In diesem Artikel zeige ich es dir Algorithmen zum Lösen von sieben Arten rationaler Gleichungen, die durch eine Variablenänderung auf Quadrate reduziert werden. In den meisten Fällen sind die Transformationen, die zum Ersetzen führen, sehr nicht trivial, und es ist ziemlich schwierig, sie selbst zu erraten.

Für jeden Gleichungstyp werde ich erklären, wie man eine Variablenänderung darin vornimmt, und dann werde ich eine detaillierte Lösung im entsprechenden Video-Tutorial zeigen.

Sie haben die Möglichkeit, die Gleichungen selbst weiter zu lösen und anschließend Ihre Lösung mit dem Video-Tutorial zu überprüfen.

Fangen wir also an.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Beachten Sie, dass das Produkt aus vier Klammern auf der linken Seite der Gleichung steht und die Zahl auf der rechten Seite.

1. Lassen Sie uns die Klammern durch zwei gruppieren, sodass die Summe der freien Terme gleich ist.

2. Multiplizieren Sie sie.

3. Führen wir eine Variablenänderung ein.

In unserer Gleichung gruppieren wir die erste Klammer mit der dritten und die zweite mit der vierten, da (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

An dieser Stelle wird die Variablenänderung offensichtlich:

Wir bekommen die Gleichung

Antworten:

2 .

Eine Gleichung dieses Typs ähnelt der vorherigen mit einem Unterschied: Auf der rechten Seite der Gleichung steht das Produkt einer Zahl von. Und es wird ganz anders gelöst:

1. Wir gruppieren die Klammern durch zwei, sodass das Produkt der freien Terme gleich ist.

2. Wir multiplizieren jedes Klammerpaar.

3. Von jedem Faktor nehmen wir x aus der Klammer.

4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch .

5. Wir führen einen Variablenwechsel ein.

In dieser Gleichung gruppieren wir die erste Klammer mit der vierten und die zweite mit der dritten, denn:

Beachten Sie, dass in jeder Klammer der Koeffizient bei und der freie Term gleich sind. Nehmen wir den Multiplikator aus jeder Klammer heraus:

Da x=0 nicht die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist, dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch . Wir bekommen:

Wir erhalten die Gleichung:

Antworten:

3 .

Beachten Sie, dass die Nenner beider Brüche quadratische Trinome sind, bei denen der führende Koeffizient und der freie Term gleich sind. Wir nehmen, wie in der Gleichung zweiter Art, x aus der Klammer. Wir bekommen:

Teile Zähler und Nenner jedes Bruchs durch x:

Jetzt können wir eine Variablenänderung einführen:

Wir erhalten die Gleichung für die Variable t:

4 .

Beachten Sie, dass die Koeffizienten der Gleichung in Bezug auf den zentralen Koeffizienten symmetrisch sind. Eine solche Gleichung heißt rückgabefähig .

Um es zu lösen

1. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch (Wir können dies tun, da x=0 nicht die Wurzel der Gleichung ist.) Wir erhalten:

2. Gruppieren Sie die Begriffe wie folgt:

3. In jeder Gruppe nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus:

4. Führen wir einen Ersatz ein:

5. Drücken wir den Ausdruck in Form von t aus:

Von hier

Wir erhalten die Gleichung für t:

Antworten:

5. Homogene Gleichungen.

Beim Lösen von Exponential-, Logarithmus- und trigonometrischen Gleichungen können Gleichungen mit einer homogenen Struktur auftreten, daher müssen Sie in der Lage sein, sie zu erkennen.

Homogene Gleichungen haben folgende Struktur:

In dieser Gleichheit sind A, B und C Zahlen, und dieselben Ausdrücke werden durch ein Quadrat und einen Kreis angezeigt. Das heißt, auf der linken Seite der homogenen Gleichung befindet sich die Summe der Monome mit demselben Grad (in diesem Fall ist der Grad der Monome 2), und es gibt keinen freien Term.

