu finden . Zur Lösung dieses Gleichungssystems dienen die Koordinaten dieses Punktes (x; y).

Es sollte beachtet werden, dass es für ein grafisches Gleichungssystem häufig entweder eine einzige richtige Lösung oder eine unendliche Anzahl von Lösungen gibt oder dass es überhaupt keine Lösungen gibt.

Schauen wir uns nun jede dieser Lösungen genauer an. Das Gleichungssystem kann also eine eindeutige Lösung haben, wenn sich die Geraden, die die Graphen der Gleichungen des Systems darstellen, schneiden. Wenn diese Geraden parallel sind, dann hat ein solches Gleichungssystem überhaupt keine Lösungen. Wenn die direkten Graphen der Gleichungen des Systems übereinstimmen, können Sie mit einem solchen System viele Lösungen finden.

Schauen wir uns nun den Algorithmus zum Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten mithilfe einer grafischen Methode an:

Zuerst erstellen wir einen Graphen der 1. Gleichung;
Der zweite Schritt besteht darin, ein Diagramm zu zeichnen, das sich auf die zweite Gleichung bezieht.
Drittens müssen wir die Schnittpunkte der Graphen finden.
Als Ergebnis erhalten wir die Koordinaten jedes Schnittpunkts, die die Lösung des Gleichungssystems darstellen.

Schauen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels genauer an. Wir erhalten ein zu lösendes Gleichungssystem:

Gleichungen lösen

1. Zuerst erstellen wir einen Graphen dieser Gleichung: x2+y2=9.

Es ist jedoch zu beachten, dass dieser Gleichungsgraph ein Kreis ist, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt und dessen Radius gleich drei ist.

2. Unser nächster Schritt besteht darin, eine Gleichung wie folgt aufzustellen: y = x - 3.

In diesem Fall müssen wir eine Linie erstellen und die Punkte (0;−3) und (3;0) finden.

3. Mal sehen, was wir haben. Wir sehen, dass die Gerade den Kreis in zwei seiner Punkte A und B schneidet.

Nun suchen wir die Koordinaten dieser Punkte. Wir sehen, dass die Koordinaten (3;0) dem Punkt A und die Koordinaten (0;−3) dem Punkt B entsprechen.

Und was bekommen wir als Ergebnis?

Die am Schnittpunkt einer Geraden mit einem Kreis erhaltenen Zahlen (3;0) und (0;−3) sind genau die Lösungen beider Gleichungen des Systems. Und daraus folgt, dass diese Zahlen auch Lösungen dieses Gleichungssystems sind.

Das heißt, die Antwort dieser Lösung sind die Zahlen: (3;0) und (0;−3).