Um die homogene Gleichung zu lösen, teilen wir beide Seiten durch

Beachtung! Wenn Sie die rechte und linke Seite der Gleichung durch einen Ausdruck dividieren, der eine Unbekannte enthält, können Sie die Wurzeln verlieren. Daher muss überprüft werden, ob die Wurzeln des Ausdrucks, durch den wir beide Teile der Gleichung dividieren, die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Gehen wir den ersten Weg. Wir erhalten die Gleichung:

Nun führen wir eine Variablensubstitution ein:

Vereinfachen Sie den Ausdruck und erhalten Sie eine biquadratische Gleichung für t:

Antworten: oder

7 .

Diese Gleichung hat folgende Struktur:

Um es zu lösen, müssen Sie das vollständige Quadrat auf der linken Seite der Gleichung auswählen.

Um ein volles Quadrat auszuwählen, müssen Sie das doppelte Produkt addieren oder subtrahieren. Dann erhalten wir das Quadrat der Summe oder der Differenz. Dies ist entscheidend für eine erfolgreiche Variablensubstitution.

Beginnen wir damit, das doppelte Produkt zu finden. Es wird der Schlüssel sein, um die Variable zu ersetzen. In unserer Gleichung ist das doppelte Produkt

Lassen Sie uns nun herausfinden, was für uns bequemer ist - das Quadrat der Summe oder Differenz. Betrachten Sie zunächst die Summe der Ausdrücke:

Bußgeld! dieser Ausdruck ist genau gleich dem doppelten Produkt. Um dann das Quadrat der Summe in Klammern zu erhalten, müssen Sie das doppelte Produkt addieren und subtrahieren:

Wir laden Sie zu einer Lektion zum Lösen von Gleichungen mit Brüchen ein. Höchstwahrscheinlich sind Sie solchen Gleichungen bereits in der Vergangenheit begegnet, daher müssen wir in dieser Lektion die Ihnen bekannten Informationen wiederholen und zusammenfassen.

Weitere Lektionen auf der Website

Eine gebrochen-rationale Gleichung ist eine Gleichung, in der es rationale Brüche gibt, dh eine Variable im Nenner. Höchstwahrscheinlich haben Sie sich in der Vergangenheit bereits mit solchen Gleichungen befasst, daher werden wir in dieser Lektion die Ihnen bekannten Informationen wiederholen und zusammenfassen.

Zunächst schlage ich vor, auf die vorherige Lektion zu diesem Thema zu verweisen - auf die Lektion "Quadratische Gleichungen lösen". In dieser Lektion wurde ein Beispiel für die Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung betrachtet. Denke darüber nach

Die Lösung dieser Gleichung erfolgt in mehreren Stufen:

• Transformation einer Gleichung mit rationalen Brüchen.
• Übergang auf die Gesamtgleichung und ihre Vereinfachung;
• Lösung einer quadratischen Gleichung.

Es ist notwendig, die ersten beiden Stufen zu durchlaufen, wenn Sie eine gebrochen-rationale Gleichung lösen. Der dritte Schritt ist optional, da die durch Vereinfachungen erhaltene Gleichung möglicherweise nicht quadratisch, sondern linear ist; Das Lösen einer linearen Gleichung ist viel einfacher. Es gibt einen weiteren wichtigen Schritt beim Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung. Es wird sichtbar, wenn die nächste Gleichung gelöst wird.

was ist zuerst zu tun? - Natürlich die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Und es ist sehr wichtig, genau zu finden am wenigsten gemeinsamen Nenner, sonst wird die Gleichung beim Lösen komplizierter. Hier stellen wir fest, dass der Nenner des letzten Bruchs faktorisiert werden kann beim und j+2. Genau dieses Produkt wird der gemeinsame Nenner dieser Gleichung sein. Jetzt müssen Sie zusätzliche Faktoren für jeden der Brüche bestimmen. Vielmehr wird für den letzten Bruch ein solcher Faktor nicht benötigt, da sein Nenner gleich dem gemeinsamen ist. Wenn jetzt alle Brüche denselben Nenner haben, kannst du zur ganzen Gleichung gehen, die aus einigen Zählern besteht. Aber eine Bemerkung muss gemacht werden, die der gefundene Wert des Unbekannten kann keinen der Nenner verschwinden lassen. Das ist ODZ: y≠0, y≠2. Dies vervollständigt die erste der zuvor beschriebenen Phasen der Lösung und fährt mit der zweiten fort - wir vereinfachen die resultierende ganze Gleichung. Dazu öffnen wir die Klammern, übertragen alle Terme auf einen Teil der Gleichung und geben ähnliche an. Machen Sie es selbst und überprüfen Sie, ob meine Berechnungen korrekt sind, in denen die Gleichung erhalten wird 3 Jahre 2 - 12 Jahre = 0. Diese Gleichung ist quadratisch, sie ist in Standardform geschrieben und einer ihrer Koeffizienten ist gleich Null.

Ihre Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Informationen verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzerklärung und lassen Sie uns wissen, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Verwendung personenbezogener Daten

Personenbezogene Daten sind Daten, mit denen eine bestimmte Person identifiziert oder kontaktiert werden kann.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie uns kontaktieren.

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Daten verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten wir erheben:

• Wenn Sie eine Bewerbung auf der Website einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

Wie wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden:

• Die von uns gesammelten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie zu kontaktieren und Sie über einzigartige Angebote, Werbeaktionen und andere Veranstaltungen und bevorstehende Veranstaltungen zu informieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden, um Ihnen wichtige Mitteilungen und Nachrichten zu senden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, z. B. zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Recherchen, um die von uns angebotenen Dienstleistungen zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Dienstleistungen zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einem ähnlichen Anreiz teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen verwenden, um solche Programme zu verwalten.

Weitergabe an Dritte

Wir geben keine von Ihnen erhaltenen Informationen an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Für den Fall, dass es erforderlich ist - in Übereinstimmung mit dem Gesetz, der gerichtlichen Anordnung, in Gerichtsverfahren und / oder aufgrund öffentlicher Anfragen oder Anfragen staatlicher Stellen im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation - Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir feststellen, dass eine solche Offenlegung aus Gründen der Sicherheit, der Strafverfolgung oder aus anderen Gründen des öffentlichen Interesses notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den entsprechenden Drittnachfolger übertragen.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer – zum Schutz Ihrer personenbezogenen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung.

Wahrung Ihrer Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre personenbezogenen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitspraktiken an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Wir haben die obige Gleichung in § 7 eingeführt. Zuerst erinnern wir uns, was ein rationaler Ausdruck ist. Dies ist ein algebraischer Ausdruck, der sich aus Zahlen und der Variablen x zusammensetzt, wobei die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten verwendet werden.

Wenn r(x) ein rationaler Ausdruck ist, dann heißt die Gleichung r(x) = 0 eine rationale Gleichung.

In der Praxis ist es jedoch bequemer, den Begriff "rationale Gleichung" etwas weiter zu interpretieren: Dies ist eine Gleichung der Form h(x) = q(x), wobei h(x) und q(x) sind rationale Ausdrücke.

Bisher konnten wir keine rationale Gleichung lösen, sondern nur eine, auf die wir durch verschiedene Transformationen und Überlegungen zurückgeführt wurden Lineargleichung. Jetzt sind unsere Möglichkeiten viel größer: Wir werden in der Lage sein, eine rationale Gleichung zu lösen, die sich nicht nur auf linear reduziert
mu, sondern auch zur quadratischen Gleichung.

Erinnern Sie sich daran, wie wir zuvor rationale Gleichungen gelöst haben, und versuchen Sie, einen Lösungsalgorithmus zu formulieren.

Beispiel 1 löse die Gleichung

Entscheidung. Wir schreiben die Gleichung in die Form um

In diesem Fall verwenden wir wie üblich die Tatsache, dass die Gleichheiten A \u003d B und A - B \u003d 0 dieselbe Beziehung zwischen A und B ausdrücken. Dadurch konnten wir den Term mit dem auf die linke Seite der Gleichung übertragen entgegengesetztem Vorzeichen.

Lassen Sie uns Transformationen der linken Seite der Gleichung durchführen. Wir haben

Erinnern Sie sich an die Gleichheitsbedingungen Brüche Null: genau dann, wenn zwei Relationen gleichzeitig erfüllt sind:

1) der Zähler des Bruchs ist Null (a = 0); 2) der Nenner des Bruchs ist von Null verschieden).
Wenn wir den Zähler des Bruchs auf der linken Seite von Gleichung (1) gleich Null setzen, erhalten wir

Es bleibt die Erfüllung der zweiten oben genannten Bedingung zu prüfen. Das Verhältnis bedeutet für Gleichung (1), dass . Die Werte x 1 = 2 und x 2 = 0,6 erfüllen die angegebenen Beziehungen und dienen daher als Wurzeln der Gleichung (1) und gleichzeitig als Wurzeln der gegebenen Gleichung.

1) Lassen Sie uns die Gleichung in die Form umwandeln

2) Führen wir die Transformationen der linken Seite dieser Gleichung durch:

(gleichzeitig die Vorzeichen im Zähler geändert und
Brüche).
Somit nimmt die gegebene Gleichung die Form an

3) Lösen Sie die Gleichung x 2 - 6x + 8 = 0. Finden Sie

4) Überprüfen Sie für die gefundenen Werte die Bedingung . Die Zahl 4 erfüllt diese Bedingung, die Zahl 2 jedoch nicht. Also ist 4 die Wurzel der gegebenen Gleichung und 2 ist eine Fremdwurzel.
Antwort: 4.

2. Lösung rationaler Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen

Die Methode zur Einführung einer neuen Variablen ist Ihnen vertraut, wir haben sie mehr als einmal verwendet. Lassen Sie uns anhand von Beispielen zeigen, wie es zur Lösung rationaler Gleichungen verwendet wird.

Beispiel 3 Löse die Gleichung x 4 + x 2 - 20 = 0.

Entscheidung. Wir führen eine neue Variable y \u003d x 2 ein. Da x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, kann die angegebene Gleichung in der Form umgeschrieben werden

y 2 + y - 20 = 0.

Dies ist eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln wir mit Hilfe des Bekannten finden werden Formeln; wir bekommen y 1 = 4, y 2 = - 5.
Aber y \u003d x 2, was bedeutet, dass das Problem auf die Lösung von zwei Gleichungen reduziert wurde:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Aus der ersten Gleichung finden wir heraus, dass die zweite Gleichung keine Wurzeln hat.
Antworten: .
Eine Gleichung der Form ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 wird als biquadratische Gleichung bezeichnet („bi“ - zwei, d. h. sozusagen eine „zweifache“ Gleichung). Die gerade gelöste Gleichung war genau biquadratisch. Jede biquadratische Gleichung wird auf die gleiche Weise wie die Gleichung aus Beispiel 3 gelöst: Eine neue Variable y \u003d x 2 wird eingeführt, die resultierende quadratische Gleichung wird in Bezug auf die Variable y gelöst und dann an die Variable x zurückgegeben.

Beispiel 4 löse die Gleichung

Entscheidung. Beachten Sie, dass derselbe Ausdruck x 2 + 3x hier zweimal vorkommt. Daher ist es sinnvoll, eine neue Variable y = x 2 + Zx einzuführen. Dies wird es uns ermöglichen, die Gleichung in einer einfacheren und angenehmeren Form umzuschreiben (was eigentlich der Zweck der Einführung einer neuen ist Variable- und die Aufnahme ist einfacher
, und die Struktur der Gleichung wird klarer):

Und jetzt werden wir den Algorithmus zum Lösen einer rationalen Gleichung verwenden.

1) Lassen Sie uns alle Terme der Gleichung in einen Teil verschieben:

= 0
2) Transformieren wir die linke Seite der Gleichung

Also haben wir die gegebene Gleichung in die Form transformiert

3) Aus der Gleichung - 7y 2 + 29y -4 = 0 finden wir (wir haben schon ziemlich viele quadratische Gleichungen gelöst, daher lohnt es sich wahrscheinlich nicht, immer detaillierte Berechnungen im Lehrbuch anzugeben).

4) Überprüfen wir die gefundenen Nullstellen mit der Bedingung 5 (y - 3) (y + 1). Beide Wurzeln erfüllen diese Bedingung.
Damit ist die quadratische Gleichung für die neue Variable y gelöst:
Da y \u003d x 2 + Zx und y, wie wir festgestellt haben, zwei Werte annimmt: 4 und - müssen wir noch zwei Gleichungen lösen: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Die Wurzeln der ersten Gleichung sind die Zahlen 1 und - 4, die Wurzeln der zweiten Gleichung sind die Zahlen

In den betrachteten Beispielen war die Methode der Einführung einer neuen Variablen, wie Mathematiker gerne sagen, der Situation angemessen, das heißt, sie entsprach ihr gut. Wieso den? Ja, weil derselbe Ausdruck offensichtlich mehrfach im Gleichungssatz vorkam und es sinnvoll war, diesen Ausdruck mit einem neuen Buchstaben zu kennzeichnen. Dies ist jedoch nicht immer der Fall, manchmal "erscheint" eine neue Variable nur im Transformationsprozess. Genau das passiert im nächsten Beispiel.

Beispiel 5 löse die Gleichung
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Entscheidung. Wir haben
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Die gegebene Gleichung kann also umgeschrieben werden als

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Jetzt ist eine neue Variable "erschienen": y = x 2 - Zx.

Mit ihrer Hilfe kann die Gleichung in die Form y (y + 2) \u003d 24 und dann y 2 + 2y - 24 \u003d 0 umgeschrieben werden. Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Zahlen 4 und -6.

Zurück zur ursprünglichen Variablen x erhalten wir zwei Gleichungen x 2 - Zx \u003d 4 und x 2 - Zx \u003d - 6. Aus der ersten Gleichung finden wir x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln.

Antwort: 4, - 1.

Unterrichtsinhalt Lektion Zusammenfassung Unterstützungsrahmen Unterrichtspräsentation beschleunigende Methoden interaktive Technologien Trainieren Aufgaben und Übungen Selbstprüfung Workshops, Trainings, Fälle, Quests Hausaufgaben Diskussionsfragen Rhetorische Fragen von Studierenden Illustrationen Audio, Videoclips und Multimedia Fotografien, Bilder, Grafiken, Tabellen, Schemata, Humor, Anekdoten, Witze, Comics, Parabeln, Sprüche, Kreuzworträtsel, Zitate Add-Ons Zusammenfassungen Artikel Chips für Neugierige Spickzettel Lehrbücher Grund- und Zusatzwörterbuch Sonstiges Verbesserung von Lehrbüchern und UnterrichtKorrektur von Fehlern im Lehrbuch Aktualisierung eines Fragments in den Lehrbuchelementen der Innovation im Unterricht Ersetzen von veraltetem Wissen durch neues Nur für Lehrer perfekter Unterricht Kalenderplan für das Jahr Methodische Empfehlungen des Diskussionsprogramms Integrierter Unterricht

Um zu lernen, wie man fehlerfrei mit rationalen Brüchen arbeitet, müssen Sie zunächst die Formeln für die abgekürzte Multiplikation lernen. Und das nicht nur zum Lernen – sie müssen erkannt werden, auch wenn Sinus, Logarithmus und Wurzel als Terme fungieren.

Das Hauptwerkzeug ist jedoch die Faktorisierung von Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs. Dies kann auf drei verschiedene Arten erreicht werden:

1. Eigentlich nach der abgekürzten Multiplikationsformel: Sie ermöglichen es Ihnen, ein Polynom in einen oder mehrere Faktoren zu zerlegen;
2. Durch Faktorisieren eines quadratischen Trinoms in Faktoren durch die Diskriminante. Die gleiche Methode ermöglicht es zu überprüfen, dass jedes Trinom überhaupt nicht faktorisiert werden kann;
3. Die Gruppierungsmethode ist das komplexeste Werkzeug, aber es ist das einzige, das funktioniert, wenn die beiden vorherigen nicht funktioniert haben.

Wie Sie wahrscheinlich aus dem Titel dieses Videos erraten haben, werden wir wieder über rationale Brüche sprechen. Buchstäblich vor ein paar Minuten habe ich eine Unterrichtsstunde mit einem Zehntklässler beendet, und dort haben wir genau diese Ausdrücke analysiert. Daher richtet sich diese Lektion speziell an Oberstufenschüler.

Sicher werden jetzt viele eine Frage haben: „Warum lernen die Schüler in den Klassen 10-11 so einfache Dinge wie rationale Brüche, wenn das in Klasse 8 gemacht wird?“. Aber das ist das Problem, dass die meisten Leute dieses Thema einfach "durchgehen". In den Klassen 10-11 erinnern sie sich nicht mehr daran, wie Multiplikation, Division, Subtraktion und Addition von rationalen Brüchen aus Klasse 8 durchgeführt werden, und auf diesem einfachen Wissen werden weitere, komplexere Strukturen aufgebaut, wie zum Beispiel das Lösen von logarithmischen, trigonometrischen Gleichungen und viele andere komplexe Ausdrücke, sodass ohne rationale Brüche in der High School praktisch nichts zu tun ist.

Formeln zur Problemlösung

Kommen wir zur Sache. Zunächst einmal brauchen wir zwei Tatsachen – zwei Sätze von Formeln. Zunächst müssen Sie die Formeln für die abgekürzte Multiplikation kennen:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ ist die Differenz von Quadraten;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ ist das Quadrat der Summe oder Differenz ;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ ist die Summe von Kubikzahlen;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ ist die Differenz von Kubikzahlen.

In ihrer reinen Form finden sie sich in keinem Beispiel und in wirklich ernsthaften Äußerungen. Unsere Aufgabe ist es daher, viel komplexere Konstruktionen unter den Buchstaben $a$ und $b$ sehen zu lernen, zum Beispiel Logarithmen, Wurzeln, Sinus usw. Es kann nur durch ständiges Üben erlernt werden. Deshalb ist das Lösen rationaler Brüche absolut notwendig.

Die zweite, recht naheliegende Formel ist die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ sind Wurzeln.

Wir haben uns mit dem theoretischen Teil beschäftigt. Aber wie löst man echte rationale Brüche, die in Klasse 8 berücksichtigt werden? Jetzt werden wir üben.

Aufgabe 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Versuchen wir, die obigen Formeln auf die Lösung rationaler Brüche anzuwenden. Zunächst möchte ich erklären, warum es überhaupt eine Faktorisierung braucht. Tatsache ist, dass ich auf den ersten Blick auf den ersten Teil der Aufgabe den Würfel mit dem Quadrat reduzieren möchte, aber das ist absolut unmöglich, weil es Terme im Zähler und im Nenner sind, aber auf keinen Fall Faktoren .

Was genau ist eine Abkürzung? Reduktion ist die Anwendung der Grundregel für die Arbeit mit solchen Ausdrücken. Die Haupteigenschaft eines Bruchs ist, dass wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl außer „Null“ multiplizieren können. Wenn wir in diesem Fall reduzieren, dann dividieren wir im Gegenteil durch dieselbe Zahl außer „Null“. Allerdings müssen wir alle Terme im Nenner durch dieselbe Zahl dividieren. Das kannst du nicht. Und wir haben nur dann das Recht, den Zähler mit dem Nenner zu kürzen, wenn beide faktorisiert werden. Machen wir das.

Jetzt müssen Sie sehen, wie viele Begriffe in einem bestimmten Element enthalten sind, und dementsprechend herausfinden, welche Formel Sie verwenden müssen.

Lassen Sie uns jeden Ausdruck in einen exakten Würfel umwandeln:

Schreiben wir den Zähler um:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

Schauen wir uns den Nenner an. Wir entwickeln es nach der Quadratdifferenzformel:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ Rechts)\]

Schauen wir uns nun den zweiten Teil des Ausdrucks an:

Zähler:

Bleibt noch der Nenner zu behandeln:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

Lassen Sie uns die gesamte Konstruktion unter Berücksichtigung der obigen Fakten umschreiben:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Nuancen der Multiplikation rationaler Brüche

Die wichtigste Schlussfolgerung aus diesen Konstruktionen ist die folgende:

• Nicht jedes Polynom kann faktorisiert werden.
• Auch wenn es zerlegt ist, muss man sich genau anschauen, welche spezielle Formel für die abgekürzte Multiplikation verwendet wird.

Dazu müssen wir zunächst abschätzen, wie viele Terme es gibt (wenn es zwei sind, dann können wir sie nur entweder um die Summe der Quadratdifferenzen oder um die Summe oder Differenz der Kubikzahlen erweitern; und wenn es drei davon gibt, dann ist dies eindeutig entweder das Quadrat der Summe oder das Quadrat der Differenz). Es kommt oft vor, dass entweder der Zähler oder der Nenner überhaupt nicht faktorisiert werden muss, er kann linear sein oder seine Diskriminante wird negativ sein.

Aufgabe Nr. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Im Allgemeinen unterscheidet sich das Schema zur Lösung dieses Problems nicht vom vorherigen - es wird einfach mehr Aktionen geben und sie werden vielfältiger.

Beginnen wir mit dem ersten Bruch: Schauen Sie sich seinen Zähler an und machen Sie mögliche Transformationen:

Schauen wir uns nun den Nenner an:

Mit dem zweiten Bruch: Im Zähler kann man überhaupt nichts machen, weil es ein linearer Ausdruck ist, und man daraus keinen Faktor herausnehmen kann. Schauen wir uns den Nenner an:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right ))^(2))\]

Wir gehen zur dritten Fraktion. Zähler:

Befassen wir uns mit dem Nenner des letzten Bruchs:

Lassen Sie uns den Ausdruck unter Berücksichtigung der obigen Tatsachen umschreiben:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \rechts))(\links(2x-1 \rechts)\links(2x+1 \rechts))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \rechts))\]

Nuancen der Lösung

Wie Sie sehen, beruht nicht alles und nicht immer auf den abgekürzten Multiplikationsformeln – manchmal reicht es schon, eine Konstante oder eine Variable einzuklammern. Es gibt aber auch den umgekehrten Fall, wenn es so viele Terme gibt oder diese so aufgebaut sind, dass die Formel zur verkürzten Multiplikation damit im Allgemeinen nicht möglich ist. In diesem Fall kommt uns ein universelles Werkzeug zu Hilfe, nämlich die Gruppierungsmethode. Dies werden wir nun in der nächsten Aufgabe anwenden.

Aufgabe Nr. 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Schauen wir uns den ersten Teil an:

\[((a)^(2))+ab=a\links(a+b \rechts)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right ) )\richtig)=\]

\[=\links(a-b \rechts)\links(5-a-b \rechts)\]

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck umschreiben:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Kommen wir nun zur zweiten Klammer:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \Rechts)\]

Da zwei Elemente nicht gruppiert werden konnten, haben wir drei gruppiert. Es bleibt nur noch der Nenner des letzten Bruchs zu behandeln:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

Lassen Sie uns nun unsere gesamte Struktur umschreiben:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]

Das Problem ist gelöst, und hier kann nichts mehr vereinfacht werden.

Nuancen der Lösung

Wir haben die Gruppierung herausgefunden und ein weiteres sehr leistungsfähiges Werkzeug erhalten, das die Möglichkeiten der Faktorisierung erweitert. Aber das Problem ist, dass uns im wirklichen Leben niemand so raffinierte Beispiele geben wird, bei denen es mehrere Brüche gibt, die nur in Zähler und Nenner faktorisiert und dann, wenn möglich, gekürzt werden müssen. Reale Ausdrücke werden viel komplizierter sein.

Höchstwahrscheinlich gibt es neben Multiplikation und Division Subtraktionen und Additionen, alle Arten von Klammern - im Allgemeinen müssen Sie die Reihenfolge der Aktionen berücksichtigen. Aber das Schlimmste ist, dass beim Subtrahieren und Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern diese auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden müssen. Dazu muss jeder von ihnen in Faktoren zerlegt werden, und dann werden diese Brüche transformiert: Geben Sie ähnliche und vieles mehr an. Wie mache ich es richtig, schnell und bekomme gleichzeitig die eindeutig richtige Antwort? Darüber sprechen wir nun am Beispiel der folgenden Konstruktion.

Aufgabe Nr. 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \rechts)\]

Lassen Sie uns den ersten Bruch ausschreiben und versuchen, ihn separat zu behandeln:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Kommen wir zum zweiten. Lassen Sie uns die Diskriminante des Nenners berechnen:

Es wird nicht faktorisiert, also schreiben wir Folgendes:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

Wir schreiben den Zähler separat:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Daher kann dieses Polynom nicht faktorisiert werden.

Das Maximum, das wir tun und zerlegen konnten, haben wir bereits getan.

Insgesamt schreiben wir unsere ursprüngliche Konstruktion um und erhalten:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Alles, die Aufgabe ist gelöst.

Das war ehrlich gesagt gar nicht so schwer: Da war alles problemlos faktorisiert, ähnliche Konditionen waren schnell gegeben und alles schön reduziert. Lassen Sie uns nun versuchen, das Problem ernsthafter zu lösen.

Aufgabe Nummer 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Beschäftigen wir uns zunächst mit der ersten Klammer. Den Nenner des zweiten Bruchs klammern wir von Anfang an separat aus:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \rechts)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Jetzt arbeiten wir mit dem zweiten Bruch:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ links(x-2 \rechts))(\links(x-2 \rechts)\links(x+2 \rechts))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Wir kehren zu unserem ursprünglichen Design zurück und schreiben:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Wichtige Punkte

Noch einmal die wichtigsten Fakten des heutigen Video-Tutorials:

1. Sie müssen die Formeln für abgekürzte Multiplikation „auswendig“ kennen - und nicht nur kennen, sondern in diesen Ausdrücken sehen können, denen Sie in echten Problemen begegnen werden. Eine wunderbare Regel kann uns dabei helfen: Wenn es zwei Terme gibt, dann ist dies entweder die Differenz von Quadraten oder die Differenz oder Summe von Kubikzahlen; wenn drei, kann es nur das Quadrat der Summe oder Differenz sein.
2. Wenn eine Konstruktion nicht mit abgekürzten Multiplikationsformeln zerlegt werden kann, hilft uns entweder die Standardformel zur Zerlegung von Trinomen in Faktoren oder die Gruppierungsmethode.
3. Wenn etwas nicht funktioniert, schauen Sie sich den ursprünglichen Ausdruck genau an - und ob überhaupt Transformationen damit erforderlich sind. Vielleicht reicht es schon, den Faktor aus der Klammer zu nehmen, und dieser ist sehr oft nur eine Konstante.
4. Vergessen Sie in komplexen Ausdrücken, in denen Sie mehrere Aktionen hintereinander ausführen müssen, nicht, auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, und bringen Sie erst danach, wenn alle Brüche darauf reduziert sind, dasselbe in den neuen Zähler und dann wird der neue Zähler erneut faktorisiert - es ist möglich, dass - reduziert wird.

Das ist alles, was ich Ihnen heute über rationale Brüche sagen wollte. Wenn etwas nicht klar ist, gibt es auf der Seite noch viele Video-Tutorials sowie viele Aufgaben für eine eigenständige Lösung. Bleiben Sie also bei uns!